"W matematyce raz udowodnione twierdzenie na zawsze zachowuje swoją prawdziwośd." Roman Sikorski Niech ∀𝑛∈ℕ𝑓𝑛(x) będzie funkcją rzeczywistą Def. Ciąg (𝑓𝑛(x)) nazywamy ciągiem funkcyjnym, a szereg 𝑓𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 nazywamy szeregiem funkcyjnym. Jeżeli dla każdego 𝑥 ∈ 𝑋 ciąg 𝑓𝑛(x) jest zbieżny do f(x), to mówimy, że ciąg 𝑓𝑛(x) jest zbieżny punktowo do f(x). Jeżeli dla każdego 𝑥 ∈ 𝑋 szereg 𝑓𝑛 𝑥∞

𝑛=1 jest zbieżny do f(x), to mówimy, że szereg 𝑓𝑛(𝑥) ∞

𝑛=1 jest zbieżny punktowo do f(x). Piszemy: 𝑓(𝑥) = lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) , 𝑥 ∈ 𝑋

𝑓(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑥) ∞𝑛=1 , 𝑥 ∈ 𝑋

Wniosek: Szereg 𝑓𝑛 𝑥 ∞

𝑛=1 jest punktowo zbieżny do f(x) ⇔ ciąg sum częściowych 𝑆𝑛(𝑥) = 𝑓1(𝑥)+. . . +𝑓𝑛(𝑥) jest punktowo zbieżny do f(x).

Np. Zbadaj zbieżnośd: 1. 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛 , 𝑥 ∈ ,0,1]

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ,0,1)1, 𝑥 = 1

2.𝑓𝑛(𝑥) =1

1+𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ ,0,1]

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑥 = 1, 𝑥 = 0

0, 𝑥 ∈ (0,1-

y=𝑥𝑛

3. 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛𝑥2

1+𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ ,0,1-

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑥 = 0 , 𝑥 = 0𝑥 , 𝑥 ∈ (0,1-

𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ ,0,1-

Def. Mówimy, że f(x) jest granicą punktową ciągu 𝑓𝑛(x) w X ⇔ ∀𝑥∈𝑋∀𝜖>0∃𝑁0(𝑥,𝜖)∀𝑛≥𝑁0

𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥) < 𝜖

Mówimy, że f(x) jest granicą jednostajną ciągu 𝑓𝑛(x) w X ⇔ ∀𝜖>0∃𝑁0(𝜖)∀𝑛≥𝑁0

∀𝑥∈𝑋 𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥) < 𝜖

Np.

1. 𝑓𝑛(x)=xn nie jest jednostajnie zbieżny w [0,1] do 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ,0,1)1, 𝑥 = 1

𝑓𝑛(x)= xn jest jednostajnie zbieżny w [0,r], r<1 do f(x)=0 Def. Mówimy, że ciąg 𝑓𝑛 (x) jest niemal jednostajnie zbieżny w (a,b) do f(x) ⇔ 𝑓𝑛 (x) jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale domkniętym [c,d] zawartym w (a,b) do f(x).

2. 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛𝑥2

1+𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ ,0,1- 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 < 휀 dla 𝑥 ∈ 𝑋 lim

𝑛→∞sup𝑥∈𝑋

𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 0

sup𝑥∈,0,1-

𝑛𝑥2

1 + 𝑛𝑥− 𝑥 = sup

𝑥∈,0,1-

−𝑥

1 + 𝑛𝑥=

1

1 + 𝑛

niech 𝑔 𝑥 =𝑥

1+𝑛𝑥 , 𝑔′ 𝑥 =

1+𝑛𝑥−𝑛𝑥

(1+𝑛𝑥)2 > 0 𝑔 jest rosnąca 𝑔𝑚𝑎𝑥 1 =1

1+𝑛

lim𝑛→∞

1

1+𝑛= 0 𝑓𝑛(𝑥) jest jednostajnie zbieżny w *0,1+

3. 𝑓𝑛(𝑥) =1

1+𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ ,0,1] f 𝑥 =

1 , 𝑥 = 00, 𝑥 ∈ (0,1-

sup𝑥∈(0,1-

1

1 + 𝑛𝑥− 0 = 1

niech 𝑔 𝑥 =1

1+𝑛𝑥 , 𝑔′ 𝑥 =

−𝑛

(1+𝑛𝑥)2 < 0 𝑔 jest malejąca sup𝑥∈ 0,1

𝑔(𝑥) = 1

lim𝑛→∞

1 ≠ 0 𝑓𝑛(𝑥) nie jest jednostajnie zbieżny w *0,1]

Zadanie:

1. Zbadaj zbieżnośd jednostajną (niemal jednostajną): a) 𝑓𝑛 𝑥 =𝑛𝑥

1+𝑛2𝑥2 dla 𝑥 ∈ ,

b) 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥2 +1

𝑛2 dla 𝑥 ∈ , c) 𝑓𝑛 𝑥 =𝑛𝑥

𝑛+𝑥 dla 𝑥 ∈ ,0, ∞)

2. Zbadaj zbieżnośd jednostajną (niemal jednostajną): a) 𝑓𝑛 𝑥 = 1 +1

𝑥𝑛

𝑛 dla 𝑥 ∈ 0, ∞ ,

b) 𝑓𝑛 𝑥 = 2𝑛2𝑥𝑒−𝑛2𝑥2 dla 𝑥 ∈ , c) 𝑓𝑛 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠23𝑥)𝑛 dla 𝑥 ∈

Kryteria zbieżności jednostajnej

Tw. warunek Cauchy’ego Ciąg 𝑓𝑛(x) jest jednostajnie zbieżny do f(x) w X ⇔

∀휀 > 0∃𝑛0 ∈ ∀𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 < 휀

Dowód: „” bierzemy dowolne >0

zakładamy, że ∃𝑛0∀𝑛≥𝑛0

∀𝑥∈𝑋 𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥) <𝜀

2

𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 ≤ 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 + 𝑓𝑚 𝑥 − 𝑓 𝑥 <𝜀

2+

𝜀

2= 휀 dla 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0, 𝑥 ∈ 𝑋

„” bierzemy dowolne >0

zakładamy, że ∃𝑛0 ∈ ∀𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 <𝜀

2

dla dowolnego xX ciąg 𝑓𝑛 𝑥 jest ciągiem Cauchy’ego lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥)

ustalmy xX i n ≥ 𝑛0 w nierówności: 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓𝑚 𝑥 <𝜀

2

𝑚 → ∞ 𝑓(𝑥)

czyli 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≤𝜀

2< 휀 dla 𝑛 ≥ 𝑛0, 𝑥 ∈ 𝑋

Wniosek: Szereg 𝑓𝑛 𝑥∞

𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny ∀휀 > 0∃𝑛0 ∈ ∀𝑛 ≥ 𝑛0∀𝑚 ∈ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑓𝑖 𝑥𝑛+𝑚

𝑖=𝑛 < 휀

Tw. kryterium Weierstrassa Jeżeli istnieje szereg zbieżny 𝑎𝑛

∞𝑛=1 taki, że ∀𝑛 ∈ ℕ∀𝑥 ∈ 𝑋: |𝑓𝑛 𝑥 | ≤ 𝑎𝑛 ,

to 𝑓𝑛 𝑥∞𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X.

