Università di Pisa Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e …people.dm.unipi.it/acquistp/manfroni.pdf · 2013. 5. 9. · Università di Pisa Facoltà di Scienze Matematiche,

Università di Pisa

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Tesi di Laurea Magistrale

Teorema di Noether per problemi variazionali con ritardo

Candidato

Filippo Manfroni

Relatore Controrelatrice

Prof. Paolo Acquistapace Prof.ssa Maria Stella Gelli

Anno Accademico 2011/2012

1

Indice

Introduzione 21. Azioni e invarianza puntuale di lagrangiane 62. Teorema di Noether classico 113. Leggi di conservazione con ritardo 284. Leggi di conservazione con ritardo per estremali non lisci. 415. Una condizione necessaria: la funzione eccesso di Weierstrass 486. Controllo ottimo 577. Controllo ottimo con ritardo 618. Appendice : Principi variazionali e funzionale d’azione. 73Riferimenti bibliografici 76

TEOREMA DI NOETHER PER PROBLEMI VARIAZIONALI CONRITARDO

Introduzione

Il concetto di simmetria gioca un ruolo fondamentale tanto nella matematica quan-to nella fisica. La traduzione matematica di una simmetria è l’invarianza di un siste-ma rispetto ad una famiglia di trasformazioni dipendenti da parametri: si possono,ad esempio, considerarare sistemi fisici su cui agiscono potenziali centrali, invariantiper traslazioni o riflessioni. L’importanza di questa proprietà consiste nell’esistenzadi leggi di conservazione, la cui tipica applicazione è la riduzione del numero di gradidi libertà di un sistema: tale procedimento può facilitare l’integrazione delle equa-zioni differenziali legate alle condizioni necessarie di ottimalità. Le equazioni dellafisica matematica hanno una struttura variazionale, e la più generale espressione del-la relazione esistente fra simmetria ed esistenza di leggi di conservazione è il teoremadi Noether.Il nostro lavoro, seguendo un procedimento piuttosto naturale, si concentra inizial-mente sulle proprietà derivanti dall’invarianza di una lagrangiana L (t,q, q̇) di classeC1 e differenziabile due volte, rispetto ad una famiglia ad un parametro reale α didiffeomorfismi Rn 3 q 7→ ψψψα(q) ∈ Rn di classe C2. Tale invarianza implica l’esistenzadell’integrale primo C(t,q, q̇) = ξξξ(q) · ∂L∂q̇ (t,q, q̇), dove ξξξ(q) =

∂ψψψα∂α (q)

∣∣∣α=0

denota ilgeneratore infinitesimale della trasformazione.Questo primo teorema permette di riassumere in un unico risultato alcune proprietàfisiche importanti, quali la conservazione della quantità di moto lungo ogni direzioneper una particella libera, la conservazione del momento angolare lungo ogni asse perun punto materiale soggetto ad un campo di forze centrali, e la conservazione deimomenti coniugati alle variabili cicliche nella lagrangiana stessa.Il medesimo risultato può essere raggiunto introducendo un opportuno funzionalee analizzandone l’invarianza rispetto a classi di trasformazioni. Più precisamente,scelti a < b in R e qa,qb ∈ Rn, posto

Γ.= {q : [a, b]→ Rn,q(a) = qa,q(b) = qb,q ∈ C2([a, b],Rn)}

2

TEOREMA DI NOETHER PER PROBLEMI VARIAZIONALI CON RITARDO 3

e

I[q(·)] =∫ baL(t,q, q̇)dt

si mostra che, qualora per ogni sottointervallo [ta, tb] ⊆ [a, b], per ogni q ∈ Γ e ogniscelta di α ∈ (−ε0, ε0) si abbia∫ tb

ta

L(t,ψψψα(q),

d

dtψψψα(q)

)dt =

∫ tbta

L(t,q, q̇)dt

il sistema lagrangiano ha lo stesso integrale primo.Generalizzando lo stesso metodo illustrato da Emmy Noether nel suo lavoro Invarian-te Variationsprobleme1, concentrato piuttosto su gruppi di trasformazioni, abbiamointrodotto famiglie ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) di trasformazioni di tempi t ecoordinate q del tipo

t = ϕ(t,q, α) = ϕα(t,q)

q = ψψψ(t,q, α) = ψψψα(t,q)

dove ϕα : [a, b]×Rn → R e ψψψα : [a, b]×Rn → Rn sono diffeomorfismi di classe C2 perogni scelta del parametro α, e ϕ0(t,q) = t,ψψψ0(t,q) = q per ogni t e q. Si mostra che,detti η(t,q) = ∂ϕ∂α(t,q, α)

∣∣α=0

e ξξξ(t,q) = ∂ψψψ∂α (t,q, α)∣∣α=0

i generatori infinitesimalidelle due trasformazioni, un integrale primo è

C(t,q, q̇).=∂L

∂q̇

(t,q, q̇

)· ξξξ(t,q) +

[L(t,q, q̇)− ∂L

∂q̇

(t,q, q̇

)· q̇]η(t,q).

Di questo risultato abbiamo illustrato due dimostrazioni. La prima di esse è basatasul calcolo della variazione del funzionale I, la seconda invece discende da succes-sive condizioni necessarie, fra cui quella di ottimalità di du Bois-Reymond per gliestremali. Anche in questo caso, abbiamo fornito alcuni esempi ricorrenti nella fisicaclassica, per rendere l’idea di come, ancora una volta, il teorema di Noether sugge-risca idee per scoprire nuove leggi di conservazione.

Dal capitolo 3, seguendo i recentissimi articoli [5] e [6], cominciamo a gene-ralizzare il teorema di Noether a problemi variazionali e di controllo con ritardo;sottolineiamo che nella letteratura precedente non è presente alcuna trattazione diciò. La presenza del ritardo nelle variabili di stato e/o di controllo gioca un ruolocruciale nel modellizzare fenomeni fisici della vita reale e ha numerose e non bana-li applicazioni nella teoria dei campi. Da un punto di vista matematico, scelto un

1E. Noether, Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. ZuGöttingen, Math-Phys. Klasse 1918: pagg. 235–257.


0 < τ < b − a, si definisce lagrangiana una funzione L di classe C1 e differenziabiledue volte dell’argomento

[q]τ (t).= (t,q(t), q̇(t),q(t− τ), q̇(t− τ)) ,

si fissano un qb ∈ Rn, una δδδ : [a − τ, a] → Rn di classe C2 a tratti e una classe dicurve ammissibili

Γ.= {q : [a− τ, b]→ Rn,q(b) = qb,q|[a−τ,a] = δδδ,q|[a,b] ∈ C2}

per poter definire un nuovo funzionale d’azione

Iτ [q(·)] =∫ baL ([q]τ (t)) dt.

Il primo importante risultato è un’estensione delle naturali equazioni di Eulero-Lagrange a equazioni con ritardo τ , che devono essere soddisfatte da ogni estremaleq di Iτ . Si introduce inoltre lo sviluppo al prim’ordine nel parametro infinitesimo αdi trasformazioni di tempi e coordinate, che ha l’espressione

t̄ = t+ αη(t,q) + o(α)

q̄ = q + αξξξ(t,q) + o(α)

con η ∈ C1(R1+n,R

)e ξξξ ∈ C1

(R1+n,Rn

). Tramite un’opportuna definizione d’inva-

rianza di Iτ , si dimostra l’esistenza dell’integrale primo definito da

[∂q̇(·)L ([q]τ (t)) + ∂q̇(·−τ)L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂q̇(·)L ([q]τ (t)) + ∂q̇(·−τ)L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

se a ≤ t ≤ b− τ∂q̇(·)L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t)) +

[L ([q]τ (t))− ∂q̇(·)L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η(t,q(t))

se b− τ ≤ t ≤ b

Il capitolo 4 è dedicato all’estensione dei risultati precedenti al caso in cui le curveammissibili siano di classe C1

([a− τ, b],Rn

)a tratti: si dimostra che, al fine di otte-

nere un nuovo integrale primo, è sufficiente restringere la ricerca degli estremali nondi classe C2 a quelli che soddisfano la condizione di du Bois-Reymond.A completamento del quadro lagrangiano, è sembrato opportuno trattare (nel capi-tolo 5) una condizione necessaria di minimo per Iτ , definendo un’opportuna funzioneeccesso E

(t,q(t),q(t− τ),q(t+ τ), q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ),p

), la cui costruzione ri-

corda quella di Weierstrass senza ritardo.La seconda parte dell’elaborato è dedicata alla ricerca di un integrale primo per laformulazione hamiltoniana del problema di minimo del funzionale


Iτ [q(·),u(·)] =∫ baL(t,q(t),u(t),q(t− τ),u(t− τ)

)dt

sottoposto al vincolo

q̇(t) = ϕϕϕ(t,q(t),u(t),q(t− τ),u(t− τ)

),

dove ϕϕϕ è di classe C1 e, nel quadro del controllo ottimo con ritardo, sono consideratiammissibili i controlli u : [a − τ, b] → Rr di classe C0 e le q : [a − τ, b] → Rn diclasse C1 su [a, b]; la condizione iniziale è q|[a−τ,a] = δδδ, con δδδ : [a − τ, a] → Rn diclasse C1 a tratti fissata. È stato dimostrato nel dettaglio il teorema di Pontryagincon ritardo, dopo aver definito un’opportuna funzione hamiltoniana H, ed è statadedotta una serie di condizioni necessarie sui minimi del problema esposto espresseda sistemi hamiltoniani e condizioni stazionarie. Infine, introducendo lo sviluppo alprim’ordine nel parametro infinitesimo α di un sistema di trasformazioni di tempi,coordinate, controlli e co-stati

t̄ = t+ αη (t,q,u) + o(α)

q̄ = q + αξξξ (t,q,u) + o(α)

ū = u + αρρρ (t,q,u) + o(α)

p̄ = p + αςςς (t,q,u) + o(α)

(ove η ∈ C1(R1+n+r,R), ξξξ, ςςς ∈ C1(R1+n+r,Rn), ρρρ ∈ C0(R1+n+r,Rr)) e definendo op-portunamente l’invarianza del funzionale Iτ rispetto a tali trasformazioni, è statopossibile costruire l’invarianteC (t,q(t),q(t− τ),u(t),u(t− τ),p(t)) = −p(t) · ξξξ (t,q(t),u(t))

+H(t,q(t),u(t),q(t− τ),u(t− τ),p(t)

)η (t,q(t),u(t)) .


1. Azioni e invarianza puntuale di lagrangiane

Consideriamo una famiglia di trasformazioni

ψψψα : Rn → Rn

tali che per ogni scelta del parametro α (che può variare in R oppure S1) ψψψα sia undiffeomorfismo. Useremo di frequente la notazione ψψψ(q, α) = ψψψα(q).Se tale famiglia soddisfa le seguenti proprietà:

• ψψψ0 = IdRn• ∀ α, β ψψψα+β = ψψψα ◦ψψψβ

si dice che, con l’operazione di gruppo data dalla composizione di funzioni, essa de-finisce una azione su Rn.

Esempio 1.1. Forniamo subito degli esempi di azioni su Rn:(1) la traslazione e dilatazione di coefficiente α lungo il k-esimo asse coordinato,

la cui espressione èψψψα(q) = q + αêk

dove êk è il k-esimo vettore della base canonica.(2) la rotazione di angolo α attorno ad un asse â passante per l’origine, che

denoteremo nel seguito con ψψψα(q) = Râα(q). In generale, la matrice n×n cherappresenta tale applicazione lineare è ortogonale del gruppo speciale, cioè adeterminante positivo. Nel caso n = 3, si verifica facilmente che

ψψψα(q) = Râα(q) = exp(αA)q

dove A ∈ M3×3(R) è la matrice antisimmetrica che rappresenta il prodottovettore: Aq = â× q. Se â = (a1, a2, a3), risulta

A =

0 −a3 a2a3 0 −a1−a2 a1 0

Nel caso in cui, ad esempio, â = ê3, si ha

A =

0 −1 01 0 00 0 0

dunque

ψψψα(q) = Rê3α (q) = exp(αA)q =

cosα − sinα 0sinα cosα 00 0 1

q


(3) il flusso di un sistema dinamico continuo del tipo q̇ = ξξξ(q). Esso si rappre-senta nella forma

ψψψt(q0) = q(t)

dove q(t) rappresenta la curva soluzione del sistema dinamico con condizioneiniziale q0 al tempo t. In questo caso il parametro α è rappresentato dallavariabile t.

Definizione 1.2. Data una famiglia ad un parametro di diffeomorfismi che rappre-senta un’azione su Rn, usando le notazioni introdotte, si dice generatore infinitesimaledell’azione

ξξξ(q).=∂ψψψα∂α

(q)∣∣∣α=0

=∂ψψψ

∂α(q, 0)

Calcoliamo i generatori infinitesimali corrispondenti alle azioni definite negli esempi:(1) ∂ψψψα∂α (q)

∣∣α=0

= êk ⇒ ξξξ(q) ≡ êk(2) ∂ψψψα∂α (q)

∣∣α=0

= A exp(αA)q∣∣α=0

= Aq = â× q

A proposito dell’esempio (3), osserviamo esplicitamente che, se ad ogni campo vet-toriale è associata l’azione del corrispondente flusso, ogni azione è in realtà il flussodel campo vettoriale rappresentato dal suo generatore infinitesimale:

∂ψψψα∂α

(q) =∂ψψψ

∂α(q, α)

= limh→0

ψψψ(q, α+ h)−ψψψ(q, α)h

= limh→0

ψψψ (ψψψ(q, α), h)−ψψψ(ψψψ(q, α), 0)h

=∂ψψψ

∂α(ψψψ(q, α), 0)

= ξξξ((ψψψ(q, α)

)Abbiamo perciò provato che ψψψα(q) soddisfa un’equazione del tipo Ẋ = ξξξ(X).

Nel seguito, ci riferiremo con il termine lagrangiana ad una funzione

L : [a, b]× Rn × Rn → R

di classe C1 nei suoi argomenti t,q, q̇ e differenziabile due volte. Le equazioni diEulero-Lagrange relative a L sono date da

d

dt

∂L

∂q̇− ∂L∂q

= 0.


Definizione 1.3. Data L come sopra, una funzione C : [a, b] × Rn × Rn → R sidice costante del moto o integrale primo per il sistema definito dalle equazioni diEulero-Lagrange se ddtC(t,q, q̇) = 0 lungo le curve integrali.

Definizione 1.4. Sia L una lagrangiana, e Rn 3 q 7→ ψψψα(q) ∈ Rn una famiglia adun parametro α di diffeomorfismi di classe C2.Sia

Rn 3 q̇ 7→ ∂ψψψα(q)

∂qq̇ ∈ Rn

la naturale estensione dei diffeomorfismi alla coordinata q̇.Diciamo che L è invariante rispetto all’azione se per ogni scelta di t,q, q̇, α si ha

L(t,q, q̇) = L(t,ψψψα(q),

∂ψψψα(q)

∂qq̇)

Teorema 1.5. (Noether, formulazione puntuale)Con le notazioni introdotte nelle due definizioni precedenti, sia L una lagrangianainvariante rispetto alla famiglia di diffeomorfismi ψψψα di classe C2. Allora

C(t,q, q̇).= ξξξ(q) · ∂L

∂q̇(t,q, q̇) =

n∑j=1

∂ψψψj∂α

(q, 0)∂L

∂q̇j(t,q, q̇)

è un integrale primo del sistema.

Dimostrazione. L’ipotesi implica che

∂

∂α

[L(t,ψψψα(q),

∂ψψψα(q)

∂qq̇)]

= 0.

Ma osserviamo che∂ψψψα(q)

∂qq̇ =

d

dt

(ψψψα(q)

),

perciò, omettendo per semplicità di notazione le dipendenze funzionali, otteniamo

0 =n∑j=1

∂L

∂qj· ∂ψψψjα∂α

+∂L

∂q̇j· ∂∂α

d

dtψψψjα

=n∑j=1

∂L

∂qj· ∂ψψψjα∂α

+∂L

∂q̇j· d

dt

∂ψψψjα∂α

dove abbiamo potuto scambiare le derivate nel secondo addendo per l’ipotesi diregolarità C2. Valutando questa uguaglianza per α = 0, risulta

0 =

n∑j=1

∂L

∂qj· ξξξj +

∂L

∂q̇j· d

dtξξξj

ossia, lungo le soluzioni dell’equazione di Eulero-Lagrange,


0 =n∑j=1

d

dt

∂L

∂q̇j· ξξξj +

∂L

∂q̇j· d

dtξξξj

=d

dt

n∑j=1

∂L

∂q̇j· ξξξj

=d

dt

[∂L

∂q̇· ξξξ

].

�

Esempio 1.6. Riferendoci alla meccanica classica, vediamo come la formulazioneappena dimostrata del teorema di Noether permetta di ritrovare alcuni risultati noti.

(1) Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove liberamente inR3, non soggetto ad alcuna forza. La lagrangiana associata a tale moto è

L(q, q̇) =1

2m|q̇|2

Introduciamo la famiglia ad un parametro di diffeomorfismi C2 di R3 in sédata da

ψψψα(q) = q + αê

dove ê ∈ S2. In questo caso, ξξξ(q) = ∂ψψψα∂α (q)∣∣∣α=0

= ê, e ∂ψψψα∂q = Id3×3 perciò

L(ψψψα(q), Id3×3q̇) = L(q, q̇) =1

2m|q̇|2

per ogni scelta di q, q̇, α. Osserviamo infatti esplicitamente che q e t sonocoordinate cicliche in L. Data l’invarianza, il teorema garantisce che

C(q, q̇) = mq̇ · êè un integrale primo del moto; riconosciamo in tale espressione la conser-vazione della quantità di moto lungo la direzione ê. D’altra parte, questacostruzione vale per ogni scelta di ê ∈ S2, dunque la quantità di moto siconserva in ogni direzione.

(2) Consideriamo un punto materiale di massa m soggetto in R3 ad un campodi forze centrale di potenziale V . La lagrangiana associata al moto è

L(q, q̇) =1

2m|q̇|2 − V (|q|)

Introduciamo la famiglia ad un parametro di diffeomorfismi C2 di R3 in sédata da

ψψψα(q) = Râα(q)


(riferendoci alle notazioni dell’esempio (1.1)).Risulta ∂ψψψα∂q (q) = R

âα(q) essendo in questo caso ψψψα lineare in q. Perciò,

L(ψψψα(q),

∂ψψψα∂q

q̇)

= L(Râα(q), R

âα(q̇)

)= L(q, q̇)

in quanto le rotazioni conservano le norme. Data l’invarianza, il teoremagarantisce che

C(q, q̇) = ξξξ(q) · ∂L∂q̇

(q, q̇) = (â× q) ·mq̇ = m(q× q̇) · â.

Riconosciamo in questa espressione la conservazione della componente lungol’asse â del momento angolare. Anche in questo caso, data l’arbitrarietàdella scelta dell’asse â, concludiamo, applicando il teorema, che il momentoangolare si conserva lungo ogni asse.

(3) Supponiamo che tra le variabili della lagrangiana L la k-esima coordinata siaciclica, ossia

L = L(t,q1, . . . ,qk−1,qk+1, . . . ,qn, q̇).

Introduciamo la famiglia ad un parametro di diffeomorfismi C2 di Rn in sédata da

ψψψα(q) = q + αêk.

Risulta ∂ψψψα∂q = Idn×n, e dunque, data la ciclicità di qk in L, si ha

L(t,ψψψα(q),

∂ψψψα∂q

q̇)

= L(t,q, q̇).

L’invarianza implica allora la conservazione lungo il moto di

C(t,q, q̇) = ξξξ(q) · ∂L∂q̇

(t,q, q̇) = êk ·∂L

∂q̇(t,q, q̇) =

∂L

∂q̇k(t,q, q̇)

Classicamente, tale quantità si indica con pk e si definisce come momentoconiugato alla variabile ciclica.


2. Teorema di Noether classico

Cominciamo questa sezione definendo alcuni oggetti e spazi a cui ci riferiremo intutto il seguito.Scelti, a < b in R, qa,qb ∈ Rn poniamo

Γ.= {q : [a, b]→ Rn,q(a) = qa,q(b) = qb,q ∈ C2([a, b],Rn)}.

Se L è una lagrangiana di classe C1 e differenziabile due volte, sia I il funzionale diazione2 associato ad L, I : Γ→ R dato da

I[q(·)] =∫ baL(t,q, q̇)dt.

Consideriamo una famiglia ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) di trasformazioni di coor-dinate (non necessariamente con una struttura di gruppo) ψψψα : Rn → Rn doveψψψα(q) = ψψψ(q, α), ψψψα di classe C2 per ogni scelta di α, e ψψψ0(q) = q ∀q ∈ Rn.Anche in questo caso, denoteremo con ξξξ(q) = ∂ψψψα∂α (q)

∣∣∣α=0

il generatore infinitesimale.

Definizione 2.1. Con le notazioni appena introdotte, se∫ tbta

L(t,ψψψα(q),

d

dtψψψα(q)

)dt =

∫ tbta

L(t,q, q̇)dt

per ogni scelta di α ∈ (−ε0, ε0), q ∈ Γ e [ta, tb] ⊆ [a, b], allora diremo che il funzionaleI risulta invariante rispetto alla famiglia ψψψα.

Teorema 2.2. Siano L,ψψψα, I,Γ come sopra. Supponiamo che il funzionale I risultiinvariante rispetto a ψψψα nel senso della definizione (2.1). Allora, lungo le soluzioniin Γ delle equazioni di Eulero-Lagrange

d

dt

∂L

∂q̇− ∂L∂q

= 0

relative a L, la quantità

C(t,q, q̇) = ξξξ(q) · ∂L∂q̇

(t,q, q̇) =

n∑j=1

∂ψψψj∂α

(q, 0)∂L

∂q̇j(t,q, q̇)

è costante.

Dimostrazione. L’invarianza implica che per ogni scelta di t0 ∈ [a, b] si ha

d

dα

[∫ t0a

L(t,ψψψα(q(t)),

d

dtψψψα(q(t))

)dt

]∣∣∣α=0

= 0.

2Rimandiamo all’appendice per richiami sulla derivabilità secondo Gâteaux di tale funzionale esul principio variazionale di Hamilton.


Date le ipotesi di regolarità e la compattezza dell’intervallo di integrazione, possia-mo derivare sotto il segno d’integrale, ed otteniamo (omettendo per semplicità ledipendenze funzionali)

∫ t0a

[∂L

∂q· ∂ψψψα∂α

+∂L

∂q̇· ∂∂α

d

dtψψψα

]∣∣∣α=0

dt = 0.

