Twierdzenie Thevenina-Twierdzenie Thevenina-NortonaNortona

Twierdzenie Thevenina-Twierdzenie Thevenina-NortonaNortona

u

i

A

B

Gz

iz

A. Twierdzenie Nortona

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z wybranej pary zacisków AB rzeczywistym źródłem prądu o parametrach iz i Gz.

Prąd iz jest prądem zwarciowym, a konduktancję liczymy z zacisków ABpo usunięciu wszystkich źródeł niezależnych.

u i

A

B

uz

Rz

A. Twierdzenie Thevenina

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić z wybranej pary zacisków AB rzeczywistym źródłem napięcia o parametrach uz i Rz.Napięcie uz występuje na rozwartych zaciskach AB, a rezystancję liczymy z zacisków AB po usunięciu wszystkich źródeł niezależnych.

Przykład:

E1

J

R1

R2 R3

Wyznaczymy parametry dwójnika Thevenina (Ez i Rz)widzianego z zacisków AB.

Dane:

AJ

VE

R

R

R

2

4

3

6

2

1

3

2

1

A

B

UAB

V

RRR

JRE

Vu AAB 4111

321

1

1

1

1111

321 RRR

Rz

A

B

Ez

Rz

VEZ 4

1ZR

Dwójnik Thevenina:

uAB

R0

A

B

Ez

Rz

Jak zmieni się napięcie uAB,

gdy do dwójnika dołączymy rezystor R0=3Ω?

ViRu

ARR

Ei

AB

z

z

331

131

4

0

0

i

E1

J

R1

R2 R3

Wyznaczymy parametry dwójnika Nortona (Jz i Gz)widzianego z zacisków AB.

Przykład:

AJ

VE

R

R

R

2

4

3

6

2

1

3

2

1

Dane:

A

B

JZ

AJR

EJZ 42

2

4

1

1

SGGGGZ 13

1

6

1

2

1321

JGZ

A

B

Dwójnik Nortona:

AJZ 4

SGZ 1

Podstawy topologii obwodów

OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY

e1

j 2u2

L4 i

4

u4 C

3

i3

u3

u6

i 6

R5i5

u5

i1

OBWÓD - GRAF - GRAF NIEZORIENTOWANYOBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY

2

4

3

6

5

1

Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że•kolejne gałęzie mają wspólny węzeł,•w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru,•z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru.

Droga

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi

Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi

Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2

Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki

•podgraf jest spójny,

•w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie.

Pętla

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli

Przykład 1 pętla

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli

Przykład 2 nie-pętla

Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli.

Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo

(DOPEŁNIENIE)

Drzewo

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa

Przykład 1 DRZEWO

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa

Przykład 2 DRZEWO

Dowód (indukcyjny):

Drzewo grafu spójnego o węzłach i b gałęziach zawiera - 1 gałęzi.

•Dla n=2, b=1 (n= )

twierdzenie prawdziwe

Twierdzenie

Cd.Dowód (indukcyjny)cz.2:

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego.

Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo

i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko

jedna gałąź drzewa.

dk

n+1Grafon węzłach

dk

n+1Grafon węzłach

Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk.Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy:(n-1)+1=n WNIOSEK:Dopełnienie grafu spójnego węzłach i b gałęziach zawiera b - + 1 gałęzi.

PRZEKRÓJ

Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór

gałęzi spełniający następujące warunki

(1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy

(2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu.

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju

Przykład 1 przekrój

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju

Przykład 2 nie- przekrój

PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY

Przekrój grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia.

Jest ich w grafie - 1

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja

DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne

Pętla FUNDAMENTALNA

Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa.

Jest ich w grafie b - + 1

1

2

3 4

5

6

a

b

c

d

ef

g

ji

h

Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd

DRZEWO grafu i pętle fundamentalne

Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA

(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi -1. Równania te można napisać stosując PPK do -1 fundamentalnych przekrojów.

(2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b - +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b - +1 fundamentalnych pętli.

DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO:Graf planarny to taki graf, który może być narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinałysię tylko w węzłach.

TWIERDZENIEGraf planarny zawiera b - +1 oczek. Równania NPK napisane dla b - +1 są liniowo niezależne.

DEFINICJA OCZKA:Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlęnie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi.

Twierdzenie Tellegena Jeżeli prądy gałęziowe mi spełniają PPK w

każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe

mu spełniają NPK w każdej pętli grafu wówczas

b

1kkk 0iu

( b liczba wszystkich gałęzi grafu, sumowanie

odbywa się po wszystkich gałęziach)

Przykład:

Rozważymy dwa obwody o takiej samej topologii:

R2

R3

R5e1 R4

R1 R2 R5

e3

Dane:R2=4R3=R4=2J4=3Ae1=4V

Dane:R1=R2=6R4=R5=4E3=10V

J4

i1 i2

i3

i4 i5

i1 i2

i3

i4 i5

u4u4

u1 u1u4

u4

R2

R3

R5e1 R4

R1 R2 R5

e3

43

153

2

11

111

4

JR

eRR

V

eV

i1 i2

i3

i4 i5i1 i2

i3

i4 i5

VV

eJV

5

22

1

2

1

2

142

1 2

A

RR

RR

RRRR

ei 2

23

10

54

54

21

21

33

Aii

Aii

1

1

54

21

AR

ViA

R

VViA

R

ei

2

5

2

11

5

25

3

213

2

12

R2

R3

R5e1 R4

R1 R2 R5

e3

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

5,2

3

5,0

1

5,0

5

4

3

2

1

Vu

Vu

Vu

Vu

Vu

5

5

1

4

4

5

4

3

2

1

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

1

1

2

1

1

5

4

3

2

1

Vu

Vu

Vu

Vu

Vu

4

4

10

6

6

5

4

3

2

1

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

5,2

3

5,0

1

5,0

5

4

3

2

1

Vu

Vu

Vu

Vu

Vu

5

5

1

4

4

5

4

3

2

1

Ai

Ai

Ai

Ai

Ai

1

1

2

1

1

5

4

3

2

1

Vu

Vu

Vu

Vu

Vu

4

4

10

6

6

5

4

3

2

1

05

1

k

Ak

Ak iu 0

5

1

k

Bk

Bk iu

05

1

k

Bk

Ak iu 0

5

1

k

Ak

Bk iu

A B

Bilans mocy