Unidad Ecuaciones 3 Eso

TTAALLLLEERR DDEE LLEECCTTUURRAA EENN ÁÁRREEAASS OO MMAATTEERRIIAASS

Unidad Didáctica:

“Ecuaciones de primer y segundo grado”

ETAPA: SECUNDARIA

CURSO: 3º E.S.O.

MATERIA: MATEMÁTICAS

Taller de Lectura en la materia de Matemáticas

Dirección General de Coordinación y Desarrollo Normativo. Curso 2006-2007 2

Leemos en Matemáticas:

Temporalización: nueve sesiones

Lectura de textos con formatos continuos: Fragmentos de capítulos de los libros: Álgebra recreativa de Yakov Perelman, “El hombre que calculaba” de Malba tahan, problemas del libro “lilavati” de Baskara Acharia. Artículos, citas y textos sacados de diversos documentos, libros y páginas web

Lectura de texto con formatos discontinuos: Fotografías, reproducciones de obras de arte, grabados y documentos antiguos, diagramas, interface de programas informáticos.

Educación en valores: Esfuerzo, cooperación y trabajo en equipo.



1. Introducción (justificación de su elección).

La materia

Las matemáticas constituye una de las materias que presenta más dificultad a la hora de integrar el Plan de Lectura. Con demasiada frecuencia desligamos las habilidades lectoras y de expresión oral y escrita de los alumnos con su rendimiento en matemáticas. Sin embargo, la mayoría de profesores/as de matemáticas está de acuerdo en que el principal obstáculo con el que se encuentran los alumnos está en la resolución de problemas donde la comprensión lectora, tanto de formatos continuos como discontinuos es la base para poder desarrollar las estrategias necesarias para resolver problemas.

El alumnado

Por otra parte, en muchas ocasiones, los alumnos y las alumnas tienen grandes dificultades para comprender los enunciados de los problemas y como consecuencia de esto, no desarrollan las estrategias adecuadas para su resolución. En muchos casos esto provoca frustración en los alumnos y las alumnas que se dan por vencidos ante un problema sin haber intentado apenas resolverlo. Por lo cual, un porcentaje alto de la clase ve en la resolución de problemas una dificultad añadida a la materia y no una parte fundamental de la matemática como materia instrumental que es. La educación en el valor del esfuerzo y la perseverancia en la búsqueda de soluciones es aquí fundamental desde las primeras etapas de la educación del niño hasta la secundaria, etapa en la que está ubicada esta unidad didáctica.

El plan de Lectura

La introducción de los objetivos del Plan de Lectura, sobre todo en lo que se refiere a la comprensión lectora, va a contribuir en alguna medida a paliar las dificultades que los alumnos y alumnas encuentran a la hora de enfrentarse al enunciado de un problema. Tampoco se puede perder de vista que la introducción del plan de lectura en la clase de matemáticas ofrece la posibilidad de usar nuevas metodologías que sean motivadoras y den una visión distinta de este área. El acceso a la información que tienen hoy día nuestros alumnos de secundaria a través de medios de comunicación, medios informáticos (Internet, software específico), bibliotecas públicas, centros de ocio etc., ofrece muchas posibilidades a la hora de hacer que el alumno sea el protagonista de su propio aprendizaje.

La Unidad Didáctica

La unidad escogida: ecuaciones de primer y segundo grado, enmarcada en el bloque de Álgebra, trata de lleno la relación entre el lenguaje habitual y el lenguaje de las matemáticas. En álgebra se traducen a signos matemáticos situaciones de la vida cotidiana, se plantean y resuelven problemas cuyos enunciados pueden ser de muy diversa índole, hasta pueden expresarse en forma de poesía como veremos en algunos ejemplos de esta unidad. En cuanto a los métodos de resolución de ecuaciones, se ha optado por que los alumnos “lean” las explicaciones en primer lugar, si es necesario con la ayuda del profesor, en lugar de que sea el profesor el que directamente explica cómo se resuelve esta o aquella ecuación. Dichas explicaciones están expuestas como texto a veces o bien en soporte informático para dar la posibilidad al alumno a interactuar con el programa.



El equipo interdisciplinar del Centro ha hecho un esfuerzo por trasladar a los distintos departamentos la necesidad de incluir los objetivos del plan de lectura entre los objetivos de las distintas áreas. Al mismo tiempo que se intentan coordinar actividades que impliquen a varios departamentos y que incluyan la lectura de formatos continuos o discontinuos.

2. Elementos básicos: Objetivos, contenidos y criterios de evaluación de la Unidad Didáctica.

Cuando concluya la Unidad Didáctica los alumnos y alumnas serán competentes para: 1) Identificar y conocer los conceptos de ecuación, incógnita, solución, miembro, equivalencia de

ecuaciones, etc. 2) Resolver ecuaciones de primer grado. 3) Resolver ecuaciones de segundo grado completas. 4) Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas. 5) Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado. 6) Comprender distintos tipos de textos y utilizar la lectura comprensiva como herramienta para obtener

información de distintas fuentes. 7) Utilizar las herramientas y recursos de la Biblioteca Escolar y las tecnologías de la información y la

comunicación como fuente de consulta y como medios de expresión. 8) Mejorar su expresión oral y escrita a través de la elaboración y exposición de sus trabajos. 9) Desarrollar habilidades de lectura crítica e interpretativa.

3. La organización de la secuencia de enseñanza-aprendizaje.

La unidad didáctica elegida es la que está programada en el segundo trimestre y está ubicada en el bloque de Álgebra. El número de periodos lectivos correspondientes al área de matemáticas en 3º de E.S.O. es de tres semanales. Para el desarrollo de la unidad didáctica se emplearán nueve sesiones, es decir, tres semanas. Algunas de las actividades propuestas se harán en clase y otras en casa contando con la supervisión del profesor o profesora. En algunas actividades será necesario el uso del ordenador y el acceso a Internet por lo que se hará una previsión de tiempos y espacios que lo permitan.



Para la realización de algunas actividades los alumnos deberán buscar información a través de libros o de Internet. Esta búsqueda no siempre se va a realizar en clase, por lo que el alumno tendrá que hacer uso de la biblioteca del centro, de la biblioteca municipal y de los recursos de los que disponga en su propia casa: material bibliográfico, acceso a Internet etc. En este caso se requerirá el apoyo de los padres. Alguna de las actividades propuestas está planteada en grupo, por lo que habrá que adaptar la distribución del espacio adecuadamente. La secuencia de la unidad didáctica incluye las siguientes fases:

1. Fase inicial: actividades de introducción y motivación junto a los procesos de comprensión y expresión. (Una sesión)

2. Fase de desarrollo y búsqueda. (Cinco sesiones) 3. Fase de síntesis, presentación y evaluación. (Dos sesiones) 4. Fase de generalización: sugerencia sobre nuevas lecturas, actividades de refuerzo y

enriquecimiento. (Una sesión) 3.1 Fase inicial: actividades de introducción y motivación junto a los procesos de

comprensión y expresión. En esta fase inicial se va a investigar sobre el significado de la palabra álgebra como introducción al tema de ecuaciones. A continuación se va a realizar una prueba inicial para evaluar cuáles son los contenidos de la unidad, que se han trabajado en cursos anteriores y cuáles son las habilidades o las carencias que presenta cada alumno con respecto a estos contenidos. Actividad 1: ¿¿¿QQQuuuééé eeesss eeelll ááálllgggeeebbbrrraaa??? Lee este artículo de Argimiro Arratia publicado en “El Universal” de Caracas el 24 de septiembre de 1999

El Algebra según Cervantes En el capítulo XV de la parte II de El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha , de una magnífica edición que se supone es fiel al original (Aguilar 1968), se narra de cómo Don Quijote vence en buena lid al Caballero de los Espejos, quien no es otro que su paisano, el bachiller Sansón Carrasco. El bachiller, maltrecho y apaleado por el famoso hidalgo, se queja a su escudero de “...el dolor grande de mis costillas...” y concluye este capítulo de la siguiente manera: “en esto fueron razonando los dos,

hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado...” Una nota a pie de página de los editores nos revela que “Algebra es el arte de concertar los huesos



desencajados y quebrados”. La curiosidad por saber la relación entre este uso cervantino de la palabra álgebra y el concepto matemático de uso común hoy, me condujo por los caminos de las mágicas y maravillosas noches árabes, y sobre este viaje reportó a continuación. Erase una vez un matemático de nombre Mohamed Ibn-Musa Al Khowarizmi, quien vivió y laboró bajo la protección del califato de Al-Mamun (809-833), sucesor del califa Harún Al-Raschid, este último hecho personaje para la posteridad en Las mil y una noches . Al-Khowarizmi fue miembro de la 'Casa de la Sabiduría' (Bait al-hikma), fundada en Bagdad por Al-Mamun, luego de que este califa viera en un sueño a Aristoteles e interpretase tal aparición como una indicación de la necesidad de tener en el Imperio Árabe una versión de la famosa y para ese entonces desparecida biblioteca de Alejandría. Sirvió entonces Al-Khowarizmi como traductor de diversos trabajos hindúes y griegos sobre matemáticas y astronomía, y también escribió una media docena de trabajos originales. Su nombre sobrevivió al tiempo por esos extraños giros de nuestra lengua castellana; Al-Khowarizmi derivó en la palabra algoritmo; esto es lo que entendemos como un conjunto de reglas para la solución de problemas específicos. Y es que la obra principal de Al-Khowarizmi es, tal vez, el primer gran recetario para resolver ecuaciones del tipo que aprendemos en bachillerato. Es precisamente el título de esta obra, Al-jabr wa'l muqabalah el que da origen al término álgebra ( al-jabr ) y su significado aparece implícito en el prefacio del libro: al-jabr es 'completación' o 'concertación' (suponemos que de términos en una ecuación) y muqabalah es 'reducción o balanceo' (en referencia a la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la igualdad). Descubrimos así, en Cervantes y Al-Khowarizmi, una magnífica receta mnemotécnica para facilitar la solución de esas ecuaciones de nuestro bachillerato: primero debemos romperle los huesos iguales (muqabalah) y luego conciliar el resto de la estructura ósea (al-jabr). Sin duda fue Cervantes un vehículo entre el maravilloso mundo árabe y nuestro mundo hispano. Pero no es la intención de este artículo especular sobre el aporte cultural de la obra de Cervantes, sino celebrar el natalicio del gran escritor, quien se presume nació un 29 de septiembre de 1547, en Alcalá de Henares, España, siendo el cuarto hijo de un hombre humilde que, según la Enciclopedia Británica, fue barbero, cirujano y acomodador de huesos, es decir, algebrista. [email protected] http://www.mac.cie.uva.es/~arratia/mypapers/newspapers/cervantes.html

1) Busca la palabra “álgebra” en alguna enciclopedia, Internet etc y resume en pocas líneas su significado



2) ¿Has manejado conceptos de álgebra en cursos anteriores en matemáticas? ¿y en otras materias? Explica cuáles.

3) Busca en libros, enciclopedias, Internet etc lo que es una “expresión algebráica” pon ejemplos

4) Busca también el concepto de ecuación y pon algunos ejemplos

Actividad 2: PPPrrruuueeebbbaaa iiinnniiiccciiiaaalll El profesor entrega la prueba inicial y da un tiempo para realizarla. Posteriormente reparte las soluciones y cada alumno toma nota de sus propios errores y carencia . Después se hace una puesta en común donde los alumnos expresan lo que ya se conoce o se desconoce sobre el tema de ecuaciones.



Soluciones:



3.2 Fase de desarrollo y búsqueda El desarrollo de la unidad se hará a través de las actividades siguientes. Parte de las actividades se realizarán en clase, en el aula de informática y otra parte en casa o en la biblioteca. En total emplearemos cinco sesiones. Actividad 2: HHHiiissstttooorrriiiaaa dddeeelll ááálllgggeeebbbrrraaa





Este texto está sacado de la página http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate3a/mate3a.htm Anécdota:

El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie" de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, se quedaban sin letras, el editor le preguntó a Descartes si podía emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió la x porque en francés esa letra se utiliza poco. Otros autores afirman que la x se usó como abreviatura de la palabra árabe shei (cosa). Diofanto usaba una letra griega con acento para representar una cantidad desconocida.

En el texto anterior aparecen muchos nombres propios relacionados con la

historia del álgebra. Buscamos en la biblioteca, en enciclopedias o en Internet sus nombres para saber algo más de ellos y la relación que tuvieron con el desarrollo del álgebra. Repartimos el trabajo por grupos de dos o tres personas dependiendo de la relevancia en cada caso del personaje a investigar. Cada uno de ellos expone al resto de la clase el resultado de su investigación.

Entre todos se va a elaborar un mural sobre la evolución histórica del

álgebra siguiendo más o menos el esquema del documento anterior. En cada apartado se incluyen imágenes y reseñas que los grupos de trabajo hayan sacado de sus investigaciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Actividad 4: CCCóóómmmooo ssseee rrreeesssuuueeelllvvveeennn lllaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss dddeee ppprrriiimmmeeerrr gggrrraaadddooo Se entrega a los alumnos el siguiente documento donde se explica cómo resolver una ecuación de primer grado, primero de una forma muy gráfica: “utilizando balanzas” y después por el método habitual. Se les proponen varias ecuaciones para que resuelvan (en azul) por los dos métodos.





De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes. Podemos obtener ecuaciones equivalentes, pues, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas y en las expresiones algebraicas: 1. Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada. 2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada. Vemos, pues, que una buena técnica para resolver una ecuación de 1er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la que la incógnita estuviese despejada. Ejercicio: Representa mediante una balanza una situación expresada por la ecuación: X + 6 = x + x + x + 2 Coge como x el peso de una lata. Y halla su valor. vamos a resolver con este método llamado de transposición las ecuaciones de 1er grado con una incógnita. Llamamos ecuación de primer grado con una incógnita a toda ecuación equivalente a otra de la forma: a.x = b con a distinto de cero. Veamos los pasos a seguir en el método de transposición: 2(x+4)=16 Quitamos paréntesis: 2x +8=16 Restamos 8 a cado lado de la ecuación: 2x +8−8=16−8 el resultado sería: 2x =8 y dividiendo cada miembro de la ecuación por 2: x = 4



Ejercicio: Justifica cada paso en la resolución de esta ecuación de manera gráfica con balanzas. Además hay ecuaciones en las que pueden aparecer denominadores ( ) ( )2 1 2 284

3 6 4x xxx− +

+ = −

Si quitamos paréntesis: 2 2 8 2 44

3 6 4x x xx− +

+ = −

Para que desaparezcan los denominadores en la ecuación debemos multiplicar los cuatro términos por un número que sea múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez. Buscamos el más pequeño de ellos para que los cálculos sean más sencillos: el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que en este caso vale 12. Multiplicamos por 12 todos los términos de la ecuación:

2 2 8 2 412 12 4 12 123 6 4

x x xx− +⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅

Como 12 es múltiplo de cada denominador, la división con cada uno será entera:

( ) ( )4 2 2 48 2 8 3 2 4x x x x⋅ − + = ⋅ − ⋅ + Volvemos a quitar paréntesis 8 8 48 16 6 12x x x x− + = − − Sumamos términos semejantes: 56 8 10 12x x− = − Transponemos términos: 56 10 12 8x x− = − + De nuevo sumamos términos semejantes: 46 4x = −

Dividimos por 46 y simplificamos: 4 246 23

x x= − ⇒ = −



Ejercicios 1. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de transposición: a) ( ) ( )4 3 7 4 6x x x− − − = −

b) 3 17 1 4 1 98 3 4 6

x x x x− − − −− = −

2. Comprueba con el método de transposición que la solución de 1 247

x x+ =

es x = 21 Actividad 5: EEEjjjeeerrrccciiiccciiiooosss dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss dddeee ppprrriiimmmeeerrr gggrrraaadddooo Para esta actividad entregamos a los alumnos las ecuaciones que aparecen a continuación para que las resuelvan. Para corregirlos utilizaremos el programa Microsoft student 2007 en su aplicación de resolución de ecuaciones con calculadora gráfica científica. Este programa tiene la ventaja de que ofrece la solución de la ecuación, pero da opción para ver los pasos de la resolución.



Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 5x11

3x

53x2

=+−

− b) 3

4x5

4x15

1x32 +=

−+

−+

c)2x5)5x(2

41x

−=−−− d)

97x4

67xx3

41x +

=+

−+−

e) x x x

1525

10+ = + f) x x x x2 4 8

34

14

+ + = +

g) x x x x+

−+

−=

+2 39

13

12 49

h) 3 2

43 5

25 4 1

62512

( ) ( )x x x++

+=

++

i) 4 2 3 23 3− + = +( )x x j) x x−

+=

23

6

k) 5 6 45

3−−

= −x x

Actividad 6: EEElll aaarrrttteee dddeee ppplllaaannnttteeeaaarrr eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss Con esta actividad introducimos a los alumnos y alumnas en la resolución de problemas. Del libro “Álgebra recreativa” de Yakov Perelman extraemos esta lectura: 1. El arte de plantear ecuaciones El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:



Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación. La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernácula a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos. 3. La vida de Diofanto Problema La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:



Resuelve las ecuaciones que aparecen en el texto. Resuelve los problemas siguientes: 1. La masa total de una botella con su tapón es 110 g. La botella sola pesa

100g más que el corcho. ¿Cuál es la masa del corcho? 2. Un jardinero planta bulbos de tulipanes en un parterre. Un tercio de esos

bulbos serán tulipanes rojos, la cuarta parte serán blancos, una sexta parte serán negros y otra sexta parte amarillos. Finalmente, planta 3 bulbos de tulipanes rosas. ¿Cuántos bulbos ha plantado el jardinero?

3. Queremos excavar en un parque, un estanque rectangular rodeado por

un camino de 2 m de ancho. El estanque tiene 8 m de ancho. ¿Cuántos metros de largo deberá tener el estanque para que su área sea igual a la del camino?



Actividad 7: LLLaaa llleeeyyyeeennndddaaa dddeee LLLiiilllaaavvvaaatttiii Lee la leyenda de Lilavati (extraído del libro “El hombre que calculaba” de Malba Tahan) y resuelve los problemas que se plantean.

……………………………………….. El origen de Lilavati es muy interesante. Voy a relatarlo. Báskara tenía una hija llamada Lilavati. Cuando esta nació, él consultó a las estrellas y verificó, por la disposición de los astros, que su hija estaba condenada a quedar soltera toda la vida, no siendo requerida por los jóvenes nobles. Báskara no se conformó con esa determinación del Destino y recurrió a los astrólogos más famosos de la época. ¿Cómo hacer para que la graciosa Lilavati pudiese encontrar esposo, y ser feliz en el casamiento? Uno de los astrólogos consultados por Báskara, le aconsejó casar a Lilavati con el primer pretendiente que apareciera, pero dijo que la hora propicia para la ceremonia del enlace sería marcada, en cierto día, por el cilindro del Tiempo. Los hindúes medían,

calculaban y determinaban las horas del día con ayuda de un cilindro colocado en un recipiente lleno de agua. Ese cilindro, abierto apenas en su parte superior, tenía un pequeño orificio en el centro de la base. La cantidad de agua que entraba por el orificio llenaba lentamente el cilindro que se iba hundiendo hasta desaparecer completamente bajo el agua a una hora previamente determinada. Con agradable sorpresa para su padre, Lilavati fue pedida en matrimonio por un joven rico y de buena familia. Fijado el día y señalada la hora, se reunieron los amigos para asistir a la ceremonia. Báskara colocó el cilindro de las horas y aguardó que el agua llegase al nivel marcado. La novia, llevada por irresistible y verdaderamente femenina curiosidad, quiso observar la subida del agua en el cilindro. Al aproximarse para acompañar la determinación del Tiempo, una de las perlas de sus vestidos se desprendió y cayó dentro del vaso. Por una fatalidad, la perla, llevada por el agua, obstruyó el pequeño orificio del cilindro, impidiendo que pudiese entrar el agua. El novio y los convidados



esperaron largo rato con paciencia. Pasó la hora fijada sin que el cilindro marcara el tiempo, como previera el sabio astrólogo. El novio y los convidados se retiraron para que fuese fijada otra fecha, después de consultar los astros. El joven brahmán desapareció algunas semanas después, y la hija de Báskara quedó para siempre soltera. Reconoció el inteligente geómetra que era inútil luchar contra el Destino y dijo a su hija: Escribiré un libro que perpetuará tu nombre. Vivirás en el pensamiento de los hombres más de lo que hubieran vivido los hijos que pudieron haber nacido de tu malogrado matrimonio. La obra de Báskara se hizo célebre y el nombre de su hija surge inmortal en la Historia de la Matemática. Problema 53 de Lilavati

Un tercio, un quinto y un sexto de cierta cantidad de limpísimas flores de loto fueron ofrecidos a Shiva, Visnu y al Sol, y un cuarto a Parvati. Los seis lotos que quedaron fueron ofrecidos a los pies del maestro. Rápidamente dime el número total de flores de loto.