Sostituendo l’equazione di Eulero-Lagrange, e scambiando l’ordine di derivazione nelsecondo addendo (possiamo farlo, data la regolarità C2 delle trasformazioni), risulta

∫ t0a

[d

dt

∂L

∂q̇· ∂ψψψα∂α

+∂L

∂q̇· d

dt

∂ψψψα∂α

]∣∣∣α=0

dt = 0.

Riconosciamo nell’integrando una derivata totale, precisamente si ottiene∫ t0a

d

dt

[∂L

∂q̇· ∂ψψψα∂α

]∣∣∣α=0

dt.

Applicando dunque il teorema fondamentale del calcolo integrale, risulta (recuperan-do le dipendenze funzionali)

∂L

∂q̇

(t0,q(t0), q̇(t0)

)· ξξξ(q(t0)

)=∂L

∂q̇

(a,q(a), q̇(a)

)· ξξξ(q(a)

)per ogni scelta di t0 ∈ [a, b].

�

Vediamo ora di generalizzare i risultati finora raggiunti. Siano L, I,Γ come sopra.Considereremo famiglie ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) di trasformazioni di tempi te coordinate q che indicheremo così:

t = ϕ(t,q, α) = ϕα(t,q)

q = ψψψ(t,q, α) = ψψψα(t,q)(1)

dove ϕα : [a, b] × Rn → R e ψψψα : [a, b] × Rn → Rn sono diffeomorfismi di classe C2per ogni scelta del parametro α.I diffeomorfismi in (1) trasformano la curva γ rappresentata parametricamente dat 7→ q(t) in una nuova curva γ∗. Più precisamente, dalle equazioni (1), eliminando ilparametro t (ossia sostituendolo con la ϕ−1α (t)), otteniamo che t̄ 7→ q̄(t̄) rappresentaparametricamente γ∗.


Definizione 2.3. Con le notazioni introdotte, diremo che il funzionale I risultainvariante per le trasformazioni in (1) se per ogni sottointervallo [ta, tb] ⊆ [a, b] si ha

∫ t̄(tb)t̄(ta)

L

(t̄, q̄(t̄),

dq̄

dt̄

)dt̄ =

∫ tbta

L(t,q, q̇)dt.

Esempio 2.4. Facciamo subito due esempi per capire il comportamento di funzionalirispetto a famiglie di diffeomorfismi di tempi e coordinate.

• Sia n = 1 e consideriamo il funzionale

J [q] =∫ baq̇(t)2dt

associato alla lagrangiana L : R3 → R, L(x, z, p) = p2.Introduciamo la famiglia ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) di trasformazioni

t = ϕα(t, q) = t+ α

q = ψα(t, q) = q(2)

Sia γ la curva di rappresentazione parametrica t 7→ q(t) per a ≤ t ≤ b e γ∗ lasua trasformata, parametrizzata da t̄ 7→ q̄(t̄) = q(t̄−α) per a+α ≤ t̄ ≤ b+α.Per ogni [ta, tb] ⊂ [a, b] risulta

∫ t̄(tb)t̄(ta)

[dq̄(t̄)

dt̄

]2dt̄ =

∫ t̄(tb)t̄(ta)

[dq(t̄− α)

dt̄

]2dt̄ =

∫ tbta

[dq(t)

dt

]2dt

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo usato il cambio di variabili t = t̄ − α.Perciò, secondo la definizione (2.3), J è invariante rispetto alle trasformazioni(2).• Sempre nel caso n = 1, consideriamo il funzionale

J [q] =∫ batq̇(t)2dt

associato alla lagrangiana L : R3 → R, L(x, z, p) = xp2. Vogliamo concludereche questo non è un funzionale invariante rispetto alla famiglia di diffeomor-fismi definiti in (2).Per negare la definizione, scegliamo ta = a e tb = b:


J [q̄] =∫ t̄(b)t̄(a)

t̄

[dq̄(t̄)

dt̄

]2dt̄ =

∫ t̄(b)t̄(a)

t̄

[dq(t̄− α)

dt̄

]2dt̄

=

∫ ba

(t+ α)

[dq(t)

dt

]2dt

= J [q] + α∫ ba

[dq(t)

dt

]2dt

6= J [q].

Vogliamo ora introdurre una tecnica che ci permetta di calcolare esplicitamente lavariazione di un funzionale, in un senso che definiremo opportunamente.Consideriamo dapprima il caso n = 1, ossia trattiamo il caso di funzioni q scalari;inoltre, per dare una visione il più ampia possibile, consideremo ammissibili tuttele q di classe C2 definite su intervalli chiusi, a meno di definirne un prolungamentoopportuno. In questa costruzione, gli estremi di integrazione del funzionale I risul-teranno variabili.Siano γ1 e γ2 due curve ammissibili parametrizzate rispettivamente dalle mappet 7→ q1(t) e t 7→ q2(t); siano ρ la distanza euclidea nel piano e P 10 , P 11 gli estremi nelpiano del cammino γ1, P 20 , P 21 gli estremi nel piano del cammino γ2.Prolunghiamo, ove necessario, con tratti lineari affini i grafici di γ1 e γ2: tale prolun-gamento è di classe C1 con derivata prima lipschitziana; la coppia di cammini risultain questo modo definita sull’unione dei domini e definiamo la seguente distanza:

d(γ1, γ2).= max |q1 − q2|+ max |q̇1 − q̇2|+ ρ(P 10 , P 20 ) + ρ(P 11 , P 21 )

Siano ora γ1 e γ2 due curve vicine nel senso degli intorni indotti dalla distanza appenadefinita. Se q1 e q2 sono le rispettive parametrizzazioni, poniamo h(t) = q2(t)− q1(t)(al solito, prolungando i grafici in modo regolare tramite funzioni lineari affini).Dunque, essendo q2 = q1 + h, rimuoviamo i pedici e porremo q1 = q. Supponiamoche q sia definita sull’intervallo [a, b]; gli estremi dei cammini sono dati da

P 10 = (a, qa), P11 = (b, qb)

P 20 = (a+ δa, qa + δqa), P21 = (b+ δb, qb + δqb)

dove supporremo, sempre senza perdita di generalità, che δa, δb > 0.L’incremento fra le curve parametrizzate da q e q + h è definito come

∆I .= I[q + h]− I[q]

dove, coerentemente con la costruzione eseguita, il funzionale I calcola l’integrale sututto l’intervallo [a, b+ δb] invece che soltanto su [a, b].


Risulta, per definizione,

∆I =∫ b+δba+δa

L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt−

∫ baL(t, q(t), q̇(t)

)dt

ossia

∆I =∫ ba

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(t, q(t), q̇(t)

)]dt

+

∫ b+δbb

L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt

−∫ a+δaa

L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)) dt

(3)

Applichiamo uno sviluppo di Taylor degli integrandi, arrestato al prim’ordine rispet-to alla distanza d(γ1, γ2), osservando che nell’espressione di quest’ultima comparefra gli addendi max |h|, dove h è la parametrizzazione della curva che rappresental’incremento. Più precisamente, sia ε = ||h||C1 + δa + δb + |δqa |+ |δqb |; lo sviluppo diTaylor sarà arrestato a termini di prim’ordine rispetto a ε.Occupiamoci del primo addendo della (3). Sviluppando, si ha∫ b

a

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(t, q(t), q̇(t)

)]dt

=

∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)h(t) +

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)ḣ(t)

]dt+ o(ε)

=

∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)h(t)

]dt+

∫ ba

[∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)ḣ(t)

]dt+ o(ε)

=

∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)h(t)

]dt+ h(t)

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)∣∣∣ba

−∫ ba

[d

dt

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)]h(t) dt+ o(ε)

=

∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)−( d

dt

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

))]h(t) dt

+ h(t)∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)∣∣∣ba

+ o(ε).

Ma, ricordando il tipo di prolungamento scelto per i grafici, si ha:

h(a) = δqa − q̇(a)δa + o(ε)

h(b) = δqb − q̇(b)δb + o(ε)


e dunque

∫ ba

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(t, q(t), q̇(t)

)]dt

=

∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)−( d

dt

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

))]h(t) dt

+∂L

∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)δqb −

∂L

∂q̇

(a, q(a), q̇(a)

)δqa

−

[∂L

∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)q̇(b)δb −

∂L

∂q̇

(a, q(a), q̇(a)

)q̇(a)δa

]+ o(ε).

Consideriamo ora il secondo addendo di (3). Sviluppando con Taylor, e ricordandole espressioni di h(a) e h(b), otteniamo

L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)= L

(t, q(t), q̇(t)

)+∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)h(t)

+∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

)ḣ(t) + o(ε)

da cui, valutando in t = b,

L(b, q(b) + h(b), q̇(b) + ḣ(b)

)= L

(b, q(b), q̇(b)

)+∂L

∂q

(b, q(b), q̇(b)

)h(b)

+∂L

∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)ḣ(b) + o(ε).

Questo implica che

∫ b+δbb

[L(b, q(b) + h(b), q̇(b) + ḣ(b)

)− L

(b, q(b), q̇(b)

)]dt

=∂L

∂q

(b, q(b), q̇(b)

)h(b)δb +

∂L

∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)ḣ(b)δb + o(ε) = o(ε).

Ora,


∫ b+δbb

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(b, q(b), q̇(b)

)]dt

=

∫ b+δbb

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(b, q(b) + h(b), q̇(b) + ḣ(b)

) ]dt

+

∫ b+δbb

[L(b, q(b) + h(b), q̇(b) + ḣ(b)

)− L

(b, q(b), q̇(b)

)]dt

=

∫ b+δbb

[L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(b, q(b) + h(b), q̇(b) + ḣ(b)

) ]dt+ o(ε)

= o(ε),

dove nell’ultimo passaggio si è semplicemente utilizzata la continuità dell’integranda.Perciò, ∫ b+δb

bL(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt

= L(b, q(b), q̇(b)

)δb + o(ε)

ed analogamente ∫ a+δaa

L(t, q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt

= L(a, q(a), q̇(a)

)δa + o(ε)

Perciò, raccogliendo complessivamente, otteniamo

∆I =∫ ba

[∂L

∂q

(t, q(t), q̇(t)

)−( d

dt

∂L

∂q̇

(t, q(t), q̇(t)

))]h(t) dt

+∂L

∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)δqb −

∂L

∂q̇

(a, q(a), q̇(a)

)δqa

+

[L(b, q(b), q̇(b)

)− ∂L∂q̇

(b, q(b), q̇(b)

)q̇(b)

]δb

−

[L(a, q(a), q̇(a)

)− ∂L∂q̇

(a, q(a), q̇(a)

)q̇(a)

]δa + o(ε).

Definizione 2.5. Con riferimento alle notazioni della sezione, ed omettendo persemplicità le dipendenze funzionali, definiamo variazione di I relativa agli incrementiδa, δb, δqa , δqb la quantità (che differisce da ∆I per termini di ordine superiore al primoin d)

δI =∫ ba

[∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q̇

]hdt+

∂L

∂q̇δq∣∣∣ba

+

[L− ∂L

∂q̇q̇

]δt∣∣∣ba


avendo posto δq∣∣a,b

= δqa , δqb e δt∣∣a,b

= δa, δb rispettivamente.

