ΣΕΝΑΡΙΟ

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ

Τίτλος σεναρίου

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και η γενίκευση του.

Γνωστική περιοχή:

Γεωμετρία Β΄Λυκείου

Θέμα: Η εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος σε ορθογώνιο, σε

οξυγώνιο και σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Τεχνολογικά εργαλεία:

Το σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί με το λογισμικό The

Geometer ’ s Sketchpad , ένα λογισμικό δυναμικής αναπαράστασης με

δυνατότητα μετρήσεων.

Σκεπτικό

Βασική ιδέα:

Σε αυτό το σενάριο, επιχειρείται να δοθεί η δυνατότητα στο

μαθητή κάνοντας αλλαγές στο σχήμα, άλλοτε υπό την καθοδήγηση του

εκπαιδευτικού και άλλοτε με δική του πρωτοβουλία και σημειώνοντας

κάποιες μετρήσεις , να διερευνήσει τις σχέσεις μεταξύ των τετραγώνων

των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου και να καταλήξει μόνος του στη

διατύπωση του Πυθαγορείου θεωρήματος για ορθή, για οξεία και για

αμβλεία γωνία.

Προστιθέμενη αξία:

Tο προτεινόμενο εκπαιδευτικό σενάριο δεν αποτελεί μόνο μια

καινοτομία στο παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας της

1

συγκεκριμένης ενότητας των Μαθηματικών αλλά φιλοδοξεί να έχει και

ευρύτερες επιρροές.

Συγκεκριμένα :

Φιλοδοξεί να συμβάλει στην αλλαγή – βελτίωση της στάσης των

μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά και στη διαδικασία προσέγγισης

τους.

Οι μαθητές αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά

μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο διερεύνησης και μάλιστα, κάθε

μαθητής μπορεί να δοκιμάσει στο πλαίσιο αυτό τις δικές του ιδέες και

να καταλήξει στα δικά του συμπεράσματα τα οποία πρέπει να έχουν την

ανάλογη κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και την

επιστημονική τεκμηρίωση. Η χρήση των τεχνολογικών εργαλείων

αναμένεται να διευκολύνει σημαντικά προς αυτή την κατεύθυνση.

Στο παραδοσιακό περιβάλλον γεωμετρικής δραστηριότητας, ο

μαθητής για να «δει» αν επιβεβαιώνεται μια εικασία του, πρέπει να το

ξανασχεδιάσει από την αρχή, να σβήνει και να γράφει, να μεγεθύνει το

σχήμα του, να απομονώνει μέρη του κ.λ.π.

Ένα υπολογιστικό περιβάλλον μειώνει αυτή τη δυσκολία, εφόσον

το σχήμα αποκτά ένα δυναμικό χαρακτήρα και μπορεί να μεταβάλλεται

εύκολα. Το γεωμετρικό σχήμα είναι κάτι περισσότερο από ένα απλό

σχέδιο. Είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας από κινήσεις στο επίπεδο.

Η εργασία των μαθητών σε ομάδες και η στενή, συνεχής και

συγκροτημένη συνεργασία μεταξύ των μαθητών της κάθε ομόδας

προφανώς θα συμβάλει στην αλλαγή στάσης τους απέναντι στη μάθηση.

Ο εκπαιδευτικός που θα εντάξει στην διδασκαλία του το προτεινόμενο

σενάριο θα έχει την ευκαιρία να δοκιμάσει σύγχρονες διδακτικές και

παιδαγωγικές μεθόδους οι οποίες θα συμβάλλουν στη βελτίωση της

στάσης του απέναντι στη καθημερινή σχολική διαδικασία. Η συμβολή

του σ’ αυτό απαιτεί αλλαγή του ρόλου του και από παραδοσιακός

καθηγητής μετωπικών διδασκαλιών και αυθεντία της γνώσης, καλείται

2

να γίνει συνεργάτης των μαθητών του, σημείο αναφοράς της τάξης του

ως προς την καθοδήγηση της έρευνας και την επιστημονική εγκυρότητα

των συμπερασμάτων των μαθητών αλλά και ερευνητής ο ίδιος. Μέσω

του σεναρίου θα δοθεί η δυνατότητα στους μαθητές, ξεκινώντας από το

γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα , να ανακαλύψουν τις βασικές ανισοτικές

σχέσεις μεταξύ των τετραγώνων των πλευρών ενός τυχαίου τριγώνου, με

τη βοήθεια εργαλείων δυναμικής αναπαράστασης. Οι μαθητές θα

διερευνήσουν το θέμα συνεργαζόμενοι μεταξύ τους και με τον

διδάσκοντα και θα δοκιμάσουν δικές τους ιδέες και προτάσεις. Έτσι οι

μαθητές αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορούν

να αποτελέσουν αντικείμενο διερεύνησης και όχι μόνο ένα στείρο πεδίο

παρουσίασης θεωρίας και τυποποιημένων ασκήσεων.

ΠΛΑΊΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΉΣ

Σε ποιους απευθύνεται:

Το σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Β΄Λυκείου.

Αριθμός μαθητών: 21

Χρόνος υλοποίησης:

Για την εφαρμογή του σεναρίου εκτιμάται ότι απαιτούνται 3

διδακτικές ώρες. Εναλλακτικά, μπορεί να διατεθεί λιγότερος χρόνος αν

επιλεγεί να γίνει παρουσίαση του σεναρίου στην τάξη με τη χρήση του

βιντεοπροβολέα.

Χώρος υλοποίησης:

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί εξ’ ολοκλήρου στο

εργαστήριο υπολογιστών εκτός από την 1η φάση του. Η επιλογή του

διδάσκοντα να το υλοποιήσει όλο στην αίθουσα διδασκαλίας με τη χρήση

3

του βιντεοπροβολέα δεν συνίσταται καθώς έτσι ακυρώνεται το

διερευνητικό μέρος των δραστηριοτήτων και ο πειραματισμός από τους

μαθητές, οπότε χάνεται το μεγαλύτερο μέρος της προστιθέμενης αξίας.

Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών:

Ως προς τα Μαθηματικά: Οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν τις

έννοιες των ορθογώνιων, των οξυγώνιων, των αμβλυγώνιων τριγώνων,

την ορθή προβολή (έννοια και κατασκευή αυτής) και υπολογισμό μιας

δύναμης .

Ως προς το λογισμικό : Οι μαθητές θα πρέπει να είναι

εξοικειωμένοι με τις βασικές λειτουργίες του λογισμικού The Geometer’s

Sketcpad (αν και θα έχουν έντυπες οδηγίες).

Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία:

Τετράδιο (για να κρατούν σημειώσεις για την πορεία της

διερεύνησης και να καταγράφουν τα συμπεράσματα τους)

Βιβλίο (για να ανατρέχουν σε αυτό για ήδη διδαγμένες έννοιες)

Φύλλα εργασίας τα οποία δίνονται από τον καθηγητή και έχουν ως

στόχο να καθοδηγούν τους μαθητές στην διερεύνηση των

διαφόρων ερωτημάτων.

Απλοποιημένες οδηγίες χρήσης του χρησιμοποιούμενου

λογισμικού που θα δοθούν από τον εκπαιδευτικό.

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης:

Οι μαθητές κάθονται ανά τρεις μπροστά σε κάθε υπολογιστή με

τρόπο που οι ίδιοι θα επιλέξουν ώστε να επιτευχθεί στο μέγιστο δυνατό

βαθμό η χρήση κοινού κώδικα επικοινωνίας με τους συνεργάτες τους

αλλά και να αισθάνονται αποδεκτοί από την ομάδα τους. Το ρόλο που

θα αναλάβει ο καθένας μέσα στην ομάδα (συντονισμός, χειρισμός Η/Υ ,

καταγραφή δεδομένων, εκπροσώπηση ομάδας κ.λ.π) τον καθορίζουν τα

4

μέλη της ομάδας, ενώ στη συνέχεια ο εκπαιδευτικός φροντίζει για την

εναλλαγή των ρόλων.

