Upload
phamngoc
View
222
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Twierdzenie o odcinkach w czworokącie
Zacznijmy od nietrudnego zadania szkolnego, które swego czasu podsunęła mi do rozwiązania koleżanka z pracy.
Zadanie 1. Odcinek w trójkącie. W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C środkową CD. Z wierzchołka A poprowadzono przez środek odcinka CD prostą, która
przecina bok BC w punkcie E. Wyznaczyć stosunek
Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą przechodzącą przez punkt D i równoległą do prostej AE. Z twierdzenia Talesa dla trójkąta CDF mamy
skąd
Z kolei stosując twierdzenie Talesa dla trójkąta ABE otrzymujemy
skąd
Zatem
Pomyślałem, że to zadanie może być punktem wyjścia do ułożenia zadania konkursowego. Od razu wpadłem na pomysł by wykorzystać ideę tego zadania w równoległoboku. I tak ułożyłem poniższe zadanie.
Zadanie 2. Odcinek w równoległoboku. Z wierzchołka A równoległoboku ABCD poprowadzono prostą przecinającą bok CD w punkcie E, a przekątną BD w punkcie P takim, że Wyznaczyć stosunek Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą OK przechodzącą przez O i równoległą do AE. Wówczas z
twierdzenia Talesa
oraz czyli
Wobec tego
Jednak po pewnym czasie stwierdziłem, że zadanie w tej wersji może być trochę za łatwe i dodałem jeszcze druga prostą przechodzącą przez wierzchołek A i przecinającą bok BC. W ten sposób otrzymujemy kolejne zadanie, które finaliści X KPZM im. M. Rejewskiego rozwiązywali w kategorii klas pierwszych.
Zadanie 3. Odcinki w równoległoboku. Niech E i F będą punktami boków CD i BC równoległoboku ABCD. Prosta AE przecina przekątną BD w punkcie P takim, że
a prosta AF przecina przekątną BD w punkcie R takim, że
Wyznaczyć
1
Twierdzenie o odcinkach w czworokącie
Rozwiązanie.
Z rozwiązania zadania 2 mamy Analogicznie wyznaczamy drugi stosunek.
Poprowadźmy prostą OL przechodzącą przez O i równoległą do AF. Wówczas z
twierdzenia Talesa
i
czyli oraz
Wobec tego
Zatem
Nasuwa się naturalne pytanie, czy to musi być równoległobok. Odpowiedzią jest zadanie z finału X KPZM im. M. Rejewskiego w kategorii klas drugich.
Zadanie 4. Odcinki w czworokącie. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym przekątne przecinają się w stosunku 1:2 licząc od wierzchołków A i B. Niech E i F będą punktami boków CD i BC czworokąta ABCD. Prosta AE przecina przekątną BD w punkcie P, a prosta AF przecina przekątną BD w punkcie R takim, że
Wyznaczyć
Rozwiązanie. Poprowadźmy prostą OK przechodzącą przez przechodzącą przez O i równoległą do AE.
Wówczas z twierdzenia Talesa oraz czyli
Wobec tego
Analogicznie wyznaczamy drugi stosunek. Poprowadźmy prostą OL przechodzącą przez O i równoległą do AF. Wówczas z twierdzenia
Talesa i
czyli oraz
Wobec tego
Zatem
Zmodyfikujmy dalej zadanie tak, aby na wszystkich bokach czworokąta obrać punkty. Obliczmy wówczas iloczyn nie dwóch a czterech odpowiednich stosunków. Treść wówczas wyglądałaby następująco.
2
Twierdzenie o odcinkach w czworokącie
Zadanie 5. Odcinki w czworokącie. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym przekątne przecinają się w stosunku 1:2 licząc od wierzchołków A i B. Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta ABCD. Proste AM i CN przecinają przekątną BD w punkcie P, a proste AL i CK przecinają przekątną BD w
punkcie R takim, że Wyznaczyć
Rozwiązanie. Wykorzystamy tym razem twierdzenie Menalaosa kolejno dla 1) trójkąta AOB i prostej CK,2) trójkąta BOC i prostej AL,3) trójkąta COD i prostej AM,4) trójkąta DOA i prostej CK.
Mamy wówczas
Wobec tego skąd
Wobec tego skąd
Wobec tego skąd
Wobec tego skąd
Zatem
Uzyskaliśmy więc wynik „Cevo-podobny” dla czworokąta. W powyższym rozwiązaniu wykorzystywaliśmy stosunki podziału przekątnych. Wydaje się, że są one niezbędne by uzyskać iloczyn stosunków równy 1. Ale czy na pewno?
Zadanie 6. Odcinki w czworokącie(wersja 2). Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Proste AL i CK przecinają przekątną BD w punkcie P, a proste AM i CN przecinają przekątną BD w punkcie R.
Wyznaczyć
Rozwiązanie.Rozwiązanie oprzemy nie na twierdzeniu Menelaosa, lecz na twierdzeniu Cevy (co niektórym czytelnikom na pewno nasunęło się w trakcie rozwiązywania zadania 5) dla trójkątów ABC i ACD.Otrzymujemy więc
3
Twierdzenie o odcinkach w czworokącie
oraz
Mnożąc powyższe równości stronami dostajemy
czyli
Możemy więc sformułować twierdzenie.
Twierdzenie (o odcinkach w czworokącie). Niech K, L, M i N będą punktami boków odpowiednio AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Jeżeli proste AL, CK i przekątna BD przecinają się w jednym punkcie, a proste AM, CN i przekątna BD przecinają się w jednym punkcie, to
Patrząc tylko na tezę powyższego twierdzenia chciałoby się powiedzieć, że otrzymaliśmy uogólnione twierdzenie Cevy. Ale czy możemy tak je nazwać? Z dwóch powodów wydaje się to ryzykowne. Po pierwsze mamy w naszym czworokącie dwie trójki prostych przecinających się w dwóch punktach a nie w jednym. Po drugie znane już jest w literaturze uogólnienie twierdzenia Cevy, którym jest twierdzenie Ponceleta. Przypomnijmy je więc w wersji dla pięciokąta.
Twierdzenie Ponceleta. Niech ABCDE będzie dowolnym pięciokątem wypukłym, na którego bokach obrano punkty różne od wierzchołków w następujący sposób:
Wówczas jeżeli proste i przecinają się w jednym punkcie, to
Dowód. Niech proste i przecinają się w punkcie P. Mamy
wówczas
gdzie - oznacza pole figury F.Analogicznie otrzymujemy równości
4
Twierdzenie o odcinkach w czworokącie
Mnożąc stronami powyższe pięć równości otrzymujemy tezę.
Twierdzenie Ponceleta prawdziwe jest także dla wszystkich wielokątów wypukłych o nieparzystej liczbie boków. Sformułowanie tego uogólnienia i jego dowód pozostawiamy jako ćwiczenie Czytelnikowi.Widzimy ponadto, że twierdzenie Ponceleta nie dotyczy czworokątów. Zatem czy nasze twierdzenie o odcinkach w czworokącie można by jednak nazwać twierdzeniem Cevy dla czworokątów?Na koniec proponuję by Czytelnik zastanowił się nad twierdzeniami odwrotnymi do twierdzenia Ponceleta i twierdzenia o odcinkach w czworokącie.
5