Tuyen Tap 20 He Phuong Trinh NTD

Khu II Th Trn Cn Hi Hu Nam nh 06/08/2014

Tuyn tp 20 h phng trnh n thi I HC 2015 by Nguyn Th Duy

Bi 1. Gii h phng trnh :

2 2 2

2 3 3

1 1 3 9 3

3 1 5 4 3 7 0

xy x y y

x x y xy x x y x

iu kin : 2 5x y xy

Li gii

X l phng trnh mt cho ta dng hm s nh sau. Vi 0y chng ta c :

2 2 2 2 2 2 22 23 3 3 31 1 3 9 3 1 1 9 1 9xy x y y x x y x x x yy y y y

M mun xut hin hm s dng 2 1f t t t t nn ta cng phi a VP v dng l : 2

3 3 31

y y y

nhng c c

iu ny tc l cn phi a 1

y vo trong cn thc. Do vy cn phi chng minh y lun dng nh sau :

2 9 0y y y y y y suy ra t phng trnh mt c 0x da vo iu kin : 2 5 0x y xy y . Nn n y

thoi mi xt hm s f t l hm s ng bin trn TX suy ra 3xy . Th xung phng trnh hai th :

3 2 2

22 2

3 1 3 2 4 9 7 3 1 3 2 3 1 4 3 2

3 2 3 14 3 2 3 1 0 3 2 4 0

3 2 3 2

x x x x x x x x x x x x

x x xx x x x x x x

x x x x

Mt khc vi iu kin : 3 2 0x th 3 1

4 03 2

xx

x x

do

2

31

3 2 0 32

2

yx

x xx y

.

Vy h phng trnh cho c hai nghim l : 3

; 1;3 , 2;2

x y

.


32 2 2 2

2 2 3

2

76 20 2 4 8 1

x x y x x y

x y x x

iu kin : 2 0x y

Li gii Phng trnh mt ca h phng trnh ta s d dng a v dng ng cp nh sau :

3 32 2 2 2 3 2 2

2 33 2 2 2 2 2

2 2 0

2 0

x x y x x y x x x y x y

x x x y x y x x y y x x

Th 2 2y x x xung phng trnh hai chng ta c : 2 2 23396 20 2 4 8 1 96 20 2 32 4x x x x x x x x

p dng bt ng thc Cosi suy ra :

22 2 2 232 1.1. 32 4 32 4 2 2 96 20 2 32 4 2 16 2 0x x x x x x x x x

Do

2

2

32 4 1 1 72

8 816 2 0

x xpt x y

x

. Vy 1 7

; ;8 8

x y

l nghim ca h phng trnh cho.



2

3 3

1 1 4 3

5 1 2 4

x y x y x y

x y x

iu kin : 3

0

5 1

x y

x

Li gii

phng trnh u thc cht tc gi lm phc tp n bng cch t t x y ca phng trnh : 21 1 4 3t t t v phng trnh ny th khng qu kh khn pht hin ra nhn t nh sau :

21

1 1 4 3 3 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 03 1

t t t t t t t t tt t

Cn ci phng trnh cn li dng nh qu quen thuc khi da vo iu kin chng minh c n lun dng. Vi

2 1 2 1 2t y x thay xung phng trnh hai chng ta c : 3 35 1 1 2 4 0x x x . D dng ta nhm c nghim

1x v mt iu na 3 35 1 1 2 4f x x x x lun ng bin trn TX l v

2

23 3

15 2' 1 0

2 5 1 3 1 2

xf x

x x

do 1

; 1;2

x y

l nghim duy nht ca h phng trnh.


2

1 2

3 3 2

2 1 2 2 1

x yx

x y x y

x y y x

iu kin : 0

0

x

y

Li gii Phng trnh mt nhn kh rc ri, ta c hy quy ng v nhn cho xem c g khng.

2

22 2

2 2

4 2 2 2 4 2 2

22 2

2

1 2 22 3 3

3 3 2 3 2

4 4 3 3 4 3 0

4 3 1 0 2 4

x y x yx x yx y x y xy y

x y x y xy x y

x x y y x y xy y x x y y xy y

x x xx y y x

y y y

T th xung phng trnh hai c :

3322 1 4 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

1 5 3 52 2 1

4 3

x x x x x x x x

x x x y

Nhn chung l dng hm s 3f t t t trn l cc bn c phn x nhiu v c th lm c ngay khi gp n. Do

1 5 3 5

; ;4 2

x y

l nghim duy nht ca h phng trnh.


2 2 2

32 1 2

31 2 4

xx x y

y

xy x y

y

iu kin : 3 0

0

x y y

y

Li gii


Dng nh bi ny c kiu tng nh bi 19 ta ni l c s c lp gia cc n ph. Trc ht l 3x

ay

v sau nu phng

trnh hai ta chia cho 2y th xut hin n ph

1b

y nn h cho tr thnh :

2 2

2 3 1 2 1

3 1 2 4 1

a b a a

a a b

V h phng trnh ny th cng v vi v ca tng phng trnh chng ta c :

2 1 2 1

2 1 3 1 2 2 112 3 1

a b a ba b a a a b

aa a

Vi 1a x y th nn phng trnh mt d dng tm c 4x y

Vi 1 2 2a b x y khi phng trnh mt tr thnh : 26

2 3 40

yy y

xy

Vy h phng trnh cho c hai nghim l ; 0;2 , 4;4x y .


2 2

2 2

3 7 24 3

4 7 24 3

x x y

x y y

iu kin : 2 7x

Li gii Mt bi ton vi tng kh mi m. V hng i nh sau :

H phng trnh cho c vit li thnh :

2

2

7 1 0

24 4 4 0

x x y

y x y

22

22

71 0 1

7 1 1 2 1 7 0 2 1

31 2 2 3 024 4 4 1 0 22 2

yx x y y x y x y

x x yy x y xx y

Ly 7 6

1 2. 2 : 2 3 02 1 2 2

pt pt x yx y x y

, t 2 2t x y th phng trnh tr thnh :

3

3 33 3

3

3 3

7 3 61 0

7 6 1 6 61 0 6 2 2 6

31 6 61 06 1 6

y x

t t x yt t

x y

Vy h phng trnh cho c nghim duy nht l 3 3

3 3

3 6 6 6; ;

6 1 6x y

.


2

2

2 1 11

4 1 8 4 4 3 1

xx y x y

x

x y x x x x

iu kin : 1

1

x

y

Li gii Phng trnh mt ca h cho c vit li thnh :


22

33 2 3

2 1 1 2 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

x x xx y x y y y

x x x x

x x x x xy y y y x x y

x x x x

on xt hm s ta s khng ni y na bi n qu quen thuc. Vi 1 1x x y th xung 2pt ta c :

22 2

22 24 4 8 28 4 4 3 1 4 4 4 1 2 2 111 1 1

x x x xx x x x x x x

xx x x

phng trnh cui s thu c mt s nghim p v nghim l l do phng trnh bc ba cn x l bng phng php Carcado c cng thc nghim tng qut. Bn c t tm hiu.


3 1 4 2 1 1 3

2 4 6 3

x x y y

x y x y x y

iu kin : 3 1

1

x

y

Li gii

tng ca bi ton ny kh r rng l phn tch nhn t phng trnh hai. Thng th c dng : , . , 0f x y g x y iu ny c c l do ta s i nhm nhn t hoc xt enta vi n x hoc n y. V cng vic xt enta s c cho l ti u hn c bi l nu ta khng nhn thy nhn t chung th s rt kh nhm.

2 2

2 22 2 2 2

2 4 6 3 2 6 3 4 0

2 6 3 4 6 4 2 6 8 9 12 4 3 2

6 3 22 4

4

6 3 21

4

x

x y x y x y x xy y x y

x y x y y y y y y y y

y yx x y

y yx y ptvn

Vi 2 4y x th vo phng trnh mt chng ta c :

3 1 4 2 1 2 3 3 2 4 3 1 2 8 2 3

4 12 4 0 4 2 0 4

3 1 2 3 3 1 2 3

x x x x x x x

xx x x

x x x x

Phng trnh cn li v nghim bi n lun dng. Do ; 4;12x y l nghim duy nht ca h phng trnh.