Dowód:

| 𝑓𝑖 𝑥 |

𝑛+𝑚

𝑖=𝑛

≤ 𝑎𝑖

𝑛+𝑚

𝑖=𝑛

𝑎𝑛∞𝑛=1 jest zbieżny 𝑎𝑖

𝑛+𝑚𝑖=𝑛 jest zbieżny 𝑎𝑖

𝑛+𝑚𝑖=𝑛 < 휀 dla 𝑛 ≥ 𝑛0, 𝑚 ∈ , 𝑥 ∈ 𝑋

Np. Zbadaj zbieżnośd jednostajną szeregu:

1. 𝑛sin(𝑛𝑥)

𝑛2 𝑛+ 𝑛3∞𝑛=1

𝑛sin(𝑛𝑥)

𝑛2 𝑛+ 𝑛3 ≤𝑛

𝑛2 𝑛+ 𝑛3 ≤1

𝑛 𝑛

1

𝑛 𝑛∞𝑛=1 - szereg harmoniczny

zatem 𝑛sin(𝑛𝑥)

𝑛2 𝑛+ 𝑛3∞𝑛=1 jednostajnie zbieżny w ℝ

2. 1

𝑥2+𝑛2∞𝑛=1

1

𝑥2+𝑛2 ≤1

𝑛2 1

𝑛2∞𝑛=1 - szereg harmoniczny zbieżny

zatem 1

𝑥2+𝑛2∞𝑛=1 jednostajnie zbieżny wℝ

3. (1 +1

𝑥)𝑛∞

𝑛=1 ,𝑥 ≠ 0

jeżeli 1 +1

𝑥≤ 𝑞 ⇒ (1 +

1

𝑥)𝑛 ≤ 𝑞𝑛 𝑞𝑛∞

𝑛=1 zbieżny dla 𝑞 < 1, tutaj 𝑞 ∈ ,0,1)

1 +1

𝑥≤ 𝑞 ∧ 1 +

1

𝑥≥ −𝑞

(1−𝑞)𝑥+1

𝑥≤ 0 ∧

(1+𝑞)𝑥+1

𝑥≥ 0

𝑥 ∈ ,−1

1−𝑞; −

1

1+𝑞] jest jednostajnie zbieżny dla 𝑞 ∈ ,0,1)

czyli (1 +1

𝑥)𝑛∞

𝑛=1 , 𝑥 ≠ 0 jest niemal jednostajnie zbieżny w(−∞, −1

2)

Tw. kryterium Dirichleta Jeżeli ciąg 𝑎𝑛(x) jest malejący i jednostajnie zbieżny do 0 oraz 𝑆𝑛(x)=𝑏1(x)+…+𝑏𝑛(x) jest wspólnie ograniczony dla 𝑥 ∈ 𝑋 (tzn. ∃𝑀 > 0∀𝑛 ∈ ℕ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑆𝑛 𝑥 < 𝑀 ), to 𝑎𝑛 𝑥 𝑏𝑛 𝑥 ∞

𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X

Dowód: analogiczny jak dla szeregów liczbowych

Tw. kryterium Abela Jeżeli 𝑎𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X oraz ciąg 𝑏𝑛(x) jest monotoniczny i wspólnie ograniczony w X, to 𝑎𝑛(𝑥)𝑏𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X.

Dowód: analogiczny jak dla szeregów liczbowych Np. Zbadaj jednostajną zbieżnośd

1. e−𝑛𝑥

𝑛+𝑥∞𝑛=1 , 𝑥 ∈ ,1;∞)

𝑎𝑛(𝑥) =1

𝑛+𝑥 jest malejący (ze względu na n) lim

𝑛→∞𝑎𝑛 𝑥 = 0 i sup

𝑥∈,1,∞)

1

𝑛+𝑥=

1

𝑛+1 𝑛→∞0

𝑏𝑛(𝑥) = e−𝑛𝑥

e−𝑥 + e−2x+. . . +e−𝑛𝑥 = e−𝑥 1−e−𝑛𝑥

1−e−𝑥 < e−𝑥 1

1−e−𝑥 =e−𝑥

1−e−𝑥 =1

e𝑥−1<

1

e−1, 𝑥 ∈ ,1;∞), 𝑛 ∈ ℕ

e−𝑛𝑥

𝑛+𝑥∞𝑛=1 jednostajnie zbieżny z kryterium Dirichleta

2. e−𝑛𝑥

(𝑥+𝑛)2∞𝑛=1 , 𝑥 ∈ (0; ∞)

𝑎𝑛 𝑥 =1

𝑥+𝑛 2 1

(𝑥+𝑛)2 <1

𝑛2 1

𝑛2 ∞𝑛=1 - zbieżny

1

(𝑥+𝑛)2∞𝑛=1 - jednostajnie zbieżny w (0; ∞)

𝑏𝑛(𝑥) = e−𝑛𝑥 - malejący, e−𝑛𝑥 < 1 , 𝑥 ∈ 0; ∞ , 𝑛 ∈ ℕ

e−𝑛𝑥

(𝑥+𝑛)2∞𝑛=1 jednostajnie zbieżny z kryterium Abela w (0; ∞)

Zadanie:

1. Wyznacz sumy częściowe i znajdź obszar zbieżności szeregu: a) 𝑥𝑛

𝑛−

𝑥𝑛+1

𝑛+1∞𝑛=1 ,

b) 1

𝑥𝑛 −1

𝑥𝑛+1∞𝑛=0 , c)

1

𝑛𝑥𝑛 −1

(𝑛+1)𝑥𝑛+1∞𝑛=1

2. Wyznacz obszar zbieżności szeregu: a) (−1)𝑛+1 1

𝑛𝑙𝑛𝑥∞𝑛=1 , b)

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑒𝑛𝑥∞𝑛=1 , c)

𝑙𝑛𝑛

𝑛𝑥∞𝑛=1

3. Zbadaj zbieżnośd jednostajną (niemal jednostajną): a) 𝑛𝑥

𝑥+2𝑛∞𝑛=1 dla 𝑥 ∈ ,0, ∞),

b) 1

(𝑥+𝑛)(𝑥+𝑛+1)∞𝑛=1 dla 𝑥 ∈ (0, ∞), c) b)

𝑛𝑥

1+𝑥 1+2𝑥 …(1+𝑛𝑥)∞𝑛=1 dla 𝑥 ∈ (0, ∞)

Tw. Jeżeli 𝑓𝑛(x) jest ciągła dla każdego 𝑛 ∈ ℕ, to 1.Jeżeli 𝑓𝑛 (x) jest jednostajnie zbieżny w X, to 𝑓(𝑥) = lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) jest ciągła w X.

2.Jeżeli 𝑓𝑛 𝑥∞𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X, to 𝑓(𝑥) = 𝑓𝑛 𝑥 ∞

𝑛=1 jest ciągła w X.

Dowód: 1. bierzemy dowolne 𝑥0∈ 𝑋 i >0

zakładamy, że ∃𝑛0∀𝑛≥𝑛0

∀𝑥∈𝑋 𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥) <𝜀

3 i ∀𝑛 ∈ ℕ: lim

𝑥→𝑥0

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓𝑛(𝑥0)

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥) + 𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥0) + 𝑓𝑛(𝑥0) − 𝑓(𝑥0) ≤

≤𝜀

3+ 𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥0) +

𝜀

3<

2

3휀 +

1

3휀 = 휀 dla 𝑛 ≥ 𝑛0, 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿

czyli lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

2. 𝑆𝑛(𝑥) = 𝑓1(𝑥)+. . . +𝑓𝑛(𝑥) jest jednostajnie zbieżny do f(x) w X i ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑆𝑛 𝑥 jest ciągła f(x) jest ciągła

Wniosek: 1. Jeżeli lim

𝑛→∞𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥) i ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛 𝑥 jest ciągła w X oraz 𝑓(𝑥) nie jest ciągła w X,

to 𝑓𝑛 𝑥 nie jest jednostajnie zbieżny w X 2. Jeżeli ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛 𝑥 jest ciągła w X i 𝑓𝑛 𝑥 jest jednostajnie zbieżny w X , to lim

𝑥→𝑥0

( lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)) = lim𝑛→∞

( lim𝑥→𝑥0

𝑓𝑛(𝑥))

3. Jeżeli ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛 𝑥 jest ciągła w X i 𝑓𝑛(𝑥)∞𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w X ,

to lim𝑥→𝑥0

𝑓𝑛(𝑥∞𝑛=1 ) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓𝑛∞𝑛=1 𝑥

Tw. 1. Jeżeli ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛(𝑥) są różniczkowalne w 𝑋 oraz (𝑓𝑛(𝑥)) i (𝑓𝑛‘(𝑥)) są jednostajnie zbieżne w 𝑋, to 𝑓 𝑥 = lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) jest różniczkowalna w 𝑋 i 𝑓′ 𝑥 = lim

𝑛→∞𝑓𝑛’ 𝑥

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑥′= lim

𝑛→∞𝑓𝑛’(𝑥)

2. Jeżeli ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛(𝑥) są różniczkowalne w 𝑋 oraz 𝑓𝑛(𝑥)∞𝑛=1 i 𝑓𝑛’(𝑥)∞

𝑛=1 są jednostajnie zbieżnie w 𝑋, to 𝑓(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 jest różniczkowalna w 𝑋 i 𝑓’ 𝑥 = 𝑓𝑛’ 𝑥∞𝑛=1

𝑓𝑛 𝑥∞𝑛=1

′ = 𝑓𝑛’(𝑥)∞𝑛=1

Dowód: 1. bierzemy dowolne 𝑥0 ∈ 𝑋

𝑓+′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0

+

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= lim

𝑥→𝑥0+

lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) − lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= lim

𝑥→𝑥0+

lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= ⋯

z tw. Lagrange’a ∃𝑥𝑛 ∈ 𝑥0, 𝑥 :𝑓𝑛 𝑥 −𝑓𝑛 𝑥0

𝑥−𝑥0= 𝑓𝑛′ 𝑥𝑛

… = lim𝑥→𝑥0

+lim𝑛→∞

𝑓𝑛′ 𝑥𝑛 = lim𝑛→∞

lim𝑥→𝑥0

+𝑓𝑛′ 𝑥𝑛 = lim

𝑛→∞𝑓𝑛′ 𝑥0 (𝑥𝑛 → 𝑥0)

analogicznie dla 𝑓−′ 𝑥0

2. 𝑓′ 𝑥 = lim𝑛→∞

𝑆𝑛 𝑥′= lim

𝑛→∞𝑆𝑛′(x) = lim

𝑛→∞ 𝑓𝑖′ 𝑥𝑛

𝑖=1 = 𝑓𝑖′ 𝑥∞𝑖=1

Tw. 1. Jeżeli ∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑓𝑛(𝑥) są ciągłe w 𝑋 i (𝑓𝑛(𝑥)) jest jednostajnie zbieżny to

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑥

𝑎

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑥

𝑎

𝑎, 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑎 ≤ 𝑥, 𝑓 𝑥 = lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)

2. Jeżeli𝑓𝑛(𝑥) są ciągłe w 𝑋 i 𝑓𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w 𝑋 to

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑥

𝑎

𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

, 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑎 ≤ 𝑥, 𝑓(𝑥)

∞

𝑛=1

= 𝑓𝑛(𝑥)

∞

𝑛=1

Dowód:

1. Niech 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑎 ≤ 𝑥, 𝐹𝑛 𝑥 = 𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎 𝐹𝑛′ 𝑥 = 𝑓𝑛(𝑥)

𝐹𝑛 𝑥 − 𝐹𝑚 𝑥 = ,𝑓𝑛 𝑡 − 𝑓𝑚 𝑡 -𝑑𝑡𝑥

𝑎

≤ |𝑓𝑛 𝑡 − 𝑓𝑚 𝑡 |𝑑𝑡𝑥

𝑎

(𝑓𝑛 𝑥 ) jest jednostajnie zbieżny 𝑓𝑛 𝑡 − 𝑓𝑚 𝑡 <휀

𝑥 − 𝑎, 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛0, 𝑡 ∈ ,𝑎, 𝑥-

czyli |𝐹𝑛 𝑥 − 𝐹𝑚 𝑥 | < 휀 (𝐹𝑛 𝑥 ) jest jednostajnie zbieżny w X

𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

′

= 𝑓 𝑥 = lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = lim𝑛→∞

𝐹𝑛′(𝑥) = lim𝑛→∞

𝐹𝑛 𝑥′= lim

𝑛→∞ 𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

𝑎

′

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑥

𝑎

lim𝑛→∞

𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

2. 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

′= 𝑓 𝑥 = 𝑓𝑛(𝑥)∞

𝑛=1 = 𝐹𝑛′ 𝑥 =∞𝑛=1 𝐹𝑛 𝑥∞

𝑛=1′ = 𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

𝑎∞𝑛=1 ′

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝑥

𝑎

𝑓𝑛 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

∞

𝑛=1

Np.

1. Oblicz całkę 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑛2∞𝑛=1

𝜋

0𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑛2∞𝑛=1 jest jednostajnie zbieżny w *0,] z kryterium Dirichleta

𝑎𝑛 =1

𝑛2 jest malejący i zbieżny do 0, 𝑆𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑛𝑖=1 jest ograniczony

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑛2

∞

𝑛=1

𝜋

0

𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑛2

𝜋

0

∞

𝑛=1

𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥

𝑛3 0

𝜋∞

𝑛=1

= −(−1)𝑛 − 1

𝑛3

∞

𝑛=1

= 2

(2𝑘 − 1)3

∞

𝑘=1

2. Oblicz pochodną 1

𝑥+2𝑛∞𝑛=0 ′ dla 𝑥 ∈ ,0, ∞)

|1

𝑥+2𝑛 | ≤1

2𝑛 1

𝑥+2𝑛∞𝑛=0 jest zbieżny jednostajnie z kryterium Weierstrassa

1

𝑥+2𝑛∞𝑛=0

′=

1

𝑥+2𝑛

′=∞

𝑛=0 −1

(𝑥+2𝑛)2∞𝑛=0

Zadanie: 1. Oblicz pochodne:

a) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥

𝑛!∞𝑛=1 ′ dla 𝑥 ∈ ,

b) 1

𝑛2(1+𝑥2)∞𝑛=1 ′ dla 𝑥 ∈ ,

c) 𝑛2𝑒−𝑛𝑥∞𝑛=1 ′ dla 𝑥 ∈ ,1, ∞)

2. Oblicz całki:

a) 1

𝑛(1+𝑛𝑥2)∞𝑛=1 𝑑𝑥

∞

1 ,

b) 𝑒−𝑛−𝑥2∞𝑛=0

∞

−∞𝑑𝑥 ,

c) 𝑛𝑥

𝑥+3𝑛∞𝑛=1

1

0𝑑𝑥

Def. Szeregiem potęgowym o środku w 𝑥0 nazywamy szereg postaci 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛∞𝑛=0 , 𝑎𝑛 ∈ .

Uwaga: Jeżeli podstawimy

Tw. Jeżeli szereg potęgowy 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 jest zbieżny dla 𝑥 = 𝑥∗ > 0, to jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie dla |𝑥| ≤ 𝑥∗

Dowód: 𝑎𝑛(𝑥∗)𝑛∞

𝑛=0 jest zbieżny ciąg 𝑎𝑛(𝑥∗)𝑛 jest ograniczony ∃𝑀 > 0∀𝑛 ∈ : |𝑎𝑛 𝑥∗ 𝑛| < M

|𝑎𝑛𝑥𝑛| = |𝑎𝑛 𝑥∗ 𝑛| ∙ |𝑥

𝑥∗ |𝑛 < 𝑀|𝑥

𝑥∗ |𝑛

Dla |𝑥

𝑥∗ | < 1 szereg |𝑥

𝑥∗ |𝑛∞𝑛=0 jest zbieżny 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 jest bezwzględnie zbieżny

(z kryterium porównawczego) i jednostajnie zbieżny (z kryterium Weierstrassa) dla 𝑥 < |𝑥∗| dla 𝑥 = 𝑥∗ szereg 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 jest zbieżny z założenia dla 𝑥 = −𝑥∗ szereg 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 = (−1)𝑛𝑎𝑛(𝑥∗)𝑛 ∞𝑛=0 jest zbieżny z kryterium Leibniza

Def. Promieniem zbieżności szeregu anxn∞n=0 nazywamy liczbę

𝑅 = sup*𝑥∗: 𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑥∗ 𝑛 jest zbieżny+

Tw. Szereg 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥𝑛 jest bezwzględnie i niemal jednostajnie zbieżny w przedziale (-R,R),

gdzie R jest promieniem zbieżności szeregu.

Dowód: 𝑥 ∈ −𝑅, 𝑅 ⟹ 𝑥 < 𝑅 ⟹ ∃𝑥∗ ∈ *𝑥∗: 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥∗ 𝑛 jest zbieżny+ ∶ |𝑥| < 𝑥∗ < 𝑅

𝑎𝑛∞𝑛=0 𝑥∗ 𝑛 jest zbieżny ⟹ 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=1 jest bezwzględnie zbieżny

0

0

0

0 )(n

n

n

n

n

n yaxxaxxy

Niech 𝑏, 𝑐 ⊂ −𝑅, 𝑅 ⟹ max 𝑏 , 𝑐 < 𝑅 ⟹ ∃𝑥∗ ∈ *𝑥∗: 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥∗ 𝑛 jest zbieżny+: 𝑚𝑎𝑥 𝑏 , 𝑐 < 𝑥∗ < 𝑅 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥∗ 𝑛 jest zbieżny

⟹ 𝑎𝑛∞𝑛=0 𝑥𝑛 jest zbieżny jednostajnie w (−𝑥∗, 𝑥∗) ⊃ ,𝑏, 𝑐-

Wniosek: W przedziale zbieżności (-R,R), szereg 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥𝑛 jest zbieżny do funkcji ciągłej i różniczkowalnej

oraz zachodzą wzory:

lim𝑥→𝑥0

𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑥𝑛 = 𝑎𝑛

∞

𝑛=0

(𝑥0)𝑛

𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑥𝑛 ′ = (𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑥𝑛)′ = 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

𝑛𝑥𝑛−1

𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑡𝑛 𝑑𝑡 = 𝑎𝑛

𝑥

𝑥0

∞

𝑛=0

𝑡𝑛𝑑𝑡 = 𝑎𝑛

𝑛 + 1(𝑥𝑛+1 − (𝑥0)𝑛+1

∞

𝑛=0

𝑥

𝑥0

)

Np. Oblicz granicę - malejący i ograniczony, bo dla x(0,1) dla n, x(0,1) - zbieżny z kryterium Leibniza

n

n

n

n

x x

x

n

1

)1(lim

1

1

1

n

n

nx

xxb

1)(

1 1 1

2 2

(1 )'( ) 0

1 1

n n n n n

nn n

nx x nx x nxb x

x x

1

1

( ) (1 )1

( ) 1

n

n

n

n

b x x x

b x x

2

1

1)(0

n

n

nx

xxb

1

1)1(

n

n

n

z kryterium Abela jest jednostajnie zbieżny w (0,1) czyli

(−1)𝑛−1

2𝑛∞𝑛=1 = lim

𝑥⟶1−

(−1)𝑛−1

2𝑛∞𝑛=1 𝑥𝑛 = lim

𝑥⟶1−

(−1)𝑛−1

2∞𝑛=1 𝑡𝑛−1𝑑𝑡

𝑥

0=

=1

2lim

𝑥⟶1− ( −𝑡 𝑛−1)𝑑𝑡∞

𝑛=1𝑥

0=

1

2lim

𝑥⟶1−

1

1+𝑡𝑑𝑡 =

𝑥

0

1

2lim

𝑥⟶1−ln|1 + 𝑡||0

𝑥 =1

2lim

𝑥⟶1−ln|1 + 𝑥| =

𝑙𝑛2

2

Tw. Cauchy’ego-Hadamarda

Promieo szeregu potęgowego 𝑎𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0 równy jest odwrotności granicy 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛

𝑛

𝑅 =1

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑛

Uwaga:

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

= 0 𝑅 = ∞ zbieżny w

lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

= ∞ 𝑅 = 0 zbieżny punktowo w x=0

Dowód:

szereg 𝑎𝑛𝑥𝑛∞𝑛=0 jest zbieżny lim

𝑛→∞𝑎𝑛𝑥𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

𝑥 < 1 𝑥 <1

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑛

czyli 𝑅 =1

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑛

n

n

n

n

x

x

n

1

)1(

1

1

1

1

1

1

11

1

1 2

)1(

1

)1(lim

1

)1(lim

n

n

n

n

n

n

xn

n

n

n

x nx

x

nx

x

n

Np. Wyznacz obszar zbieżności szeregu

1. 𝑥𝑛

𝑛∞𝑛=1

𝑅 =1

lim𝑛→∞

1

𝑛

𝑛 =1 zbieżny w (-1,1)

x=-1 (−1)𝑛

𝑛∞𝑛=1 z kryterium Leibniza zbieżny

x=1 1

𝑛∞𝑛=1 szereg harmoniczny rozbieżny

Odp.: Obszar zbieżności szeregu [-1,1)

2. (2𝑥−1)𝑛

10𝑛𝑛∞𝑛=1 𝑦 = 2𝑥 − 1

𝑦𝑛

10𝑛𝑛2∞𝑛=1 𝑅 =

1

lim𝑛→∞

1

10𝑛𝑛2𝑛

= 10 zbieżny dla y ∈ (−10,10)

y=-10 (−1)𝑛

𝑛2∞𝑛=1 zbieżny

y=10 1

𝑛2∞𝑛=1 zbieżny

𝑦 ∈ −10,10 2𝑥 − 1 ∈ ,−10,10-

Odp.: 𝑥 ∈ ,−9

2,11

2-

Tw.

Jeżeli istnieje granica lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛, to promieo zbieżności szeregu 𝑎𝑛

∞𝑛=0 𝑥𝑛 równy jest

odwrotności tej granicy 𝑅 =1

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1𝑎𝑛

Dowód:

szereg 𝑎𝑛∞𝑛=0 𝑥𝑛 jest zbieżny lim

𝑛→∞

𝑎𝑛+1 𝑥𝑛+1

𝑎𝑛𝑥𝑛 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛𝑥 < 1 𝑥 <

1

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1𝑎𝑛

czyli 𝑅 =1

lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1𝑎𝑛

Np. Oblicz promieo zbieżności (𝑛𝑥)𝑛

𝑛!∞𝑛=1

lim𝑛→∞

(𝑛 + 1)𝑛+1

𝑛 + 1 !

𝑛!

𝑛𝑛 = lim𝑛→∞

(𝑛 + 1)𝑛

𝑛𝑛 = lim𝑛→∞

(1 +1

𝑛)𝑛= 𝑒

𝑅 =1

𝑒

Zadanie: 1. Wylicz sumę i przedział zbieżności szeregu:

a) 1−𝑥2

2

𝑛∞𝑛=0 , b)

1−𝑥

1+𝑥

𝑛∞𝑛=0 , c) 𝑡𝑔𝑕𝑥 𝑛∞

𝑛=0

2. Wyznacz obszar zbieżności szeregu:

a) 𝑥𝑛

𝑛𝑙𝑛(𝑛+1)∞𝑛=1 , b)

𝑛! 2

2𝑛 !(2𝑥 − 1)𝑛∞

𝑛=1 , c) 3𝑛+(−2)𝑛

𝑛(𝑥 + 1)2𝑛∞

𝑛=1

3. Wylicz sumy szeregów:

a) 1

𝑛+1 3𝑛∞𝑛=0 , b)

𝑛

22𝑛+1∞𝑛=1 , c)

𝑛+1

2𝑛+1𝑒−𝑛∞

𝑛=0