Università degli Studi Roma Tre - infn.it GLI INTEGRALI SUI CAMMINI IN MECCANICA QUANTISTICA: TEORIA E SIMULAZIONI Relatore Candidato ... Speci camente si forniscono cenni e tratti

Università degli Studi

Roma Tre

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA

CORSO DI LAUREA IN FISICA

��

GLI INTEGRALI SUI CAMMINI IN MECCANICA

QUANTISTICA: TEORIA E SIMULAZIONI

��

Relatore Candidato

Chiar.mo Prof. Davide Giusti

Vittorio Lubicz Matr. 448672

��

Anno Accademico 2013 - 2014

A Claudia

Indice

Introduzione 1

1 L'integrale funzionale sui cammini di Feynman 3

1.1 Il propagatore quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Calcolo degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Calcolo dei valori medi degli operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Interpretazione �sica dell'espressione del propagatore quantistico come inte-

grale funzionale sui cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 La rotazione di Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Modelli �sici risolubili analiticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Soluzione analitica di un sistema costituito da una particella libera . . 13

1.6.2 Soluzione analitica di un oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Metodi di integrazione numerica 18

2.1 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 L'algoritmo Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 La simulazione numerica 22

3.1 Descrizione del programma di simulazione numerica . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Simulazione Monte Carlo e scelta dei parametri . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Funzione d'onda dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Livello di energia dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.4 Primo livello eccitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Applicazioni a sistemi �sici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 L'oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I

II

3.2.2 La doppia buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Il doppio oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Conclusione 39

A Codice dei programmi in Wolfram Mathematica 40

Bibliogra�a 48

Elenco delle �gure

1.1 Illustrazione della divisione temporale di un cammino in intervalli in�nitesimi 9

1.2 L'esperimento della doppia fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Rappresentazione schematica di una catena di Markov . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Illustrazione gra�ca di un campione dei cammini generati dal programma di

simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Andamento dell'azione S(x) in funzione dei passi Monte Carlo . . . . . . . . . 25

3.3 Dettaglio dell'andamento dell'azione S(x) in funzione dei passi Monte Carlo . 26

3.4 Confronto del risultato ottenuto per il modulo quadro della funzione d'on-

da dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico con l'espressione nota

analiticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale per

l'oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Andamento del potenziale a doppia buca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.7 Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale della doppia

buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.8 Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale della

doppia buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.9 Andamento del potenziale del doppio oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.10 Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale del doppio

oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.11 Confronto del risultato riportato in Fig. 3.10 con la funzione approssimata

del Landau-Lif²its . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III

IV

3.12 Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale del

doppio oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Introduzione

Nell'anno 1948 il �sico americano R. P. Feynman introduce una innovativa formulazione

della meccanica quantistica, equivalente ma profondamente diversa dall'approccio canonico

che riconosce nelle �gure di W. K. Heisenberg e E. R. J. A. Schrödinger i suoi padri fondatori.

La motivazione prima che ha spinto Feynman allo sviluppo del suo metodo trae origine

dalla necessità di donare una formulazione matematicamente coerente all'Elettrodinami-

ca Quantistica. Il risultato della ricerca ha avuto successo nell'attuale applicazione del

procedimento in diversi campi della Fisica.

La formulazione di Feynman si basa sul concetto di �Integrale sui Cammini� (Path Inte-

gral), permettendo di esprimere l'ampiezza di transizione quantistica tra due punti spazio-

temporali senza ricorrere al formalismo dei vettori di stato e degli operatori nello spazio di

Hilbert.

Un particolare pregio di questo approccio risiede nella capacità di fornire una rappresen-

tazione intuitiva del limite classico della Meccanica Quantistica.

L'importanza pratica degli integrali funzionali sui cammini si rivela nella assurzione del

metodo ad un potente strumento di risoluzione dei problemi quantistici di cui non è nota

la soluzione analitica dell'equazione di Schrödinger. Per questa ultima tipologia di sistemi

�sici, i Path Integrals possono essere calcolati con l'ausilio di metodi di integrazione numerica

adatti all'implementazione su un computer, in quanto espressi in termini di funzioni classiche

piuttosto che di operatori, fornendo così lo sviluppo di soluzioni arbitrariamente accurate.

Un'analoga considerazione vale per la simulazione numerica degli integrali sui cammini delle

teorie di campo relativistiche che non si prestano ad una trattazione perturbativa, come la

moderna teoria delle interazioni forti (QCD).

Il presente lavoro di tesi intende concentrarsi sulla trattazione del metodo degli �Integrali

sui Cammini� nell'ambito della Meccanica Quantistica non relativistica, so�ermandosi sulle

1

2

tecniche numeriche di applicazione ad alcuni sistemi �sici di interesse.