3 3 2

2

3 2 3 6 2

1 1 2

y x y x x

x y y

iu kin : 1 1

0 2

x

y

Li gii

Phng trnh mt ca h cho c vit li thnh : 33 3 2 33 2 3 6 2 3 1 3 1y x y x x y y x x

n y th c th nhiu bn ngh n hm s. Nhng ch l cch thun tin nht ch khng phi duy nht v nhc im l hn ch i t duy ca hc sinh. Ti sao khng ngh n chuyn t n ph , l :

3 3 2 21

3 3 3 0a x

a a b b a b a ab bb y

V tt nhin ci phng trnh cn li v nghim bi bnh phng thiu th lun dng. Vi 1y x th xung 2pt th :


2 2

2

1 1 1 1 2 1 2 2 1 1

1 1 2 1 1 1 1 2 0 1

x x x x x x

x x x x x x x y

Vy h phng trnh cho c duy nht mt nghim ; 0;1x y .


3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9

1

2

x x x y y y

x y x y

iu kin : ,x y R

Li gii y chnh l cu h phng trnh khi A.2012 , cu m nm mnh ln lp 12 thi xong l ln mng ly lun gii th v cha bit s

dng hm s gii h phng trnh nn mnh gii bng cch thun ty lp 10 l t a x

b y

khi ta c

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9

1

2

a a a b b b

a b a b

. n y r rng l h phng trnh i xng tuy nhin n ch phc tp hn mt cht , ta s

gii nh sau : 2 1

2 22

pt a b a b ab v phng trnh mt c vit li thnh :

23 3

2 2

1 3 6 9 22 0

3 3 6 9 22 0

pt a b a b ab a b

a b a b ab a b ab a b

t u a b

v ab

ta s li c h mi nh sau :

2

3 2

2 2 4 1

3 3 6 9 22

u u v

u uv u v u

n y ta s i s dng phng php th

24 2 2 1v u u , d dng tm c : 22

2 2 2 41 0 24 3

a bu u u u

ab

nn d dng suy ra c tp nghim

ca h phng trnh l : 3 1 1 3

; ; , ;2 2 2 2

x y

. Cn bi ny B GD T gii theo hng hm s. Cc bn c th tham kho

p n. Thm ch bi h ny c th dng phng php lng gic ha .

Bi 11. Gii h phng trnh : 2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

iu kin : 3 4

5 2

x

y

Li gii

y l cu h khi A.2010. Trn mng xut hin nhiu li gii , vn y khng 1pt m nm 2pt , thi im y th y l mt cu h kh. Nhng mnh s phn tch hng nhn t phng trnh mt nh th no. Trc ht quan st th kh c th cho ta c g phng trnh hai c. Nn ta mong mun thu hoch c iu g phng trnh u. Phng trnh u cha cn thc nn ta

mun lm n gin ha n bng cch dng n ph. Nn t

255 2 0

2

zz y y

u c y v cn th ta s th vo phng

trnh mt c :

2

33 3 3 354 3 0 8 2 2 22

zx x z x x z z x x z z


n y th qu tuyt vi ri , mt l s dng hm s n iu hai l cch t n ph m mnh nu cc bi trc . Vn y l

khi bit 2 5 2x y th ta s lm tip nh th no. Nu th x xung th li xut hin cn chng cn , do ta s i th y vi

25 4

2

xy

thay xung phng trnh hai chng ta c :

2

2 2 54 2 2 3 4 72

x x x

Phng trnh ny m kh l to. Tn m 8 nhng khng kh chng ta nhm c nghim 1

2x nhng n c phi nghim duy nht hay

khng th cha bit. y l ln u mt dng h kh c a vo l khi c nhn t mt phng trnh th phng trnh cn li c nghim duy nht .

Vy ti y xt hm s : 2

2 2 54 2 2 3 4 72

f x x x x

, ta c :

2 25 4 4 4

' 8 8 2 4 4 3 0 0;2 33 4 3 4

f x x x x x x xx x

Do f x l hm s nghch bin trn 4

0;3

m 1 1

02 2

f x

l nghim duy nht ca phng trnh.

Vy h phng trnh cho c nghim duy nht l : 1

; ;22

x y

.


