230

Sistema axonomtrico9UNIDAD

l sistema axonomtrico se divide en ortogonal

y oblicuo segn sea la direccin de proyeccin.

La axonometra ortogonal puede ser isom-

trica, dimtrica o trimtrica segn que los coeficientes

de reduccin de los ejes sean iguales, slo dos iguales

o los tres diferentes.

Estudiado en el libro de Primero el sistema

isomtrico, en el que fue posible prescindir de las

reducciones al mantenerse la proporcin entre las

partes, corresponde ahora ocuparse del trimtrico, en

el cual es preciso considerarlas. Todo lo expuesto en

isomtrico referente al alfabeto del punto, la recta y el

plano, interseccin, paralelismo, tiene igual validez en

trimtrico. Para representar u obtener las verdaderas

magnitudes de figuras planas y superficies se utiliza

el abatimiento.

El tercer apartado presenta las mismas construc-

ciones del trimtrico en perspectiva caballera.

Con el estudio de esta Unidad nos proponemos alcanzar los siguientes objetivos:

1. Utilizar procedimientos grficos de obtencin de reducciones y verdaderas magnitudesde medidas paralelas a los ejes en axonometra ortogonal y oblicua.

2. Representar y obtener verdaderas magnitudes de figuras planas y superficiesutilizando el abatimiento de ejes y planos coordenados en axonometra ortogonal y

oblicua.

3. Obtener la seccin de superficies polidricas y de revolucin por planos y suinterseccin con rectas en axonometra ortogonal y oblicua.

E

Representacin axonomtrica (ISFTIC. Bancode imgenes).

231

1. SISTEMA AXONOMTRICO ORTOGONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

1.1. Escalas axonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

1.2. Abatimiento de los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

1.3. Abatimiento de los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

1.4. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

1.5. Verdadera magnitud de ngulos situados en planos paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

1.6. Representacin de polgonos situados en los planos coordenados mediante abatimiento y traslacin paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1.7. Representacin de circunferencias situadas en los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2. REPRESENTACIN DE SLIDOS EN EL SISTEMA AXONOMTRICO ORTOGONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2.1. Representacin del tronco de pirmide mediante el mtodo de planta y altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2.2. Seccin de un tronco de pirmide por un plano paralelo a un eje coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2.3. Seccin de un tronco de pirmide por un plano oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2.4. Interseccin de un tronco de pirmide con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2.5. Representacin del tronco de cono mediante el mtodo de planta y altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

2.6. Seccin del cilindro por un plano oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

2.7. Interseccin del cono con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2.8. Perspectiva de una pieza industrial a partir de sus vistas, mediante el mtodo de traslacin paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

3. PERSPECTIVA CABALLERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3.1. Abatimiento del eje Y. Coeficiente de reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3.2. Abatimiento del plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.3. Abatimiento del plano YZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3.4. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3.5. Verdadera magnitud de polgonos situados en planos paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3.6. Perspectiva de una pieza industrial a partir de sus vistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.7. Seccin por planos de piezas industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.8. Interseccin con rectas de piezas industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

N D I C E D E C O N T E N I D O S

232

1. Sistema axonomtrico ortogonal1.1. Escalas axonomtricas

El sistema axonomtrico trimtrico utiliza como sistema de referencia un triedro trirrectnguloformado por tres ejes coordenados X, Y, Z que forman ngulos distintos , , , respectivamente,con el plano del cuadro [Ilustracin 1]. La proyeccin en el plano del cuadro de los ejes

coordenados son los ejes axonomtricos X, Y, Z y se llama tringulo de las trazas ABC a lainterseccin del triedro de referencia con dicho plano.

La reduccin que sufre el segmento unidad u del eje Z al proyectarlo sobre el plano delcuadro es uz = u cos, de donde cos = uz/ u . El nmero cz = cos, llamado coeficiente dereduccin del eje Z, multiplicado por la medida d de un segmento paralelo a l, da la de suproyeccin d sobre el plano del cuadro.

Los coeficientes de reduccin de los otros dos ejes X, Y son respectivamente cx = cos,cy = cos.

El segmento uz se llama escala axonomtrica del eje Z y de las rectas axonomtricasparalelas a l. Es la unidad de la escala grfica axonomtrica cos/1 que se utiliza para llevarsobre las rectas paralelas al eje Z las medidas tomadas sobre el objeto con la escala natural1:1, segn la direccin del eje Z.

Ilustracin 1

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

233

Los segmentos ux, uy son las escalas axonomtricas de los ejes X, Y que se utilizancomo unidades de las escalas grficas cos/1, cos/1, que sirven para llevar las medidasreducidas sobre dichos ejes.

1.2. Abatimiento de los ejes coordenadosEl abatimiento de los ejes coordenados X, Y, Z sobre el plano del cuadro, mediante

el giro de sus planos proyectantes XX, YY, ZZ alrededor de los ejes axonomtricos X,Y, Z permite obtener los ngulos que los ejes coordenados forman con l y las escalasaxonomtricas.

