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MATEMÁTICAS BÁSICAS
División: Para a, bE R, a * O, b -;- a , -b
o b/a. (que se lee "b dividido a" o "b sobre a") a
denota al número b.(a - 1).
Nota: b -;- a no está definido cuando a = O.
ORDEN ENR
Existe un subconjunto de R, denotado R + Y cuyos elementos son llamados números reales positivos, que satisface los siguientes axiomas:
• Si a,bER+,entonces a+bER+ y abER+
• Si a E R Y a * O, entonces a E R + o - a E R + pero no ambas cosas. (Si - a E R + se dice que a es negativo).
A partir de los axiomas anteriores, damos significado a los símbolos> (mayor que) y < (menor que), así: Para a, bE R,
a > b (o b < a) significa que a - b es positivo, es decir, que a - bE R +
Nótese que a > O significa que a es positivo, y que a < O significa que a es negativo.
Los símbolos ~ (mayor o igual que) y ~ (menor o igual que) tienen el siguiente significado:
a ~ b (o b ~ a ) SI a > b o a = b
Hechos importantes
• Si a E R Y a * O, entonces a 2 > O.
• Para todo a E R, se tiene que a 2 ~ O.
• Como 1* O,entonces 1=12 > O, esto es 1> O.
• Para a, b, c E R , se tienen las siguientes propiedades:
o Si a < b y b < c ,entonces a < c.
2
o Si a ~ b Y b ~ c , entonces a ~ c. o Si a ~ b Y b < c ,entonces a < c . o Si a > b Y b > e, entonces a > c .
• Si a, b E R, se satisface una y sólo una
·_u.__
a> b.
• Para a, b, c E R, se tienen las sigu " .....
o Si a >
o Si a <
o Si ab ~ a
o Si > b
o Si a ~ b
o Si a<
a+ a <
2
estarían
MATEMÁTICAS BÁSICAS
) bja. (que se lee "b dividido a" o " b sobre a")
i
1
o Si a ~ b Y b ~ c, entonces a ~ c. o Si a ~ b Y b < c, entonces a < c. o Si a > b Y b > c , entonces a > c .
• Si a, b E R , se satisface una y sólo una de las siguientes afirmaciones: a = b , a < b o
a> b.
• Para a, b, CE R, se tienen las siguientes propiedades:
o Si a < b, entonces a + c < b + C . El recíproco también es cierto, es decir, SI
a +c < b+c, entonces a < b (se obtiene sumando - c a ambos lados de la desigualdad).
o Si a ~ b, entonces a + c ~ b + C . El recíproco también es cierto. o Si a < b Y c > O , entonces ac < bc. o Si a ~ b Y c > O , entonces ac ~ bc. o Si a < b Y c < O, entonces ac > bc.
Por ejemplo, 2<5 pero 2(-3»5(-3), porque -6>-15.
o Si a ~ b Y c < O, entonces ac ~ bc . o Si a > O, entonces - a < O . o Si a < O, entonces - a > O.
1 o Si a > O, entonces > O.
a 1
o Si a < O, entonces < O . a
o Si ab > O, entonces a > O Y b > O , o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto, esto es, si a > O Y b > O , o, a < O Y b < O, entonces ab> O.
o Si ab < O, entonces a > O Y b < O, o, a < O Y b > O. El recíproco también es cierto. o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto. o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto.
o Si a > O, entonces a > O Y b > O, o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto. b
o Si a ~ O, entonces a ~ O Y b > O, o, a ~ O Y b < O. El recíproco también es cierto. b
o Si a < b, siempre existe c E R tal que a < c < b. Por ejemplo, c = a + b es tal que 2
a+b a < < b . Por tanto existen infinidad de números entre a y b, pues también
2 , a+ e c+b
estanan . , etc. 2 2
Aún más, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales que hay entre a y b Y todo el conjunto de los números reales R. Esta correspondencia está sugerida en el siguiente dibujo:
3
.
l
l
MATEMÁTICAS BÁSICAS
-f(--------4)---+1 Segmento abierto de extremos a y b a b
• R
(Se curva el segmento haciendo coincidir a con b. Se trazan segmentos desde donde coinciden hasta la recta real R. Siempre habrá dos puntos de corte: uno del segmento curvado y otro de la recta real. De ahí se infiere la correspondencia biunívoca. Así por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 hay tantos números reales como los que hay en la recta real R)
Axioma de completitud o de continuidad de los Números Reales
Existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales R y el conjunto de puntos sobre una recta:
J2 e 1T I I I I I I I I I 11 I IR
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 -/32 3 4 5 6 7
.J2=1.414... ; .[j=1.732... ; e = 2.718 ... ; 1t = 3.141. ..
y se satisface el siguiente axioma: Sean A y B subconjuntos no vaCÍos de R tales que a ~ b para cada a E A y cada bE B. Entonces existe CE R tal que a ~ c y c ~ b , cualesquiera sean a E A Y b E B.
También se tienen las siguientes propiedades:
• Si a < b , existe h > O tal que a + h = b.
• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el conjunto de los números reales R no es acotado superiormente.
• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el conjunto de los números reales R no es acotado inferiormente.
• Si x E R satisface O~ x < E para todo E > O , debe ser x = o. (En efecto, como x ~ O , si fuese x > O, como x < E para todo E> O , sería en particular x < x , lo que contradice que x = x).
4
Lo anterior significa que el único número quiera es el 0, es decir, el único infinit propiedad se utiliza cuando es dificil prob R son iguales, probando que, por ejemplo concluyendo entonces que b - a =O , es de
Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevi Si a ~ b y b < c , se abrevi
Algunos subconjuntos especiales de R
N = {1, 2, 3, ... }: ~,-. A .. Jnl:: númer
z = { ... , - 3,
Q={m/ n:
I={aER: ti
Se tiene que
Ejemplo: ~,3
Operaciones primeros axi
a b a1. - +-=
c c
Ejemplo:
2. ~+.:. = a b d
Ejemplo:
Segmento abierto de extremos a y b
,: ... .. .... -~--
"\ ------ __ . .... ---".J"
R
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Lo anterior significa que el único número real no negativo que es tan pequeño como uno quiera es el O, es decir, el único infinitesimal no negativo en R es el cero. Esta propiedad se utiliza cuando es dificil probar directamente que dos expresiones a y b en R son iguales, probando que, por ejemplo, se satisface O~ b - a < e para todo e > O Y concluyendo entonces que b - a =O , es decir, a = b.
Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevia a < b < c. Sí a ~ b y b < c , se abrevia a ~ b < c .
Algunos subconjuntos especiales de R
N ={1, 2,3, ... }: Conjunto de los números naturales.
z = { ••. , - 3, - 2, - 1, O, 1,2,3, ... }: Conjunto de los números enteros.
Q = { m/n: m, n E Z y n::F- O }: Conjunto de los números racionales.
1 = { a E R: a no es racional Ca ~ Q) }: Conjunto de los números irracionales .
Se tiene que N e Z e Q e R y que Q u 1 = R .
Ejemplo: ±, -~EQ; 12,13, e, 7t E I
Operaciones con fraccionarios o quebrados (propiedades que se desprenden de los primeros axiomas)
1. ~+~ = a+b c c c
. 1 3 1+3 4Ejemplo: - + - = -- = - = 1
444 4
3/4
2. ~ + ~ = ad + bc b d bd
5
MA TEMÁTlCAS BÁSICAS
1l2L,.,.,-,---L._--l1 ~I .a-..I..l.-l-'---J...--'---l
1I3 = 216
3. ~~=~ b d bd
. I I (IXI) IEjemplo: -- = --=
43 (4X3) 12
I 1I (1I4XIl3) =1I12
cuarta parte de UJt tercio = UJt doceavo
. 1 2 I (2X3)Ejemplo: 2+- =-+ - =-- = 6
3 I 3 (IXI)
1/2 = 3/6
Otra manera de comprobarlo es:
INTERVALOS
Sean a, b E R
se llama intervalo
se llama intervalo
También se
Comprobemos, a manera de ejemplo, que (a b
2/(1I3) = 6 dos wridades divididas en tercios da seis
5. - (- a) = a ; (a -1 t = a siempre que a *- ü .
6. (- a)b=-(ab)=a(-b); -a =_a = a siempre que b*-ü . b b - b
7. - (a+b)=-a-b ; (abt l =a - 1b- 1 siempre que a *- ü y b*-ü.
ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES
(a ± b l = a 2 ± 2ab + b2
(a±b)3 =a3 ± 3a 2b + 3ab 2 ±b3
b2(a + bXa - b) =a 2
(a + b Xa 2 - ab + 1/ )= a 3 +·h3
6
Ejemplo: [- 3,
los números:
[- 3, 4) , por ej