Vediamo ora di generalizzare i risultati ottenuti finora a n dimensioni.Anche in questo caso considereremo ammissibili curve il cui parametro varia su inter-valli chiusi diversi. Siano γγγ1, γγγ2 due curve ammissibili parametrizzate rispettivamenteda t 7→ q1(t) e t 7→ q2(t). Continueremo ad indicare con P 10 , P 11 gli estremi del cam-mino γγγ1 e con P 20 , P 21 gli estremi del cammino γγγ2.A patto di prolungare tramite funzioni lineari affini raccordate in modo regolare, lacoppia di cammini risulta definita sull’unione dei rispettivi domini e consideriamo ladistanza d̃

(γγγ1, γγγ2

)data dal prodotto delle distanze d (già definite in precedenza) fra

le mappe componenti qj1,qj2.

Consideriamo ora, come nel caso n = 1, una coppia di curve γγγ1, γγγ2 vicine nel sensodegli intorni indotti dalla distanza d̃ appena definita. Se q1 e q2 sono le rispettiveparametrizzazioni, poniamo h(t) = q2(t)− q1(t).Dunque, essendo q2 = q1 + h, rimuoviamo i pedici e porremo q1 = q. Supponiamoche q sia definita sull’intervallo [a, b]; gli estremi dei cammini risultano

P 10 = (a,qa), P11 = (b,qb)

P 20 = (a+ δa,qa + δqa), P21 = (b+ δb,qb + δqb)

dove abbiamo introdotto i vettori

δqa = (δq1a , . . . , δqna )

δqb = (δq1b, . . . , δqnb )

e supporremo anche in questo caso, senza perdita di generalità, che δa, δb > 0.Analogamente a quanto fatto per n = 1, poniamo

∆I = I[q + h]− I[q]

dove, coerentemente con la costruzione eseguita, l’integrale viene calcolato su tuttol’intervallo [a, b+ δb] invece che soltanto su [a, b].Risulta, per definizione,


L(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt−

∫ baL(t,q(t), q̇(t)

)dt

ossia

∆I =∫ ba

[L(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)− L

(t,q(t), q̇(t)

)]dt

+

∫ b+δbb

L(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt

−∫ a+δaa

L(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt.

(4)


Applichiamo uno sviluppo di Taylor degli integrandi, arrestato al prim’ordine rispettoalla distanza d̃(γγγ1, γγγ2) e indichiamo con ∼ la relazione di uguaglianza a meno ditermini di ordine superiore al primo rispetto a tale quantità.Occupiamoci innanzitutto del primo termine di (4): risulta, omettendo per semplicitàle dipendenze funzionali,∫ b

a

[L(t,q + h, q̇ + ḣ

)− L

(t,q, q̇

)]dt

∼∫ ba

[∂L

∂q· h + ∂L

∂q̇· ḣ

]dt

=

∫ ba

[∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q̇

]· hdt+ ∂L

∂q̇· h∣∣∣ba

D’altra parte, per ogni j = 1, . . . , n, a meno di termini di ordine superiore al primoin d(γγγj1, γγγ

j2) dal prolungamento lineare affine segue che

hj(a) = δqja − q̇j(a)δa

hj(b) = δqjb− q̇j(b)δb

perciò si ha

∫ ba

[L(t,q + h, q̇ + ḣ

)− L

(t,q, q̇

)]dt

∼∫ ba

[∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q̇

]· hdt+ ∂L

∂q̇

(b,q(b), q̇(b)

)· δqb −

∂L

∂q̇

(a,q(a), q̇(a)

)· δqa

−

[∂L

∂q̇

(b,q(b), q̇(b)

)· q̇(b)δb −

∂L

∂q̇

(a,q(a), q̇(a)

)· q̇(a)δa

].

Infine, approssimiamo (analogamente al caso 1-dimensionale) gli altri due addendidi (4) al prim’ordine in d̃:∫ b+δb

bL(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt ∼ L

(b,q(b), q̇(b)

)e ∫ a+δa

aL(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt ∼ L

(a,q(a), q̇(a)

)Raccogliendo complessivamente tutti i termini, risulta:



L(t,q(t) + h(t), q̇(t) + ḣ(t)

)dt−

∫ baL(t,q(t), q̇(t)

)dt

∼∫ ba

[∂L

∂q

(t,q(t), q̇(t)

)− d

dt

∂L

∂q̇

(t,q(t), q̇(t)

)]· hdt

+∂L

∂q̇

(b,q(b), q̇(b)

)· δqb −

∂L

∂q̇

(a,q(a), q̇(a)

)· δqa

+

[L(b,q(b), q̇(b)

)− ∂L∂q̇

(b,q(b), q̇(b)

)q̇(b)

]δb

−

[L(a,q(a), q̇(a)

)− ∂L∂q̇

(a,q(a), q̇(a)

)q̇(a)

]δa

Definizione 2.6. Con riferimento alle notazioni della sezione, ed omettendo persemplicità le dipendenze funzionali, definiamo variazione di I relativa agli incrementiδa, δb, δqa , δqb la quantità (che differisce da ∆I per termini di ordine superiore alprimo in d̃)

δI =∫ ba

[∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q̇

]· hdt+ ∂L

∂q̇· δq∣∣∣ba

+

[L− ∂L

∂q· q̇

]δt∣∣∣ba

avendo posto δq∣∣a,b

= δqa , δqb e δt∣∣a,b

= δa, δb rispettivamente.

Siamo ora in grado di dare una prima dimostrazione del

Teorema 2.7. (Noether, 1918)Siano L, I,Γ come sopra. Sia

t = ϕ(t,q, α) = ϕα(t,q)

q = ψψψ(t,q, α) = ψψψα(t,q)

una famiglia ad un parametro α di trasformazioni di tempi e coordinate, doveϕα : [a, b] × Rn → R e ψψψα : [a, b] × Rn → Rn sono diffeomorfismi di classe C2 perogni scelta del parametro α ∈ (−ε0, ε0), e ϕ0(t,q) = t,ψψψ0(t,q) = q per ogni t ∈ [a, b]e q ∈ Γ. Supponiamo che I sia invariante rispetto alle trasformazioni introdotte, nelsenso precisato dalla definizione (2.3). Allora, detti

η(t,q).=∂ϕ

∂α

(t,q, α

)∣∣∣α=0

ξξξ(t,q).=∂ψψψ

∂α(t,q, α)

∣∣∣α=0


i generatori infinitesimali, risulta che

C(t,q, q̇).=∂L

∂q̇

(t,q, q̇

)· ξξξ(t,q) +

[L(t,q, q̇)− ∂L

∂q̇

(t,q, q̇

)· q̇

]η(t,q)

è un integrale primo del sistema lagrangiano.

Dimostrazione. Sviluppiamo con Taylor al prim’ordine rispetto ad α le relazioni chedefiniscono le trasformazioni, supponendo α infinitesimo:

t = ϕ(t,q, α) = ϕ(t,q, 0) + α∂ϕ

∂α

(t,q, α

)∣∣∣α=0

+ o(α) = t+ αη(t,q) + o(α)

q = ψψψ(t,q, α) = ψψψ(t,q, 0) + α∂ψψψ

∂α

(t,q, α

)∣∣∣α=0

+ o(α) = q + αξξξ(t,q) + o(α)

(5)

Supponiamo che t 7→ q(t) sia un estremale debole di I, ossia3 una soluzione delleequazioni di Eulero-Lagrange, e utilizziamo la definizione di variazione introdottanella definizione (2.6), relativamente agli incrementi

δt = αη

δq = αξξξ

al solito ignorando i termini di ordine superiore al primo in α.Data l’invarianza, risulta (omettendo per semplicità le dipendenze funzionali)

0 =∂L

∂q̇· δq∣∣∣ba

+

[L− ∂L

∂q· q̇

]δt∣∣∣ba

= α

{∂L

∂q̇· ξξξ∣∣∣ba

+

[L− ∂L

∂q· q̇

]η∣∣∣ba

}Dunque, {

∂L

∂q̇· ξξξ +

[L− ∂L

∂q· q̇

]η

}∣∣∣t=a

=

{∂L

∂q̇· ξξξ +

[L− ∂L

∂q· q̇

]η

}∣∣∣t=b

Ora, la conservazione di C lungo ogni estremale segue dall’arbitrarietà della sceltadi a e b. �

Vogliamo ora proporre una seconda dimostrazione del teorema (2.7), ricavando pro-gressivamente solo condizioni necessarie derivanti dalla definizione di invarianza cheabbiamo adottato per il funzionale I.

3rimandiamo all’appendice, si tratta del principio variazionale di Hamilton.


Proposizione 2.8. Con riferimento alle notazioni finora adottate, supponiamo Iinvariante rispetto alle trasformazioni (1). Allora (omettendo per semplicità le di-pendenze funzionali), si ha

∂L

∂tη +

∂L

∂q· ξξξ + ∂L

∂q̇·(ξ̇̇ξ̇ξ − q̇η̇

)+ Lη̇ = 0. (6)

Dimostrazione. La relazione d’invarianza della definizione (2.3) è soddisfatta perogni sottointervallo [ta, tb] ⊆ [a, b], dunque possiamo rimuovere il segno d’integrale escrivere, equivalentemente,

L(t,q, q̇

)= L

(t+ αη + o(α),q + αξξξ + o(α),

dq̄dtdt̄dt

)dt̄

dt

ossia

L(t,q, q̇

)= L


q̇ + αξ̇̇ξ̇ξ + o(α)

1 + αη̇ + o(α)

)(1 + αη̇ + o(α))

Osserviamo esplicitamente che l’infinitesimo o(α) che compare nelle equazioni (5) èrappresentato da una ω(α) differenziabile in un intorno di 0 ed avente per definizionela proprietà che limα→0

ω(α)α = 0. Applicando il teorema di de l’Hôpital, risulta che

la derivata prima di o(α) è o(1). Deriviamo ora entrambi i membri dell’equazionerispetto al parametro α. Calcoliamo separatamente

d

dα

[1

1 + αη̇ + o(α)

(q̇ + αξ̇̇ξ̇ξ + o(α)

)]=

−η̇ + o(1)(1 + αη̇ + o(α))2

(q̇ + αξ̇̇ξ̇ξ + o(α)

)+

1

1 + αη̇ + o(α)

(ξ̇̇ξ̇ξ + o(1)

)e sostituiamo questa identità in

0 =d

dα

[L


q̇ + αξ̇̇ξ̇ξ + o(α)

1 + αη̇ + o(α)

)(1 + αη̇ + o(α))

]

ottenendo


0 =

[∂L

∂tη +

∂L

∂q· ξξξ

+∂L

∂q̇·

(−η̇ + o(1)

(1 + αη̇ + o(α))2(q̇ + αξ̇̇ξ̇ξ + o(α)

)+

1

1 + αη̇ + o(α)

(ξ̇̇ξ̇ξ + o(1)

))](1 + αη̇ + o(α))

+ L[η̇ + o(1)].

Valutiamo ora entrambi i membri dell’equazione per α = 0, ottenendo infine

∂L

∂tη +

∂L


∂q̇·(ξ̇̇ξ̇ξ − q̇η̇

)+ Lη̇ = 0.

In conclusione, osserviamo che l’inclusione dell’infinitesimo o(α) nella definizione diinvarianza è del tutto ininfluente ai fini del calcolo, perciò nelle definizioni successivea questa lo ometteremo. �

Proposizione 2.9. (Ottimalità di du Bois-Reymond)Con riferimento alle notazioni finora adottate, supponiamo che q : [a, b] → Rn siaun estremale debole del funzionale I. Allora vale l’uguaglianza

∂L

∂t

(t,q(t), q̇(t)

)=

d

dt

[L(t,q(t), q̇(t)

)− ∂L∂q̇

(t,q(t), q̇(t)

)· q̇(t)

]. (7)

Dimostrazione. Omettendo le dipendenze funzionali per semplicità di notazione,abbiamo

d

dt

[L− ∂L

∂q̇· q̇]

=d

dtL− d

dt

[∂L

∂q̇· q̇]

=∂L

∂t+∂L

∂q· q̇ + ∂L

∂q̇· q̈− d

dt

∂L

∂q̇· q̇− ∂L

∂q̇· q̈

=∂L

∂tdove abbiamo usato le equazioni di Eulero-Lagrange e la regola di derivazione dellafunzione composta. �

Siamo in grado di provare il teorema (2.7): anche in questo caso ometteremo le ovviedipendenze funzionali.Sia t 7→ q(t) un estremale debole del funzionale I e, ricordando la proposizione (2.8),dall’invarianza di I segue

∂L

∂tη +

∂L


∂q̇·(ξ̇̇ξ̇ξ − q̇η̇

)+ Lη̇ = 0.


Equivalentemente,∂L


∂q̇· ξ̇̇ξ̇ξ + ∂L

∂tη +

[L− ∂L

∂q̇· q̇]η̇ = 0.

Tenendo presente che ddt∂L∂q̇ =

∂L∂q e utilizzando la condizione di ottimalità di du Bois-

Reymond, risultad

dt

∂L

∂q̇· ξξξ + ∂L

∂q̇· ξ̇̇ξ̇ξ + d

dt

[L− ∂L

∂q̇· q̇]η +

[L− ∂L

∂q̇· q̇]η̇ = 0

e per concludere è sufficiente osservare che il membro di sinistra è una derivata totale,precisamente si ha

d

dt

[∂L

∂q̇· ξξξ +

(L− ∂L

∂q̇· q̇)η

]= 0.

Esempio 2.10. Vediamo qualche esempio e applicazione del teorema di Noetherclassico.

• Dato un sistema lagrangiano, un risultato standard della meccanica classicaè l’esistenza di un integrale primo detto di Jacobi, che esiste qualora il si-stema sia definito da una lagrangiana L non dipendente esplicitamente dallavariabile t. Esso è dato da

E(q, q̇) =∂L

∂q̇(q, q̇) · q̇− L(q, q̇).

Quello che vogliamo mostrare è una sorta di viceversa. Con le notazionidella sezione, supponiamo che (secondo la definizione (2.3)) il funzionale Isia invariante per la seguente famiglia ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) ditrasformazioni puramente temporali:

t̄ = t+ α

q̄ = q

I generatori infinitesimali corrispondenti sono:

η(t,q) ≡ 1ξξξ(t,q) ≡ 0

La legge di conservazione corrispondente a questa invarianza è, per il teoremadi Noether,

d

dt

[∂L

∂q̇· ξξξ +

(L− ∂L

∂q̇· q̇)η

]= 0

ossia, nello specifico,d

dt

[L− ∂L

∂q̇· q̇]

= 0.


Sviluppiamo la derivata totale lungo le soluzioni dell’equazione di Eulero-Lagrange ottenendo:

0 =∂L

∂t+∂L

∂q· q̇ + ∂L

∂q̇· q̈− d

dt

(∂L

∂q̇· q̇)

=∂L

∂t

e poiché tale equazione vale per ogni scelta di t,q, q̇, abbiamo ottenuto chela lagrangiana L non dipende esplicitamente dalla variabile t.• Consideriamo, per n = 1, l’equazione differenziale del II ordine

q̈ + λq̇ + ω2q = 0 (8)

il cui significato fisico è quello della legge del moto di un oscillatore armonicodi costante elastica k, frequenza ω =

√km(dove m è la massa dell’oscillatore)

e coefficiente di smorzamento λ > 0 (che ha le dimensioni fisiche dell’inversodi un tempo).Possiamo immediatamente dedurre una legge di dissipazione: moltiplichiamoentrambi i membri della (8) per q̇ ottenendo

q̈q̇ + λq̇2 + ω2qq̇ = 0

ossia

d

dt

[12q̇2 +

1

2ω2q2

]= −λq̇2

Vogliamo dedurre, applicando il teorema di Noether, un integrale primo delsistema. La (8) è equivalente all’equazione di Eulero-Lagrange relativa aduna opportuna L ∈ C1(R× R× R,R), data da

L(t, q, q̇) = eλt(m

2q̇2 − m

2ω2q2

).

Fissati a, b ∈ R, consideriamo il consueto funzionale d’azione I e introducia-mo la famiglia di trasformazioni ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0)

t̄ = t+ α

q̄ = e−λα2 q


Verifichiamo, secondo la definizione (2.3), l’invarianza di I rispetto a talefamiglia:∫ t̄(tb)

t̄(ta)L

(t, q̄(t̄),

dq̄

dt̄

)dt̄ =

∫ t̄(tb)t̄(ta)

eλt̄

(m

2

(dq̄

dt̄

)2− m

2ω2q̄2

)dt̄

=

∫ tbta

eλt+λα

(m

2e−λα

(dq

dt

)2− m

2ω2e−λαq2

)dt

=

∫ tbta

eλt(m

2q̇2 − m

2ω2q2

)dt =

∫ tbta

L(t, q, q̇

)dt.

Supponiamo ora α infinitesimo e sviluppiamo al prim’ordine in α le relazioniche definiscono la famiglia di trasformazioni:

t̄ = t+ α

q̄ = e−λα2 q =

(1− λα

2

)q + o(α) = q − αλ

2q + o(α).

I generatori infinitesimali corrispondenti sono

η(t, q) ≡ 1

ξ(t, q) = −12λq

e cerchiamo l’integrale del moto conseguente l’invarianza: nel nostro caso siha

d

dt

[−1

2λ∂L

∂q̇q +

(L− ∂L

∂q̇q̇

)]= 0.

Svolgendo il conto, si ricava la legge di conservazioned

dt

[eλt(q̇2 + ω2q2 + λqq̇

)]= 0

lungo le soluzioni dell’equazione di Eulero-Lagrange.• Prendiamo in esame ora il caso di un punto materiale di massa m immerso(in Rn) in un campo esterno modellizzato da un’onda piana. A meno di unriscalamento, la lagrangiana è

L (t,q, q̇) =1

2|q̇|2 − V (q− tu)

dove supponiamo V potenziale regolare e u ∈ Rn è fissato. Fissati a, b ∈ R,consideriamo il consueto funzionale d’azione I e introduciamo la famiglia ditrasformazioni ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0)

t̄ = t+ α

q̄ = q + αu


Verifichiamo, secondo la definizione (2.3), l’invarianza di I rispetto a talefamiglia: sia [ta, tb] ⊆ [a, b]; allora∫ t̄(tb)

t̄(ta)L(t̄, q̄(t̄),

dq̄

dt̄

)dt̄

=

∫ t̄(tb)t̄(ta)

[1

2

∣∣∣dqdt̄

(t̄− α)∣∣∣2 − V (q(t̄− α) + αu− t̄u)]dt̄

=

∫ tbta

[12|q̇(t)|2 − V

(q(t)− tu

)]dt

=

∫ tbta

L(t,q, q̇

)dt.

Le relazioni che definiscono le trasformazioni sono già lineari e deduciamoche i generatori infinitesimali sono

η ≡ 1ξξξ ≡ u

Allora, denotata con

E(t,q, q̇

)=

1

2|q̇|2 + V (q− tu)

l’energia totale del sistema, deduciamo dal teorema (2.7) la legge di conser-vazione

d

dt

(q̇ · u− E

)= 0

lungo le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange.


3. Leggi di conservazione con ritardo

Scelti a, b ∈ R tali che a < b, e un parametro di ritardo 0 < τ < b − a, in questasezione definiremo lagrangiana

L : [a, b]× Rn × Rn × Rn × Rn → R

una funzione di classe C1 e differenziabile due volte dell’argomento

[q]τ (t).= (t,q(t), q̇(t),q(t− τ), q̇(t− τ))

estesa per convenzione a L ([q]τ (t))|[a,b]c ≡ 0.Fisseremo inoltre qb ∈ Rn, una δδδ : [a − τ, a] → Rn di classe C2 a tratti e una classedi curve ammissibili

Γ.= {q : [a− τ, b]→ Rn,q(b) = qb,q|[a−τ,a] = δδδ,q|[a,b] ∈ C2}

ed osserviamo che q|[a−τ,a] = δδδ implica che anche l’estremo q(a) è fissato ed ugualeper ogni curva ammissibile, perché coincidente con δδδ(a).Introduciamo il funzionale di azione con ritardo Iτ : Γ→ R dato da

Iτ [q(·)] =∫ baL ([q]τ (t)) dt

Ogni γγγ : [a − τ, b] → Rn di classe C2 e tale che γγγ(b) = 0 e γγγ(t) = 0 per ognit ∈ [a− τ, a] verrà detta variazione ammissibile.Considereremo, al variare di q ∈ Γ, λ ∈ R, e γγγ variazione ammissibile la famigliadi curve variate {q + λγγγ} e diremo estremale debole di Iτ ogni curva q ∈ Γ taleche ddλI

τ [q + λγγγ]∣∣∣λ=0

= 0 per ogni γγγ ammissibile. Per semplicità di notazione,indicheremo inoltre con ∂iL la derivata parziale della lagrangiana calcolata rispettoal suo i-esimo argomento.

Teorema 3.1. Con le notazioni appena introdotte, supponiamo che q ∈ Γ sia unestremale debole per Iτ . Allora esiste un vettore costante c ∈ Rn tale che q soddisfiil seguente sistema di equazioni integro-differenziali:

∂3L(t,q(t), q̇(t),q(t− τ), q̇(t− τ)

)+ ∂5L

(t+ τ,q(t+ τ), q̇(t+ τ),q(t), q̇(t)

)=

=∫ tb−τ

[∂2L

(s,q(s), q̇(s),q(s− τ), q̇(s− τ)

)+∂4L

(s+ τ,q(s+ τ), q̇(s+ τ),q(s), q̇(s)

)]ds+ c se a ≤ t ≤ b− τ

∂3L(t,q(t), q̇(t),q(t− τ), q̇(t− τ)

)=

=∫ tb−τ ∂2L

(s,q(s), q̇(s),q(s− τ), q̇(s− τ)

)ds+ c se b− τ ≤ t ≤ b

Dimostrazione. Calcoliamo esplicitamente


d

dλIτ [q + λγγγ]

∣∣∣λ=0

=

=d

dλ

∣∣∣λ=0

∫ baL(t,q(t) + λγγγ(t), q̇(t) + λγ̇̇γ̇γ(t),q(t− τ) + λγγγ(t− τ),

q̇(t− τ) + λγ̇̇γ̇γ(t− τ))

dt

=

∫ ba

[∂2L ([q]τ (t)) · γγγ(t) + ∂3L ([q]τ (t)) · γ̇̇γ̇γ(t)

+ ∂4L ([q]τ (t)) · γγγ(t− τ) + ∂5L ([q]τ (t)) · γ̇̇γ̇γ(t− τ)]

dt.

Dividiamo questo integrale nella somma di quattro termini, effettuando un il cambiodi variabili s = t− τ negli ultimi due addendi:

d


∣∣∣λ=0

=

∫ ba∂2L ([q]τ (t)) · γγγ(t) dt+

∫ ba∂3L ([q]τ (t)) · γ̇̇γ̇γ(t) dt

+

∫ b−τa−τ

∂4L(s+ τ,q(s+ τ), q̇(s+ τ),q(s), q̇(s)

)· γγγ(s) ds

+

∫ b−τa−τ

∂5L(s+ τ,q(s+ τ), q̇(s+ τ),q(s), q̇(s)

)· γ̇̇γ̇γ(s) ds.