Nel primo capitolo si introduce il concetto di propagatore quantistico, giungendo ad

una sua de�nizione matematica come integrale funzionale sui cammini di Feynman. In

particolare, si mostra l'utilità del metodo dei Path Integrals nel calcolo degli autovalori e

delle autofunzioni della Hamiltoniana. Successivamente si discute l'interpretazione �sica

degli �Integrali sui Cammini�. In�ne, si so�erma l'attenzione sull'analisi di due modelli

�sici di cui è nota l'espressione analitica del propagatore quantistico: la particella libera e

l'oscillatore armonico.

Nel secondo capitolo si a�ronta la teoria dei metodi di integrazione numerica utilizzabili

per il calcolo del propagatore quantistico. Speci�camente si forniscono cenni e tratti salienti

del metodo Monte Carlo e dei processi stocastici fondati sulle catene di Markov. In�ne, si

tratta la tecnica di integrazione Monte Carlo basata sull'algoritmo Metropolis.

Nel terzo capitolo si descrive la procedura generale seguita per l'implementazione dell'al-

goritmo Metropolis su un programma realizzato con l'utilizzo del software Wolfram Mathe-

matica, al �ne di ricavare le quantità �siche rilevanti di alcuni sistemi �sici. Nello speci�co

si articola la trattazione presentando i programmi di simulazione e i risultati ottenuti per

i sistemi dell'oscillatore armonico, della doppia buca di potenziale ed, in�ne, del doppio

oscillatore.

Per ciascuno dei modelli analizzati si ricavano l'autovalore, il modulo quadro della fun-

zione d'onda dello stato fondamentale e la di�erenza di energia tra il primo livello eccitato

e quello fondamentale.

L'oscillatore armonico è studiato al �ne di poter veri�care il buon funzionamento del

metodo adottato. Dunque, l'applicazione del programma realizzato si estende agli altri due

sistemi �sici. Per questi ultimi i risultati ottenuti si confrontano con i valori numerici ricavati

con metodi diversi e riportati in letteratura.

In appendice al presente lavoro si riporta un esempio di codice realizzato con il software

Wolfram Mathematica.

Un caloroso e a�ettuoso ringraziamento sento di rivolgere all'ideatore di questa tesi, il

Prof. Vittorio Lubicz, che mi ha costantemente incoraggiato e assistito nella programma-

zione ed elaborazione dei dati e nella stesura del presente lavoro.

Capitolo 1

L'integrale funzionale sui cammini

di Feynman

L'approccio alternativo alla Meccanica Quantistica intodotto e sviluppato dai �sici P.A.M.

Dirac, J.S. Schwinger e R.P. Feynman si basa su un formalismo che utilizza l'integrazione

funzionale e riveste un ruolo centrale nella moderna Teoria Quantistica dei Campi.

Il presente lavoro si propone lo scopo di introdurre il metodo dei Path Integrals (integrali

funzionali sui cammini) nella Meccanica Quantistica per analizzare sistemi quanto-meccanici

non relativistici.

1.1 Il propagatore quantistico

Al �ne di introdurre l'integrale funzionale sui cammini è necessario de�nire una fon-

damentale quantità �sica: il propagatore quantistico (per semplicità di notazione si pone

~ = 1)

K (qf , tf ; qi , ti) := 〈qf , tf | qi , ti 〉 = 〈qf | e−i�H(q, p)T | qi〉, (1.1)

dove T= tf − ti.

La (1.1) corrisponde, nella rappresentazione di Heisenberg, ad un elemento di matrice di

transizione in cui qi e qf rappresentano rispettivamente i set di coordinate {qi} degli stati

iniziale e �nale di un sistema descritto da un'Hamiltoniana H(q, p).

3

CAPITOLO 1. L'INTEGRALE FUNZIONALE SUI CAMMINI DI FEYNMAN 4

Nota la funzione d'onda nella con�gurazione iniziale ψ(qi , ti), il propagatore K permette

di ottenere un'espressione per la funzione d'onda al tempo tf

ψ(qf , tf ) = 〈 qf , tf | ψ 〉 =∫

dqi 〈 qf , tf | qi , ti 〉〈 qi , ti | ψ 〉 =

=

∫dqi 〈qf | e−i

�H(q, p)T | qi〉 ψ(qi , ti), (1.2)

dove il propagatore rappresenta il nucleo dell'equazione integrale.

Il calcolo del propagatore è a�rontato usando il principio di sovrapposizione quantistico.

Si divide l'intervallo temporale T in N intervalli in�nitesimi equispaziati di δt, pari aT

N. Si

inserisce un set completo di autostati della posizione agli n = 1, ... , (N - 1) tempi intermedi

nella formula del propagatore K tale che 1 =

(∏i

∫dqin

)| qn 〉〈 qn | , ∀ n

〈qf | e−i�H(q, p)T | qi〉 =

∏i

∫dqi1 ... dqin−1 〈 qf | e−i

�H δt | qn−1〉 ×

× 〈 qn−1 | e−i�H δt | qn−2〉 ... 〈 q1 | e−i

�H δt | qi〉. (1.3)

Per valori su�cientemente piccoli di δt è possibile approssimare l'esponenziale in ciascuno

dei fattori come segue

〈 qn+1 | e−i�H δt | qn〉 −−−→

δt→0〈 qn+1 | 1 � i �H δt | qn〉 (1.4)

(q0 = qi e qN = qf ).

Nel caso di un operatore funzione delle sole coordinate l'elemento di matrice può essere

scritto

〈 qn+1 | �f (q) | qn〉 = f

(qn+1 + qn

2

) ∏i

δ(qin − qin+1) =

= f

(qn+1 + qn

2

) (∏i

∫dpin2π

)ei∑i p

in (qin+1−q

in) (1.5)

per le proprità della δ e di continuità della f(q).

Invece, per una funzione dei soli momenti, introducendo un set completo di autofunzioni

del momento coniugato p, l'elemento di matrice assume l'espressione

〈 qn+1 | �f (p) | qn〉 =

(∏i

∫dpin2π

)f (pn) ei

∑i p

in (qin+1−q

in). (1.6)


Pertanto, nel caso in cui H contenga solo termini della forma f(q) e f(p) si può ottenere

〈 qn+1 | �H(q, p) | qn〉 =

(∏i

∫dpin2π

)H

(qn+1 + qn

2, pn

)ei∑i p

in (qin+1−q

in). (1.7)

L'espressione sopra riportata non è valida nel caso in cui H(q, p) contenga prodotti

degli operatori di posizione e impulso. Infatti, solo per uno speci�co ordine dei prodotti si

potrebbe preservare la formula (1.7), come ad esempio per la combinazione

〈 qn+1 |1

4(q2p2 + 2 q p2q + p2q2) | qn〉 =

(qn+1 + qn

2

)2

〈 qn+1 | p2 | qn〉. (1.8)

Quando gli operatori q agiscono simmetricamente sugli stati di destra e sinistra dell'e-

lemento di matrice ovvero gli operatori di posizione e impulso si presentano sotto forma di

media pesata delle loro possibili combinazioni, l'Hamiltoniana è detta Weyl ordered. As-

sumendo, dunque, che l'Hamiltoniana risponda alle proprietà dell'ordinamento di Weyl1,

l'elemento di matrice (1.4) può essere espresso come segue

〈 qn+1 | e−i�H δt | qn〉 =

(∏i

∫dpin2π

)e−i δtH

(qn+1+qn

2 , pn

)× ei

∑i p

in (qin+1−q

in). (1.9)

Quindi, per ottenere l'espressione �nale del propagatore si moltiplicano N fattori del tipo

(1.9) e si integra sulle coordinate intermedie qn per ogni n

K (qf , qi; T) =

∏i,n

∫dqin

∫dpin2π

ei∑n

[∑i p

in (qin+1−q

in)−δtH

(qin+1+qin

2 , pin

)]. (1.10)

In forma non discretizzata e simbolica il propagatore diventa

K (qf , qi; T) =

∫Dq(t)Dp(t) ei

∫ T0dt∑i piqi−H(qi,pi). (1.11)

Attraverso le espressioni (1.10) e (1.11) si fornisce una de�nizione matematica del pro-

pagatore quantistico scritto nel formalismo dei Path Integrals2. In �1.4 si darà una inter-

pretazione �sica delle scritture in (1.10) e (1.11).

1Si può dimostrare che ogni Hamiltoniana può essere ridotta alla forma di Weyl attraverso uno speci�co

algoritmo, che conduce ad una simmetrizzazione dei prodotti non commutanti [4, 9].

Da notare che nelle formule scritte ci si avvale della prescrizione del punto medio, assumendo valido

l'ordinamento di Weyl.2Per un'ampia e rigorosa trattazione del formalismo matematico dell'integrazione funzionale si consulti

[20].


Nella (1.11) è riportata in forma compatta la misura funzionale a ciascun tempo nello

spazio delle fasi:

∫Dq(t)Dp(t) =

∏i

∫dqi dpi

2π~. (1.12)

Nella (1.11) l'espressione riportata nell'argomento dell'esponenziale rappresenta l'azione

classica S del sistema nel formalismo hamiltoniano (in quello lagrangiano si ha che∑i piqi−

H(qi, pi) = L(q , q)) [16].

