Unidad IV.distribucionesMuestrales.2011.01

Instituto Tecnológico Superior P’urhépecha Probabilidad y Estadística

58

4 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Competencias especificas a desarrollar: Identificar las distribuciones Binomial,

Hipergeométrica, Poisson, Normal, T-Student, Chi-cuadrada y F de Fisher para su

aplicación. Además aplicar las distribuciones de probabilidad, basándose en datos de

situaciones reales o simuladas que impliquen eventos aleatorios.

INTRODUCCIÓN

La relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna

se establece a través de variable aleatoria.

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso

elemental del espacio muestral, es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo

valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable

aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y,

... sus valores.

La variable aleatoria puede tomar un número numerable o no numerable de valores,

dando lugar a dos tipos de variables denominadas: discretas y continuas.

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o

infinito, pero numerable, de posibles valores.

Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no

numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores

correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.

4.1 Función de probabilidad

4.1.1 Variables aleatoria discreta


59

Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor

tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un

número finito de ellos.

Ejemplos:

a) X Variable que nos define el número de fallas anuales en un programa de

cómputo que son generadas por diversos factores.

x0, 1, 2, 3, 4, 5, … fallas anuales

b) XVariable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25

productos.

x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote

c) X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de

probabilidad en un grupo de 40 alumnos.

x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable

x siempre serán enteros, nunca fraccionarios. Es la característica principal de las

variables discretas

Por lo tanto la distribución de probabilidad discreta, es generada por una variable

discreta (x), que solo toma valores enteros (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... etc.)

Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o

iguales a cero, es decir, p (xi)0.


60

La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe

ser igual a 1, es decir, p (xi) = 1

Se puede decir por tanto que una v.a. X discreta, está caracterizada por su función de

probabilidad o distribución de probabilidad P(x) y también por su función de distribución

F(x).

4.1.2 Variables aleatoria continuas

1. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes

valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque

puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.

Ejemplos:

xVariable que nos define las dimensiones de una pantalla de computo en pulgadas

x5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96

xVariable que nos define la longitud de un cable utilizado en una computadora

x2.5 cm, 2.1, 2.0, 1.8, 2.4,6, 3.0, 2.8. . .

xVariable que nos define las horas de uso de una computadora

x14.55hrs, 12.13, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8

Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar

cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una

variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una

variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona


61

un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las

especificaciones o no cumple, etc, etc.

Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las

que pueden ser.

1) Distribución de probabilidad discreta.

2) Distribución de probabilidad continua.

Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a

continuación:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Características:

1. Es generada por una variable discreta (x).

xVariable que solo toma valores enteros

x0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.

2. p (xi)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben

ser mayores o iguales a cero.

3. p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que

toma x debe ser igual a 1.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA.

Características: 1. Es generada por una variable continua (x).

x Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios.

x 1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,

2. f(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser

mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II.


62

3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x

debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.

4.2 Distribución Binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos

tipos de resultados. Por ejemplo: Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es

decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

La formula de la distribución Binomial es:

Donde:

p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de

éxito es p

Por ejemplo se lanza una moneda tres veces, determine la probabilidad de que caigan

dos águilas. Sabemos que se trata de una distribución Binomial, ya que el evento cumple

las características, es decir del evento se esperan dos resultados, la probabilidad entre

una moneda y otra no cambia y el resultado de cada moneda es independiente. Por lo

1dx)x(f

xnx

xnn qpC)p,x,n(p


63

tanto se trata de una distribución Binomilal, por lo tanto se puede utilizar la formula

, donde

n = 3, x = 2, p = ½

Al sustituir los valores se tiene:

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una

distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor esperado:

Donde:

n = número de ensayos o repeticiones del experimento P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular

la media que se refiere la media Q = complemento de P

Desviación estándar:

Por ejemplo se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores

humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la

probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como

máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los

accidentes no se atribuyan a errores humanos.

a) n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

xnx

xnn qpC)p,x,n(p

8

3

8

13

2

1

4

1

12

321212123 232

23 ***!!

!)/()/(C)/p,x,n(p

nP

nPQ

0878900156250562501025075075052 252

25 .).)(.)(().().(C).p,n,x(p


64

b)

c) En este caso cambiaremos el valor de p y n =5

x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo

humano

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos

p = p (probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25

q = p (probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2

dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la

probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB,

b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6

amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de

amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

Solución:

a)n =10 x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB

x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15 q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

0.00849

b) p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =

= 1 – (0.19687+(10)(0.15)(0.231617)=1-0.544296 = 0.455705

c) n=10 x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de

ruido no excede de 2 dB

050

05 25075010750510 ).().(C)x(p)x(p).p,n,,x(p

015624001464800009760250750 151

15 ...).().(C

0878905625001562501075025025053 353

35 .).)(.)(().().(C).p,n,x(p

).)(.)(().().(C).p,n,x(p 44370530000075930252850150150105 5105

510

1101

110

0100

010 8501508501501 ).().(C).().(C


65

x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB

p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85 q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15

= (210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)= =0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897

d) n=10, p=0.15, q=1-p=0.85

Interpretación:

Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de

2Db

Interpretación:

Este experimento puede variar en 2 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores

que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB

4.3 Distribución Hipergeométrica.

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes

características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de

resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

6106

610

5105

510

4104

410 150850150850150850085010654 ).().(C).().(C).().(C).p,n,,,x(p

oresamplificad.).)((np 25115010

oramplificad.).)(.)((npq 11291185015010


66

Por ejemplo en una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una

cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al

azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

Donde:

p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N

objetos en total = espacio muestral

Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos,

si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución:

N = 10 objetos en total

a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

Donde:

Probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron,

con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes

Formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados =

muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos

nN

xnaNxa

C

C*C)n,x(p

xnaNxa C*C

nN C

!)!(

!

!)!(

!*

!)!(

!

C

C*C

C

C*C)n,x(p

4410

10

227

7

223

3

42410

2723

410

2431023

!!

!*

xxx

xxx

!!

!xxxx!!

!xx*

!!

!xx

!!

!!!

!*

!!

!

22

4

78910

6723

46

67891025

567

21

123

46

1025

7

21

3

78910

6723

xxx

xxx

!!

!

22

4


67

Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es

demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son

constantes.

Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar

sería:

Ejercicio. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas

de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en

apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para

analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de

narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de

narcóticos?

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas

p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas

seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

Otra forma de resolver;

p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas

seleccionadas no haya una sola de narcótico)

b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)

30020160

6048

4

24

5040

252

22

4

78910

6723.*

!!

!*

xxx

xxx

315

0936

315

1926

315

29163321C

C*C

C

C*C

C

C*C)n;tabletasó,x(p

815380455

371

455

20135216

455

120

455

915

455

366.

))(())(())((

315

39061301C

C*C)n;x(p

81538501846150455

8411 ..

))((


68

(1)(84)/455=0.18615

De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3

proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que, a) los 4

exploten?, b) al menos 2 no exploten?

a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan

n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan

p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

Ejercicio para resolver: Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la

aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos

etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para

verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se

regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja

se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres

artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un

artículo defectuoso se regresa para verificación?

315

390630C

C*C)n;x(p

166670210

35

210

13544

410

0347 .))((

C

C*C)n;x(p

3333330210

70

210

763

210

71213

410

17332723 .))(())((

C

C*CC*C


69

4.4 Distribución De Poisson.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o

producto, la fórmula a utilizar sería:

Donde:

p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia

de ellos es

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

= 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad

de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es

independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área

dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Por ejemplo si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las

probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques

sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco

en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3,....., etc., etc.

!x),x(p

x


70

= 6 cheques sin fondo por día

= 2.718

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco

en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días

consecutivos

Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe

“hablar” de lo mismo que x.

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se

identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de

identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5

minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3

minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5

minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

13392024

0024801296

4

7182664

64

.).)((

!

).()(),x(p

10495303628800

00000615101019173646

10

7182121210

1210

.).)(.(

!

).()(),x(p

32930701

548845060

1

718260601

601

.).)(.(

!

).().().,x(p

.

!

).)((

!

).()(),,x(p)....etc,,,x(p

1

71821

0

71821111011432

110


71

c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15

minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

4.5 Esperanza Matemática

Calculo de media (esperanza matemática) y desviación estándar para una

distribución discreta

Para determinar la media o valor esperado de x de la distribución discreta se utiliza la

siguiente fórmula:

)()(* xEp xx ii

Donde:

= media de la distribución

xi = valores que toma la variable p (xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x E(x) = valor esperado de x

La formula para determinar la desviación estándar en una distribución de discreta es la

siguiente:

)(*)( xx ip

i 2

Donde:

= desviación estándar xi = valores que toma la variable x

= media o valor esperado de x

p (xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x

Calculo de media y desviación estándar para una distribución continua Para calcular la media o valor esperado de una distribución de probabilidad continua se

utiliza la siguiente fórmula:

!

).()(

!

).()(),x(p),x(p),,x(p

1

71823

0

718233130310

3130


72

Donde:

= E(x) = media o valor esperado de la distribución

x = variable aleatoria continua f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad

La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es la siguiente:

Luego: y determinamos la desviación estándar

Ejercicio

1. Sea la siguiente función;

Cuando 0 x 3, f(x) = 0 para cualquier otro valor

De acuerdo a lo anterior indique lo siguiente:

a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad continua.

b) Si la función define una distribución de probabilidad continua, entonces, determine

su media y desviación estándar.

c) Determine la probabilidad de que 1 x 2.

Solución:

a) Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.

1º Sí es una variable continua porque x puede tomar cualquier valor entre 0 y 3

2º f(x) 0, Esto se puede comprobar si damos diferentes valores a x para ver que

valores toma f(x).

x -2 0 0.5 1.0 1.4 2.1 2.7 3.0

f(x) 0.44444 0.0 0.02778 0.11111 0.21778 0.49 0.81 1.0

Dado lo anterior nos damos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores

mayores o iguales a cero.

dx)x(xf

dx)x(f*)x(2

2

2

2

9

1x)x(f


73

3º Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es

de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:

127

2703

27

1

129

1

9

1

9

1)( 33

123

0

3

0

23

0

2

xxx dxdxdxxfA

A = área bajo la función

Con las operaciones anteriores comprobamos que la función x2

9

1sí nos define una

distribución de probabilidad continua.

b) Cálculo de media y desviación estándar.

25.236

81081

36

103

36

1

139

1

9

1

9

1)(* 44

133

0

3

0

33

0

2

xxx dxdxxdxxfx

3

0

223

0

2222 )

9

1

9

1(*)0625.55.4(*)25.2()(* dxxxdxxdxxfx xx

27

6875.136

8

81

45

243

27

0625.5

8459

0625.5

29

)3(33)(3

453

0

234

dxxxx

5809.03375.03375.00625.5125.104.52

Los corchetes nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.

c) 2963.027

8

3

8*

9

1

39

13

9

1

9

1)21( 2

3

3

2

1

22

1

xx dxxp

Los corchetes nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.

Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para

variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad

en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre

f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.


74

4.6 DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta distribución es de suma importancia en la probabilidad de las variables continuas, ya que en las prácticas se ha utilizado en las variables altura, peso de personas, coeficientes de inteligencia, incremento en diámetro de los árboles, precipitaciones, entre

otras actividades. Para utilizar esta distribución de probabilidad se requiere que la variable sea continua, aunque se puede llegar a aproximaciones cuando la variable es discreta.

La distribución normal de la probabilidad es la curva de campana, determinado por dos parámetros: la media poblacional y la desviación poblacional. El primero nos indica el

lugar y el segundo la forma de la distribución.

Características de la distribución normal

1. Cada distribución normal se distingue por su media (μ

) y su distribución estándar (σ ). 2. El punto más alto de la curva es la media, que también es la mediana y la moda de la

distribución.

3. La media de la distribución puede ser cualquier valor numérico: negativo, cero o positivo. A continuación se presentan tres curvas normales con la misma desviación estándar, pero con tres medias distintas (-20, 0, 20).

4. La distribución normal es simétrica, y su forma a la izquierda de la media es una imagen

semejante a la derecha de la media. Los extremos (colas) de la curva se prolongan al

infinito en ambas direcciones, y teóricamente nunca tocan el eje horizontal.

