Unidad IV Cinematica

8/18/2019 Unidad IV Cinematica

1/33

UNIDAD IV

1. MOVIMIENTO RECTILINEO

En este capítulo, se considera solo el movimiento en una dimensión,

esto es: el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta.1.1. CONCEPTO DE CINEMÁTICA

Cinemática :Es el estudio del movimiento relativo de un cuerpo,independiente de las causas que lo originan.El movimiento es un fenómeno físico que se dene como todocambio de posición que experimentan los cuerpos en el espacio, conrespecto al tiempo y a un punto de referencia, variando la distanciade dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de referencia,describiendo una trayectoria.Traectoria: es la línea originada por las distintas posiciones que vaocupando un punto que se mueve, a medida que transcurre el tiempoDe!nici"n #e $art%c&la: el punto material es una idealiación de loscuerpos que existen en la naturalea y que llamamos punto material.Es un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables al compararlascon las otras dimensiones que!ntervienen en el movimiento.

1.'. CLA(I)ICACI*N + ELEMENTO( DEL MOVIMIENTOCla,i!caci"n #el movimiento"eg#n se mueva un punto o un sólido pueden distinguirse distintos

tipos de movimiento:a- (e/n la traectoria #el $&nto: $ectilíneo y curvilíneo0Movimiento rectil%neo: %a trayectoria que describe el punto es unalínea recta.0Movimiento c&rvil%neo: El punto describe una curva cambiando sudirección a medida que se desplaa. &asos particulares delmovimiento curvilíneo son la rotación describiendo un círculo en tornoa un punto jo, y las trayectorias elípticas y parabólicas.- (e/n la traectoria #el ,"li#o: 'raslación y rotación.0Tra,laci"n: 'odos los puntos del sólido describen trayectoriasiguales, no necesariamente rectas.

0Rotaci"n: 'odos los puntos del sólido describen trayectoriascirculares conc(ntricas.c- (e/n la #irecci"n #el movimiento: )lternativo y pendular.0Alternativo: "i la dirección del movimiento cambia, el movimientodescrito se denomina alternativo si es sobre una trayectoria rectilíneao pendular.0Pen#&lar: "i lo es sobre una trayectoria circular *un arco decircunferencia+.Elemento, #el movimiento0Ra$i#e2: alileo denió la rapide como la distancia recorrida porunidad de tiempo.


2/33

%a distancia es la longitud de una trayectoria seguida por unapartícula.0De,$la2amiento: El desplaamiento de una partícula se denecomo su cambio en posición en alg#n intervalo de tiempo. &onforme

la partícula se mueve desde una posición inicial xi a una posición nal Xf , su desplaamiento se conoce por:

"e usa la letra griega may#scula delta *-+ para denotar el cambio enuna cantidad0Veloci#a#: la velocidad es una cantidad vectorial, cuando seconocen tanto la rapide como la dirección de un objeto, estamosespecicando su velocidad.

0Aceleraci"n: odemos cambiar la velocidad de algo al modicar surapide, su dirección o ambas. El qu( tan r/pido cambia la velocidades lo que entendemos por aceleración:

Existe aceleración si hay:

1.3. VELOCIDAD MEDIA E IN(TANTÁNEA


3/33

Veloci#a# me#ia%a velocidad promedio 0med1x de una partícula se dene como eldesplaamiento -x de la partícula dividido entre el intervalo detiempo -t durante el que ocurre dicho desplaamiento.

E4em$lo"uponga que 2.3 s despu(s del arranque el frente del vehículo estaen el punto P2, a 24 m del origen, y que 5.3 s despu(s del arranqueesta en el punto P6, a 677 m del origen. El desplazamiento de lapartícula es un vector que apunta de P2 a P6. %a gura muestra que

este vector apunta a lo largo del eje x . %a componente x deldesplaamiento es simplemente el cambio en el valor de x , *677 m 124 m+ 8 69 m, que hubo en un lapso de *5.3 s1 2.3 s+ 8 ;.3 s.


4/33

Veloci#a# in,tantánea.%a velocidad instant/nea es el límite de la velocidad media conformeel intervalo de tiempo se acerca a cero= es igual a la tasa instant/neade cambio de posición con el tiempo. >samos el símbolo 0x, sin?med@ en el subíndice, para la velocidad instant/nea en el eje x:

E4em$lo

>n guepardo acecha 63 m al este del escondite de un observador*gura 6.Aa+. En el tiempo t 8 3, el guepardo ataca a un antílope yempiea a correr en línea recta.


5/33

Eval&ar: uestros resultados muestran que el guepardo aumentó surapide de t 8 3 *cuando estaba en reposo+ a t 8 2.3 s *0x 8 23 mCs+a t 8 6.3 s *0x 8 63 mCs+, lo cual es raonable: el guepardo recorriósólo 9 m durante el intervalo t 8 3 a t 8 2.3 s= sin embargo, recorrió29 m en el intervalo t 8 2.3 s a t 8 6.3 s.


6/33

1.5. ACELERACI*N MEDIA E IN(TANTÁNEA

Aceleraci"n me#ia.%a aceleración media Fmed1x de la partícula se dene como elcambio en velocidad -0x dividido por el intervalo de tiempo -tdurante el que ocurre el cambio:

Aceleraci"n in,tantánea.%a aceleración instant/nea es el límite de la aceleración mediaconforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje delc/lculo, la aceleración instant/nea es la tasa instant/nea de cambio

de la velocidad con el tiempo. )sí,


7/33

1.6. REPRE(ENTACI*N 7RÁ)ICA EN )UNCI*N DEL TIEMPO.

Otenci"n #e la veloci#a# en &na rá!ca 80t

En una gr/ca de posición en función del tiempo para movimiento rectilíneo,la velocidad instant/nea en cualquier punto es igual a la pendiente de latangente a la curva en ese punto.

"uponga que queremos conocer la velocidad de un auto en P1, conformeP6 se acerca a P2, el punto 6 en la graca x-t de las guras 6.7a y 6.7b seacerca al punto p2 y la velocidad media se calcula en intervalos -t cada vem/s cortos. En el límite ilustrado -t G 3 en la figura 6.7c.


8/33

%a siguiente gura muestra el movimiento de una particula en dosformas: como a+ una graca x 1t y como b+ un diagrama demovimiento que muestra la posicion de la particula en diversosinstantes, como cuadros de un lme o video del movimiento de lapartícula, junto con Hechas que representan la velocidad de lapartícula en cada instante.

Otenci"n #e la aceleraci"n en &na rá!ca V80t o &na rá!ca80t

En una gr/ca de velocidad en función del tiempo, la aceleracióninstant/nea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangentede la curva en ese punto.


9/33

'ambi(n podemos conocer la aceleración de un cuerpo a partir de unagr/ca de su posición contra tiempo.


10/33

>n movimiento rectilíneo uniforme es aqu(l cuya velocidad esconstante, por tanto, la aceleración es cero. %a posición x del móvil enel instante t lo podemos calcular:

o gr/camente, en la representación de v en función de t

Iabitualmente, el instante inicial t3 se toma como cero, por lo que lasecuaciones del movimiento uniforme resultan

En la gura vemos un coche que se desplaa en línea recta, en unasola dirección y recorriendo intervalos iguales en tiempos iguales.E4em$lo:>n vehículo parte de la posición 169,3 m de cierta esquina. )l cabo de73,33 s se encuentra en la posición 659,3 m. J&u/l ha sido su

velocidad si se sabe que se movió con velocidad constanteK(ol&ci"n

1.;. MOVIMIENTO RECTILNEO UNI)ORMEMENTE VARIADO.


11/33

El movimiento acelerado m/s sencillo es el rectilíneo con aceleraciónconstante. EnEste caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo.

&uando la aceleración Fx es constante, la aceleración media Fmed1xpara cualquierintervalo es Fx. Esto vuelve sencillo derivar las ecuaciones para laposición x y la velocidad 0x como funciones del tiempo. araencontrar una expresión para 0x primero sustituimos Fmed1x porFx dando la siguiente ecuación:

"ean ahora t2 8 3 y t6 cualquier instante posterior t. "imboliamoscon 03x la componente x de la velocidad en el instante inicial t 8 3= la


12/33

componente x de la velocidad en el instante posterior t es 0x.Entonces:

)hora deduciremos una ecuación para la posición x en función deltiempo cuando la aceleración es constante. ara ello, usamos dosexpresiones distintas para la velocidad media amed1 x en el intervalode t 8 3 a cualquier t posterior::

L el promedio ya que la acelracion es contante:

$eemplaamo la ecuacion 0x en la primera expresión 0medio1x:

or ultimo igualamos la anterior ecuacion con la segunda 0med1x:


13/33

&on frecuencia es #til tener una relación entre posición, velocidad yaceleración *&onstante+ que no incluya el tiempo. ara obtenerla,despejamos t en la ecuación de 0x:

"ustituimos la expresión resultante en la expresión de M ysimplicamos:

'ransferimos el t(rmino M3 al miembro iquierdo y multiplicamos laecuación por 6ax:

"implicando:

odemos obtener una relación m/s #til igualando dos expresiones

para vmed1x,, y multiplicando por t. )l hacerlo, obtenemos:

%as ecuaciones fundamentales para resolver problemas delmovimiento rectilíneo uniforme variado son:


14/33


15/33

1.n objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente

sólo bajo la inHuencia de la gravedad, sin importar su movimientoinicial. %os objetos que se lanan hacia arriba o abajo y los que seliberan desde el reposo est/n todos en caída libre una ve que seliberan. &ualquier objeto en caída libre experimenta una aceleracióndirigida hacia abajo, sin importar su movimiento inicial. na bola es lanada verticalmente hacia arriba con unavelocidad de 63 mCs de la parte alta de una torre que tiene una alturade 93 m. En su vuelta pasa roando la torre y nalmente toca latierra.a- JNu( tiempo 2 t transcurre a partir del instante en que la bola fuelanada hasta que pasa por el borde de la torreK JNu( velocidad v 2tiene en este tiempoK- JNu( tiempo total 6 t se requiere para que la bola llegue al pisoKJ&u/l es la velocidad 6 v , con la que toca el pisoKc- J&u/l es la m/xima altura sobre el suelo alcanada por la bolaK#- %os puntos 2 y 6 est/n a 29 y ;3 m, respectivamente, por debajodel techo de la torre. JNu( tiempo se requiere para que la bola viajede 2 a 6Ke- J"e desea que despu(s de pasar el borde, la bola alcance la tierraen ;s, Jcon qu( velocidad se debe lanar hacia arriba de la aoteaK


16/33


17/33

'. MOVIMIENTO EN EL PLANO

'.1. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACI*NCON(TANTE

En la sección anterior se investigó el movimiento unidimensional deuna partícula bajo aceleración constante. )hora considere elmovimiento bidimensional durante el cual la aceleración de unapartícula permanece constante tanto en magnitud como en dirección.El movimiento en dos dimensiones se puede representar como dosmovimientos independientes en cada una de las dos direccionesperpendiculares asociadas con los ejes x y y. Esto es: cualquier

inHuencia en la dirección y no afecta el movimiento en la dirección x yviceversa. ara el caso del movimiento rectilíneo *en una sola dimensión+ lanaturalea vectorial del desplaamiento, de la velocidad, y de la aceleraciónno es trascendente y simplemente se tiene en cuenta con solo agregar unsigno convencional, positivo o negativo, cuando estas se producen endirecciones opuestas. ero para el caso de movimientos en dos o tresdimensiones resulta crucial el uso de vectores a n de poder caracteriarlos.

'.'. VECTORE( PO(ICI*N> DE(PLA?AMIENTO> VELOCIDAD + ACELERACI*N

Vector $o,ici"n: &onsidere una partícula que est/ en el punto encierto instante. Elvector de posición de la partícula en ese instante es un vector que vadel origen del sistema de coordenadas al punto *ver gura+. %ascoordenadas cartesianas 8, y 2 de son las componentes x, y y de r .>sando los vectores unitarios podemos escribir:


18/33

Vectore, #e #e,$la2amiento veloci#a#:


19/33

) menudo es m/s sencillo calcular el vector de velocidad instant/neaempleando componentes.


20/33


21/33

%a gura siguiente muestra una partícula que se mueve contrayectoria curva en tres situaciones distintas: rapide constante,creciente y decreciente.

'.3. LAN?AMIENTO DE PRO+ECTILE(.Nuien haya observado una pelota de beisbol en movimiento observómovimiento de proyectil. %a bola se mueve en una trayectoria curva yregresa al suelo, el movimiento de proyectil de un objeto es simple deanaliar a partir de dos suposiciones:2+ la aceleración de caída libre es constante en el intervalo demovimiento y se dirige hacia abajo26+ el efecto de la resistencia del aire es despreciable

odemos analiar el movimiento de un proyectil como unacombinación de movimiento horiontal con velocidad constante ymovimiento vertical con aceleración constante.


22/33

%a gura muestra la trayectoria de un proyectil que parte de *o pasapor+ el origen en el tiempo t 8 3. %a posición, la velocidad, lascomponentes de velocidad y aceleración se muestran en una serie deinstantes equiespaciados. %a componente x de la aceleración es 3, así que 0 x es constante. %a componente y de la aceleración es constantepero no cero, así que 0 y cambia en cantidades iguales a intervalos detiempo Iguales, justo igual que si el proyectil fuera lanzado verticalmentecon la misma velocidad y inicial. En el punto m/s alto de la trayectoria,

V y =

3.odemos representar la velocidad inicial con su magnitud 03 *larapide inicial+ y su /ngulo Q3 con el eje Bx *como se nuestra en lagura siguiente+. En t(rminos de estas cantidades, las componentes03x y 03y de la velocidad inicial son


23/33

Alcance alt&ra má8ima #e &n $roectil.&onsidere que un proyectil es lanado desde el origen en ti 8 3 conuna componente 0yi positiva, como se muestra en la gura siguiente,y regresa al mismo nivel horiontal.


24/33


25/33

'.5. MOVIMIENTO CIRCULAR&uando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la direcciónde su velocidad&ambia. Esto implica que la partícula debe tener una componente deaceleración perpendicular a la trayectoria, incluso si la rapide es

constante *v(ase la gura+. En esta sección calcularemos laaceleración para el caso especial importante de movimiento en uncírculo.

'.6. MOVIMIENTO CIRCULAR UNI)ORME

&uando una partícula se mueve en un círculo con rapide constante,tiene un movimiento circular uniforme. >n automóvil que da vuelta auna curva de radio constante con rapide constante, un sat(lite enórbita circular y un patinador que describe un círculo con rapideconstante son ejemplos de este movimiento%a gura *a+ muestra una partícula que se mueve con rapideconstante en una trayectoria circular de radio $ con centro en D. %apartícula se mueve de 2 a 6 en untiempo -t. El cambio vectorial en la velocidad -0 durante este tiempose muestra en la gura *b+.


26/33

%os /ngulos rotulados -U en las figuras *a+ y *b+ son iguales porque v2es perpendicular a la línea D2 y v6 es perpendicular a la línea D6.or lo tanto, los tri/ngulos en las guras *a+ y *b+ son semejantes. %oscocientes de lados correspondientes de tri/ngulos semejantes soniguales, así que:

"in embargo, el límite de -sC-t es la rapide v2 en el punto 2.)dem/s, 2 puede ser

cualquier punto de la trayectoria, así que podemos omitir el subíndicey con v representar la rapide en cualquier punto. )sí:

)gregamos el subíndice ?rad@ para recordar que la dirección de laaceleración instant/nea siempre sigue un radio del círculo, hacia sucentro, a menudo a esta aceleración se la denomina como?aceleración centrípeta@. En conclusión, en el movimiento circular

uniforme, la magnitud ?a@ de la aceleración instant/nea es igual alcuadrado de la velocidad ?v@ dividido entre el radio ?$@ del círculo= sudirección es perpendicular a ?v@ y hacia adentro sobre el radio.


27/33

'.9. Movimiento circ&lar &ni@ormemente varia#o

En el movimiento circular no uniforme, la ecuación de la aceleracióncentrípeta nos sigue dando la componente radial de la aceleración a8 v6 C$, que siempre es perpendicular a la velocidad instant/nea ydirigida al centro del círculo. "in embargo, dado que la rapide ?v@tiene diferentes valores en diferentes puntos del movimiento, laaceleración radial no es constante. %a aceleración radial *centrípeta+es mayor donde la rapide es mayor.En el movimiento circular no uniforme tambi(n hay una componentede aceleración paralela a la velocidad instant/nea, la llamamos

?Ftan@ para destacar que es tangente al círculo. %a aceleracióntangencial es igual a la tasa de cambio de la rapide. Entonces:


28/33

'.;. MOVIMIENTO RELATIVO"in duda usted ha observado que un automóvil que avanalentamente parece moverse hacia atr/s cuando usted lo rebasa. Engeneral, si dos observadores miden la velocidad de un cuerpo,obtienen diferentes resultados si un observador se mueve en relación

con el otro. %a velocidad que un observador dado percibe es lavelocidad relativa a (l, o simplemente velocidad relativa.


29/33

Veloci#a# relativa en &na #imen,i"n>na mujer camina con una velocidad de 2.3 mCs por el pasillo de unvagón de ferrocarril que se mueve a ;.3 mCs *gura a+. JNu(velocidad tiene la mujerK Es una pregunta sencilla, pero no tiene unasola respuesta. ara un pasajero sentado en el tren, la mujer semueve a 2.3 mCs. ara un ciclista parado junto al tren, la mujer semueve a 2.3 mCs B ;.3 mCs 8 5.3 mCs. >n observador en otro tren queva en la dirección opuesta daría otra respuesta. na mujer camina dentro de un tren. b+ %a posición de la mujer*partícula + relativa al marco de referencia del ciclista y al marco dereferencia del tren.%lamemos ) al marco de referencia del ciclista *en reposo con respecto alsuelo+ y R al marco de referencia del tren en movimiento. En el movimientorectilíneo: 1%a posición de un punto relativa al marco de referencia ) *la posición de con respecto a )+ est/ dada por ?M C) ?1 la posición de con respecto al marco R est/ dada por ?MCR@1 %a distancia del origen de ) al origen de R es ?MRC)@%a gura b muestra que:

Esto nos dice que la distancia total del origen de ) al punto es ladistancia del origen de R al punto m/s la distancia del origen de ) alorigen de R.%a velocidad de relativa al marco ), denotada con 0 C)1x,

es la derivada de MC) con respecto al tiempo:


30/33

Entonces la velocidad 0P/A de la mujer relativa al ciclista es:

odemos extender el concepto de velocidad relativa al movimiento enun plano o enel espacio, usando suma vectorial para combinar velocidades.


31/33

'.


32/33

partícula.


33/33

%a componente centrípeta de aceleración ?a1rad@, est/ asociada conel cambio de dirección de la velocidad de la partícula .odemosexpresar esto en t(rminos de ?W@:

Esto se cumple en todo instante aun si ?W@ y ?v@ no son constantes.%a componente centrípeta siempre apunta hacia el eje de rotación. %asuma vectorial de las componentes centrípeta y tangencial de laaceleración de una partícula en un cuerpo en rotación es laaceleración lineal *ver gura anterior+.

Documents

Unidad IV Cinematica