Ripristinando la variabile muta t e tenendo presente che, per ipotesi sulle variazioniammissibili, γγγ∣∣[a−τ,a] = 0, otteniamo


d


∣∣∣λ=0

=

∫ ba∂2L ([q]τ (t)) · γγγ(t) dt+

∫ ba∂3L ([q]τ (t)) · γ̇̇γ̇γ(t) dt

+

∫ b−τa

∂4L(t+ τ,q(t+ τ), q̇(t+ τ),q(t), q̇(t)

)· γγγ(t) dt

+

∫ b−τa

∂5L(t+ τ,q(t+ τ), q̇(t+ τ),q(t), q̇(t)

)· γ̇̇γ̇γ(t) dt

=

∫ b−τa

[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· γγγ(t) dt

+

∫ bb−τ

∂2L ([q]τ (t)) · γγγ(t) dt

+

∫ b−τa

[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]· γ̇̇γ̇γ(t) dt

+

∫ bb−τ

∂3L ([q]τ (t)) · γ̇̇γ̇γ(t) dt.

Più concisamente, possiamo porre

ΘΘΘ(t) =

{∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ)) se a ≤ t ≤ b− τ∂2L ([q]τ (t)) se b− τ ≤ t ≤ b

ΞΞΞ(t) =

{∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ)) se a ≤ t ≤ b− τ∂3L ([q]τ (t)) se b− τ ≤ t ≤ b

e scrivere (integrando poi per parti il primo addendo, tenendo presente che γγγ(a) =γγγ(b) = 0)

d


∣∣∣λ=0

=

∫ ba

ΘΘΘ(t) · γγγ(t) + ΞΞΞ(t) · γ̇̇γ̇γ(t) dt

= −∫ ba

[∫ tb−τ

ΘΘΘ(s) ds

]· γ̇̇γ̇γ(t) dt+

∫ ba

ΞΞΞ(t) · γ̇̇γ̇γ(t) dt

=

∫ ba

[ΞΞΞ(t)−

(∫ tb−τ

ΘΘΘ(s) ds

)]· γ̇̇γ̇γ(t) dt.

Ora, se q è un estremale debole, per definizione si ha ddλI[q + λγγγ]∣∣∣λ=0

= 0 e taleequazione vale per ogni scelta della variazione ammissibile γγγ; dunque, applicando illemma fondamentale del calcolo delle variazioni4, otteniamo una versione modificata

4nell’appendice 1 abbiamo provato la versione scalare del calcolo delle variazioni: la versionevettoriale si ottiene estendendola in modo ovvio : sia f ∈ C0([a, b],Rn) tale che

∫ baf(t) · φφφ(t) dt = 0

per ogni funzione φφφ di classe C1, con supporto contenuto in (a, b) e a valori in Rn. Allora f ≡ 0.


delle equazioni di Eulero-Lagrange:

ΞΞΞ(t) =

∫ tb−τ

ΘΘΘ(s) ds+ c a ≤ t ≤ b

per un’opportuno vettore costante c.Sostituendo le espressioni di ΞΞΞ e ΘΘΘ in quest’ultima equazione si ottiene la tesi. �

Corollario 3.2. Con le notazioni introdotte, supponiamo che q ∈ Γ sia un estremaledebole per Iτ . Allora q risolve la seguente coppia di equazioni differenziali:

ddt

[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]=

= ∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ)) se a ≤ t ≤ b− τddt

[∂3L ([q]τ (t))

]= ∂2L ([q]τ (t)) se b− τ ≤ t ≤ b

(9)

Osservazione. In realtà, nella dimostrazione dei due precedenti risultati si utilizzasoltanto l’ipotesi che le funzioni ammissibili siano di classe C1 a tratti, con la con-venzione che se una condizione coinvolge q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ) per un t ∈ [a, b] taleche qualcuna di queste quantità non sia ben definita, la condizione stessa è intesavalere con le derivate interpretate sia come destre, sia come sinistre. Le conclusionidel corollario restano valide, tranne nei punti di non derivabilità delle funzioni am-missibili.Osserviamo inoltre che, essendo L di classe C1 e differenziabile due volte, è possibileche i membri di sinistra delle precedenti uguaglianze abbiano delle discontinuità. Inparticolare, nel limite t → (b − τ)−, si considererà valida la prima equazione, nellimite t→ (b− τ)+ la seconda.

Definizione 3.3. Chiameremo estremali con ritardo τ le soluzioni nella classe Γ delsistema di equazioni differenziali (9).

Consideriamo, mantenendo le stesse notazioni finora introdotte, famiglie di tra-sformazioni di tempi e coordinate ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0) del tipo (1), chesviluppate in un intorno di α = 0 al prim’ordine hanno questa espressione:

t̄ = t+ αη(t,q) + o(α)

q̄ = q + αξξξ(t,q) + o(α)(10)

con η ∈ C1(R1+n,R

)e ξξξ ∈ C1

(R1+n,Rn

).

Definizione 3.4. Con le notazioni introdotte, il funzionale Iτ risulta invariante perle trasformazioni sviluppate in (10) se per ogni sottointervallo [ta, tb] ⊆ [a, b] si ha


0 =d

dα

∣∣∣α=0

∫ tbta

L

(t+ αη(t,q(t)),q(t) + αξξξ(t,q(t)),

q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

1 + αη̇(t,q(t)),

q(t− τ) + αξξξ(t− τ,q(t− τ)),

q̇(t− τ) + αξ̇̇ξ̇ξ(t− τ,q(t− τ))1 + αη̇(t− τ,q(t− τ))

)(1 + αη̇(t,q(t))

)dt.

Osserviamo che la definizione appena data estende la (2.3) ai funzionali di azionecon ritardo; abbiamo trascurato i termini di ordine superiore al primo in α perchéininfluenti.

Proposizione 3.5. Con le notazioni introdotte, se il funzionale Iτ è invarianteper le trasformazioni infinitesime (10), allora vale la seguente coppia di condizioninecessarie:

∫ b−τa

{∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t)) +

[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]·(ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))− q̇(t)η̇(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0∫ b

b−τ

{∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t))

+ ∂3L ([q]τ (t)) ·(ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))− q̇(t)η̇(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0

(11)

Dimostrazione. Consideriamo la definizione di invarianza (3.4) scegliendo ta = ae tb = b. Calcoliamo esplicitamente il secondo membro dell’uguaglianza, tenendopresente che possiamo derivare sotto il segno di integrale per le ipotesi di regolaritàeffettuate. Prima di tutto, poniamo

ζζζα(t,q(t), q̇(t)).=

d

dα

(q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

1 + αη̇(t,q(t))

)=

− η̇(t,q(t))[1 + αη̇(t,q(t))

]2 [q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))]+ 11 + αη̇(t,q(t)) ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t)).Calcolando la derivata presente nella definizione (3.4), risulta (omettendo dove risul-tano ovvie le dipendenze funzionali)


0 =

∫ ba

{[∂1L η(t,q(t)) + ∂2L · ξξξ(t,q(t)) + ∂3L · ζζζα(t,q(t), q̇(t))

](1 + αη̇(t,q(t))

)+ L η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ ba

[∂4L · ξξξ

(t− τ,q(t− τ)

)+ ∂5L · ζζζα

(t− τ,q(t− τ), q̇(t− τ)

)](1 + αη̇(t,q(t))

)dt.

Valutiamo il tutto per α = 0:

0 =

∫ ba


+ ∂3L ([q]τ (t)) ·[− η̇ (t,q(t)) q̇(t) + ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ ba

{∂4L ([q]τ (t)) · ξξξ

(t− τ,q(t− τ)

)+ ∂5L ([q]τ (t)) ·

[− η̇(t− τ,q(t− τ)

)q̇(t− τ) + ξ̇̇ξ̇ξ

(t− τ,q(t− τ)

)]}dt.

Effettuiamo nel secondo integrale il cambio di variabili s = t − τ , ripristiniamo lavariabile muta t e tenendo presente che L ([q]τ (t))|[a−τ,a] ≡ 0 risulta

0 =

∫ ba



]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ b−τa

{∂4L

([q]τ (t+ τ)

)· ξξξ(t,q(t))

+ ∂5L([q]τ (t+ τ)

)·[− η̇ (t,q(t)) q̇(t) + ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

]}dt.

Riorganizziamo dunque gli addendi:


0 =

∫ b−τa

{∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t)) +

[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L

([q]τ (t+ τ)

)]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

)]·(− η̇ (t,q(t)) q̇(t) + ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ bb−τ



]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt.

La tesi segue dunque dal fatto che l’ultima uguaglianza può essere identicamentedimostrata (per la definizione di invarianza che abbiamo adottato) per ogni sottoin-tervallo [ta, tb] ⊂ [a, b]. �

Definizione 3.6. (cfr. definizione (1.3))Siano L, Iτ come sopra. Una funzione

C(t, t+ τ,q(t),q(t− τ),q(t+ τ), q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ)

)si dice integrale primo o costante del moto con ritardo se

d

dtC(t, t+ τ,q(t),q(t− τ),q(t+ τ), q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ)

)= 0

lungo ogni curva q ∈ Γ che sia un estremale con ritardo di Iτ .

Proposizione 3.7. (Condizione necessaria di du Bois-Reymond con ritardo)Supponiamo che la curva t 7→ q(t) sia un estremale con ritardo. Allora essa soddisfale seguenti condizioni:

d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

a ≤ t ≤ b− τd

dt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

b− τ ≤ t ≤ b(12)

Dimostrazione. Le ipotesi su L permettono di dimostrare simultaneamente le equa-zioni, in quanto ∂5L ([q]τ (t+ τ))|[b−τ,b] ≡ 0.


Abbiamo∫ ba

d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

=

∫ ba

[∂1L ([q]τ (t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · q̇(t) + ∂3L ([q]τ (t)) · q̈(t)

+ ∂4L ([q]τ (t)) · q̇(t− τ) + ∂5L ([q]τ (t)) · q̈(t− τ)

−(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̈(t)

− ddt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]dt

=

∫ ba

[∂1L ([q]τ (t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · q̇(t)− ∂5L

([q]τ (t+ τ)

)· q̈(t)

− ddt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

+

∫ ba

[∂4L ([q]τ (t)) · q̇(t− τ) + ∂5L ([q]τ (t)) · q̈(t− τ)

]dt.

Effettuando il cambio di variabili s = t − τ , e ripristinando la variabile muta t, siottiene complessivamente

∫ ba

d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

=

∫ ba

[∂1L ([q]τ (t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · q̇(t)− ∂5L

([q]τ (t+ τ)

)· q̈(t)

− ddt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

+

∫ b−τa

[∂4L

([q]τ (t+ τ)

)· q̇(t) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

)· q̈(t)

]dt

=

∫ b−τa

[∂1L ([q]τ (t)) +

(∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

− ddt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

+

∫ bb−τ

[∂1L ([q]τ (t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · q̇(t)

− ddt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt.


Ma d’altra parte, per le proprietà di L, nell’ultimo integrale il termine ∂5L ([q]τ (t+ τ))è nullo; risulta dunque∫ b

a

d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))· q̇(t)

]dt

=

∫ b−τa

{∂1L ([q]τ (t)) +

[(∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L

([q]τ (t+ τ)

))− d

dt

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L

([q]τ (t+ τ)

))]· q̇(t)

}dt

+

∫ bb−τ

{∂1L ([q]τ (t)) +

[∂2L ([q]τ (t))−

d

dt

(∂3L ([q]τ (t))

)]· q̇(t)

}dt.