Sean X, Y, Z unos ejes axonomtricos y O la proyeccin del centro de coordenadas[Ilustracin 2].

Se traza un tringulo de las trazas cualquiera cuyos lados AB, BC, CA deben serperpendiculares a los ejes axonomtricos Z, X, Y, respectivamente.

Para abatir el eje Z se construye en su posicin abatida D(O)C, el ngulo recto DOC, formadopor el eje Z y la recta OD del plano XY, siendo D el punto de corte del lado AB con Z. Ladireccin de abatimiento de O es la perpendicular a la charnela Z trazada por O que corta alarco capaz de 90 sobre CD en (O). Como C es un punto de la charnela (Z) = C(O).

El abatimiento del eje Z permite obtener el ngulo = OC(O) y la escala axonomtrica uz,trazando direcciones de abatimiento desde los extremos de la unidad u, situada en (Z).

Ilustracin 2

234

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDADSin necesidad de construir la escala grfica axonomtrica del eje Z, puede llevarse sobre

la proyeccin axonomtrica r, de una recta r, paralela al eje Z, una distancia d. Basta trazaruna paralela (r) a (Z), llevar sobre ella dicha distancia d y trazar por sus extremos dos rectasparalelas a la direccin de abatimiento, que interceptan sobre r la distancia reducida d.

Todo lo dicho para el eje Z es aplicable a los ejes X, Y.

1.3. Abatimiento de los planos coordenados

El abatimiento de los planos coordenados XY, YZ, ZX sobre el plano del cuadro,alrededor de los lados AB, BC, CA del tringulo de las trazas, permite obtener lasverdaderas magnitudes de las figuras planas situadas en ellos.

Ilustracin 3

235

Sean X, Y, Z unos ejes axonomtricos, O la proyeccin del centro de coordenadas y MNPla perspectiva axonomtrica de un tringulo contenido en el plano XY cuya verdadera magnitudse desea conocer [Ilustracin 3].

Se traza un tringulo de las trazas cualquiera cuyos lados AB, BC, CA deben serperpendiculares a los ejes axonomtricos Z, X, Y, respectivamente.

Para abatir los ejes X, Y, que definen el plano XY se construye, en su posicin abatidaA(O)B, el ngulo recto AOB, formado por los ejes axonomtricos X, Y. La direccin deabatimiento de O es la perpendicular a la charnela AB trazada por O, que corta al arco capazde 90 sobre AB en (O). Como A, B son puntos de la charnela (X) A(O) e (Y) B(O).

Entre los puntos M, Q, ... que son proyeccin directa de puntos M, N, ... contenidos en elplano coordenado XY y sus abatidos (M), (Q), ... sobre el cuadro existe una afinidad ortogonaldefinida por el eje de afinidad AB (charnela del abatimiento) y el par de puntos homlogosO, (O). En ella los ejes abatidos (X), (Y) son afines de los axonomtricos X, Y.

Se obtiene (P) en el punto de corte de su direccin de afinidad (perpendicular al eje AB porM) con la paralela (m) a (Y) trazada por el punto doble D en que su afn, la paralela m a Ypor M, corta al eje de afinidad AB.

Se obtienen (P), (N) en los puntos de corte de sus direcciones de afinidad con la recta (Q)(R),siendo (Q), (R) afines de los puntos Q, R, en que la recta PN corta a los ejes Y, Xrespectivamente.

Para abatir figuras contenidas en los planos YZ, ZX se procede de manera anloga.

1.4. Verdadera magnitud de un segmentoSea MN la perspectiva axonomtrica de un segmento d y M1N1 su proyeccin horizontal

[Ilustracin 4].

La verdadera magnitud del segmento d es la hipotenusa del tringulo rectngulo MNP, cuyoscatetos MP y PN tienen longitudes respectivamente iguales a la de su proyeccin horizontalM1N1 y a la diferencia de cota c de sus extremos N, M.

Se obtiene la longitud de M1N1 abatiendo el plano XY. Para ello, se traza un tringulo de lastrazas cualquiera cuyos lados AB, BC, CA deben ser perpendiculares a los ejes axonomtricosZ, X, Y, respectivamente.

La direccin de abatimiento de O es la perpendicular a la charnela AB trazada por O, quecorta al arco capaz de 90 sobre AB en (O), siendo (X) A(O) e (Y) B(O).

Se obtienen (M1), (N1) en los puntos de corte de sus direcciones de afinidad con la recta(Q)D, siendo (Q) afn de Q, y D el punto doble en que la recta M1N1 corta al eje de afinidadAB.

236

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

Se obtiene la diferencia de cota entre N y M abatiendo el eje Z. La direccin de abatimientode O es la perpendicular a la charnela Z trazada por O que corta al arco capaz de 90 sobreCE en (O), siendo (Z) C(O). Las paralelas trazadas por P y N a la direccin de abatimientodeterminan la diferencia de cota c, sobre (Z). Llevando c perpendicular a (M1)(N1) por (N1) seobtiene d como hipotenusa de un tringulo rectngulo igual al MNP.

1.5. Verdadera magnitud de ngulos situados en planosparalelos a los coordenados

Sean a, b las perspectivas axonomtricas de dos rectas situadas en un plano paralelo alplano YZ y a3, b3 sus proyecciones verticales segundas [Ilustracin 5].

Por ser paralelas al plano horizontal el ngulo que forman las rectas a, b coincide con eldefinido por sus proyecciones verticales segundas a3, b3.

La verdadera magnitud del ngulo , que forman a3, b3 se obtiene abatiendo el plano YZ.Para ello, se traza un tringulo de las trazas cualquiera ABC. La direccin de abatimiento deO es la perpendicular a la charnela BC trazada por O, que corta al arco capaz de 90 sobreBC en (O), siendo (Z) C(O) e (Y) B(O).

La recta b3 corta a la charnela BC en el punto doble M3 y al eje Y en N3, cuyo afn (N3)es el punto de corte de su direccin de abatimiento con (Y). Uniendo M3 con (N3) se obtiene(b3) que contiene a (V3), obtenida mediante la direccin de abatimiento del punto de corte V3de las rectas a3, b3.

Ilustracin 4

237

Pasando por (V3) y por el punto doble P3 de la recta a3 se obtiene (a3), que forma el ngulo buscado con (b3).

1.6. Representacin de polgonos situados en los planoscoordenados mediante abatimiento y traslacin paralela

El abatimiento de un plano coordenado, efectuado de modo que las figuras contenidasen l mantengan su orientacin, y su traslacin paralela a la direccin de afinidad, facilitanla representacin axonomtrica de dichas figuras.

Sea l el lado de un pentgono regular y X, Y, Z unos ejes axonomtricos [Ilustracin 6].

Para dibujar la perspectiva axonomtrica del pentgono regular, que coincide con su

proyeccin horizontal por estar contenido en el plano XY, se abate ste. Para ello, se traza untringulo de las trazas cualquiera ABC. La direccin de abatimiento de O es el eje Z, que cortaal arco capaz de 90 sobre AB en (O). Como A, B son puntos de la charnela (X) A(O) e(Y) B(O).

Se trasladan los ejes abatidos paralelamente a Z hasta transformarlos en (X)d e (Y)d. Sedibuja, a partir del lado l contenido en (X)d, el pentgono regular y se trazan por sus vrticeslas paralelas (m)d, (n)d a (X)d que cortan a (Y)d en (M)d, (N)d. A continuacin se trazan paralelasa Z por (M)d, (N)d que cortan a Y en M, N.

Las rectas m, n trazadas por M, N paralelas a X son proyeccin directa de m, n y lasperspectivas axonomtricas P, Q, R, S, T de los vrtices contenidos en ellas y en el eje X,se obtienen mediante paralelas a Z trazadas desde (P)d, (Q)d, (R)d , (S)d, (T)d. La proyeccinhorizontal P1Q1R1S1T1 del pentgono coincide con la directa PQRST.

Ilustracin 5

238

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

1.7. Representacin de circunferencias situadas enlos planos coordenados

El abatimiento del plano coordenado que contiene una circunferencia facilita laobtencin de las medidas de sus dimetros conjugados, si stos se toman paralelos adichos ejes.

Sea r el radio de una circunferencia y X, Y, Z unos ejes axonomtricos [Ilustracin 7].

Para dibujar la perspectiva axonomtrica de una circunferencia, que coincide con su

proyeccin vertical segunda por estar contenida en el plano YZ, se abate ste. Para ello, setraza un tringulo de las trazas cualquiera ABC. La direccin de abatimiento de O es el eje X,que corta al arco capaz de 90 sobre BC en (O). Como B, C son puntos de la charnela(Y) B(O) y (Z) C(O) .

Elegido el centro B en el plano YZ se traza su direccin de abatimiento, que corta a los ejes(Y), (Z) en los puntos T, S. Se llevan sobre (Y), (Z) a ambos lados de los puntos T, S el radior obtenindose las medidas de dos dimetros reales y perpendiculares de la circunferencia.Las direcciones de abatimiento de sus extremos determinan sobre las paralelas por B a los

Ilustracin 6

239

ejes axonomtricos Y, Z dos dimetros conjugados de la elipse, que es a la vez perspectivaaxonomtrica y proyeccin vertical segunda de la circunferencia representada. Se construye

por haces proyectivos dividiendo los semidimetros en dos partes.

Ilustracin 7

Ejercicio de selectividad UNED resuelto Pulsa aqu para ver la animacin

240

2. Representacin de slidos en el sistemaaxonomtrico ortogonal2.1. Representacin del tronco de pirmide medianteel mtodo de planta y altura

El abatimiento y traslacin paralela del plano XY facilita la representacin de laproyeccin axonomtrica horizontal de un objeto. El abatimiento del eje Z permite obtenerlas medidas de las alturas, necesarias para la obtencin de su perspectiva axonomtrica.

Sea un tronco de pirmide representado en didrico [Ilustracin 8].

Sobre la representacin didrica se dibuja el triedro de referencia del sistema axonomtrico,

de modo que el alzado se convierta en la proyeccin vertical segunda o tercera. Elegida en

este caso la segunda deben dibujarse las proyecciones de los ejes Y, Z a la izquierda de laplanta y el alzado. El eje X es la L. T..

Se traza un tringulo de las trazas ABC para decidir la posicin del plano del cuadro . Sustrazas 1 = A1B1 y 2 = A2B2 se eligen libremente y definen la direccin de observacin d, cuyasproyecciones d1 y d2 son perpendiculares a ellas. La verdadera magnitud de BC es C2(B) quese obtiene abatiendo B sobre el plano vertical mediante el arco de centro Y2 y radio Y2B1.

Ilustracin 8

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

241

Sobre una semirrecta horizontal con origen en B se transporta la traza BA, a continuacinse trazan arcos de centros A, B y radios A2C2, (B)C2 que determinan el tercer vrtice C deltringulo de las trazas. Sus alturas son los ejes axonomtricos X, Y, Z.

Se abate y desplaza el plano XY, y se dibuja sobre l la planta del tronco de pirmide en lamisma posicin que tena respecto a los ejes. Mediante direcciones de abatimiento y paralelas

al eje (X)d, que se transforman en paralelas a X, se obtiene la proyeccin horizontal axonomtricadel tronco de pirmide.

Se abate el eje Z y se transportan mediante arcos de centro Q las alturas a, b, c, medidasen el alzado, sobre una paralela (Z)d a (Z). A continuacin se proyectan sobre una paralela aZ, mediante paralelas a L. T., para obtener a, b, c. Se obtienen las proyecciones directas H,I, J, ... de los vrtices del tronco de pirmide transportando la altura correspondiente a+b,a+b, a+b+c, ... sobre paralelas a Z trazadas desde sus proyecciones horizontales H1, I1,J1, ... Uniendo estos vrtices se obtienen las aristas del cuerpo.

2.2. Seccin de un tronco de pirmide por un planoparalelo a un eje coordenado

Sea un tronco de pirmide y un plano , paralelo al eje Z, representados en axonomtrica[Ilustracin 9].

Al ser proyectante en XY la proyeccin horizontal de la seccin coincide con 1. Paralelasal eje Z trazadas desde M1, N1, P1, Q1 cortan a las proyecciones directas de las aristas enlos vrtices M, N, P, Q de la seccin.

Ilustracin 9

242

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD2.3. Seccin de un tronco de pirmide por un plano oblicuo

Sea un tronco de pirmide y un plano oblicuo representados en axonomtrica [Ilustracin 10].

Los planos y que contienen las caras HKGD y EFJI son proyectantes en XY por loque sus trazas horizontales 1 y 1 coinciden con las proyecciones horizontales de dichascaras, y las verticales segundas 2 y 2 son paralelas a Z. Las intersecciones de y con determinan la seccin en las caras que contienen.

La recta j de interseccin de y est determinada por sus trazas Hj, Vj que son los puntosde interseccin de 1 con 1 y de 2 con 2. Su proyeccin directa j tiene en comn conHKGD la proyeccin MN de la arista MN del pentgono seccin.

Anlogamente, la proyeccin directa i de la interseccin de y tiene en comn con EFJIla arista PQ, que corta en R a IE. Uniendo M con R se obtiene el vrtice S en el punto decorte con DE. La arista PN completa la proyeccin directa de la seccin. Su proyeccinhorizontal se obtiene mediante lneas de referencia paralelas a Z.

2.4. Interseccin de un tronco de pirmide con una rectaSea un tronco de pirmide y una recta oblicua r representados en axonomtrica [Ilustracin

11].

Se traza un plano proyectante en el XY que contenga a la recta r. Su traza horizontal1 coincide con r1, y la vertical segunda 2 es paralela a Z.

Se halla la seccin producida en el tronco de pirmide por el plano , que al ser proyectanteen XY tiene su proyeccin horizontal coincidente con 1. Lneas de referencia paralelas al ejeZ trazadas desde M1, N1, P1, Q1 cortan a las proyecciones directas de las aristas en losvrtices M, N, P, Q de la seccin.

Los puntos T, U de contacto de la proyeccin directa de la seccin MNPQ con la de larecta r son los de interseccin con la superficie del tronco de pirmide. Sus proyeccioneshorizontales T1, U1, se obtienen mediante lneas de referencia paralelas a Z.

Ilustracin 10

243

2.5. Representacin del tronco de cono mediante elmtodo de planta y altura

Z

O AB

C

(X)d

Y

X

(O)d

(Y)d

Z2

Z1 X1

Y1

X2

h

(Z)

(G)d

( )D d

( )E d( )F d

H3K3

I3J3

D3E3

G3

F3

(Z)d H K

J

I

G

FE

D

h h

( )H d(I)d

( )J d

(K)d

Q

( )D d3 ( )E d3

( )F d3

(G )d3

( )J d3

( )K d3

( )H d3 ( )I d3

Ilustracin 12

Ilustracin 11

244

Sea un tronco de cono representado en didrico y unos ejes axonomtricos X, Y, Z[Ilustracin 12].

Sobre la representacin didrica se dibuja el triedro de referencia del sistema axonomtrico

de modo que los planos horizontal y vertical sean el XY y XZ. Las proyecciones de los ejes Y,Z se dibujan a la izquierda de la planta y el alzado y el eje X es la L.T..

Se traza un tringulo de las trazas cualquiera ABC y se abate el plano XY con la mismaorientacin que el axonomtrico XY. Se trasladan los ejes abatidos paralelamente a Z hastatransformarlos en (X)d e (Y)d. Se dibujan, en la posicin deseada con respecto a estos ejes,las dos circunferencias concntricas que definen la planta y dos dimetros paralelos a los ejes

(X)d e (Y)d para cada una de ellas.

Se abate el eje Z y se transporta mediante un arco de centro Q la altura h, medida en elalzado, sobre una paralela (Z)d a (Z). A continuacin se proyecta h sobre una paralela a Z,mediante paralelas a L. T., para obtener h.

Se trazan por los extremos (D)d, (E)d, (F)d, ... de dichos dimetros paralelas a (X)d quecortan a (Y)d en (D3)d, (E3)d, (F3)d, ...

Se trazan por (D3)d, (E3)d, (F3)d, (G3)d paralelas a Z que cortan a Y en D3, E3, F3, G3, queson proyeccin vertical segunda de los extremos de los dimetros de la cara inferior.

Se trazan por (H3)d, (I3)d, (J3)d, (K3)d paralelas a Z, prolongndolas una altura h, por encimade Y, para obtener H3, I3, J3, K3, que son proyeccin vertical segunda de los extremos de losdimetros de la cara superior.

Las proyecciones directas de los extremos de los dimetros son los puntos de corte de paralelas

a Z trazadas desde (D)d, (E)d, (F)d , ... con paralelas a X trazadas desde D3, E3, F3, ...

Una vez trazadas las elipses, a partir de los dimetros conjugados obtenidos, se trazan las

tangentes del contorno aparente que completan la perspectiva axonomtrica. La proyeccin

vertical segunda est formada por dos rectas proyeccin de las bases y otras dos que

corresponden a las generatrices del contorno aparente.

2.6. Seccin del cilindro por un plano oblicuo Sea un cilindro recto y un plano oblicuo representados en axonomtrica [Ilustracin 13].

Al ser el cilindro recto y estar apoyado en el plano XY la proyeccin horizontal de la elipseseccin es la base. Los dimetros D1E1, F1G1 de sta, paralelos a los ejes X, Y sern conjugadosy proyeccin horizontal de los dimetros conjugados DE, FG de la elipse seccin.

La proyeccin horizontal r1 de la recta r, que contiene al dimetro FG, corta a 1 en Hr y aX en Vr1, obtenindose Vr en el punto de corte de su lnea de referencia paralela a Z con 2.La proyeccin directa r, que se obtiene uniendo Hr con Vr, corta a las generatrices de F1, G1en los extremos del dimetro FG y al eje del cilindro en el centro Q de la elipse seccin.

La proyeccin directa s de la recta s, que contiene al dimetro DE, se obtiene uniendo Hscon Q y corta a las generatrices de D1, E1 en los extremos del dimetro DE.

La elipse se dibuja por cualquier mtodo a partir de sus dimetros conjugados.

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

245

2.7. Interseccin del cono con una recta

Sea un cono recto y una recta oblicua r representados en axonomtrica [Ilustracin 14].

Se traza un plano que contenga la recta y el vrtice del cono. Sus trazas quedandeterminadas obteniendo las de la recta r y las de la recta s, paralela a r que pasa por el vrticeV. La proyeccin directa s se traza paralela a r por V y la horizontal s1 paralela a r1 por V1.

El plano corta al cono segn las generatrices DV, EV, siendo D, E los puntos en quela traza horizontal 1 corta a la base. La proyeccin directa I, J de los puntos de interseccinde recta y cono son los de corte de r con DV y EV. Sus primeras proyecciones se podranobtener mediante lneas de referencia paralelas a Z.

Ilustracin 14

Ilustracin 13

246

2.8. Perspectiva de una pieza industrial a partir de susvistas, mediante el mtodo de traslacin paralela

El abatimiento y traslacin paralela de dos planos coordenados sobre los que sedibujan las vistas del objeto, permite obtener su perspectiva axonomtrica haciendoconcurrir las direcciones de abatimiento de las proyecciones de cada punto.

Sea una pieza representada en didrico [Ilustracin 15].

Sobre la representacin didrica se dibuja el triedro de referencia del sistema axonomtrico,

de modo que el alzado se convierta en la proyeccin vertical segunda o tercera. Elegida en

este caso la tercera deben dibujarse las proyecciones de los ejes Y, Z a la derecha de la plantay el alzado. El eje Y es la L. T..

Se traza un tringulo de las trazas ABC para decidir la posicin del plano del cuadro . Sustrazas 1 = A1B1 y 2 = A2B2 se eligen libremente y definen la direccin de observacin d,perpendicular a . La verdadera magnitud de A C es A1(C) que se obtiene abatiendo Csobre el plano horizontal mediante el arco de centro X2 y radio X2C2.

Sobre una semirrecta horizontal con origen en B se transporta la traza BA y a continuacin,se trazan arcos de centros A, B y radios AC, BC que determinan el tercer vrtice C del tringulode las trazas. Sus alturas son los ejes axonomtricos X, Y, Z.

Se abate y desplaza el plano XY, y se dibuja sobre l la planta de la pieza, en la mismaposicin que tena respecto a los ejes. Anlogamente se dibuja el alzado sobre el plano YZabatido y desplazado.

Se obtienen los puntos D, E de la perspectiva axonomtrica en los puntos de corte de laslneas de abatimiento trazadas por (E)d, (D)d, paralelas al eje Z desde la planta y al eje X desdeel alzado. Anlogamente se obtienen todos los puntos necesarios para dibujar la pieza.

A2B2

C2

B1

A1

C1

Z

AB

C

(X)d

Y

X

(Y)d

Z2

Z1

X1

Y1

X2

(Z)

( )D d

( )D d

( )E d

( )E d(Y)d

(Z)d

E

D

d1

d2

1

2(C)

Ilustracin 15

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

247

3. Perspectiva caballera3.1. Abatimiento del eje Y. Coeficiente de reduccin

El abatimiento del eje Y sobre el plano del cuadro, mediante el giro de su planoproyectante YY alrededor del eje axonomtrico Y, permite obtener el ngulo que ladireccin de proyeccin forma con l.

La perspectiva caballera es un caso particular del sistema axonomtrico oblicuo, en el

que el plano del cuadro se coloca paralelo o coincidente con el plano XZ, estando el eje Yperpendicular a l [Ilustracin 16 izquierda]. Los ngulos o segmentos situados en el plano XZse proyectan en verdadera magnitud, mientras que los segmentos paralelos al eje Y sufren unaumento o reduccin que depende del ngulo que la direccin de proyeccin d forma con elplano del cuadro.

La reduccin que sufre el segmento unidad u del eje Y al proyectarlo sobre el plano delcuadro es uy = u cotg, de donde cotg = uy/ u . El nmero cy = cotg, llamado coeficiente dereduccin del eje Y, multiplicado por la medida AB de un segmento paralelo o contenido en l,da la de su proyeccin AB sobre el plano del cuadro.

Sean X, Y, Z los ejes axonomtricos de una perspectiva caballera, u la unidad de mediday uy dicha unidad reducida segn el eje Y [Ilustracin 16 derecha].

Ilustracin 16

248

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDADPara abatir el eje Y sobre el plano del cuadro se construye en su posicin abatida AO(A)

el tringulo rectngulo AOA. Un cateto es la unidad reducida uy = OA que coincide con suabatido, al ser Y la charnela, el otro u = O(A) se traza perpendicular a l por O. La hipotenusaes la direccin de proyeccin abatida (d) que forma el ngulo de proyeccin con Y.

Puede obtenerse grficamente la medida reducida m de un segmento m paralelo al eje Y,proyectndolo desde una paralela a (Y) sobre una paralela a Y, segn la direccin (d).

3.2. Abatimiento del plano XYEl abatimiento del plano XY sobre el plano del cuadro, alrededor del eje X, permite

obtener las verdaderas magnitudes de las figuras planas situadas en l.

Sean X, Y, Z los ejes axonomtricos de una perspectiva caballera, u la unidad de mediday uy dicha unidad reducida segn el eje Y [Ilustracin 17].

El eje (X) coincide con X y el eje (Y) es la perpendicular a X por O.

La direccin de abatimiento de los puntos del plano XY es A(A) siendo A y (A) los extremosde los segmentos uy y u llevados sobre Y e (Y) respectivamente, a partir de O.

Entre los puntos B, D, ... que son proyeccin directa de puntos B, D, ... contenidos en elplano coordenado XY y sus abatidos (B), (D), ... sobre el cuadro = XY existe una afinidaddefinida por el eje de afinidad X (charnela del abatimiento) y el par de puntos homlogos A,(A). En ella el eje abatido (Y) es afn del axonomtrico Y.

Ilustracin 17

249

Se obtiene (B) en el punto de corte de la direccin de afinidad de B con la paralela a (Y) trazadapor el punto doble C, en que su afn, la paralela BC a Y por B, corta al eje de afinidad X.

Se obtiene (D) en el punto de corte de su direccin de afinidad con la recta E(B), siendo Eel punto doble en que su afn BD corta al eje de afinidad X.

3.3. Abatimiento del plano YZEl abatimiento del plano YZ sobre el plano del cuadro, alrededor del eje Z, permite

obtener las verdaderas magnitudes de las figuras planas situadas en l.

