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Álgebra moderna I
Unidad 1. Grupos y subgrupos
Contenido nuclear
División de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Licenciatura en Matemáticas
11° Cuatrimestre
Programa de la asignatura:
Álgebra moderna I
Unidad 1: Grupos y subgrupos
Contenido nuclear
Clave:
050941141
Álgebra moderna I
Unidad 1. Grupos y subgrupos
Contenido nuclear
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Índice
Introducción ........................................................................... 3
Desarrollo de contenidos nucleares ................................... 4
Simetrías ............................................................................... 4
Aprende observando ............................................................ 8
Operaciones binarias ............................................................ 8
Grupos .................................................................................. 8
Aprende observando ............................................................ 9
Subgrupos .......................................................................... 10
Grupos cíclicos y generadores ........................................... 10
Orden de un grupo y un elemento ...................................... 11
Recursos web ..................................................................... 11
Cierre de la Unidad.............................................................. 11
Fuentes de consulta............................................................ 12
Álgebra moderna I
Unidad 1. Grupos y subgrupos
Contenido nuclear
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Introducción
El Álgebra Moderna (o Abstracta) estudia las estructuras algebraicas mediante sus
simetrías. La estructura que estudiaremos en este curso será la estructura de grupo.
En esta unidad exploraremos los conceptos fundamentales que nos llevarán a construir
un grupo.
o Simetrías. Una simetría es un movimiento que deja invariante a un lugar
geométrico.
o Operaciones binarias. Una operación binaria es aquella que toma
elementos en el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo y cuya
imagen es un elemento en el mismo conjunto.
o Grupos. Un grupo es un conjunto con una operación que cumple las
propiedades de asociatividad, elemento neutro e inverso.
o Subgrupos. Un subgrupo es un subconjunto, no vacío, de un grupo que
cumple con las propiedades de grupo bajo su misma operación.
o Grupos cíclicos. Un grupo cíclico es aquel que tiene un elemento
generador, es decir, todo elemento del grupo se expresa como una
potencia entera del generador.
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Desarrollo de contenidos nucleares
Simetrías
Según el diccionario de la lengua española, una simetría es una correspondencia exacta
en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un
centro, un eje o un plano. En efecto, en matemáticas, una simetría es un movimiento que
deja invariante a una figura, es decir, que después de moverla seguimos teniendo la
misma figura.
En nuestra experiencia, estamos familiarizados con las simetrías desde edades muy
tempranas. Por ejemplo, al reconocer nuestro cuerpo, notamos que existe un eje de
simetría a lo largo del cual se disponen nuestros miembros y algunos órganos. También
es muy probable que hayamos jugado con figuras geométricas que presentaban
simetrías. Y conforme fuimos creciendo nos encontramos con otros ejemplos en la
pintura, la escultura y la música.
Podemos reconstruir los primeros ejemplos de simetrías en matemáticas usando figuras
planas regulares. Por ejemplo un triángulo equilátero.
Habiendo numerado a sus vértices y trazado una de sus alturas podemos reflejar con
respecto a ésta los vértices 2 y 3. Este movimiento dejará invariante a la figura de la
manera siguiente.
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El movimiento de reflexión que hemos realizado es una simetría. Así mismo son simetrías
las rotaciones que dejan invariante al triángulo equilátero, a saber, la rotación por 120°,
240° y 360°. Esta última se considera el elemento neutro pues regresa a la figura a su
posición inicial, como si no la hubiésemos movido. Al elemento neutro lo denotaremos .
El centro de estas rotaciones es el punto de intersección de las alturas del triángulo, el
ortocentro.
Al componer simetrías obtendremos nuevas para la misma figura. Por ejemplo si
componemos la reflexión por con la de (que denotaremos y ,
respectivamente), tendremos lo siguiente. Primero aplicamos .
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Esta simetría se denota de forma matricial de la siguiente manera: en el primer renglón se
escriben los vértices y en el segundo renglón sus imágenes bajo la reflexión.
Después aplicamos la reflexión :
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Al final obtenemos la rotación por 240°, que denotaremos .
En efecto .
(
) (
) (
)
La composición de simetrías es una composición de funciones y por lo tanto se efectúa de
derecha a izquierda. Por ejemplo, en el caso anterior, ( ) ( ) . Por lo tanto
( )( ) .
El conjunto de las reflexiones y rotaciones del triángulo equilátero junto con la operación
de composición de funciones forma un grupo, el grupo de simetrías del triángulo
equilátero.
{ }
Se invita al lector a escribirlas todas en su notación matricial.
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Aprende observando
Grupos de simetrías del
cuadrado
En estos dos videos se muestra el Grupo de simetrías
del cuadrado.
Grupo de simetrías del
cuadrado I
Grupo de simetrías del
cuadrado II
Operaciones binarias
Dado un conjunto no vacío , una operación binaria es aquella operación definida de la
siguiente forma:
Ejemplo: Si es el conjunto de los enteros, la suma de enteros es una operación binaria.
Ejemplo: Si es el conjunto de las simetrías del triángulo, la composición de simetrías es
una operación binaria. Se invita al lector a demostrar este hecho.
Grupos
Un grupo es un conjunto con una operación binaria , lo denotamos ⟨ ⟩, que cumple
las siguientes propiedades:
i) Asociatividad
Si entonces ( ) ( )
ii) Elemento neutro
Existe tal que para todo .
iii) Inversos
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Para todo existe tal que
Ejemplo: Ahora podemos demostrar que el conjunto de simetrías del triángulo equilátero
{ }
es un grupo junto con la operación de composición de funciones. Se invita al lector a
completar la demostración comprobando todos los incisos.
i) En efecto la composición de simetrías es asociativa.
ii) El movimiento neutro (
) está en y no afecta a ninguno de sus
elementos al componerse con ellos.
iii) Cada elemento de tiene su inverso en , a saber
Aprende observando
Definición y ejemplos de
grupos
En este vídeo se muestra la definición de grupo y algunos
ejemplos:
Tomado de Matemáticas de Yucatán (2010) (Archivo de
Vídeo) recuperado de:
Teoría de Grupos I
Teoría de Grupos II
Grupos y subgrupos
En este vídeo se muestra el grupo general lineal GL(2,R)
Grupo lineal GL, 2, R
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Subgrupos
Sea un grupo y un subconjunto no vacío de , decimos que es un subgrupo de y
lo denotamos
Si es un grupo bajo la operación de .
Ejemplo: Si ⟨ ⟩ es el grupo aditivo de los números reales, entonces es un subgrupo.
Veamos.
es un subconjunto no vacío de
La suma de racionales es racional y también es asociativa
El pertenece a los racionales y es el neutro de la suma
Si está en entonces – está en y
Grupos y subgrupos
En este vídeo se muestra el Grupo de enteros módulo n
Grupo de enteros módulo n
Grupos cíclicos y generadores
Para adentrarnos en la definición de grupo cíclico, primero estudiemos las potencias
enteras de un elemento.
Sea ⟨ ⟩ un grupo y , definimos las potencias enteras de como sigue:
Si entonces
Si entonces
Si – entonces ( )
El siguiente lema nos llevará a la definición de un grupo cíclico.
Lema Si es un grupo y es cualquier elemento de , el conjunto
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
es un subgrupo de .
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
El grupo ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ es llamado el subgrupo cíclico generado por . Así, decimos
que un grupo es un grupo cíclico si existe un elemento tal que ⟨ ⟩. Al
elemento lo llamaremos un generador de .
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Ejemplo: El grupo aditivo de los números enteros ⟨ ⟩ es un grupo cíclico. Su generador
es el puesto que todos los elementos de se pueden ver como potencias enteras del .
Orden de un grupo y un elemento
A partir del ejemplo anterior podemos introducir el concepto de orden. El orden de un
grupo es la cardinalidad de sus elementos. Por ejemplo, si es el grupo de las simetrías
del triángulo equilátero, entonces su orden es , y lo denotamos ( ) .
Si es un grupo y es cualquier elemento, decimos que tiene orden infinito si para
cualquier entero se tiene que . Si existe un entero tal que y
para todo . El orden de un elemento lo denotamos por ( ).
Ejemplo: Si es el grupo de simetrías del triángulo equilátero,
{ }
( ) , ( ) para , ( ) , ( )
Recursos web
http://www.dcb.unam.mx/users/casianoam/algebra/capitulos/ESTRUCTURAS%20ALGEB
RAICAS.pdf
http://www.cimat.mx/~fsanchezcv/docs/AModerna.pdf
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Algebra_abstracta/abstracta.pdf
http://fmwww.bc.edu/gross/MT216/aata.pdf
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/structure.html
http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/
http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013270/b_a_a.pdf
Cierre de la Unidad
En esta unidad construiste y trabajaste con los primeros ejemplos de grupos y subgrupos.
Ahora cuentas con las herramientas para trabajar con un nuevo tipo de grupos y
operaciones entre ellos.
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Fuentes de consulta
Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México:
Sociedad Matemática Mexicana.
Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of
America. Prentice Hall.
Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda
edición. México: Trillas.
Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.
Addison-Wesley Publishing Company.