μ Media poblacional

σ Desviación estándar

-20 0 20


75

5. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la desviación

estándar se tienen curvas más anchas, mostrando una mayor dispersión de los datos. A

continuación presentamos dos distribuciones normales con la misma media, pero con

distintas desviaciones estándares.

Es evidente que cambios en los valores μ no alteran la forma de la distribución pero si

afectan la posición de la curva en el eje x, mientras que cambios en la σ 2 puede modificar

drásticamente la forma de distribución o dispersión.

6. El área bajo la curva de la distribución normal de probabilidad es uno. Valido para todas las

distribuciones continuas.

7. La probabilidad de la variable aleatoria normal se determina con las áreas bajo la curva. La

probabilidad de ciertos intervalos que más se usan son:

a. El 68.26% de las veces, que es el valor aproximado de una desviación estándar

respecto a su media. b. El 95.44 % de las veces, que es el valor aproximado de dos desviaciones

estándar respecto a su media.

c. El 99.72 % de las veces, que es el valor aproximado de una desviación estándar respecto a su media.

μ

σ =10

σ =5

+3σ +2σ +1σ μ +1σ +2σ +3σ

99.72%

95.44%

68.26%


76

La función de densidad normal de probabilidades se puede calcular, cuando la variable

aleatoria X se distribuye normalmente, con la siguiente función de densidad:

fx =

e σμx

2πσ

1 2/

22

Donde: Fx; Función de densidad normal de probabilidad de x. μ ; Media poblacional. σ ; Desviación estándar π ; 3.14159

e ; 2.71828 Como se puede observar en la formula anterior definir la densidad de una variable

aleatoria normal es complicada y por lo tanto es difícil calcular probabilidades sobre ella. Por lo tanto para evitarnos la complicada tarea de elaborar tablas para cada par de

valores de μ y σ 2. La solución a este problema es transformar estas probabilidades de

un miembro particular de la familia Normal de Densidades en una distribución normal estándar.

La distribución estándar de probabilidad

Cuando la distribución normal presenta media cero y desviación estándar uno tiene distribución normal estándar de probabilidad. Casi siempre se utiliza la letra z con la finalidad de indicar que la variable normal es especial. Tiene el mismo aspecto general

que otras distribuciones normales, pero con las propiedades especiales de μ=0 y σ=1.

Por ejemplo considérese una variable aleatoria x con media μ x y σ 2, esta se puede

definir con la siguiente ecuación:

σx

μxxz

Por lo tanto la probabilidad de z es:

σ =1

μ =0


77

0)μ(μσ

1)μP(

σ

1

σ

μPP(z)

y la varianza de z es:

1xσ

xσ(var(x))

xσ

1μx)var(x

xσ

1

σx

σxxVarVar(z)

2

2

22

Ahora sea x una variable aleatoria distribuida N( μ y σ 2) la variable aleatoria es:

s

xxz

Tiene función de distribución N(0,1)Su función de distribución es:

fx =e z 2/2

2πσ

1

Sin embargo no es necesario su calculo, ya que se encuentran diferentes tablas para

obtener las áreas bajo la curva, denominadas tabla proporcional en el área bajo la curva.

Las más utilizadas son las que calculan el área bajo la curva entre la media y el valor de z.

Empezaremos por demostrar como calcular la probabilidad de acuerdo al valor de z =

0.00 y 1.00,esto es P(0.00 z 1.00).

Dado que las tablas nos proporcionan la probabilidad entre la media cero (0, entonces

buscaremos el valor correspondiente de uno (1). Por lo tanto primero localizamos 1.0 en

la columna izquierda de la tabla, y después localizaremos a .00 en el renglón superior, en

la intersección de estos dos valores encontramos el valor 0.3413 que es la probabilidad

buscada entre el intervalo 0.00 y 1.00. Nos indica la probabilidad bajo la curva.

P (0.00 z 1.00) = 0.3413

0 1


78

A continuación veremos una parte de la tabla donde nos indica el procedimiento para localizar la probabilidad.

z .00 .01

.

.

.9 .3159 .3186

1.0 .3413 .3438

1.1 .3643 .3665

Siguiendo el mismo método podemos encontrar o determinar todos los valores buscados de z.

Por ejemplo:

P(0.00 z 3.00) = 0.4986

P(0.00 z 2.09) = 0.4817

P(z 1.77) = 0.9616

P(z 1.77) = 1- 0.9616 =0.0384

P(-1.00 z 1.00) = 0.6826

Recuerde que ya calculamos la P(0.00 z 1.00) = 0.3413, y también sabemos que la

distribución normal es simétrica. Por lo tanto la Probabilidad de (-1.00 z 0.00) es

también de 0.3413. En consecuencia, la probabilidad de un valor de -1.00 z 1.00 =

0.3413 + 0.3413 = 0.6826

A continuación calcularemos P(z 1.58). Comenzamos en el renglón z = 1.5 y la

columna 0.08, para encontrar la P(0.00 z 1.58)= 0.4429. A continuación hacemos una

simple resta, como sabemos que la mitad de la curva vale 0.5 o 50%, entonces el resto del área es la probabilidad buscada. Por lo tanto 0.5000-0.4429 = 0.0571.

Otro ejemplo: determinaremos P(z -0.55). Para este cálculo realizamos la suma de dos

probabilidades: P(-0.55 z 0.00) + P(z 0.00) = 0.2088 + 5.0000 = 0.7088

Ahora calcularemos la probabilidad de obtener un valor de z entre 1.22 y 1.58; esto es,

P(1.22 z 1.55). Entonces primero calculamos P(z 1.55) = 0.4394, posteriormente

calculamos P (z 1.22) = 0.3888. Por consiguiente la (1.22 z 1.55) = 0.4394 - 0.3888

= 0.0506.

Como ejemplo final determinaremos un valor de z tal que la probabilidad de obtener un valor mayor de uno sólo sea 0.1000.

Este ejemplo es el inverso a los ejemplos anteriores, ya que sé esta dando la

probabilidad del 10 % pero que sea mayor de uno (1), y nos piden el valor de z, entonces


79

lo que hacemos es restar 0.5000 – 0.1000 y el resultado buscarlo en las tablas para la

distribución estándar normal que es la probabilidad de 0.4000, y la probabilidad que más

se acerca a nuestro valor es el 0.3997, que corresponde el valor de z = 1.280. Esto nos

indica que hay un 10% de que el valor de z sea mayor que 1.280.

Aplicaciones de la curva normal estandarizada. En una investigación realizada por los alumnos del ITS’P, se encontró que en México DF,

Existe una perdida de empleos, que tiene una función de distribución normal, con una media de 253 362 y con una desviación estándar de 60 000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos sea de 160 000 a 300 000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pérdida sea menor de 100 000?

c) Sí queremos asegurar con una probabilidad de 0.95 ó 95% ¿Cuál seria el número mínimo de pérdidas de empleo?

Datos:

x = 253 362

s = 60 000 Respuestas: a) Calculamos el valor de z de la media al valor de x = 160 000, sustituyendo tenemos:

s

xxz

= 000 60

362 253 - 000 160z

= -1.56. Localizamos la probabilidad de z = -1.57 en la

tabla de áreas de distribución normal, que nos da un valor de probabilidad = 0.4406. Ahora calculamos el valor de z de la media al valor de x = 300 000

s

xxz

= 000 60

362 253 - 000 300z

= 0.78 lo que nos arroja una probabilidad de 0.2823. Por lo

que únicamente nos toca hacer una sumatoria para calcular la probabilidad total, de la siguiente manera: 0.4406 + 0.2823 = 0.7729. Por consiguiente podemos concluir que la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos sea de 160 000 a 300 000 es de 77.29%.

b) Para esta pregunta, ahora calculamos z con x = 10 000, sustituyendo los valores

tenemos lo siguiente:

s

xxz

= 000 60

362 253 - 000 100z

= -2.56, que equivale a una probabilidad de 0.4948. Pero

como lo que estamos buscando es el que la perdida de empleos sea menor de 100 000, por lo que únicamente nos toca hacer una simple resta: 0.5000 – 0.4948 = 0.0052. Por lo que concluimos que solamente existe una probabilidad de 0.52 % de que se pierdan

menos de 100 000 empleos.


80

c) Para contestar esta pregunta lo primero que hacemos es restar el 0.50 ya que la tabla únicamente nos proporciona probabilidades menores de 0.50. Esta operación nos da como resultado de 0.45, el valor lo localizamos en las tablas de probabilidad

de distribución normal estandar, y obtenemos el valor de z que es igual de 1.645. Posteriormente buscamos el valor de X con un sencillo despeje en la formula de z.

s

xxz

= 000 60

362 253 -x 645.1

=(60 000)1.645 +253 362= x =352 062 empleos

Por lo que podemos concluir que se perderán 352 062 empleos, con una probabilidad de 0.95 ó 95%.

Otro ejemplo de aplicación: El Ciber-café internet “@”, tiene una distribución normal de ingresos semanales de $614.00 en promedio y desviación estándar $307.00.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos semanales sean de $ 800.00 a 1 200.00?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos semanales sea menor de $500?

c) ¿Qué valor de corte dará como resultado una probabilidad 0.9484 ó 94.84% de que los ingresos no sea mayor de ese valor?

Respuestas: a) Calculamos el valor de z de la media al valor de x = 160 000, sustituyendo

tenemos:

s

xxz

= 307.00

614.00 - 800.00z

= 0.61. Localizamos la probabilidad de z = 0.61 en la tabla

de áreas de distribución normal, que nos da un valor de probabilidad = 0.2291. Ahora calculamos el valor de z de la media al valor de x = 1 200.

s

xxz

= 307.00

614.00 - 200.00 1z

= 1.91 lo que nos arroja una probabilidad de 0.4719. Por lo tanto la probabilidad de que los ingresos semanales fluctúen de $800.00 a $1 200.00, es

de 0.4719 – 0.2291 = 0.2428 o 24.28%. b) Primero calculamos z con x = 500.00, sustituyendo los valores tenemos lo siguiente:

s

xxz

= 307.00

614.00 - 500.00z

= -0.37, que equivale a una probabilidad de 0.1443.

Entonces para calcular ingreso menores de $500.00, restamos 0.5000 – 0.1443 = 0.3557. Por lo que concluimos que existe una probabilidad de 35.57 % de que el ingreso sea menor de $500.00.

c) Localizamos 0.4484, que se encuentra en z = 1.63. Ahora buscamos el valor de X

con un sencillo despeje en la formula de z.

s

xxz

= 307.00

614.00 -x 63.1

=(307.00)1.63 +614.00= x = 1114.41


81

Entonces podemos asegurar con un 94.84 % de que los ingresos no serán mayor de $1

114.41

4.7 DISTRIBUCIÓN T

La distribución t es una familia de distribuciones, parecida a la distribución normal de

probabilidades, se utiliza en muestras pequeñas menor de 30 datos, se utiliza para

calcular los intervalos de confianza, siempre y cuando los datos presenten una

distribución normal. Una distribución t especifica depende de un parámetro llamado

grados de libertad que se determina con (n-1) = grados de libertad = gl.

Características de la distribución t

a) Tiene una media de cero, es unimodal.

b) Es simétrica en torno a la media.

c) En general tiene una varianza mayor de uno, pero ésta tiende a uno a medida que

aumenta el tamaño de muestra.

d) La variable t va de -∞ a ∞

e) La distribución t es una familia de distribuciones, ya que tiene una distribución distinta

por cada valor muestral (n-1) tal como se muestra a continuación.

f) Comparada con la distribución normal, la distribución t es menos puntiaguda en el

centro y tiene las colas más altas, tal como se muestra a continuación.

g) La distribución t se aproxima a la distribución normal a medida que n-1 se aproxima al

infinito.

μ

gl = 30

gl = 2 gl = 5

μ

Distribución normal

Distribución t


82

h) La distribución t al igual que la distribución normal se ha tabulado para determinar las

áreas bajo la curva.

El valor de t, al igual que el z, el número de desviaciones con respecto a la media de un

conjunto de datos y se utiliza para calcular el valor de la media de una población, por

medio de una muestra, esto, bajo cierta probabilidad de cometer el error tipo II conocido

como alfa (α). La formula para calcular el valor de t, es la siguiente:

s

xt

Además el valor de t, se utiliza para realizar pruebas de hipótesis para una población y

dos poblaciones independientes para muestras pequeñas siempre que los datos

provengan de poblaciones normales.

Para utilizar la tabla t, se tiene que determinar los grados de libertad que siempre es igual

n-1, este valor se localiza en la primera columna y el valor de alfa o en su defecto la

probabilidad del área bajo la curva, se ubica en la primera fila. En el lugar donde se

cruzan ambos datos es el valor de t.

Por ejemplo si tenemos una muestra de 16 elementos y queremos una confiabilidad de

distribución acumulada de 95%, tendremos un valor de t = 1.753, es decir la probabilidad

de que el valor de t sea menor o igual a 1.753 con 10 gl es igual a 95%.

Si se tiene un tamaño de muestra igual 12 y se requiere una confiabilidad acumulada de

99%

4.8 DISTRIBUCIÓN X2

La distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de la varianza (s2), es decir, si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con


83

varianza , el estadístico: tendrá una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl = n-1 grados de libertad y se denota X2 que esta dado por:

Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la

población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede

dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribución X2 depende del gl = n-1. En consecuencia, hay un

número infinito de distribuciones X2. 3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a

la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el

valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:

Para x>0

Sin embargo para calculara las probabilidades bajo la curva normalmente se utilizan las

tablas de , la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de .

Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el

símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva

gl =3 gl =5

gl =10


84

X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6

gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber

como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplos:

1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus

destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En

consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)= 0.01


85

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de

una población normal con varianza , tenga una varianza muestral:

a. Mayor que 9.1

b. Entre 3.462 y 10.745

Solución.

a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P (s2 >9.1) = 0.05

b) Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:

y Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al

buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.

Por lo tanto la P (3.462 s2 10.745) = 0.94


86

4.9 DISTRIBUCIÓN F

Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro. Entonces la distribución F se utiliza para probar si dos muestras proceden de poblaciones con

varianzas iguales o para comparar varias medias poblacionales que se denomina analizas de varianza (ANOVA). Para aplicar estas pruebas las poblaciones donde se extrae la muestra deben ser normales.

Por ejemplo Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones, y

, utilizando la razón de las varianzas muestrales s21/s

22. Si el cociente de s2

1/s22 es

casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por

otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s21/s

22, proporcionará evidencia de

una diferencia en las varianzas de las poblaciones.

Características de la distribución F

1. Existe una familia de distribuciones definida por dos parámetros; los grados de

libertad (gl) del numerador y los grados de libertad del denominador tal como se muestra a continuación.

2. El valor de F no puede ser negativo y se trata de una variable con distribución

continua. 3. La distribución F, tiene sesgo a la derecha 4. Los valores de F, varían de 0 a α. A medida que aumenta el valor de F, la curva se

aproxima al eje x, pero nunca lo toca. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

gl = (6,6)

gl = (29,28)

gl = (19,6)


87

Donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad

y respectivamente.

*Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas

con grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la variable

aleatoria está dada por:

y se dice que sigue la distribución F con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador.

La media y la varianza de la distribución F son:

Para

Para

La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución ji-cuadrada; sin

embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros proporcionan

una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución.

Si s12 y s2

2 son las varianzas muestrales independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de

poblaciones normales con varianzas y

, respectivamente, entonces:


88

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introducción a la Inferencia Estadística del

autor Güenther, se tendrá que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el área correspondiente, relacionándola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F.

Las tablas tienen la siguiente estructura:

P 1 2 3 ……. ….. 500 …

6 0.0005

0.001

0.005

.

.

0.9995 30.4

El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un área de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:

Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma

depende de dos variables que son los grados de libertad.


89

ACTIVIDADES UNIDAD IV

I. Seleccione un objeto e indique sus variables aleatorias o discretas II. Llene el cuadro comparativo que se anexa al final de este documento y;

III. Resuelva los siguientes ejercicios:

1. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos de Laptops se debe a la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esa área

a) exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas; b) cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada.

2. Al probar un programa de cómputo en 100 ocasiones, se encontró que en 25

ocasiones presentaron fallas de ejecución. De los siguientes 15 ejecuciones del programa encuentre la probabilidad de que: a) de 3 a 6 presenten fallas de ejecución;

b) menos de 4 presenten fallas de ejecución; c) más de 5 presenten fallas de ejecución

3. Un empresario afirma que 2/3 de sus computadoras tienen el “virus viernes 13”

(Jerusalem). Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 computadoras a) las 4 tengan virus “viernes 13” b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada.

c) Determine la media y desviación estándar 4. Un ingeniero de ventas reporta que el 75% de las computadoras que se venden en su

tienda departamental son de la marca Dell.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 de las siguientes 9 ventas no sean de la marca Dell?

5. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que

10% preferían un ipod blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 10 ipod que se vendan en esta ciudad sean de color blanco? Encuentre la media y la varianza

6. Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas.

¿qué proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados? 7. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes ¿Cuál

es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección

a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) Ocurran menos de 3 accidentes?

8. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes

al año. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada por un huracán: a) menos de 4 huracanes y b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

9. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas.

h@ckin

Resaltado

h@ckin

Resaltado

h@ckin

Resaltado


90

10. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al

preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.

11. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de que

a) menos de 5 presenten este problema b) 8, 9 o 10 presenten este problema

12. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias

de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0.05. El proceso se detiene en cualquier momento

en que se encuentran dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de

producción se detenga? (suponga un 5% de defectos) b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a

0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de

producción se detenga? 13. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se

considerará exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra

manera, no se considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras. La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada?

14. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford,

7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se

utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota. 15. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un

proceso de Poisson y en un promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la

probabilidad de que: a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera; b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera;

c) más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.

16. Calcular la probabilidad de acuerdo a los siguientes valores de z y esquematizarlos.

P(0.00 z 2.18) ; P(0.00 z -0.14) ; P(z -0.89); P(z 0.55); P(-1.15 z 2.00)

P(1.55 z 2.38); P(-0.20 z -2.14); y P(-2.00 z 2.14)

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17. La empresa “Compunet”, desea ofrecer un contrato especial de servicio que cubra

el costo total de cualquier reparación de una computadora. Según la experiencia, el gerente estima que los costos anuales de servicio tienen una distribución normal, con promedio de $1850.00 y desviación estándar de $250.00.

a) Si la empresa ofrece el contrato de servicio a cliente con un costo anual de

$2500.00, ¿Cuál es la probabilidad de que los costos de servicio con algunos

de los clientes rebase el precio del contrato? b) ¿Cuál es la ganancia esperada de la empresa por cada contrato de servicio?

18. La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez en las comunidades indígenas es de 17 años, y tiene una distribución normal, con una desviación estándar de 4 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad un alumno del Tecnológico de 19 años se case por primera vez?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez

tenga menos de 23 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez

tenga entre 20 y 30 años de edad?

d) El 90% de las personas que se casan por primera vez ¿a qué edad lo hacen? 19. Calcular la probabilidad de P (t12≤3.0545) y P (t25≤2.0595)

20. Determinar el valor de t

a) Si se tiene un tamaño de muestra igual 17 y alfa = 0.05 b) Si se tiene un tamaño de muestra igual 22 y alfa = 0.025 c) Si se tiene un tamaño de muestra igual 18 y se requiere una confiabilidad

acumulada de 0.995

http://badoo.com/01116216177/

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FUENTES DE INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA:

1. Anderson, D.; Sweeney D.; Williams, T. “Estadística para Administración y

Economía”.10ª. Edición. Cengage Learning Editores, México. 2008.

2. Delgado de la Torre, R. “Probabilidad y estadística para ciencias e ingenierías”, Delta Publicaciones. España. 2008

3. Devore, Jay L., Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 7° Edición,

Editorial Cengage Learning, México, 2008. 4. Kazmier, L.; Díaz Mata, A., Gómez Díaz, G. “Estadística aplicada a la administración y

la economía”. 4a. edición. Editorial McGraw Hill. España. 2006

5. Larson, H. “Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. LIMUSA. México. 1992.

6. Levin, R.; Rubin, D. “Estadística para administración y economía”. 7ª. Edición. Pearson

Educación. México. 2004. 7. Levin, R.; Rubin, D.; “Estadística para Administradores”. 6ª. Edición. Ed. Prentice Hall.

México. 1996.


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Cuadro comparativo de las distribuciones muestrales

Distribución Características Formula Observaciones

Binomial

Hipergeométrica

Poisson

Normal

t-student

X2

F


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Documents

Unidad IV.distribucionesMuestrales.2011.01