unidad 5 cinematica de los cuerpos rigidos

7/25/2019 unidad 5 cinematica de los cuerpos rigidos

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INSTITUTO TECNOLGICO DE OAXACA

TECNOLOGIA PROPIA EINDEPENDENCIA ECONOMICA

MATERIA: DINMICA

UNIDAD 5

CINTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS

PROFRESOR:

ING. JAIME VELASCO HERNNDE

INTEGRANTES:

CRU JIMNE AVIGAIL

ELORA RAMIRE DANIEL

GONLE MARN JES!S

LPE MEJA JUAN CARLOS

TORRES LPE OS"ALDO ELFEGO

CARRERA: INGENIERIA CIVIL


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GRUPO: IC#C

INDICE

Unidad 5 Cintica de los cuerpos rgidos

5.1. Introduccin

5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido

5.3. Momento angular de un cuerpo rgido en el plano

5.4. Movimiento de un cuerpo rgido.

5.5. Segunda Ley de e!ton.

5.". #ra$a%o y energa.

5.&. Impulso y cantidad de movimiento.


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INTRODUCCION

Este proyecto tiene como propsito descri$ir la trayectoria 'ue sigue un con%untode cuerpos rgidos unidos entre s y con algunos de sus e(tremos )i%os* al

trasladarse de un punto a otro en una regin del espacio. Se plantear+n las

ecuaciones del movimiento usando la cinem+tica del cuerpo rgido y se usara

di)erentes m,todos para la solucin num,rica de las ecuaciones cinem+ticas no

lineales.

En mec+nica el movimiento es un )enmeno )sico 'ue se de)ine como todo

cam$io de posicin 'ue e(perimentan los cuerpos de un sistema* o con%unto* en el

- espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo 'ue sirve de

re)erencia. #odo cuerpo en movimiento descri$e una trayectoria. La parte de la

)sica 'ue se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es lacinem+tica. La parte de la )sica 'ue se encarga del estudio de las causas del

movimiento es la din+mica.$

na(imandro pensa$a 'ue la naturale/a proceda de la separacin* por medio de

un eterno movimiento* de los elementos opuestos 0por e%emplo* )riocalor* 'ue

esta$an encerrados en algo llamado materia primordial. emcrito deca 'ue la

naturale/a est+ )ormada por pie/as indivisi$les de materia llamadas - +tomos* y -

'ue el movimiento era la principal caracterstica de estos* siendo el movimiento un

cam$io de lugar en el espacio. partir de alileo alilei los om$res de ciencia

comen/aron a encontrar t,cnicas de an+lisis 'ue permiten una descripcin-

acertada del pro$lema.

6istricamente el primer e%emplo de ecuacin del movimiento 'ue se introdu%o en

)sica )ue la segunda ley de e!ton para sistemas )sicos compuestos de

agregados partculas materiales puntuales. En estos sistemas el estado )sico de

un sistema 'ueda$a )i%ado por la posicin y velocidades de todas las partculas en

un instante dado. 6acia )inales del siglo 78III se introdu%o la mec+nica analtica 1 o

racional* 'ue era una generali/acin de las leyes de e!ton aplica$les en pie - de

igualdad a sistemas de re)erencia inerciales y no inerciales. En concreto se

crearon dos en)o'ues $+sicamente e'uivalentes conocidos como mec+nica.


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5.1 INTRODUCCIN

MOIMIENTO !"#NO DE CUER!O$ R%&IDO$' (UER)#$ *#CE"ER#CIONE$.

En este captulo* se estudiara la 9in,tica de los cuerpos :gidos* es decir* las

relaciones e(istentes entre las )uer/as 'ue act;an so$re un cuerpo rgido* la )ormay la masa del cuerpo* y el movimiento 'ue se produce. Se estudiara no solo el

movimiento del cuerpo como un todo* sino tam$i,n el movimiento del cuerpo en

torno a su centro de masa.

El planteamiento ser+ considerar a los cuerpos rgidos con)ormados por un gran

n;mero de partculas y utili/ar los resultados del Sistema de ( ? ma@ La cual relaciona la resultante de las )uer/as e(ternas y la

aceleracin del centro de masa del sistema de partculas.

>M? +@ Aue relaciona el momento resultante de las )uer/as e(ternas y lacantidad de movimiento angular del sistema de partculas alrededor de .

Los resultados 'ue se o$tendr+n en este captulo se limitaran en dos )ormas=

1 Se restringir+n al movimiento plano de cuerpos rgidos* es decir* al

movimiento en el 'ue cada partcula del cuerpo permanece a una distancia

constante de un plano de re)erencia )i%o.2 Los cuerpos rgidos considerados constar+n ;nicamente de placas planas y

de cuerpos 'ue son sim,tricos con respecto al plano de re)erencia.