Problema 54 de Lilavati Un peregrino dio la mitad de su dinero a Prayaga, dos novenos del resto a Kasi, un cuarto del resto como honorarios de paso, y seis décimos del resto a Gaya. Sesenta y tres niskas le quedaron y regresó a su propia casa. Dime la cantidad inicial de su dinero si el método de reducción de restos está claro para ti.

Problema 55 de Lilavati La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba; la tercera parte en una flor de silinda; el triple de la diferencia entre estos dos números vuela sobreuna flor de krutja; y hay una abejilla que vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín. Dime hermosa niña el número exacto de abejas.



Actividad 8: LLLaaa uuurrrbbbaaannniiizzzaaaccciiióóónnn lllaaa aaarrrmmmooonnníííaaa



ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Actividad 9: LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeee ssseeeggguuunnndddooo gggrrraaadddooo El estudio genérico de las ecuaciones de 2º grado lo hacemos con la aplicación de Descartes: Que nos descargamos en la dirección http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Ecuaciones2grado/inicio.htm

Actividad 10: DDDeeemmmooossstttrrraaaccciiióóónnn dddeee lllaaa fffóóórrrmmmuuulllaaa dddeee rrreeesssooollluuuccciiióóónnn dddeee lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeee 222ººº gggrrraaadddooo Con esta actividad intentamos que los alumnos lean y entiendan la demostración de la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado:



-Lee y razona esta demostración, intenta escribirla en tu cuaderno. -Explica por qué consideramos el ± delante de la raíz. -¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado? ¿De qué depende el número de soluciones? Actividad 10: CCCuuuaaadddrrraaadddooosss mmmááágggiiicccooosss Cuadrados mágicos La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo antiquísimo, que se remonta a la antigua China. Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal, que todas las filas, columnas y diagonales, que se suelen llamar líneas del cuadrado, dan la misma suma. El cuadrado adjunto es un cuadrado mágico de orden 3 por tener en cada línea tres elementos; todas sus líneas suman 15; a 15 se le llama el número mágico del cuadrado.

Sorprendentemente, el los cuadrados de orden impar, el orden del cuadrado, multiplicado por el número central del cuadrado, es igual al número mágico: puedes comprobarlo en el ejemplo anterior. Cuadrado mágico algebraico nº 1



Preguntas: 1. Escribe las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado mágico. 2. Como ves, todas las líneas no dan la misma expresión. Sin embargo, al tratarse de un cuadrado mágico, debe existir un valor de x que haga que todas esas expresiones tomen el mismo valor. Calcula el valor de x. 3. Otro método para hallar el valor de x es utilizar la propiedad de los cuadrados mágicos de orden impar: El orden del cuadrado multiplicado por el término central es igual al número mágico. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central, el valor que debe tener x. 4. Este valor de x será también solución de cualquier ecuación obtenida, igualando entre sí las sumas de otras líneas del cuadrado. Compruébalo. Cuadrado algebraico nº 2

Preguntas: 1. Escribe las sumas de las ocho líneas del cuadrado mágico. 2. Calcula el valor de x para que sea cuadrado mágico. Procura hacerlo con las ecuaciones más sencillas posibles. 3. Utilizando la suma de la tercera línea horizontal y otra cualquiera se puede obtener una ecuación de segundo grado. Resuélvela y comprueba que una de sus soluciones es el anterior valor de x. 4. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central del cuadrado, el valor que debe tener x. 5. Halla el cuadrado numérico correspondiente. Actividad 11: EEEjjjeeerrrccciiiccciiiooo cccooommmpppllliiicccaaadddooo Observa el cuadro y lee el texto que le acompaña del libro “Álgebra recreativa” de Yakov Perelman. Resuelve a continuación la ecuación que se plantea.



“Ejercicio complicado” Son muchos los que conocen el cuadro Ejercicio complicado, (año 1895) de Bogdánov-Belski, pero muy pocos se percatan del contenido del “ejercicio complicado” al contemplar dicho cuadro. Trátase de resolver rápida y mentalmente el siguiente ejercicio:



2 2 2 2 210 11 12 13 14365

+ + + +

El ejercicio, efectivamente, no es fácil. Sin embargo, los alumnos del cuadro lo resuelven con facilidad. En la figura del maestro, el pintor reprodujo a S. Rachinski, profesor de Ciencias Naturales, que abandonó la cátedra de la universidad para convertirse en un sencillo maestro rural. El inteligente pedagogo cultivaba en su escuela el cálculo mental, basado en el hábil empleo de las propiedades de losnúmeros. Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa propiedad:

Como quiera que 100+121+144 = 365, es fácil hallar mentalmente que la expresión reproducida en el cuadro es igual a 2.

El álgebra nos ofrece los medios necesarios para plantear con más amplitud la cuestión de esta interesante particularidad de las series de números. ¿Es acaso ésta la única serie de cinco números consecutivos, en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos? Resuélvelo planteando una ecuación Resuelve además estos “curiosos” problemas: Las aves de la orilla Problema En las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:

A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?



La manada de monos Otro de los problemas indios (del Lilavati) puede ser presentado en verso tal y como fue traducido por Lébedev, autor del excelente libro ¿Quién inventó el álgebra? Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total? Actividad 12: EEElll jjjuuunnnqqquuuiiilll lllooo ccchhhiiinnnooo

Resuelve el problema de “el junquillo chino” El Junquillo Chino El siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu Chang Suan Shu" o "Arte Matemático en Nueve Secciones" Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua? Este antiguo libro chino data probablemente del siglo II a.C (Dinastía Han) y contiene 246 problemas divididos en 9 capítulos, el autor es desconocido , y contiene el resumen de todo el conocimiento matemático poseído en China hasta la primera mitad del siglo III d.C. algunos de estos problemas datan de la Dinastía Qin (221 - 220 a.C.) y fueron compilados por Zhang Cang (256? - 152 a.C.) Resuelve el problema ayudándote de los dibujos:



Este problema muy posiblemente haya pasado de La China a la India y en efecto es así pues Bhaskara II (llamado también Bhaskaracharya ) en su Lilavati expone este problema de manera ligeramente diferente por ejemplo en vez de considerar un junquillo como el protagonista del problema Bhaskara optó por elejir una planta familiar de su territorio como el loto, veamos:

En cierto lago, el repleto de gansos rosados y grullas, se podían ver, la parte superior de una flor de una planta de loto un palmo arriba de la superficie del agua. Forzado por el viento, avanzó gradualmente y fue sumergido por el agua a una distancia de 4 palmos. Calcula, deprisa matemático!! la profundidad del agua.

3.3 Fase de síntesis, presentación y evaluación Se van a dedicar dos sesiones en esta fase en la que los alumnos van a realizar las siguientes actividades Actividad 13: TTTaaalllllleeerrr dddeee ppprrrooobbbllleeemmmaaasss Esta actividad se va a realizar en grupos de dos. Con ella se pretende que los alumnos sean capaces de inventar problemas que se resuelvan a través de ecuaciones. Se les da las siguientes indicaciones: Piensa en una situación concreta donde se manejen datos numéricos:

gastos, edades, longitudes, áreas etc Da valores a todos los datos, por supuesto, que tengan sentido y de manera

que puedas expresar relaciones entre unos datos y otros, por ejemplo: La edad de la madre es el doble que la del hijo, un lado del rectángulo es dos unidades menor que el otro etc

Toma uno de los datos como incógnita y da pistas suficientes como para plantear una igualdad, es decir, una ecuación de primer o segundo grado.



Los problemas que se elaboren en el taller deben llevar una clasificación de nivel de dificultad. Actividad 14: AAAuuutttoooeeevvvaaallluuuaaaccciiióóónnn Para evaluar ecuaciones de primer grado descargamos de la web Descartes la unidad didáctica ecuaciones de primer grado que se encuentra en la dirección http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/ecuaciones_primer_grado/indice.htm para descargarla lo haremos desde la página: http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php La aplicación ofrece la posibilidad de general el número de ejercicios que se quiera con distintos niveles de dificultad y lo mismo con problemas. De esta manera los alumnos y las alumnas serán capaces de ver hasta que nivel llegan sus competencias a la hora de resolver las ecuaciones.

Para ecuaciones de segundo grado pediremos a los alumnos que elaboren un resumen de los distintos tipos de ecuación que pueden encontrarse y como resolverla.



Para realizar la autoevaluación de ecuaciones de segundo grado podemos utilizar la aplicación de Descartes http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Ecuaciones2grado/inicio.htm que ya empleamos en la actividad 9, porque también ofrece la posibilidad de generar ejercicios de más o menos dificultad. En cuanto a problemas de aplicación se hará una selección de problemas de primer y segundo grado con distintos grados de dificultad, indicándolo en cada caso, para que de esta manera el alumno pueda autoevaluar su competencia a la hora de resolver problemas. En el anexo documental se tienen colecciones de ejercicios y de problemas que pueden utilizarse para esta actividad, además de los que se han generado en el taller de problemas. Actividad 15: EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesss eeennn oootttrrraaasss ááárrreeeaaasss Con esta actividad se pretende que los alumnos tomen conciencia de que la resolución de ecuaciones se emplea constantemente en otras áreas científicas. Se pide, por tanto, la colaboración de los profesores y profesoras del resto de áreas de ciencias para que, cuando resuelvan problemas en clase, empleen fórmulas donde tengan que despejar alguna variable, etc. les hagan notar a los alumnos que están en realidad resolviendo una ecuación. Se pide a los alumnos y alumnas que anoten al menos tres problemas o ejercicios de otras áreas donde hayan tenido que resolver ecuaciones.

4. Fase de generalización: sugerencia sobre nuevas lecturas, actividades de refuerzo y enriquecimiento

Actividad 16: ¿¿¿YYY eeessstttooo pppaaarrraaa qqquuuééé sssiiirrrvvveee??? Leemos en clase este texto sacado del libro “El hombre que calculaba” de Malba Tahan:

………….Nárrase que Moisés se encontró, cierta vez, en las playas de Judea, con El-Quíder2, el más grande entre los sabios de la Tierra. Se hallaban los dos grandes Maestros conversando sobre los más altos problemas de la Vida y del Destino, cuando se acercó a ellos un pajarito que traía en el pico una gota de agua de mar. La pequeña avecilla, sin interrumpir el vuelo, dejó caer la gota sobre el hombro de El-Quíder. Él, que era sabio entre los sabios, dijo entonces a Moisés: “¡Profeta de Dios! Ese pájaro acaba de enseñarnos una profunda verdad, mostrándonos de una manera elocuente, que la ciencia de Moisés, que es incalculable, acrecentada con paciencia de El-Quíder, que es bien poca, y la de todos los sabios de la Tierra –delante de la ciencia de Dios- es como una gota de agua comparada con el mar.” La Matemática, señora, enseña al hombre a ser sencillo y modesto; es la base de todas las ciencias y todas las artes. Aldebazan, rey de Irak, descansando cierta vez



en la galería de su palacio, soñó que encontraba siete jóvenes que caminaban por una ruta. En cierto momento, vencidas por la fatiga y por la sed, las jóvenes se detuvieron bajo el sol calcinante del desierto. Apareció, entonces, una hermosa princesa que se aproximó a las peregrinas, trayéndoles un gran cántaro de agua pura y fresca. La bondadosa princesa sació la sed que devoraba a las jóvenes, y éstas pudieron reanudar su interrumpida jornada. Al despertar, impresionado con ese curioso sueño, decidió Aldebazan entrevistarse con un astrólogo famoso, llamado Sanib, a cual consultó sobre el significado de aquella escena en la que él –rey poderoso y justo- asistiera en el mundo de las visiones y fantasías. Dijo Sanib, el astrólogo “¡Señor! Las siete jóvenes que caminaban por la ruta, eran las artes divinas y las ciencias humanas: la Pintura, la Música, la Escultura; la Arquitectura, la Retórica, la Dialéctica y la Filosofía. La princesa que las socorrió representa la grande y prodigiosa Matemática. Sin el auxilio de la Matemática –prosiguió el sabio- las artes no pueden progresar, y todas las otras ciencias perecen.” Impresionado el rey por lo que oía, determinó que se organizasen en todas las ciudades, oasis y aldeas de su país, centros de estudios matemáticos. Elocuentes y hábiles “ulemas”, iban por orden del soberano recorriendo los bazares y caravanas, enseñando Aritmética a los caballeros y beduinos. En las paredes de las mezquitas y en las puertas de los palacios, los versos de los poetas famosos fueron sustituidos por fórmulas algebraicas y por cálculos numéricos. Al cabo de pocos meses aconteció que el país atravesaba por una era de prosperidad. Paralelamente al progreso de la ciencia, crecían los recursos naturales del país, las escuelas estaban repletas; el comercio se acrecentaba en forma prodigiosa; multiplicábanse las obras de arte; levantábanse monumentos, y las ciudades estaban colmadas de turistas y curiosos. El país de Irak tenía abiertas las puertas al Progreso y a la Riqueza, si no hubiése la fatalidad, (¡Mactub!) puesto el término a aquel período de trabajo y prosperidad. El rey Aldebazan, acometido por repentina enfermedad, murió, siendo llevado por el maligno Azrail3 para el cielo de Alah. La muerte del soberano abrió dos tumbas. Una de ellas acogió el cuerpo del glorioso Monarca, y la otra la cultura científica del pueblo. Subió al trono un príncipe vanidoso, indolente y de limitadas dotes intelectuales. Le preocupaban más las diversiones que los problemas Administrativos del Estado. Pocos meses después, todos los servicios públicos estaban desorganizados; las escuelas cerradas, y los artistas y “ulemas”, forzados huir bajo la amenaza de los malvados y ladrones. El tesoro público fue dilapidado en múltiples festines y desenfrenados banquetes. El país de Irak, llevado a la ruina por el desorden, fue atacado por enemigos ambiciosos, y vencido. La historia de Aldebazan, señora, nos demuestra que el progreso de un pueblo se halla ligado al desenvolvimiento de los estudios matemáticos4. En el Universo todo es número y medida. La Unidad, símbolo del Creador, es el principio de todas las cosas, las cuales no existen sino en virtud de inmutables proporciones y relaciones numéricas. Todos los grandes enigmas de la Vida pueden ser reducidos a simples combinaciones de elementos variables o constantes, conocidos o desconocidos. Para que podamos conocer la Ciencia es necesario tomar un número por fase. Veremos como estudiarlo con la ayuda de Alah, Clemente y Misericordioso. - ¡Uaasalam! Con estas palabras concluyó el calculista, dando por terminada su primera clase de Matemática. Con agradable sorpresa oímos, entonces a la alumna, a quien hacía invisible la cortina, pronunciar la siguiente oración: “¡Oh Dios Omnipotente, Creador del Cielo y de la Tierra! Perdona la pobreza, pequeñez y puerilidad de nuestros corazones. No escuches nuestros pedidos, pero oye el clamor de nuestras necesidades; no atiendas nuestros pedidos, pero ten en cuenta nuestros silenciosos gemidos. ¡Cuantas veces pedimos aquello que tuvimos y que dejamos perder! ¡Cuántas veces soñamos poseer aquello que nunca será nuestro! ¡Oh Dios! Nosotros te agradecemos por este Universo, que es nuestro



grande hogar, por su vastedad y riqueza, y por la vida multiforme que en él existe y de la cual formamos parte. Loámoste por el esplendor del cielo azul y por la brisa de la tarde, por las veloces nubes y por las constelaciones de las alturas. Loámoste por los océanos inmensos, por el agua que corre, por las montañas eternas, por los árboles frondosos, por el suave césped en que reposan nuestros pies. ¡Nosotros te agradecemos los múltiples encantos con que podemos experimentar en nuestras almas las bellezas de la Vida y el Amor! ¡Oh Dios, Clemente y Misericordioso! Perdona la pobreza, la pequeñez y la puerilidad de nuestros corazones.”

2 Quíder o Quidr, genio dotado de gran sabiduría que, según la creencia de los árabes, vivía en la tierra para enseñar y orientar a los profetas (M. T.) 3 Astrail – Angel de la muerte. 4 Cabe recordar aquí la frase de Napoleón: “El progreso de un pueblo depende exclusivamente del desenvolvimiento de la cultura matemática”

Actividad 17: EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesss cccooonnn DDDeeerrriiivvveee No se ha tratado en la fase de desarrollo la resolución gráfica de ecuaciones de primer y segundo grado porque dependerá, en cada caso, de si los alumnos y alumnas de la clase conocen suficientemente las funciones lineales y cuadráticas. Se añade pues en esta fase de generalización una actividad con el programa derive donde se trabaja con la resolución de ecuaciones tanto gráfica como analítica.





Actividad 18: MMMaaattteeemmmááágggiiicccaaasss No te pierdas esta preciosa página donde podrás hacer magia con las matemáticas y con las ecuaciones http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm



ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ECUACIONES

INCOMPLETAS

ECUACIONES COMPLETAS

2 42

b b acxa

− ± −=

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

DISCRIMINANTE 2 4b acΔ = −

Nº de soluciones

Anexo I. Mapa conceptual de contenidos

ECUACIONES



Anexo II. Bibliografía

LIBROS “El hombre que calculaba” de Malba Tahan “Álgebra Recreativa” de Yakov Perlman

WEBS http://www.mac.cie.uva.es/~arratia/mypapers/newspapers/cervantes.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/23-1-u-prue-sol.html http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate3a/mate3a.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/46-1-u-ecuaciones.html http://descartes.cnice.mecd.es/ http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra1.htm http://www.portalplanetasedna.com.ar/raiz_ecuacion.htm http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra1.htm APLICACIONES INFORMÁTICAS Microsoft Student 2007 Applets de Descartes Derive 6 OTROS Material didáctico Editorial Anaya



Anexo Documental

PPRROOBBLLEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE SSEEGGUUNNDDOO GGRRAADDOO

11)) SSee qquuiieerree hhaacceerr uunnaa ccaajjaa ddee 5500 ccmm33 ddee vvoolluummeenn ccoonn uunnaa ccaarrttuulliinnaa ccuuaaddrraaddaa.. PPaarraa hhaacceerrllaa ssee ccoorrttaann eenn llaass eessqquuiinnaass ccuuaaddrraaddooss ddee 22 ccmm ddee llaaddoo.. ¿¿CCuuáánnttoo mmiiddee eell llaaddoo ddee llaa ccaarrttuulliinnaa ccuuaaddrraaddaa?? 22)) DDeetteerrmmiinnaa llooss llaaddooss ddee uunn rreeccttáánngguulloo,, ssaabbiieennddoo qquuee ssuu sseemmiippeerríímmeettrroo eess 2255mm yy ssuu áárreeaa eess 115500mm22.. 33)) LLaa eeddaadd ddee LLiilliiaannaa eerraa hhaaccee 66 aaññooss llaa rraaíízz ccuuaaddrraaddaa ddee llaa eeddaadd qquuee tteennddrráá ddeennttrroo ddee 66 aaññooss.. DDeetteerrmmiinnaa llaa eeddaadd aaccttuuaall.. 44)) DDooss ccuueerrddaass ssee ccoorrttaann eenn uunn ccíírrccuulloo.. UUnnaa mmiiddee 3300 ccmm,, llaa oottrraa mmiiddee 5500 ccmm yy ppaassaa ppoorr eell ppuunnttoo mmeeddiioo ddee llaa pprriimmeerraa.. ¿¿CCuuáálleess ssoonn llaass mmeeddiiddaass ddee llooss sseeggmmeennttooss eenn qquuee hhaa qquueeddaaddoo ddiivviiddiiddaa llaa sseegguunnddaa ccuueerrddaa?? 55)) UUnn rreeccttáánngguulloo eeqquuiivvaallee aa uunn ccuuaaddrraaddoo ddee 9966 ccmm ddee llaaddoo.. DDeetteerrmmiinnaa llaass ddiimmeennssiioonneess ddeell rreeccttáánngguulloo,, ssaabbiieennddoo qquuee uunnaa ddee eellllaass eess 66 ddee llaa oottrraa.. 66)) DDeetteerrmmiinnaa llaass mmeeddiiddaass ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, ssaabbiieennddoo qquuee ssuu ppeerríímmeettrroo eess 8800 ccmm yy llaa ssuummaa ddee llooss ccaatteettooss eess 4466 ccmm.. 77)) EEll áárreeaa ddee uunn rreeccttáánngguulloo eess 336600 mm22 yy eell llaarrggoo eexxcceeddee aall aanncchhoo eenn ddooss uunniiddaaddeess.. CCaallccuullaa eell ppeerríímmeettrroo ddeell rreeccttáánngguulloo.. 88)) DDeetteerrmmiinnaarr llaass lloonnggiittuuddeess ddee llooss llaaddooss ddee uunn rreeccttáánngguulloo ssii eell llaaddoo mmaayyoorr eexxeeccee eenn 1100 ccmm aall mmeennoorr yy llaa ddiiaaggoonnaall mmiiddee 5500 ccmm.. 99)) UUnnaa ssaallaa ddee ccllaasseess eessttáá ddiissttrriibbuuiiddaa ppoorr ffiillaass.. EEll nnúúmmeerroo ddee aalluummnnooss ddee ffeell nnúúmmeerroo ddee ffiillaass.. ¿¿CCuuáánnttaass ffiillaass yy ccuuáánnttooss aalluummnnooss ppoorr ffiillaa hhaayy,, ssii eenn ttoottaall llooss aalluummnnooss ssoonn 4400?? 1100)) UUnnaa ppeerrssoonnaa ccoommpprróó cciieerrttoo nnúúmmeerroo ddee oobbjjeettooss eenn 330000€€.. PPooddrrííaa hhaabbeerr ccoommpprraaddoo 1100 oobbjjeettooss mmááss,, ssii ccaaddaa uunnoo hhuubbiieessee ccoossttaaddoo 55€€ mmeennooss.. ¿¿CCuuáánnttooss oobbjjeettooss ccoommpprróó?? 1111)) UUnn ddeeppoorrttiissttaa ccaammiinnóó 3300 kkrrnn eenn uunn cciieerrttoo nnúúmmeerroo ddee hhoorraass.. SSii hhuubbiieessee ccaammiinnaaddoo 11 kkmm mmááss ppoorr hhoorraa hhaabbrrííaa ttaarrddaaddoo 11 hhoorraa mmeennooss eenn rreeccoorrrreerr llaa mmiissmmaa ddiissttaanncciiaa.. ¿¿CCuuáánnttooss kkiillóómmeettrrooss ppoorr hhoorraa rreeccoorrrriióó??



1122)) UUnn rreeccttáánngguulloo mmiiddee 1155 ccmm ddee llaarrggoo yy 88 ccmm ddee aanncchhoo.. ¿¿EEnn ccuuáánnttooss cceennttíímmeettrrooss hhaabbrrííaa qquuee ddiissmmiinnuuiirr,, ssiimmuullttáánneeaammeennttee,, eell llaarrggoo yy eell aanncchhoo ppaarraa qquuee llaa ddiiaaggoonnaall sseeaa 44 ccmm mmeennoorr?? 1133)) CCaallccuullaa llaa aallttuurraa yy llaa bbaassee ddee uunn ttrriiáánngguulloo iissóósscceelleess ccuuyyooss llaaddooss iigguuaalleess mmiiddeenn 1100 ccmm yy llaa aallttuurraa eess 22 ccmm mmááss llaarrggaa qquuee llaa bbaassee.. 1144)) EEnn uunn ccíírrccuulloo ddee rraaddiioo 1177 ccmm ssee ttrraazzaa uunnaa ccuueerrddaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aa uunn ddiiáámmeettrroo.. LLaa ddiissttaanncciiaa ddeessddee eell cceennttrroo aa ddiicchhaa ccuueerrddaa eess 77 ccmm mmááss qquuee llaa mmiittaadd ddee llaa lloonnggiittuudd ddee llaa ccuueerrddaa.. CCaallccuullaa llaa mmeeddiiddaa ddee llaa ccuueerrddaa.. 1155)) EEnn uunn ccíírrccuulloo,, llaa ddiissttaanncciiaa eennttrree ddooss ccuueerrddaass ppaarraalleellaass ccoonnggrruueenntteess eess ddee 1122 ccmm.. CCaaddaa ccuueerrddaa mmiiddee 66 ccmm mmááss qquuee eell rraaddiioo.. DDeetteerrmmiinnaa eell rraaddiioo.. 1166)) DDeetteerrmmiinnaa llooss llaaddooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, ssaabbiieennddoo qquuee llaass ddiimmeennssiioonneess ddee llooss ttrreess ccoorrrreessppoonnddeenn aa nnúúmmeerrooss nnaattuurraalleess ccoonnsseeccuuttiivvooss.. 1177)) LLaa hhiippootteennuussaa ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo eess 2255 mmeettrrooss yy llaa ssuummaa ddee llooss ccaatteettooss eess 3355 mm ¿¿CCuuáánnttoo mmiiddeenn llooss ccaatteettooss?? 1188)) LLaa hhiippootteennuussaa ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo mmiiddee 2255 mm yy uunnoo ddee llooss ccaatteettooss ttiieennee 66 mm mmááss qquuee ssuu pprrooyyeecccciióónn ssoobbrree llaa hhiippootteennuussaa.. CCaallccuullaarr llooss ccaatteettooss.. 1199)) UUnn ccaatteettoo ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo mmiiddee uunn mmeettrroo mmeennooss qquuee llaa pprrooyyeecccciióónn ddeell oottrroo ccaatteettoo ssoobbrree llaa hhiippootteennuussaa.. ¿¿CCuuáánnttoo mmiiddee eessttaa pprrooyyeecccciióónn,, ssii eell oottrroo sseeggmmeennttoo ddee llaa,, hhiippootteennuussaa mmiiddee 99 mm?? 2200)) LLaa hhiippootteennuussaa ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo mmiiddee 99 mm mmááss qquuee uunnoo ddee llooss ccaatteettooss yy 88 mm mmááss qquuee eell oottrroo.. CCaallccuullaarr llooss llaaddooss ddeell ttrriiáánngguulloo.. 2211)) CCaallccuullaarr llooss llaaddooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo ssaabbiieennddoo qquuee llaa ssuummaa ddee llooss ccaatteettooss eess.. 2288 mm yy qquuee llaa hhiippootteennuussaa ttiieennee 44 mm mmeennooss qquuee eell ddoobbllee ddeell ccaatteettoo mmeennoorr.. 2222)) EEll ccuuaaddrraaddoo ddee llaa ssuummaa ddee llooss ccaatteettooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo ttiieennee 112200 mm22 mmááss qquuee eell ccuuaaddrraaddoo ddee llaa hhiippootteennuussaa.. CCaallccuullaarr llooss ccaatteettooss yy llaa hhiippootteennuussaa,, ssaabbiieennddoo qquuee llaa ddiiffeerreenncciiaa eennttrree llooss ccaatteettooss eess 77 mm.. 2233)) LLaa ssuummaa ddee llaa bbaassee ccoonn llaa aallttuurraa ddee uunn ttrriiáánngguulloo eess 3300 mm yy eell áárreeaa,, ddeell ttrriiáánngguulloo eess 111122 mm22.. CCaallccuullaarr llaa bbaassee yy llaa aallttuurraa ddeell ttrriiáánngguulloo.. 2244)) LLaa ssuummaa ddee llooss ppeerríímmeettrrooss ddee ddooss ccuuaaddrraaddooss eess 224400 ccmm yy llaa ssuummaa ddee ssuuss áárreeaass eess 22 552222 ccmm22.. ¿¿CCuuáánnttoo mmiiddee eell llaaddoo ddee ccaaddaa ccuuaaddrraaddoo?? 2255)) LLaa ssuummaa ddee llooss ccaatteettooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo eess 7711 ccmm yy eell áárreeaa ddeell ttrriiáánngguulloo eess 333300 ccmm22.. ¿¿CCuuáánnttoo mmiiddeenn llooss ccaatteettooss??



2266)) EEnn uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo eell ccaatteettoo ..mmeennoorr mmiiddee 4422 ccmm yy llooss sseeggmmeennttooss ddee llaa hhiippootteennuussaa ddeetteerrmmiinnaaddooss ppoorr llaa aallttuurraa ttiieenneenn uunnaa ddiiffeerreenncciiaa ddee 9988 ccmm,, ¿¿CCuuáánnttoo mmaaddee hhiippootteeeennuussaa?? 2277)) EEnn uunn ttrriiáánngguulloo iissóósscceelleess llaa bbaassee mmiiddee 1199 yy ccaaddaa llaaddoo 88 ccmm mmááss qquuee llaa aallttuurraa ttrraazzaaddaa aa llaa bbaassee.. ¿¿QQuuéé lloonnggiittuudd ttiieennee llaa bbaassee?? 2288)) LLaa ttaannggeennttee ttrraazzaaddaa aa uunnaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa ddeessddee uunn ppuunnttoo ssiittuuaaddoo aa 6611 ccmm ddee ddiissttaanncciiaa ddeell cceennttrroo eess 4499 ccmm mmááss llaarrggaa qquuee eell rraaddiioo ddee llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa.. ¿¿QQuuéé lloonnggiittuudd ttiieennee eell rraaddiioo?? 2299)) EEll sseegguunnddoo ccuurrssoo ddee uunn ccoolleeggiioo ttiieennee 33 aalluummnnooss mmááss qquuee eell tteerrcceerroo,, yy eell pprriimmeerroo 66 aalluummnnooss mmááss qquuee eell sseegguunnddoo.. EEnn uunnaa ccoolleeccttaa ddee ccaarriiddaadd ccaaddaa aalluummnnoo ddeell mmiissmmoo ccuurrssoo ddaa llaa mmiissmmaa ssuummaa,, ppeerroo ccaaddaa aalluummnnoo ddeell tteerrcceerr ccuurrssoo ddaa ttaannttoo ccoommoo ccaaddaa aalluummnnoo ddeell sseegguunnddoo yy ddeell pprriimmeerroo jjuunnttooss.. EEll tteerrcceerr ccuurrssoo jjuunnttóó 1100 UUFF,, eell sseegguunnddoo 66,,99 UUFF yy eell pprriimmeerroo 55,,88 UUFF.. ¿¿CCuuáánnttooss aalluummnnooss ttiieennee ccaaddaa ccuurrssoo?? 3300)) EEll ccaatteettoo mmaayyoorr ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo mmiiddee 6600 ccmm yy llaa ddiiffeerreenncciiaa ddee llaass pprrooyyeecccciioonneess ssoobbrree llaa hhiippootteennuussaa eess 2211 ccmm.. CCaallccuullaarr llooss oottrrooss ddooss llaaddooss ddeell ttrriiáánngguulloo.. 3311)) EEnn uunn ttrriiáánngguulloo llaa bbaassee mmiiddee 1155 ccmm mmááss qquuee eell ddoobbllee ddee llaa aallttuurraa.. CCaallccuullaarr llaa bbaassee yy llaa aallttuurraa,, ssaabbiieennddoo qquuee eell áárreeaa ddeell ttrriiáánngguulloo eess 330011 ccmm22.. 3322)) AAllgguuiieenn rreeggaallaa UUSS$$ 552255 ppaarraa rreeppaarrttiirrllooss eennttrree llooss nniiññooss ddeell nniivveell ccuuaarrttoo bbáássiiccoo ddee uunnaa eessccuueellaa.. CCoommoo 2255 nniiññooss eessttaabbaann aauusseenntteess,, ccaaddaa uunnoo ddee llooss nniiññooss pprreesseenntteess oobbttuuvvoo UUSS 00,,5500 mmááss.. ¿¿DDee ccuuáánnttooss nniiññooss ssee ccoommppoonnííaa eell nniivveell ccuuaarrttoo??

Más problemas para resolver en http://platea.pntic.mec.es/jescuder/algebra1.htm



RRReeesssooollluuuccciiióóónnn gggeeeooommmééétttrrriiicccaaa dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss dddeee ssseeeggguuunnndddooo gggrrraaadddooo







AAAccctttiiivvviiidddaaadddeeesss cccooonnn JJJcccllliiiccc La aplicación de jclic “Ecuaciones de primer y segundo grado” que podemos bajarnos en la dirección: http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=3319 puede también ser muy útil en este tema. No se ha incluido en actividades porque tiene contenidos de resolución gráfica de ecuaciones.



Documents

Unidad Ecuaciones 3 Eso