Sean X, Y, Z los ejes axonomtricos de una perspectiva caballera, la unidad de mediday dicha unidad reducida segn el eje Y [Ilustracin 18].

El eje (Z) coincide con Z y el eje (Y) es la perpendicular a Z por O.

La direccin de abatimiento de los puntos del plano YZ es A(A) siendo A y (A) los extremosde los segmentos uy y u llevados sobre Y e (Y) respectivamente, a partir de O.

Entre los puntos B, D, ... que son proyeccin directa de puntos B, D, ... contenidos en elplano coordenado YZ y sus abatidos (B), (D), ... sobre el cuadro existe una afinidad definidapor el eje de afinidad Z (charnela del abatimiento) y el par de puntos homlogos A, (A). En ellael eje abatido (Y) es afn del axonomtrico Y.

Se obtiene (B) en el punto de corte de la direccin de afinidad de B con la paralela a (Y) trazadapor el punto doble C, en que su afn, la paralela BC a Y por B, corta al eje de afinidad Z.

Se obtiene (D) en el punto de corte de su direccin de afinidad con la recta E(B), siendo Eel punto doble en que su afn BD corta al eje de afinidad Z.

Ilustracin 18

250

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD3.4. Verdadera magnitud de un segmento

Sea MNla perspectiva caballera de un segmento d y M1N1 su proyeccin horizontal[Ilustracin 19].

La verdadera magnitud del segmento d es la hipotenusa del tringulo rectngulo MNP, cuyoscatetos MP y PN tienen longitudes respectivamente iguales a la de su proyeccin horizontalM1N1 y a la diferencia de cota c de sus extremos N, M.

Se obtiene la longitud de M1N1 abatiendola. Para ello, se trazan paralelas aY por sus extremosM1, N1, y por los puntos de corte de stas con el eje X paralelas a (Y) que cortan a las direccionesde afinidad de M1, N1 en (M1), (N1).

La diferencia de cota c entre N y M est en el eje Z y por tanto en verdadera magnitud.Llevando c perpendicular a (M1)(N1) por (N1) se obtiene d como hipotenusa de un tringulorectngulo igual al MNP.

3.5. Verdadera magnitud de polgonos situados enplanos paralelos a los coordenados

Sea BCDEFGHI una cara paralela al plano YZ de un poliedro representado en perspectivacaballera [Ilustracin 20].

Como puede apreciarse en la proyeccin vertical segunda el poliedro est apoyado en el

plano horizontal. Por ello, la traza 1 del plano vertical que la contiene coincide con BC y latraza 2 es paralela al eje Z.

Ilustracin 19

251

La verdadera magnitud de dicha cara se obtiene abatiendo el plano alrededor de su traza2 del mismo modo que se abate el plano YZ. La direccin de afinidad y abatimiento es tambinA(A).

Para abatir los vrtices B, C, ... se trazan paralelas a 1 por B, C, ..., y por los puntos decorte de stas con 2 paralelas a (1) que cortan a las direcciones de afinidad de B, C, ...en (B), (C), ...

3.6. Perspectiva de una pieza industrial a partir desus vistas.

Sea una pieza industrial representada segn el mtodo del primer diedro y sean X, Y, Z losejes axonomtricos de una perspectiva caballera, u la unidad de medida y uy dicha unidadreducida segn el eje Y [Ilustracin 21].

La pieza est formada por dos cilindros, por lo que la situaremos con su eje paralelo al

eje Y, de modo que las circunferencias de las bases se proyecten sin deformarse.

Se dibuja el alzado en el plano XZ y la vista lateral derecha en el plano YZ abatido de modoque la lnea de referencia de los ejes de ambas vistas sea perpendicular al eje Z.

No es necesario obtener la proyeccin en el plano YZ del la vista lateral derecha completa,ya que slo necesitamos las alturas de los cilindros. El eje (e3) es paralelo a (Y) y su proyeccine3, paralela a Y, pasa por el punto doble E del eje Z. Las direcciones de abatimiento (paralelasa (A)A) de los centros (B), (C), (D), de las bases cortan a e3 en B3, C3, D3, que determinandichas alturas.

Ilustracin 20

252

Las paralelas al eje X trazadas desde B3, C3, D3 cortan a la proyeccin directa del eje delos cilindros en los centros de las circunferencias de las bases. Dibujadas stas con el radio

del alzado se trazan por sus centros perpendiculares a Y, que las cortan en los puntos detangencia de las generatrices del contorno aparente que, adems de facilitar su dibujo, son

frontera entre partes vistas y ocultas.

3.7. Seccin por planos de piezas industrialesSea un poliedro y un plano oblicuo representados en caballera [Ilustracin 22].

Los planos y que contienen las caras paralelas al plano YZ son proyectantes en XY porlo que sus trazas horizontales 1 y 1 coinciden con las proyecciones horizontales de dichascaras, y las verticales segundas 2 y 2 son paralelas a Z. Las intersecciones de y con determinan la seccin en las caras que contienen.

La recta i de interseccin de y est determinada por sus trazas Hi, Vi que son los puntosde interseccin de 1 con 1 y de 2 con 2. Su proyeccin directa i tiene en comn con lade la cara del poliedro paralela al plano YZ, ms prxima a l, las aristas BC y DE de laseccin. La recta j de interseccin de y determina anlogamente la arista Hj FG de laseccin.

Z

Y

Xu

u y

O

(A)

A

(Y)

(e )3

e

e3

E

B3

C3

D3

(B) (C) (D)

Ilustracin 21

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

253

La cara superior es paralela al eje X, por lo que el plano que la contiene tiene su traza 2 tambin paralela a X, y la traza 3 coincidiendo con su proyeccin vertical tercera. Laproyeccin directa k de la recta de interseccin de y tiene en comn con la de la carasuperior los vrtices E, H de la seccin.

Por ltimo, la proyeccin directa de la base del poliedro tiene en comn con la de la traza

1 el vrtice K que completa la seccin.

3.8. Interseccin con rectas de piezas industrialesSea una pieza industrial y una recta oblicua r representadas en caballera mediante sus

proyecciones directa y vertical primera [Ilustracin 23].

Se traza un plano que contenga la recta y sea paralelo al eje del cilindro. Su traza 2 coincidecon r2 y 3 es paralela a Y. Los puntos de corte B2, C2, D2, F2 de 2 con la proyeccin verticalprimera de las bases de los cilindros, son tambin proyeccin vertical primera de las generatrices

de la seccin. Dibujadas stas paralelas a Y, cortan a las circunferencias que son proyeccindirecta de las bases en los extremos de las cuerdas que completan la seccin.

Ilustracin 22

254

Ilustracin 23

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

R e c u e r d a

El abatimiento de los ejes coordenados sobre el plano del cuadro permite obtener los ngulos

que forman con l y las escalas axonomtricas.

El abatimiento de los planos coordenados sobre el plano del cuadro permite obtener las verdaderas

magnitudes de las figuras planas situadas en ellos.

El abatimiento de un plano coordenado efectuado de modo que las figuras contenidas en l

mantengan su orientacin, y su traslacin paralela a la direccin de afinidad, facilitan la

representacin axonomtrica de dichas figuras.

El abatimiento del plano coordenado que contiene una circunferencia facilita la obtencin de las

medidas de sus dimetros conjugados, si estos se toman paralelos a dichos ejes.

El abatimiento y traslacin paralela del plano XY facilita la representacin de la proyeccin

axonomtrica horizontal de un objeto. El abatimiento del eje Z permite obtener las medidas delas alturas, necesarias para la obtencin de su perspectiva axonomtrica.

El abatimiento y traslacin paralela de dos planos coordenados sobre los que se dibujan las

vistas del objeto, permite obtener su perspectiva axonomtrica haciendo concurrir las direcciones

de abatimiento de las proyecciones de cada punto.

En caballera, el abatimiento del eje Y sobre el plano del cuadro permite obtener el ngulo quela direccin de proyeccin forma con l.

En caballera, el abatimiento del plano XY o YZ sobre el plano del cuadro, alrededor del eje Xo Z, permite obtener las verdaderas magnitudes de las figuras planas situadas en l.

255

1. Obtener la verdadera magnitud del segmentoM N representado en axonomtrico.

2. Hallar los puntos de interseccin de la recta rcon el cilindro representado en axonomtrico,

cuya base c est contenida en el plano XY.

Puedes acceder pulsando aqu al recurso interactivo Piezas. 180 diseos para dibujo tcnico de Antonio L. Martn Gonzlez.

A c t i v i d a d e sA c t i v i d a d e s

256

SISTEMA AXONOMTRICO

9UNIDAD

3. Dibujar la seccin porel plano del poliedrorepresentado en axo-

nomtrico, cuya base

ABCD est contenidaen el plano XY.

4. Dibujar la perspectivaaxonomtrica de la pie-

za representada por el

mtodo del primer die-

dro, conocidos los ejes

axonomtricos.

257

5. Dibujar la perspectiva caballera de lapieza representada por el mtodo del

primer diedro, conocidos los ejes

axonomtricos y la unidad reducida.

6. Dibujar la perspectiva isomtrica de lapieza representada por el mtodo del

primer diedro.

SG1: -SG2: -SG1: SG2: SG3: -SG3: SG4: -SG4: SG5: -SG5: -SG6: SG6: -GT1: Es el sistema axonomtrico ortogonal en el cual dos de los tres ngulos que formanlos ejes son iguales. Tiene, por tanto, dos coeficientes de reduccin iguales.GT1: -GT2: En el sistema axonomtrico se llama as a los segmentos en que se convierte la unidad de medida, dispuesta en la direccin de los ejes coordenados, al proyectarse en el plano del cuadro.GT2: -GT3: Es aquella afinidad en la que la direccin y el eje son perpendiculares.GT3: 180 piezas: Inicio: ndice: Siguiente: Anterior: Imprimir: Ampliar: Reducir: Buscar: