UNIT10

TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /1

UNIT 10

TEGASAN LENTUR

OBJEKTIF

Objektif am : Memahami hubungkait antara kedudukan paksi neutral dan momen luas kedua bagi keratan piawai dalam persamaan lenturan.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :- Memahami jenis-jenis keratan piawai Mengira kedudukan paksi neutral (PN) bagi keratan

piawai Mengira momen luas kedua (I) bagi keratan piawai Menggunakan persamaan lenturan untuk menyelesaikan

masalah-masalah yang melibatkan kekuatan dan lenturan rasuk yang disokong mudah dan rasuk julur


10.0 PENGENALAN

Di dalam unit ini, persamaan lenturan akan digunakan bagi menentukan tegasan lentur bagi bentuk-bentuk piawai. Untuk mendapatkan tegasan lentur, kedudukan paksi neutral (P.N) dan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk piawai (I) perlu dikira.

10.1 MOMEN LUAS KEDUA

Dalam merekabentuk sebatang rasuk atau aci, dimensi dan bentuk keratan yang paling sesuai dari segi kekuatan dan ekonomi perlu diberi perhatian. Nilai tegasan yang berlaku dalam sesuatu rasuk boleh ditentukan melalui persamaan-persamaan yang diterbitkan. Salah satu elemen dalam persamaan ini ialah momen luas kedua (I) atau momen Inersia . Berikut adalah kaedah bagaimana mendapatkan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk :- i. Keratan Segi Empat Rajah 10.1 di bawah menunjukkan satu rasuk yang mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat. Perhatikan satu rasuk julur luas dA, tebal dy, lebar b dan jarak y dari P.N. Oleh sebab keratan rentas rasuk adalah simetri, P.N. adalah terletak dipertengahan ukuran dalam rasuk.

b

A B dA

dy

y

D C

P.N. d

Rajah 10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat


Momen luas kedua di takrifkan sebagai dA y I 2=

Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah

12bd

3y b

dy y b

dy y I

3

2/

2/

3

2d/2

d/2-

22/

2/P.N.

=

=

=

=

d

d

d

d

Untuk Momen Luas Kedua pada paksi P.N.

Dengan cara yang sama, momen luas kedua keratan segiempat tepat melalui tepi bahagian bawah keratan diperolehi dengan kamiran dari 0 hingga d.

Oleh itu 3

bd 3y b I

3

0

3

CD =

=d

Untuk mendapatkan Momen Luas Kedua dari bahagian bawah tapak bagi sebuah segiempat atau dari paksi x - x

Bentuk piawai di atas terbukti memudahkan pengiraan IP.N. bagi keratan terbentuk. Ini ialah dengan cara membahagikan keratan tersebut kepada beberapa segiempat tepat. Sebagai contoh, nilai IP.N. untuk keratan simetri seperti dalam Rajah 10.2 di bawah.

A

B

b b C

D d

F E

P.N.

Rajah 10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I


IP.N. = IACEF Ib.b ; b.b = bahagian berlorek.

Untuk mendapatkan momen luas kedua dengan menggunakan kaedah potong.

12

)(bd 2 - 12

BD 33

= ii. Keratan bulat

Rajah 10.3 menunjukkan satu bulatan yang berjejari r. Unsur berlorek yang ditunjukkan dalam rajah tersebut mempunyai keluasan dA dan oleh itu persamaan berikut terbentuk:-

d ro r

dr

dA = rd dr

Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas Bulat

Daripada sistem kordinat kutub y = r sin

Momen luas kedua pada P.N. untuk keratan bulat diberikan oleh :-

4r

d sin 4r

4r d sin

dr rd sin r

dA y I

4

22

0

40

r

0

42

0

22r

0

2

0

2P.N.

0

o

=

=

=

=

=


10.2 TEOREM PAKSI SELARI

Teorem paksi selari menyatakan momen luas kedua pada mana-mana paksi yang selari dengan P.N. ( paksi X X ) adalah bersamaan dengan momen luas kedua keliling paksi yang melalui sentroid keratan itu ( P.N. ) campur hasil darab luas keratan dan ganda dua jarak antara paksi yang selari dengan P.N.