2 2 26 2 2 6

6 2 1 4 6 1

x x y x xy xy y

x x xy xy x

iu kin : 6 2 1x xy

Li gii

Thc ra bi trn mnh ch vi tng bi gc l : 2 21 1 1

6 2 1 4 6 1

x x y y

x x xy xy x

bi l tng phng trnh u quen

thuc nn khng mun gii thiu na. Quan st h ny th r rng s phn tch nhn t phng trnh mt ri nhng bi ton cng kh l r bi ta s nhm c cc h s nh 2 vi 2 ; 6 vi 6 v 1 vi 1. V th i theo hng ny xem ta c g :

2 2 26 2 2 6 6 2 0

6 2 1 06 2 1 0

x x y x xy xy y x x y xy x y x y

x yx y x xy

x xy

Hoc l kiu phn tch m mnh phn tch cc bi trc l : chn cc gi tr bt k ca y tm x nh sau : chn

0 0; 1 1; 2 2y x y x y x , iu chng t 1 . 0pt x y f x n y c th dng php chia a thc phn tch nhn t ca bi ton.

Vi x y th xung phng trnh hai chng ta c :

2 2

2 2 2 2

2

2 6 1 3252 6 1 4 6 1 2 6 1

2 4 2 6 1 2

x x xxx x x x x x x x

x x x

Hai phng trnh cui d dng gii c bng phng php bnh phng hai v cho ta hai cp nghim l :

3 11 3 11

; 1; 1 , ;2 2

x y

. Cn vi 6 2 1 0x xy th xung phng trnh hai chng ta c h phng trnh :

16 2 1 0 2 6 1

64 6 1 0 4 6 1

0

x xy xy x x

xy x xy xy


Vy h phng trnh cho c ba nghim l 1 3 11 3 11

; 1; 1 , ;0 , ;6 2 2

x y

.

Bi 13. Gii h phng trnh : 2 3

5 4 2.3

2 11 21 3 4 4 0

x y x y x y

x y y

iu kin : ,x y R

Li gii

Nhn xt phng trnh mt l phng trnh m c n t x y khi phng trnh tr thnh : 5 4 2.3t t t v khng kh chng

ta nhm c nghim 0t . V gii quyt n khng g khc ngoi phng php hm s nh sau :

5 45 4 2.3 2 0 0

3 3

t t

t t t t

S d phng trnh c nghim duy nht l do hm s 5 4

23 3

t t

f t

l hm s ng bin trn R. Vi x y ta c

2 23 32 11 21 3 4 4 0 2 11 21 3 4 4x x x x x x

Phng trnh trn c nghim duy nht 4x nn ta s x l nh sau :

33

22 2

3 8.8. 4 4 4 4 8 8 4 12 3 4 4 3

2 11 21 3 2 12 18 0 3 0 3

x x x x x

x x x x x x x

Vy h phng trnh cho c nghim duy nht ; 3; 3x y .


3 2 2

2 2 2

4 1 2 1 6

2 2 4 1 1

x y x x

x y y x x

iu kin : 0x

y R

Li gii

y l loi h phng trnh m hc sinh lun thch th khi lm n. phng trnh mt cho chng ta 0x nn t tin xt hm s

phng trnh hai nh sau : 2

22 2 2 1 1 12 2 4 1 1 2 2 2 1 1x y y x x y y yx x x

. Nhiu bn n y

s hi liu cch hm s ra c th gii bng n ph c khng. Tt nhin l c nhng nh gi vi cn thc khng h n gin cht no c.

Chng ta nn la chn tng phng php sao cho thun tin nht. Th y ta s xt hm s 2 1f t t t t c o hm

2

2

2' 1 1 0

1

tf t t

t

suy ra f t l hm ng bin trn TX. Do ta s c c : 2 1xy v th xung phng

trnh hai th :

3 2 3 2 3 24 2 1 6 2 1 6 0 1x y x x x x x x x x R rng l n c nghim duy nht 1x do hm s 3 22 1 6g x x x x x ng bin trn 0; oo .

Vy h phng trnh cho c nghim duy nht 1

; 1;2

x y

.


2 22 3 4 6 5

2 3 4 1 6

x y y x x y

x y

iu kin :

2

13

4

x

y

Li gii


Phn tch nhn t phng trnh u. Nh ni bng cch t n ph

2

2

2 0 2

33 0

a x x a

y bb y

ta s i lm n gin ha

phng trnh mt. u c x thay bng 2 2a tng t vi y ta s c :

4 4 2 2

2 2

0

1 0

a b b a a b a b a b a b

a b a b a b a b

Phng trnh cn li v nghim bi ,a b u dng. Vi a b tc 2 3 5x y y x th xung 2pt ta c :

2 3 21 4 6x x . Ni chung y l phng trnh ht sc cn bn v khng kh tm c 2x l nghim ca phng

trnh. Do vy ; 2;3x y l nghim duy nht ca h phng trnh.