Οι μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες και καθοδηγούμενοι από φύλλο

εργασίας, καλούνται να κατασκευάσουν και να εξερευνήσουν

συγκεκριμένα σχήματα καθώς και να απαντήσουν σε συγκεκριμένες

ερωτήσεις. Επομένως, η διερεύνηση αυτή θα γίνει συνεργατικά. Για να

υπάρχει κοινός στόχος και καλή συνεργασία, οι μαθητές καλούνται να

συμπληρώσουν ένα κοινό φύλλο εργασίας που περιέχει ερωτήσεις

σχετικές με το θέμα. Φυσικά, το φύλλο εργασίας αυτό θα πρέπει να

αφήνει μια αρκετά μεγάλη ελευθερία στους μαθητές ώστε να θέτουν τα

δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σε αυτά.

Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου, ο εκπαιδευτικός θα

πρέπει να ελέγχει τα συμπεράσματα των μαθητών, να συνεργάζεται μαζί

τους, να τους καθοδηγεί ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα

αποτελέσματα τους και να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την

διερεύνηση.

Η επικοινωνία όλων των μαθητών της τάξης με τις εργασίες των

συμμαθητών τους και η συλλογική διερεύνηση κρίσιμων παραμέτρων

της διερεύνησης μπορεί επίσης να ενισχυθεί με κατάλληλη χρήση του

διαδραστικού πίνακα σε διαφορετικές πτυχές της εφαρμογής των

δραστηριοτήτων του σεναρίου.

Στόχοι

Ως προς το γνωστικό αντικείμενο

Οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν:

Να συσχετίσουν τις ανισοτικές σχέσεις μεταξύ των πλευρών ενός

τριγώνου με τις έννοιες του οξυγωνίου και του αμβλυγωνίου

τριγώνου.

5

Να ανακαλύψουν και να διατυπώσουν τη Γενίκευση του

Πυθαγορείου θεωρήματος για οξεία και για αμβλεία γωνία ενός

τριγώνου.

Να επεκτείνουν τη νέα γνώση και σε άλλα θεωρήματα, όπως είναι

τα θεωρήματα των διαμέσων.

Ως προς τη χρήση νέων τεχνολογιών

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί:

Να επιλέγουν από ένα πλήθος εργαλείων, αυτά που θεωρούν

κατάλληλα για τις διερευνήσεις.

Να αναπτύσσουν στρατηγικές διερεύνησης και αξιοποίησης των

εμπειριών τους και των εργαλείων του λογισμικού.

Να εκπαιδευτούν στη χρήση μέρους του εκπαιδευτικού λογισμικού

που χρησιμοποιείται.

Να γνωρίσουν μερικές από τις επιπλέον δυνατότητες που τους

προσφέρει η τεχνολογία.

Να καταστούν ικανοί να χρησιμοποιήσουν αργότερα μόνοι τους

την τεχνολογία για να πειραματιστούν, να υποθέσουν, να ελέγξουν

και να συμπεράνουν.

Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία

Οι μαθητές θα πρέπει:

Να μάθουν να αναπτύσσουν εικασίες και υποθέσεις σχετικές με

τις έννοιες και τις διαδικασίες του σεναρίου.

Να τους δοθεί η ευκαιρία να οργανώσουν τα δεδομένα τους από

την διερεύνηση ώστε να διευκολυνθούν στην εξαγωγή

συμπερασμάτων.

Να μάθουν να ελέγχουν τις υποθέσεις τους είτε ατομικά είτε

μπροστά σε όλη την τάξη, με την βοήθεια του αλληλεπιδραστικού

πίνακα.