Perhatikan keratan bagi sebuah segiempat tepat seperti Rajah 10.4 . Jika sekiranya satu unsur daripada keratan itu yang mempunyai jarak y darp paksi x x, maka momen luas kedua keratan ini pada paksi x x boleh didapati dari persamaan :-

= dA y I 2xx

P y

N

h

dA

x x

y

Rajah 10.4: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

Jika garisan P.N. dilakarkan juga selari dengan garisan x x , maka rumusan di atas boleh dihuraikan seperti berikut:-

[ ]

++=

++=

+=

+=

dAh dA y'2h dA )(y'

dAh h 2y' ) (y'

)h y' ( I

h y' y

22

22

2xx

Kamiran pertama merupakan momen luas kedua keratan pada paksi yang melalui pusat bentuknya. Kamiran kedua merupakan momen luas pertama pada paksi yang melalui pusat bentuk, oleh itu dAy' adalah bersamaan dengan sifar.


Kamiran terakhir adalah untuk jumlah luas keratan. Seterusnya persamaan diatas boleh ditulis sebagai :-

Rumus ini penting dalam mencari nilai momen luas kedua sesuatu keratan yang terdiri daripada beberapa gabungan bentuk asas.

Ixx = IP.N. + Ah2

10.3 JADUAL KERATAN PIAWAI

Dari persamaan yang telah dibuat, kita boleh ringkaskannya seperti jadual dibawah:- Jadual 10.1: Ringkasan Momen Luas Kedua untuk bentuk piawai

BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

b/2 x =

d/2 y = 12bd3 IP.N. =

3bd I

3

xx =

x b

d/2 x = d/2 y = 4

r 64d I

44

P.N. ==

c r x x

34r y =

P.N r 0.11 I =

4

8r I

4

xx=

P.N. d y

x

y

P.N.

d

P.N

y


BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

36bh I

3

P.N. = c x x

h/3 y =

12bh I

3

xx =

48hb I

3

yy =

y P.N.

10.4 SENTROID

Seperti pusat gravity yang dianggap sebagai titik dimana semua jisim sesuatu jasad itu terpumpun, sentroid pula adalah titik dimana luasan sesuatu bentuk itu terpumpun. Berikut adalah contoh bagaimana sentroid sesuatu bentuk itu ditentukan. i. Bentuk Gabungan

Bentuk gambarajah boleh dihasilkan dengan menggabungkan beberapa bentuk asas atau memotong gambarajah asal (Rajah 10.5(a)).

Rajah 10.5(a)

D

C B

A

P

Bentuk dalam Rajah 10.5(a) dihasilkan dengan menggabungkan segiempat tepat ABCD dengan separuh bulatan ADP.


y tapak,dari Sentroid Tinggi

entroid tiap-tiap bentuk asas dari BC tidak sama iaitu

Rajah 10.5(b)

Oleh yang demikian,

ii. Bentuk Terpotong

mpat DEFG dipotong dan ditanggalkan

daripada bentuk segiempat asal ABCH.

Rajah 10.6(a)

Bagi Rajah 10.5(a) tinggi s

y1 y2 (Rajah 10.5(b)).

Dalam Rajah C10.6(a) bahagian segie

)A (A)yA y(A

AAy

y

2 1

2211

++=

=

C B

D

H

G

A

E

F

C B

D

C B

D A

y

A

P

C

p

D A

y2

y1

D


ntroid bagi setiap bentuk asas dari garisan BC adalah

sama Rajah 10.6(b)

Rajah 10.6(b)

gkan u dengan kaedah memotong dan memisahkan segiempat EDGF

aripada ABCG.

Rajah 10.7

Bagi Rajah 10.6(a) tinggi se

( ). Jadi,

21 y y y ==

y

C B

D

H

G

A

E

F

y2 y1 D

G

E

F

C B

H A

Merujuk kepada Rajah 10.7 pula bentuk L itu boleh dihasilkan dengan menggabundua segiempat atad

y

y2

y1 E D

C B

F A

D

G

E

F

C

A G

B


Jika menggunakan kaedah potong dan pisah, gunakan formula berikut:

ontoh 10.1

tebalnya 50 mm (Rajah C10.1). Tentukan momen luas kedua bagi rasuk tersebut.

Penyelesaian.

Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

d = 50 mm

ula IP.N. =

)A (A)yA y(A

AAy

y

2 1

2211

++=

=

C

Sebatang rasuk mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat, 30 mm lebar dan

30 mm

50 mm P.N.

b = 30 mm

12bd3 Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen luas kedua pada paksi neutral ( IP.N. ) Gunakan Form


47-

45

3

3

P.N.

mm 10 x 3.125

mm 10 x 3.125

1250 x 30

12bd I

=

=

=

=

Contoh 10.2 Kirakan momen luas kedua untuk keratan I seperti Rajah C10.2 pada paksi x x yang melalui pusat graviti keratan itu.

B A

120 mm

20 mm

100 mm

20 mm

20 mm

60 mm

X X

Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I Penyelesaian. Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari

permukaan x x.

y3 y2

y1

y

x x

P.N.

h1 h2

A B

B1

B2

h3

B3


Bahagian Luas, A ( mm2 ) y dari x x ( mm ) h (mm)

20 60

20 x 60 = 1200

20/2 + 120 = 130

yy = 130 57.1 = 72.9

100 20

100 x 20 = 2000

100/2 + 20 = 70

yy = 70 57.1 = 12.9

20

120

20 x 120 = 2400

20/2 = 10

y- y = 57.1 10 = 47.1

Langkah 2 Dapatkan pusat graviti bagi keratan I tersebut ) y ( . Katakan jarak

pusat graviti keratan itu ialah y dari permukaan atas ( A B ).

mm 57.1 y

) 20 x 120 ( ) 20 x 100 ( ) 20 x 60 () )(10 20 x 120 ( ) 70 )( 20 x 100 ( ) )(130 20 x 60 (

A A AyA yA yA

A yA y

321

332211

=

++++=

++++=

=


Langkah 3 Dapatkan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :-

Formula ini digunakan kerana bentuk piawai bagi keratan ini adalah segiempat tepat.

3

G 12bd I =

Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

mm 80,000 mm 671,666,666. mm 40,000

12

20 x 120 12

100 x 20 12

20 x 60

12db I

12db I

12db I

444

333

311

G1

311

G1

311

G1

===

===

===

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan

Formula :-

) 47.1 x 2400 ( 80,000 ) 12.9 x 2000 ( 671,666,666. ) 72.9 x 1200 ( 40,000

h A I h A I h A I

) hA I ( I

222

233 G3

222 G2

211 G1

2GPN

+++++=

+++++=

+= Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan di tolak dengan y untuk setiap bahagian

= 13.8 x 10-6 m4

= 13,820962.67 mm4


10.5 PERSAMAAN LENTURAN

Persamaan lenturan membolehkan kita menentukan nilai tegasan yang berlaku di jarak y daripada paksi neutral. Anggapan momen lentur ini malar biasanya tidak dapat di penuhi kerana momen lentur berubah dari keratan ke keratan di keseluruhan panjang rasuk. Dalam merekabentuk rasuk, tujuan kita adalah untuk menentukan nilai tegasan lentur maksimum yang berlaku. Oleh itu amalan biasa ialah untuk menggunakan nilai momen lentur maksimum yang didapati daripada gambarajah momen lentur bagi rsuk tersebut. Jadi tegasan yang ditentukan dengan menggunakan nilai ini adalah yang maksimum dan jika kita merekabentuk sebatang rasuk berdasarkan kepada nilai ini, maka sudah tentu ia akan dapat menentang momen lentur yang dikenakan.

10.6 MODULUS KERATAN

Kita telah pun melihat bahawa tegasan lentur berkadar terus dengan jarak daripada paksi neutral PN dan nilai tegasan ini boleh ditentukan dengan menggunakan persamaan:

y I

M =

Jika m ialah tegasan lentur maksimum yang berlaku dan ym ialah jarak maksimum daripada paksi neutral, maka:

yI x M

y

IM

mm

m

m

=

=

Persamaan ini memberi hubungan terus di antara momen lentur (M) dengan tegasan lentur () dan momen luas kedua (I).

Persamaan lenturan, dari unit 9 R

EI

My ==


Contoh 10.3

80 mm

20 mm

15 mm

60 mm

16 kN 16 kN

1 m 1 m

6 m

Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan Dikenakan Beban Tumpu Rentas T Sebatang bar T yang panjangnya 6 meter menanggung beban terpumpun. Tiap-tiap satu beban itu ialah 16 kN pada jarak 1 m dari kedua-dua hujung rasuk tersebut. Bar itu disangga mudah pada kedua-dua hujungnya, Rajah C10.3(a). Keratan rentas bar ditunjukkan pada Rajah C10.3 (b). Kirakan yang berikut :- i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah rasuk. ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk. iv. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk. Diberi: E bagi rasuk = 200 GN / m2


Penyelesaian. Bahagikan keratan tersebut kepada dua bahagian. Kirakan luas dan jarak

sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.

Luas ( mm2 ) y ( mm ) Bahagian

60 x 20 = 1200 80 + 20/2 = 90 60

1 20

80 x 15 = 1200 80/2 = 40

15

2 80

i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

mm 65

1200) 1200() 40 x (1200 ) 90 x (1200

AAyA yA y

21

2211

=

++=

++=

Oleh kerana kita menggunakan kaedah keratan terpotong, gunakan Formula ini.


ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.

Kirakan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h (mm )

1 433

mm 40,000 12

20 x 60 12bd == y-y = 90 65 = 25 mm

433

mm 640,000 12

80 x 15 12bd == 2 y - y = 65 40 = 25 mm

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) = ( 40,000 + ( 1200 x 252 ) ) + ( 640,000 + ( 1200 x 252 ) ) = 2.18 x 106 mm4

= 2.18 x 10-6 m4

iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

Gunakan formula MEI R

RE

y

IM ===

Dari pembebanan yang ditunjukkan, kita dapati bahawa susunan pembebanan itu adalah simetri, oleh itu tindakbalas :-

16 kN 16 kN

1 m 1 m

6 m

R1 R2

( + )

(-)

G.D.R

( + )

G.M.L.

R1 = R2 = 16 kN

Dari G.M.L. pula, momen lentur dipertengahan rentang :-


M = 16 kNm ( meleding ) iv. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

m 27.25

10 x 1610 x 2.18 x 10 x 200 R 3

-69

=

=

MEI R = nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m2

v. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.

Merujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :- ybawah > yatas

maksimum terhasil pada permukaan bawah iaitu, ymax = 65 mm = 0.065 m

) tegangan ( N/mm 10 x 477

10 x 18.20.065 x 10 x 16

IyM

26

6-

3maksmaks

=

==

maksimum terhasil pada permukaan atas iaitu,

ymaks = 35 mm = 0.035 m

)mampatan ( N/m 10 x 256.8 10 x 18.20.035 x 10 x 16

IyM

26

6-

3maksmaks

===


Contoh 10.4

Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam

80 mm

40 mm

60 mm

120 mm

E E

y 1 m

20 kN/m

Satu rasuk julur sepanjang 10 m menanggung beban teragih seragam disepanjang rentang rasuk itu. Keratan rentas rasuk adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah C10.4. dimana EE adalah permukaan atas bagi rasuk. Tentukan yang berikut :-

i. kedudukan paksi neutral bagi keratan rentas. ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. iii. Tegasan tegangan maksimum dan tegasan mampatan maksimum didalam

rasuk hasil dari lendutan. Penyelesaian. Bahagikan keratan tersebut kepada 2 bahagian. Dapatkan luas dan jarak

sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.

Luas ( mm2 ) Bahagian y ( mm )

120 x 40 = 4800 80 + 40/2 = 100 120

1 40

80 x 60 = 4800 80/2 = 40

60

2 80


i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

mm 70

4800) 4800() 40 x 4800 ( ) 100 x (4800

A A 21

2211

=

++=

++=

AAyyy

ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.

Oleh kerana kita menggunakan kaedah keratan terpotong, gunakan

Dapatkan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h ( mm)

1 4333

mm 10 x 640 12

40 x 120 12

==bd yy = 100 70 = 30

4333

mm 10 x 2560 12

80 x 60 12

==bd 2 y - y = 70 40 = 30

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) = ( 640 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) + ( 2560 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) = 11.84 x 106 mm4

= 1.184 x 10-5 m4

iii. Momen lentur maksimum berlaku pada bahagian bar yang bertemu tembok iaitu : Mmaks = ( - 20 x 103)( 1 )(0.5) = 10,000 Nm = 10 kNm Oleh kerana rasuk ini meleding, permukaan atas akan mengalami tegangan dan

permukaan bawah mengalami mampatan.


ybawah maksimum = 70 mm yatas maksimum = 120 70 = 50 mm

MN/m 59.12 10x 1.184

10 x 70 x 10,000 mampatan

MN/m 42.23 10 x 1.184

10 x 50 x 10,000 tegangan

IyM

y

IM

25-

3-

maks

25-

3-

maks

maksmaksmaks

==

==

==

10.7 AGIHAN TEGASAN

Jika nilai bagi tiap-tiap lapisan dari permukaan atas ke permukaan sebelah bawah rasuk ditentukan, nilai-nilai itu boleh diplotkan pada satu graf seperti dibawah. Graf menunjukkan agihan tegasan lentur.

Perhatikan yang nilai tidak bergantung kepada lebar keratan rentas sesuatu jalur. Pada lapisan P.N., = 0.

P.N.

5 cm

7 cm

+ 42.23 MN/m2

- 59.12 MN/m2

= 0

Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas T


Contoh 10.5 Rajah C10.5 menunjukkan keratan rentas bagi sebatang rasuk.

a) Kirakan :-

i) jarak y

ii) momen luas kedua keliling paksi neutral.

b) Jika rasuk itu yang disokong mudah pada kedua-dua hujungnya membawa beban teragih seragam 30 kN/m pada keseluruhan rentangnya yang panjangnya 3m, kirakan tegasan lentur dalam rasuk itu pada:- i) permukaan atas ii) permukaan bawah

80 mm

20 mm

20 mm 10 mm

100 mm

10 mm

100 mm

P.N.

40 mm

Rajah C10.5


Penyelesaian a) Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian

2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3).

P.N.

1

2

3

Rajah C10.5 (a) Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :- Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2

Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2

Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Kirakan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut. y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

i) Dapatkan nilai =

AAy

y formulan menggunakadengan y

mm 71.1

2000) - 4000 1600(60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600

A A Ay A - y A y A y

321

332211

=

++=

++=


ii) Dapatkan momen luas kedua keliling paksi neutral.

h1 = y1 - y = 110 65.3 = 44.7 mm

h2 = y - y2 = 65.3 50 = 15.3 mm

h3 = y - y3 = 65.3 60 = 5.3 mm

Dapatkan nilai Ah2 bagi setiap bahagian. A1h12 = 1600 x ( 44.7 )2 = 3.2 x 106 mm4

A2h22 = 4000 x ( 15.3 )2 = 936 x 103 mm4

A3h32 = 2000 x ( 5.30 )2 = 56 x 103 mm4

Gunakan formula Ic = 12bd3 untuk mendapatkan momen luas kedua bagi setiap

bahagian.

IC1 = 433

mm 10 x 53 12

20 x 80 =

IC2 = 433

mm 10 x 3.33 12

100 x 40 =

IC3 = 463

mm 10 x 1.67 12

100 x 20 = IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) - ( IC3 + A3h32 ) = 5.8 x 106 mm4

= 5.8 x 10-6 m4


b) Dapatkan daya yang bertindak balas pada kedua-dua hujung A dan B.

3 m

30 kN/m

RA RB

Rajah C10.5 (b)

Kita tahu bahawa rasuk tersebut dibebankan teragih seragam. Oleh yang demikian, dapatkan dahulu jumlah daya yang terlibat. Jumlah daya pada A = Jumlah daya pada B RA = RB

Oleh yang demikian, RA = RB = kN 45kN 2

330 = Mmaks akan berlaku dipertengahan rentang, oleh itu, Mmaks = (+45 ) x 1.5 + (- 30 x 1.5) x 0.75 = 33.75 kNm ybawah = 65.3 mm Oleh itu, yatas = 120 65.3 = 54.7 mm

Iy M

y

IM maksmaks

maks ==

26-

3

atas MN/m 318 x108.50.0547 x 10 x 33.75 ==

26-3

bawah MN/m 380 x108.50.0653 x 10 x 33.75 ==


AKTIVITI 10

UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA. SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA.

Kirakan momen luas kedua bagi keratan rentas rasuk dibawah:-

Semua ukuran dalam mm 10.1

A

200

90 90 B

300 260

D C

P.N.

10.2

200 300

100

200

120


10.3 80

20

20 10

100

10

100

P.N.

40

10.4 Sebatang aci bulat padu ABCD disokong mudah dan dibebankan seperti Rajah

10.4 di bawah. Kirakan diameter aci jika tegasan lentur maksimum yang dibenarkan ialah 100 MN/m2.

0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m

50 kN

A

20 kN 10 kN RA RE

B C D E

d

Rajah 10.4


10.5 Bentuk keratan rentas sebatang rasuk yang disokong mudah dikedua-dua hujungnya ditunjukkan dalam Rajah 10.5. Rasuk itu menanggung beban teragih seragam sebanyak 6 kN/m disepanjang rasuk. Jika tegasan lentur maksimum dalam rasuk itu tidak boleh melebihi 35 MN/m2, tentukan,

a) Panjang rasuk b) Tegasan tegangan maksimum

200 mm

25 mm

250 mm

25 mm

25 mm

150 mm

Rajah 10.5


MAKLUM BALAS 10

TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!

Jawapan :- 10.1

A B

D C

P.N.

B

D

b

d

Oleh kerana keratan ini adalah simetri, maka pusat bentuk adalah berada di tengah-tengah keratan.

Gunakan persamaan

=12bd 2 -

12BD I

33

P.N.

=

12 260 x 90 2 -

12300 x 200 I

3 3

P.N.

= 1.86 x 108 mm4 = 1.86 x 10-4 m4


10.2 Sebelum nilai momen luas kedua ini diperolehi, kedudukan pusat bentuknya perlu ditentukan dahulu. Bentuk keratan ini terdiri daripada dua komponen iaitu segiempat tepat dan bulatan. Sufiks 1 dipilih untuk segiempat tepat dan sufiks 2 untuk bulatan. Sekiranya tapak segiempat tepat dipilih sebagai paksi rujukan, maka persamaan berikut digunakan:-

x x

2

1

mm 138.4

4 (120) - )300)(200(

)200(4

(120) - (300)(150) 200

A - AA - A

A

2

2

21

2211

i

=

=

=

=

yy

A

yy

ii

ii

Setelah kedudukan P.N. diketahui, maka nilai momen luas kedua untuk keseluruhan keratan dapat dicari. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem paksi selari.


46

243

2222

2111..

mm 10 x 405

)4.138200(4

)120(64

)120()4.138150)(300)(200(12)(300) (200

)A I ( - )A (I

=

+

+=

++=

hhI NP

10.3 Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian

2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3).

P.N.

1

2

3

Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :- Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2

Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2

Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Dapatkan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut. y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

Dapatkan nilai =

AAy

y formulan menggunakadengan y


mm 71.1

2000) - 4000 1600(60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600

A A Ay A - y A y A y

321

332211

=

++=

++=

Kirakan nilai momen luas kedua

46-

46

233C3

222C2

211C1.N.P

43233

4633

C3

43222

4333

C2

46211

4333

C1

33

22

11

m 10 x 5.3

mm 10 x 5.3

)h A (I )h A (I )h A (I I

mm 10 x 56 hA ; mm 10 x 1.67 12

100 x 20 12bd I

mm 10 x 936 hA ; mm 10 x 3.33 12

100 x 40 12bd I

mm 10 x 3.2 hA ; mm 10 x 53 12

20 x 80 12bd I

mm 5.3 60 - 65.3 y - y h

mm 15.3 50 - 65.3 y - y h

mm 44.7 65.3 - 110 y - y h

=

=

++++=

====

====

====

===

===

===

10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat:

Momen ikut jam = Momen lawan jam MA = 0

0.1 x 50 0.3 x 20 0.5 x 10 0.6 x RE = 0 5 6 5 0.6RE = 0


RE = - 10 kN (menunjukkan arah sebenar RE adalah ke bawah) Dengan mengambil momen pada E, ia akan memberikan, Momen ikut jam = Momen lawan jam ME = 0 0.6 x RA 0.5 x 50 + 0.3 x 20 + 0.1 x 10 = 0 0.6RA 25 + 6 + 1 = 0 RA = 30 kN Semakan, Jumlah daya keatas = Jumlah daya ke bawah RA + RE + 20 kN + 10 kN = 50 kN (30 10 + 20 + 10) kN = 50 kN (kiraan adalah betul) Jika jumlah daya ke atas tidak sama dengan jumlah daya kebawah, ini menunjukkan pengiraan tersebut tidak tepat. Gambarajah momen lentur ditunjukkan seperti di bawah:

50 kN RE = 10 kN

RA = 30 kN 20 kN 10 kN

3 kNm

1 kNm

0.1 m0.2 m0.2 m 0.1 m

G.M.L


Dari G.M.L, momen lentur maksimum berlaku pada x = 0.1 m, dalam persamaan M = 30x, iaitu:

Mm = 30 x 0.1 = 3 kNm

Menggunakan I

M =y dengan

m = 100 x 106 N/m2 ym =

2d

Mm = 3 kNm

I = 64d4

Kita dapati,

mm 67.36 ddan

2 x 10 x 100 x 64 x 10 x 3 d

d x 64 x 10 x 3

d2 x 10 x 100

64d x

10 x 3

2d

10 x 100

6

33

4

36

4

36

=

=

=

=

10.5

Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari tapak

h1 h2 h3

y3 y2

y1

y

x x

. P.N

B1

B2

B3

Rajah 10.5(a)


Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )

25 150

25 x 150 = 3750 300 25/2 = 387.5

250 25

25 x 250 = 6250 25 + 125 = 150 mm

25

200 x 25 = 5000 12.5 mm 200

Langkah 2 Kirakan pusat graviti bagi keratan I tersebut ) y ( . Katakan jarak pusat

graviti keratan itu ialah y dari tapak.

mm 138.5 y

) 5000 ( 6250) ( 750)3 () )(12.5 5000 ( ) 150 )( 6250 ( ) )(287.5 3750 (

A A AyA yA yA

A yA y

321

332211

=

++++=

++++=

=

Langkah 3 Kirakan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :-

Formula ini digunakan kerana bentuk piawai bagi keratan ini adalah segiempat tepat.

3

G 12bd I =


Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

mm 10 x 260.4 mm 10 x 32.55 mm 10 x 195

12

25 x 200 12

250 x 25 12

25 x 150

12db I

12db I

12db I

434643

333

311

G1

311

G1

311

G1

===

===

===

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan

Formula :-

) 12.5 x 5000 ( 10 x 260.4 ) 150 x 6250 ( 10 x 32.55 ) 287.5 x 3750 ( 10 x 195

h A I h A I h A I

) hA I ( I

2

32623

233 G3

222 G2

211 G1

2Gxx

+++++=

+++++=

+=

Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan di tolak dengan y untuk setiap bahagian

= 196.5 x 106 mm4

= 196.5 x 10-6 m4 a) ybawah = 138.5 mm yatas = 300 138.5 mm = 161.5 mm yatas > ybawah max terhasil pada permukaan atas.


kNm 425.85

Nm 0.01615

10 x 196.5 x 10 x 35

y

I y

I

M

6-6

atas

maxmax

=

=

==

L m

6 kN/m

R R

Tindakbalas, R = 2

6L

= 3L Mmax berlaku pada pertengahan rentang, iaitu:

Mmaks = kNm 4L

2L(-6)

2L3L

+

= 0.75L2 kNm = 750 Nm 750L2 = 425.85 x 103 L = 23.8 m b) Oleh kerana rasuk itu melendut, maka permukaan bawah mengalami tegasan

lentur tegangan.

P.N.

161.5 mm

138.5 mm

- 35 MN/m2

+ bawah

= 0

Keratan rentas Agihan tegasan

Rajah 10.5(b)


tegangan = maksatas

bawah x y

y

= 2MN/m 35 x 161.5

5.138

= 30 MN/m2


PENILAIAN KENDIRI Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan dari pensyarah modul anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!! 1.

B A

200 mm

25 mm

250 mm

25 mm

25 mm

150 mm 2. 90 mm

20 mm

40 mm

30 mm


3. 20 cm

5 cm 4 cm

1 cm

20 cm

1 cm

1 cm 1 cm

4.

70 mm

100 mm 30 mm

5. Sebatang rasuk berbentuk keratan T dibebankan seperti Rajah 5. Kirakan

tegasan-tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam rasuk ini.

160 mm

20 mm

20 mm

120 mm

20 kN

A B

750 mm

3 m

Rajah 5: Rasuk Keratan T Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Tumpu


6. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 6. Jika tegasan lentur maksimum dihadkan kepada 35 kN/m2, kirakan nilai b.

b

3b

5 kN

A B

1 m

2 m

Rajah 6: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Tumpu 7. Sebatang rasuk berkeratan rentas bulat dibebankan seperti Rajah 7. Kirakan

tegasan lentur maksimum yang berlaku.

200 mm

A

600 kN

B

600 mm

100 kN

50 mm 250 mm

Rajah 7: Rasuk Disokong Mudah Keratan Bulat Yang Dikenakan Beban Tumpu

8. Tentukan nilai b bagi sebatang rasuk disokong secara mudah seoerti Rajah 8

dibawah dengan syarat tegasan lentur maksimum tidak melebihi 150 MN/m2.

b

100 mm

b

5 m

2 kN/m

RB RA

Rajah 8: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam


9. Sebatang rasuk julur dibebankan seperti Rajah 9. Jika tegasan lentur tidak boleh melebihi 60 MN/m2, tentukan W

100 mm

10 mm

W

40 mm

240 mm

Rajah 9: Rasuk Julur Bergeronggang Yang Dikenakan Beban Tumpu


MAKLUMBALAS

Adakah anda telah mencuba ?

Jika Ya, sila semak jawapan anda. Jawapan 1. 196.5 x 10-6 m4

2. 868 x 10-9 m4

3. 5742.7 cm4

4. 5.2 x 10-6 m4 5. Tegasan lentur maksimum = 38.35 MN/m2, 74.02 MN/m2 6. b = 47.6 mm 7. Tegasan lentur maksimum = 114.06 MN/m2 8. b = 25 mm 9. W = 17.39 kN

TEGASAN LENTURMomen luas kedua di takrifkan sebagai Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas BulatDaripada sistem kordinat kutub

BENTUKBENTUKRajah 10.7Contoh 10.1Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

Contoh 10.2Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I

BahagianContoh 10.3Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan Dikenakan Beban Tumpu Rentas T BahagianMerujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :-

Contoh 10.4

Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih SeragamBahagian

Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas TContoh 10.5Rajah 10.4

Rajah 10.5

10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat:

Bahagian

Documents

UNIT10