Unidad I - TRANSFORMADA z Y DE FOURIER … · Jesús Rubén Azor Montoya Análisis de Señales Doctorado en Ingeniería - Prácticos 1 Unidad I - TRANSFORMADA z Y DE FOURIER Contenido

Universidad de Mendoza Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya Análisis de Señales

Doctorado en Ingeniería - Prácticos 1

Unidad I - TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

Contenido Conceptual: En Matemática y Procesamiento de Señales, la Transformada z

(TZ) convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una

secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia

compleja.

El nombre de Transformada z procede del nombre de la variable del dominio, al igual

que se podría llamar "Transformada s" a la Transformada de Laplace. Un nombre más

adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada

en la serie de Laurent.

Utilidad del Concepto: La importancia del modelo de la Transformada z radica en que

permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes

constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. La transformada Z juega en el estudio de

los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas

analógicos.

Objetivos propuestos: a) Aprender a manejar la Transformada Z como herramienta en

el estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, b) Crear en el alumno un

criterio de selección que le permita aplicar los distintos métodos de cálculo.

Enunciados:

1.1 Hallar la transformada z de estas señales (incluyendo la Región de Convergencia,

ROC):

a) x =(: : : ; 0; 5; 3;¡2; 0; 4;¡3; 0; : : : ;) b) x[t] = 3 [t] + [t - 2] + [t + 2]

c) x[t] = u[t] - u[t - 10] d) x[t] = 2t u[t] + 3 (1/2)t u[t]

e) x[t] = cos(0t) u[t] f ) x[t] =(1/2)t u[-t]

g) x[t] = (3t u[-t -1 ] +(1/2)t u[t + 2] Solución:

a) X(z) = 5z 2 + 3z - 2 + 4z - 2 – 3 z - 2; 0 < |z| < inf b) X(z) = 3 + z - 2 + z 2 ; 0 < |z| < 1 c) X(z) = (1 - z - 10)/(1- z - 1) ; |z| > 0

d) X(z) = (4 – (13/2) z - 1)/[(1 - 2 z - 1) (1 – 0.5 z - 1)] ; |z| > 2



e) X(z) = [1 - (cos 0) z - 1]/[1 - 2 (cos 0) z -

1 + z - 2] ; |z| > 1

f ) X(z) = 1 / (1 – 3 z) ; |z| < 1/3

1-2 Cuál es la región de convergencia de la transformada Z para estas señales?

1-3 Usar la transformada Z para hallar la convolución de estas señales:

1-4 Hallar la antitransformada de

1-5 Hallar la transformada inversa en los siguientes casos:



Contenido Conceptual: En Matemática y Procesamiento de Señales, la Transformada z

(TZ) convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una

secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia

compleja.

El nombre de Transformada z procede del nombre de la variable del dominio, al igual

que se podría llamar "Transformada s" a la Transformada de Laplace. Un nombre más

adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada

en la serie de Laurent.

Utilidad del Concepto: La importancia del modelo de la Transformada z radica en que

permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes

constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. La transformada Z juega en el estudio de

los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas

analógicos.

Objetivos propuestos: a) Aprender a manejar la Transformada Z como herramienta en

el estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, b) Crear en el alumno un

criterio de selección que le permita aplicar los distintos métodos de cálculo.

Enunciado:

Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por

casos demás02

7cos1

)(

t

t

tf

SOLUCIÓN

dtedtetfF titti

2

7cos1)()(



1-6 Calcular la transformada de Fourier de la función:

ittf

4

5)(

SOLUCIÓN

)(1104

5 4 ueit


f(t) = 6[u(t – 3) – u(t – 7)

SOLUCIÓN

Enunciado:

Calcular la transformada de Fourier de la función:

con a=1

Respuesta


f(t) = t + 1 (-1< t <0)

f(t) = -t + 1 (0 < t <1)

0 en otro caso

Apéndice: Tabla de Transformadas de Fourier

x(t) X()

t( )

2

u(t)

1

1j



1

2 t( )

1

j 2 t

u

rectt

sinc

2

W

sinc W t( )

rect

2 W

trit

sinc2

2

W

sinc W t( )2

tri

2 W

ej0 t

2 0

t ej

cos 0 t 0 0 sin 0 t j 0 0 u t( ) cos 0 t

2 0 0

j

0 2

2

u t( ) sin 0 t j

2 0 0

j

0 2

2

u t( ) e t

1

j

u t( ) t e t

1

j 2

u t( ) t2 e

t

2

j 3

u t( ) t3 e

t

6

j 4

Unidad II - Transformada Discreta de Fourier

2-1 Utilizar la DFT para calcular la Transformada de Fourier de:

casos demás02

7cos1

)(

t

t

tf

Determinar la frecuencia de la señal. Utilizar N=1024 muestras de la misma y utilizar

los tiempos de muestreos Ts= 0.01 , 0.1 y 1. Analizar los resultados.




f(t) = sinc(t)

2-3 Probar la propiedad de Simetría: F( )t <=== ..2 f( )

Dado

2-4 Probar la propiedad de Escalado: f( ).a t <=== .1

aF

a

Con un ejemplo.

2-5 Verificar la propiedad de Modulación:

.f( )t cos( ).0 t <=== .1

2( )F( ) 0 F( ) 0

Para f(t)=e-|t|

y w0=2..5 (f0=5 Hz)

2-6 Verificar la fórmula de Parseval para las funciones

f1(t)=e-|t|

y f2(t)=t)

2-7 Hallar mediante el algoritmo FFT la Transformada de Fourier de

f(t) = (t).t2.e

-.t

con

2-8 Aplicar el algoritmo DFT al diente de sierra:

Comparar los resultados con el desarrollo en serie.

Unidad IV – FILTRADO ADAPTIVO

Contenido Conceptual: El desarrollo de los Filtros Adaptivos ha alcanzado en la

actualidad un desarrollo tal que significa una parte muy importante en el campo del

Procesamiento de Señales.



Se define al filtro adaptivo como un dispositivo que intenta modelizar la relación entre

señales en tiempo real en forma iterativa.

Se diferencia de los filtros digitales comunes tipo IIR o FIR, en que éstos tienen

coeficientes invariantes en el tiempo, mientras que un adaptivo puede cambiar su forma

de comportarse, es decir pueden cambiar sus coeficientes de acuerdo con un algoritmo

del mismo tipo. De hecho no se saben los coeficientes del filtro cuando se diseña, estos

coeficientes son calculados cuando el filtro se implementa y se reajustan

automáticamente en cada iteración mientras dura su fase de aprendizaje.

El hecho de que estos filtros no sean invariantes temporales y que tampoco sean lineales

hace que su estudio sea más complejo que el de un filtro digital, ya que no se pueden

aplicar, salvo en un par de excepciones, las transformaciones en frecuencia, dominio Z,

etc.

Utilidad del Concepto: Este tipo de filtros permiten actuar en un ambiente de

comportamientos estadísticos desconocidos y su uso ofrece una solución eficaz a dicho

problema, ya que provee una mejora significativa en su comportamiento con respecto al

uso de filtros de coeficientes fijos, diseñados por los métodos convencionales.

Aplicaciones típicas son la cancelación de ruido, identificación de sistema y muchas

más.

Objetivos propuestos: Permitir al alumno a) Comprender la teoría matemática acerca

de este tipo de dispositivos, b) Lograr la verificación, a través de simulaciones, de los

conceptos acerca de los Filtros adaptivos, c) Crear en él un criterio superador del mundo

acotado en el que ha desarrollado su aprendizaje científico, d) Utilizar algunas de las

herramientas computacionales representadas por una gran variedad de algoritmos

recursivos.

4-1 Probar que las siguientes relaciones son ciertas para cualesquier matriz A, B, C.

a) A B B A

b) A B C( ) A B B C

c) A B( )T

BT

AT

d) A B( )1

B1

A1

e) Si A es simétrica entonces A-1 es también simétrica.

4-2 Arrancando de la ecuación:

MSE E k 2

E dk 2 W

TR W 2 P

T W

hallar:

W

d

d2 R W 2 P

4-3 Sea en el siguiente combinador lineal adaptivo de la figura con N=10. Entonces:



a) Encontrar el vector peso óptimo

b) Escribir una expresión para yk usando la respuesta a la parte a)

c) Usar el resultado de la parte b) y xk de la figura, probar que xk = dk .

4-4 En la figura anterior, qué valores peso producirán un valor raiz-media-cuadrática

(rms) de k sea igual a 2?

a) Con N=5 ?

b) Con N=10 ?

La expresión general de la raiz media cuadrática del error esta dada por:

0.5 w02

w12

w0 w1 cos2

N

2 w1 sin2

N

2

que representada en el espacio es un paraboloide elíptico. Los cortes con planos =cte

de este paraboliode son elipses.

4-5 Sobre la superficie de performance de la figura anterior, con N=8, cuál es el vector

gradiente cuando w1=0 y el valor medio cuadrático de k es:

a) 2.0

b) 4.0

Porqué es más pronunciado el gradiente en el último caso?

4-6 Considérese el sistema mostrado en la siguiente figura, el cual es un combinador

lineal adaptivo con un único peso.Supóngase que la llave S se abre y E[xk2]=1,

E[xk.xk-1]=0.5, E[dk2]=4, E[dk.xk]= -1, E[dk.xk-1]=1. Derivar una expresión para la

función performance. Hacer un gráfico de la función performance.



4-7 Repetir el ejercicio anterior con la llave S cerrada.

4-8 Cuál es el valor óptimo para el ejercicio 6)? Cuál es el valor del mínimo error

cuadrático medio?

4-9 En el diagrama del combinador lineal adaptivo del ejercicio 6) xk y dk estám dados

por

xk sin 2 k

N

dk 2 cos 2 k

N

y sea N=5. Con la llave S abierta:

a) Encontrar y graficar una expresión para .

b) Encontrar el valor óptimo de w1

c) Encontrar el valor mínimo de .

4-10 Repetir el ejercicio anterior con la llave S cerrada.

4-11 El estudiante deberá tener alguna experiencia con funciones correlación tales como

aquellas derivadas en las siguientes ecuaciones:

E xk xk n 1

N1

N

k

sin2 k

N

sin2 k n( )

N

1

2cos

2 n

N

E dk xk n 1

N1

N

k

2 cos2 k

N

sin2 k n( )

N

sin2 n

N

Considérese las siguientes formas de onda continuas y periódicas:



Supóngase que cada forma de onda es muestreada en t=0, T, 2T;... tal que hay

exactamente N muestras por ciclo en los primeros dos casos y N/2 muestras por ciclo en

el último caso. Si una muestra es tomada donde f(t) es discontinua, déle el valor a la

derecha de la discontinuidad:

a) Encontrar E[uk.uk-n]

b) Encontrar E[yk.yk-n]

c) Encontrar E[uk.xk-n]

d) Encontrar E[uk.yk-n]

e) Encontrar E[xk.yk-n]

4-12 Usando un ejemplo del ejercicio 11, ilustrar que en general, la autocorrelación es

una función par de la variable desplazamiento n, pero la correlación cruzada no lo es.

4-13

a) Probar que la ecuación:

VT

R V k

representa una elipse cuando hay dos pesos.

b) Qué tipo de curva es la representada cuando hay un sólo peso?

4-14 Escribir la ecuación característica de R en términos de una polinomial si:

a)



Ra

b

b

a

b)

R

a

b

c

b

a

b

c

b

a

4-15 Encontrar los eigenvalores de:

a)

R3

2

2

3

b)

R13

1

1

3

4-16 Escribir la ecuación característica de R en términos de una polinomial si:

a)

Ra

b

b

c

b)

R

a

b

c

b

d

e

c

e

f

4-17 Encontrar los eigenvalores de:

a)

R2

1

1

3

b)

R4

1

1

3

c)

R

4

3

0

3

6

2

0

2

4



d)

R

4

2

0

2

4

3

0

3

6

4-18 Encontrar los eigenvectores de las matrices anteriores:

4-19 Demostrar que los eigenvectores dados en las matrices anteriores son

ortonormales.

D0.851

0.526

0.526

0.851

D0

D1

0

E

0.828

0.24

0.506

0.489

0.751

0.444

0.274

0.615

0.739

E0

E1

1.2 105

E2

E1

2.37 104

4-20 Considérese un combinador lineal adaptivo en la forma

con dos pesos (en este caso L=1). Las señales x y d tienen las siguientes propiedades:

E[x0k2]=2, E[x1k

2]=3, E[x0k.x1k]=1,E[x0k.dk]=6, E[x1k.dk]=4, E[dk2]=36.

a) Escribir una expresión para el error medio cuadrático.

b) Cuál es el vector óptimo W'?

c) Cuál es el error mínimo cuadrado?

d) Encontrar los eigenvalores y eigenvectores.

e) Hacer un gráfico de la superficie de performance

4-21 Una superficie de performance de peso único tiene los parámetros =0.1, min=0

y w'=2. Escribir una expresión para la superficie de performance.



4-22 En el ejercicio anterior, si el intento inicial en el peso óptimo es w0=0 y el

parámetro de convergencia es =4, cuáles son las primeras cinco elecciones de w

usando el algoritmo de búsqueda del gradiente simple?

4-23 Hacer el ejercicio anterior con =8

4-24 Para la superficie de performance univariable dada por:

w( ) 0.4 w2

4 w 11

qué rango de valores del parámetro de convergencia proveerá una curva de ajuste de

peso sobreamortiguada?

4-25 Escribir una expresión y graficar la curva de aprendizaje para la superficie de

performance en el ejercicio anterior, dado un valor inicial w0=0 y un parámetro de

convergencia =1.5.

4-26 Derivar una forma discreta del algoritmo de Newton similar a:

wk 1 wk

' wk ' ' wk

k 0 1

pero con ecuaciones diferencia en vez de derivadas.

4-27 Derivar una fórmula de ajuste de peso para aplicar el método de Newton en la

siguiente figura:

w( ) 1 1 w2

4 3 w( )2

1 1

36

w 2 1.99 2

2 1 0 1 2

5

10

w( )

w

4-28 Escribir un algoritmo en la forma

Wk 1 Wk1

2R

1



específicamente para la superficie de performance:

R2

1

1

2

P7

8

E dk 2 42

w0 w1( ) 2 w02

2 w12

2 w0 w1 14 w0 16 w1 42

4-29 Usando el método modificado de Newton con parámetro de convergencia =0.1, cuáles son los cinco primeros vectores peso comenzando desde w00=5 y w10 =2, cuáles

son los valores de w020 y w120 ?

4-30 Usando el método del Steepest Descent con =0.1, cuáles son los cinvo primeros

valores del vector peso partiendo de w00=5 y w10 =2, cuáles son los valores de w020 y

w120 ?

4-31 Dada la superficie de error en la ecuación:

w0 w1( ) 2 w02

2 w12

2 w0 w1 14 w0 16 w1 42

graficar la curva de aprendizaje para el método de Newton cuando los pesos iniciales

son nulos y =0.05.

4-32 Repetir el proceso del ejercicio anterior pero para el método del Steepest Descent.

4-33 Derivar la ecuación:

k min

0

L

i

v0'i n 1 2 2 k

partiendo de:

k min V'0T

I 2 2 k V'0

realizando los productos matriciales elemento por elemento.