6

Να μάθουν να τεκμηριώνουν τα συμπεράσματα τους σε όλη την

τάξη.

Να μάθουν να συμμετέχουν στον διάλογο όλης της τάξης και να

συνεισφέρουν με τις ιδέες και τις εκτιμήσεις τους.

Να οικοδομούν κώδικες επικοινωνίας ώστε να γίνονται αντιληπτοί

από τους συμμαθητές τους και τον καθηγητή τους.

Ανάλυση του σεναρίου

Η εφαρμογή του σεναρίου μπορεί να διαχωριστεί στις παρακάτω φάσεις:

1 η Φάση:

Η φάση αυτή είναι εισαγωγική και πραγματοποιείται στην αίθουσα

όπου υπάρχει διαθέσιμος βιντεοπροβολέας.

Κατά τη διάρκεια της 1ης φάσης ο διδάσκων:

Ανακοινώνει στους μαθητές το περιεχόμενο της διδακτικής πρότασης

και παρουσιάζει συνοπτικά το χρονοδιάγραμμα, το χώρο και τη μέθοδο

υλοποίησης της. Επίσης, υπογραμμίζει στους μαθητές τον καθοριστικό

τους ρόλο στην πραγματοποίηση της πρότασης αυτής, καθώς και το ότι,

κατά τη διάρκεια της εργασίας σε ομάδες, κάθε μέλος έχει την ευθύνη:

να συνεισφέρει στη διεκπεραίωση της εργασίας που έχει ανατεθεί

στην ομάδα,

να ακούει προσεκτικά τις απόψεις των υπολοίπων μελών,

να διατυπώνει τις απόψεις του με επιχειρήματα.

Καλλιεργεί κίνητρα μάθησης, εντάσσοντας τις δραστηριότητες των

ομάδων στο πλαίσιο της δημιουργίας μιας σύνθετης (γραπτής,

προφορικής και ψηφιακής) πρότασης.

Συντονίζει τον χωρισμό των μαθητών σε ομάδες των τριών ατόμων και

γνωστοποιεί τους ρόλους τους οποίους θα αναλάβουν οι μαθητές μέσα

από ενδοομαδική συνεννόηση, καθώς και το ότι θα μπορούν να

7

εναλλάσσονται οι ρόλοι αυτοί, κατά το δυνατόν στις διαφορετικές φάσεις

διεξαγωγής της εργασίας τους στο Εργαστήριο Πληροφορικής.

Απαντά σε απορίες των μαθητών επί της διαδικασίας.

Γνωστοποιεί τα κριτήρια αξιολόγησης της συμβολής κάθε μέλους ανά

ομάδα και φάση της διαδικασίας.

Διευκρινίζει τον δικό του συντονιστικό και υποστηρικτικό ρόλο σε όλη

τη διάρκεια υλοποίησης της διδακτικής πρότασης.

Γίνεται μια πρώτη επαφή των μαθητών με το λογισμικό The

Geometer’s Sketchpad και με τη βοήθεια του διδάσκοντα, τους δίνεται η

δυνατότητα να γνωρίσουν κάποιες βασικές λειτουργίες του λογισμικού

και να πειραματιστούν με αυτές, όπως είναι η κατασκευή τριγώνου, η

δυνατότητα μετακίνησης σημείων που συνεπάγεται και την ταυτόχρονη

μεταβολή των σχημάτων, η προβολή μετρήσεων για ένα σχήμα,

λειτουργίες δηλαδή που καλό θα είναι να έχουν δει από την αρχή, για

καλύτερη κατανόηση της δραστηριότητας.

2η Φάση:

Προτείνεται στους μαθητές, στην αρχή, να ανοίξουν το αρχείο

«ΠΡΟΒΟΛΕΣ.gsp» και ακολουθώντας τις ερωτήσεις του φύλλου

εργασίας με το αντίστοιχο όνομα να κατασκευάσουν τις προβολές

τριών διαφορετικών σημείων πάνω σε μία ευθεία. Στη συνέχεια τους

ζητείται να καταγράψουν τις παρατηρήσεις και τα συμπεράσματα τους

για την προβολή σημείου που ανήκει στην ευθεία, σημείου που δεν

ανήκει σε αυτή και την προβολή ευθυγράμμου τμήματος πάνω σε αυτή.

Ακολούθως ζητάμε από τους μαθητές να ανοίξουν ένα δεύτερο αρχείο

με το όνομα «ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ.gsp» στο οποίο έχουμε

κατασκευάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Εδώ θέλουμε οι μαθητές να

επιβεβαιώσουν αν είναι πράγματι ορθογώνιο το τρίγωνο, να κάνουν

κάποιες μετρήσεις και υπολογισμούς και τέλος μέσα από μια σειρά

ερωτημάτων που υπάρχουν στο δεύτερο φύλλο εργασίας να καταλήξουν

8

στη διατύπωση του Πυθαγορείου θεωρήματος για ένα ορθογώνιο

τρίγωνο.

3η Φάση:

Σε αυτή τη φάση ο διδάσκων προτρέπει τους μαθητές να ανοίξουν και

ένα τρίτο αρχείο με το όνομα « ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

ΘΕΩΡΗΜΑ.gsp». Στο αρχείο αυτό περιέχονται ένα ορθογώνιο τρίγωνο

ΑΒΓ και ένα τυχαίο τρίγωνο ΔΕΖ στο οποίο οι πλευρές ΔΕ και ΔΖ είναι

σταθερού μήκους και η γωνία Δ είναι μεταβλητή , δηλαδή μπορεί να

αλλάξει μετακινώντας είτε το σημείο Ε είτε το σημείο Ζ. Ο διδάσκων

ζητάει από τους μαθητές να εφαρμόσουν το Πυθαγόρειο θεώρημα στο

ορθογώνιο τρίγωνο και στο δεύτερο τρίγωνο να υπολογίσουν το

τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από τη μεταβλητή γωνία

καθώς και το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών με το

σταθερό μήκος, το οποίο και παραμένει σταθερό για όλες τις τιμές της

γωνίας Δ. Με τη βοήθεια του τρίτου φύλλου εργασίας και με την

καθοδήγηση του καθηγητή οι μαθητές διαπιστώνουν ότι αν γωνία Δ

είναι οξεία τότε ισχύει η σχέση ΕΖ2 <ΔΕ2+ΔΖ2 ενώ αν η γωνία Δ είναι

αμβλεία τότε ισχύει ΕΖ2>ΔΕ2+ΔΖ2 και για να αποκατασταθεί η ισότητα

στις δύο περιπτώσεις, στη μεν πρώτη πρέπει να αφαιρεθεί «κάτι» από το

δεύτερο μέλος της, ενώ στη δεύτερη να προστεθεί «κάτι» στο δεύτερο

μέλος. Η ποσότητα που πρέπει να προστεθεί ή να αφαιρεθεί στις δύο

περιπτώσεις για να αποκατασταθεί η ισότητα είναι φανερό ότι εξαρτάται

από τη γωνία και συγκεκριμένα όπως αποδεικνύεται από τον τύπο που

περιέχει την προβολή μιας πλευράς πάνω σε άλλη. Στη συνέχεια οι

μαθητές ασχολούνται μόνο με την περίπτωση όπου η γωνία Δ είναι οξεία

ενώ την δεύτερη περίπτωση, της αμβλείας γωνίας, την έχουν εργασία

στο σπίτι. Με διάφορες μετρήσεις και υπολογισμούς που τους ζητείται

στο τρίτο φύλλο εργασίας καταλήγουν στη διατύπωση της Γενίκευσης

του Πυθαγορείου θεωρήματος για οξεία γωνία.

9

Επέκταση του σεναρίου:

Μια ενδιαφέρουσα επέκταση του σεναρίου αναφορικά με την ίδια

γνωστική περιοχή αποτελεί η μελέτη των θεωρημάτων της διαμέσου ενός

τριγώνου, καθώς και ο νόμος συνημιτόνων που διδάσκονται στην

δευτέρα τάξη του ημερησίου Γενικού και Επαγγελματικού Λυκείου.

Αξιολόγηση μετά την εφαρμογή

Το συγκεκριμένο σενάριο υλοποιήθηκε ακριβώς σύμφωνα με το

σχεδιασμό και τους στόχους που είχαμε θέσει στην 1η φάση. Οι μαθητές

έδειξαν ενδιαφέρον, μολονότι κάποιες φορές δυσκολεύτηκαν στην

εκτέλεση κάποιας εντολής που ήθελε αυξημένη συγκέντρωση και

προσοχή. Ήταν μια πολύ θετική εμπειρία η οποία βοήθησε τους μαθητές

να αλλάξουν την στάση τους απέναντι στα Μαθηματικά. Οι μαθητές το

απόλαυσαν σαν ένα παιχνίδι με πολλά οφέλη και ήταν μεγάλος ο βαθμός

εμπλοκής τους στη μαθησιακή διαδικασία.

Ο τρόπος συνεργασίας και επικοινωνίας των μαθητών ήταν τέτοιος που

έδειξε οτι έχουν αποκτήσει τις απαιτούμενες δεξιότητες του 21ου αιώνα

όπως:

Δημιουργικότητα

Κριτική σκέψη

Ικανότητα επίλυσης προβλημάτων

Επικοινωνίας

Συνεργασίας

Διαχείριση χρόνου και άλλα.

Αν σχεδίαζα πάλι το σενάριο ίσως να άλλαζα κάποιες απαιτήσεις που

είχαν ορισμένες δραστηριότητες και κατ’ επέκταση κάποιες ερωτήσεις

στα φύλλα εργασίας.

10

1ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Ονοματεπώνυμο μαθητών/τριών

Διδακτική ενότητα : Ορθές προβολές

Ε1: Ανοίξτε την εφαρμογή «ΠΡΟΒΟΛΕΣ.gsp»

Αυτό που εμφανίζεται είναι μια ευθεία και τρία σημεία Α, Β και Γ.

Το Β ανήκει στην ευθεία ενώ τα Α και Γ είναι εκτός αυτής.

Ε2: Να κατασκευάσετε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία

χρησιμοποιώντας το εργαλείο «κατασκευή» και να ονομάσετε Δ το

ίχνος της καθέτου από το Α.

Ε3: Ομοίως να κατασκευάσετε την προβολή του σημείου Β πάνω στην

ευθεία. Τι παρατηρείται για το ίχνος του Β;

Ε4: Επίσης να κατασκευάσετε την προβολή του σημείου Γ πάνω στην

ευθεία και να ονομάσετε Ε το ίχνος της καθέτου από το Γ . Στη

συνέχεια να σχεδιάσετε την προβολή του τμήματος ΒΓ.

Ε5: Αν μετακινήσουμε τα σημεία Α, Β και Γ παρατηρείται κάποια

αλλαγή στις προβολές τους;

2ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

11

Ονοματεπώνυμο μαθητών/τριών

Διδακτική ενότητα : ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Ε1: Ανοίξτε την εφαρμογή «ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. gsp» Αυτό

που εμφανίζεται είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Ε2: Χρησιμοποιήστε την εντολή «μέτρηση» για να επιβεβαιώσετε ότι το

τρίγωνο είναι ορθογώνιο και στη συνέχεια μετρήστε τα μήκη των

πλευρών του τριγώνου.

Ε3: Με τη βοήθεια του «υπολογισμός» από το εργαλείο «μέτρηση» να

υπολογίσετε τα τετράγωνα των πλευρών του τριγώνου καθώς και το

άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του και στη

συνέχεια να πινακοποιήσετε τα στοιχεία.

