tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑcommonmaths.weebly.com/uploads/8/4/0/9/8409495/pythagorio.2.pdf · ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 0

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw

ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer

tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf

ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh

jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl

zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv

bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnm


Β ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τελευταία ενημέρωση : 7 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2017

Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ



1η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ( 1η ώρα)

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε 4 τετράγωνα τα : ΑΒΓΔ ,

ΕΓΛΜ , ΓΚΙΘ και ΖΕΘΗ . Τα τμήματα

ΔΕ=ΓΘ=ΗΒ=ΑΖ=4 εκ. και το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει

πλευρά μήκους 7 εκ. Να βρεθεί:

i. το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ

…………………………………………………………………………………….

ii. το μήκος ΔΖ.

…………………………………………………………………………………………

iii. το εμβαδόν του ΔΕΖ .

…………………………………………………………………………………………

iv. το εμβαδόν του ΖΕΘΗ.

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

v. το άθροισμα των εμβαδών 𝛦𝛭𝛦𝛤𝛬 + 𝛦𝛤𝛫𝛪𝛩 .

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

Λαμβάνοντας υπόψη τα 2 τελευταία ερωτήματα τι

παρατηρείτε;



2η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα να διατυπωθεί η

γενίκευση της παραπάνω διαπίστωσης .

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..

Η παραπάνω διατύπωση αποτελεί το Πυθαγόρειο

Θεώρημα .




Να συμπληρωθεί η παρακάτω ισότητα και να υπολογισθεί

το χ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις .

(……………………………)2 = (……………………)2 + (…………………..)2

i.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Να διαβάσετε τις εφαρμογές 3, 4 / 42 και τα

προβλήματα 1,2/49 . Ερώτηση Κατανόησης σελ. 130

Να λυθούν οι ασκήσεις 1/130 , 4,5,9/131 , 5/44 ,

9/52 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου .



4η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (2η ώρα)

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε �̂� = �̂� = �̂� = �̂� = 900 . Τα μήκη των

πλευρών είναι εκφρασμένα σε εκ.

i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ να βρεθεί η υποτείνουσα y .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. Για να υπολογίσετε το χ τι πρέπει να υπολογίσετε πρώτα;

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iii. Να υπολογίσετε το χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iv. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΚΛΜ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

v. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του 6πλεύρου ΚΛΜΞΟΠ.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………




Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΒΓ= 13 εκ και ΑΙ = ύψος . Τα

υπόλοιπα μήκη που δίνονται είναι επίσης εκφρασμένα σε εκ.

i. Τι τρίγωνα είναι τα ΑΒΙ και ΑΙΓ ;Να δικαιολογήσετε την απάντησή

σας .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. Να υπολογίσετε την τιμή του χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iii. Nα υπολογίσετε το y και στη συνέχεια το z .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Να διαβάσετε το πρόβλημα 4 / 50 .

Να λυθούν οι ασκήσεις 7,8,10/44 , 7,8/131 .




Ανοίχτε την παρακάτω εφαρμογή του GEOGEBRA.

Πατήστε εδώ .

Να σύρετε την κορυφή Α του τριγώνου και για 5 στιγμιότυπα να

συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :

Α/Α Γωνία Β

Οξεία , Ορθή

ή Αμβλεία.

Εμβαδόν

(ΑΕΔΓ)

(ΘΑΒΙ) +(ΒΓΖΗ) <, > , =

(ΑΕΔΓ)………… (ΘΑΒΙ) +(ΒΓΖΗ)




(ΑΕΔΓ)…………. (ΘΑΒΙ) +(ΒΓΖΗ)

Τι παρατηρείτε ;

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Να διατυπωθεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος :

………………………………………………………………………………………………………………………….

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................


Να εξετάσετε αν τα παρακάτω τρίγωνα είναι ορθογώνια.

i.

ii.

http://commonmaths.weebly.com/phi973lambdalambdaomicron-epsilonrhogammaalphasigma943alphasigmaf-beta900gammaupsilonmunualphasigma943omicronupsilon.html



Να διατυπωθεί το

Πυθαγόρειο θεώρημα και

να γίνει το αντίστοιχο

σχήμα :

……………………………....................

…………………………………………....

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

Να υπολογισθεί το y στο

παρακάτω σχήμα:

……………………………....................

…………………………………………....

……………………………………………

Να διατυπωθεί το

αντίστροφο του

Πυθαγόρειο θεώρημα :

……………………………....................

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

…………………………………………….

Να εξετάσετε αν το

παρακάτω τρίγωνο είναι

ορθογώνιο.

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

Να διαβάσετε τη σελ. 128, τις εφαρμογές 1,2,3,4/128-

129-130. Να λυθούν οι ασκήσεις : 3/51, 2,3,6/131



8η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (4ηώρα)

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε 𝛨�̂�𝛦 = �̂� = 900 και ΔΖ = 5√5 εκ. Τα

υπόλοιπα μήκη φαίνονται στο σχήμα και είναι εκφρασμένα σε εκ.

i. Να υπολογίσετε την τιμή του χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. Να υπολογίσετε την τιμή του y .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iii. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο και να βρείτε την

ορθή γωνία.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του 5πλεύρου ΗΔΖΘΕ

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………




Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=χ+1 εκ. και ΒΓ=χ+2 εκ . Αν

η περίμετρός του είναι Π=16εκ. Να βρεθεί :

i. η τιμή του χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. το ύψος ΑΚ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iii. το εμβαδόν του ΑΒΓ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iv. το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΒ .

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

Να λυθούν οι ασκήσεις 4,5,7/51




Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς χ , αν η διαγώνιος του ΑΓ είναι

5√2 εκ. να βρεθεί :

i. Η τιμή του χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. Το εμβαδόν του ΑΒΓΔ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

iii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………




Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά 2χ εκ. Αν το ύψος ΑΚ είναι

5√3 εκ.

i. Να βρεθεί η τιμή του χ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του ΑΒΓ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Να διαβάσετε το πρόβλημα 3 σελ. 49 .

Να λυθούν οι ασκήσεις 1,2/51 , 8/52 .

Να γίνει επανάληψη .

Να λύσετε τις ασκήσεις :

1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς χ . Αν το ύψος ΑΚ είναι

2√3 εκ.

i. Να βρεθεί η τιμή του χ .

ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του ΑΒΓ .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………



2. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΕ , ΒΖ τα δύο ύψη του.

Αν ΑΒ=3χ εκ. ,ΒΓ=15 εκ.,ΑΔ=13 εκ., ΑΕ=χ+6εκ. και η

περίμετρος του ΑΒΖΕ είναι 60 εκ , να βρείτε το εμβαδόν του

τραπεζίου .

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , και φέρνουμε το ύψος ΑΗ=12 εκ. Αν

(ΑΒΗ)=54τ.εκ. και ΗΓ=16 εκ. να υπολογισθεί η περίμετρος και το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………



4. Δίνεται ΑΒΓΔ τραπέζιο με ΑΒ//ΔΓ , ΑΒ<ΔΓ και �̂� = �̂� = 900 . Αν

ΓΕ= ύψος με ΒΕ=5εκ. , ΔΓ=9εκ και ΑΓ=15 εκ. να βρεθεί το

εμβαδόν και η περίμετρος του τραπεζίου.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

5. Δίνεται ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ//ΔΓ , ΑΒ<ΔΓ και �̂� = 450

Αν το ύψος ΑΚ=6εκ. και ΔΓ=30εκ. , να βρεθεί το εμβαδόν και η

περίμετρος του τραπεζίου.

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Documents

tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑcommonmaths.weebly.com/uploads/8/4/0/9/8409495/pythagorio.2.pdf · ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ . Ε . ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