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Recibimos sabidura, legaremos desarrollo
Grupo: 52T
Profesor: Ing. Jos Antonio Lpez Tello
Ingeniera en Sistemas Computacionales Cd. Lzaro Crdenas, Mich.
17 de octubre de 2013
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ndice Introduccin
..................................................................................................................................
2
2 Nmeros pseudoaleatorios
........................................................................................................
3
2.1 Mtodos de generacin de nmeros pseudoaleatorios
..................................................... 3
2.2 Pruebas estadsticas
............................................................................................................
6
2.2.1 De
uniformidad.............................................................................................................
6
2.2.2 De aleatoriedad
..........................................................................................................
10
2.2.3 De independencia
......................................................................................................
12
Conclusin
...................................................................................................................................
26
Referencias bibliogrficas
............................................................................................................
27
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Introduccin
En este trabajo de investigacin veremos los diferentes mtodos de
generacin de
nmeros pseudoaleatorios as como las diferentes pruebas
estadsticas que se les
aplican para verificar aspectos de la calidad de los nmeros
pseudoaleatorios. Los
nmeros pseudoaleatorios son muy utilizados en simulacin ya que
con ellos se da la
necesidad de generar nmeros aleatorios en modelos de simulacin
para as probar su
funcionamiento.
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2 Nmeros pseudoaleatorios
2.1 Mtodos de generacin de nmeros pseudoaleatorios
Mtodos Manuales: son los mtodos ms simples y lentos, ejemplo de
estos mtodos
son lanzamientos de monedas, dados, cartas y ruletas. Los nmeros
producidos por
estos mtodos cumplen las condiciones estadsticas mencionadas
anteriormente, pero
es imposible reproducir una secuencia generadas por estos
mtodos.
Tablas de nmeros aleatorios: estos nmeros se pueden generar por
medio de una
hoja de clculo o por cualquier generador de cualquier lenguaje
de programacin
razn por la cual su comportamiento es totalmente
determinstico.
Mediante el computador digital: existen tres mtodos para
producir nmeros
aleatorios mediante un computador:
Provisin externa.
Generacin interna a travs de un proceso fsico aleatorio.
Generacin por medio de una regla de recurrencia.
Mtodos aritmticos para generar nmeros pseudoaleatorios
Mtodos de Cuadrados Medios: el procedimiento de obtencin de
nmeros
pseudoaleatorios con este tipo de generador es el siguiente:
Se define una semilla.
Se eleva la semilla al cuadrado.
Dependiendo de la cantidad de dgitos que se desea tenga el
nmero
pseudoaleatorio, se toman de la parte central del nmero
resultante en el paso
anterior el nmero de dgitos requeridos. Si no es posible
determinar la parte
central, se completa el nmero agregando ceros al principio o al
final.
Debe tenerse en cuenta que se desean nmeros pseudoaleatorios
entre 0 y 1, en
consecuencia el resultado se debe normalizar, es decir, si los
nmeros son de dos
dgitos se normaliza dividiendo por 100, si es de tres dgitos por
mil y as
sucesivamente.
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Mtodo de Producto medio: este mtodo es un poco similar al
anterior pero se debe
comenzar con dos semillas cada una con k dgitos, el nmero
resultante se toma como
las cifras centrales del producto de los dos nmeros anteriores.
Por ejemplo, tomando
como semillas a X0 =13 y X1 =15 el mtodo sera el siguiente:
X2 = (13*15)= 0195 = 19, luego R2 =19 / 100 = 0.19.
X3 = (15*19) = 0285 = 28, luego R3 = 28 / 100 = 0.28.
X4 = (19*28) = 0532 = 53, luego R4=53 / 100 = 0.53.
Mtodo del producto medio modificado: consiste en usar una
constante
multiplicativa en lugar de una variable. Es decir Xn+1 = (K*Xn).
Debe notarse que los
mtodos anteriores tienen periodos relativamente cortos, los
cuales son afectados
grandemente por los valores iniciales que se escojan, adems son
estadsticamente
insatisfactorios. Tambin debe tenerse en cuenta que un generador
con un periodo
corto no sirve para hacer un nmero considerado de ensayos de
simulacin.
Mtodos congruenciales
Mtodo Congruencial Aditivo: calcula una sucesin de nmeros
pseudoaleatorios
mediante la relacin Xn+1= Xn +Xn-k (mod M). Para usar este mtodo
se necesitan k
valores iniciales, siendo k entero. Las propiedades estadsticas
de la secuencia tienden
a mejorarse a medida que k se incrementa. Este es el nico mtodo
que produce
periodos mayores que M.
Mtodo Congruencial Multiplicativo: calcula una sucesin Xn de
enteros no negativos,
cada uno de los cuales es menor que M mediante la relacin Xn+1=
a.Xn (mod M). Es
un caso especial de la relacin de congruencia en que c=0, este
mtodo se comporta
de manera satisfactoria estadsticamente, es decir, los nmeros
generados por medio
de este mtodo estn unifrmente distribuidos, y no estn
correlacionados. Este
mtodo tiene un periodo mximo menor que M, pero se pueden imponer
condiciones
en a y X0 de tal forma que se obtenga el periodo mximo. Desde el
punto de vista
computacional es el ms rpido de todos.
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Mtodo Congruencial Mixto o Lineal: los generadores
congruenciales lineales generan
una secuencia de nmeros pseudoaleatorios en la cual el prximo
nmero
pseudoaleatorio es determinado a partir del ltimo nmero
generado, es decir, el
nmero pseudoaleatorio Xn+1 es derivado a partir del nmero
pseudoaleatorio Xn La
relacin de recurrencia para el generador congruencial mixto es
Xn+1 =(a Xn+c) mod
m, en donde
X0 = es la semilla
a =el multiplicador
c = constante aditiva
m = el modulo (m > X0, a,c)
X0, a, c >0
Esta relacin de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de
dividir a Xn+c entre el
modulo. Lo anterior significa que los valores posibles de Xn+1
son 0,1,2,3 ....m-1, es
decir, m representa el nmero posible de valores diferentes que
pueden ser
generados.
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2.2 Pruebas estadsticas
2.2.1 De uniformidad
Las dos propiedades ms importantes esperadas en los nmeros
aleatorios son
uniformidad e independencia. La prueba de uniformidad puede ser
realizada usando
las pruebas de ajuste de bondad disponibles. Por ejemplo, un
nmero estadstico
suficiente de nmeros aleatorios pueden ser usados para verificar
la distribucin de los
nmeros contra la distribucin uniforme terica usando ya sea el
mtodo Chi-Cuadrada
o el mtodo Kolmogorov-Smirnov (KS) para nmeros aleatorios. Este
tipo de prueba es
denominada "Prueba de frecuencia"
Una prueba bsica que siempre ser desarrollada para validar un
nuevo generador es
la prueba de uniformidad. Dos mtodos de pruebas disponibles.
Estas son las pruebas
Kolmogorov-Smirnov y la prueba Chi-Cuadrada Ambas de estas
pruebas miden el grado
de ajuste entre la distribucin de una muestra de nmeros
aleatorios generados y y la
distribucin uniforme terica. Ambas de estas pruebas estn basadas
en la Hiptesis
Nula de que no existe diferencia entre la distribucin de la
muestra y la distribucin
terica.
La prueba de Kolmogorov-Smirnov
La prueba de Kolmogrov-Smirnov (tambin prueba K-S) es una prueba
no
paramtrica que se utiliza para determinar la bondad de ajuste de
distribuciones de
probabilidad entre s.
Conviene tener en cuenta que la prueba Kolmogrov-Smirnov es ms
sensible a los
valores cercanos a la mediana que a los extremos de la
distribucin. La prueba de
Anderson-Darling proporciona igual sensibilidad con valores
extremos.
Procedimiento:
1. Generar una muestra de nmeros aleatorios uniformes de tamao
N.
2. Ordenar dichos nmeros en orden ascendente.
3. Calcular la distribucin acumulada de los nmeros generados con
la siguiente
expresin
-
Donde i es la posicin que ocupa el nmero aleatorio Xi en el
vector ordenado
obtenido en el paso 2.
4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo
siguiente
Dn = mx | Fn (Xi) Xi | para toda Xi
5. Si Dn es menor dalfa,n, entonces no se puede rechazar la
hiptesis de que los nmeros
generados provienen de una distribucin uniforme. La distribucin
de Dn ha sido
tabulada como una funcin de n y alfa para cuando Fn (x) = F0
(x).
Ejemplo:
Efectuar la prueba de Kolmogorov Smirnov a la siguiente muestra
de nmeros
aleatorios uniformes.
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
Sustituyendo los valores en las frmulas correspondientes se
tiene que:
i RNDi F(RNDi) RNDi- F (RNDi)
1 0.00 0.03 0.03
2 0.01 0.07 0.06
3 0.03 0.10 0.07
4 0.04 0.13 0.09
5 0.06 0.17 0.11
6 0.07 0.20 0.13
-
7 0.11 0.23 0.12
8 0.11 0.27 0.16
9 0.15 0.30 0.15
10 0.18 0.33 0.15
11 0.25 0.36 0.11
12 0.25 0.40 0.15
13 0.26 0.43 0.17
14 0.31 0.47 0.16
15 0.33 0.50 0.17
16 0.34 0.53 0.19
17 0.34 0.57 0.23
18 0.43 0.60 0.17
19 0.48 0.63 0.15
20 0.49 0.67 0.18
21 0.55 0.70 0.15
22 0.59 0.73 0.14
23 0.60 0.77 0.17
24 0.68 0.80 0.12
25 0.70 0.83 0.13
26 0.77 0.87 0.1
27 0.81 0.90 0.09
28 0.83 0.93 0.1
29 0.92 0.97 0.05
30 0.97 1.00 0.03
Siguiendo con el paso 4
Dn = Max |RNDi F (RNDi)| = 0.23
-
Comparamos el valor Dn (calculado) contra el valor en tablas de
la distribucin
Kolmogorov-Smirnov con n = 30 y un nivel de significancia alfa =
5%, el cual
es d30.5% = 0.242. Como 0.23 es menor que 0.242, entonces, no se
puede rechazar la
uniformidad de los nmeros aleatorios.
Prueba Chi-Cuadrada
Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una
escala nominal. La
hiptesis nula de la prueba Chi-cuadrado postula una distribucin
de probabilidad
totalmente especificada como el modelo matemtico de la poblacin
que ha generado
la muestra.
Procedimiento
1. Generar la muestra de nmeros aleatorios de tamao N.
2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos.
3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y
calcular la frecuencia
esperada FE de nmeros aleatorios, la cual se obtiene dividiendo
N/n.
4. Calcular el estadstico de prueba.
5. Comparar el valor calculado X02 contra el valor tabulado de
la distribucin X2, con
(n-1) grados de libertad y una significancia. Si X02 es menor
que X2(n-1), entonces no
se puede rechazar la uniformidad de los nmeros aleatorios.
Ejemplo
Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada a la
siguiente muestra de tamao
30 de nmeros aleatorios uniformes.
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
-
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
INTERVALO FE FO (FE-FO)2/FE
0.00 - 0.20 6 10 2.67
0.21 - 0.40 6 7 0.17
0.41 - 0.60 6 6 0.00
0.61 - 0.80 6 3 1.50
0.81 - 1.00 6 4 0.67
X20=5.01
Sea alfa= 5%. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=4. El
valor en tablas de la
distribucin Ji cuadrada es:
X24.5% = 9.49
Como X02 es menor que X24.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49.
Entonces no se
puede rechazar la uniformidad de los nmeros aleatorios.
2.2.2 De aleatoriedad
Prueba de corridas por arriba y debajo de la media
El mtodo llamado prueba de corridas por arriba y abajo de la
media consiste en lo
siguiente:
Denotaremos con un nmero (1) a aquel nmero que se encuentre por
debajo
de la media.
Denotaremos con un nmero (0) a aquel nmero que se encuentre por
arriba
de la media.
Este procedimiento consiste en determinar una secuencia de unos
y ceros de acuerdo a
la comparacin de cada nmero que cumpla con la condicin de ser
mayor o igual a 0.5
(en el caso de los ceros) o ser menor a 0.5 (en el caso de los
unos).
Procedimiento
-
Generar la muestra de tamao N de nmeros aleatorios.
Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesin binaria,
segn el criterio
siguiente:
Si rj es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a rj el smbolo
0.
Si rj es mayor a 0.50 entonces asignarle a rj el smbolo 1.
La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:
Ejemplo
Dada la siguiente muestra de tamao 30 de nmeros aleatorios,
aplicar la prueba de
corridas, para la independencia
0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60
0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06
0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92
0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00
0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55
Comparando los nmeros aleatorios segn el criterio establecido,
se obtiene la
siguiente sucesin binaria. Leyendo de izquierda a derecha se
agrupan los smbolos del
mismo tipo para formar las corridas.
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1
En la siguiente tabla se resume la informacin necesaria para el
clculo de la Ji-
cuadrada.
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Longitud
de corrida i FE FO (FE-FO)2/FE
1 8.000 9 0.125
2 3.875 3 0.197
3 1.875 2 0.008
4 0.906 1 0.010
5 0.438 1 0.721
Como para las longitudes de corrida i = 2, 3, 4, 5; las
frecuencias observadas son
menores o igual a cinco, agrupamos estas longitudes de corridas
en una sola longitud
de corrida ? 2.
i FE FO (FE-FO)2/FE
1 8 9 0.125
>=2 7.04 7 0.936
X0
2 = 1.061
El valor en tablas de X21.5%= 3.84; entonces no se puede
rechazar la independencia de
los nmeros aleatorios.
2.2.3 De independencia
Prueba de autocorrelacin
Correlacin es la relacin recproca entre dos o ms cosas
(elementos). A veces un
grupo de nmeros generados pueden parecer aleatorios, pero existe
una relacin entre
cada cierto nmero de ellos a partir de alguno especfico.
Amplitud de autocorrelacin: Es la distancia que existe entre los
nmeros de la lista
que tiene la relacin entre s. Se da cada n-simo nmero aleatorio
e inicia en el
elemento i.
Esta prueba se aplica con la suposicin de los nmeros aleatorios
tiene una distribucin
uniforme e independiente sobre el intervalo de 1 a 0.
-
Conceptos y parmetros que usamos en autocorrelacin
Para analizar la correlacin general para todos los pares
sucesivos de nmeros
aleatorios se utiliza la estadstica:
Densidad de probabilidad
Dnde:
N es el total de nmeros en toda la serie; Tamao de la
muestra.
i es el primer nmero donde empieza la amplitud de
autocorrelacin.
m es la amplitud de la autocorrelacin .
M es el entero mayor tal que i+(M+1)*m
-
Z significancia de la autocorrelacin que tiene una distribucin
Normal, con media cero
y una varianza de uno, bajo la suposicin de independencia.
Nivel de significancia
Si se define el nivel de significancia por medio de y Z 1 - /2
el valor de Z hace que:
Se utiliza ( / 2 puesto que se va a tomar en cuenta ambos lados
del rea bajo la curva)
Para determinar la autocorrelacin se establecen las siguientes
Hiptesis;
Hiptesis Nula
Los nmeros aleatorios estn correlacionados (No son
Aleatorios)
Hiptesis Alternativa
Los nmeros aleatorios No estn correlacionados (S son aleatorios
)
Criterio de rechazo | Z0| > Z1-/2
Entonces, si: |Z| >Z 1- /2 a se rechaza la hiptesis de
aleatoriedad.
-
Y si |Z| Z 1- /2 Se acepta la hiptesis de aleatoriedad.
Ejemplo
Tenemos la Siguiente serie de Nmeros:
0.20,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.02,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.03,0.37,0.86,0.73,0.
06,0.53,0.25,0.67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.25,0.33,0.72,0.91,0.00,0.24,0.64,0.90,0.08,0.33
,0.94,0.33,0.16,0.45,0.70,0.18,0.07
A primera vista, estos nmeros pueden parecer aleatorios. No
obstante, al examinar de
cerca estos nmeros se ve que existe una relacin clara entre cada
sexto nmero, a
partir del segundo.
Cada uno de estos nmeros vara en magnitud sucesivamente de muy
grande a muy
pequeo.
0.20,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.02,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.90,0.03,0.37,0.86,0.
73,0.06,0.53,0.25,0.67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.25,0.33,0.72,0.91,0.00,0.24,0.64,0.90,0.0
8,0.33,0.94,0.33,0.16,0.45,0.7 0,0.18,0.07.
Prueba de huecos
La prueba de huecos (GAP) es usada para asegurar que la
recurrencia de cada dgito
particular en un flujo de nmeros suceda con un intervalo
aleatorio. Se pueden usar
dos pruebas para comparar estos intervalos con la longitud
esperada de los huecos: La
prueba Chi-Cuadrada (X2) y la prueba Kolmogorov Smirnov (KS) es
entonces usada
para comparar
Para determinar si los nmeros aleatorios generados cumplen con
las propiedades
especificadas (uniformidad e independencia) se tendrn las
hiptesis siguientes:
La prueba de huecos se utiliza para determinar la significancia
de los intervalos entre la
repeticin de cierto dgito. Si el dgito k va seguido por x dgitos
distintos de k, antes de
-
que vuelva a parecer k, se dice que existe un hueco de tamao x.
Por ejemplo:
Se puede tomar cualquier nmeros aleatorio; en este caso se toma
el nmero cero, el
cual aparece 13 veces y por ende habr 12 huecos. El primero de
longitud 2, el
segundo de 19, el tercero de 8, etc. Otro ejemplo tomamos el
nmero cuatro, el cual
aparece 15 veces y tendr 14 huecos. El primero de longitud 16,
el segundo de 12, el
tercero de 5, etc. Para fines de esta prueba, nos interesa la
frecuencia con la que se
presentan los diversos huecos.
Para una secuencia dada de dgitos, anotamos el nmero de veces
que aparecen los
huecos de longitudes 0, 1, 2,.... . Podemos aplicar este
procedimiento a un dgito
simple entre 0 y 1. Despus de tomar nota de la frecuencia con
que aparece cada
hueco, comparemos la frecuencia acumulativa relativa (Sx)
observada con la frecuencia
acumulativa terica. Suponiendo que los dgitos estn ordenados
aleatoriamente, la
distribucin de frecuencias acumulativas relativas est dada
por:
Y la distribucin de frecuencias acumulativas tericas est dada
por:
La probabilidad de un hueco de una cierta longitud puede ser
determinada por
una prueba Bernoulli.
Si nicamente consideramos dgitos del 0 al 9, entonces;
Tericamente la distribucin de frecuencia para dgitos ordenados
aleatoriamente est
dada por;
-
Ejemplo
Basndonos en la frecuencia con que se producen los huecos,
determnese si se puede
suponer que los dgitos estn ordenados aleatoriamente. Sea el
nivel de significancia
de = 0.05.
El nmero de huecos registrados ser la cantidad de nmeros
analizados menos el
nmero de nmeros aleatorios generados (en este caso son 10,
puesto que cada dgito
se debe presentar, por lo menos, una ltima vez).
Total de huecos (T) = N 10 donde N es el tamao de la muestra
(T) = 125 10 = 115.
Despus se verifica cual fue la mayor longitud del hueco, y
dependiendo de sta usted
elegir cuantos intervalos requiere. Por ejemplo: si tiene una
longitud de hueco igual a
49 y desea 10 intervalos entonces el primer intervalo ser de 0
4, el segundo de 5 9,
el tercero de 10 14, etc. Si quisiera solo 5 intervalos entonces
quedar el primero de
0 9, el segundo de 10 19, el tercero de 20 29, el cuarto de 30
39 y el quinto de
40 49. Para el ejemplo se tiene que la mayor longitud de hueco
es de 50 y se dividi
en 17 intervalos.
Enseguida se analizan cada uno de los nmeros aleatorios
generados para determinar
su longitud de hueco y obtener la frecuencia en los intervalos
generados. Por ejemplo:
si tomamos el nmero aleatorio siete (7) su primera longitud de
hueco es de 9; y caer
en el intervalo 9 11, entonces ese intervalo tendr su primera
frecuencia. Si el mismo
nmero aleatorio u otro nmero cayeran en ese mismo intervalo
entonces se sumara
la segunda frecuencia para este intervalo; y as sucesivamente
para todos los
intervalos. La suma de las frecuencias de todos los intervalos
(en este ejemplo son 17)
es igual a el total de huecos (T = 115).
Pasos a seguir en la prueba.
Paso 1.
-
Especifique la fdp para la distribucin de frecuencia terica dada
por la ecuacin (14)
basado en el ancho del intervalo de clase seleccionado.
Ecuacin 14
Paso 2.
Arregle los huecos observados en una distribucin acumulada con
esas mismas clases.
Paso 3.
Encuentre D, La mxima desviacin entre F(x) y Sn(x) como en la
ecuacin
Paso 4.
Determine el valor crtico D, de la tabla de KolmogorovSmirnov
para el valor
especfico de y el tamao de muestra N.
Paso 5.
Si el valor calculado de D es mayor que el valor tabulado de D
la hiptesis nula de
independencia es rechazada.
El valor exacto de puede ser encontrado usando la metodologa
descrita por
Conmover [1980].
-
Resumimos la prueba en la tabla siguiente:
Para determinar la frecuencia acumulativa relativa se basa en la
frmula:
-
y as sucesivamente hasta acabar con los intervalos.
Para determinar la frecuencia acumulativa relativa se basa en la
frmula:
Posteriormente se obtiene la diferencia mxima absoluta entre las
dos frecuencias
acumulativas D * = 0.082. Esta diferencia se compara con la
diferencia de
confiabilidad. La diferencia de confiabilidad est dada por la
siguiente frmula:
Donde el nivel de confiabilidad es igual a 1 nivel de
significancia (1-.95)=0.05. Valor
de la tabla con 0.05 y N>35 (tamao muestral 125) = 1.36
(apndice de tablas)
Puesto que D * (0.082) < D 0.95 (0.127); rechazamos la
hiptesis de que los dgitos estn
ordenados aleatoriamente.
La prueba de pquer
La prueba POKER se utiliza para analizar la frecuencia con la
que se repiten los dgitos
en nmeros aleatorios individuales. Para determinar si los nmeros
aleatorios
generados cumplen con las propiedades especificadas (uniformidad
e independencia)
se tendrn las hiptesis siguientes:
-
Se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los
dgitos en nmeros
aleatorios individuales. Por ejemplo, si nos ocupamos de nmeros
aleatorios de cinco
dgitos, nos interesara la frecuencia con que ocurre lo que sigue
en los nmeros
individuales:
1. Los cinco son diferentes.
2. Hay exactamente un par.
3. Dos pares diferentes.
4. Tres dgitos iguales.
5. Tres dgitos iguales y un par.
6. Cuatro dgitos iguales.
7. Cinco dgitos iguales.
Por supuesto, el nmero de esas combinaciones que se pueden dar
depende del
nmero de dgitos que constituyen cada uno de los nmeros
aleatorios.
Para aplicar la prueba del pquer:
a) Escogemos primeramente un nivel de significancia, a, y
enumeramos el grado de
repeticin de los dgitos.
b) A continuacin, calculamos la probabilidad de aparicin de cada
una de esas
combinaciones.
c) Luego, se examina la frecuencia con que se presenta cada
combinacin en la
secuencia de nmeros estudiados.
d) Posteriormente, se puede comparar la frecuencia observada con
que aparece cada
combinacin con la frecuencia esperada, mediante la prueba de la
ji cuadrada. Para
comprobar que los datos pertenecen a una distribucin Uniforme,
se debe de cumplir
la condicin de que X2 Calculada < x2 /1,g.l.. Donde x2 /2,g.l
se obtiene de la tabla de
la distribucin Ji cuadrada, con un nivel de significancia y y
los grados de libertad g.l. =
No. de parmetros de la distribucin de probabilidad a probar
menos l.(en nuestro
caso estamos probando la uniformidad y la distribucin uniforme
no tiene parmetros
).
-
Como ejemplo, supngase que tenemos que aplicar la prueba de
pquer a N nmeros
aleatorios de cinco dgitos. Calcularemos la probabilidad de
aparicin de cada una de
esas combinaciones, bajo la suposicin de que los dgitos se
presentan de una manera
completamente aleatoria.
Frmulas que ya estn establecidas estadsticamente:
Las probabilidades para cada una de las manos de pquer se
muestran a continuacin:
-
Para obtener el nmero de veces que se puede esperar cada una de
esas
combinaciones, se multiplica cada probabilidad por N. Por
supuesto, el nmero de esas
combinaciones que se pueden producir depende del nmero de dgitos
que
constituyen cada uno de los nmeros aleatorios.
Ejemplo
Tenemos que aplicar la prueba del pquer a n nmeros aleatorios de
cinco dgitos. Las
combinaciones posibles que indican el grado de repeticin de los
dgitos en un nmero
aleatorio dado se dieron antes. Calcularemos la probabilidad de
aparicin de cada una
de esas combinaciones, bajo la suposicin de que los dgitos se
presentan de una
manera completamente aleatoria.
Nmeros aleatorios:
Si analizamos el primer dgito 0.85881 contiene una tercia de 8s
, el segundo dgito
contiene dos pares uno de 7s y uno de 9s, y as sucesivamente se
analizan todos los
nmeros aleatorios y se cuantifican las diferentes opciones en el
juego de pquer
agrupndolas para obtener la frecuencia esperada fe de cada uno
de ellos.
Para obtener el nmero de veces que se puede esperar cada una de
esas
combinaciones, se multiplica cada probabilidad por n.
-
Resultados del anlisis del pquer:
Como la frecuencia esperada es menor de 5, se deben agrupar las
filas con las
inmediatas superiores hasta que la suma se al menos 5. As;
Como =0.05 y numero de intervalos es igual a 3, la X2 Tabla =X2
0.05,2=5.99 (apndice de
tablas), y entonces como 3.63 < 5.99 se acepta la hiptesis de
que los nmeros estn
-
ordenados al azar.
Los resultados que se obtuvieron en la tabla fue de la siguiente
forma:
4 dgitos distintos = .504 * 100 = 504
1 dgito par = .432 * 100 = 432
2 dgitos pares = .027 * 100 = 27
3 dgitos iguales = .037 * 100 = 37
Por lo tanto para sacar el resultado de la ltima columna se hace
mediante la frmula
que se encuentra en la misma posicin de la columna.
Puesto que x 0.95 (4) = 9.488
-
Conclusin
En simulacin se da mucho la necesidad de generar nmeros
aleatorios pero para generarlos
en la computadora se hace por medio de algoritmos definidos por
esta razn ya no son
nmeros aleatorios ya que siguen un algoritmo para ser creados, a
estos nmeros se les
denomina nmeros pseudoaleatorios porque son casi aleatorios. A
estos nmeros se les
pueden aplicar diferentes mtodos para verificar varios aspectos
de calidad ya que hay dos
propiedades importantes esperadas en los nmeros aleatorios la
uniformidad e independencia.
El mtodo chi-cuadrada y el mtodo Kolmogomorov-Smirnov (KS) son
mtodos utilizados para
probar la uniformidad en nmeros aleatorios.
-
Referencias bibliogrficas
1.
http://carlosmarquez.files.wordpress.com/2012/02/unidad-4-generacion-de-numeros-
pseudoaleatorios1.pdf
2.
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc
/SIMULACI-N-131.htm
3.
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r92011.PDF
4.
http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov
5. http://www.ub.edu/aplica_infor/spss/cap5-2.htm
6.
http://www.slideshare.net/pakitofive/prueba-de-corridas-arriba-y-abajo-de-la-media