Unidad V – ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA

Contenido Conceptual: Un tipo especial de la transformada de Fourier, la

transformada wavelet representa una señal en términos de versiones trasladadas y

dilatadas de una onda finita (denominada wavelet madre).

http://www.um.edu.ar/math/mariana/7-wavelet.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier



La teoría de los wavelets está relacionada con campos muy variados. Todas las

transformaciones de de este tipo pueden ser consideradas formas de representación en

tiempo-frecuencia y, por tanto, están relacionadas con el análisis armónico. La

transformada wavelet es un caso particular de filtro de respuesta finita al impulso.

Los wavelets, continuos o discretos, como cualquier función L2, responden al principio

de incertidumbre de Hilbert (conocido por los físicos como principio de incertidumbre

de Heisenberg).

Esta Transformada es eficiente para el análisis local de señales no estacionarias y de

rápida transitoriedad y, al igual que la Transformada de Fourier con Ventana, mapea la

señal en una representación de tiempo-escala. El aspecto temporal de las señales es

preservado. La diferencia está en que la Transformada Wavelet provee análisis de

multiresolución con ventanas dilatadas.

El análisis de las frecuencias de mayor rango se realiza usando ventanas angostas y el

análisis de las frecuencias de menor rango se hace utilizando ventanas anchas

Utilidad del Concepto: Los campos de aplicación de las TFR (Representación tiempo-

frecuencia) son cada vez más amplios, pues se ha comprobado que mejoran los

resultados de los métodos espectrales y temporales clásicos al ser capaces de reflejar

cambios en frecuencia con respecto al tiempo (transitorios espectrales) cosa que en un

análisis espectral clásico no se pueden detectar, por lo que la clasificación o detección

de determinadas propiedades de la señal analizada se mejora. Análogamente, los

métodos basados en características temporales no consiguen detectar características

esenciales de la señal que son las que muestran con certeza su naturaleza. Por ello, el

uso combinadote ambos dominios resulta en el aprovechamiento de características útiles

presentes en ambos dominios para así realizar diagnósticos más fiables.

Inicialmente se aplicó en la detección por radar y reconocimiento del habla, pero hoy en

día se aplica en casi todos los campos del tratamiento digital de señales.

Objetivos propuestos: Permitir al alumno a) Comprender la teoría matemática acerca

de este tipo de transformadas, b) Lograr la verificación, a través de simulaciones, de los

conceptos acerca de los wavelets, c) Crear en él un criterio superador del mundo

acotado en el que ha desarrollado su aprendizaje científico, d) Utilizar algunas de las

herramientas computacionales representadas por una gran variedad de algoritmos

destinados a estas operaciones.

Enunciados:

5-1. Analizar la señal no estacionaria cuya expresión matemática es:

x(t)=if[t<0.25.T,cos(2..f1.t),cos(2..f2.t)]

En esta señal hay dos componentes de frecuencia en tiempos diferentes. En el intervalo

0 a 0.25.T es una simple cosenoide de frecuencia f1 (50 Hz), y en el intervalo restante

una cosenoide de frecuencia f2 (200 Hz).

Realizar, a través de Mathcad, todas las etapas de un análisis tiempo-frecuencia de la

señal aplicando el concepto de la Transformada ventaneada de Fourier (STFT).

La señal en el dominio del tiempo x(t) si bien es continua, se discretizará para poder

operar sobre ella con una computadora digital.

La ventana a utilizar será una gaussiana como la siguiente:

t a( ) exp at ( )

2

2

=

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nico

http://es.wikipedia.org/wiki/FIR

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre


http://es.wikipedia.org/wiki/Hilbert


http://es.wikipedia.org/wiki/Heisenberg



donde es el desplazamiento temporal y a el coeficiente de expansión.

Utilizar N=1024 muestras de la función y utilizar un ancho de ventana de Nv=64.

Aplicando la definición de wavelet, como descomposiciones sucesivas a través de

filtros paso-bajo y paso alto, hallar la transformación de primer nivel del siguiente

vector

5-2. Qué diferencia hay entre el resultado que arroja la simple aplicación de la

Transformada de Fourier y la de la STFT?

5-3. Repetir el ejercicio 5.1 para distintos anchos de ventana y relacionar los resultados

con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

5-4. Dado el wavelet madre:

t( ) t2

1 expt2

2

Llamado Sombrero Mejicano,

a) demostrar que el mismo es la derivada segunda de la función gaussiana exp(-t2/2) .

b) Verificar que el mismo tiene energía finita.

c) Hallar su Transformada de Fourier, , y verificar que cumple con la condición de

admisibilidad, esto es:

d) Verificar que el valor promedio del wavelet en el tiempo es nulo y por lo tanto debe

ser oscilatorio.

5-5. Considerar los distintos miembros que se derivan del wavelet madre Sombrero

Mejicano, dados por la expresión:

t a b( )t b

a

2

1

exp

t b

a

2

2

Donde a es la escala y b es la ubicación.

a) Representar la función para distintos valores de a y b y deducir que efectos produce

la variación de cada uno de estos parámetros.

b) Hallar la Transformada de Fourier de (t,a,b) para distintos valores de a y concluir

cuál es el efecto en la multiplicación con la señal f(t) a analiza.

5-6. Generar con Matlab un vector a partir de una función igual a la del Ejercicio 5-1 de

1024 elementos.

a) Utilizando la sentencia de Matlab COEFS = CWT(S,SCALES,'wname','plot') que

calcula y grafica los coeficientes wavelets de la CWT del vector real S, con SCALES

siendo un intervalo de escalas (números positivos), usando el wavelet de nombre

'wname', obtener la Transformada Wavelet del mismo a través del Sombrero Mejicano

(wname=’mexh’).



b) Analizar el gráfico bi-dimensional que resulta, identificando las frecuencias (desde

la escala de resoluciones) y los tiempos de ocurrencias (desde la escala de tiempos).

c) Utilizando la sentencia surf(abs(COEFS)) analizar el comportamiento en la

tridimensión.

5-7. Dados el filtro FIR promediante (paso-bajo) de coeficientes [1 1] y el diferencia

(paso-alto) de coeficientes [1 -1], hallar sus correspondientes funciones de transferencia

H(z) y graficar las H() que se derivan al reemplazar z=exp(j) .

5-8. Dado el siguiente vector de datos:

V=[1 5 9 3 5 4 3 -1]

a) Pasarlo por el filtro FIR promediante (paso-bajo) de coeficientes [1 1] y

submuestrear el resultado.

b) Realizar la misma operación con el diferencia (paso-alto) de coeficientes [1 -1]

c) Reiterar el proceso con la salida del paso b) como nuevo vector B

d) Verificar que el resultado es igual (excepto por un factor constante) que la

Transformada de Haar de nivel J=3 obtenida con la sentencia Matlab

wavedec(V,3,'haar')*sqrt(2)/2

5-9. Reconstruir el conjunto de datos del ejercicio 5.8 utilizando las funciones wavelet y

Escalante dadas por

Función wavelet de Haar:

Función Escalante de Haar

Con los correspondientes desplazamientos y escalas.

5-10. Dada una senoide, mediante el conjunto de datos:

i 0 1023 Xi sin2 i

1024

Contaminada con ruido blanco Gaussiano con = 0 y = 0.1

a) Hallar la WT, de nivel 5 utilizando el wavelet “Daubechies-2” del vector utilizando la

sentencia Matlab [C L] = WAVEDEC(S,5,'db2');



b) Eliminar todos los elementos del vector C cuyo valor absoluto sea menor que =0.8

(también llamado umbral).

c) Recomponer la señal desde el vector “tratado” con las indicaciones de los pasos

anteriores. Para ello usar la sentencia de Matlab X = WAVEREC(C,L,'db4');

d) Sacar conclusiones acerca del resultado.

5-11. Repetir la experiencia del ejercicio 5.10 con distintos valores de umbral y niveles

de descomposición, sacando todas las conclusiones posibles.

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