ÜÇGENDE AÇIORTAY VE ÜÇGENDE KENARORTAY ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ

KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR,

ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

1. Açıortay

Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.

Aşağıdaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.

Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik

uzunluklar eşittir.

AOB bir açı,

[OC açıortay

m(AOC) = m(COB)

 |AC| = |CB|

AOC ve BOC eş

üçgenler olduğundan

|OA| = |OB|

2. İç Açıortay Bağıntısı

ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin

[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan

olur .....(1)

 

ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC

üçgeninde

[AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.

olur .....(2)

 

[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den

olur

ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla

Burada

n

ve b.y=c.x eşitlikleri de elde

edilir.

 

3. İç Açıortay Uzunluğu

ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay

uzunluğuna nA dersek

 

4. Dış Açıortay Bağıntısı

ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.

 

5. Dış Açıortay Uzunluğu

ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna

n'A dersek

 

6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı

m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için

bilgiyelpazesi.com

2a + 2b = 180°

a + b = 90° dir.

            Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet

çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen

dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

            ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1. Ağırlık Merkezi

Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim

noktasına ağırlık merkezi denir.

ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının

kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi

denir.

a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.

ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların

orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise

 

eşitlikleri vardır.

 

b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan

nokta ağırlık merkezidir.

c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve

|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası

ağırlık merkezidir.

d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|

olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

e. ABC üçgeninde

|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|

eşitliğini sağlayan G noktası ABC

üçgeninin ağırlık merkezidir.

2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay

|AG|=|DC|=|BD|

 

3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.

b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin

alanı üç eşit parçaya bölünür.

c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile

birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

bilgiyelpazesi.com

4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse

|AK| = 3x

|KG| = x

|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.

K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.

[FE] //[BC]

 

2[FE]=[BC]

 

a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde

şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.

b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde

üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.

5. Kenarortay Uzunluğu

ABC üçgeninde A köşesinden çizilen

kenarortayın uzunluğuna Va dersek

Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.

bilgiyelpazesi.com

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

6. Dik Üçgende Kenarortaylar

A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında