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Unidad II. Cinemática
Contenido
• Definiciones
• Diagramas de movimiento
• Marco de referencia
• Magnitudes de la cinemática
• Clasificación del movimiento
• Movimiento rectilíneo uniforme
• Movimiento uniformemente variado
• Movimiento en caída libre
• Movimiento de proyectil
• Movimiento circular uniforme
• Movimiento relativo
Definiciones
• Mecánica: estudia el movimiento de los cuerpos. Se divide en dos ramas: cinemática y dinámica.
• Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos.
• Dinámica: estudia las causas del movimiento de los cuerpos.
• Partícula: cuerpo con masa de dimensiones despreciables. En una problema determinado del estudio del movimiento, las dimensiones (tamaño y forma del cuerpo) de la partícula no son consideradas. Es equivalente a considerar un cuerpo como si su masa estuviese concentrada en un punto.
• Marco de referencia: consiste en un sistema de coordenadas más un reloj para medir el tiempo.
• Trayectoria: camino que recorre la partícula
• Movimiento: es el cambio de la posición (donde está) de una partícula en el tiempo.
Diagramas de movimiento
Cuatro cuadros de un video (30 cuadros por segundo), en una posición fija, de un carro que se acerca a un árbol.
Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed. ,
Diagrama de movimiento: es un diagrama que muestra la posición de una partícula en el tiempo.
A
Transcurrió el mismo tiempo entre una imagen y la próxima
Diagramas de movimiento
• Analice los siguientes diagramas de movimiento (el número 0, 1, 2,3, … indica la secuencia en que se tomaron los cuadros en el video): ¿Cuál carro se mueve más rápido (cada imagen a igual intervalo)?
Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed.
Diagramas de movimiento
Partícula en reposo
Partícula imágenes igualmente espaciadas: recorre distancias iguales en tiempos iguales
Partícula que incrementa su distancia entre imágenes: aumenta la rapidez
Partícula que reduce su rapidez
Partícula que reduce rapidez al subir y la aumenta al bajar.
Fuente: Randall D., Knight. Physics for scientists and engineers. 2nd. Ed. ,
Marco de referencia
• Posición: dónde está la partícula. Utilizamos un sistema de coordenadas (x,y), por ejemplo, que seleccionamos, con un origen determinado
• Tiempo: Cuándo está la partícula en esa posición. Utilizamos un reloj. Podemos asignar t=0. segundos a una posición determinada. Los tiempos se miden relativo a un origen.
Marco de referencia
• Marco de referencia: es el objeto en el cual colocamos nuestro sistema de coordenadas, y medimos el tiempo.
El movimiento es relativo
• El movimiento siempre se describe respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, en cierto marco de referencia el cuerpo se encuentra en reposo, mientras que en otro marco, se mueve de cierta manera.
Marco de referencia 1
Marco de referencia 2
Marco de referencia
Lanzamiento de una pelota de baloncesto
Magnitudes de la cinemática
• Cantidades escalares• Tiempo
• Distancia
• Rapidez media
• Rapidez instantánea o rapidez
• Cantidades vectoriales• Posición
• Desplazamiento
• Velocidad media
• Velocidad instantánea o velocidad
• Aceleración media
• Aceleración instantánea o aceleración
Variables cinemáticasVariable Definición Tipo de
cantidad
Dimensiones
Distancia, s Longitud de la trayectoria
recorrida
Escalar L
Posición, r Distancia respecto al origen
del sistema de referencia
Vector L
Desplazamiento,
Δr
Cambio de posición (posición
final menos posición inicial)
Vector L
Rapidez, v Distancia recorrida en el
tiempo transcurrido
Escalar L/T
Velocidad, v Desplazamiento en el tiempo
transcurrido
Vector L/T
Aceleración, a Cambio de velocidad en el
tiempo
Vector L/T2
Tiempo, t Duración del movimiento Escalar T
L=longitud T= tiempo
Magnitudes de la cinemática
• Tiempo• Notación: t
• Definición: el tiempo es la duración entre dos eventos medidos en el movimiento de una partícula.
• Cantidad: escalar
• Unidad SI: segundo (s)
Magnitudes de la cinemática
• Distancia• Notación: s (espacio del latín spatium) , d
• Definición: Distancia es la longitud de la trayectoria que recorre la partícula.
• Cantidad: escalar
• Unidad SI: metro (m)
Magnitudes de la cinemática
• Rapidez media o promedio• Notación: 𝑣𝑚
• Definición: La rapidez media es la distancia recorrida a l largo de cualquier trayectoria dividida entre el tiempo que duró el recorrido.
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑣𝑚 =∆𝑠
∆𝑡=
𝑠2−𝑠1
𝑡2−𝑡1• Cantidad escalar• Unidad SI: m/s• Gráficamente: es la pendiente de la secante del gráfico distancia-tiempo
[para cualquier trayectoria]
Magnitudes de la cinemática
• Rapidez instantánea o rapidez• Notación: v• Definición. La rapidez instantánea o rapidez es el valor
límite de la rapidez media determinado cuando el intervalo en el que se hace el promedio (Δt) tiende a cero.
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡• Cantidad escalar• Unidad SI: m/s• Gráficamente: es la pendiente de la recta tangente en un
punto de la curva del gráfico distancia-tiempo
Notación
• 𝑡𝑓 = 𝑡2 = 𝑡 tiempo final
• 𝑡𝑖 = 𝑡1 = 𝑡0 tiempo inicial
• 𝑣𝑥 el subíndice indica el eje x respecto al cual se describe el movimiento
• 𝑣𝑦 el subíndice indica el eje y respecto al cual se describe
Magnitudes de la cinemática
• Posición• Notación: x (para una dimensión), 𝑟
• Definición: La posición es el vector con origen el sistema de coordenadas y punta donde está la partícula. En una dimensión, la posición es la coordenada de la partícula.
• Cantidad vectorial
• Unidad SI: m
x
y
0
𝒓
Trayectoria de la partícula
Posición en el tiempo
Gráfico posición- tiempo
La velocidad media entre los dos tiempos es la
pendiente de la línea recta que conecta ambos puntos.
La velocidad
media de 0 a 3 s
es positiva
La velocidad
media de 2 a 3 s
es negativa
Magnitudes de la cinemática
• Desplazamiento• Notación: ∆𝑥 (en una dimensión), ∆ 𝑟 (en dos o tres
dimensiones)
• Definición. El desplazamiento es el cambio de posición.𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
• Cantidad vectorial
• Unidad SI: m
x
y
0
𝒓𝟏
∆𝑥
∆𝑟
x0
∆𝑟𝑥2
𝑥1
Magnitudes de cinemática
• Velocidad media• Notación:𝑣𝑚
• Definición: la velocidad es el desplazamiento de la partícula dividido por el tiempo transcurrido.
𝑣𝑚 =∆𝑥
∆𝑡• Cantidad vectorial
• Unidad SI: m/s
• Gráficamente: es la pendiente de la recta secante del gráfico posición-tiempo.
Definiciones
• Velocidad instantánea o velocidad: es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.• Cantidad vectorial
• Notación:
• Unidades SI: m/sv
Gráficamente, es la pendiente de tangente a la trayectoria
0lim
t
rv
t
Definiciones
• Aceleración media: es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.• Cantidad vectorial
• Notación:
• Unidades SI: m/s2ma
m
va
t
En un gráfico velocidad-tiempo la aceleración
media es la pendiente de la recta secante
Definiciones
• Aceleración instantánea o aceleración: es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. • Cantidad vectorial
• Notación:
• Unidades SI: m/s2
a
0lim
t
va
t
En un gráfico velocidad-tiempo la aceleración es la pendiente
de la recta tangente
Recordar que
• Velocidad y aceleración al ser cantidades vectoriales pueden cambiar si varían en:• Magnitud
• Dirección
• Magnitud y dirección
Un vehículo se mueve a 80 km/h en una trayectoria curvilínea.
Un carrusel se mueve a 20 km/h en movimiento circular
Clasificación del movimiento
• Según su naturaleza• Movimiento de traslación: es el movimiento de una
partícula a lo largo de una trayectoria
• Movimiento de rotación: el cuerpo gira respecto a un eje.
• Movimiento de vibración: el cuerpo se mueve en todas las direcciones
El movimiento puede ser:
• Movimiento de traslación:
• Movimiento de rotación:
• Movimiento vibratorio:
Clasificación del movimiento
• Según las dimensiones• Movimiento en una dimensión o movimiento rectilíneo
• Movimiento en dos dimensiones o movimiento en el plano
• Movimiento en tres dimensiones o movimiento en el espacio
Clasificación del movimiento
• Según la trayectoria• Movimiento rectilíneo: trayectoria es una recta
• Movimiento curvilíneo: la trayectoria es una curva.• Movimiento circular: la trayectoria es un círculo
• Movimiento no circular: la trayectoria no es un circulo
Movimiento según la trayectoria
• Movimiento rectilíneo:
• Movimiento curvilíneo• Movimiento circular
Clasificación del movimiento
• Según la aceleración• Aceleración = cero (a=0) : Movimiento rectilíneo
uniforme (MRU)
• Aceleración = constante (magnitud y dirección constantes): Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
• La aceleración tiene la misma dirección que la velocidad
• Movimiento rectilíneo uniformemente retardado• La aceleración tiene dirección opuesta a la velocidad
• Aceleración = variable: Movimiento variado
Movimiento rectilíneo
x
t
x
t
x x
t t
v
t
v
t
v v
t t
t t t t
a a a a
MRU MRUV
Acelerado
MRUV
Retardado
Movimiento
Variado
Gráfico posición-tiempo
Gráfico velocidad-tiempo
Gráfico aceleración-tiempo
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
• Definición. Movimiento con velocidad constante (aceleración es nula) , el desplazamiento es directamente proporcional al tiempo
𝑣 =∆𝑥
∆𝑡= constante
• Gráficos (interpretación de áreas y pendientes)• Posición-tiempo
• Velocidad-tiempo
• Aceleración-tiempo
Gráficos de la cinemática e interpretación geométrica de pendiente y área debajo de la curva
Gráfica posición-tiempo Gráfica velocidad-tiempo Gráfica aceleración-tiempo
Posic
ión
Tiempo,
Pendiente=velocidad
Tiempo, Tiempo,
Velo
cid
ad
Acele
ració
n
Pendiente=Aceleración
Área=desplazamiento
0 00
MRU
Velocidades diferentes Velocidades iguales en posiciones diferentes
)(BMovil
)(AMovil
t
x
o
)(AMovil
)(BMovilP
t
x
o
Representación gráfica de un movimiento uniforme de velocidad ; a partir de una posición diferente de cero.
t
x
o
Movimiento con aceleración constante
• Si la aceleración es constante,
el gráfico es:
a
t
Por tanto, el gráfico
rapidez-tiempo es:
v
t
v
t
Analicemos el caso más general con velocidad inicial distinta de cero y aceleración constante
v
ttfto
vo
vf
Como ya vimos, el área
debajo de este gráfico es
igual a distancia recorrida
Podemos ver la figura
de dos formas:
a) Como un trapecio
b) Como un
rectángulo y un
triángulo
t avv
tt
vva
xxox
xox
t tllamemosy 0, t tomemos, 21
12
vxo
vx
t
vxo
t
t
axt
Analicemos el caso más general de movimiento rectilíneo uniformemente variado MRUV (a=constante)
v
tt2t1
vxo
vx
tavv xxox
a) Como trapecio:
b) Como rectángulo más triángulo:
tvv
x xxo )2
(
2
21
21 )(
tatvx
ttatvx
xxo
xxo
Ecuaciones del MRUVt avv xxox
tvv
x xxo )2
(
2
21 tatvx xxo
Hasta ahora tenemos que:
Busquemos una ecuación que no contenga a t, partiendo de las
dos primeras ecuaciones, despejando a t en la primera y
sustituyendo en la segunda:
x
xox
a
vvt
)(2
)(2
2
))(2
(
22
22
22
xavv
vvxa
a
vvx
a
vvvvx
xxox
xoxx
x
xox
x
xoxxxo
2
21 tatvxx xxoo
2
21 tatvxx xxoo
Ecuación
Ecuaciones del MRUV
t avv xxox
tvv
x xxo )2
(
2
21 tatvx xxo
)(222 xavv xxox
a vf vo t Δx
Por último, la velocidad media vm
2xox
m
vvv
vf
vo
t
vm
(a constante)
[sólo para aceleración constante]
Relación entre aceleración y velocidad
Caso 1. a≠0, v=0La velocidad puede ser cero aunque la aceleración
sea no nula. Por ejemplo, un cuerpo en reposo (v=0) se acelera.
Caso 2. a=0, v≠0Por ejemplo, un cuerpo se mueve con rapidez
constante en línea rectaCaso 3. Desaceleración¿Cómo sabemos que un cuerpo está desacelerando?
En primer lugar, NO necesariamente por el signo negativo de a
Relación entre aceleración y velocidad
Ocurre desaceleración cuando la dirección del vector aceleración es opuesta al vector velocidad. En casocontrario, se dice que acelera.
0
vi=15 m/s vf=5 m/s
2/2
05
/15/5
sm
ss
smsm
tt
vva
if
if
ti=0 s tf=5 s
a=-2 m/s2
Aceleración apunta a la izquierda
0
vf=-5 m/s vf=-15 m/s
2/2
05
)/15(/5
sm
ss
smsm
tt
vva
if
if
ti=0 stf=5 s
a=+2 m/s2
Aceleración apunta a la derecha
Movimiento rectilíneo retardado:
observe que la magnitud de la
velocidad disminuye
𝑣
𝑎
𝑣
𝑎
Movimiento rectilíneo
acelerado:
observe que la magnitude de la
velocidad aumenta
Caída libre• Movimiento bajo el efecto de la aceleración
de la gravedad= 9.8 m/s2
• Todos los cuerpos caen a la misma aceleración sin importar su masa, despreciando el efecto de la resistencia del aire.
• El valor de la g depende de la masa del cuerpo (Tierra, Luna, Sol, etc.) de la altitud, etc.
• El vector aceleración de la gravedad g apunta al centro de la tierra
Caída libre
• Las ecuaciones del movimiento de caída libre son idénticas al MRUV, sustiyendo
si se toma la dirección vertical negativa hacia abajo.
-
+
0
-g
gt vv yoy
tvv
yyyo)
2(
2
21 gttvy yo
)(222 ygvv yoy
y
x
𝑎𝑦 = − 𝑔
Movimiento de proyectiles
• Se compone de dos movimientos independientes:• Un movimiento horizontal: movimiento rectilíneo
uniforme (MRU)
• Un movimiento vertical: movimiento rectlíneouniformemente variado (MRUV) (caída libre)
El movimiento de proyectirl es un movimiento en dos dimensiones cerca de la superficie de la Tierra.
En el lanzamiento horizontal los movimientos horizontal y vertical son independientes
vx
vx
vx
vx
vy
vy
vy
vx
vx
vx
vxvy
vyvy
vy==0
• El movimiento de un proyectil o en el plano tiene una trayectoria parabólica. Alcanza la máxima altura cuando el ángulo es 45 grados.
Fuente: Giancoli vol. 1
Movimiento de proyectil
Ecuaciones del movimiento de proyectil
Fuente: Giancoli
Movimiento circular uniforme
O
θ
r
A
s
B
v
Posición angular θ: Angulo en radianes.
Desplazamiento angular Δθ
Variacíón en el ángulo, se mide en
radianes.
Desplazamiento lineal: s
Variación en la longitud de la circunferencia
recorrida. Se mide en metros.
Velocidad angular ω
Igual al desplazamiento angular entre intervalo
de tiempo. Se mide en radianes/segundo
Velocidad lineal o tangencial v
Igual al desplazamiento lineal entre el
intervalo de tiempo. Se mide en m/s
La partícula tiene una trayectoria
circular con rapidez constante,
La velocidad cambia de dirección en
cada punto del la circunferencia
Período y frecuencia
• Período T: es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa: , t= tiempo, n= número de vueltas o revoluciones o ciclos. Se mide en segundos
𝑇 =𝑡
𝑛• Frecuencia f : es el número de vueltas por unidad
de tiempo. Se mide en Hertz (Hz)=1/s=s-1
𝑓 =𝑛
𝑡
𝑓 =1
𝑇
Movimiento circular uniforme
rv
f
T
rfv
T
rv
t
t
sv
2
2
2
2
f= frecuencia
el número de vueltas, ciclos o
revoluciones por unidad de tiempo
Se mide en 1/s = Hertz Hz
T = período
tiempo que tarda en dar una vuelta,
revolución o ciclo completo
Se mide en s.
v= velocidad tangencial o lineal, m/s
ω= velocidad angular, rad/s
r= radio
π= 3.1415…
θ= desplazamiento angular, radián
s= desplazamiento lineal, m
Movimiento Circular Uniforme
1v
2v
O
θ
vvv 21
r
A
B
r=radio
O=centro
Θ=ángulo
V1=velocidad tangencial en A
V2= velocidad tangencial en B
s= el arco que subtiende la
cuerda AB
θ
1v
2v
12 vvv
Diagrama vectorial
Movimiento Circular Uniforme
r
AB
v
vv
12
r
v
t
AB
t
vv
12
Dividiendo entre Δt y rearreglando términos:
Si consideramos un ángulo muy pequeño,
Entonces la cuerda AB y el arco que subtiende
son prácticamente iguales. Por tanto, AB=Δs
r
vva
r
v
t
s
t
vv
12
r
vac
2
El triangulo OAB es semejante al triángulo del diagrama vectorial, Por tanto:
Aceleración centrípeta,apunta al centro
Movimiento circular uniforme
• Conclusiones:• La velocidad tangencial cambia de dirección pero no de
módulo.
• La aceleración resultante apunta al centro, se llama aceleración centrípeta.
• La aceleración centrípeta es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad e inversamente proporcional al radio
Velocidad relativa
Consideremos a un observador sentado en una estación de autobús.
Su marco de referencia es la Tierra considerada fija. Al pasar un autobús,
una persona dentro del autobús se mueve. Consideremos al autobús otro
marco referencial. La pregunta es cuánto es la velocidad de la persona que se
mueve en el autobús respecto al observador estacionario sentado en la
parada.
Observador
v
Tierra, T
Autobús, A
ΔxPT
ΔxAT
ΔxPA
PT = persona respecto a la Tierra
AT= autobús respecto a la Tierra
PA= persona respecto al autobús
Movimiento relativo
• Todo movimiento es relativo al marco de referencia
Velocidad relativa
ATPAPT
ATPAPT
vvv
xxx
miembros, ambost entre dividiendo
ATPAPT vvv
Para plantear correctamente la relación entre velocidades, es conveniente
Seguir las siguientes reglas (Giancoli, pp 66-67):
1. Identifique cada velocidad empleando dos subíndices. El primer subíndice
se refiere al objeto y el segundo, al marco de referencia respecto al cual
se indica la velocidad.
2. La suma vectorial se plantea de tal modo que el orden de los subíndices sea
Tal que los subíndices interiores adyacentes sean iguales.
Velocidad relativa
ATPAPT vvv
Subíndices internos
Obsérvese la correspondencia entre subíndices.