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Física II Unidad 2. Radiación y propagación de ondas Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática Ingeniería en Telemática Programa de la asignatura: Física II Unidad 2. Radiación y propagación de ondas Clave 220920517 / 210920517 Universidad Abierta y a Distancia de México

Unidad 2. Radiacion y Propagacion de Ondas

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  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica

    Ingeniera en Telemtica

    Programa de la asignatura: Fsica II

    Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Clave

    220920517 / 210920517

    Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

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    ndice

    Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas ........................................................................................ 3

    Presentacin de la unidad .................................................................................................................. 3

    Propsitos .......................................................................................................................................... 4

    Competencia especfica ..................................................................................................................... 4

    2.1. Lneas de transmisin ................................................................................................................. 4

    2.1.1. Caractersticas de las ondas electromagnticas ................................................................... 5

    Actividad 1. Lneas de transmisin ..................................................................................................... 9

    2.1.2. Balunes ............................................................................................................................... 10

    2.1.3. Lneas de transmisin de conductores paralelos, concntricas o coaxiales ........................ 14

    2.2. Polarizacin electromagntica y frente de onda ........................................................................ 15

    2.2.1. Rayos y frentes de onda ..................................................................................................... 15

    2.2.2. Densidad de potencia e intensidad de campo ..................................................................... 16

    2.2.3. Impedancia, caracterstica del espacio libre ........................................................................ 17

    2.2.4.Frente de onda esfrico ....................................................................................................... 18

    2.2.5. Ley del cuadrado inverso .................................................................................................... 19

    Actividad 2. Frentes de Onda ........................................................................................................... 20

    2.3. Atenuacin, Absorcin y propiedades pticas de las ondas de radio ......................................... 20

    2.3.1. Atenuacin .......................................................................................................................... 20

    2.3.2. Absorcin ............................................................................................................................ 21

    2.3.3. Refraccin, reflexin, difraccin e interferencia ................................................................... 22

    2.4. Propagacin terrestre de las ondas electromagnticas ............................................................. 27

    2.4.1. Propagacin de ondas terrestres ........................................................................................ 28

    2.4.2. Propagacin de ondas espaciales ...................................................................................... 30

    2.4.3. Propagacin de ondas celestes .......................................................................................... 31

    Actividad 3. Propagacin terrestre de las Ondas .............................................................................. 32

    2.4.4. Frecuencia crtica y ngulo crtico ....................................................................................... 33

    2.4.5. Altura virtual mxima, frecuencia til y distancia de salto .................................................... 33

    Autoevaluacin ................................................................................................................................. 34

    Evidencia de aprendizaje. Propagacin de ondas ............................................................................ 35

    Autorreflexin ................................................................................................................................... 35

    Cierre de la Unidad .......................................................................................................................... 35

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    Para saber ms ................................................................................................................................ 37

    Fuentes de consulta ......................................................................................................................... 37

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    Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Presentacin de la unidad

    El estudio de la propagacin de las ondas y la radiacin electromagntica, proporciona los

    elementos bsicos para que puedas comprender cmo se transmite informacin mediante las ondas

    electromagnticas, ya sea por medio de lneas de transmisin o de manera inalmbrica.

    Ejemplo de Ondas

    Para esto, necesitas conocer el concepto de lnea

    de transmisin y sus caractersticas, as como los

    diferentes tipos de conductores que existen para

    formar una lnea de transmisin.

    Aprenders tambin, las caractersticas de un

    frente de ondas y su comportamiento,

    dependiendo del medio ambiente por el que acta.

    Asimismo en esta unidad, aplicars a casos especficos como las ondas de radio, tus conocimientos

    sobre la reflexin, refraccin, difraccin e interferencia, aprendidos en la unidad anterior.

    Por ltimo conocers la manera como se lleva a cabo la propagacin de las ondas electromagnticas a

    travs de nuestro planeta de forma inalmbrica.

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    Propsitos

    Al trmino de esta unidad logrars:

    Explicar las caractersticas de las lneas

    de transmisin.

    Calcular los valores caractersticos de los

    frentes de onda en el espacio.

    Diferenciar las propiedades pticas de las

    ondas de radio.

    Clasificar los diferentes tipos de

    propagacin terrestre de las ondas

    electromagnticas.

    Competencia especfica

    Calcular la propagacin de las ondas para

    establecer los parmetros necesarios en la

    transmisin de seales utilizando conceptos de

    atenuacin, absorcin y propagacin de las

    ondas, tanto terrestres como espaciales.

    2.1. Lneas de transmisin

    Una lnea de transmisin es un sistema conductor metlico que se

    utiliza para transferir energa elctrica de un lugar a otro. Ms

    especficamente, una lnea de transmisin son dos o ms

    conductores separados por un aislante, como un par de cables o

    un sistema de par de hilos.(Tomasi, 2003)

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    Las lneas de transmisin sirven para transportar desde energa elctrica hasta seales de alta o baja

    frecuencia. La transmisin de seales de baja frecuencia es relativamente simple, sin embargo, las

    seales de alta frecuencia generalmente son seales de radio y esto hace que las caractersticas de

    las lneas de transmisin se vuelvan ms complicadas, teniendo en cuenta que generalmente se

    trabaja con circuitos y elementos de comportamiento constante

    2.1.1. Caractersticas de las ondas electromagnticas

    Onda electromagntica. Recuperado de

    http://www.salesianos-

    merida.com/APUNTES/ccnn/la%20luz_archivos/pa

    ge0003.htm

    Las ondas electromagnticas son ondas formadas

    por un componente elctrico y uno magntico.

    Cuando existe una lnea de transmisin energizada

    se puede decir que hay una onda electromagntica,

    ya que la propagacin de energa elctrica a lo largo

    de la lnea de transmisin ocurre en forma de ondas

    electromagnticas transversales.(Tomasi, 2003).

    Un ejemplo claro se puede ver en una onda de agua

    en la que claramente se aprecia la propagacin en

    direccin del desplazamiento. A este tipo de ondas

    se les llama longitudinales.

    Como ya comentamos, en un conductor la corriente y el voltaje siempre estarn acompaados de un

    campo elctrico ( ) y uno magntico ( ) los cuales siempre estn a su alrededor;en la imagen de onda

    electromagntica se observa cmo los campos elctricos y magnticos tienen una separacin

    perpendicular uno con otro (ngulos de 90 grados). Este fenmeno es conocido como cuadratura de

    espacio.

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    Viajan desde la carga

    hacia la fuente.

    Velocidad de las ondas

    Las ondas viajan a diferentes velocidades segn el tipo de onda y el medio ambiente por el que se

    propagan. Podemos entonces mencionar que las ondas de sonido en el aire viajan a 340 m/s y las

    onda electromagnticas en el vacio viajan alrededor de .

    Viajan a lo largo de una

    lnea de transmisin,

    desde la fuente a la carga.

    Car

    acte

    rst

    icas

    de

    las

    on

    das

    ele

    ctro

    mag

    nt

    icas

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    En una lnea de transmision, las ondas electromagnticas viajan ms lentamente en comparacin de

    su velocidad en el espacio libre, esto como consecuencia de las carcatersticas dielctricas del aislante

    que separa los conductores en dichas lineas. A esta diferencia de velocidades le llamamos factor de

    velocidad

    Factor de Velocidad

    Vf= factor de velocidad

    Vp = velocidad de propagacin.

    C = velocidad de la luz

    Para este curso se tomar la velocidad de las ondas electromagnticas igual a la velocidad de la luz

    ( ).

    Frecuencia y longitud de onda

    La proporcin en que una onda peridica se repite es su frecuencia. La distancia de un ciclo

    ocurriendo en el espacio se llama longitud de onda.(Tomasi, 2003)

    Longitud de onda. Adaptada de con CIENCIATEC. Recuperada de

    http://varinia.es/blog/2009/07/26/%C2%BFque-es-la-frecuencia-y-la-longitud-de-onda-sonora/.

    Como puede verse en las imgenes, la longitud de onda se refiere al tamao de la onda en direccin

    de la propagacin y la frecuencia se refiere al nmero de ondas que pasan en un determinado tiempo,

    generalmente en un segundo estndar.

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    La longitud de onda viene dada por la frmula:

    La longitud de onda se representa por la letra minscula griega (lambda) y el tiempo est definido

    como periodo, que es el tiempo que tarda en completarse y est representada por la letra T.

    Si sustituimos sta la ecuacin queda:

    Y ya que tenemos una relacin entre periodo y frecuencia que dice:

    Y sustituyendo en la ecuacin de longitud de onda:

    y sustituyendo la velocidad por la velocidad de luz (v = c):

    En donde:

    m= metros

    s = segundos

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    Ejemplo 1

    1.- Determine la longitud de onda para una onda electromagntica que viaja por el espacio libre y

    tiene una frecuencia de 1 MHz.

    f = 1 x 106Hz

    C = 3 x 108 m/s

    De la frmula

    2.- Determine la frecuencia y el periodo para una seal que es transmitida con una longitud de onda

    de 2m.

    *Para resolver este ejercicio y otros que aparecern ms adelante revisa el Cuadernillo de ejercicios

    U2, ubicado en la seccin de Material de apoyo el cual incluye desarrollo y resoluciones de los dems

    ejercicios plateados en esta unidad.

    Actividad 1. Lneas de transmisin

    Bienvenidos(as) a la primer actividad de la segunda unidad!

    En esta actividad podrs interactuar con tus compaeros por medio de un Foro en el que atenders

    los lineamientos que te dar tu facilitador con respecto a las caractersticas de las lneas de

    transmisin.

    Sigue las siguientes pautas:

    1. Ingresa al foro denominado Lneas de transmisin. 2. Participa contestando al planteamiento expuesto por tu Facilitador(a). 3. Lee y retroalimenta a tus compaeros(as), mnimo un comentario a dos compaeros

    diferentes.

    Ten siempre presente las indicaciones de tu Facilitador(a), as como los puntos que debes cubrir para

    la evaluacin y as completar esta actividad.

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    2.1.2. Balunes

    Las lneas de transmisin se pueden clasificar en balanceada o desbalanceadas. Las lneas

    balanceadas de dos cables llevan corriente, uno lleva la seal y el otro es el retorno. A este tipo de

    transmisin tambin se le llama diferencial ya que la seal que se propaga por el cable se mide como

    la diferencia de potencial de los dos conductores. En la siguiente imagen se puede observar una lnea

    balanceada.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Sistema de transmisin diferencial o balanceada,

    p. 321, Mxico, Prentice Hall.

    Como es de esperarse, en una lnea balanceada ambos conductores llevan la seal y con igual

    magnitud en referencia a la tierra fsica; con la diferencia que viajan en sentido opuesto.

    A las corrientes que fluyen en sentidos opuestos en un par de cables balanceados se les llama

    corrientes de circuito metlico. Las corrientes que fluyen en una misma direccin se llaman

    corrientes longitudinales. Una ventaja de un par de cables balanceados es que la mayora de la

    interferencia por ruido o voltaje de modo comn, se induce por igual en ambos cables cancelndose en

    la carga final.

    Cualquier par de cables puede operar en modo balanceado siempre y cuando ninguno de los cables

    est con el potencial a tierra. Por otro lado, con una lnea de transmisin desbalanceada un cable se

    encuentra en el potencial a tierra, mientras que el otro cable se encuentra en el potencial de la seal. A

    este tipo de trasmisin se le llama transmisin de seal desbalanceada o de terminacin

    sencilla.(Tomasi, 2003)

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    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Circuito desbalanceado, p. 322, Mxico, Prentice

    Hall

    Al observar la figura anterior se puede notar que el cable de tierra tambin puede ser usado como

    referencia a otros cables. Esto puede crear problemas ya que una lnea desbalanceada tiene

    resistencia, inductancia y capacitancia y por lo tanto, puede existir un pequeo diferencial de potencia

    entre cualquiera de los puntos del cable de tierra; la diferencia de potencial la podemos encontrar en

    cada cable, desde ese cable a tierra.

    La manera de conectar una lnea de transmisin desbalanceada con un balanceada es mediante un

    dispositivo llamado balunes (balanced-unhalanced). Y es especialmente til para conectar un cable

    coaxial a una antena.

    Las lneas de transmisin tambin se pueden dividir segn su construccin, como se muestra en la

    siguiente figura.

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    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Lneas de transmisin: cable abierto (a), cables

    gemelos(b), par trenzado(c), par protegido(d), p. 323, Mxico, Prentice Hall

    Lneas de trasmisin cable abierto (a): Es un conductor de dos cables como se muestra en la figura

    anterior, consiste simplemente en dos cables separados nicamente por el aire; generalmente en este

    tipo de lnea se utiliza unos espaciadores no conductivos colocndolos a intervalos peridicos.

    Cables gemelos (doble terminal) (b): Se muestra en la figura Lneas de transmisin, donde puedes

    ver que est formado por un par de cables y al contrario de la descripcin anterior, estos estn

    separados por medio de un espaciador dielctrico slido.

    Cable de par trenzado (c): Este tipo de cable se forma al tomar dos cables y doblarlos entre s,

    trenzndolos con diferente inclinacin para poder reducir la interferencia entre los pares debido a la

    mutua induccin.

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    Par de cable protegido por armadura (d): Si se desea reducir las prdidas por radiacin en una lnea

    de transmisin, generalmente se cubre completamente en una malla metlica conductiva. Esta malla

    se conecta a tierra y acta como una proteccin, de tal manera que evita que la seal se difunda ms

    all del cable y evita la interferencia magntica.

    Los diferentes tipos de cables al conectarse entre si no tienen problemas por interferencia o ruido; sin

    embargo, al conectarse una lnea de transmisin balanceada con una no balanceada los sistemas

    tienen fallas, para evitar eso y para que las lneas de transmisin tengan un buen acople, se utilizan los

    balunes, que tienen como funcin especfica eliminar estas diferencias entre las lneas de trasmisin.

    Para conectar una lnea de trasmisin desbalanceada, como un cable coaxial, a una carga

    balanceada, como una antena, se utiliza un transformador especial con un primario desbalanceado y

    una bobina secundaria con conexin central. El conductor externo generalmente se conecta a tierra.

    Para frecuencias muy pequeas se utilizan balunes muy sencillos como se muestra en la figura

    balunes (a) en donde el balun se conecta a tierra fsica para protegerlo de cargas electrostticas

    dispersas.

    Para frecuencias altas se utilizan otro tipo de balunes el ms comn es el llamado de banda angosta

    o de choque y se muestra en la siguiente figura.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Balunes: (a) balun del transformador; (b) balun de

    bazuka, p. 325, Mxico, Prentice Hall.

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    2.1.3. Lneas de transmisin de conductores paralelos, concntricas o coaxiales

    A bajas frecuencias se utiliza generalmente cualquier cable de conductores en paralelo, sin embargo, a

    muy altas frecuencias existen prdidas por la radiacin y prdidas dielctricas, adems de ser muy

    susceptibles al ruido.

    En estos casos es cuando se utiliza el conductor coaxial, el cual en altas frecuencias reduce las

    prdidas y asla la trasmisin del ruido. Este cable consiste bsicamente en un conductor central

    rodeado por un conductor exterior concntrico.

    A pesar de los diferentes cables que encontramos en el mercado existen dos tipos esenciales: el de

    lnea rgida llena de aire y el de lnea slida flexible. Como se muestra en la figura Lneas de

    transmisin concntricas o coaxiales, que aparece ms abajo; (a) se puede ver un cable coaxial de

    lnea rgida de aire; y en l se ve cmo el conductor rgido est rodeado por un tubo hueco y el

    dielctrico o aislante es el aire, tambin se nota que existen unos espaciadores que separan al

    conductor externo del interno y estos estn hechos generalmente de PIREX, poliestireno u otro

    material no conductor.

    El cable ms comn es el de lnea slida flexible, mostrado en la figura (b), se puede ver que el

    conductor externo est trenzado, es flexible y coaxial al conductor central que generalmente es un

    cable de cobre flexible o hueco y est aislado del conductor externo por un material de polietileno

    slido no conductivo que adems le proporciona soporte.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Lneas de transmisin concntricas o coaxiales (a);

    rgidas llenas de aire; (b) lnea slida flexible, p. 325, Mxico, Prentice Hall

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    Este tipo de cable es relativamente ms barato de construir que el de lnea rgida de aire, adems que

    este ltimo tiene como inconveniente que debe estar relativamente libre de humedad para minimizar

    las prdidas.

    En general, el nico inconveniente de los cables coaxiales es el costo ms elevado que uno de

    conductores paralelos y que debe ser utilizado en el modo desbalanceado.

    2.2. Polarizacin electromagntica y frente de onda

    En los temas anteriores se pudo observar cuales son los medios en los que una seal puede viajar, sin

    embargo, existen situaciones donde la distancia o los obstculos geogrfico impiden realizar la

    conexin fsica entre un dispositivo y otro, ya sea por el costo o la imposibilidad fsica para llevarlo a

    cabo; en estas situaciones el espacio libre se utiliza como medio de transmisin. La propagacin en el

    espacio libre de las ondas electromagnticas, a menudo, se llama propagacin de la radiofrecuencia

    (RF) o simplemente propagacin de radio.(Tomasi, 2003)

    Para poder realizar este tipo de transmisiones se debe enviar una seal por medio de una fuente, la

    cual viajar por el espacio libre, interactuando con este medio sus condiciones y caractersticas

    especficas, para finalmente, ser captada por un receptor.

    En esta seccin se estudiarn las caractersticas de las ondas electromagnticas para ms adelante

    estudiar cmo se comportan en el espacio libre.

    2.2.1. Rayos y frentes de onda

    Debido a que las ondas electromagnticas son invisibles para el ojo humano, se deben analizar por

    medio de mtodos indirectos, como los esquemas. En estos se usan los trminos rayo y frente de

    onda para explicar el movimiento de una onda electromagntica en el espacio libre.

    Un rayo ser entonces una lnea dibujada a lo largo de la direccin de la propagacin como se

    muestra en la figura Rayos y frentes de onda. Estos rayos se utilizan para mostrar la direccin relativa

    de la onda electromagntica, sin embargo, no se puede explicar el movimiento de toda la onda por

    medio de un solo rayo, por eso se utilizan varios rayos, como se aprecia en la siguiente figura.

    Rayos y frentes de onda

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    Los frentes de onda se forman al unir varios de estos rayos, con la condicin de que estn en fase y

    provengan de la misma fuente. Cuando la superficie por la que se propaga este frente de onda es

    plana entonces el frente de onda es perpendicular a la propagacin.

    Si tomamos una fuente puntual(tambin llamada isotrpica), podemos ver como los rayos se propagan

    igualmente en todas direcciones; por lo tanto, el frente de onda generado por esta fuente es una esfera

    de radio R y su centro est ubicado en el punto de origen de las ondas como se puede ver en la

    siguiente figura.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Frente de onda desde una fuente puntual, p. 356,

    Mxico, Prentice Hall

    A una distancia suficientemente cercana a la fuente los rayos parecen paralelos, por esto entre ms

    lejos de la fuente estn, ms se parecen a la propagacin de una onda plana.

    2.2.2. Densidad de potencia e intensidad de campo

    Como se puede recordar la onda electromagntica es un flujo de energa que se propaga en una

    direccin, entonces se puede definir que la proporcin en la cual la energa cruza una superficie dada

    en el espacio libre, se llama densidad de potencia(Tomasi, 2003). La densidad de potencia, es por

    tanto, energa por unidad de tiempo, por unidad de rea y su unidad es el watt por metro cuadrado.

    La intensidad de campo es la intensidad de los campos elctricos y magnticos de una onda

    electromagntica propagndose en el espacio libre(Tomasi, 2003). La intensidad de campo elctrico

    se representa en volts por metro y la intensidad de campo magntico en Amper-vuelta por metro.

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    Podemos expresarlas matematicamente como:

    en donde:

    2.2.3. Impedancia, caracterstica del espacio libre

    En toda lnea de transmisin se tiene una impedancia caracterstica y esto no es excluyente del

    espacio libre. Esta impedancia caracterstica afecta a la onda electromagntica. Para un medio de

    transmisin sin prdida, su impedancia caracterstica est dada por la raz cuadrada de la relacin de

    su permeabilidad magntica con su permitividad elctrica.

    Matematicamente tenemos la frmula como:

    en donde:

    sustituyendo la ecuacin tenemos:

    y utilizando la ley de ohm obtenemos:

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    2.2.4.Frente de onda esfrico

    Un frente de onda esfrico perfecto no existe, sin embargo, se puede esquematizar; por ejemplo,

    cuando existe un radiador isotrpico y ste se aproxima a una antena omnidireccional, el cual irradia

    potencia en proporcin uniforme y constante producindose un frente de onda esfrico de radio R. Se

    puede decir entonces, que todos los puntos a la distancia R tienen una densidad de potencia igual. En

    cualquier tiempo, la potencia radiada P(watts) est uniformemente distribuida sobre la superficie de la

    esfera, se asume que no existen prdidas. Por lo tanto, la densidad de potencia en cualquier punto de

    la esfera, es la potencia total radiada por el rea total de la esfera.

    Se tiene entonces la frmula:

    en donde:

    si igualamos esta ecuacin con la ecuacin de potencia de la impedancia caracterstica queda:

    despejando para el campo elctrico:

    y

    Ejemplo 2:

    Para ejemplificar la relacin entre la densidad de potencia y la intensidad de campo elctrico analice

    el siguiente ejemplo:

    1.- Una antena de transmisin de seal para el canal 5, tiene un alcance de 25 Km y una potencia

    radiada de 25,000 w. Encuentre el campo elctrico presente en la transmisin de esta seal.

    2.- Una antena de recepcin de canales de televisin tiene un radio receptor de 700m en presencia de

    un campo elctrico de . Calcule la densidad de potencia de la antena.

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    2.2.5. Ley del cuadrado inverso

    Si se observa la frmula de la densidad de potencia de un frente de onda esfrico,

    se

    puede notar que entre ms se aleja el frente de onda de la fuente, la densidad de potencia es menor.

    La potencia total distribuida sobre la superficie de la esfera permanece igual. Sin embargo, debido a

    que el rea de la esfera se incrementa en proporcin directa a la distancia de la fuente al cuadrado, la

    densidad de potencia es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente (Tomasi,

    2003). Esta relacin se llama inversa cuadrtica.

    La densidad de potencia en cualquier punto en la superficie de la esfera es de:

    la densidad de potencia en cualquier punto exterior de la esfera es:

    entonces:

    (

    )

    En esta ecuacin se observa que conforme la distancia de la fuente se duplica, la densidad de

    potencia disminuye en un factor de 22o 4.

    Ejemplo 3:

    Para ejemplificar el uso de las frmulas mencionadas anteriormente analice con detenimiento la

    siguiente muestra.

    Calcule la densidad de potencia de una antena de Telcel que trasmite a una potencia de 10,000 w en

    un radio de 10 km.

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    Actividad 2. Frentes de Onda

    Una vez que has atendido los diversos subtemas de Rayos y frentes de onda, es momento de reforzar

    lo aprendido.

    En esta actividad podrs calcular y graficar las caractersticas de un frente de onda:

    Sigue los siguientes pasos:

    1. En un documento realiza los clculos que te solicita tu Facilitador(a).

    2. Calcula y grafica las caractersticas de los frentes de onda.

    3. Ten siempre presente las indicaciones de tu facilitador, as como los puntos que debes

    cubrir para completar esta actividad.

    4. Guarda tu archivo con la nomenclatura FIS2_U2_A2_XXYZ.

    5. Envalo a tu Facilitador(a) para su revisin y espera la retroalimentacin.

    2.3. Atenuacin, Absorcin y propiedades pticas de las ondas de radio

    En la seccin anterior se estudi cmo se desplazan las ondas electromagnticas, ahora retoma esos

    conceptos y observa cmo el entorno terrestre juega un papel importante en la propagacin de las

    ondas electromagnticas

    2.3.1. Atenuacin

    Como se vio anteriormente la distancia afecta a la densidad de potencia del frente de onda, ya que

    entre ms lejos est de la fuente, va disminuyendo la densidad de potencia. Esto se debe a que entre

    ms lejos viajan las ondas ms se dispersan, lo mismo ocurre con el campo electromagntico

    continuo, donde el nmero de ondas por unidad de rea disminuye, es decir, la potencia radiada no se

    pierde.

    La reduccin en la densidad de potencia con la distancia es equivalente a la prdida de potencia y

    comnmente se llama atenuacin de la onda. (Tomasi, 2003)

    La atenuacin se representa en trminos de logaritmo comn de la relacin de densidad de potencia.

    Quedando como:

    (

    )

    Donde:

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    Ejemplo 4: Determina la atenuacin que sufre una antena que irradia una potencia de 800 kw suponiendo que la

    propagacin de potencia en un punto lejano es de 50 kw a una distancia de ese mismo punto de 20

    kilmetros.

    )

    )= 16

    Se debe recordar que la atenuacin se representa en trminos de logaritmo comn de la relacin de

    densidad de potencia. La atenuacin se mide generalmente en unidades de decibelios por la longitud

    del medio (dB/cm, dB/km, etc.).

    Tambin se debe tener presente que la ley cuadrtica inversa de la que depende esta frmula, supone

    que la propagacin se realiza en el espacio libre el cual representa un vaco.

    2.3.2. Absorcin

    La atmosfera terrestre no es un vaco, ya que est compuesta de tomos y molculas de diversas

    sustancias como gases lquidos y slidos. Como es de suponer, estos elementos en su mayora

    pueden absorber las ondas electromagnticas.

    La reduccin en la densidad de potencia debido a la propagacin del espacio no libre se llama

    absorcin (Tomasi, 2003). Es decir, las ondas al propagarse por el espacio libre encuentra tomos y

    les transfiere su energa y una vez absorbida esta energa se pierde. En otras palabras, la absorcin

    es similar a una prdida de potencia de la forma . Al existir esta prdida de potencia tanto la

    intensidad de voltaje y el campo magntico se atenan con la consecuente prdida de densidad de

    potencia.

    La absorcin de una onda electromagntica en la atmsfera normal depende de su frecuencia y es

    relativamente insignificante debajo de 10 GHz. Arriba de esta cifra puede ser afectada fcilmente por la

    lluvia, el oxgeno, el vapor de agua, entre otros.

    La absorcin no depende de la distancia a la que se encuentre la onda de la fuente, sino a la distancia

    que se propaga por la atmsfera. Si las condiciones son homogneas, la absorcin es la misma al

    principio que al final.

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    2.3.3. Refraccin, reflexin, difraccin e interferencia

    La atmsfera tambin afecta a la onda electromagntica por otros medios, estos son los efectos

    pticos de las ondas de radio como: la refraccin, la reflexin, la difraccin y la interferencia, llamados

    as porque fueron observados primero en la luz, mediante las ciencias pticas.

    Refraccin

    Es el cambio de la onda conforme pasa de un medio a otro con diferentes velocidades. La velocidad a

    la cual una onda electromagntica se propaga es inversamente proporcional a la densidad del medio

    en el cual se est propagando (Tomasi, 2003).

    Esto quiere decir que la refraccin ocurre siempre que la onda pasa de un medio a otro con diferente

    densidad, como se puede observar en la siguiente figura.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Refraccin entre una frontera plana entre dos

    medios, p. 361, Mxico, Prentice Hall

    En la figura Refraccin entre una frontera plana entre dos medios se observa que el medio 1 es menos

    denso que el medio 2 (v1> v2) y que el rayo A entra al medio ms denso antes que el B, por lo tanto, el

    rayo B viaja ms rpido que el A, y viaja la distancia B-B al mismo tiempo que el A recorre la distancia

    A-A. Esto da como resultado que el frente de onda A-B est doblado en una direccin hacia abajo.

    En la figura se observa tambin, que al pasar un rayo de un medio menos denso a otro ms denso,

    este se inclina hacia la lnea normal. Por el contrario, si se pasa de un medio ms denso a otro menos

    denso, ste se aleja de la normal.

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    En este punto es importante recordar que:

    ngulo de incidencia.- Es el ngulo formado entre la onda incidente y la normal.

    ngulo de refraccin .- Es el ngulo formado entre la onda refractada y la normal.

    ndice de refraccin .- Es la relacin de la velocidad de propagacin de un rayo de luz en el espacio libre.

    Donde:

    El ndice de refraccin tambin est en funcin de la frecuencia, pero es un nmero despreciable ya

    que su variacin es insignificante en la mayora de las mediciones. Sin embargo, el comportamiento de

    una onda electromagntica al cambiar de un medio a otro se puede explicar por medio de la ley de

    Snell:

    donde:

    n1 = ndice de refraccin del material 1

    n2= ndice de refraccin del material 2

    1 = ngulo de incidencia (grados)

    2 = ngulo de refraccin (grados)

    Y como el ndice de refraccin de un material es igual a la raz cuadrada de su constante dielctrica:

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    donde:

    Ejemplo 5:

    1.- La seal del canal 2 se propaga en un medio cuyo ndice de refraccin es de 1, si el ngulo de

    incidencia de dicha seal es de 30o y el ngulo de refraccin es de 19o, halle el ndice de refraccin

    del medio en el que la seal del canal 2 entra.

    =

    Reflexin

    La reflexin electromagntica ocurre cuando una onda incidente choca con la barrera que divide dos

    medios y la onda o parte de ella no entra en el segundo medio. La siguiente figura muestra una onda

    reflejada.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. La reflexin electromagntica en la frontera plana

    de dos medios, p. 363, Mxico, Prentice Hall

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    Se puede concluir que las velocidades de ambas ondas, incidente y reflejada, son la misma ya que no

    cambian de medio. Por lo tanto, el ngulo de reflexin es igual al ngulo de incidencia ( ). No

    obstante, la intensidad del campo del voltaje reflejado es menor a la intensidad del campo incidente.

    La relacin entre el voltaje del campo incidente y el reflejado se llama coeficiente de reflexin ( ).

    Para un conductor perfecto en un medio ideal ; se expresa de la siguiente manera:

    Donde:

    La potencia incidente total que no est reflejada se llama coeficiente de transmisin de potencia (T).

    Donde en un conductor perfecto T= 0, no se debera perder nada de la potencia.

    La ley de la conservacin de la energa establece que para una superficie perfectamente reflejante la

    potencia total reflejada debe ser igual a la potencia incidente total, (Tomasi, 2003).

    Entonces:

    | |

    Por otro lado, para conductores imperfectos las ondas incidentes penetran el material y son absorbidas

    estableciendo corrientes elctricas en la resistencia del material, convirtindose la energa en calor. La

    fraccin de potencia que penetra estos medios se conoce como coeficiente de absorcin.

    En el medio ambiente real no existen materiales reflectores perfectos y esto hace que las reflexiones

    siempre sean en ngulos o curvaturas diferentes.

    Existen dos tipos de reflexin:

    Reflexin difusa: Cuando el frente de onda incidente golpea una superficie irregular y esta se

    dispersa aleatoriamente en muchas direcciones.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 26

    Reflexin especular: Reflexin en una superficie perfectamente lisa.

    Cuando se tiene una superficie semispera que se encuentra entre lisa e irregular, se tiene una

    combinacin de ambos tipos de reflexin. En este tipo de superficies aunque no existe un cambio total

    en el frente de onda si hay una prdida en la potencia total.

    El criterio de Rayleigh indica que una superficie semispera reflejar como si fuese una superficie lisa,

    cada vez que el coseno del ngulo de incidencia sea mayor que , en donde es la profundidad

    de la irregularidad de la superficie y es la longitud de onda, de la onda incidente. (Tomasi, 2003)

    Es decir:

    Difraccin

    La difraccin es un fenmeno muy interesante, ya que la luz y las ondas electromagnticas pueden

    doblar las esquinas y propagarse en un rango ms amplio. Esto lo explica muy bien la ley de

    Huygens, anteriormente vista en la primera unidad, donde explica que un frente de onda est formado

    a su vez por una gran cantidad de rayos y cada rayo se descompone en un nuevo frente de onda,

    formado por otros rayos. Es decir, al llegar una onda de luz a una esquina y chocar con ella, una parte

    es absorbida por el material pero otra pasa por la esquina y se descompone en una multitud de rayos.

    En la figura de Refraccin de un frente de onda se observa cmo se forman los frentes de onda y

    doblan la esquina de la ranura.

    Refraccin de un frente de onda. Recuperado de

    http://web.educastur.princast.es/proyectos/jimena/pj_franciscga/propiond.htm#Inicio

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 27

    Interferencia

    La interferencia de ondas de radio ocurre, cuando dos o ms ondas electromagnticas se combinan

    de tal forma que el funcionamiento del sistema se degrada(Tomasi, 2003).

    Los fenmenos que se han visto como la refraccin, la reflexin y la difraccin se catalogan de

    geomtricos ya que pueden ser analizadas en trminos del comportamiento de los rayos y los frentes

    de onda. Sin embargo, la interferencia esta sujeta al principio de superposicin lineal de ondas

    electromagnticas y ocurre cuando dos o ms ondas electromagnticas ocupan el mismo punto en el

    espacio. El principio de superposicin lineal establece que intensidad total de voltaje de un punto dado

    en el espacio es la suma de los vectores de las ondas individuales., (Tomasi, 2003).

    Lo anterior explica que el resultado de la suma de dos ondas electromagnticas no solo es el resultado

    de la suma de sus voltajes elctricos, sino que tambin interviene su ngulo de fase, el cual puede

    convertir la operacin en una suma o una resta.

    En la Figura Suma de dos vectores se muestra la suma de dos vectores de voltaje instantneo, cuyos

    ngulos de fase difieren por un ngulo . Esto implica que el resultado de la suma final puede ser un

    vector resultante mayor o menor que los vectores individuales.

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Suma de dos vectores, p. 367, Mxico, Prentice

    Hall.

    2.4. Propagacin terrestre de las ondas electromagnticas

    Hablar de la propagacin de ondas terrestres es equivalente a hablar de ondas electromagnticas que

    se propagan dentro de la atmosfera terrestre, de tal manera que estas ondas se ven afectadas por los

    cambios atmosfricos y por la tierra misma. Un ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de radio

    (como se muestra en la figura Ondas de radio) que se propagan dependiendo de las condiciones del

    medio y de su longitud de onda.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 28

    Ondas de radio

    Estas ondas terrestres tienen las siguientes caractersticas:

    a) No necesitan un medio para propagarse.

    b) Viajan a la velocidad de la luz.

    c) Los campos elctricos y magnticos son perpendiculares entre si y perpendiculares a la

    direccin de la onda.

    d) Obedecen al principio de superposicin.

    2.4.1. Propagacin de ondas terrestres

    Las ondas terrestres viajan por la superficie de la tierra, as stas son polarizadas linealmente, es

    decir, en forma vertical, ya que si son polarizadas de forma horizontal, entonces, el campo elctrico

    de la onda sera paralelo a la superficie de la tierra y esto causara un corto por la conductividad de

    la superficie terrestre. Por otro lado, por las ecuaciones de Maxwell, se sabe que las ondas terrestres

    tienen un campo elctrico variable en el tiempo, lo cual hace que se genera un campo magntico

    variable y a su vez inducen corrientes en la superficie de la tierra, parecidas a lo que hemos

    denominado lneas de trasmisin, por esa razn las ondas terrestres se propagan mejor en medios

    que son buenos conductores como el agua salada que en zonas desrticas. La densidad de la

    atmsfera terrestre va disminuyendo de forma gradual conforme aumenta la distancia a la superficie

    terrestre, as, la onda se propaga alrededor de la tierra quedando cerca de la superficie de sta. La

    siguiente figura muestra como se propaga una onda terrestre.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 29

    Propagacin de ondas terrestres. Recuperado de

    http://www.cybertesis.edu.pe/sisbib/2004/rios_mh/html/TH.1.html

    La propagacin de ondas terrestres se usa normalmente para la comunicacin entre barcos, taxis,

    compaas que necesiten comunicarse dentro de una misma zona, etc. En general, las ondas

    terrestres tienen una muy baja frecuencia, alrededor de 15000 Hz. Por lo que presentan las siguientes

    ventajas y desventajas:

    Ventajas:

    Sufren muy poco los cambios atmosfricos

    Con una muy buena potencia de trasmisin y buenas condiciones atmosfricas sirven para

    comunicarse en dos lugares del planeta.

    Desventajas:

    Requieren de mucha potencia para trasmitirlas.

    Se limitan al uso de frecuencias bajas, muy bajas e intermedias.

    Se requieren de grandes antenas trasmisoras.

    Las prdidas de las ondas terrestres debido al terreno vara mucho, dependiendo del material

    de la superficie.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 30

    2.4.2. Propagacin de ondas espaciales

    Las ondas espaciales son aquellas ondas que chocan con la superficie terrestre y son reflejadas por

    sta, adems de viajar dentro de la atmsfera terrestre. Estas ondas viajan directamente en lnea recta

    de la antena trasmisora hacia la receptora, a esta transmisin se le llama lnea de vista. Para la

    propagacin de las ondas espaciales cuenta mucho la curvatura de la tierra, a lo que se le llama

    horizonte de radio. A continuacin se muestra un ejemplo de la propagacin de las ondas espaciales.

    Propagacin de ondas espaciales. Recuperado de http://www.blogtierramarilla.cl/content/view/241587/Medicion-

    de-senal-Wi-Fi-en-la-ciudad.html

    As, entre ms altas se coloquen las antenas de trasmisin mayor ser la curvatura de radio. Por otro

    lado, el horizontal visual para una antena de radio es: , donde:

    = distancia al horizonte de radio.

    = altura de la antena sobre el nivel del mar.

    Por lo que, para una antena de trasmisin y una antena receptora, la distancia mxima entre ellas es:

    = , donde:

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 31

    = distancia total entre antenas.

    = horizonte de radio de la antena trasmisora.

    = horizonte de radio de la antena receptora.

    = altura de la antena trasmisora

    = altura de la antena receptora

    Ejemplo 6:

    Determina el horizonte visual de una antena que se encuentra ubicada al nivel del mar y colocada a

    una altura de 15 m.

    Solucin

    Tomasi, W (2011). Sistemas de comunicaciones electrnicas. Lnea de vista, p. 370, Mxico, Prentice Hall.

    2.4.3. Propagacin de ondas celestes

    Este tipo de ondas se propagan sobre el nivel del horizonte de radio con ngulos normalmente

    grandes con respecto a la tierra y estas son reflejadas o refractadas por la ionsfera, por esta razn a

    este tipo de ondas tambin se lo conoce como ondas ionosfricas. Estas se propagan por arriba de los

    10 km hasta los 500 km. Gracias a este tipo de ondas se pueden lograr la comunicacin a grandes

    distancias.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 32

    Propagacin de ondas ionosfricas. Recuperado de http://es.jimdo.com/info/framebuster

    Actividad 3. Propagacin terrestre de las Ondas

    Para reafirmar tus conocimientos sobre propagacin de frentes de onda usars un simulador

    computacional, el cual te permitir analizar las caractersticas de la propagacin de ondas.

    Para ello:

    1. Abre el archivo denominado: Instrucciones para el uso del simulador de frentes de onda

    que se encuentra en materiales de apoyo.

    2. Descarga el paquete con el simulador, y sigue los pasos que ah se indican.

    3. Lee detenidamente las instrucciones.

    4. En el simulador digita las propagaciones de onda con los datos que te proporcionar tu

    Facilitador(a).

    5. Calcula manualmente los resultados que obtuviste en el simulador.

    6. Con los resultados realiza una grfica que incluya por lo menos 5 ondas incidentes.

    7. Ten siempre presente las indicaciones de tu Facilitador(a), as como los puntos que

    debes cubrir para completar esta actividad.

    8. Guarda tus resultados en un archivo con la nomenclatura FIS2_U2_A3_XXYZ.

    9. Envalo a tu Facilitador(a) para su revisin y espera la retroalimentacin.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 33

    2.4.4. Frecuencia crtica y ngulo crtico

    Para medir la altura de la ionsfera se requiere usar frecuencias de trasmisin lo suficientemente

    bajas para que la onda logre entrar a sta; as, midiendo el tiempo en que tarde en ir y venir la onda,

    adems de saber su velocidad de propagacin, entonces se puede calcular la altura de la ionsfera. Si

    adems, la frecuencia de trasmisin es incrementada gradualmente parecera que la altura de la

    ionsfera es incrementarse rpidamente de tal manera que llega el momento en que la onda no

    regresa. La frecuencia mayor a la que la onda es regresada a la tierra se le conoce como frecuencia

    crtica.

    La antena trasmisora emite ondas y estas son reflejadas en la superficie de la tierra hacia la atmsfera,

    estas inciden en la atmsfera, as, hay un ngulo para el cual las ondas son reflejadas de nuevo a la

    superficie de la tierra llamado ngulo critico, y un ngulo por encima del cual la onda es refractada

    hacia el espacio libre.

    2.4.5. Altura virtual mxima, frecuencia til y distancia de salto

    La altura de la ionsfera encontrada a travs de la propagacin de las ondas, se le conoce como altura

    virtual, esta es un poco mayor que la altura actual, ya que la onda requiere cierto tiempo para que

    haga el cambio de direccin.

    Por otro lado, se puede notar que para tener una buena comunicacin es importante la frecuencia a la

    que se emita la onda, entonces se debe conocer la Frecuencia Mxima Utilizable (MUF, por sus siglas

    en ingls) para una frecuencia y hora en particular en la que se desea tener comunicacin.

    La MUF depende de la frecuencia crtica, por lo que est sujeta a los cambios climticos provocado

    por las diferentes estaciones del ao y hora del da.

    Existen una cantidad infinita de valores para la MUF, tantas como frecuencias y puntos existan en la

    tierra, sin embargo, la MUF tiene un determinado valor para un cierto ngulo de incidencia,

    Ejemplo 7:

    Una antena trasmisora de ondas de radio cuya frecuencia crtica es de 50,000 Hz. Determina la MUF

    si el ngulo de incidencia es de 45o.

    =70711 Hz

    La distancia de salto es la distancia de la antena trasmisora al lugar donde la onda es detectada por

    primera vez, sta depende del ngulo crtico y de la altura de la capa atmosfrica. A menor ngulo

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 34

    crtico mayor ser la distancia entre la antena trasmisora y la distancia de salto, a mayor frecuencia

    mayor distancia de salto.

    Altura virtual mxima. Recuperado de

    http://telecomunicacionesunerg.blogspot.mx/2008/06/medios-de-comunicacin.html

    Autoevaluacin

    De acuerdo al conocimiento adquirido y para autogestionar tu conocimiento, realiza lo

    siguiente:

    1. Ingresa en el aula y selecciona la autoevaluacin de la Unidad 2.

    2. Lee cuidadosamente las instrucciones para que formules tus respuestas.

    3. Verifica tus respuestas y en los casos necesarios repasa los temas que

    necesites fortalecer.

    El asimilar estos temas te permitirn entender los que se expone en la tercera unidad

    adems de brindarte elementos que complementan tu formacin acadmica y

    profesional.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 35

    Evidencia de aprendizaje. Propagacin de ondas

    Felicidades, con la realizacin de la Evidencia de aprendizaje, estas por finalizar la unidad 2!

    Aqu, logrars reproducir las diferentes formas de propagacin de una onda, para modificar su

    comportamiento con el ambiente en el que viaja, variando sus propiedades:

    Sigue estas instrucciones:

    1. En un documento realiza lo que te solicita tu Facilitador(a) y consulta tu escala de

    evaluacin.

    2. Construye una tabla donde se muestren 2 caractersticas de los diferentes tipos de

    propagacin de ondas terrestres.

    3. Localiza en 3 antenas de trasmisin y recepcin cercana a tu comunidad a que

    frecuencia trasmite, potencia y cul es el alcance de la antena. Con base a los datos

    proporcionados clasifica a que tipo de propagacin pertenece la propagacin de ondas

    que hacen las antenas a las que consultaste.

    4. Ten siempre presente las indicaciones de tu facilitador, as como los puntos que debes

    cubrir para completar y que sta actividad pueda ser evaluada.

    5. Guarda tu archivo con la nomenclatura FIS2_U2_EA_XXYZ.

    Autorreflexin

    Al terminar la Evidencia de aprendizaje es muy importante hacer tu Autorreflexin. Para

    ello, Ingresa al foro de Preguntas de Autorreflexin y a partir de las preguntas

    presentadas por tu Facilitador(a), realiza tu ejercicio y sbelo en la seccin

    Autorreflexiones.

    Cierre de la Unidad

    En esta unidad se ha estudiado qu es una lnea de transmisin y cmo sta es utilizada para

    transmitir ondas electromagnticas u cualquier otro tipo de seal.

    Se han estudiado las caractersticas de una onda que viaja por una lnea de transmisin o en el

    espacio libre, han conocido su longitud de onda, su frecuencia, su amplitud y todas aquellas

    caractersticas que ayudan a analizarla.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 36

    Todo esto se puede trasladar a lo ya aprendido sobre los principios de Huygens, la difraccin y la

    interferencia y se puede aplicar a lo que se conoce como frente de ondas, que no son ms que la

    suma de los rayos de una onda electromagntica.

    Finalmente se separ el estudio de las ondas electromagnticas de su comparativo con las ondas de

    luz y abordaste cmo es la propagacin real en la atmsfera terrestre. Esto servir como preparacin

    para la unidad 3, en la que vern a las ondas electromagnticas desde un punto de vista ms prctico

    y se analizar la forma en que la informacin es enviada por ondas electromagnticas.

    Revisa el siguiente mapa conceptual para que visualices grficamente lo que se aprendi:

    Escanea y obtn ms detalles.

  • Fsica II Unidad 2. Radiacin y propagacin de ondas

    Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 37

    Para saber ms

    El uso de aplicaciones como los applets que a continuacin se sugieren, son unos materiales de apoyo

    que permiten la simulacin de ciertos principios, teoremas o leyes propuestos en esta unidad. En el

    sitio de Walter Fendt. Applets de Fsica, se pueden visualizar algunos mdulos que te pueden

    interesar. Consltalo en: http://www.walter-fendt.de/ph14s/

    Fuentes de consulta

    Bsicas

    Resnick, R. (2007). Fsica Vol.2.Quinta edicin. Mxico: CECSA.

    Serway, R. A. (2009). Fsica: Electricidad y Magnetismo. Sptima edicin. Mxico:

    CengageLearning.

    Tipler, P. A. (2010). Fsica para la Ciencia y la Tecnologa: Electricidad y Magnetismo / Luz.

    Vol. 2. Espaa: Reverte.

    Tippens, P. E. (2011). Fsica: Conceptos y Aplicaciones. McGraw-Hill Educacin.

    Tomasi, W. (2011).Sistemas de Comunicaciones Electrnicas. Mxico: Prentice Hall.

    Complementarias

    FendtWalter. Applets Java de Fsica, Octubre 31, 1998. ltima modificacin: 2010-01-09.

    Consultado en: http://www.walter-fendt.de/ph14e/

    Imagen. Altura virtual mxima. Recuperado de

    http://telecomunicacionesunerg.blogspot.mx/2008/06/medios-de-comunicacin.html

    Imagen. Longitud de onda. Adaptada de con CIENCIATEC. Recuperada de

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