Matematika Teknik Dasar-29 – Aplikasi Turunan Parsial danPengerjaannya Secara GeometriSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Contoh - 1

Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi hdiberikan dari rumus:

V = r2h

Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detiksementara tingginya turun dengan laju 0,5 cm/ detik.

Carilah laju perubahan volume pada saat r=8cm danh=12cm. r

hV

Contoh - 1

V = r2h

𝛿𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑟𝛿𝑟 +

𝜕𝑉

𝜕ℎ𝛿ℎ

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝜕𝑉

𝜕𝑟.𝑑𝑟

𝑑𝑡+

𝜕𝑉

𝜕ℎ.𝑑ℎ

𝑑𝑡𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟ℎ;

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑟2

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 2𝜋𝑟ℎ

𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 𝜋𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡

𝑟 = 8, ℎ = 12,𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0,2;

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −0,5 (𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑟𝑢𝑛)

Contoh - 1

Kemudian disubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam pernyataan terakhiruntuk diselesaikan.

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 2𝜋𝑟ℎ

𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 𝜋𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡𝑑𝑉

𝑑𝑡= 2𝜋. 8.12 0,2 + 𝜋. 64(−0,5)

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 38,4𝜋 − 32𝜋

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 6,4𝜋 = 20,1 𝑐𝑚3/𝑠

Contoh - 2

Pada segitiga siku-siku yang diberikan x meningkat dengan laju 2cm/detiksedangkan y menurun dengan laju 3 cm/detik. Hitunglah laju perubahan z ketika x = 5cm dan y = 3cm.

Penyelesaian:

Dinyatakan z dalam suku-suku x dan y; 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2

𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 1/2

𝛿𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑑𝑧

𝑑𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑡

yx

z

Contoh - 2

Dalam hal ini:𝜕𝑧

𝜕𝑥=1

2𝑥2 − 𝑦2 −

12 2𝑥 =

𝑥

𝑥2 − 𝑦2

𝜕𝑧

𝜕𝑦=1

2𝑥2 − 𝑦2 −

12 −2𝑦 =

−𝑦

𝑥2 − 𝑦2

𝜕𝑧

𝜕𝑡=

𝑥

𝑥2 − 𝑦2.𝑑𝑥

𝑑𝑡−

𝑦

𝑥2 − 𝑦2.𝑑𝑦

𝑑𝑡

Untuk nilai-nilai x=5, y=3, 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −3

Contoh - 2

Untuk nilai-nilai x=5, y=3, 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −3

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

5

52 − 32. (2) −

3

52 − 32. (−3)

𝑑𝑧

𝑑𝑡=5(2)

4−3 −3

4=

10

4+9

4=19

4= 4,75 𝑐𝑚/𝑠

Sisi z meningkat 4,75 cm/detik

Contoh - 3

Luas permukaan total S suatu kerucut dengan radius alas r dengan tinggitegak lurusnya h diberikan oleh

𝑆 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟 𝑟2 + ℎ2

Jika r dan h masing-masing meningkat dengan laju 0,25 cm/detik, carilahlaju kenaikan S ketika r=3cm dan h=4cm.

Penyelesaian:

𝑆 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟 𝑟2 + ℎ2 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟 𝑟2 + ℎ2 1/2

𝛿𝑆 =𝜕𝑆

𝜕𝑟. 𝛿𝑟 +

𝜕𝑆

𝜕ℎ. 𝛿ℎ

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝜕𝑆

𝜕𝑟.𝑑𝑟

𝑑𝑡+

𝜕𝑆

𝜕ℎ.𝑑ℎ

𝑑𝑡

Contoh - 3

(1)𝜕𝑆

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟 + 𝜋𝑟.

1

2𝑟2 + ℎ2 −

12 2𝑟 + 𝜋 𝑟2 + ℎ2 −

12

𝜕𝑆

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟 +

𝜋𝑟2

𝑟2 + ℎ2+ 𝜋 𝑟2 + ℎ2

Apabila r = 3 dan h = 4

𝜕𝑆

𝜕𝑟= 2𝜋3 +

𝜋9

5+ 𝜋5 = 11𝜋 +

𝜋9

5=64𝜋

5

Contoh - 3

(2)𝜕𝑆

𝜕ℎ= 𝜋𝑟.

1

2𝑟2 + ℎ2 −

12 2ℎ =

𝜋𝑟ℎ

𝑟2 + ℎ2𝜕𝑆

𝜕ℎ=𝜋3.4

5=12𝜋

5

Diketahui bahwa dr/dt=0,25 dan dh/dt=0,25

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

64𝜋

5.1

4+

12𝜋

5.1

4𝑑𝑆

𝑑𝑡=16𝜋

5+3𝜋

5=19𝜋

5= 3,8𝜋 = 11,94𝑐𝑚2/𝑠

Pengerjaan Soal Laju Perubahan

Dalam pengerjaan laju-perubahan semuanya hampir sama, berikutmetode penyelesaiannya:

a. Pernyataan Dasar

Jika z=f(x,y) maka𝜕𝑧

𝜕𝑥. 𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦. 𝛿𝑦

b. Dibagi hasil tersebut dengan 𝛿𝑡 dan diambil 𝛿𝑡 0. Proses ini akanmengubah hasil tersebut menjadi bentuk soal laju-perubahan.

𝑑𝑧

𝑑𝑡=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑡

Aplikasi Turunan Parsial

Diferensiasi parsial dapat juga digunakan untuk mencari turunan fungsiimplisit.

Contohnya dianggap diminta untuk mencari pernyataan𝑑𝑦

𝑑𝑥apabila

diketahui bahwa 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 0

Dapat diselesaikan dengan cara berikut ini:

Misalkan z adalah fungsi x dan y tersebut, yaitu z=𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3.

Digunakan hubungan dasar 𝛿𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦

Aplikasi Turunan Parsial

Jika dibagi kedua sisinya dengan x maka bisa didapat:𝛿𝑧

𝛿𝑥=𝜕𝑧

𝜕𝑥+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝛿𝑦

𝛿𝑥

Sekarang jika x 0 𝛿𝑧

𝛿𝑥=

𝜕𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑥

Jika sekarang memperoleh pernyataan untuk𝜕𝑧

𝜕𝑥dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦kita akan segera

memperoleh 𝑑𝑦

𝑑𝑥(yang bisa dilihat dari pernyataan di atas)

Aplikasi Turunan Parsial

Pada contoh khusus ini, 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 didapat hasil dari 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥 +

2𝑦 dan 𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑥 + 3𝑦2

Dengan menyubstitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam hasil-hasil sebelumnya, akan menghasilkan:

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 2𝑥 + 2𝑦 + (2𝑥 + 3𝑦2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Jika kita hanya mengetahui 𝑑𝑧

𝑑𝑥dapat disusun kembali hasil ini dan

memperoleh pernyataan untuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥.

Aplikasi Turunan Parsial

Di awal soal diketahui bahwa menggunakan z untuk 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 dan pada awalnya diketahui bahwa 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 0. Maka nilai z = 0

Dengan kata lain bahwa z adalah konstanta (dalam hal ini adalah nol) dan

dari sini 𝑑𝑧

𝑑𝑥= 0

0 = 2𝑥 + 2𝑦 + (2𝑥 + 3𝑦2)𝑑𝑦

𝑑𝑥, sehingga dapat dicari

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥 + 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

Contoh - 4

Jika 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 1 carilah nilai 𝑑𝑦

𝑑𝑥di (0,0). Fungsi ini dapat ditulis

sebagai 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 −1 = 0

Misalkan z = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 − 1 𝛿𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥. 𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦. 𝛿𝑦

∴𝑑𝑧

𝑑𝑥=𝜕𝑧

𝜕𝑥+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑥𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑒𝑥𝑦 . 𝑦 + 1;

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑒𝑥𝑦 . 𝑥 + 1 ∴

𝑑𝑧

𝑑𝑦= 𝑦. 𝑒𝑥𝑦 + 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Tetapi dengan z=0 ∴𝑑𝑧

𝑑𝑥= 0 ∴

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦.𝑒𝑥𝑦 +1

𝑥.𝑒𝑥𝑦 +1

Contoh - 4

Tetapi dengan z=0 ∴𝑑𝑧

𝑑𝑥= 0 ∴

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦.𝑒𝑥𝑦 +1

𝑥.𝑒𝑥𝑦 +1

Pada x=0, y=0, 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

1= −1 ∴

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −1

Perubahan Variabel

Jika z adalah fungsi x dan y, yaitu f=(x,y), dan x dan y itu sendiri adalah fungsi dari dua variabel lainnya u dan v, maka z juga merupakan fungsi u dan v.

Oleh karena itu perlu dicari 𝜕𝑧

𝜕𝑢dan

𝜕𝑧

𝜕𝑣. Bagaimanakah cara kita

memperolehnya?

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∴ 𝛿𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦

Bagilah kedua bagian dengan u:

Perubahan Variabel

𝛿𝑧

𝛿𝑢=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝛿𝑥

𝛿𝑢+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝛿𝑦

𝛿𝑢

Jika v dipertahankan konstan untuk sementara, maka 𝛿𝑥

𝛿𝑢ketika u

menjadi 𝛿𝑥

𝛿𝑢dan

𝜕𝑦

𝜕𝑢

∴𝜕𝑧

𝜕𝑢=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑢+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝑑𝑎𝑛𝜕𝑧

𝜕𝑣=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑣+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑣

Contoh - 5

Jika 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, dimana x = r cos dan y = r sin 2, carilah 𝜕𝑧

𝜕𝑟dan

𝜕𝑧

𝜕𝜃𝜕𝑧

𝜕𝑟=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑟+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝑑𝑎𝑛𝜕𝑧

𝜕𝜃=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝜃+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝜃

Sekarang 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑟= cos 𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑟= sin 2𝜃

Contoh - 5

∴𝜕𝑧

𝜕𝑟= 2𝑥 cos 𝜃 + 2𝑦 sin 2𝜃

𝑑𝑎𝑛𝜕𝑥

𝜕𝜃= −𝑟 sin 𝜃 dan

𝜕𝑦

𝜕𝜃= 2𝑟 cos 2𝜃

∴𝜕𝑧

𝜕𝑟= 2𝑥 −𝑟 sin 𝜃 + 2𝑦(2𝑟 cos 2𝜃)

𝜕𝑧

𝜕𝜃= 4𝑦𝑟 cos 2𝜃 − 2𝑥𝑟 sin 𝜃

Kemudian simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh r cos dan r sin 2

Contoh - 6

Jika 𝑧 = 𝑒𝑥𝑦 dengan x=ln (u+v) dan y=sin (u-v), carilah 𝜕𝑧

𝜕𝑢dan

𝜕𝑧

𝜕𝑣

Didapatkan 𝜕𝑧

𝜕𝑢=

𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑢+

𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑢= 𝑦. 𝑒𝑥𝑦 .

1

𝑢+𝑣+ 𝑥. 𝑒𝑥𝑦 . cos 𝑢 − 𝑣

= 𝑒𝑥𝑦𝑦

𝑢 + 𝑣+ 𝑥. cos 𝑢 − 𝑣

dan 𝜕𝑧

𝜕𝑣=

𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑣+

𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑣= 𝑦. 𝑒𝑥𝑦 .

1

𝑢+𝑣+ 𝑥. 𝑒𝑥𝑦 . −cos 𝑢 − 𝑣

= 𝑒𝑥𝑦𝑦

𝑢 + 𝑣− 𝑥. cos 𝑢 − 𝑣

Kesimpulan

1. Pertambahan Kecil

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝛿𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥. 𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦. 𝛿𝑦

2. Laju Perubahan𝑑𝑧

𝑑𝑡=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑡

3. Fungsi Implisit𝑑𝑧

𝑑𝑥=𝜕𝑧

𝜕𝑥+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝑑𝑦

𝑑𝑥

4. Perubahan Variabel

Kesimpulan

Perubahan Variabel𝜕𝑧

𝜕𝑢=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑢+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑢𝜕𝑧

𝜕𝑣=𝜕𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑣+𝜕𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑣