UNIDAD 1 -FUND ELECTRONICA DIGITAL MODULO 1 SISTEMAS DE NUMERACION

C.F.T. A N D R É S B E L L O - A NGOL Módulo: Soporte Computacional CARRERA: TÉCNICO DE NIVEL SUPERIOR EN COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

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SISTEMAS LÓGICOS

UNIDAD 1: Introducción a los Sistemas Digitales

Introducción En esta unidad se presentan los elementos matemáticos básicos que se emplean en el diseño y análisis de los sistemas digitales Comenzaremos definiendo que es un sistema digital diciendo que es cualquier sistema de procesamiento y/o transmisión de información bajo forma de señales discretas, es decir información que solo puede asumir valores discretos Si esta información (señales) solo puede asumir uno de dos valores posibles diremos que el sistema es binario Sistemas Analogicos Y Digitales A los efectos de diferenciar entre un sistema digital de un sistema analógico supongamos el sistema de la figura 1-1, donde un sistema electrónico indica el nivel de agua dentro de un tanque, en este caso el nivel de agua esta determinado por el potenciómetro (R), este valor varia en forma continua a medida que el flotante sube o baja acompañando el nivel del agua y hace mover el cursor del potenciómetro, el Medidor muestra en una escala continua el nivel del agua en el tanque, constituyendo esto un sistema analógico

MAGNITUD ANALOGICA: La que toma cualquier valor continuo dentro de un rango Todas las magnitudes físicas son analógicas. El mundo es analógico Temperatura, Velocidad, Luz, Hora, etc.

MAGNITUD DIGITAL: La que toma un valor discreto dentro de un rango finito En la vida real se utilizan valores discretos Panel de una calculadora, relojes digitales, etc.


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Figura 1-1: Sistema analógico para informar sobre el nivel de agua en un tanque Si el indicador de nivel lo construyésemos según el esquema de la figura 1-2, la información del nivel de agua en el tanque no varia en forma continua sino que asume valores discretos, encendiéndose un determinado led según el nivel de agua en el tanque, constituyendo esto un sistema digital.

Figura 1-2: Sistema digital para informar sobre el nivel de agua en un tanque Como se puede apreciar el sistema digital no representa todos los valores posibles que puede tomar el nivel del agua en el tanque pero puede diseñarse un sistema tan preciso que represente todos los niveles o valores que el usuario del sistema desee conocer Uno de los principales problemas de los sistemas analógicos es el ruido eléctrico, perturbaciones que modifican el valor de la señal. En las señales digitales, e l ruido solo afecta sistema se supera en margen de tensión entre un nivel y otro (figura 1-3)


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Figura 1-3: Perturbaciones sobre señales analógicas y digitales Sistemas Numéricos Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, etc. Estos sistemas se caracterizan por tener una base (número de elementos utilizados para la representación: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente)

Base: es la cantidad de símbolos que utiliza el sistema para representar las cantidades.

Una cantidad (magnitud) se representa por una cadena de elementos, y cada elemento de la cadena tiene un valor asociado a la posición que ocupa dentro de la cadena, estos sistemas de numeración se llaman también sistemas de numeración posicionales. Así, la cantidad 33 esta representada por una cadena de dos elementos ‘3’ el valor del ‘3’ de la derecha no es igual al valor del elemento ‘3’ de la izquierda

3 3

3 * 101 + 3 * 100

El Sistema de Numeración Decimal

El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes para representar cualquier cantidad numérica.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La posición de cada digito en un numero decimal indica la magnitud de la cantidad representada y se le puede asignar un ‘peso’. Los ‘pesos’ para los números enteros son potencias de 10, que aumentan de derecha a izquierda comenzando por 100 = 1

Por ejemplo el número decimal 72410 puede ser representado como:

72410= 7. 102 + 2. 101 + 4.100


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Para los decimales los pesos son potencias de 10 que aumentan de derecha a izquierda comenzando por 10 –1

0,2310 = 0.100+2.10-1 + 3.10-2 Todo número entero N representado en cualquier base, puede descomponerse de modo único en la forma: N = An bn + An-1 bn-1 + … + A1 b1 + A0 b0 + A-1 b-1 + A-2 b-2 + … donde

b es la base del número N representado en decimal. Ai : (i = 0,1,2,....,k) dígito i-ésimo del número n - 1 : es la cantidad de dígitos enteros que tiene el número

Ahora nos podríamos preguntar por qué tenemos como sistema de numeración usual al sistema decimal, por qué es el más usado por todo tipo de gente, a qué se debe que en todo el mundo sea el sistema utilizado por las personas (ya que las máquinas no usan el sistema decimal, sino el binario). La razón es que porque tenemos 10 dedos. Intuitivamente, utilizábamos nuestra elemental calculadora: las manos, para contar, realizar sumas y restas sencillas, etc.

Sistema Binario

El sistema numérico binario es un sistema posicional de base 2, es decir que posee dos símbolos para representar cualquier cantidad numérica.

0 , 1

El equivalente decimal de un número binario se puede obtener a partir del polinomio antes mencionado, de tal forma que

110102 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = 2610

Ejercicio 1: Convertir a decimal el número 101001012

101001012 = 1. 27+0 .26+1 . 25+0. 24+0 .23+1 .22+0 .21+1 .20 =16510

Ejercicio 2: Convertir a decimal el número 11,0112

11,0112 = 1 . 21 + 1 . 20 +0 . 2-1+ 1 . 2-2 +1 . 2-3 = 3,37510

Los dígitos de un numero binario se llaman bits

La razón de ser del sistema binario, es que la información que se manipula dentro de un sistema digital se hace de acuerdo a señales eléctricas. Mediante una señal eléctrica alta, se representa el valor ‘1’ y mediante una señal eléctrica baja se representa el ‘0’.

Existen diferentes formas de codificar la información en el sistema binario, la mas usual es la codificación en binario natural, en esta forma de representación cada numero es representado por un código de n bits, En la tabla 1-1 se representan los 16 primeros números binarios:


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Sistema Numérico Hexadecimal

El Sistema Numérico Hexadecimal consta de 16 símbolos para representar cualquier cantidad numérica.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Donde A equivale a 10 en base 10. B equivale a 11 en base 10. C equivale a 12 en base 10. D equivale a 13 en base 10. E equivale a 14 en base 10. F equivale a 15 en base 10.

Este sistema se utiliza para compactar la información binaria., que es engorrosa de manejar. Se utiliza un dígito hexadecimal para representar una cadena de 4 dígitos binarios.

Por ejemplo el número ( 000111110010)2 es más fácil de representar mediante su correspondiente número en base hexadecimal. Compactamos entonces toda esa cadena de información binaria en sólo 4 dígitos de información en base hexadecimal. El proceso para llevar a cabo este cambio es sencillo. De derecha a izquierda de la cadena numérica, se van tomando cadenas de 4 dígitos binarios, y se transforman a su correspondiente dígito hexadecimal.

Ejemplo: ( 000111110010)2

Realizando grupos de 4 bits : 0001 0101 1010 = 15A 16

Tabla 1-1 numero en bases diferentes

Decimal Binario

Octal Hexadecimal

0 0000 00 0

1 0001 01 1

2 0010 02 2

3 0011 03 3

4 0100 04 4

5 0101 05 5

6 0110 06 6

7 0111 07 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F


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Sistema Numérico Octal

El Sistema Numérico Octal consta de 8 símbolos para representar cualquier cantidad numérica.

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Al igual que la base hexadecimal, en nuestro caso estos dos sistemas de numeración tienen importancia y se utilizan por cuanto permiten compactar información binaria en forma sencilla, pero en este caso, la compactación es menor. Mientras que en la base hexadecimal con un sólo dígito se puede representar una cadena de 4 dígitos binarios, en la base octal un dígito sólo puede representar 3 dígitos binarios. Los dígitos posibles para la base octal, evidentemente, son los que van del 0 al 7.

Paso de la base 2 a la base 2n: se agrupan los bits de n en n, de derecha a izquierda

Paso de la base 2n a la base 2: se expande cada digito por los n bits correspondientes

Cambio De Base Como ya se vio anteriormente podemos pasar de una representación de una magnitud en un sistema numero b a un sistema de numeración de base 10 por aplicación del polinomio N = An bn + An-1 bn-1 + … + A1 b1 + A0 b0 + A-1 b-1 + A-2 b-2 + … Ejemplo 1. Convertir el número (11101)2 a base 10. 24 23 22 21 20

1 1 1 0 1 Ejemplo 2. Convertir el número binario (1111100)2 a base 10 26 25 24 23 22 21 20 1 1 1 1 1 0 0

Se demuestra fácilmente que si se divide un numero entero b1 por la base b2 y al cociente se lo vuelve a dividir por b2 y así sucesivamente, el ultimo coeficiente y los restos obtenidos forman el numero en base b2. N b1 = An b2

n + An-1 b2n-1 + … + A1 b2

1 + A0 b20 = Nb2

= 1.20 + 0.21 + 1.22 + 1.23 + 1.24 = 1 + 4 + 8 + 16 = 2910

= 1.26 +1.25 + 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 12410


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Dividiendo por b2 N b1 = An b2

n + An-1 b2n-1 + … + A1 b2

1 + A0 b20

b2 b2 b2 b2 b2 = An b2

n-1 + An-1 b2n-2 + … + A1 b2

0 + A0/ b20

cociente resto Ejemplo 3 Convertir el número (29)10 en su equivalente en binario. Ejemplo 2. Convertir el número decimal 4573 al sistema hexadecimal

4573 16 13 285 16 13 17 16 1 1

Ejemplo 3. Convertir el número decimal 1036 al sistema octal

1036 8 4 129 8 1 16 8 0 2

Ejemplo 4. Convertir el número binario 011100000001,11000100 a hexadecimal y a octal a) Hexadecimal 0111 0000 0001 , 1100 0100 = (7 0 1 , C 4)16 b) Octal 011 100 000 001 , 110 001 000 = (3 4 0 1 , 6 1 0)8 Ejemplo 4. Convertir el número octal 673,12 a binario (6 7 3 )8 = 110 111 011 , 001 0102 Ejemplo 5. Convertir el número hexadecimal 39,B8 a decimal (39, B8)16 = 3.161 + 9.160 + B.16-1 + 8.16-2 = 48 + 9 + 0,687 + 0,031 = 57,71810

29 2 1 14 2 0 7 2 1 3 2 1 1 2 1 0

El numero obtenido es (0 1 1 1 0 1) 2 = 29 10

El numero obtenido es (4 5 7 3) 10 = 11DD16

El numero obtenido es (1 0 3 6) 10 = 20148


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Ejemplo 6. Convertir el número octal 375,42 a decimal (3 7 5 , 42 )8 = 3 . 82 + 7. 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1+ 2 . 8-2 = (229.62) 10 Operaciones Aritméticas En Base Distinta De 10

Las operaciones aritméticas con números de base b ( b ≠ 10 ) siguen las mismas reglas que los números decimales. Cuando se trabaja con una base distinta de 10 debe tenerse especial cuidado en emplear solo dígitos admisibles para la base b.

SISTEMA BINARIO NATURAL

Suma Binaria: la adición binaria se realiza de la misma forma que en el sistema decimal. El digito menos significativo se opera primero y el más significativo ultimo. Existen cuatro casos cuando se suman cifras binarias (bits) que se muestran en la tabla de verdad para dos variables binarias a y b. Como se aprecia en la tabla, cuando las dos variables toman el valor ‘1’ se produce un acarreo

Ejemplo:

Resta Binaria: Esta operación al igual que la suma sigue las mismas reglas de prestar que el sistema decimal, en la tabla ....... vemos la operación de resta para dos dígitos binarios

b a Suma 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

1 Acarreo a 1 0 1 b 0 0 1

Resultado 1 1 0

b a Resta 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

BIT DE ACARREO

BIT DE ACARREO


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Ejemplo:

Multiplicación Binaria : El proceso es muy simple ya que las cifras seran ‘0’ o ‘1’, la tabla y el ejemplo siguiente muestran la operación de multiplicar en base dos.

Ejemplo:

Division Binaria : El proceso en este caso resulta mas simple que el sistema decimal puesto que cuando se verifica cuantas veces el divisor “cabe en” el dividendo, solo hay dos posibilidades ‘0’ o ‘1’.

Ejemplo:

1 Prestado a 1 0 1 b 0 1 1

Resultado 0 1 0

b a Multiplicación 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 910 1 0 1 1 1110 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 9910

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 Resultado 1 1 0 1 1 1 1 0 0 Resto


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Ejemplo:

Obsérvese que en el segundo ejemplo se coloco la coma decimal y se agrego un cero para poder continuar con la división

Complemento: Existen dos tipos de complemento para un sistema de base ‘b’, el complemento radical o complemento a la base y el complemento radical disminuido o complemento a la base menos uno.

Complemento radical disminuido, dado un numero N en base b de n dígitos, el complemento radical disminuido se define como

Nb n 1 Si b = 10 y n = 1 = = > b – 1 = 9

Entonces el complemento radical disminuido o complemento a 9 de 1238910 será:

876101238999999123891105

Para el caso de un numero binario N = 10110012 tendremos que el complemento radical disminuido o complemento a 1 es

0100110101100111111111011001127

Complemento radical: se define como bn – N

Comparando con el complemento radical disminuido se observa que el complemento radical se obtiene sumando 1 al complemento radical disminuido ya que

bn – N = ( bn – 1) – N + 1

de esta forma vemos que podemos obtener el complemento a la base del numero 1238910 sumándole 1 a su complemento a 9

87610c9 + 1 = 87611c10

y para el numero 10110012 el complemento a dos es

0100110c1 + 1 = 0100111c2

En los ejemplos anteriores se supuso que el numero N era entero, si N tiene coma decimal esta debe eliminarse en forma temporal para poder complementar, la coma se devuelve después en la misma posición relativa

El complemento del complemento devuelve el valor original

C2 = bn – N Si complementamos el complemento se obtiene

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0, 1 0 0 1 0 0 Resultado 1 0 0 0 0 0 Resto


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C’2 = bn – c2 = bn – ( bn – N ) = bn – bn + N = N

Resta Con Complemento: La resta de dos números sin signo ( M – N ) puede realizarse de la siguiente forma :

a) Sumar a M el complemento a la base de N

b) Si M ≥ N la suma producirá acarreo final bn que se desecha, lo que queda es el valor de M – N

c) Si M < N la suma no producirá acarreo final y es igual a

bn- ( N – M )

que es el complemento a la base b de N – M. Para obtener la respuesta calcúlese el complemento a b de la suma y coloque el signo negativo adelante

Ejemplo

Efectué la operación de resta en el sistema decimal de los números

7253210 – 325010

M = 72532, N = 3250,

Complemento a la base de N = N’ = 96750 M 72532 + N’ 96750

1 69282

Efectúe la operación de resta en el sistema decimal de los números

325010 - 7253210

M =3250, N = 72532

Complemento a la base de N = N’ = 27468 M 03250 + N’ 27468

R 30718 Complementando a la base y anteponiendo el signo menos

R’ = - 69282

Ejercicio: Dado los números M = 10101002 y N = 10000112, realice las operaciones M – N y N – M utilizando el complemento a dos (base)

Resultado

Acarreo

Resultado


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M – N N – M 10101002 M 10000112 N + 01111012 N’ + 01011002 M’ 1 00100012 11011112 Resultado = 00100012 Complentando y cambiando el signo el resultado = - 00100012

Ejercicio: Repetir el ejercicio anterior pero utilizando el complemento a uno (radical disminuido)

M – N N – M 10101002 M 10000112 N + 01111002 N’ + 01010112 M’ 1 00100002 11011102 + 12 00100012 Resultado = 00100012 Complentando y cambiando el signo el resultado = - 00100012

SISTEMA BINARIO CODIFICADO DECIMAL (BCD)

Recuérdese que en este sistema a cada digito decimal se lo representa por un código binario de cuatro bits :1510 ( 0001 0101 )BCD

Suma: Consideraremos dos casos

a) Cuando el resultado de la suma es menor o igual a 9 (<= 9) 5 0 1 0 1 BCD + 3 0 0 1 1 BCD 8 1 0 0 0 BCD 4 5 0 1 0 0 0 1 0 1 BCD + 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 BCD 7 8 0 1 1 1 1 0 0 0 BCD b) Cuando el resultado de la suma es mayor a 9 (> 9) 6 0 1 1 0 BCD + 7 0 1 1 1 BCD 13 1 1 0 1 BCD código invalido para BCD

Siempre que esto ocurra la suma tiene que ser corregido por la adición de seis (0110) para tomar en cuenta la omisión de los seis códigos no validos ( 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111)


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6 0 1 1 0 BCD + 7 0 1 1 1 BCD 13 1 1 0 1 BCD código invalido para BCD + 0 1 1 0 BCD 0 0 0 1 0 0 1 1 BCD

1 3

Ejemplo: 47 0 1 0 0 0 1 1 1 BCD + 35 0 0 1 1 0 1 0 1 BCD 82 0 1 1 1 1 1 0 0 BCD invalido para BCD 1 0 1 1 0 BCD 1 0 0 0 0 0 1 0 BCD

8 2

Ejemplo: 1 59 0 1 0 1 1 0 0 1 BCD + 38 0 0 1 1 1 0 0 0 BCD 97 1 0 0 1 0 0 0 1 BCD invalido para BCD, + 0 1 1 0 BCD (Nótese que produce 1 0 0 1 0 1 1 1 BCD acarreo)

9 7

RESTA: Al igual que la suma se debe salvar el error de los códigos inválidos cuando el resultado es superior a 9, en este caso la corrección se realiza restando seis 7 0 1 1 1 BCD - 6 0 1 1 0 BCD 1 0 0 0 1 BCD 45 0 1 0 0 0 1 0 1 BCD - 36 0 0 1 1 0 1 1 0 BCD 9 0 0 0 0 1 1 1 1 BCD invalido para BCD - 0 1 1 0 BCD 0 0 0 0 1 0 0 1 BCD 0 9


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SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL (BASE = 16)

Suma: El procedimiento es igual al decimal, debiéndose recordar que el digito mayor es ‘F’ en lugar de ‘9’

Ejemplos 5 8 16 La suma de 8 + 4 produce 1210 que es C16 + 2 4 16 7 C 16

1 (acarreo)

5 8 16 Como B16 es 1110 ==> 816 + B16 = 810 + 1110 = 1910 + 4 B 16 y como 1910 = 1 * 161 + 9 * 160

= 1316 A 3 16

1 (acarreo)

3 A F 16 Como (F + C)16 es (15 + 12)10 = 2710 = 1B16 + 2 3 C 16 Como (1+A+3)16 es (1+10+3)10 = 1410 = E16 5 E B 16

Resta: Reacuérdese que los números hexadecimales son una forma muy eficaz de representar números binarios. Así, podemos restar números hexadecimales utilizando el mismo procedimiento que se utiliza en los números binarios. El sustraendo se complementa a 2 y luego se sumara al minuendo, cualquier sobrepasamiento se despreciara.

Podemos mencionar dos métodos para obtener el complemento a 2 de un número hexadecimal:

El primer método es transformando el numero hexadecimal en binario, complementar y luego volver a trasformar en hexadecimal 7 3 A numero en hexadecimal 0111 0011 1010 numero en binario 1000 1100 0110 numero en binario complementado a 2 8 C 6 numero hexadecimal complementado a 2 El segundo método consiste en restar F a cada digito, luego sumarle 1 F F F -7 -3 -A 8 C 5 + 1 8 C 6 numero hexadecimal complementado a 2


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Ejemplo : restar 3 A 516 de 59216 1) complementar 3 A 516 C5B16 2) sumar 5 9 2 + C 5 B 1 1 E D Resultado = 1 E D16

Representación De Numeros Con Signo

Las magnitudes en los sistemas digitales se representan a través de una combinación de bits, en un sistema de 6 bits podríamos representar cantidades que van desde 0000002 a 1111112 (010 a 6310 ). Si queremos representar números negativos debemos valernos de algún medio de representación para el signo. Esto se lleva a cabo agregando un bit adicional para representar el signo y estableciendo una convención tal como ‘0’ equivales a signo ‘+’ y ‘1’ equivale a signo ‘-‘, es sistema entonces que en nuestro sistema de seis bits las magnitudes que podemos representar van desde –31 a +31

0 1 1 0 0 1 = +25

Signo Magnitud

1 0 0 1 1 0 = -6

El bit de signo se usa para indicar si un número es positivo o negativo, el resto de los bits se usa para representar la magnitud en forma binaria. Para los números negativos, no obstante existen tres formas de representar la magnitud:

a) En forma de magnitud verdadera b) En forma de complemento a 1 c) En forma de complemento a 2

Forma de magnitud verdadera: la magnitud se representa en binario natural

Forma de complemento a 1 : cuando se representa un numero negativo en forma de complemento a 1, el bit de signo se conserva en ‘1’ y la magnitud se complementa a 1

Ejemplo

-57 = 1 1 1 1 0 0 1 Forma de magnitud verdadera

= 1 0 0 0 1 1 0 Forma de complemento a 1

bit de signo

Forma de complemento a 2 : en este caso la magnitud se complementa a 1

Ejemplo

Se desprecia el acarreo


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-57 = 1 1 1 1 0 0 1 Forma de magnitud verdadera

= 1 0 0 0 1 1 1 Forma de complemento a 2

bit de signo

Las tres formas de representación se utilizan en los sistemas digitales, algunos almacenan la información en forma de magnitud verdadera y la transforman a forma de complemento antes de realizar una operación aritmética.

Ejercicio: represente los siguientes números en formato verdadero y en complemento a 2: 13, -9, -3

Magnitud verdadera Complemento a 2

13 0 1 1 0 1 No corresponde por ser un numero positivo

-9 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 -3 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1

Ejercicio: los siguientes números son números binarios en complemento a dos, determine el valor decimal: a) 011002, b) 110102 y c) 100012

a) como el signo es + la magnitud esta expresada en forma verdadera, entonces 011002 = +1210

b) si complementamos la magnitud C2 = ( 10102)’ = 01102 y como el signo se conserva tendremos que 101102 = -610

c) si complementamos la magnitud C2 = ( 00012)’ = 11112 y como el signo se conserva tendremos que 111112 = -1510

SUMA CON REPRESENTACIÓN EN FORMA DE COMPLEMENTO A DOS: En los diversos casos que se consideraran, el bit de signo de cada numero se opera en la misma forma que la parte de la magnitud

Caso 1: dos números positivos + 9 0 1 0 0 1 + 4 0 0 1 0 0 +13 0 1 1 0 1 Nótese que ambos operandos tienen la misma cantidad de bits, esto siempre debe ser así

Caso 2: numero positivo y numero negativo menor + 9 0 1 0 0 12 en forma directa - 4 1 1 1 0 02 en forma de complemento a 2 + 5 1 0 0 1 0 12

El acarreo se desprecia siempre

Bit de signo


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Caso 3: numero positivo y numero negativo mayor - 9 1 0 1 1 12 en forma de complemento a 2 + 4 0 0 1 0 02 en forma directa - 5 1 1 0 1 12 en forma de complemento a 2

Como el bit de signo de la suma es negativo, la magnitud esta complementada. Si hacemos el complemento de la magnitud de la suma obtenemos (10112)’ = 01012 ==> Resultado = 1 0 1 0 12 = -510 Caso 4: dos números negativos

- 9 1 0 1 1 1 en forma de complemento a 2 - 4 1 1 1 0 0 en forma de complemento a 2 -13 1 1 0 0 1 1 en forma de complemento a 2

Como el bit de signo de la suma es negativo, la magnitud esta complementada. Si hacemos el complemento de la magnitud de la suma obtenemos (00112)’ = 11012 ==> Resultado = 1 1 1 0 12 = -1310

Caso 5: dos números iguales y opuestos - 9 1 0 1 1 1 + 9 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Multiplicación: En representación de signo magnitud el resultado de la multiplicación se obtiene multiplicando las magnitudes, si ambos números son del mismo signo el resultado es positivo, si son de signos distintos entonces el resultado es negativo.

Bit de signo



Bit de signo


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El tamaño del resultado es la suma de los tamaños de los operando

n bits * m bits = n + m bits Codigos Binarios Entre las formas de representar un número binario hemos visto el sistema binario natural y el binario codificado decimal (BCD). Recordemos que el código BCD no es otro sistema numérico como el binario, el octal o el hexadecimal. En el sistema decimal con cada digito codificado en su equivalente binario. La ventaja del código BCD es la relativa facilidad de conversión, esta facilidad es especialmente importante desde el punto de vista del hardware y especialmente en aquellos casos donde la salida debe mostrarse en forma de dígitos decimales como ser una calculadora. El código de Exceso 3: se relaciona con el BCD y algunas veces utiliza en lugar de este debido a que posee ventajas en ciertas operaciones aritméticas. El código Exceso 3 se efectuad igual que el BCD excepto que antes de la codificación se le suma 3 al digito decimal.

( 8 3 )10 1000 0011BCD

8 3 +3 +3 11 6 1011 0110 BCD EXCESO 3 En la siguiente tabla se muestran el código BCD y el exceso 3, nótese que si bien ambos códigos utilizan 10 de los 16 posibles combinaciones binarias, los códigos inválidos no son los mismos. Mientras el BCD considera como inválidos los códigos 1010, 1011,100,1101,1110,1111; En el exceso 3 los códigos inválidos son 0000, 0001, 0010, 1101, 1110, 1111.

Decimal BCD Exceso 0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100


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El código de GRAY

Pertenece a una clase de códigos llamado de cambio mínimo en los cuales solo cambia un BIT cuando se pasa de una combinación otra.

Este código se utiliza generalmente en dispositivos de entrada y salida y especialmente es aquellos situaciones donde se hace necesario efectuar controles sobre el sistema por su facilidad de auto detección de errores.

Ejemplo: supongamos un sensor de temperatura como entrada a un sistema de control de un horno, si en una variación de temperatura cambia mas de un bit podríamos estar en presencia de un error dado que la temperatura no puede soltar de 12ºc a 14ºc si o si debe pasar por 13ºc.

Decimal Código Gray 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100

Si entre el primer código y el ultimo solo cambia un bit y además el código es consecutivo decimos que el código es CICLICO.

Códigos Alfanuméricos.

En general los sistemas digitales deben poder reconocer código que representen no solo números sino también letras y caracteres especiales. Estos códigos son llamados código ALFANUMERICOS.

Un conjunto completo de caracteres incluye: 26 letras minúsculas 26 letras mayúsculas 10 cifras numéricas

~25 caracteres especiales 87 caracteres diferentes

Para representar 87 caracteres diferentes se requerirán 7 bits ya que con 7 bits podemos representar 27 = 128 combinaciones posibles.

Solo cambia 1 bit entre dos combinaciones consecutivas, en este caso decimos que el código es CONSECUTIVO


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El código alfanumérico mas conocido es código ASCII (Código Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información).

La tabla muestra en forma parcial este código

Códigos Detectores de errores

El proceso de transferencia de información esta sujeto a errores de *** que deben detectarse siempre que sea posible. Uno de los métodos mas utilizados es el método de paridad. Este método consiste en agregar un bit adicional al código. El bit adicional será “0” o “1” dependiendo de la cantidad de unos que tenga el código. El método de paridad puede controlar : Paridad Par: en este caso el bit de paridad se escoge de manera tal que el numero total de unos del código sea par. Si la letra “A” según el código ASCII es (1000001 )2 y se agrega un bit de paridad par , el nuevo código para la letra “A” será 0 1000001 Paridad Impar: al igual que la paridad par pero en este caso el bit de paridad se escoge de manera tal que el numero total de unos del código sea impar. Para el mismo caso de la letra “A” según el código ASCII es (1000001)2 y se agrega un bit de paridad par , el nuevo código para la letra “A” será 1 1000001

Carácter ASCII Carácter ASCII A 100 0001 J 100 1010 B 100 0010 K 100 1011 C 100 0011 0 011 0000 D 100 0100 1 011 0001 E 100 0101 2 011 0010 F 100 0110 3 011 0011 G 100 0111 4 011 0100 H 100 1000 5 011 0101 I 100 1001 6 011 0110

Bit de paridad agregado

Bit de paridad impar agregado


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Debe aclararse que este método no detecta el 100% de los errores ya que si dos bit con condición de paridad o impuridad no se alteraría. Por ello el método se utiliza en aquellos sistemas sonde la probabilidad de error es muy baja.


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Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 ¿Cuáles de las siguientes cantidades son analógicas y cuales son digitales?

a. Caja de resistencias b. Cinta métrica c. Temperatura d. Control de volumen de una radio con potenciómetro

Solución a. Digital b. Analógica c. Analógica d. Analógica

Ejercicio 2 ¿Cuáles es el mayor numero que se puede representar con 8 bits? Solución: 2n - 1 = 28 - 1 = 25510 = 111111112 Ejercicio 3 ¿Cuál es el equivalente decimal de 11010112? Solución: 107 Ejercicio 4 ¿Cuál es el siguiente numero binario después de 101112, en la codificación binario natural? Solución: 110002 Ejercicio 5 ¿Convierta a binario natural los siguientes números ?

a. 2510 b. 72910 c. 3728 d. 35616 e. 2AF16 f. 10010100BCD

Solución: a. 110012 b. 10110110012 c. 0111110102 d. 0011010101102 e. 0010101011112 f. 10111102

Ejercicio 6


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¿Cuál es el equivalente hexadecimal de los siguientes números? a. 42310 b. 21410

Solución: a. 1A716 b. D616

Ejercicio 7 ¿Cuál es el decimal de los siguientes números expresados en BCD?

a. 0110100000111001BCD b. 011111000001BCD

Solución: a. 683910 b. Código erróneo, el termino 1100 no pertenece al BCD

Ejercicio 8 Codifique en ASCII el mensaje: COST=$72 Solución: 43, 4F, 53, 54, 3D, 24, 37, 32 Ejercicio 9 Represente cada uno de los siguientes numero decimales con signo, como un numero binario con signo y complemento a 2, utilice para ello un código compuesto por cinco bits (incluye el bit de signo)

a. +13 b. -9 c. +3 d. -3

Solución: a. 01101 b. 10111 c. 00011 d. 11101

Ejercicio 10 Cada uno de los siguientes números esta expresado en código binario con signo en el sistema de complemento a 2. Determine el valor decimal en cada caso

a. 01100 b. 11010 c. 10001

Solución: a. +12 b. -6 c. +15 Ejercicio 11


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Cual es el rango de valores que se pueden representar en un sistema de 8 bits que incluya signo Solución: 111111112 = 27 – 1 = 127 100000002 = -27 = -128 intervalo representable = -128 a 127 Ejercicio 12 Transformar a binario y multiplicar los siguientes números 9 10 y 1010 Solución: 9910 = 11000112 Ejercicio 13 Transformar a BCD y efectuar las sumas:

a. 27510 + 64110 b. 4510 + 3310

Solución: a. 1001 0001 0110 b. 0111 1000

Ejercicio 14 Efectuar las operaciones

a. 67F16 + 2A416 b. 67F16 - 2A416

Solución: a. 92316 b. 3DB16

Ejercicio 15 El manual de una computadora dice que la memoria disponible para el usuario esta comprendida entre las posiciones de memoria 020016 y 03FF16. ¿De cuántas posiciones de memoria se dispone? Solución: 03FF16 – 020016 = 01FF16 = 51110 Ejercicio 16 Que intervalo de valores se pueden representar con 12 bit si

a. se incluye el signo b. sin incluir el signo

Solución: a. desde -211 a +(211 – 1) b. desde 0 a (212 – 1)


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Bibliografía

Teoría y Practica de los sistemas digitales TOCCI RONALD Tercera Edición Sistemas electrónicos Digitales

Rafael Sánchez Alfaomega 1993

Teoría de Conmutación y diseño lógico Hill – Peterson

Digital Design UIT Standart MSI and LSI Thomas R. BLAKESLEE Second Edition

Ingenieria Computacional – Diseño de harware Morris Mano Prentice Hall - 1991

Principios de arquitectura de computadoras Miles Murdocca y Vincent Heuring Prentice Hall - 2000

Sistemas Digitales Ruiz, Espinoza, Roure McGraw Hill

Estructura de computadores y Periféricos Martinez Dura, Grau, Solano Alfaomera

Documents

UNIDAD 1 -FUND ELECTRONICA DIGITAL MODULO 1 SISTEMAS DE NUMERACION