Ε4: Μεταβάλλετε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου,

προσθέστε τα δεδομένα στον παραπάνω πίνακα και

συγκρίνοντας τις στήλες μεταξύ τους να εξάγετε τα συμπεράσματα

σας για τη σχέση που συνδέει τα τετράγωνα των πλευρών του

ορθογωνίου τριγώνου.

Ε5: Συμπληρώστε τα κενά:

«Σε κάθε ................ τρίγωνο, το άθροισμα των ..................... των

κάθετων πλευρών του είναι .........................με το τετράγωνο της

υποτείνουσας». Η παραπάνω πρόταση είναι γνωστή ως:

Πυθαγόρειο θεώρημα

12

3ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Ονοματεπώνυμο μαθητών/τριών

Διδακτική ενότητα : ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Ε1: Ανοίξτε την εφαρμογή « ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

ΘΕΩΡΗΜΑ.gsp». Αυτά που εμφανίζονται είναι δύο τρίγωνα ,ένα

ορθογώνιο ΑΒΓ και ένα τυχαίο τρίγωνο ΔΕΖ .

Ε2: Χρησιμοποιήστε την εντολή «μέτρηση» για να επιβεβαιώσετε ότι το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, μετρήστε τα μήκη των πλευρών του

και εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα όπως εργαστήκαμε στο 2ο

φύλλο εργασίας.

Ε3: Μετρήστε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΔΕΖ .Αν

μετακινήσουμε τις κορυφές του τι αλλάζει και τι παραμένει ίδιο;

Ε4: Με τη βοήθεια του «υπολογισμός» από το εργαλείο «μέτρηση» να

υπολογίσετε τα τετράγωνα των πλευρών του τριγώνου ΔΕΖ καθώς

και το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών με σταθερό μήκος

και στη συνέχεια να πινακοποιήσετε τα στοιχεία. Στον πίνακα να

συμπεριλάβετε και την γωνία Δ.

Ε5: Συγκρίνοντας τις τιμές των τριών τελευταίων στηλών, τι

παρατηρείτε για τις ποσότητες ΕΖ2 και ΔΕ2+ΔΖ2 σε σχέση με το

είδος της γωνίας Δ;

13

Ε6: Μετακινήστε τις κορυφές Ε και Ζ ώστε η γωνία Δ να παραμένει

οξεία. Στη συνέχεια να φέρετε το ύψος από την κορυφή Ε και να

ονομάσετε Η το ίχνος του.

Ε7: Να βρείτε ποιά είναι η προβολή της πλευράς ΔΕ πάνω στην ΔΖ.

Ακολούθως βρείτε το διπλάσιο γινόμενο της προβολής επί την

πλευρά ΔΖ.

Ε8: Να υπολογίσετε την διαφορά (ΔΕ2+ΔΖ2)-ΕΖ2 .

Ε9: Τα αποτελέσματα των ερωτήσεων Ε7 και Ε8 να τα πινακοποιήσετε.

Ε10: Μεταβάλλετε την γωνία Δ με τέτοιο τρόπο ώστε να παραμένει

οξεία, προσθέστε τα δεδομένα στον παραπάνω πίνακα και

συγκρίνοντας τις στήλες μεταξύ τους να εξάγετε τα συμπεράσματα

σας για τη σχέση που συνδέει τα τετράγωνα των πλευρών ενός

οξυγωνίου τριγώνου.

Ε11: Συμπληρώστε την σχέση: ΕΖ2=..................................................

Διατυπώστε λεκτικά την παραπάνω σχέση.

Ε12: Θεωρείτε ότι η παραπάνω πρόταση ισχύει για όλες τις οξείες

γωνίες;

Ναι/Όχι

Αποδείξτε:

Εργασία για το σπίτι

Να ελέγξετε τι ισχύει για αμβλεία γωνία και να διατυπώσετε την

αντίστοιχη πρόταση.

14

15