3 2 3 2

2

9 26 18 6 11

5 4 7 2 1 4 4 0

x x x y y y

x x y x y

iu kin : 2

1 ; 4

4 7

x y

x y

Li gii Phng trnh mt c dng a thc bc 3. Thng thi ta s ngh ti hai dng l : ng cp bc ba hoc a v hm i din. Nhng trong

bi ton ny a v ng cp bc ba l khng th. Li tip tc vi php ton cho y x th y vi cc gi tr ca y bt k th ta lun

c : 1y x v hng i ca ta l i xt hm s ri nn mc ch khng g khc l a v dng 1f x f y . n y tng l r v bn VP phng trnh mt tn ti bin y c lp nn ta mong mun a bin 1x v dng hm s

3 26 11g y y y y . V ng tht l nh vy v :

33 2 3 29 26 18 1 6 1 11 1 6 11x x x x x x y y y

n y th ta s c c 1y x v ngi ta lun cho hm s 3 26 11f t t t t ng bin vi mi 0t . Khi th xung phng trnh hai chng ta c :

2

2

2

6 22 6 225 4 3 2 1 4 3

1 2 35 4 3

3 11 11 14

3 31 2 3 5 4 3

x xx x x x x

x xx x x

xx y

x x x x x

Vy h phng trnh cho c duy nht mt nghim l : 11 14

; ;3 3

x y

.


2 2

2

58 4 13

12 1

x y xyx y

xx y

iu kin : 0x y

Li gii

y l mt bi ton n ph kh sng to , h cho tr thnh :

2 2

2

55 3 13

11

x y x yx y

x y x yx y


t

22

2

1 55 10 5t x y t x y

x y x y

v u x y khi ta c h phng trnh :

2 2

22

1

15 3 23 2

1 5 3 1 23 5

4

u t

u tt u t

t u t tt

Vi 2 1t u ta c h phng trnh :

12 0

11

x y xx y

yx y

Vi 5 9

4 4t u

ta c h phng trnh :

1 5

4

9

4

x yx y

x y

suy ra h phng trnh v nghim.

Vy h phng trnh cho c duy nht mt nghim ; 0;1x y .


2 2 3

22 2

5 4 3 2 0

2

x y y x y x y

xy x y x y

iu kin : ,x y R

Li gii Bi ny kh l nh nhng v ta c th pht hin ra nhn t mt cch d dng phng trnh hai nh sau :

22 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

11 2 1

2

xy x y x y xy x y x y xy

xyx y xy xy

x y

Vi 1xy ta c h phng trnh :3

1

2 3 0

xy

x y y

suy ra h phng trnh v nghim.

Vi 2 2 2x y ta c h phng trnh :

2 22 22 2

2 2 3 2 22 2 3

222

5 4 35 4 3 22

x yx yx y

x yx y y x y x y x yx y y x y x y

x y

Vy nn h phng trnh cho c nghim l : 2 2 2 2 2 2

; 1;1 , 1; 1 , ; , ;5 5 5 5

x y

.


3

2 2 2

3 5 2

2 16 3 2 2 4

y y x x

x y y x x

iu kin : 2x

y R

Li gii

Phng trnh th nht ca h tng ng vi : 3

3

2

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Do h phng trnh cho c hai nghim l : ; 3 13; 5 13 , 3 13; 5 13x y .


2 2 6 3 3

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Li gii Mt bi ton kh l cng knh nh mnh ni thng nhng th g phc tp lun a v nhng ci n gin. Bi ny cng th. S dng nh gi bt ng thc ta s gii quyt nhanh gn bi ny.

2 222 3 3

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2 222 3 3 19 1 4 1 3

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Vy h phng trnh cho c duy nht mt nghim l ; 1;1x y .

P/s : y cng nh bao ti liu khc , c gii c mt cht phn tch hng i v r rng l vic sai st khng h trnh khi. nu c sai th mong bn c t khc phc gip mnh nh. Cn v 20 cu h phng trnh trn th chuyn mn mnh cn hn hp nn ngh g l vit nh th v tt nhin cc bi ton c nhiu li gii khc nhau , cc li gii trn l hon ton do mnh nhn v gii ra. Hi vng mi ngi c c mt ti liu hu ch trong ma h ny. Xin cm n.

Nguyn Th Duy

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