Nello speci�co, al �ne di ricavare un'espressione esplicita del propagatore quantistico per

un sistema unidimensionale descritto da un'Hamiltoniana della forma

H(q, p) =p2

2m+ V(q) (1.13)

si sfrutta la (1.10) [3]

K (qf , qi; T) =

= limN→∞;δt→0

∫dq1...

∫dqN−1

N−1∏n=0

e−iδtV(qn) 1

2π

∫dpn e

−iδt p2n

2m ei pn(qn+1−qn) =3

= limN→∞;δt→0

∫dq1...

∫dqN−1

( m

2π i δt

)N2

ei δt∑N−1n=0

[m2

(qn+1−qn

δt

)2−V(qn)

], (1.14)

ossia, in forma compatta,

K (qf , qi; T) =

∫Dq(t)ei

∫T

0dtL(q,q).

1.2 Calcolo degli autovalori

Lo scopo del presente paragrafo consiste nell'esprimere il propagatore quantistico in

termini degli autovalori e delle autofunzioni dell'Hamiltoniana del sistema.

Si consideri il set completo di autostati |n〉 dell'Hamiltoniana tali, cioè, che

H|n〉 = En|n〉 (1.15)

e le cui corrispondenti funzioni d'onda sono

3L'integrale in dp assume l'espressione gaussiana

∫ ∞−∞

dpe−a p2+b p =

√π

aeb2

4a , in cui a = i δt2m

e

b = i (qn+1−qn). Poiché l'integrando è una funzione fortemente oscillante, si tratta formalmente la quantità

iδt come reale, mediante un prolungamento analitico allo spazio Euclideo.


ψn(x) = 〈x|n〉. (1.16)

Si può, allora, scrivere il propagatore come

K(qf , qi;T) = 〈qf | e−i H T |qi〉 =∑n

〈qf |n〉〈n| e−i H T |qi〉 =

=∑n

ψn(qf ) e−i En T ψ∗n(qi). (1.17)

Ponendo qi = qf = q la (1.17) diventa

K(q, q;T) =∑n

|ψn(q)|2 e−i En T (1.18)

e integrando in dq si ottiene

∫dqK(q, q;T) =

∑n

e−i En T∫dq|ψn(q)|2 =

∑n

e−i En T. (1.19)

Come si discuterà nel seguito, le eq. (1.18) e (1.19), calcolate per un tempo immaginario

(euclideo) τ = it dove t è de�nito in letteratura tempo minkowskiano, sono dominate a

grandi tempi dal contributo dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati, consentendo

così la determinazione dei corrispondenti autovalori e autofunzioni.

1.3 Calcolo di valori medi degli operatori

La presente sezione mostra come anche gli elementi di matrice degli operatori quantistici

funzioni delle coordinate spaziali possano essere espressi in termini degli integrali funzionali

sui cammini.

Si supponga, infatti, di voler calcolare l'elemento di matrice di un operatore O al tempo

t intermedio tra ti e tf :

〈qf , tf |O(t)|qi, ti〉 = 〈qf |e−iH(tf−t)Oe−iH(t−ti)|qi〉 =

=

∫dq′dq′′〈qf |e−iH(tf−t)|q′′〉〈q′′|O|q′〉〈q′|e−iH(t−ti)|qi〉 =

=

∫dq′dq′′

∫Dq(t)eiS(qf ,tf ;q′′,t)〈q′′|O|q′〉

∫Dq(t)eiS(q′,t;qi,ti). (1.20)

Assumendo che O sia funzione delle sole coordinate spaziali, ossia diagonale nella rap-

presentazione delle coordinate


〈q′′|O|q′〉 = O(q′)δ(q′′ − q′), (1.21)

l'espressione (1.20) si riduce ad un singolo integrale funzionale sui cammini

〈qf , tf |O(t)|qi, ti〉 =

∫Dq(t)eiS[q(t)]O[q(t)]. (1.22)

Si può ora esprimere questo elemento di matrice in termini degli autovalori e autostati

dell'energia.

