Mximos y mnimos

Problemas:

1. Disea un envase cilndrico con capacidad de 300 c de manera que la

cantidad de material usada sea mnima.

SOLUCIN

El rea de dicha superficie (figura 11.15) es el

rea de dos crculos iguales de radio r ms la

del rectngulo:

A = 2 + ph

en donde el permetro p es igual a p r = 2 ,

por lo tanto, sustituyendo en la igualdad

A= 2 + 2rh

Por otra parte, el volumen del envase es el rea del crculo de una de las

tapas por la altura del cilindro:

300 = h

de donde

h=

sustituyendo el valor de h se obtiene:

A= 2 + 2rh

A= 2 +

A= 2 +

que es la funcin a derivar para obtener el mximo y/o mnimo respecto del

radio r. Derivando se obtiene que:

2 + 600

4r +

Igualando a cero y resolviendo

4r + = 0

multiplicando toda la igualdad por para eliminar denominadores

4 600 = 0

r=

r= 3.627

Aplicando la regla general para saber si este valor crtico es mximo o mnimo, es

decir, dando primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego

un valor un poco mayor y viendo el cambio de signos de la derivada:

Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en:

4(3) +

-28 96

4(4) +

12. 76

La altura del envase con superficie mnima se obtiene sustituyendo el valor del

radio r en la igualdad:

h=

h=

h = 7.258 cm

Las dimensiones del envase cilndrico ms econmico que pueda contener

300 cm3 de volumen son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.

Como cambi de menos a

ms el signo de la derivada,

significa que en el valor

crtico r = 3.627 cm hay un

mnimo.

Tomando ahora un valor un

poco mayor, por ejemplo r = 4

y sustituyendo en la derivada:

2. Un granjero cuenta con 500 m de maya y necesita cercar una zona junto al

ro. Qu dimensiones debe darle a la zona cercana para que su rea sea

mxima, si el lado que est junto al rio no requiere maya?

EJERCICIOS

FRMULAS

Se tiene que encontrar la suma de los tres lados del

rea que se va a cercar, entonces tenemos que:

2x + y= 500m

X + y = rea

Procedimiento

Se encontrar el valor de una de las variables, en ste

caso se encontrar primero el valor de y, teniendo

que:

Y= -2x + 500

A= xy

A= x (-2x + 500)

A= -2 + 500x

-

= -4x + 500

-4x+500= 0

-4x= -500

x =

y= -2(125) + 500

y= -250 + 500

x x

y

y= 250

x= 125

Mximos y Mnimos

1) Halla dos nmeros cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por

el cuadrado del otro es mximo

2) Se dispone de una lmina de cartn cuadrada

de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados

iguales en las esquinas se construye una caja

abierta doblando los laterales. Hallar las

dimensiones de los cuadrados cortados para

que el volumen sea mximo

3) Cul ser la forma rectangular de un campo de rea dada

a 36 para que sea cercado por una valla de longitud

mxima

4) Se quiere cercar un campo rectangular que est junto a

un camino. Se la valla del lado que est junto al camino

cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro,

halla el rea del mayor campo que pueda cercarse con

BF. 1440.

5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro

de volumen mximo inscrito en ella

6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular.

Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono

que se forma para que el volumen sea mximo

7) Se dispone de una caja de papel para un cartel que mide 2

c . Los mrgenes superior e inferior, miden 20 cm cada

uno y los laterales 12 cm cada uno. Hallar las dimensiones

de las hojas, sabiendo que la parte impresa es mxima

8) De todo los tringulos issceles de 12 metros de permetro,

hallar el de rea mxima

9) En un tringulo issceles, los lados iguales miden 20 cm

cada uno. Hallar la longitud de la base para que el rea

sea mxima

10) Determine las dimensiones del rectngulo

que se puede inscribir en un semicrculo de

radio a de manera que dos de sus vrtices

estn sobre el dimetro