86029578 Cac Chuyen de Luyen Thi Dai Hoc

Convert by TVDT 1

Chuyên đề :Phương trình và bất phương trình đại số

Mét sè d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh thêng gÆp 1) HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: Çch tÝnh ®Þnh thøc 2) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1: HÖ kh«ng thay ®æi khi ta thay x bëi y vµ ngîc l¹i 3) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2: NÕu ®æi vai trß cña x vµ y th× ph¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph¬ng tr×nh kia vµ

ngîc l¹i 4) HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2: XÐt 2 trêng hîp, sau ®ã ®Æt x = ty 5) Mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c Çc vÝ dô VÝ dô 1. Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n

1) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 8

)1)(1(

22 yxyx

myxxy

a) Gi¶i hÖ khi m = 12 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm

2) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2 2 2

1 1

2

ax y

x y a

T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt

3) Cho hÖ ph¬ng tr×nh

2 2

2 2

1

3 2

x xy y

x xy y m T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm

4) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 222 6 ayx

ayx

a) Gi¶i hÖ khi a = 2 b) T×m GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ

5) Cho hÖ ph¬ng tr×nh ymx

xmy

2

2

)1(

)1( T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

6) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 22

22

xy

yx

7) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: myxxyyx

yx

1111

311

a) Gi¶i hÖ khi m = 6 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm

VÝ dô 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2

2

2

2

23

23

y

xx

x

yy

(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 TH2 chó : x>0, y> 0 suy ra v« nghiÖm

VÝ dô 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 358

152

33

22

yx

xyyx

www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com

Convert by TVDT 2

HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt S = 2x + y vµ P = 2x. y §s: (1, 3) vµ (3/2, 2)

VÝ dô 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

)2(1

)1(33

66

33

yx

yyxx

HD: tõ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hµm sè: tttf 33 trªn [-1;1] ¸p dông vµo ph¬ng tr×nh (1)

VÝ dô 5. CMR hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:

x

axy

y

ayx

22

22

2

2

HD: 2232 axx

yx; xÐt 232)( xxxf , lËp BBT suy ra KQ

VÝ dô 6. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 22

22

xy

yx

HD B×nh ph¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2

VÝ dô 7. )1(

)1(

2

2

xayxy

yaxxy x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ a = 8

VÝ dô 8. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: )2(5

)1(2010

2

2

yxy

xxy

HD: Rót ra yyy

yx

55 2

; C« si 525

yy

x ; 202x theo (1) 202x suy ra x, y

VÝ dô 9.

2

)1(3

yxyx

yxyx(KB 2002) HD: tõ (1) ®Æt c¨n nhá lµm nh©n tö chung (1;1) (3/2;1/2)

VÝ dô 10. ayx

ayx

3

21T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm

HD: Tõ (1) ®Æt 2,1 yvxu ®îc hÖ dèi xøng víi u, -v

ChØ ra hÖ cã nghiÖm th× ph¬ng tr×nh bËc hai t¬ng øng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

Bµi tËp ¸p dông

1) 495

5626

22

22

yxyx

yxyx

2) )(322

22

yxyx

yyxx KD 2003

3) 095

18)3)(2(

2

2

yxx

yxxx

4) 2

)(7

22

33

yxyx

yxyx HD: t¸ch thµnh nh©n tö 4 nghiÖm


Convert by TVDT 3

5) mxyx

yxy

26

12

2

2

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm

6) 19

2.)(

33

2

yx

yyx §Æt t = x/y HÖ pt cã 2 nghiÖm

7) 64

9)2)(2(

2 yxx

yxxx §Æt X = x(x + 2) vµ Y = 2x + y

8) 2 2 2 2

2 (1)

4

x y x y

x y x y HD: §æi biÕn theo v, u tõ ph¬ng tr×nh (1)

9) 22

333

6

191

xxyy

xyx HD: §Æt x = 1/z thay vµo ®îc hÖ y, z §S ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)

10)

12

11

3xy

yy

xx

(KA 2003)

HD: x = y V xy = - 1

CM 024 xx v« nghiÖm b»ng çch t¸ch hµm sè kq: 3 nghiÖm

11) axy

ayx

2

2

)1(

)1( x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ

12)

3

322

xyyx

x

y

y

x

HD b×nh ph¬ng 2 vÕ

13)

78

17

xyyxyx

xyx

y

y

x

HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi xy

§2. Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ph¬ng tr×nh ®¹i sè Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh thêng gÆp 1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai

§Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p hµm sè

2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

2 2

0

( 0)

A B A B

A BA B B

A B

A B B A B B

3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc Mét sè vÝ dô

VÝ dô 1. T×m m ®Ó mxxxx )64)(3)(1( 2 nghiÖm ®óng víi mäi x


Convert by TVDT 4

HD: sö dông hµm sè hoÆc tam thøc: m ≤ - 2

VÝ dô 2. T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm 2)1(2

2

ayxxy

yx

HD: 2 2

2 (1)

( 1) ( 2) 1 (2)

x y

x y a

TH1: a + 1 ≤ 0 HÖ v« nghiÖm TH2: a + 1>0. VÏ ®å thÞ (2) lµ ®êng trßn cßn (1) lµ miÒn g¹ch chÐo: a ≥ - 1/2 VÝ dô 3. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau

1) 014168 2 xxx

2) xxx 2114 : x = 0

3) 510932)2(2 22 xxxxx

4) 211 22 xxxx HD: TÝch 2 nh©n tö b»ng 1 suy ra çch gi¶i

5) 023)3( 22 xxxx KD 2002

VÝ dô 4. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm 012

0910

2

2

mxx

xx §S: m≥4

VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2212 xxx

HD + / Nh©n 2 vÕ víi biÓu thøc liªn hîp cña VT + / BiÕn ®æi vÒ BPT tÝch chó ý §K

VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 72

12

2

33

xx

xx

HD §Æt 2,2

1t

xxt , AD B§T c« si suy ra §K

VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 4)11( 2

2

xx

x

HD: + / XÐt 2 trêng hîp chó y DK x> = - 1 + / Trong trêng hîp x ≥ 4, tiÕn hµnh nh©n vµ chia cho biÓu thøc liªn hîp ë mÉu ë VT

VÝ dô 8. Cho ph¬ng tr×nh: mxxxx 99 2 . T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

HD: + / B×nh ph¬ng 2 vÕ chó ý §K + / §Æt t = tÝch 2 c¨n thøc, T×m §K cña t + / Sö dông BBT suy ra KQ

VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (KA 2004) : 3

73

3

)16(2 2

x

xx

x

x

Bµi tËp ¸p dông

1) 0

1222

ayx

xyx T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m nghiÖm duy nhÊt ®ã.

§S a = - 1 vµ a = 3

2) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: mxx 41624

3) 16212244 2xxxx

4) 12312 xxx


Convert by TVDT 5

5) 1212)1(2 22 xxxxx HD: §Æt 122 xxt , coi lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t

6) 22)2()1( xxxxx

7) 2

31)2(12

xxxxx

8) Cho ph¬ng tr×nh: mxxxx 444

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 6 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

9) 11

251 2

x

xx

10) 0232432 xxx

11) T×m a ®Ó víi mäi x: 32)2()( 2 axxxf §S a≥ 4 ; a≤ 0

Chuyªn ®Ò 3: Lîng gi¸c

§1. Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

Çc c«ng thøc biÕn ®æi lîng gi¸c

Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n Ph¬ng tr×nh bËc 2, bËc 3 theo mét hµm sè lîng gi¸c Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt víi sinx, cosx: asinx + bcosx = c Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 víi sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0 Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 víi sinx, cosx: a. sin3x + b. sin2x. cosx +

c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0 a. sin3x + b. sin2x. cosx +

c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0

Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0 Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi tgx, cotgx Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi sin2nx, cos2nx Çc vÝ dô

VÝ dô 1. 2.cos 4

cot tansin 2

xx x

x HD: ®Æt §K x = ± /3 + k.

VÝ dô 2. )1(sin2

1

3

2cos

3cos 22 xxx

HD: Sö dông c«ng thøc h¹ bËc xx sin3

cos).2cos(.21 §S 3 hä nghiÖm

VÝ dô 3. 2sin

2sin

2sin

sin2

2

2

2

x

x

x

x HD: Nhãm, nh©n lªn vµ t¸ch 2 thµnh 2 nhãm

VÝ dô 4. 3 3sin .sin3 cos .cos3 1

8tan .tan

6 3

x x x x

x x

HD: §Æt §K rót gän MS = 1; AD c«ng thøc nh©n 3; §S x = - /6 + k VÝ dô 5. 3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x

HD: BiÕn ®æi theo sin vµ cos ®îc 0)cos21(sin)cos21(cos.3 22 xxxx §S x = ± /3 + k


Convert by TVDT 6

VÝ dô 6.

3.tan 6sin 2sin( )2

tan 2sin 6sin( )2

yx y x

yx y x

HD: nh©n (1) víi (2) rót gän 2 2tan 4sin2

yy ®Æt 2tan

2

yt ; t = 0, 3t

VÝ dô 7. xxxxxx cos13sin.2

1sin.4cos2sin.3cos HD: B§ tÝch thµnh tæng rót gän

VÝ dô 8. 2

15cos4cos3cos2coscos xxxxx

HD: nh©n 2 vÕ víi 2. sin(x/2) chó y xet trêng hîp b»ng 0

NX: Trong bµi to¸n chøa tæng cos cos 2 .. cos

sin sin 2 .. sin

T x x nx

T x x nx thùc hiÖn rót gän b»ng çch trªn

VÝ dô 9. 2 2tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x HD: B§ sau ®ã ®Æt t = tg(x/2)

VÝ dô 10. 29 sincos

2

log 4.log. 2 4x

x HD: 4

)(sinlog

2log.2.log2

2

sin

sinsin

xx

xx

§2. Gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt, ph¬ng tr×nh cã tham sè


Ph¬ng ph¸p hµm sè: Bµi to¸n Max, Min trªn 1 kho¶ng vµ mét ®o¹n. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc, nhËn xÐt ®¸nh gi¸. Çc vÝ dô

VÝ dô 1. T×m GTLN, GTNN: xx

xxy

24

24

cos2sin.3

sin4cos.3

HD: t = cos2x, t×m Max, Min trªn 1 ®o¹n M = 8/5 m = 4/3

VÝ dô 2. Cho ph¬ng tr×nh: tgxxmx 1cos.2cos 2

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1

2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖn thuéc ®o¹n [0; /3]

HD: t = tgx, 0; 3t ; LËp BBT f(t) §S: 1;31)31(m

VÝ dô 3. : T×m GTLN, GTNN: xxy 2cossin.2 48

HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 t×m Max, Min trªn 1 ®o¹n 33, )1(80 tttf §S:M = 3, m = 1/27

VÝ dô 4. T×m GTLN, GTNN: 1cos.sinsincos 44 xxxxy

VÝ dô 5. Cho ph¬ng tr×nh: 02sin24cos)cos.(sin2 44 mxxxx

T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖn thuéc ®o¹n [0; /2] §S: [ -10/3; -2]

VÝ dô 6. Cho ph¬ng tr×nh 3cos2sin

1cossin2

xx

xxa

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a = 1/3 2) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm HD: §a vÒ d¹ng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 §S [ -1/2, 2]

VÝ dô 7. T×m nghiÖm cña pt sau trong kho¶ng (0, ) : 4

3cos212cos.3

2sin4 22 xx

x

Bµi tËp ¸p dông


Convert by TVDT 7

1) 2

13sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx

2) 2cos.3sincos.3sin xxxx

3) 2 25 33sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0

2 2 2x x x x

4) x

xx

xcos

13cos.2

sin

13sin.2

5) 2

1 cos 21 cot 2

sin 2

xx

x HD: Chó ý §K §S: x = - /4 + k /2

6) 2cos2 cos (2.tan 1) 2x x x

7) 03cos2cos84cos3 26 xx

8) 11cos2

3sin42

sin2cos)32( 2

x

xx

x

9) 02cos2sincossin1 xxxx

Mét sè ®Ò thi tõ n¨m 2002

1) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng 0;2 cña ph¬ng tr×nh 32cos2sin21

3sin3cossin5 x

x

xxx KA 2002

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2

4

4

(2 sin 2 )sin31 tan

cos

x xx

x (DB 2002)

3) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng 0;2 cña ph¬ng tr×nh 2

cot 2 tan 4sin 2sin 2

x x xx

KB 2003

4) T×m x nghiÖm ®óng thuéc kho¶ng 0;14 cña ph¬ng tr×nh cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x KB 2003

5) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh 4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n

0;2

(DB 2002)

6) Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 4sin cos 1 1

cot 25sin 2 2 8sin 2

x xx

x x (DB 2002)

7) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2tan cos cos sin 1 tan .tan2

xx x x x x (DB 2002)

8) Cho ph¬ng tr×nh 2sin cos 1

(1)sin 2cos 3

x xa

x x

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) khi 1

3a

b) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

9) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2

1sin

8cosx

x (DB 2002)

10) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos2 1cot 1 sin sin 2

1 tan 2

xx x x

x (KA 2003)

11) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x (DBKA 2003)

12) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos 2 cos 2 tan 1 2x x x (DBKA 2003)


Convert by TVDT 8

13) Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 23cos4 8cos 2cos 3 0x x x (DBKB 2003)

14) Gi¶i ph¬ng tr×nh

22 3 cos 2sin2 4

12cos 1

xx

x (DBKB 2003)

15) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2sin .tan cos 02 4 2

x xx (KD 2003)

16) Gi¶i ph¬ng tr×nh

2cos cos 12 1 sin

cos sin

x xx

x x (DBKD 2003)

17) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin 4

cot tansin 2

xx x

x (DBKD 2003)

18) Gi¶i ph¬ng tr×nh 25sin 2 3 1 sin tanx x x (KB 2004)

19) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x (KB 2004)

Chuyªn ®Ò 4: Mò & L«garit

§1. Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh Mò l«garit


Çc c«ng thøc vÒ mò vµ l«garit. Giíi thiÖu mét sè ph¬ng tr×nh c¬ b¶n.

Khi gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ logarit chó §K. Çc vÝ dô

VÝ dô 1. Cho ph¬ng tr×nh: 0121loglog 2

3

2

3 mxx

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 2

2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc 33;1 HD: m [0;2]

VÝ dô 2. 4loglog2

5)(log

24

22

2

yx

yx ®s (4, 4)

VÝ dô 3. )4(log)1(log4

1)3(log

2

12

8

42xxx HD: §K x>0 Vµ x≠1; §S x = 2, 332x

VÝ dô 4. xxxx 3535 log.loglog.log HD: §æi c¬ sè §S: x = 1 vµ x = 15

VÝ dô 5. 633

)(39

22

3log)(log 22

xyyx

xyxy

VÝ dô 6. xx )1(log32

HD: §K x> - 1 TH1: - 1<x ≤ 0 ph¬ng tr×nh vn

TH2: x>0, ®Æt y = log3(x + 1) Suy ra 13

1

3

2yy

VÝ dô 7. 32

2

2 231

log xxx

x HD: VP ≤ 1 víi x>0, BBT VT ≥ 1 ; C«si trong l«gagrit §S x = 1

VÝ dô 8. y

yy

x

xx

x

22

24

452

1

23

§S (0, 1) (2, 4)


Convert by TVDT 9

VÝ dô 9. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thuéc [32, + ) : 3log3loglog 2

4

2

2

1

2

2 xmxx

HD: t > = 5; 31

1

31

1,0

2

2 mt

m

m

mm

VÝ dô 10. 322

loglog

yx

xy yxy

HD §K x, y>0 vµ kh¸c 1; B§ (1) ®îc TH1: y = x thay vµo (2) cã nghiÖm

TH2: 2

1

yx thay vµo (2) CM v« nghiÖm chia thµnh 2 miÒn y>1 vµ 0<y<1

§2. BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh Mò l«garit


Giíi thiÖu mét sè bÊt ph¬ng tr×nh vÒ mò vµ logarit

Chó y §K Çc vÝ dô

VÝ dô 1. T×m k ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 1)1(log

3

1log

2

1

031

3

2

2

2

3

xx

kxx

HD: §K x>1; Gi¶i (2) 1<x ≤2; BBT3 3

1 x

f x x §S: k > - 5

VÝ dô 2. 06log)1(log2log 2

4

1

2

1 xx

VÝ dô 3. xx

xx22 log

2

3log

2

1

.2.2 HD: LÊy logarit 2 vÕ theo c¬ sè 2

VÝ dô 4. 1))279.((loglog 3

x

x

VÝ dô 5. 2

2

4

log log ( 2 ) 0x x x

VÝ dô 6. 06log)52(log)1(2

1

2

2

1 xxxx

HD: §Æt t = log x , coi BPT ®· cho lµ Bpt bËc 2 Èn t; Chó ý so s¸nh 2 trêng hîp t1, t2

§S (0;2] v (x≥ 4)

VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh xx

x22 log

2

3log

2

1

22


)3(log)3(log 3

3

1

2

2

1

x

xx


4 2

1 1

log ( 3 ) log (3 1)x x x

Bµi tËp ¸p dông

1) xx

xx

2

3

323 log2

1

3loglog.

3log


Convert by TVDT 10

2) )112(log.loglog2 33

2

9 xxx

3) 33

129

2

2

2

2

xx

xx

4) 0loglog

034

24 xx

yx§K x, y≥ 1 §S: (1, 1) (9, 3)

5) 3)532(log

3)532(log

23

23

xyyy

yxxx

y

x

6)

25

1)1

(log)(log

22

4

4

1

xy

yxy

KA 2004 §S: (3; 4)

7) 6)22(log).12(log 1

22

xx §S x = log23

8) T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:

0)1(

1)32(

2

4

32log

25,0

axax

xx x

x

HD: a>3/2

9) 3log log (9 6) 1x

x

10) Gi¶i ph¬ng tr×nh )2(log)12(log 2

2

2

3 xxxx

11) yx

xyyx

xyx 1

22

22

12) 06)(8

13).(4

4

4

4

yx

xy

yx

yx

13) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 0loglog42

1

2

2 mxx cã nghiÖm thuéc kho¶ng (0;1)

Chuyªn ®Ò 5. TÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ øng dông

§1. Ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n I. TÝch ph©n çc hµm sè h÷u tØ

VÝ dô : TÝnh çc tÝch ph©n sau

1) ;23

B ;)1(

.0

1

2

3

2

9

2

xx

dx

x

dxxA

2) ;)1(

B ;1

.22(4

2

10

32

1

3

2

x

dxx

x

dxxxA

3)

;)1()3(

B

;65

).116102(

1

0

22

1

1

2

23

xx

dx

xx

dxxxxA

4) ;23

)47(B ;

65

).63(0

1

3

1

1

23

23

xx

dxx

xxx

dxxxxA

5) ;34

B ;2

2

1

24

2

1

23 xx

dx

xxx

dxA

6) ;)4(

.B ;

).14(1

0

28

32

1

34

23

x

dxx

xx

dxxxxA

7) ;)1.(

).1(B ;

)1(

3

1

4

42

1

26 xx

dxx

xx

dxA

8) 1

0

22

24

3

36

5

;)1)(2(

1322B ;

2

3

3

dxxx

xx

xx

dxxA


Convert by TVDT 11

Bµi tËp

1) (C§SP HN 2000):

3

0

2

2

.1

23dx

x

xI

2) (§HNL TPHCM 1995)

1

0

2 65xx

dxI

3) (§HKT TPHCM 1994)

1

0

3.

)21(dx

x

xI

4) (§HNT HN 2000) 1

0

2

23

92

).1102(

xx

dxxxxI

5) (§HSP TPHCM 2000)

1

0

2 65

).114(

xx

dxxI

6) (§HXD HN 2000)

1

0

3 1

.3

x

dxI

7) (§H M§C 1995 )

1

0

24 34xx

dxI

8) (§HQG HN 1995). X¸c ®Þnh çc h»ng sè A,B,C ®Ó

21)1(23

33323

2

x

C

x

B

x

A

xx

xx TÝnh

dxxx

xxI .

23

3333

2

9) (§HTM 1995)

1

0

2

5

1

.

x

dxxI

10) (§H Th¸i Nguyªn 1997)

xx

dxxI

x

1 t: HD

1

).1(2

1

4

2

11) X¸c ®Þnh çc h»ng sè A,B ®Ó

1)1()1(

222 x

B

x

A

x

x TÝnh

dxx

xI .

)1(

)2(3

2

2

12) Cho hµm sè 32 )1()1(

)(xx

xxf

a) §Þnh çc hÖ sè A,B,C,D,E sao cho

11)2)(1()(

2

2

x

dxE

x

dxD

xx

CBxAxdxxf

b) TÝnh

3

2

)( dxxf

II TÝch ph©n çc hµm sè lîng gi¸c

VÝ dô : TÝnh çc tÝch ph©n sau

1) 32

2

0

6

tan .; B

1 sin cos cos sin .cos

dx x dxA

x x x x x

2) 3 4 3

0

6

tan .; B ( cos sin ).

cos 2

x dxA x x dx

x

3) dxxxx

dxxxA .2cos.sinB ;

cos1

)sin( 22

0

24

0

4) ;sin1

.cos.2

0

2 x

dxxxA

Bµi tËp 1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh :

2

0

4

2

0

4 1cos

.2sinJ va;

sin1

.2sin

x

dxx

x

dxxI

2) (§HSP TPHCM 1995)

Cho xx

xxf

cossin

sin)(

a) T×m A,B sao cho

xx

xxBAxf

sincos

sincos)(

b) TÝnh 3

0

).( dxxfI

3) (§HGTVT TPHCM 1999)


Convert by TVDT 12

a) CMR 2

0

44

42

0

44

4

sincos

.sin

sincos

.cos

xx

dxx

xx

dxx

b) TÝnh 2

0

44

4

sincos

.cos

xx

dxxI

4) (§HTS 1999) TÝnh :

2

0

2 .)cos1.(cos.sin dxxxxI

5) (§HTM HN 1995) TÝnh 4

0

4cos x

dxI

6) (HVKTQS 1999):TÝnh4

0

4

3

cos1

.sin.4

x

dxxI

7) (§HNN1 HN Khèi B 1998) 2

0cos1

.2cos

x

dxxI

8) (§HQGHN Khèi A 1997) 2

0

2

3

cos1

.sin

x

dxxI

9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh

2

6

.cossin

.2cos2sin1dx

xx

xxI

10) (§HQG TPHCM 1998) 2

0

23 .sin.cos dxxxI

11) (HVNH TPHCM 2000) 4

0

2cos1

.4sin

x

dxxI

12) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè

2)sin2(

2sin)(

x

xxh

a) T×m A,B ®Ó x

xB

x

xAxh

sin2

cos.

)sin2(

cos.)(

2

b) TÝnh

0

2

).( dxxhI

13) (§HBK HN 1998)

2

0

44 ).sin.(cos2cos dxxxxI

14) (HVNH TPHCM 2000) 3

0

2cos

).sin(

x

dxxxI

III. TÝch ph©n çc hµm sè v« tØ

VÝ dô : TÝnh çc tÝch ph©n sau :

1) a

adxxaxdxxxA

2

0

2

1

0

815 )0(.2.B ;.31.

2) 4

10

222 )0( )1(

B ;.. axx

dxdxxaxA

a

3) 2

1

0

12 )2)(1(

B ;1 xx

dx

xx

dxA

4) 0

1

1

2

12

2

24B ;

.1

xx

dx

x

dxxA

5) 22

0

2

2

12

.1B ;1.

dxxxxx

dxA

6) 2

7

03

1

04 3 12

B ;1 x

dx

x

dxxA

7) 3

02

3

8 112

)21((*)B ;

1 xxx

dxx

xx

dxA

8) ;11

1(*)

0

1

3

x

dx

x

xA

9) 0

1

2

1

0

2 .22B ;4 dxxxdxxA

10) 1

2

12

22

1

2

.1

B ;1

dxx

xdx

x

xA

Bµi tËp


Convert by TVDT 13

1) (HVNH THCM 2000)

1

02

3

1

.

xx

dxxI

2) (§H BKHN 1995)

2

3

22 1. xx

dxI

3) (HVKTQS 1998)

1

12 11 xx

dxI

4) (§HAN 1999)

4

72 9. xx

dxI

5) (§HQG HN 1998)

1

0

23 .1. dxxxI

6) (§HSP2 HN 2000)

2

13 1. xx

dxI

7) (§HXD HN 1996)

1

0

2

1

).1(

x

dxxI

8) (§HTM 1997)

7

03 2

3

1

.

x

dxxI

9) (§HQG TPHCM 1998)

1

0 12

.

x

dxxI

IV. Mét sè d¹ng tÝch ph©n ®Æc biÖt

VÝ dô1 :TÝnh çc tÝch ph©n sau :

1) 6

0

4

0cossin

cosB

cossin

sin

xx

xdx

xx

xdxA 2) dxxx

ee

dxeA

xx

x

.2cos.cosB . 4

0

2

1

0

VÝ dô2 :TÝnh çc tÝch ph©n sau

1) 1

1

35 .B ;.2cos2

dxexdxxxA x

2) 2

2

32

1

2

1

2 .cos1

sinB ;.

1

1ln. dx

x

xdx

x

xxA

VÝ dô 3 :TÝnh çc tÝch ph©n sau

1) 2

0

20042004

20042

0

4.

sincos

cosB ;.

sin1

2sindx

xx

xdx

x

xA

2) 0

2

0

2.

cos1

sin.B ;.

cos3

sin.dx

x

xxdx

x

xxA

Bµi tËp

1) (§HPCCC 2000) TÝnh

1

1

2

.21

1dx

xI

x

2) (§HGT 2000 )TÝnh 2

2

2.

sin4

cosdx

x

xxI

3) (§HQG HN 1994) TÝnh 0

3 .sin. dxxxI

4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh dxx

Ix

.13

sin 2

5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh

1

1

4

.21

dxx

Ix

§2. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh


Néi dung çc bµi to¸n vÒ diÖn tÝch h×nh ph¼ng: 3 bµi to¸n c¬ b¶n.

Bµi to¸n vÒ thÓ tÝch trßn xoay.

Çc vÝ dô Bµi 1. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc ox cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi

trôc ox vµ ®êng )0(sin2 xxy .

Bµi 2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®êng: 3,342 xyxxy .


Convert by TVDT 14

Bµi 3. TÝnh diÖn tÝc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®êng: 24

,4

422 x

yx

y .

Bµi 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) y2 = 16x vµ çc tiÕp tuyÕn t¹i A(1;4) B(4; - 8).

Bµi 1 DiÖn tÝch ph¼ng

1) (§HBKHN 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 2

x0; x va0y ;cos.sin 32 xxy

2) (§HTCKT 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1 x vay ; xx eey

3) (HVBCVT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 2

x0; x va12

1y ;2

3sin21 2 xx

y

4) (HVBCVT 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi xxxy 3y ;22

5) (§HTM 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 22 x; yxy

6) (§HKT 1994) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi xxxy 3y ;342

7) (§HC§ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi x

8y va

8y ;

22 x

xy

8) (§HSP1 HN 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 5y ;12 xxy

9) (§HKTQD 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi h×nh phÝa díi (P) : y=ax2 (a>0) vµ trªn y=ax+2a

10) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 34:)( 2 xxyP vµ 2 tiÕp tuyÕn t¹i çc ®iÓm A(0;-3) vµ B(3;0)

11) (§H HuÕ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1 x vay ;)1( 5 xexxy

12) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 4

0 Oy voi trucx vacosy ;sin 33 xxy

13) (HVQY 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 342:(C) ;0 23 xxxyy vµ tiÕp tuyÕn víi ®êng

cong (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x=2

14) (§HKT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1

44x

xy (C ) vµ Ox, hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=1;

x=-1 *****Mét sè bµi tham kh¶o************

1) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2:)( xyC trôc Ox vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=2

2) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2.2

1:)( 2xyC trôc Ox vµ 2 ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=1 vµ

x=3

3) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2:)( xyC trôc Ox vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=2, y=x

4) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ xyP 2:)( 2 vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh y=2x-2

5) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2

2

2

1 31:)(P va2:)( yxyxP

Bµi 2 ThÓ tÝch cña çc vËt thÓ

1) (§HNN1 HN 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 0;3

;0; yxxtgxyD

a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D

b) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D quay quanh Ox 2) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh giíi h¹n bëi trôc Ox vµ (P)

y=x2-ax (a>0) 3) (§HXD 1997) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoaydo h×nh ph¼ng exxyxxyS ;1;0;ln.

4) (§HY 1999) TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay sinh ra bëi 1:)(2

2

2

2

b

y

a

xE khi nã quay quanh Ox


Convert by TVDT 15

5) (§HTS TPHCM 2000): Cho h×nh ph¼ng G giíi h¹n bëi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay h×nh ph¼ng (G) quanh Ox ta ®îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy

6) (HVQY 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi xyxyD ;2 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D

quay quanh trôc Ox

7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch do D quay quanh Ox xxxxyyD ;2

;sincos1;0 44

8) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh ph¼ng S giíi h¹n bëi çc ®êng

y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 )

9) (§HXD 1998) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o bëi h×nh 1164

)4(:)(

22 yxE quay quanh trôc Oy

10) (§HNN1 1999): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 2

;1

1 2

2

xy

xyD

a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D b) TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox

11) (§HKT 1996) : Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi xyxyD 4;)4( 232

a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D b) TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox

12) (§HPCCC 2000): Cho hµm sè 2)1.(:)( xxyC

a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ 0(0,0) ®Õn (C) c) TÝnh thÓ tÝch giíi h¹n bëi (C) quay quanh Ox

13) Cho miÒn (H) giíi h¹n bëi ®êng cong y=sinx vµ ®o¹n 0≤ x ≤ cña trôc Ox . TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay khi (H) quay quanh a) Trôc Ox b) Trôc Oy

Chuyªn ®Ò 6: §¹i sè tæ hîp - NhÞ thøc newt¬n

§1. Mét sè Bµi to¸n ¸p dông quy t¾c nh©n, céng,

ho¸n vÞ, tæ hîp, chØnh hîp 1.1 Çc bµi to¸n chän sè:

* VÝ dô 1: Tõ çc ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc: a/ Bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. b/ Bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. c/ Bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã ph¶i cã mÆt cña sè 5. * VÝ dô 2: Víi çc ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶: a/ Gåm 8 ch÷ sè tõ çc sè trªn. b/ Gåm 8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt 3 lÇn cßn çc ch÷ sè kh¸c cã mÆt ®óng 1 lÇn. * VÝ dô 3: Víi çc ch÷ sè 1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã cã hai ch÷ sè 1 vµ 2 kh«ng ®øng c¹nh nhau. * VÝ dô 4:Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : a/ Sè ®ã chia hÕt cho 5. b/ Trong çc ch÷ sè ®ã cã mÆt cña ch÷ sè 0 vµ 1. c/ Nhá h¬n 600000. * VÝ dô 5: XÐt çc ho¸n vÞ cña 6 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6. TÝnh tæng S cña tÊt c¶ çc sè t¹o thµnh bëi çc ho¸n vÞ nµy. * VÝ dô 6: Tõ çc ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ trong ®ã tæng cña 3 ch÷ sè ®Çu nhá h¬n tæng cña 3 ch÷ sè cuèi 1 ®¬n vÞ.


Convert by TVDT 16

Bµi tËp

* Bµi 1: Tõ çc ch÷ sè 1,2,5,6,7,8 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau tõ 5 ch÷ sè trªn sao cho: a/ Sè t¹o thµnh lµ mét sè ch½n. b/ Sè t¹o thµnh kh«ng cã mÆt cña ch÷ sè 7. c/ Sè t¹o thµnh ph¶i cã mÆt cña ch÷ sè 1 vµ 5. d/ Sè t¹o thµnh nhá h¬n 278. *Bµi 2: Cho 8 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7. a/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. b/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. c/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 3 gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau .

*Bµi 3: Cho tËp A 1,2,3,4,5,6,7,8

a/ Cã bao nhiªu tËp con X cña A tho¶ ®iÒu kiÖn chøa 1 vµ kh«ng chøa 2. b/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A vµ kh«ng b¾t ®Çu bëi sè 123.

*Bµi 4: Cho tËp A 0,1,2,3,4,5,6,7 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A sao

cho: a/ Sè t¹o thµnh lµ mét sè ch½n. b/ Mét trong 3 ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i b»ng 1. *Bµi 5: XÐt nh÷ng sè gåm 9 ch÷ sè, trong ®ã cã 5 ch÷ sè 1 vµ 4 ch÷ sè cßn l¹i chän tõ 2,3,4,5. Hái cã bao nhiªu sè nh vËy nÕu a/ 5 ch÷ sè 1 xÕp kÒ nhau. b/ Çc ch÷ sè ®îc xÕp tuú ý. *Bµi 6: Cho 7 ch÷ sè 0,2,4,5,6,8,9. a/ Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lËp tõ çc sè trªn. b/ Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã ch÷ sè 5.

*Bµi 7: Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 7 ch÷ sè 1 2 7

a a ...a tho¶ çc ®iÒu

kiÖn ch÷ sè 3

a lµ sè ch½n , 7

a kh«ng chia hÕt cho 5, çc ch÷ sè 4 5 6

a ;a ;a ®«i mét kh¸c nhau.

*Bµi 8: Víi çc ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 ta cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè : a/ Gåm 8 ch÷ sè, trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt 3 lÇn, çc ch÷ sè kh¸c cã mÆt 1 lÇn. b/ Gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ ch÷ sè 2 ®øng c¹nh ch÷ sè 3. *Bµi 9: Ta viÕt çc sè cã 6 ch÷ sè b»ng çc ch÷ sè 1,2,3,4,5 . Trong ®ã mçi sè ®îc viÕt cã mét ch÷ sè ®îc xuÊt hiÖn 2 lÇn cßn çc ch÷ sè cßn l¹i xuÊt hiÖn 1 lÇn. Hái cã bao nhiªu sè nh vËy. * Bµi 10: Cho 7 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7. XÐt tËp E gåm 7 ch÷ sè kh¸c nhau viÕt tõ çc ch÷ sè ®· cho. Chøng minh r»ng tæng S cña tÊt c¶ çc sè cña tËp E chia hÕt cho 9. 1.2 Çc bµi to¸n chän çc ®èi tîng thùc tÕ:

D¹ng 1: T×m sè çch chän çc ®èi tîng tho¶ ®iÒu kiÖn cho tríc.

* VÝ dô 1: Cã 3 b«ng hång vµng, 3 b«ng hång tr¾ng vµ 4 b«ng hång ®á ( çc b«ng hoa xem nh ®«i 1 kh¸c nhau) ngêi ta muèn chän ra mét bã hoa gåm 7 b«ng. a/ Cã bao nhiªu çch chän çc b«ng hoa ®îc chän tuú ý. b/ Cã bao nhiªu çch chän sao cho cã ®óng 1 b«ng mµu ®á. c/ Cã bao nhiªu çch chän sao cho cã Ýt nhÊt 3 b«ng hång vµng vµ Ýt nhÊt 3 b«ng hång ®á. * VÝ dô 2: Mét cuéc khiªu vò cã 10 nam vµ 6 n÷, ngêi ta chän cã thø tù 3 nam vµ 3 n÷ ®Ó ghÐp thµnh 3 cÆp. Hái cã bao nhiªu çch chän. * VÝ dô 3: Mét líp häc cã 30 häc sinh trong ®ã cã 3 çn sù líp.Çn chän 3 em trong 30 häc sinh trªn ®i trùc tuÇn sao cho trong 3 em ®îc chän lu«n cã 1 çn sù líp. Hái cã bao nhiªu çch chän. * VÝ dô 4:Mét trêng tiÓu häc cã 50 häc sinh tiªn tiÕn, trong ®ã cã 4 c¹p anh em sinh ®«i. Ngêi ta cÇn chän 3 häc sinh trong 50 häc sinh trªn ®i dù héi tr¹i cÊp thµnh phè sao cho kh«ng cã cÆp anh em sinh ®«i nµo ®îc chän. Hái cã bao nhiªu çch chän. * VÝ dô 5:Trong mét m«n häc, gi¸o viªn cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u khã , 10 c©u trung b×nh vµ 15 c©u hái dÔ. Tõ 30 c©u hái ®ã cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra, mçi ®Ò gåm 5 c©u hái kh¸c nhau, sao cho trong mçi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã ®ñ 3 lo¹i c©u (khã, trung b×nh vµ dÔ) ®ång thêi sè c©u dÔ kh«ng Ýt h¬n 2.


Convert by TVDT 17

* VÝ dô 6: Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu H cã 20 c¹nh. XÐt çc tam gi¸c cã 3 ®Ønh ®îc lÊy tõ çc ®Ønh cña H. a/ Cã bao nhiªu tam gi¸c nh vËy. b/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 2 c¹nh lµ c¹nh cña H. c/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 1 c¹nh lµ c¹nh cña H. d/ Cã bao nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña H.

D¹ng 2: XÕp vÞ trÝ çc ®èi tîng tho¶ ®iÒu kiÖn cho tríc.

* VÝ dô 7: Cã bao nhiªu çch xÕp 5 b¹n A,B,C,D,E vµo mét ghÕ dµi sao cho a/ B¹n C ngåi chÝnh gi÷a. b/ B¹n A vµ E ngåi hai ®Çu ghÕ. * VÝ dô 8: Trong mét phßng häc cã 2 d·y bµn dµi, mçi d·y cã 5 chç ngåi. Ngêi ta muèn xÕp chç ngåi cho 10 häc sinh gåm 5 nam vµ 5 n÷. Hái cã bao nhiªu çch xÕp nÕu: a/ Çc häc sinh ngåi tuú ý. b/ Çc häc sinh nam ngåi mét bµn vµ n÷ ngåi mét bµn. * VÝ dô 9: Mét héi nghÞ bµn trßn cã 4 ph¸i ®oµn çc níc : ViÖt Nam 3 ngêi, Lµo 5 ngêi, Th¸i Lan 3 ngêi vµ Trung Quèc 4 ngêi. Hái cã bao nhiªu çch xÕp chç ngåi cho mäi thµnh viªn sao cho ngêi cïng quèc tÞch th× ngåi gÇn nhau. * VÝ dô 10: Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 4 ghÕ. Ngêi ta muèn s¾p xÕp chç ngåi cho 4 häc sinh trêng A vµ 4 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn . Hái cã bao nhiªu çch xÕp trong mçi trêng hîp sau: a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.

Bµi tËp

* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 nam vµ 15 n÷. Cã bao nhiªu çch chän 4 häc sinh sao cho : a/ Sè häc sinh nam hoÆc n÷ lµ tuú ý. b/ Ph¶i cã 2 nam vµ 2 n÷. c/ Ph¶i cã Ýt nhÊt 1 n÷. d/ Sè häc sinh nam kh«ng vît qu¸ 2. * Bµi 2: Mét líp häc cã 40 häc sinh cÇn cö ra 1 ban çn sù gåm 1 líp trëng, 1 líp phã vµ 3 uû viªn . Hái cã mÊy çch lËp ra ban çn sù líp. * Bµi 3: Gia ®×nh «ng A cã 11 ngêi b¹n trong ®ã cã 1 cÆp vî chång. «ng muèn mêi 5 ngêi ®Õn dù tiÖc, trong ®ã cã cÆp vî chång cã thÓ cïng ®îc mêi hoÆc kh«ng cïng ®îc mêi. Hái «ng A cã bao nhiªu çch mêi. * Bµi45:Mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn cã 15 ngêi, gåm 12 nam vµ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu çch ph©n c«ng ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn ®ã vÒ gióp ®ì 3 tØnh mÒn nói , sao cho mçi tØnh cã 4 nam vµ 1 n÷. * Bµi 5: §éi tuyÓn häc sinh giái cña mét trêng gåm 18 em, trong ®ã cã 7 häc sinh khèi 12, 6 häc sinh khèi 11 vµ 5 häc sinh khèi 10. Hái cã bao nhiªu çch cö 8 häc sinh trong ®éi ®i dù tr¹i hÌ sao cho mçi khèi cã Ýt nhÊt mét em ®îc chän. * Bµi 6: Cho hai ®êng th¼ng song song. Trªn ®êng thø nhÊt cã 10 ®iÓm ph©n biÖt vµ ®êng th¼ng thø hai cã 20 ®iÓm ph©n biÖt. Cã bao nhiªu tam gi¸c ®îc t¹o bëi çc ®iÓm ®· cho.

* Bµi 7: Cho ®a gi¸c ®Òu 1 2 2n

A A ...A (n 2,n )néi tiÕp ®êng trßn t©m O. BiÕt r»ng sè çc tam gi¸c cã

çc ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm 1 2 2n

A ;A ;...;A nhiÒu gÊp 20 lÇn sè çc h×nh ch÷ nhËt cã çc ®Ønh lµ 4 trong 2n

®iÓm 1 2 2n

A ;A ;...;A . H·y t×m n.

*Bµi 8 : Mét tæ gåm 6 häc sinh A,B,C,D,E,F ®îc xÕp vµo 6 chç ngåi ®· ®îc ghi sè thø tù trªn mét bµn dµi. T×m sè çch xÕp çc häc sinh nµy sao cho: a/ A vµ B ngåi chÝnh gi÷a çc häc sinh cßn l¹i. b/ A vµ B kh«ng ngåi c¹nh nhau. *Bµi 9 : Mét häc sinh cã 12 cuèn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã 2 cuèn s¸ch m«n to¸n, 4 cuèn m«n v¨n, 6 cuèn m«n anh v¨n. Hái cã bao nhiªu çch xÕp tÊt c¶ çc cuèn s¸ch ®ã lªn mét kÖ dµi , nÕu mäi cuèn s¸ch nµy ®îc xÕp kÒ nhau vµ nh÷ng cuèn cïng m«n häc xÕp kÒ nhau.


Convert by TVDT 18

* Bµi 10: Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 6 ghÕ. Ngêi ta muèn s¾p xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh trêng A vµ 6 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn . Hái cã bao nhiªu çch xÕp trong mçi trêng hîp sau: a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.

§2. Çc bµi to¸n nhÞ thøc, ph¬ng tr×nh bÊt ph¬ng tr×nh

Ho¸n vÞ, tæ hîp & chØnh hîp


1. Hoán vị : . 1 ...2.1nP n n

2. Chỉnh hợp: !

1 ... 1!

k

n

nA n n n k

n k

0! 1, 1nO A 0 k n

3. Tổ hợp: !

!. !

k

n

nC

k n k 1 ,0O

nC k n k n k

n nC C 1

1

k k k

n n nC C C

4. Nhị Thức nưu tơn: 0 0

. . . .k n

n k n k k k k n k

n n

k k

a b C a b C a b

Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n

Số hạng tổng quát 1 . .k n k k

k nT C a b

Çc vÝ dô I. Gi¶i pt, hÖ pt, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph¬ng tr×nh vÒ ®¹i sè tæ hîp

*VÝ dô 1. Giải phương trình: a, 1 2 3 26. 6. 9 14x x xC C C x x b, 2 1

5 5 5 25x x xC C C

*VÝ dô 2. Giải phương trình: 5 6 7

5 2 14x x xC C C

*VÝ dô 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình

a, 4 3 2

1 1 2

50

4n n nC C A §S: n=11

b, 2 2 2 3 3 3. 2 100n n

n n n n n nC C C C C C c, 0 1 22 4 ... 2 243n n

n n n nC C C C

*VÝ dô 4. 2 272 6 2x x x xP A A P

*VÝ dô 5. Giải hệ phương trình2 5 90

5 2 80

y y

x x

y y

x x

A C

A C §S: x=5 ,y=2

*VÝ dô 6. Giải bpt: a)2

1

2

3

10

n

n

Cn

C b) 3 1

1 1 14 1n

n nA C n §S: a)2

53

n 7

) 42

b n

*VÝ dô 7. Giải bất phương trình: 4

4 143)

2 ! 4

n

n

Aa

n P

4

3 4

1

24)

23

n

n

n n

Ab

A C

§S: ) 9,5 2,5a n )1 5b n

*VÝ dô 8. Giải bất phương trình: a, 4 3 2

1 1 2

50

4x x xC C A b, 2 2 3

2

1 610

2x x xA A C

x

§S: a, 5 11x b, 4x Bµi tËp

1. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

1/ 2 2

x 2x2A 50 A 2/

x x x

4 5 6

1 1 1

C C C


Convert by TVDT 19

2. T×m k sao cho çc sè k k 1 k 2

7 7 7C ;C ;C theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng.

3. Gi¶i çc bÊt ph¬ng tr×nh sau:

1/ 4 3 2

n 1 n 1 n 2

5C C A 0, n

4 2/

3 n 2

n nA 2C 9n

4. Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh sau:

1/

y y

x x

y y

x x

2A 5C 90

5A 2C 80 2/

y y 1 y 1

x 1 x xC :C : C 6 : 5 : 2

5. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

1/ 2 2

x x x xP A 72 6(A 2P ) 2/

x x x

5 6 7

1 2 14

C C C

3/ 2 2 2 2

n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149 4/

1 2 3 2

x x xC 6C 6C 9x 14x

6. Gi¶i çc bÊt ph¬ng tr×nh sau:

1/

x 3

x 1

4

x 1 3

C 1

A 14P 2/

4 3 2

x 1 x 1 x 2

5C C A 0

4

3/ 2 2 3

2x x x

1 6A A C 10

2 x 4/

2 4 2x 2003

2x 2x 2xC C ... C 2 1

7. Gi¶i çc PT vµ hÖ PT sau:

1/

y y 1

x x

y y 1

x x

C C 0

4C 5C 0 2/

m 1 m m 1

n 1 n 1 n 1C :C : C 5 : 5 : 3

8. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2

3

5 60)!(

k

n

n Akn

P víi 2 Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)

9. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2:5:6:: 11

1

y

x

y

x

y

x CCC (TNPT 2002 - 2003)

10. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 12...... 20032

2

4

2

2

2

x

xxx CCC

11. T×m sè n nguyªn d¬ng tho¶ m·n bÊt ph¬ng tr×nh nCA n

nn 9.2 23 §S: n = 4, n = 3

12. T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n: 100..2. 333222 n

nnnn

n

nn CCCCCC .

T×m sè tù nhiªn n biÕt (KA 2005) 20052).12...(2.42.32.2 12

12

24

12

33

12

22

12

1

12

n

n

n

nnnn CnCCCC

II. Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng

*VÝ dô 1.Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

101

xx

*VÝ dô 2. Tìm số hạng x31

, Trong khai triển

40

2

1x

x

*VÝ dô 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

7

3

4

1x

x

*VÝ dô 4. Trong khai triển 28

3 15

n

x x x Tìm số hạng không chứa x biết 1 2 79n n n

n n nC C C

*VÝ dô 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x43

trong khai triển

21

5

3 2

1x

x


Convert by TVDT 20

*VÝ dô 6. Biết trong khai triển 1

3

n

x Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hãy tính số hạng

đứng giữa trong khai triển

*VÝ dô 7. Cho khai triển 3

3 2

3n

xx

. Biết tổng của ba số hạng đầu itên trong khai triển bằng 631. Tìm hệ

số của số hạng có chứa x5

*VÝ dô 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 3

15 28

1n

x xx

bằng 79 .Tìm số hạng

không chứa x

*VÝ dô 9. tìm hệ số của 6 2x y trong khai triển

10

xxy

y

*VÝ dô 10. Trong khai triển .12

23 xy xy . Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số

nguyên dương.

*VÝ dô 11. Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển 19

33 2

*VÝ dô 12.

a, Cho khai triển 101

1 x . Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn nhất

b, Cho khai triển .30

1 2x .Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số

Bµi tËp

1. BiÕt r»ng 100

10010

100 ...)2( xaxaax

a) CMR: a2 < a3 .

b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ak< ak + 1 (0≤k≤99)

2. T×m k thuéc {0, 1, …. 2005} sao cho: kC2005 ®Æt GTLN.

3. T×m sè nguyªn n>1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: 1262 2

n

2

nnn APAP .

4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thc )!1(

3AA 3

n

4

1n

nM n lµ sè nguyªn d¬ng BiÕt r»ng:

14922 2

4

2

3

2

2

2

1 nnnn CCCC

5. T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña (2 - 3x) 2n.

6. Gi¶ sö n

n

n xaxaax ...)21( 10 vµ 729...10 naaa .

T×m n vµ sè lín nhÊt trong çc sè: naaa ,...,, 10

7. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d¬ng vµ n

n

n xaaax ...)1( 10

BiÕt r»ng k nguyªn (0<k<n) sao cho 2492

11 kkk aaa TÝnh n? §S: n = 10

8. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d¬ng vµ 11

10

11

1110 ...)2()1( axaaxxx . H·y tÝnh hÖ sè a5 §S 672

9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc. BiÕt: )3(73

1

4 nCC n

n

n

n §S: 495

10. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc 82 )1(1 xx .

11. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triiển 124

43 5

12. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển 64

34 7 3


Convert by TVDT 21

13. Khai triển đa thức 9 10 14 14

0 1 141 1 ... 1 ...P x x x x A A x A x . Tính A9

14. Cho khai triển :1

322 2

nxx

. Biết 3 15n nC C và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n

15. Trong khai triển : 33

n

a b

b a tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau

16. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

401 2

3 3x

17. Biết tổng các hệ số trong khai triển 1 2n

x bằng 6561. Tìm hệ số của x4

18. Biết tổng các hệ số trong khai triển 21n

x bằng 1024 .Tìm hệ số của x12

19. Tìm hệ số x8 trong khai triển : 5

3

1n

xx

Biết 1

4 3 7 3n n

n nC C n

III. Chøng minh ®¼ng thøc *VÝ dô 1.

a, (§HBK HN - 1998). Chøng minh r»ng: 16 0 15 1 16 2 16 16

16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C

b, (§HYD TP HCM - 2000). Chøng minh r»ng:

b1, 0 1 2 ... 2n n

n n n nC C C C

b2, 1 3 5 2 1 0 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2... ...n n

n n n n n n n nC C C C C C C C

c, Chøng minh r»ng: 2005 0 2004 1 2003 2 2 2002 3 3 2005 2005

2005 2005 2005 2005 20057 7 .6. 7 .6 . 7 .6 . ... 6 1C C C C C

*VÝ dô 2. a, (§HAN-CS khèi A - 1998). Chøng minh r»ng:

2 3 4 22.1. 3.2. 4.3. ... .( 1). ( 1).2 , , 2.n n

n n n nC C C n n C n n n n

b, (§H H»ng H¶i - 1997). Chøng minh r»ng: 1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1.4 . ( 1).4 . ( 2).4 . ... ( 1) . 4 2 ... .2 , , 1.n n n n n n

n n n n n n n nn C n C n C n C C C C n C n n

*VÝ dô 3.

a, (§H Giao th«ng vËn t¶i - 1996). Chøng minh r»ng: 2 3 1

0 1 22 2 2 1 ( 1)2 ... ( 1)

2 3 1 1

n nn n

n n n nC C C Cn n

b, (§H Më Hµ Néi - 1999). CMR: 1

0 1 21 1 1 1 2 1... , , 2.

3 6 9 3 3 3( 1)

nn

n n n nC C C C n nn n

*VÝ dô 4.

a, Chứng minh 11m m

n m m n

mC C

n

b, Cho n,m,k là các số nguyên dương và ,m n k m Chứng minh: m k k m k

n m n n kC C C C

c, Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 1

2 2 2 2

1

2

n n n

n n nC C C

d, Cho n≥2 và n nguyên . Chứng minh: 2 2

1n nC C n

e, Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh: 2 2 2

2 3

1 1 1 1... 1

nnA A A

=T

HD: 2 2 ! 3 2 ! 2 !

....2! 3! !

nT

n,

1 1 1 1 1 1 1... 1

1 2 2 3 1T

n n n

*VÝ dô 5. (Sử dụng tính chất: 1

1

k k k

n n nC C C )


Convert by TVDT 22

a, Chứng minh 1 2 3

33 3 3k k k k k

n n n n nC C C C C k n

b, Chứng minh : 1 2 3 2 3

2 32 5 4k k k k k k

n n n n n nC C C C C C

c, Cho 4 k n .Chứng minh rằng 1 2 3 4

44 6 4k k k k k k


d, .Cho 1 m n .Chứng minh rằng 1 1 1 1

1 2 1...m m m m m

n n n m mC C C C C

*VÝ dô 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cách khác nhau sau đó đồng nhất hệ số )

a, Chứng minh rằng: 0 1 1 6 6

6 6 6 6. . ... .k k k k

n n n nC C C C C C C

b, Chứng minh: 2 2 2

0 1

2... n n

n n n nC C C C

c, Chứng minh.2 2 2

0 1

2... 1 1n nn n

n n n nC C C C

d, Chứng minh rằng: 0 1 1 0. . ... .p p p p

n m n m n m n mC C C C C C C

HD: a,6

1 . 1n

x x ! 6

1n

x ! so sánh kx

b,0 0

1 . 1n n

n n k k k n k

n n

k k

x x C x C x Hệ số của xn là

2 2 20 1 ... n

n n nC C C

22

2

0

1n

n k k

n

k

x C x Hệ số xk là 2

k

nC

c,22 2 21 . 1 1

nn nx x x

d, Xét 1 1n m

x x =! Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển 1

m nx Hệ số của x

p là

Bµi tËp

1. a, (§HQG Hµ Néi khèi D - 1997). Chøng minh r»ng: 0 1 2 10 10

10 10 10 10... 2C C C C

b, Cho: 0 n . Chøng minh r»ng: 0 1 2 ... ( 1) 0n n

n n n nC C C C

2. . (§HTCKT - Hµ Néi - 2000).

Chøng minh r»ng: 1 2 3 12 3 ... .2 , , 1n n

n n n nC C C nC n n n

3. (§HKTQD - 2000).

Chøng minh r»ng: 1 1 2 2 3 3 11.2 2.2 3.2 ... .3 , , 1n n n n n

n n n nC C C nC n n n

4. (§H LuËt Hµ Néi - 1997).

Chøng minh r»ng: 0 1 21 1 1 1 1... ( 1)

2 4 6 2 2 2 2

n n

n n n nC C C Cn n

5. (§H §µ N½ng - 2001).

Chøng minh r»ng: 2 3 1 1

0 1 22 2 2 3 12 ... ,

2 3 1 1

n nn

n n n nC C C C nn n

6. (§H N«ng nghiÖp - 1999).

Chøng minh r»ng: 0 1 2 19

19 19 19 19

1 1 1 1 1...

2 3 4 21 420C C C C

7. (Bé ®Ò tuyÓn sinh c©u IVa, ®Ò 81).

Chøng minh r»ng: 1 2 31 1 1 ( 1) (2 )!!

1 ...3 5 7 2 1 (2 1)!!

nn

n n n n

nC C C C

n n

8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997).

Cho:4

,

k n

k n . Chøng minh r»ng:

1 2 3 44 6 4 4k k k k k k


9. Chøng minh r»ng: 0 1 1 0

2...k k k k

n n n n n n nC C C C C C C


Convert by TVDT 23

Tõ ®ã suy ra: 2 2 2 2

0 1 2 100 100

100 100 100 100 200...C C C C C

10. Chøng minh r»ng:

a, 9 8 7 6 5 9

10 10 10 10 10 144 6 4C C C C C C

b, 2 2 2 2

0 1 2 1999

1999 1999 1999 1999... 0C C C C


Documents

86029578 Cac Chuyen de Luyen Thi Dai Hoc