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Unidad 1 – Lección 1.2
Funciones Logarítmicas
23/04/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
Actividades 1.2
• Referencias: Capítulo 4 - Sección 4.2 Funciones Logarítmicas;
Ejercicios de Práctica: • Páginas 349, 350 y 351: Impares 1–45. Use GRAPH par las gráficas de 49 – 57;
59 – 63
• Asignación: Acceder KhanAcademy – Algebra II Logaritmos ; Ver
video Logaritmos; Hacer ejercicios Evaluando Logaritmos y
Evaluando Logaritmos 2; Writing Logarithms and Exponential
Form; Ver video Propiedades de Logarítmos: Introducción a las
propiedades de logaritmo; Logaritmos de una potencia, Suma de
logaritmos con la misma base; Utilizando las propiedades del
logaritmo para simplificar.
• Referencias del Web:
Khan Academy – Algebra II Logaritmos ; Propiedades de
Logarítmos
College Algebra Tutorial: Logarithmic Functions
Videos – Cambiar a logarítmitca; Cambiar a forma exponencial
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Definición de logaritmos
• Sea a > 0 and a 1. Entonces, el logaritmo
con base a de un número x …
• Ejemplos:
xalog xa y y
100log10100102 2
64log 46443 3
81
1log
31
81
1
3
14
4
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Ejemplo 1• Escriba los siguientes enunciados en forma logarítmica:
1.
2.
3.
4.
• Escriba los siguientes enunciados en forma exponencial y
determine el valor de x:
21663
125.0 2 3
3216log 6
3125.0log 2
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x125log5
x5125
2log 4 x
24x
3x
16x
34373 3343log 7
te x 5.0 xte 5.0log xt 5.0ln
x553
5243log x
5243 x
5x
x335
o
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Ejercicio #1
• Escriba los siguientes enunciados en forma
exponencial y determine el valor de x:
x32log 2x 2log 4
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x232
x225
5x
x42
x)2(2 221
4
1x
x222 21
x22
1
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Cálculo de logaritmos
• La mayoría de calculadoras realizan el cálculo de
logaritmos de base 10 (log x) o de base e (ln x).
log (10.5) ≈ 1.021189299
ln (0.0025) ≈ -5.991464547
• Para calcular logaritmos de otras base usamos la
siguiente igualdad:
Malog log
log
M
a
ln
ln
M
a a
M
b
b
log
log
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𝑙𝑜𝑔563=log 63
log 5 ≈ 2.574274344
𝑙𝑜𝑔563=ln 63
ln 5 ≈ 2.574274344 05.3log5693.0
0035.0log8 719.2
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Aproxime a la milésima más
cercana:
Ejercicios #2
• Resuelva la ecuación:
• Aproxime los siguientes logarítmos a la
milésima más cercana:
05.3log5 693.0
0035.0log8 719.2
2)12(log 3 x2312 x
912 x
5x
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• Si a > 1, la función
logarítmo es creciente.
La Función Logarítmo (base > 1)
xxf 25log)(
xxf alog)(
xxf log)(
En GRAPH entre log(x) para la función con base 10 y use
el formato logb(x, a) para la función con base a.
xxf 2log)(
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• Si 0< a < 1, la función
logarítmo es decreciente.
xxf 10/1log)(
xxf25
1log)(
xxf 2/1log)(
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Características de las funciones con
logarítmos• Dominio = (0,) , Rango = (-, )
• El intercepto en x ocurre en (1,0).
• No hay intercepto en y.
• El eje vertical, x = 0, es un asíntota vertical de su gráfica.
a>10<a<1
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Función Logaritmo natural
• y = ln x si y sólo si ey = x
En GRAPH entre ln(x)
para la función con base e.
En EXCEL entre LN(x)
para la función logaritmo
con base e.
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xxf ln)(
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Ejemplo 4
• ¿Cuál es el dominio, recorrido y asíntota de:
3ln)( xxf
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)(3,:Dominio
),(-:Recorrido
3 :Asíntota x
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Ejemplo 5
• Exprese en notación exponencial y resuelva
por x:8ln 2 xe
82 ee x
82 x
4x
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Ejemplo 6
• Determine la función logarítmica cuya gráfica es:
a)
b)
c)
d)
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anteriores las
de ninguna
xy3
2log
xy 4log2
3
xy3
2ln
Solución Correcta:
d) Ninguna de las anteriores. Observe
que la la gráfica muestra que es un
logarítmo con base menor que 1.
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Propiedades básicas de Logaritmos
𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1
𝑆𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑢) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑣) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑢 = 𝑣
• Ejemplo: Resuelva por x:
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512 xx
152 xx
)5(log)12(log 44 xx
6x
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Propiedades de Logaritmos
1. loga(uv) = loga u + loga v
2. loga(u/v) = loga u - loga v
3. loga(1/v) = - loga v
4. loga(un) = n loga(u)
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Ejemplo 7
Expande las siguientes expresiones logarítmicas
a)
b)
c)
)9(log 3 x
)(log 53
2 yx
5
lnz
xy
x33 log9log
x3log2
5
2
3
2 loglog yx
yx 22 log5log3
5lnln zxy5/1lnlnln zyx
zyx ln5
1lnln
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Ejemplo 8
• Combine las expresiónes a un solo logarítmo:
)1log(2
1log4 xx
21
)1log(log 4 xx
21
)1(log 4 xx
1log 4 xx
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)1log(2)1log(3
1log4 2 xxx
23
1
24 )1log()1log(log xxx
2
3
1
2
4
)1log(
)1(
log
x
x
x
3
1
2
24
)1(
)1(log
x
xx
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Ejercicios #3
• Expande Combina
10
2
)1(
3ln
x
x )1log(2)1log(3
1log4 2 xxx
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102 )1ln(ln3ln xx
)1ln(10ln23ln xx
23
1
24 )1log()1log(log xxx
3
1
2
24
)1(
)1(log
x
xx
2
3
1
2
4
)1log(
)1(
log
x
x
x
102 )1ln(3ln xx
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Problema de Aplicación (Fechado de Carbono)
La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad
de 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 14 radioactivo que permanece en él. Si 𝐷0 es la
cantidad original de 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 14 y 𝐷 es la cantidad restante,
entonces la edad A del objeto (en años) se determina por:
𝐴 = −8267 𝑙𝑛𝐷
𝐷0
Encuentre la edad de un objeto si la cantidad 𝐷 de 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 14 que
permanece en el objeto es 73% de la cantidad original 𝐷0
Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada23/04/2014
𝐴 = −8267 𝑙𝑛73
100
≈ −8267 −0.314710745
≈ 2601.713728
≈ 2602 años
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