UKURAN PEMUSATANMata kuliah : Statistika Terapan

Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc

Semester : II

Pertemuan : IV

Pokok Bahasan : Ukuran Pemusatan; Mean, Modus

dan Median

PROGRAM STUDI AKUNTANSI PERPAJAKAN

Tujuan Pembelajaran:• Mahasiswa mampu menentukan unsur-unsur yang perlu diketahui sebelum

memperoleh nilai mean, modus dan median.

• Mahasiswa mampu menentukan nilai rata-rata hitung, modus dan median.

• Mahasiswa mampu memahami hubungan antara mean, modus dan median.

• Mahasiswa mampu membedakan antara mean, modus dan median.

Sub Pembahasan

1. Mean

2. Modus

3. Median

4. Hubungan Mean, Median dan Modus

5. Kuartil

6. Desil

7. Persentil

Rata-rata Hitung (MEAN)Merupakan jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.

ҧ𝑥 =𝑋1+𝑋2+𝑋3+⋯+𝑋𝑛

𝑛=

σ𝑖=1𝑖=𝑛 𝑋𝑖

𝑛

Di mana:𝜇 = rata − rata hitungan untuk populasiҧ𝑥 = rata − rata hitungan untuk sampel

1. Rata-rata Tertimbanga. Carilah mean dari 5 pertumbuhan tanaman kangkung berikut: X1 = 70, X2 = 65, X3 = 30, X4 =

45, X5 = 60.

Penyelesaian:

ҧ𝑥 =70+65+30+45+60

5= 54

2. Rata-rata Hitung Data Dikelompokkan

Rumusnya: ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑋𝑖σ 𝑓𝑖

Di mana:

Xi = Titik tengah masing-masing kelas

Fi = Frekuensi masing-masing kelas

Contoh:

Carilah mean dari distribusi frekuensi berikut:No. Kelas Interval Frekuensi (fi) Xi Fi.Xi

1 53 – 58 2 55,5 111

2 59 – 64 12 61,5 738

3 65 – 70 10 67,5 675

4 71 – 76 23 73,5 1690,5

5 77 – 82 14 79,5 1113

6 83 – 88 10 85,5 855

7 89 – 94 5 91,5 457,5

8 95 – 100 4 97,5 390

Ʃfi = 80 Ʃfi.xi = 6030

Maka meannya adalah:

ҧ𝑥 =σ𝑓𝑖𝑋𝑖σ𝑓𝑖

=6030

80= 75,38

Mencari mean dengan cara coding atau short cut.

ҧ𝑥 = 𝑥0 + 𝑃σ𝑓𝑖𝑐𝑖σ𝑓𝑖

Di mana:

Ci = Pengkodean (mulai dari nol)

X0 = Nilai tengah kelas yang memakai kode 0

P = Panjang kelas/interval

Carilah mean dari distribusi frekuensi berikut:No. Kelas Interval Frekuensi (fi) Ci fi.ci X0

1 53 – 58 2 -3 -6 55,5

2 59 – 64 12 -2 -24 61,5

3 65 – 70 10 -1 -10 67,5

4 71 – 76 23 0 0 73,5

5 77 – 82 14 1 14 79,5

6 83 – 88 10 2 20 85,5

7 89 – 94 5 3 15 91,5

8 95 – 100 4 4 16 97,5

Ʃfi = 80 Ʃfi ci = 25

Maka meannya adalah:

ҧ𝑥 = 𝑥0 + 𝑃σ𝑓𝑖𝑐𝑖σ𝑓𝑖

= 73,5 + 525

80= 75,38

MODUS

Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dalam suatu kumpulan data.

Contoh:

Data dari 10 pertumbuhan tanaman bayam sebagai berikut: 50, 40, 37, 50, 50, 60, 80, 80, 70, 90.

Maka modusnya adalah 50.

Rumus modus dari data kuantitatif degan data distribusi frekuensi:

𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃𝑏1

𝑏1 + 𝑏2Di mana:

b = Tepi batas bawah kelas modus

P = Panjang kelas/interval

b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya.

Contoh:Diketahui distribusi frekuensi di samping:

Berdasarkan tabel di samping, didapat:

b1 = 25 – 20 = 5

b2 = 25 – 5 = 20

b = 80,5

P = 10

Jadi modusnya adalah

𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃𝑏1

𝑏1 + 𝑏2= 80,5 + 10

5

5 + 20= 82,5

Kelas Interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 5

Ʃf = 73

Latihan Soal :

Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:

Tentukan nilai modusnya!

No. Kelas Interval Frekuensi

1 20 – 29 4

2 30 – 39 7

3 40 – 49 8

4 50 – 59 12

5 60 – 69 9

6 70 – 79 8

7 80 – 89 2

50

MEDIANMerupakan nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menurut besarnya data:

Contoh:

Median dari data berikut: 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10 adalah 7 (untuk data ganjil)

Dan median dari data 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11 adalah (7+8)/2=7,4 (untuk data genap)

Untuk menentukan median dari data yang dikelompokkan dalam data distribusi frekuensi menggunakan rumus:

𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃

12𝑛 − 𝐹

𝑓

Di mana:

b = Tepi batas bawah kelas median

P = Panjang kelas/interval

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median

n = Jumlah seluruh frekuensi

f = frekuensi kelas median

Contoh:Diketahui tabel distribusi frekuensi di samping:

Berdasarkan tabel di samping, kelas mediannya adalah:

73/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak di kelas interval ke 5) sehingga didapat b = 70,5; P = 10; F=23; n = 73. Dengan demikian nilai mediannya adalah:

𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃

12𝑛 − 𝐹

𝑓

= 70,5 + 10

12. 73 − 23

20= 77,25

Kelas Interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 5

Ʃf = 73

Latihan Soal :

Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:

Tentukan nilai mediannya!

No. Kelas Interval Frekuensi

1 20 – 29 4

2 30 – 39 7

3 40 – 49 8

4 50 – 59 12

5 60 – 69 9

6 70 – 79 8

7 80 – 89 2

50

Hubungan Mean, Modus dan Median

• Bila nilai mean, nilai median dan nilai modus sama besar ( ҧ𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜), artinya nilai mean, median dan modus terletak pada satu titik dari kurva distribusi frekuensi, dan kurva/data tersebut berbentuk simetris (symetrical curve)

• Bilai nilai mean lebih besar dari nilai median dan nilai modus ( ҧ𝑥 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜), artinya nilai mean terletak di sebelah kanan kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kiri, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kanan (skewed right)

• Bila nilai mean lebih kecil dari nilai median dan nilai modus ( ҧ𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜), artinya nilai mean terletak di sebelah kiri kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kanan, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kiri (skewed left)

KUARTILKuartil merupakan nilai-nilai membagi data yang telah diurutkanmenjadi empat bagian yang sama, sehinga dalam suatu gugus datadidapati 3 kuartil (kuartil 1, kuartil 2 atau median, dan kuartil 3). Untuklebih jelas diperhatikan gambar berikut:

Untuk menentukan nilai kuartil perlu diperhatikan langkah-langkahberikut:1. Susun data tersebut menurut nilainya2. Tentukan letak kuartil3. Tentukan nilai kuartil

Q1 Q2 Q3

¼ of items ¼ of items ¼ of items ¼ of items

1st quatile 2nd quatile(median)

3rd quatile

Lowest observation

Highest observation

Rumus:

a. Letak Kuartil

• Letak kuartil 1 (Q1):

𝑄1 =1 (9 + 1)

4= 2,5

• Letak kuartil 2 (Q2):

𝑄2 =2 (9 + 1)

4= 5

• Letak kuartil 3 (Q3):

𝑄2 =3 (9 + 1)

4= 7,55

Letak kuartil:

Di mana:

Qk = kuartil ke k

k = 1, 2, 3

N = Banyak data

Contoh:

Tentukan letak Q1, Q2, dan Q3 serta nilainya dari data berikut: 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95

Penyelesaian:

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑄𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)

4 b. Nilai Kuartil

• Nilai kuartil 1 (Q1) = data ke2 + ½ (data ke3 – data ke2)

𝑸𝟏= 𝟑𝟓 +𝟏

𝟐𝟒𝟎 − 𝟑𝟓 = 𝟑𝟕, 𝟓

• Nilai kuartil 2 (Q2) → adalah 61karena letak kuartil tepat berada di data ke-5

• Nilai kuartil 3 (Q3) = data ke7 + ½ (data ke8 – data ke7)

𝑸𝟑 = 𝟖𝟎 +𝟏

𝟐𝟗𝟎 − 𝟖𝟎 = 𝟖𝟓, 𝟓

Rumus mencari Nilai Kuartil Data dikelompokkan:

Di mana:

Qk = kuartik ke k

k = 1, 2, 3

B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Qk

i = Interval Kelas

cfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Qk

Fq = Frekuensi kelas yang mengandung Qk

n = Banyak observasi

𝑄𝑘 = 𝐵1 + 𝑖

𝑘4 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏

𝑓𝑄

Contoh:Cari letak dan nilai Q1, Q2 dan Q3 dari data sebagai berikut:

Kelas Interval F

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

Ʃf = 80

Penyelesaian:

a. Letak kuartil: Qi = (k/4) x N• Letak Q1 = ¼ x 80 = 20• Letak Q2 = 2/4 x 80 = 40

• Letak Q3 = ¾ x 80 = 60

b. Nilai Kuartil:

• Untuk Q1k=1, cfb=8, B1=60,5, i=10, fq=15, N=80

𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟏 = 60,5 + 1020 − 8

15= 68,5

• Untuk Q2k=2, cfb=23, B1=70,5, i=10, fq=20, N=80

𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟐 = 70,5 + 1040 − 23

20= 79

• Nilai Q3 k=1, cfb=48, B1=80,5, i=10, fq=25, N=80

𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟑 = 80,5 + 1060 − 43

25= 87,5

Letak Q1

Letak Q2

Letak Q3

𝑄𝑘 = 𝐵1 + 𝑖

𝑘4 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏

𝑓𝑄

DESILJika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama diperoleh 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil.

Rumus mencari letak desil untuk

data yang tidak dikelompokkan:

Di mana:

Dk = Desik ke k

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

N = Banyaknya observasi

𝐷𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)

10

Rumus mencari letak desil untuk data yang dikelompokkan:

Di mana: Dk = Desik ke kk = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Dkcfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung DkFq = Frekuensi kelas yang mengandung Dkn = Banyak observasi

𝐷𝑘 = 𝐵1 + 𝑖

𝑘10 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏

𝐷

D1Lowest observation

Highest observation

D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Contoh→Menentukan letak dan nilai desil untuk data tidak dikelompokkan

Penyelesaian:

25, 30, 35, 40, 40, 46, 47, 50, 55, 60, 70, 80, 90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

a. Letak Desil

• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷2 =2 (13+1)

10=

28

10= 2,8

• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷4 =4 (13+1)

10=

56

10= 5,6

• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷6 =6 (13+1)

10=

84

10= 8,4

b. Nilai Desil

• Nilai D2 = data ke-2 + 0,8 (data ke3 – data ke2)

𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟐 = 30 + 0,8 35 − 30 = 34

• Nilai D4 = data ke-4 + 0,6 (data ke6 – data ke5)

𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟒 = 40 + 0,6 46 − 40 = 43,6

• Nilai D6 = data ke-6 + 0,4 (data ke7 – data ke6)

𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟔 = 46 + 0,4 55 − 50 = 48

Carilah letak dan nilai D2, D4, D6 dari data sebagai berikut: 30, 46, 47, 50, 35, 25, 40, 40,55, 60, 70, 80, 90

Contoh →Menentukan letak dan nilai Desil untuk data dikelompokkan Cari letak dan nilai D8 dari data berikut:

Penyelesaian:

• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷8 =(8 ×80)

10= 64

Maka:

• 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐷8 = 80,5 + 1064 −43

25= 88,9

Kelas Interval F

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

Ʃf = 80

PERSENTILJika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi dan setiap pembagi disebut persentil.

Rumus mencari letak desil untuk data yang tidak dikelompokkan:

Di mana: Pk = Persentil ke kk = 1, 2, 3, 4,...........,99N = Banyaknya observasi

𝑃𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)

100

Rumus mencari letak desil untuk data yang dikelompokkan:

Di mana: Dk = Persentil ke kk = 1, 2, 3, 4,.........,99B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Pkcfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung PkFq = Frekuensi kelas yang mengandung Pkn = Banyak observasi

𝑃𝑘 = 𝐵1 + 𝑖

𝑘100 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏

𝑓𝑝

P1Lowest observation

Highest observation

P2 P3 P4 P5 .................................... P99

Contoh→Menentukan letak dan nilai persentil untuk data tidak dikelompokkan

Tentukan letak P20 serta nilainya dari data berikut ini:

35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95

Penyelesaian:

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

1 2 3 4 5 6 7 8 9

• Letak persentil 20 (P20)

𝑃20 =20 (9+1)

100= 2

Contoh →Menentukan letak dan nilai persentil untuk data dikelompokkan

Cari letak dan nilai P50 dan P75 dari data sebagai berikut:

Penyelesaian:

a. Letak Persentil

• Letak P50

𝑃50 =(50 ×80)

100= 40

• Letak P75

𝑃75 =(75 ×80)

100= 60

b. Nilai Persentil

• Nilai P50

𝑃50 = 70,5 + 1040 −23

20= 79

• Nilai P75

𝑃75 = 80,5 + 1060 −48

25= 85,3

Kelas Interval F

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

Ʃf = 80

Tugas1. Tabel berikut merupakan suatu distribusi frekuensi dari harga

barang.

a. Rata-rata hitung dengan metode langsung!

b. Rata-rata hitung dengan metode short cut!

c. Median

d. Modus

No. Harga Frekuensi

1 60 – 62 5

2 63 – 65 18

3 66 – 68 42

4 69 – 71 27

5 72 – 74 8

100

Lanjutan....

2. Seorang pengusaha membayar upah Rp 50.000 kepada 5 pekerjanya, Rp 60.000 kepada 4 pekerjanya dan RP 70.000 kepada 3 pekerjanya. Berapakah rata-rata tertimbang upah yang dibayarkan pengusaha tersebut?

Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam

Penelitian.Bandung:Pustaka Setia

• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia