Unidad 3 - fca.uner.edu.ar Org Empresa Agro/6_Unid… · UNIDAD 3: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado 34 Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen

UNIDAD 3: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

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Unidad 3

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

A) Ecuaciones de primer grado con una incógnita Se darán algunas definiciones. Identidad algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables contenidas en las expresiones, excluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos expresiones pierde significado.

Ejemplo.

xyyxyx 2222

Ecuación algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas en las dos expresiones. Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica Miembros de la ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual y segundo miembro a la que se encuentra a la derecha. Solución de una ecuación: son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Resolver una ecuación: consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación. Una ecuación puede clasificarse en: i) Compatible determinada: cuando tiene un número finito de soluciones. ii) Compatible indeterminada: cuando tiene infinitas soluciones. iii) Incompatible: cuando no existe ninguna solución.

Ejemplo.

La ecuación 02 x ; tiene una sola solución, 2x

La ecuación xx ; tiene infinitas soluciones

La ecuación 12 x ; No tiene solución en el campo de los números Reales.

Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en:

Ecuación de una incógnita

Ecuación de dos incógnitas, etc.

Ecuación de primer grado con una incógnita Es toda expresión de la forma:

0bax con a, b R y 0a ; x: variable


34

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda, y viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera.

Metodología para resolver una ecuación Debido al hecho que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuado se quiere resolver una ecuación se puede resolver una ecuación cualquiera que sea equivalente a la dada; y por lo tanto será particularmente muy ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente, hasta llegar a una ecuación equivalente a la dada, y de la cual, se sabe encontrar con facilidad sus soluciones. Por lo tanto es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades: Principio de adición: si a ambos miembros de una ecuación se le suma una misma constante (o un mismo polinomio) la ecuación obtenida es equivalente a la dada. Ejemplo:

1032 x si se le suma 5 a cada miembro

510532 x

1582 x esta ecuación es equivalente a la dada, tienen la misma solución.

Principio de multiplicación: si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica por una constante distinta de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

865 x

8.2652 x

161210 x ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

Resolver: 052 x

Si se suma 5 a ambos miembros:

5552 x

52 x

Si ahora se multiplica por 21 ambos miembros

2

1.52.

2

1x entonces:

2

5x


35

¿Que consecuencias prácticas podemos obtener de estas propiedades? a) Lo que en un miembro está sumando pasa al otro restando. (cambia de signo al pasar de miembro)

Ej. 052 x

52 x

b) Lo que en un miembro está como factor pasa al otro miembro como divisor.

Ej. 52 x

2

5x

Ejemplo: Resolver 8563 xx

6853 xx

(-6 pasó al 2do. Miembro +6 y 5x pasó al 1er. Miembro como –5x)

142 x

(-2 que es un factor en el 1er. Miembro pasa al 2do miembro como divisor de 14)

2

14x 7x

La verificación de la solución obtenida se realiza reemplazando la solución en la ecuación dada.

8)7(56)7(3 ; ;835621 2727 verifica

B) Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: Función lineal

Se llama ecuación de primer grado con dos incógnitas x, y a toda expresión que tiene la siguiente forma:

0 cbyax

donde a, b, c son números reales, tales que a, b no se anulen simultáneamente,

es decir .022 ba

Ejemplo:

3yx2

3;1;2032 cbadondeyx

Tendremos ahora infinitos pares de valores (x, y) que reemplazados en la ecuación la verifican. Para encontrar algunos de estos pares conviene despejar y en función de x.

32 xy


36

Al darle valores a x, puedo determinar valores de y, algunos de las cuales pueden especificarse en una tabla de valores de la forma:

Si se representa en un sistema de ejes coordenados cartesianos todos estos pares, se tendrá una recta. (se toma en el eje de abscisas la primera componente y en el eje ordenadas, la segunda componente de cada par).

Las coordenadas de cualquier punto de la recta, verifican la ecuación: 032 yx

y también cualquier par (x,y) solución de dicha ecuación está sobre la recta.

FUNCIÓN LINEAL

Si se considera la ecuación: 0 cbyax (cuya representación gráfica es una

recta) y de ella se despeja y, y se obtiene:

caxby

b

c

b

axy

si se llama con b

am

y

b

ck se obtiene:

kmxy

Esta relación es una función pues cumple las condiciones de existencia y unicidad. (para cada valor de x, existe y es único el valor de y). La gráfica de esta función es una recta y la función recibe el nombre de Función lineal.

Si consideramos una función lineal kmxy cuya gráfica es:

(-1,5)

(0,3)

(1,1)

(2,-1)

eje x

eje y


37

k

x

y

Al número k se lo llama ordenada al origen y nos da la ordenada del punto donde la recta corta al eje de ordenadas. El valor m mide la pendiente de la recta y nos dice cuanto se incrementa o disminuye la ordenada al incrementarse en 1 la abscisa. Por lo tanto tgm el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x.

Conociendo m y k es muy sencillo representar gráficamente a la recta. La ecuación de la recta se la puede obtener también con los siguientes datos:

a) Recta que pasa por un punto (x0, y0) y que tiene una pendiente m.

00 xxmyy

b) Recta que pasa por dos puntos dados 221,1 ,)( yxPyyxP

1

12

121 xx

xx

yyyy

c) Recta que corta al eje x en x = a y al eje y en y = b

1b

y

a

x


38

Ejercitación 1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita:

a) 732 x

b) 543 x

c) 885 x

d) 922 xx

e) 23

5

3

22 xxx

f) 5

32

3

2

xx

g)

xx

35

222

h) 2423

xxxx

i) 22

x

x

j) xx

222

3

2) Resolver:

a) 2532 xx

b) 4

53

2

64

3

23

xxx

c) 5224 xx

d) 3354 xx

e)

2

1815 xx

f) 03

2

5 x

x

3) Resolver:

a) 6

1

3

24

5

1

xxx

b) 3

523

5

23

xxx

c) 320

73

12

9

8

3

xxx

d) 7

11

3

23

xx

x

e) 2

53

5

47

xx

x

f) 3

32

4

43

3

9

xxx

4) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 367

2

2

79

xx

x

b) 35

24

7

34

5

23

xxx

c) 65

37

3

7

2

42

xxxx

d) 2

2

2

2

3

2

106

54

x

x

xx

xx

e) x

x

xx

x

x

x

14

3

11

11

1

1

1

f) 03

1

2

2

1

1

xxx


39

5) Representar gráficamente, determinar la pendiente y la ordenada al origen:

a) 422 xy

b) 22 xy

c) xy 2

d) 12 xy

e) 22 xy

f) xy

g) 2 yx

h) 132

yx

i) 132

yx

j) 13

yx

k) 02

yx

l) 5

2

3

2

yx

6) Representar gráficamente, determinar la pendiente y la ordenada al origen:

a) 2 xy

b) 2y

c) 32 xy

d) 23

2

y

x

e) 0y

f) 3

1

3

yx

g) 223

1 yx

h) yxx

23

2

7) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) (0, 1) ; (3, 2) b) (1, 1) ; (2, 2) c) (3, 0) ; (0, -3)

d) (2, 3) ; (-3, 3) e) (0, 2) ; (1, 4)

8) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (x, y) y tiene

pendiente m:

a) (2, -1) , m = 1 b) (2, -2) , m = -2 c) (-1, -1) , m = 3

d) (2, -1/3) , m = -1/3 e) (-1, -3) , m = -3/5

9) Determinar la ecuación de la recta paralela al eje y, que pasa por el punto (6, 2). ¿Es una función? 10) Determinar la ecuación de la recta.

a) Bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Bisectriz del segundo y cuarto cuadrante. c) eje x d) eje y

11)Una empresa agropecuaria fabrica un producto que tiene costos variables de $ 6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa obtenga utilidades de $60.


40

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) x = 2 b) x = -1/3 c) 0 d) incompatible e) x = 2 f) x = 1 g) x = 4/11 h) x = 24/11 i) x = 2 j) x = -1/3 2) a) x = 5/3 b) x = 59/27 c) x = -3/2 d) x = -8 e) x = 1 f) x = 5/9 3) a) x = -3/13 b) x = 4 c) x = 51 d) x = -10/3 e) x = 3 f) x = 12 4) a) x = 9 b) x = incompatible c) x = 1 d) x = -1/2 e) x = 5 ^ x=0 f) incompatible 5) a) m = 1 ; b = 2 b) m = 2 ; b = -2 c) m = 2 ; d) m = 2 ; b = -1 e) m = 2 ; b = 2 f) m = -1 ; g) m = -1 ; b = 2 h) m = -3/2 ; b = -3 i) m = -3/2 ; b = 3 j) m = -3 ; b = 3 k) m = 1/2 l) m = 5/3 ; b = 16/3 6) a) m = -1 ; b = 2 b) m = 2 ; b=2 c) m = -2 ; b = 3 d) m = 1/3 ; b = -8/3 e) m = 0 f) m = 1 ; b = 3x-1 g) m = 3 ; b = 8 h) m = -2/3 ; b = -8/3 7)

a) y = 1/3x + 1 b) y = x c) y = x – 3

d) y = 3 e) y = 2x + 2

8) a) y = x – 3 b) y = -2x + 2 e) y = -3/5x-18/5

c) y = 3x + 2 d) y = -1/3x + 1/3 f) y = -3/5x – 18/5

9) x = 6 - NO 10) a) y = x b) y = -x c) y = 0 d) x = 0


41

C) Ecuaciones de segundo grado con una

incógnita Definición: se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x, a toda expresión de la forma:

0cbxax 2 , 0a,Rc,Rb,Ra (1)

Definición: Se llama discriminante de la ecuación a la expresión:

ac4b2 (2)

Teorema:

Si 0 , entonces la ecuación (1) tienen dos soluciones, dadas por las

siguientes expresiones:

a

bx

21

,

a2

bx 2

(3)

Si 0 , entonces la ecuación (1) tiene una solución doble, dada por la

expresión siguiente: a2

bx

Si, 0 entonces la ecuación (1) no tienen ninguna solución real. Tiene dos

raíces complejas (una es la conjugada de la otra), dadas por las siguientes expresiones:

a2

i

a2

bx1

,

a2

i

a2

bx2

(4)

donde i = 1 es la unidad imaginaria.

Si 0 , entonces los coeficientes a, b, c de la ecuación (1) están relacionados

con las dos raíces o ceros (3) de la ecuación (1) de la siguiente manera:

Propiedad: Si 0 , entonces se tienen las relaciones:

a

bxx

21 (5) ,

a

cxx 21. (6)

Las relaciones (5) y (6) continúan aún siendo válidas para los otros dos casos

0 y 0 .

Propiedad: Si 21 xyx son las dos raíces de la ecuación (1) entonces se tiene la

siguiente factorización para el polinomio de segundo grado, dado por:


42

Rx),xx)(xx(acbxax0 212 (7)

Si 0 , entonces la factorización (7) viene dada por:

22

a2

bxacbxax

(8)

Si 0 , no existe factorización en el campo de los números reales.

Corolario: Sea 0 , entonces:

i) si b = 0, se tiene 12 xx ;

ii) si a y c tienen igual signo (ambos positivos o ambos negativos) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen igual signo. Además, el signo de las raíces está dado

por el signo del número ./ab

iii) si a y c tienen distintos signos (uno es positivo y el otro negativo) entonces las

dos raíces 12 xyx tienen distintos signos.

Ejemplos

i) La ecuación 012 x no tiene ninguna solución real pues: 04 . Sus

dos soluciones complejas son ix .

ii) La ecuación 0122 xx tiene una única solución real (doble) x = 1 pues

0 . Además 22 )1(12 xxx

iii) La ecuación 022 xx tiene dos soluciones 21 21 xyx pues

09 . Como 01a y 02c se verifica además que las dos raíces

tienen signos opuestos. Por otro lado, se tiene que:

)2)(1(22 xxxx

iv) La ecuación 0232 xx tiene dos soluciones 12 21 xyx pues

01 . Como 01a y 02c se verifica además que las raíces

tienen igual signo, el cual coincide con el signo del número

.03 ab Por otro lado, se tiene:

)1)(2(232 xxxx

Corolario: Una ecuación de segundo grado que tiene por raíces a dos números

reales 21 xyx está dada por:

0.)( 2121

2 xxxxxx (9)

siendo 21 xxs

21.xxp entonces: 02 psxx


43

La forma general de una ecuación de segundo grado con incógnita x es:

ax2 + bx + c = 0 con a 0. A modo de resumen se puede decir que:

Método de completar cuadrado: Cuando una expresión no puede ser factorizada fácilmente y la ecuación no tiene la

forma de cx 2, se puede encontrar las raíces completando cuadrado.

Se aplica a la expresión:

02 cbxx

la expresión debe tener coeficiente principal 1. Se rescribe la expresión

cbxx 2

de manera que solamente los términos con la variable x estén en el primer miembro.

Luego agregamos 2)2/(b a ambos lados:

222 )2(2 bcbbxx

ahora el primer miembro es un cuadrado perfecto:

cbbx 22)2(2

y aquí sí es fácil despejar x.

ax2 + bx + c = 0 con a 0

Completa Incompleta

b 0 , c 0

b 0 , c = 0 ax2+bx = 0

Ejemplos 4x2-4x+1 = 0 x2-6x-16 = 0

-3x2-6x+12 = 0

b = 0 , c 0 ax2+c = 0

b = 0 , c = 0

ax2 = 0

Ejemplo

3x – x2 = 0

Ejemplo

3x2 – 48 = 0

Ejemplo

4x2 = 0


44

Ejemplo:

Resolver 0122 2 xx , completando cuadrados:

a) Dividir ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de 2x

0212 xx

b) Se escribe la ecuación como:

2/1xx2

c) Se añade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. 222 )2/1(2/1)2/1( xx

d) Entonces se tiene: 4/3)2/1( 2 x

e) Se despeja x: 2

1

4

3x

D) Ecuación de Segundo Grado con dos Incógnitas. FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Sea la función cuadrática cbxaxy 2 de RR y a 0 (1)

Su representación gráfica es una parábola. Se puede demostrar que todas las funciones cuadráticas tienen una gráfica de

forma similar a la gráfica de 2)( xxf .

Puede darse que: Si a > 0 en (1), la parábola se abrirá hacia arriba (Fig.1). Si a < 0 en (1), la parábola se abrirá hacia abajo (Fig. 2).

En el caso del polinomio cuadrático de término único 2)( axxf las gráficas de

0a,ax)x(f 2 ; y 0a,ax)x(f 2 son simples reflexiones una de otra

a través del eje x (Fig. 3).

x

y

x

y

2xy

Fig.

1

x

y

2xy

Fig.

2

0,2 aaxy

0a,axy 2

Fig.

3


45

Si se considera la función cbxaxy 2, para graficarla se debe encontrar

donde la parábola corta al eje x. Para ello basta con igualar el trinomio a cero y resolver la ecuación cuadrática:

02 cbxax

Esto puede factorizarse:

0))(( 21 xxxxa

donde 21 xyx son raíces o ceros de la ecuación.

Para hallar éstas raíces se aplica la resolvente: Puede observarse que la gráfica de la función cuadrática puede o no tener

intersección con el eje x:

02 cbxax

a

acbbx

2

42

042 acb Dos raíces reales diferentes. Dos intersecciones con el eje x:

x = 1x , x =

2x

La gráfica atraviesa el eje x dos veces

042 acb Raíces reales e iguales. La intersección con el eje x es:

a2

bx

La gráfica es tangente al eje x.

042 acb No hay raíces reales. No hay intersecciones con el eje x. La gráfica está completamente por arriba o por debajo del eje x.

Si el coeficiente: 0a , las ramas van hacia arriba.

0a , las ramas van hacia abajo.

El vértice de la parábola se encuentra en el punto:

a

bf

a

b

2,

2

La intersección con el eje y: es f(0) = c.

a

acbb

2

42

1x

2x


46

Ejemplo: 652 xxy donde: a = 1, b = -5 , c = 6

0a ramas de la parábola hacia arriba.

f(0) = 6 corta al eje y en y = 6 Se aplica resolvente:

Son 31 x y 22 x dos raíces reales y distintas y son los valores que la curva

corta al eje x. El vértice está en el punto:

2

5,

)5(f

o sea:

4

1,

2

5),( PyxP

Gráfica:

2

15

)1)(2(

)6)(1(425512

x

31 x

22 x

4

1,

2

5V

X

Y


47

Ejercitación 1) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 0152 xx

b) 0273 3 xx

c) 0732 2 xx

d) 26322322 xx

e) 2

13

2

1

1

2

x

x

x

x

f) 21

221

x

x

x

x

g) 22 21186 xxxx

h) 06.262 xx 2) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado en la incógnita x

)Rb,a(

a) abxbaab

xabx 3933

2 222

b) 023 22 aaxx

c) 01236 22 aaxx

d) 4

5

4

3

2

ax

ax

ax

ax

e) 1213 xx

3) Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes

duplas de números:

a) 5

3

2

1

x

x

b) 5

3

2

1

x

x

c) 3/1

2

2

1

x

x

d) 1

1

2

1

x

x

e) 5/2

1

2

1

x

x

f) 23

23

2

1

x

x

4) Hallar dos números cuya suma sea s y cuyo producto sea p.

a) 2,0 ps

b) 3,4 ps

c) 18,11 ps

d) 3/1,6/7 ps


48

5) Representar en un sistema de ejes coordenados cartesianos las siguientes funciones:

a) 22xy

b) 22xy

b) 22 2 xy

c) 52 2 xy

d) 12 2 xy

e) 32 2 xy

f) xxy 42

g) xxy 42

6) Graficar la función dada. Hallar el vértice de la parábola y sus

intersecciones.

a) 142 2 xxy

b) 425 2 xxy

c) 13 xxy

d) 62 xxy

e) 25 xy

f) 23 xy

g) 562 xxy

h) 12

1 2 xxy

7) Factorizar las siguientes expresiones:

a) 3114 2 xxy

b) 32 xxy

c) 4105 2 xxy

d) 2128 xxy

8) Utilice la técnica de completar el cuadrado de las siguientes expresiones en la

forma: khx 2)(

a) 23162 2 xxy

b) 3105 2 xxy

c) 1369 2 tt

d) 0122 uu

9) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por

un camino de ancho uniforme. Hallar el ancho de dicho camino si se sabe que su área es 540 m2

10) En cada un de las esquinas de una plancha de cartón de forma cuadrada se

recorta un cuadrado de 5 cm de lado y doblando y pegando, se forma una caja de 1280 cm3. Hallar el lado de la hoja inicial.

11) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad

que tenía hace trece años. Calcular la edad de Marcela.

12) El número de cerdos atacados cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función: f(x) = - x2 + 38 x + 75, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule: a. ¿Cuántos cerdos enferman el quinto día? b. ¿Cuándo deja de aumentar el número de animales enfermos? c. ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?


1) a) 1

2

x 0 19

x 5 19

,

,

b)

2x

3/1x

2

1

c) Soluciones complejas d)

1x

1x

2

1

e) 3x

0x

2

1

f)

4/2x

4/2x

2

1

g)

5x

3x

2

1

h)

1

2

x 3 2 2 3

x 3 2 2 3


49

2) a) ab3x

0x

2

1

b)

a2x

ax

2

1

c)

6axx 21 d)

a3

10x

0x

2

1

e) 4/4111x

4/4111x

2

1

3) a) 015x8x2 b) 015x2x2

c) 02x7x3 2 d) 01x2

e) 02x3x5 2 f) 07x6x2

4) a) 2 b) 3 , 1 c) 2 , 9 d) 3

2,2

1

6) a) V (1, -1) b) V (1/5, 19/5) y = 4 c) V (1, 4)

1y

221x

221x

2

1

3y

3x

1x

2

1

d) V (4, -4)

12y

6x

2x

2

1

e) V (5, 0) f) V (3, 0) g) V (3, 4) h) V (-1, 1/2)

25y

5x

5x

2

1

9y

3x

3x

2

1

5y

5x

1x

2

1

1

2

x

x

y 1

7) a) )4/1x)(3x(4 b) 1 11i 1 11i

x x2 2

c)

5

51x

2

51x)5( d) )6x)(2x)(1(

8) a) 9)4x(2 2 b) 8)1x(5 2

c) 35)2t(9 2 d) 2)1u( 2

9) 3 m

10) 16 cm


50

Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas.

DEFINICIÓN: un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y es el dado por el:

(s) i) cbyax

ii) 111 cybxa

donde a, b, a1 y b1 R, de manera que no sean simultáneamente nulos. Los números a, b, a1 y b1 son coeficientes del sistema de ecuaciones y los números c y c1 se llaman términos independientes.

DEFINICIÓN: se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y, a un par ordenado de números reales, de manera que sustituidos respectivamente en las letras x, y satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

DEFINICIÓN: resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar el conjunto de raíces comunes, es decir, la intersección de los conjuntos solución de ambas ecuaciones. Si s1 es el conjunto solución de i) s2 es el conjunto solución de ii)

Entonces el conjunto solución se expresa: 21 sss

Un sistema s, puede ser: A - Compatible: tiene solución: 1 - Determinado: admite una única solución. 2 - Indeterminado: admite infinitas soluciones. B - Incompatible: no tiene solución. Recordando que cada una de las ecuaciones que constituyen el sistema son funciones lineales, su representación gráfica es una recta en el plano x, y. Como se ve en las Fig. 1, Fig. 2 y Fig. 3, respectivamente, hay tres casos para representar gráficamente las diferentes posibles soluciones de un sistema: i) Las rectas se intersectan en un solo punto. ii) Las ecuaciones describen la misma recta. iii) Las dos rectas son paralelas.

x

y

x

y

x

y

Fig.1 Fig.3 Fig.2


51

En estos casos se dice, respectivamente: i) El sistema compatible o consistente y las ecuaciones independientes. Tiene exactamente una solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas. ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones, esto es, todos los pares de números reales correspondientes a los puntos de una recta. iii) El sistema es incompatible o inconsistente. No hay soluciones.

Diferentes métodos de resolución de un sistema de

dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Se explicitará la metodología de algunos métodos y se la aplicará, como ejemplo, para la resolución del siguiente sistema:

32 yx

522

3 yx

cuya única solución está dada por x = 2; y = -1.

A) Método de sustitución: a) Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones (de la que resulte más fácil y sencillo).

xy 23

b) Se reemplaza esto en la otra ecuación:

52322

3 xx

c) Se resuelve la ecuación de primer grado en la incógnita x que queda:

5462

3 xx

11x2

11 2x

d) Este valor hallado, se reemplaza en la ecuación encontrada en a) para obtener el valor de la incógnita y:

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se reemplazan los valores hallados en cada una de las ecuaciones del sistema dado:


52

31)2(2 33 verifica.

5)1(2)2(2

3 55 verifica.

B) Método de igualación a) Se despeja una de las incógnitas de cada una de las ecuaciones x o y, indistintamente, por ejemplo la y:

xy 23 (i)

5x2

3y2

2

5

4

3 xy (ii)

b) Se igualan las expresiones obtenidas para obtener una ecuación de primer grado en una variable, en este caso, en la variable x:

2

5

4

323 xx

c) Se resuelve la ecuación obtenida, respecto de la ecuación x:

2

5

4

323 xx

x2x4

3

2

53 x

4

11

2

11 x = 2

d) Se reemplaza, este valor de x obtenido, en una de las ecuaciones halladas en a) i) o a) ii):

xy 23

)2(23y 1y

e) Verificación: Se sustituyen los valores obtenidos en cada una de las ecuaciones del sistema.

C) Método de reducción o de sumas y restas a) Se multiplican las dos ecuaciones por un número conveniente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo la y, sean iguales: En este caso, se multiplica la primer ecuación por 2:

32 yx 624 yx

522

3 yx 52

2

3 yx

b) Se suman o restan las ecuaciones, de acuerdo a que los coeficientes resulten de distinto o igual signo respectivamente:

11222

34

yx


53

1102

11x

c) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x:

11x2

11 x = 2

d) Se reemplaza este valor hallado en una de las ecuaciones dadas, y se despeja la otra incógnita:

1

43

34

322

y

y

y

y

e) Verificación: se sustituye los valores encontrados en cada una de las ecuaciones del sistema dado: En la ecuación (1):

3)1()2(2

314

33 verifica.

En la ecuación (2):

5)1(2)2(2

3

523

55 verifica.


54

PROBLEMAS

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? El siguiente método le permitirá contar con una guía para resolver problemas: Paso 1: representar la cantidad desconocida mediante un símbolo algebraico tal como x, que denote que es una variable. Paso 2: expresar las demás cantidades en términos de x. Paso 3: traducir el problema en expresiones algebraicas, en las cuales intervenga x. Paso 4: resolver la expresión algebraica (ecuación) y se obtendrá la solución buscada.

Ejemplo 1: Leonardo y Marcelo son mellizos, Matías tiene dos años más que ellos y las edades de los tres suman 23 años. ¿Cuántos años tiene Matías? Solución: Paso 1: Se llama con x a la edad de Leonardo o a la de Marcelo Paso 2: Si Matías tiene 2 años más que ellos, entonces tendrá:

x + 2 años

Paso 3: Las edades de los tres, sumadas, dan 23, y se escriben con los símbolos que se denotaron:

x + x + (x + 2) = 23

Paso 4: Se resuelve la ecuación planteada en la incógnita x:

2323 x

2233 x

21x3 x = 7

Respuesta: Leonardo tiene 7 años. Marcelo tiene 7 años. Matías tiene 9 años.

Ejemplo 2: En un terreno rectangular uno de sus lados mide 3m. Más que el otro. Si la superficie del terreno es de 238 m2. ¿Cuánto mide cada lado? Solución: Paso 1: Se llama con x a uno de los lados. Paso 2: El otro lado será:

3x

Paso 3: El área de un rectángulo es: Lado x lado, en este caso igual a 238, por lo tanto:

2383. xx

02383 xx

Paso 4: Se resuelve la ecuación cuadrática en la incógnita x:

023832 xx


55

Se aplica la fórmula cuadrática o resolvente: El valor x = -17 debe descartarse pues no puede haber lados de longitud negativa (físicamente imposible) Luego un lado mide: x = 14 m Y el otro lado: x + 3, o sea 17 m Respuesta: un lado mide 14 m y el otro lado mide 17 m.

Ejemplo 3: La suma de un número, más el duplo de otro, es 11 y el duplo del primero menos el segundo es 2. ¿Cuáles son los números? Solución: Paso 1: Se llama con x al primer número. Paso 2: Se llama con y al otro número. Paso 3: Se plantean las ecuaciones que resultan de leer el problema obteniéndose el siguiente sistema:

112 yx

22 yx

Paso 4: Se resuelve dicho sistema por el método que se considere conveniente, en este caso, por sustitución: - Si se despeja x de la primera ecuación:

yx 211

- Se reemplaza x en la segunda ecuación y se obtiene:

22112 yy

2422 yy

- Se resuelve dicha ecuación en la incógnita y quedando:

2522 y

2225 y

4y

- Si se sustituye este valor de y en la primera ecuación:

yx 211

3x

Respuesta: los números correspondientes son 3 y 4.

2

313

1.2

2381493

141 x

172 x


56

Ejercitación 1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

a)

523

532

yx

yx

b)

133

92

yx

yx

c)

423

53

yx

yx

d)

105

63

yx

yx

e)

1743

59153

yx

yx

f)

29

1732

yx

yx

g)

1186

362

yx

yx

h)

264

132

yx

yx

i)

2

9

22

5

9

5

yx

yx

j)

2

3

32

5

12

5

3

yx

yx

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

222

2

aayx

ayx

b)

1

3

ayx

ayax

c)

0

2

aybx

b

y

a

x

d)

1

1

a

y

b

x

b

y

a

x

3) Representar gráficamente los sistemas expresados en los siguientes ítems, e interpretar su solución: 1 a) ; 1 d) ; 1 g) ; 1 h) ; 2 a) ; 2 b) ; 2 c)


57

4) Problemas de aplicación

1) Determinar dos números consecutivos cuya suma sea 27.

2) Una persona compra una mercadería pagando $30 por adelantado y 12 cuotas

fijas por un valor igual a 1/15 del precio total ¿Cuánto cuesta la mercadería?

3) El área de un rectángulo no cambia si se aumenta la altura en 3 metros y se disminuye la base en 3. El área del rectángulo aumenta en 16 m2 si se aumenta la altura en 5 m y se disminuye la base en 3 metros. Indicar cuál es la altura y la base de dicho rectángulo.

4) Un productor ganadero compró 1000 novillos a $150 cada uno. Vendió 400 de ellos, obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las 600 que le quedaron si la utilidad promedio del lote deberá ser del 30%?

5) Un ciclista con viento a favor avanza a 24 km por hora y en contra del viento avanza a 10 km por hora. ¿Cuál es la velocidad del ciclista cuando no sopla el viento?

6) Un camión de entregas llega a un almacén con 8 cajas pequeñas y 5 grandes. El cobro total por cajas, incluyendo el impuesto y los gastos de envío, es de $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña ¿Cuáles el costo del flete de cada una de las cajas? 7) Si una fábrica A invirtió $120000 menos que otra fábrica B y entre ambas suman

$305000, ¿cuál es el monto de la inversión realizada por cada fábrica?

8) El área total sembrada en un campo es 200ha. El área sembrada con maíz excede en 32 ha a la sembrada con trigo y en 65 ha a la sembrada con cebada. Encuentre el área sembrada con cada cereal.

9) En un establecimiento agropecuario, se alimentan 2000 vacunos de dos razas diferentes Shorton y Aberdeen Angus. Del total se envían a faena 200 animales, de los cuales se sabe que un 60 % corresponde a la raza Shorton y el resto a la segunda raza. Indique la cantidad de animales de cada raza que se faenarán.

10) En una envasadora de café se trabaja con granos de dos calidades diferentes, cuando se toma 2 kg de la primera calidad y 3 kg de la segunda resulta una mezcla que puede venderse a $ 5,5/kg, y cuando se toma 3 kg de la primera clase y 2 kg de la segunda resulta la mezcla a $7 /kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?


58


1) a) 1y

1x

b)

2y

5x

c)

1y

2x

d)

0y

2x

e)

4y

3/1x

f) 1y

7x

g) incompatible h) indeterminado i)

1y

2x

j)

3y

1x

2) a) Si a = 2 indeterminado

Si 2a única solución: x = 0, y = 2a

b) :Ra única solución: x = 1, y = 0

c) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido

Si 0a y 0b : única solución: x = a, y = b

d) Si a = 0 ó b = 0: el sistema no está definido.

Si 0a y 0b y:

ab

aby,

ab

abx

:soluciónúnica:ba

leincompatibba

adominerdetin:ba

4) 1) 13 y 14 2) $150 3) 8m y 11m 4) $200 5) 17km/h 6) $13 y $16

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Unidad 3 - fca.uner.edu.ar Org Empresa Agro/6_Unid… · UNIDAD 3: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado 34 Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en la misma incógnita se dicen