El estudio del movimiento plano de cuerpos tridimensionales no sim,tricos y elmovimiento de cuerpos rgidos en el espacio tridimensional se pospondr+n para

otro captulo.

MOIMIENTO !"#NO DE CUER!O$ R%&IDO$' M,TODO$ DE "# ENER&%# *"# C#NTID#D DE MOIMIENTO.

En este captulo se usa el m,todo del tra$a%o y la energa* y del impulso y la

cantidad de movimiento para anali/ar el movimiento plano de cuerpos rgidos y de

sistemas de cuerpos rgidos.


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5.- ECU#CIONE$ DE MOIMIENTO DE CUER!O RI&IDO.

9onsidere un cuerpo rgido so$re el 'ue act;an varias )uer/as e(ternas (1* (2*(3*. . . 0Bigura 1. Se puede suponer 'ue el cuerpo est+ integrado de un gran

n;mero n de partculas de masa Cm 0%? 1* 2*. . .* n y aplicar los resultadoso$tenidos en el captulo 14 para un sistema de partculas 0)igura 1".2.9onsiderando primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo conrespecto al sistema de re)erencia ne!toniano O x, y, z* y se escri$e.

F=m 1/

onde m es la masa del cuerpo y es la aceleracin del centro de masa& G.8olviendo aora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de re)erenciacentradal G, x , y , z , se escri$e*

0 MG G -/


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onde representa la ra/n de cam$io de * la cantidad de movimientoangular alrededor de del sistema de partculas 'ue )orma el cuerpo rgido. En losu$secuente de movimiento angular del cuerpo rgido en torno a su centro demasa . Dunto con las ecuaciones 1/ y -/ e(presa 'ue el sistema de )uer/ase(ternas es e'uipolente al sistema consistente en el vector m&)i%o en y al par

de momento

Las ecuaciones 01 y 02 se aplican al caso m+s general del movimiento de uncuerpo rgido. Sin em$argo* en el resto de este captulo el an+lisis se limitar+ almovimiento plano de cuerpos rgidos* esto es* a un movimiento en el 'ue cadapartcula permanece a una distancia constante de un plano de re)erencia )i%o* y sesupondr+ 'ue los cuerpos rgidos estar+n compuestos slo por las placas planas ylos cuerpos 'ue son sim,tricos con respecto al plano de re)erencia.


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5.2. MOMENTO #N&U"#R DE UN CUER!O R%&IDO EN E" !"#NO

El momento angular de una partcula se de)ine como el producto vectorial delvector posicin r por el vector momento

lineal 34

Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un e%e )i%o descri$en

circun)erencias centradas en el e%e de rotacin con una velocidad 'ue es

proporcional al radio de la circun)erencia 'ue descri$en=

El vector momento angular "i de una partcula de masa 3cuya posicin est+ dada por el vector ri y 'ue descri$ealrededor del e%e )i%o una circun)erencia de radio :i

con velocidad 4i* vale=

El mdulo del vector momento angular es= y

su proyeccin so$re el e%e de rotacin es=

"i 3i4iri cos 6789 : i/ 3i ; risen: i/. < Ri/

En general* el vector momento angular " no tiene ladireccin del e%e de rotacin* es decir* el vector momento

angular no coincide con su proyeccin "a lo largo del e%ede rotacin. 9uando coinciden se dice 'ue el e%e de rotacin

es un e%e principal de inercia. Los momentos de inercia relativos a los e%es


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principales de inercia se denominan momentos principales de inercia.


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El t,rmino intermedio en el segundo miem$ro es cero ya 'ue o$tenemos la

posicin 9 del centro de masa desde el centro de masa. M es la masa total del

slido.

Mo3ento angular de un s=lido rgido.

#enemos 'ue en un sistema inercial la ecuacin de movimiento es=

onde=

es la velocidad angular del slido.

es el tensor de inerciadel cuerpo.

ora $ien* normalmente para un slido rgido el tensor de inercia * depende del

tiempo y por tanto en el sistema inercialgeneralmente no e(iste un an+logo de lasegunda ley de e!ton* y a menos 'ue el cuerpo gire alrededor de uno de los e%es

principales de inerciasucede 'ue=

onde es la aceleracin angulardel cuerpo.


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Aue resulta ser una ecuacin no lineal en la velocidad angular.

El 3o3ento angular o 3o3ento cinticoes una magnitud )sicaimportante en todas

las teoras )sicas de la mec+nica* desde la mec+nica cl+sicaa la mec+nica cu+ntica*

pasando por la mec+nica relativista. Su importancia en todas ellas se de$e a 'ue est+

relacionada con las simetras rotacionales de los sistemas )sicos. Ga%o ciertas

condiciones de simetra rotacional de los sistemas es una magnitud 'ue se mantiene

constante con el tiempo a medida 'ue el sistema evoluciona* lo cual da lugar a una ley de

conservacinconocida como le> de conser4aci=n del 3o3ento angular. El momento

angular para un cuerpo rgido 'ue rota respecto a un e%e* es la resistencia'ue o)rece

dico cuerpo a la variacin de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de

Hnidadesel momento angular se mide en gJmKs.

Esta magnitud desempea respecto a las rotaciones un papel an+logo al momento

linealen las traslaciones. Sin em$argo* eso no implica 'ue sea una magnitud

e(clusiva de las rotaciones@ por e%emplo* el momento angular de una partcula 'ue

se mueve li$remente con velocidad constante 0en mdulo y direccin tam$i,n se

conserva.

El nom$re tradicional en espaol es momento cin,tico* pero por in)luencia del

ingl,s angular momentum oy son )recuentes momento angular y otras variantes

como cantidad de movimiento angular o mpetu angular.

Mo3ento angular de una 3asa puntual.

El momento angular de una partcula con respecto al punto es el producto

vectorial de su momento lineal por el vector .

En mec+nica ne!toniana* el momento angular de una partcula o masa puntualcon respecto a un punto F del espacio se de)ine como el momentode su cantidad

de movimiento con respecto a ese punto.
http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_un_vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_un_vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento


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ormalmente se designa mediante el sm$olo . Siendo el vector 'ue une el

punto F con la posicin de la masa puntual* ser+

El vector es perpendicular al plano 'ue contiene y * en la direccin indicada

por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecay su mdulo o

intensidad es=

Esto es* el producto del mdulo del momento linealpor su brazo0 en el di$u%o*

de)inido ,ste como la distancia del punto respecto al 'ue se toma el momento a la

recta 'ue contiene la velocidad de la partcula.

Mo3ento angular > 3o3ento din?3ico.

erivemos el momento angular con respecto al tiempo=

El primero de los par,ntesis es cero ya 'ue la derivadade con respecto al tiempo

no es otra cosa 'ue la

velocidad y* como el vector velocidad es paralelo al

vector cantidad de movimiento * el producto vectorial es cero. En cuanto al

segundo par,ntesis* tenemos=

onde es la aceleracin de la

partcula* de modo 'ue

* es la )uer/a 'ue

act;a so$re ella.


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s* la derivada temporal del momento angular es igual al momento din+mico'ue

act;a so$re la partcula. 6ay 'ue destacar 'ue en esta e(presin am$os

momentos* y de$er+n estar re)eridos al mismo punto F.

Mo3ento angular de un con@unto de partculas puntuales.

El momento angular de un con%unto de partculas es la suma de los momentos

angulares de cada una=

La variacin temporal es=

El t,rmino de dereca es la suma de todos los momentos producidos por todas las

)uer/as 'ue act;an so$re las partculas. Hna parte de esas )uer/as puede ser de

origen e(terno al con%unto de partculas. Ftra parte puede ser )uer/as entre

partculas.


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El momento angular de un sistema de partculas se conserva en ausencia de

momentos e(ternos. Esta a)irmacin es v+lida para cual'uier con%unto de

partculas= desde n;cleos atmicos asta grupos de gala(ias.

Conser4aci=n del 3o3ento angular cl?sico.

9uando la suma de los momentos e(ternos es cero * emos visto 'ue=

Eso 'uiere decir 'ue . N como es un vector* es constante tanto en

mdulo como en direccin.

9onsideremos un o$%eto 'ue puede cam$iar de )orma. En una de esas )ormas* su

Momento de inerciaes y su velocidad angular . Si el o$%eto cam$ia de )orma

0sin intervencin de un momento e(terno y 'ue la nueva distri$ucin de masas

ace 'ue su nuevo Momento de inerciasea * su velocidad angular cam$iar+ de

manera tal 'ue=

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar.

Entonces la direccin del vector velocidad angular no cam$iar+. Solo cam$iar+ lavelocidad de rotacin.

6ay mucos )enmenos en los cuales la conservacin del momento angular tiene

muca importancia.


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En el di$u%o de la dereca tenemos una masa 'ue gira* tenida por un ilo de masa

desprecia$le 'ue pasa por un tu$ito )ino. Suponemos el con%unto sin ro/amientos

y no tenemos en cuenta la gravedad.

La )uer/a 'ue el ilo e%erce so$re la masa es radial y no puede e%ercer un

momento so$re la masa. Si tiramos del ilo* el radio de giro disminuir+. 9omo* enausencia de momentos e(ternos* el momento angular se conserva* la velocidad de

rotacin de la masa de$e aumentar.

Hn tirn so$re el ilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva

velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y

En el di$u%o siguiente aparece la masa 'ue gira con un radio en el momento en

el cual se da un tirn del ilo. El t,rmino correcto del OtirnO )sica es un impulso*

es decir una )uer/a aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica

una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad ser+ la suma vectorial de la

velocidad precedente con . La direccin de esa nueva velocidad no es

tangencial* sino entrante. 9uando la masa pasa por el punto m+s pr(imo del

centro* a una distancia * co$ramos el ilo suelto y la masa continuar+ a girar con

el nuevo radio . En el di$u%o* el tri+ngulo amarillo y el tri+ngulo rosado son

seme%antes. Lo cual nos permite escri$ir=

F sea=
http://es.wikipedia.org/wiki/Impulsohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulos_semejanteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Impulsohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulos_semejantes


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N* si multiplicamos por la masa * o$tenemos

'ue el momento angular se a conservado*

como lo esper+$amos=

8emos como el momento angular se a

conservado=


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Fx= m(aG)x

Fy= m(aG)y

MG= I

G

En algunos pro$lemas puede ser conveniente sumar momentos con respecto a

alg;n punto < di)erente de . esto se ace usualmente para eliminar )uer/as

desconocidas a partir de la suma de momentos. 9uando se usan en este sentido

m+s general* las tres ecuaciones de movimiento son=

Fx= m (aG)x

Fy= m (aG)y

Bigura 5.4.2 MP= (MK)P

'u (MK)Prepresenta la suma de momentos de IG y maG0o sus componentes

con respecto a < seg;n son determinados por los datos 'ue aparecen en el

diagrama cin,tico.

E(iste un tipo particular de pro$lema 'ue implica un cilindro uni)orme* o un cuerpo

de )orma circular* 'ue rueda so$re una super)icie +spera sin deslizarse. Si

sumamos los momentos con respecto al 9entro Instant+neo de velocidad cero*

entonces (MK)CIse vuelve ICI. La compro$acin es similar a MO ? IO* de

modo 'ue=

MCI? ICI

Este resultado es compara$le a MO? IO, la cual se utili/a para un cuerpo su%eto

con un pasador en O.

EBEM!"O 1'


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El carrete 'ue aparece en la )igura 1.1 tiene una masa de P g y radio de giro ?Q.35 m. si las cuerdas de masa insigni)icante est+n enrolladas alrededor de su

cu$o interior y su $orde e(terior como se muestra* determine la aceleracin

angular del carrete.

Bigura 1.1

$O"UCIN 1

Diagra3a de cuerpo lire.

La )uer/a de 1QQ causa 'ue aactu, acia arri$a. dem+s act;a en el sentido

de las manecillas del relo%* ya 'ue el carrete se enrolla alrededor de la cuerda en

. ay tres incgnitas #* ay . El momento de inercia del carrete con respecto a

su centro de masa es=

I? m2? P g 0Q.35 m

2? Q.RPQgJm2

Ecuaciones de 3o4i3iento.

T Fy= m (aG)y@ # 1QQ U &P.4P ? 0P gaG

T MG= IG 1QQ 0Q.2 m U #0Q.5 m ? 0Q.RPQgJm2

Cine3?tica.


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Se o$tiene una solucin completa cuando se usa cinem+tica para relacionar acon . En este caso el carrete rueda sin desli/ar so$re la cuerda en . por

consiguiente* podemos usar los resultados de e%emplos anteriores* de modo 'ue=

aG? r, aG? Q.5

y resolviendo las ecuaciones de movimiento %unto con la de cinem+tica*o$tenemos 'ue=

17.2 rads- aG 5.1F 3s- T 16.G N

$O"UCIN -

Ecuaciones de 3o4i3iento.


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Bigura 2.2

EBEM!"O -'

La rueda de 5Q l$ 'ue se muestra en la )igura 3.1 tiene un radio de giro ? Q.&Q

pie. Si se aplica un momento de par de 35 l$ J pie a la rueda* determine la

aceleracin de su centro de masa . los coe)icientes de )riccin est+tica y cin,tica

entre la rueda y el plano en son XS ? Q.3 y XY ? Q.25 respectivamente.

$O"UCIN


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Diagra3a de cuerpo lire.En la )igura 3.2* se ve 'ue el momento de par 'ue ace 'ue la rueda gire en el

sentido de las manecillas del relo% con una aceleracin angular.


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Cine3?tica sin deslia3iento/.

Si se ace esta suposicin* entonces=

aG? 01.25 pies

l resolver las ecuaciones de movimiento y de la cinem+tica* o$tenemos 'ue=N# 57 l (# -1.2 l

aG 12.H piess- 11 rads-

Esta solucin re'uiere 'ue no ay desli/amiento* es decir* 'ue B [ XS . Sin

em$argo* como 21.3 l$ \ Q.3 05Q l$ ? 15 l$* la rueda se desli/a cuando gira.

Cine3?tica deslia3iento/.

La ecuacin aG? 01.25 pies no es v+lida* y por tanto B? X* o $ien=

(# 7.-5 N#

l resolver las primeras tres ecuaciones y la anterior* se o$tiene=

N# 57 l (# 1-.5 l

aG G.75 piess- -5.5 rads-

5.F TR##BO * ENER&%#.

5.F.1 Energa cintica.


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F$servamos 'ue e(iste una partcula i,sima ar$itraria del cuerpo* de masa dm* la

cual se encuentra a una distancia rdel punto ar$itrario P.

Si consideramos 'ue en el instante 'ue se muestra en dica )igura* la partcula

tiene una velocidad 4i* entonces la energa cin,tica de la partcula es Ti 1-/ d34i/-.

Se puede decir con claridad y veracidad 'ue la energa cin,tica de todo cuerpo se

determina por la escritura de e(presiones seme%antes para cada una de las

partculas del cuerpo y la integracin de los resultados* lo cual se puede e(presar

por la ecuacin=

La ecuacin anterior tam$i,n se puede e(presar en )uncin de la velocidad 'ue

posea el punto P. e acuerdo con la siguiente )igura* si la velocidad angular del

cuerpo es * entonces tendremos 'ue=

El cuadrado de la magnitud de 4i 'ueda e(presado como=

N al sustituir esta ecuacin en la de energa cin,tica* tenemos=


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e donde* la primera integral de la dereca representa toda la masa mdel cuerpo.

#omando en cuenta 'ue * podemos decir 'ue

la segunda y la tercera integracin locali/an el centro de masa &con respecto a P.#am$i,n se de$e aclarar 'ue la ;ltima integral representa el momento de inercia

del cuerpo Ip con respecto a P* el cual se calcul con respecto z 'ue pasa por elpunto P.


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Traslaci=n.

9uando un cuerpo rgido de masa m se somete a traslacin rectilnea o a

traslacin curvilnea* tal como se muestra en la )igura siguiente* la energa cin,tica

producida por la rotacin es cero* en vista de 'ue 7.


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perpendicular al plano de movimiento y 'ue pasa por el punto F. El cual ser+

e(presado por la ecuacin=

Mo4i3iento plano general.

9uando se sa$e de un cuerpo rgido 'ue se somete a un movimiento plano

general* tal como se muestra en la )igura siguiente* se ver+ 'ue su velocidad

angular es y la velocidad de su centro de masa es 4&.


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$iste3a de cuerpos.

9omo la energa es una cantidad escalar* la energa cin,tica total de los cuerpos

rgidos conectados entre s es la suma de las energas cin,ticas de todas sus

partes mviles.

5.F.- Traa@o de una Juera.

En muca de las ocasiones encontraremos di)erentes tipos de )uer/a en mucos

pro$lemas 'ue implican una cin,tica plana en un cuerpo rgido.


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constante * en tanto 'ue dico cuerpo e(perimenta una traslacin s* entonces

la ecuacin anterior se puede integrar* de modo 'ue el modo 'uedar representado

como=

FCcos sUF

C=

Traa@o de un peso.El peso de un cuerpo reali/a tra$a%o slo cuando su centro de masa &

e(perimenta un despla/amiento vertical y . Si dico despla/amiento es

dirigido acia arri$a* tal como se muestra a continuacin* el tra$a%o 'ue presentara

el cuerpo ser+ negativo* para representar esto utili/aremos la ecuacin=

UW=W y


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Traa@o de una Juera de resorte.

Si consideramos a un resorte el+stico lineal conectado a un cuerpo* la )uer/a

Fs=ks 'ue act;a so$re el cuerpo* reali/ar+ un tra$a%o cuando el resorte se

alargue o se comprima desde S1 asta una posicin S2 . En am$os casos el

tra$a%o ser+ negativo puesto 'ue el despla/amiento del cuerpo se opone a la

direccin de la )uer/a* tal como se muestra en la siguiente )igura* dico tra$a%o

'uedar+ representado por la ecuacin=

1

2k s

2

21

2k s

1

2

Us=

onde l s2 l l s1 l.

(ueras Lue no realian [email protected] de importancia recalcar 'ue e(isten algunas )uer/as e(ternas 'ue no reali/an

tra$a%o cuando el cuerpo so$re el 'ue act;an se despla/a. Estas )uer/as act;an

en puntos )i%os en el cuerpo o tienen una direccin perpendicular a su

despla/amiento.


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lgunos e%emplos de lo dico en el p+rra)o anterior se encuentran las reacciones

en un soporte de pasador alrededor del cual gira un cuerpo* la reaccin normal

'ue act;a en un cuerpo 'ue se mueve a lo largo de una super)icie )i%a* y el peso

de un cuerpo cuando su centro de gravedad se mueve en un plano ori/ontal* tal

como se muestra en la )igura siguiente. #am$i,n una )uer/a de )riccin Ff 'ue

act;a en un cuerpo redondo cuando rueda sin desli/arse so$re una super)icie

+spera tampoco reali/a tra$a%o.

5.F.2 Traa@o de un 3o3ento de par.

9onsid,rese un cuerpo parecido al 'ue se muestra en la siguiente )igura* el cual

se someter+ a un momento de par M=Fr . Si el cuerpo e(perimenta un

despla/amiento di)erencial* entonces el tra$a%o reali/ado por las )uer/as del par se

puede determinar si se considera el despla/amiento como la suma de una

traslacin distinta m+s rotacin.


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9uando dico cuerpo se traslada* el tra$a%o de cada )uer/a lo reali/a slo el

componente de despla/amiento a lo largo de la lnea de accin de las )uer/as

d st * tal como se muestra a continuacin.

9uando el cuerpo e(perimenta una rotacin di)erencial d alrededor del

punto ar$itrario O* tal como se muestra en la siguiente )igura* entonces cada

)uer/a e(perimenta un despla/amiento d s=( r2 )d en la direccin de la

)uer/a.


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9uando el cuerpo gira en el plano a trav,s de un +ngulo )inito medido en

radianes* desde 1 asta 2 . Entonces el tra$a%o de un momento de par se

representara por la siguiente ecuacin=

UM=1

2

M d

Si el momento de un par M tiene una magnitud constante* entonces* el tra$a%oser+ representado por la ecuacin=

UM=M(21)


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5.F.A !rincipio de traa@o > energa.9uando aplicamos el principio de tra$a%o y energa desarrollado en la seccin de

tra$a%o de una )uer/a y la cual aplicamos so$res cada una de las partculas de un

cuerpo rgido y con la suma alge$raica de los resultados* puesto 'ue la energa se

considera como una cantidad escalar* dico principio aplicado a un cuerpo rgido

se representa por la ecuacin=

T1+U12=T2

Esta ecuacin esta$lece 'ue la energa cin,tica inicial de traslacin y rotacin del

cuerpo* m+s el tra$a%o reali/ado por todas las )uer/as e(ternas y momentos de par

'ue act;an en el cuerpo a medida 'ue se mueve desde su posicin inicial asta su

posicin )inal* es igual a su energa cin,tica )inal de traslacin y rotacin. Es de

importancia decir 'ue no de$eremos considerar a las )uer/as internas dentro de la

ecuacin.

#am$i,n es de suma importancia comentar 'ue ya 'ue el cuerpo es rgido* entre

estas )uer/as no a> 3o4i3iento relati4o* de modo 'ue no se reali/a tra$a%ointerno.

Hn e%emplo de lo dico anteriormente es cuando varios cuerpos rgidos est+n

conectados por pasadores* o por ca$les ine(tensi$les o engranados unos con

otros*en dicos pro$lemas se podr+ aplicar la ecuacin ya vista anteriormente a

todo el sistema de cuerpos conectados. En dicos casos* las )uer/as internas 'ue

mantienen los diversos miem$ros %untos* no reali/an tra$a%o y por consiguiente se

eliminan del an+lisis.


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5.F.5 Conser4aci=n de la energa.

e$emos considerar 'ue cuando un sistema de )uer/as 'ue act;a en un cuerpo

rgido se compone de slo )uer/as conservadoras* puede utili/arse el teorema de

la conservacin de la energa para resolver un pro$lema 'ue de lo contrario se

resolvera con el principio de tra$a%o y energa. ico teorema suele ser m+s )+cil

de aplicar en pro$lemas como estos ya 'ue el tra$a%o de una )uer/a conservadora

es independiente de la trayectoriay depende slo de las posiciones inicial y )inal

del cuerpo.

nteriormente se a$a demostrado 'ue el tra$a%o de una )uer/a conservadora

puede e(presarse como la di)erencia de la energa potencial del cuerpo medida

con respecto a una re)erencia o un plano de re)erencia seleccionados.

Energa potencial gra4itacional.

Sa$iendo 'ue al peso total de un cuerpo lo podemos considerar centrado en su

centro de gravedad* podemos determinar su energa potencial gravitacional

conociendo la altura de su centro de gravedad so$re o $a%o un plano de re)erencia

ori/ontal.

Gas+ndose en lo anterior* se da origen a la siguiente ecuacin=

Vg=W yG

La energa potencial ser+ positiva si y slo si yG es positiva acia arri$a* puesto

'ue el peso tiene la capacidad de reali/ar tra$a%o positivo cuando el cuerpo

regresa al plano de re)erencia* tal como se muestra en la siguiente )igura.

simismo si G se encuentra $a%o el plano de re)erencia

y

/* la energa


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potencial gravitacional es negativa* puesto 'ue el peso reali/a tra$a%o negativo

cuando el cuerpo vuelve al plano de re)erencia.

Energa potencial el?stica.

La )uer/a 'ue se desarrollara de$ido al e)ecto de un resorte el+stico tam$i,n se

considera como una )uer/a conservadora.


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#al y como se vio anteriormente ca$e rea)irmar 'ue en la posicin de)ormada* la

)uer/a del resorte 'ue act;a en el cuerpo siempre tiene la capacidad de reali/ar

tra$a%o positivo cuando el resorte regresa a su posicin no de)ormada original.

Conser4aci=n de la energa.

En general* si un cuerpo se somete tanto a )uer/as gravitacionales como el+sticas*

la energa potencia total puede e(presarse como una )uncin potencial

representada como la suma alge$raica de dicas )uer/as* esto puede ser

e(presado por la ecuacin=

V=Vg+Ve


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La ecuacin anterior se conoce como energa mec+nica de conservacin.

Esta$lece 'ue la suma de las energas potencial y cin,tica del cuerpo permanece

constante cuando el cuerpo se mueve de una posicin a otra. #am$i,n es v+lida

para un sistema de cuerpos rgidos lisos conectados por pasador* li$res de

)riccin* cuerpos conectados por cuerdas ine(tensi$les y cuerpos acoplados con

otros cuerpos.

El tra$a%o producido de las )uer/as conservadoras se trans)orma en energa

t,rmica utili/ada para calentar las super)icies de contacto* y por consiguiente esta

energa se disipa en el medio circundante y no puede recuperarse.


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5.H IM!U"$O * C#NTID#D DE MOIMIENTO

9omo en el caso del movimiento de una partcula* el principio de impulso y

cantidad de movimiento para un cuerpo rgido puede desarrollarse si se combina

la ecuacin de movimiento con cinem+tica. La ecuacin resultante dar+ una

solucin directa a problemas que impliquen fuerza, velocidad y tiempo.

!rincipio de i3pulso > cantidad de 3o4i3iento lineal.

La ecuacin de traslacin de un cuerpo rgido puede escri$irse como >(? ma?m 0d4dt. 9omo la masa del cuerpo es constante*


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Bigura 1.1

>(?d

dt(m v )

Si se multiplican am$os lados por dte integran de t = t,vG= !vG"a t = t#,vG= !vG"#se o$tiene

t1

t2

F dt=m ( v )2m (v )1

Esta ecuacin se conoce como cantidad de 3o4i3iento angular.

Si el cuerpo tiene movimiento plano general* entonces MG = IG IG(dw/dt).9omo el momento de inercia es constante*

M G=ddt

(I w )

l multiplicar am$os lados por dte integrar de t = t, $ = !$"a t = t#, $ = !$"#resulta


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t1

t2

M G dt=Iw 2Iw1

el mismo modo* para rotacin con respecto a un e%e fi%o'ue pasa por el punto F*

la ecuacin 0&'o = (o cuando se integra se escri$e=

t1

t2

M dt=Iw2Iw 1

Las ;ltimas dos ecuaciones de conocen como )rincipio de impulso y cantidad de

movimiento an*ulares. m$as ecuaciones e(presan 'ue la suma del impulso

angular 'ue act;a en el cuerpo durante el intervalo t a t#es igual al cam$io de la

cantidad de movimiento angular del cuerpo durante este intervalo.

Si el movimiento se desarrolla en el plano x+y* las siguientes tres ecuaciones

escalares pueden escri$irse para descri$ir el movimiento planodel cuerpo.

Bigura 1.2


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Los t,rminos de estas ecuaciones pueden mostrarse por medio de los diagramas

de impulso y cantidad de movimiento del cuerpo* )igura 1.1. F$serve 'ue la

cantidad de movimiento lineal mGse aplica en el centro de masa del cuerpo*

)iguras 1.1 y 1.3@ mientras 'ue la cantidad de movimiento angular (Gwes un vector

li$re* y por consiguiente* puede aplicarse a cual'uier punto del cuerpo. 9uando se

tra/a el diagrama de impulso* )igura 1.2* las )uer/as (y el momento Mvarian conel tiempo y se indican por medio de las integrales. Sin em$argo* si ( y M sonconstantes la integracin de impulsos da ( 0t# + t" yM0t# + t"K respectivamente. #al

es el caso del peso del cuerpo * )igura 1.2.Las tres ecuaciones mostradas anteriormente* tam$i,n pueden aplicarse a todo un

sistema de cuerpos conectados en lugar de a cada uno por separado. Esto elimina

la necesidad de incluir los impulsos de interaccin 'ue aparecen en las

cone(iones puesto 'ue son internosal sistema.

9omo se indica por medio de la tercera ecuacin* la cantidad de movimiento

angular y el impulso angular del sistema de$en calcularse con respecto al mismo

punto de referencia Opara todos los cuerpos del sistema.

EBEM!"O 1'En el disco mostrado en la )igura 1.1 act;an un momento par de 4 l$Jpie y una

)uer/a de 1Q l$ la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su peri)eria.

etermine la velocidad angular del disco dos segundos despu,s de 'ue empie/a a

moverse del reposo. dem+s* _9u+les son los componentes de )uer/a de la

reaccin en el pasador`


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Bigura 1.1

$O"UCIN

9omo la velocidad angular* la )uer/a y el tiempo intervienen en los pro$lemas*

aplicaremos los principios de impulso y cantidad de momento a la solucin.


Bigura 1.2

El centro de masa del disco no se mueve@ sin em$argo* la carga ace 'ue el disco

gire en el sentido de las manecillas del relo%.

El momento de inercia del disco con respecto a su e%e de rotacin )i%o es

I?

1

2mr2=

1

2 ( 20lb

32.2pies

s2)(0.75pie )2=

Q.1&4& slug J pie2


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!rincipio de i3pulso > cantidad de 3o4i3iento.

m(V !")1+t1

t2

F# dt=m(V !")2

Q (02 s ? Q

m(V !y)1+t1

t2

Fy dt=m(V !y)2

Q y02 s U 2Q l$ 02 s U 1Q l$ 02 s ? Q

I ! W1+t1

t2

M ! dt=I ! W2

Q 4 l$ J pie 0 2 s V1Q l$02 sW0Q.&5 pie ? Q.1&4& 2

l resolver estas ecuaciones resulta

# 7

#> 27 l

- 12- rads

EBEM!"O -El carrete de 1QQ g 'ue se muestra en la )igura 2.1 tiene un radio de giro G=

-./ m. se enrolla un ca$le alrededor de la masa central del carrete y se aplica

una )uer/a ori/ontal de magnitud varia$le de ) = !t 0 -"* donde t est+ en

segundos. Si el carrete inicialmente est+ en reposo* determine la velocidad

angular en 5 s. suponga 'ue el carrete rueda sin desli/arse en 1.


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Bigura 2.1

$O"UCIN


Seg;n el diagrama de cuerpo li$re* )igura 2.2* la )uer/a variable !ar+ 'ue la)uer/a de )riccin (# sea varia$le y por tanto los impulsos creados tanto por !como por (#de$en determinarse por integracin. La )uer/a ! ace 'ue el centrode masa tenga una velocidad 4&acia la dereca y por tanto el carrete tiene unavelocidad angularP en el sentido de las manecillas del relo%.

Bigura 2.

!rincipio de i3pulso > cantidad de 3o4i3iento.


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(t+10 )$ dt

0

5s

(0.75m+0.4m )=[100kg (0.35m )2+ (100kg) (0.75m )2] w

0+

"2.5 01.15 ? "P.5 2

- 1.75 rads


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unidad 5 cinematica de los cuerpos rigidos