Sostituendo dunque nel primo e nel secondo addendo rispettivamente la prima e laseconda delle equazioni di Eulero con ritardo (9), otteniamo∫ ba

d

dt

[L ([q]τ (t))− q̇(t) ·

(∂3L ([q]τ (t))+∂5L

([q]τ (t+τ)

))]dt =

∫ ba∂1L ([q]τ (t)) dt

e la tesi segue osservando che la dimostrazione puo’ essere ripetuta sostituendo [a, b]con un suo qualsiasi sottointervallo.

�

Teorema 3.8. (di Noether esteso al caso con ritardo)Siano L, Iτ ,Γ come sopra. Sia

t̄ = t+ αη(t,q) + o(α)


lo sviluppo al prim’ordine in un intorno di 0 nel parametro α ∈ (−ε0, ε0) di unafamiglia di trasformazioni C2 di tempi e coordinate (di cui perciò η e ξξξ rappresentano igeneratori infinitesimali). Supponiamo che il funzionale Iτ risulti invariante rispettoalle trasformazioni introdotte, nel senso precisato dalla definizione (3.4). Allora lafunzione C

(t, t+ τ,q(t),q(t− τ),q(t+ τ), q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ)

)definita da

[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

se a ≤ t ≤ b− τ∂3L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t)) +

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η(t,q(t))

se b− τ ≤ t ≤ b

è un integrale primo (con ritardo τ) del sistema lagrangiano, ossia si conserva lungoogni soluzione in Γ delle equazioni di Eulero-Lagrange (9).


Dimostrazione. Riprendiamo la prima condizione necessaria delle (11)

∫ b−τa

{∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t)) +

[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]·(ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))− q̇(t)η̇(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0

e sostituiamo in essa la prima delle relazioni (12) di du Bois-Reymond con ritardod

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

e la prima delle equazioni in (9)d

dt

[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]= ∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

ottenendo

0 =

∫ b−τa

{d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

+d

dt[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))] · ξξξ(t,q(t))

+(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η̇(t,q(t))

}dt

=

∫ b−τa

d

dt

{(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

}dt.

La prima parte della tesi segue dal fatto che tale uguaglianza può essere dimostratain modo identico per ogni sottointervallo J ⊂ [a, b− τ ].Analogamente proviamo la seconda equazione. Riprendiamo la seconda delle condi-zioni necessarie (11),

∫ bb−τ



)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0


e sostituiamo in essa la seconda delle relazioni (12) di du Bois-Reymond con ritardod

dt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

e la seconda delle equazioni in (9)d

dt

[∂3L ([q]τ (t))

]= ∂2L ([q]τ (t))

ottenendo

0 =

∫ bb−τ

{ ddt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η(t,q(t)) +

d

dt[∂3L ([q]τ (t))] · ξξξ(t,q(t))

+ ∂3L ([q]τ (t)) · ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t)) +[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η̇(t,q(t))

}dt

=

∫ bb−τ

d

dt

[∂3L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t)) +

(L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q(t)

)η(t,q(t))

]dt.

Otteniamo perciò la tesi osservando che tale equazione può essere identicamentedimostrata su ogni sottointervallo J ⊂ [b− τ, b].

�

Esempio 3.9. Studiamo (per n = 1) il funzionale

J [q(·)] =∫ 3

0(q̇(t) + q̇(t− 1))2 dt

sulla classe delle curve5

q : [−1, 3]→ Rq(t) = −t − 1 ≤ t ≤ 0q(3) = 2

Poiché la variabile t è ciclica nella lagrangiana, il funzionale Iτ è chiaramente inva-riante (nel senso precisato dalla definizione (3.4)) rispetto alla famiglia di trasforma-zioni ad un parametro α ∈ (−ε0, ε0)

t̄ = t+ α

q̄ = q

i cui generatori infinitesimali sono rispettivamente

η(t, q(t)) ≡ 1ξ(t, q(t)) ≡ 0

Il teorema di Noether (3.8) afferma nel nostro caso che

5non abbiamo volutamente specificato la regolarità richiesta sulle funzioni ammissibili, inconclusione dell’esempio il lettore capirà il motivo di questa scelta.


ddt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)q̇(t)

]= 0 se a ≤ t ≤ b− τ

ddt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) q̇(t)

]= 0 se b− τ ≤ t ≤ b

(13)

dunque valgono le equazioni

{(q̇(t) + q̇(t− 1))2 − 2q̇(t)

(2q̇(t) + q̇(t− 1) + q̇(t+ 1)

)= c1 se 0 ≤ t ≤ 2

(q̇(t) + q̇(t− 1))2 − 2q̇(t)(q̇(t) + q̇(t− 1)

)= c2 se 2 ≤ t ≤ 3

(14)

dove cj ∈ R, lungo gli estremali con ritardo di Iτ .In questo speciale caso gli integrali primi che abbiamo formulato coincidono con lacoppia di condizioni necessarie di du Bois-Reymond (12): ciò è dovuto al fatto che∂L∂t ≡ 0 essendo t una coordinata ciclica in L.Ricaviamo una condizione necessaria: affinché una curva q risulti un estremale deboleè necessario che soddisfi il sistema di equazioni (9), dunque risulta{

2q̇(t) + q̇(t− 1) + q̇(t+ 1) = c3 se 0 ≤ t ≤ 2q̇(t) + q̇(t− 1) = c4 se 2 ≤ t ≤ 3

(15)

dove cj ∈ R. Una soluzione di (15) (cioè, secondo la nostra definizione, un estremalecon ritardo) con la scelta c3 = c4 = 12 è la funzione C

2 a tratti

q0(t) =

−t se − 1 ≤ t ≤ 032 t se 0 ≤ t ≤ 1−32 t+ 3 se 1 ≤ t ≤ 22t− 4 se 2 ≤ t ≤ 3

D’altra parte, un semplice conto mostra che la regolarità C2 a tratti e non C2 di q0su [0, 3] fa sì che la prima delle equazioni del sistema delle condizioni di Noether (14)non sia soddisfatta: nel sottointervallo intervallo [0, 1] la costante c1 dovrebbe essere−54 , mentre nel sottointervallo [1, 2] dovrebbe essere

32 .

Una seconda soluzione del sistema (15), con c3 = 2 e c4 = 0, è la funzione C2 a tratti

q1(t) =

−t se − 1 ≤ t ≤ 0t se 0 ≤ t ≤ 2−t+ 4 se 2 ≤ t ≤ 3

Di nuovo un semplice conto mostra che la regolarità C2 a tratti e non C2 di q1 su[0, 3] implica che la prima delle equazioni del sistema delle condizioni di Noether (14)non sia soddisfatta nemmeno in questo caso: nel sottointervallo [0, 1] la costante c1


dovrebbe essere −4, mentre nel sottointervallo [1, 2] dovrebbe essere 0.Questo esempio mostra, già in dimensione n = 1, che gli estremali con ritardo non diclasse C2 possono non soddisfare le equazioni di conservazione del teorema di Noetherconseguenti l’invarianza del funzionale Iτ .


4. Leggi di conservazione con ritardo per estremali non lisci.

Scelti a, b ∈ R tali che a < b, e un parametro di ritardo 0 < τ < b−a, continueremo adefinire in questa sezione lagrangiana una funzione L : [a, b]×Rn×Rn×Rn×Rn → Rdi classe C1 e differenziabile due volte dell’argomento

[q]τ (t).= (t,q(t), q̇(t),q(t− τ), q̇(t− τ))

estesa per convenzione a L ([q]τ (t))|[a−τ,a] ≡ 0.Fissiamo qb ∈ Rn ed una δδδ : [a− τ, a]→ Rn di classe C1 a tratti. Siano inoltre

Γ̃ ={q : [a− τ, b]→ Rn,q(b) = qb,q|[a−τ,a] = δδδ,q C1

([a− τ, b],Rn

)a tratti

}la classe delle curve ammissibili e, come nel capitolo precedente,

Iτ [q(·)] =∫ baL([q]τ (t)

)dt.

Introduciamo una famiglia di trasformazioni ad un parametro reale α ∈ (−ε0, ε0)

t̄ = t+ αη(t,q) + o(α)

q̄ = q + αξξξ(t,q) + o(α)(16)

dove η ∈ C1(R1+n,R

)e ξξξ ∈ C1

(R1+n,Rn

).

Continueremo a definire estremali con ritardo le soluzioni, anche solo di classe C1 atratti, delle equazioni di Eulero-Lagrange (9); ciò, come già osservato nel capitolo 3,ha senso con la convenzione che se una condizione coinvolge q̇(t), q̇(t− τ) o q̇(t+ τ)in un punto t ∈ [a, b] tale che qualcuna di queste quantità non sia ben definita, lacondizione stessa è intesa valere con le derivate interpretate o come destre o comesinistre. Lavoreremo in questa sezione con una definizione di invarianza più generalerispetto alla (3.4) e precisamente, diamo la

Definizione 4.1. Il funzionale Iτ si dice invariante a meno di un termine di gaugeΦ rispetto alla famiglia di trasformazioni infinitesimali (16) se

∫ tbta

Φ̇([q]τ (t)

)dt =

d

dα

∣∣∣∣∣α=0

∫ tbta

L

(t+ αη (t,q(t)) ,q(t) + αξξξ (t,q(t)) ,

q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ (t,q(t))

1 + αη̇ (t,q(t)),

q(t− τ) + αξξξ (t− τ,q(t− τ)) ,

q̇(t− τ) + αξ̇̇ξ̇ξ (t− τ,q(t− τ))1 + αη̇ (t− τ,q(t− τ))

)(1 + αη̇ (t,q(t))

)dt

(17)


per ogni sottointervallo [ta, tb] ⊆ [a, b] .

Proposizione 4.2. Se il funzionale Iτ è invariante a meno di Φ rispetto alle tra-sformazioni infinitesime (16) nel senso precisato dalla definizione (4.1), allora valela seguente coppia di equazioni:

∫ b−τa

{− Φ̇ ([q]τ (t)) + ∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t))

+[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]·(ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))− q̇(t)η̇(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0∫ b

b−τ

{− Φ̇ ([q]τ (t)) + ∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t)) + ∂2L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t))


)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0.

(18)

Dimostrazione. Prima di tutto, poniamo

ζζζα(t,q(t), q̇(t)).=

d

dα

(q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

1 + αη̇(t,q(t))

)=

− η̇(t,q(t))[1 + αη̇(t,q(t))

]2 [q̇(t) + αξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))] + 11 + αη̇(t,q(t)) ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))e sviluppiamo come segue la definizione di invarianza (17), scegliendo ta = a e tb = bed omettendo dove ovvie le dipendenze funzionali :

∫ ba

Φ̇ ([q]τ (t)) dt =

∫ ba

{[∂1L η(t,q(t))

+ ∂2L · ξξξ(t,q(t)) + ∂3L · ζζζα(t,q(t), q̇(t))](

1 + αη̇(t,q(t)))

+ L η̇(t,q(t))}

dt

+

∫ ba

[∂4L · ξξξ (t− τ,q(t− τ))

+ ∂5L · ζζζα (t− τ,q(t− τ), q̇(t− τ))](

1 + αη̇(t,q(t)))

dt.

Valutiamo per α = 0:


0 =

∫ ba



]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ ba

{∂4L ([q]τ (t)) · ξξξ(t− τ,q(t− τ))

+ ∂5L ([q]τ (t)) ·[− η̇ (t− τ,q(t− τ)) q̇(t− τ) + ξ̇̇ξ̇ξ(t− τ,q(t− τ))

]}dt.

Effettuiamo nel secondo integrale il cambio di variabili s = t − τ , ripristiniamo lavariabile muta t e tenendo presente che L ([q]τ (t))|[a−τ,a] ≡ 0, risulta

0 =

∫ ba



]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ b−τa

{∂4L ([q]τ (t+ τ)) · ξξξ(t,q(t))

+ ∂5L ([q]τ (t+ τ)) ·[− η̇ (t,q(t)) q̇(t) + ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

]}dt.

Riorganizzando dunque gli addendi, risulta

0 =

∫ b−τa

{− Φ̇ ([q]τ (t)) + ∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t))

+[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]·(− η̇ (t,q(t)) q̇(t) + ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt

+

∫ bb−τ



]+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt.


La tesi segue dunque dal fatto che l’ultima uguaglianza può essere identicamentedimostrata per ogni sottointervallo [ta, tb] ⊂ [a, b], data la definizione di invarianzaadottata.

�

In coda al capitolo precedente, abbiamo già mostrato tramite un esempio esplicitoche le condizioni (9) non sono sufficienti per estremali non di classe C2 su [a, b]affinché essi soddisfino le condizioni di du Bois-Reymond con ritardo (12) e lungoessi si conservi la costante del moto data dal teorema di Noether (3.8). Del resto,nella dimostrazione della proposizione (3.7) si è utilizzata questa ipotesi di regolarità.Ciò che vogliamo mostrare ora è che è però sufficiente restringere la ricerca degliestremali con ritardo a quelli che soddisfano (12) (con la consueta convenzione suipunti di non derivabilità degli estremali) per ottenere lungo essi la conservazione diun nuovo integrale primo che tenga conto della più generale definizione di invarianzadi Iτ che abbiamo adottato.

Teorema 4.3. (di Noether esteso al caso con ritardo per estremali C1 a tratti)Siano L, Iτ , Γ̃ come sopra. Introduciamo la famiglia ad un parametro reale α ∈(−ε0, ε0) di tempi e coordinate

t̄ = t+ αη(t,q) + o(α)


dove η ∈ C1(R1+n,R

)e ξξξ ∈ C1

(R1+n,Rn

). Supponiamo che Iτ risulti invariante a

meno di Φ rispetto alle trasformazioni introdotte, nel senso precisato dalla definizione(4.1). Allora la funzione C

(t, t + τ,q(t),q(t − τ),q(t + τ), q̇(t), q̇(t − τ), q̇(t + τ)

)definita da

−Φ ([q]τ (t)) +[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

se a ≤ t ≤ b− τ−Φ ([q]τ (t)) + ∂3L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η(t,q(t)) se b− τ ≤ t ≤ b

risulta una costante del moto con ritardo lungo ogni q ∈ Γ̃ che soddisfi contempora-neamente le condizioni necessarie (9) e le equazioni di du Bois-Reymond (12).

Dimostrazione. Dimostriamo l’espressione nel primo sottointervallo, considerandoinnanzitutto la prima delle condizioni necessarie ricavate nella proposizione (4.2).


∫ b−τa

{− Φ̇ ([q]τ (t)) + ∂1L ([q]τ (t)) η(t,q(t))

+[∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

]· ξξξ(t,q(t))

+[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

]·(ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))− q̇(t)η̇(t,q(t))

)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0.

Sostituendo in quest’ultima la prima delle (9)

d

dt[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))] = ∂2L ([q]τ (t)) + ∂4L ([q]τ (t+ τ))

e la prima delle (12)

d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

otteniamo:

0 =

∫ b−τa

{− Φ̇ ([q]τ (t))

+d

dt

[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

+d

dt[∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))] · ξξξ(t,q(t))

+(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η̇(t,q(t))

}dt

=

∫ b−τa

d

dt

{− Φ ([q]τ (t)) +

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· ξξξ(t,q(t))

+[L ([q]τ (t))−

(∂3L ([q]τ (t)) + ∂5L ([q]τ (t+ τ))

)· q̇(t)

]η(t,q(t))

}dt

e la prima parte della tesi segue dal fatto che un’identica dimostrazione può essereripetuta per ogni sottointervallo J ⊆ [a, b− τ ].Mostriamo ora l’espressione di C nel sottointervallo [b− τ, b], partendo dalla secondadelle condizioni necessarie ricavate nella proposizione (4.2):


∫ bb−τ



)+ L ([q]τ (t)) η̇(t,q(t))

}dt = 0.

Sostituiamo in essa la seconda delle (9)d

dt[∂3L ([q]τ (t))] = ∂2L ([q]τ (t))

e la seconda delle (12)d

dt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]= ∂1L ([q]τ (t))

ottenendo

0 =

∫ bb−τ

{− Φ̇ ([q]τ (t)) +

d

dt

[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η(t,q(t))

+d

dt[∂3L ([q]τ (t))] · ξξξ(t,q(t))

+ ∂3L ([q]τ (t)) · ξ̇̇ξ̇ξ(t,q(t)) +[L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q̇(t)

]η̇(t,q(t))

}dt

=

∫ bb−τ

d

dt

{− Φ ([q]τ (t)) + ∂3L ([q]τ (t)) · ξξξ(t,q(t))

+(L ([q]τ (t))− ∂3L ([q]τ (t)) · q(t)

)η(t,q(t))

}dt.

Otteniamo perciò la tesi osservando che tale equazione può essere identicamentedimostrata su ogni sottointervallo J ⊂ [b− τ, b].

�

Esempio 4.4. Consideriamo ancora il funzionale J , la classe di curve ammissibili ele trasformazioni di tempi e coordinate esposti nell’esempio (3.9). Vogliamo fornireun esempio di estremale con ritardo che soddisfi anche le condizioni di du Bois-Reymond e lungo il quale esista la costante del moto con ritardo del teorema (4.3).Sia

q(t) =

−t se − 1 ≤ t ≤ 0t se 0 ≤ t ≤ 1−t+ 2 se 1 ≤ t ≤ 2t− 2 se 2 ≤ t ≤ 3


Un semplice conto mostra che le condizioni (15), corrispondenti alle equazioni diEulero-Lagrange, vengono soddisfatte da q con la scelta di c3 = c4 = 0. Il problemaè autonomo, cioè L non dipende esplicitamente da t; con le trasformazioni introdottesi ha ξ ≡ 0 e η ≡ 1, e scegliendo Φ ≡ 0 si verifica l’equivalenza fra le condizioni didu Bois-Reymond con ritardo e l’esistenza dell’integrale primo C, con le (14): essevengono banalmente soddisfatte ponendo c1 = c2 = 0.Vogliamo in conclusione di questo esempio mostrare che il sistema (15) non ammettesoluzioni di classe C1 (e perciò nemmeno di classe C2) su [0, 3]: ciò rende non banalela questione affrontata in questo capitolo.Definiamo la funzione

r : [0, 3]→ Rt 7→ q̇(t) + q̇(t− 1)

Risulta, con la stessa notazione del sistema (15),{r(t) + r(t+ 1) = c3 0 ≤ t ≤ 2r(t) = c4 2 ≤ t ≤ 3

e in particolare deduciamo che c3 = r(2) + r(3) = 2c4. Perciò, abbiamor(t) + r(t+ 1) = 2c4 0 ≤ t ≤ 1r(t) + r(t+ 1) = 2c4 1 ≤ t ≤ 2r(t) = c4 2 ≤ t ≤ 3

da cui {r(t) + r(t+ 1) = 2c4 0 ≤ t ≤ 1r(t) = c4 1 ≤ t ≤ 3

ossia r(t) ≡ c4 per t ∈ [0, 3]. Ora, si ha r(0) = q̇(0) + q̇(−1) = −2 = c4; dunque,r(t) ≡ −2 per t ∈ [0, 3]. Osservando inizialmente che q̇(t) ≡ −1 per t ∈ [−1, 0],si deduce per sostituzioni successive che q̇(t) ≡ −1 per t ∈ [−1, 3]. Perciò, l’unicasoluzione C1 della (15) è q(t) = −t, ma la condizione q(3) = 2 non è compatibile conquesto risultato.


5. Una condizione necessaria: la funzione eccesso di Weierstrass

Facciamo un rapido passo indietro: siano a, b ∈ R,qa,qb ∈ Rn, L, I,Γ come nellasezione 2. Diamo la seguente

Definizione 5.1. Si dice funzione eccesso di WeierstrassE : [a, b]× Rn × Rn × Rn → R

(t,q, z,w) 7→ L(t,q,w)− L(t,q, z)− (w − z) · ∂L∂q̇

(t,q, z)

In altre parole, E(t,q, z,w) rappresenta la differenza fra il valore di L, vista comefunzione dei suoi ultimi n argomenti, nel punto w e i primi due termini della suaespansione in serie di Taylor di centro z.Dunque, nel caso in cui L sia di classe C2, possiamo riscrivere, esplicitando il restodella serie di Taylor,

E(t,q, z,w) =1

2

n∑j,k=1

(wj − zj)(wk − zk)∂2L

∂q̇jq̇k

(t,q, z + θ(w − z)

)dove θ ∈ (0, 1).

Definizione 5.2. Supponiamo che t 7→ q̂(t) sia un estremale per il funzionale I.Diremo che I ha un minimo locale debole per q(·) = q̂(·) se esiste un ε > 0 tale cheI[q(·)]− I[q̂(·)] mantenga segno positivo per ogni q ∈ Γ con ||q(·)− q̂(·)||1 < ε.Diremo invece che I ha un minimo locale forte per q(·) = q̂(·) se esiste un ε > 0 taleche I[q(·)]−I[q̂(·)] mantenga segno positivo per ogni q ∈ Γ con ||q(·)− q̂(·)||0 < ε.

Teorema 5.3. Siano a, b,qa,qb, L, I,Γ come sopra.Supponiamo che L abbia derivate seconde limitate e che il funzionale I abbia unminimo forte in corrispondenza dell’estremale t 7→ q(t). Allora E(t,q, q̇,w) ≥ 0 perogni w ∈ Rn.

Per una trattazione esauriente su questo risultato, si può ad esempio consultare [7,pag. 149 e segg.] e [3, pag. 31 e segg.].Graficamente, almeno nel caso n = 1, l’interpretazione è la seguente: se L è vistacome funzione della sua ultima variabile con parametri t, q, fissato uno z ∈ R econdotta la tangente al grafico di L nel punto

(z, L(t, q, z)

), E(t, q, z, w) descrive la

distanza verticale nel punto w fra il grafico di L e la tangente condotta.

Vogliamo ora estendere a problemi con ritardo nella variabile t la condizione neces-saria relativa alla funzione eccesso che abbiamo richiamato nel caso classico.A tal fine, introduciamo la seguente funzione eccesso (che, in analogia con quantogià trattato continueremo a etichettare con la medesima lettera)


E : [a, b]×(Rn)7 → R

E(t,q(t),q(t− τ),q(t+ τ), q̇(t), q̇(t− τ), q̇(t+ τ),p

)=

=

L (t,q(t),p,q(t�

Documents

Università di Pisa Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e …people.dm.unipi.it/acquistp/manfroni.pdf · 2013. 5. 9. · Università di Pisa Facoltà di Scienze Matematiche,