In analogia con la (1.17), si inseriscono nell'elemento di matrice due relazioni di comple-

tezza negli autostati dell'energia:

〈qf , tf |O(t)|qi, ti〉 = 〈qf |e−iH(tf−t) O e−iH(t−ti)|qi〉 =

=∑n,n′

〈qf |n′〉〈n′|e−iH(tf−t) O e−iH(t−ti)|n〉〈n|qi〉 =

=∑n,n′

ψn′(qf )e−iEn′ (tf−t)e−iEn(t−ti)〈n′|O|n〉ψ∗n(qi). (1.23)

Ponendo qi = qf = q nel terzo termine della (1.23) si ottiene il valor medio dell'operatore

O

〈O〉 =

∫dq〈q, tf |O|q, ti〉 =

∑n

|ψn(q)|2e−iEn(tf−ti)〈n|O|n〉 =∑n

|ψn(q)|2e−iEnT〈n|O|n〉,

(1.24)

integrando in dq

〈O〉 =

∫dq〈q, tf |O|q, ti〉 =

∑n

e−iEnT〈n|O|n〉, (1.25)

La (1.22) può essere generalizzata ad un prodotto temporalmente ordinato di operatori

O1(t1)O2(t2)... t1 ≥ t2 ≥ ....

Se essi sono tutti diagonali nella rappresentazione delle coordinate si ha che

〈qf , tf |O1(t1)O2(t2)...|qi, ti〉 =

∫Dq(t)eiS[q(t)]O1[q(t1)]O2[q(t2)].... (1.26)


Una naturale estensione della (1.23) per il prodotto di due operatori identici conduce a

〈qf , tf |O(t2)O(t1)|qi, ti〉 = 〈qf |e−iH(tf−t2) O e−iH(t2−t1) O e−iH(t1−ti)|qi〉 =

=∑

n,n′,n′′

ψn′′(qf )e−iEn′′ (tf−t2)〈n′′|O|n′〉e−iEn′ (t2−t1)〈n′|O|n〉e−iEn(t1−ti)ψ∗n(qi). (1.27)

Dunque, ponendo qi = qf = q e integrando in dq, il valor medio del prodotto di due

operatori può essere scritto nel seguente modo

〈O(t2)O(t1)〉 =

∫dq〈q, tf |O(t2)O(t1)|q, ti〉 =

∑n,n′

|〈n′|O|n〉|2e−iEnTe−i(En′−En)(t2−t1). (1.28)

1.4 Interpretazione �sica dell'espressione del propagato-

re quantistico come integrale funzionale sui cammini

Nel presente paragrafo si fornisce una motivazione �sica del risultato in equazione (1.14).

Facendo riferimento all' integrale multidimensionale nella (1.14), l'insieme dei punti

{qi ≡ q0, q1, ..., qN ≡ qf} può essere interpratato come l'insieme dei vertici di una spezza-

ta (cammino) ΓN tale che ΓN = {q(ti = 0) ≡ qi, q(t1) = q1, ..., q(tf = T) = qf} (si confronti

con la rappresentazione in Fig. 1.1).

q1 q2

qN-1 qf

qi

δt

Figura 1.1: Illustrazione della divisione temporale di un cammino in intervalli in�nitesimi.

L'intervallo temporale T è suddiviso in N intervalli in�nitesimi di ampiezza δt.


Dunque, si può a�ermare che l'integrale in (1.14) è calcolato su tutte le possibili traiet-

torie ΓN .

Per N → ∞, le spezzate ΓN diventano delle curve continue e l'integrale è valutato su

tutti i cammini con estremi �ssati q(ti) e q(tf ).

Per interpretare il risultato della (1.14) si segue, in particolare, l'approccio assiomatico

che Feynman ha proposto per introdurre il suo formalismo nell'ambito della Meccanica

Quantistica.

A tale scopo si richiama il principio �sico di sovrapposizione quantistica: � quando un

processo �sico può avvenire in più di un modo la sua ampiezza di transizione totale è la

somma coerente delle ampiezze di transizione di ciascun modo in cui esso può avvenire.�

Si assuma, dunque, che per un sistema �sico unidimensionale si possa scrivere l'ampiezza

di transizione totale su un percorso che collega un punto iniziale qi ed uno �nale qf nel tempo

T come

K (qf , qi; T) =∑

su tutti i cammini

ei (fase) =

∫Dq(t)ei (fase), (1.29)

dove si è scritta l'ampiezza di transizione per ciascun cammino come un puro termine di

fase, a�nché nessuno di essi abbia una maggiore probabilità di essere seguito.

Per ricavare l'espressione del termine di fase, si focalizza l'attenzione sul limite classico

del propagatore. Nella meccanica classica un solo cammino contribuirebbe all'ampiezza di

transizione totale. Dunque, per valutare l'integrale in (1.29) si può usare il metodo della fase

stazionaria identi�cando il cammino classico qcl per mezzo della condizione di stazionarietà

δ

δq(t)( fase [q(t)] )qcl = 0. (1.30)

Poiché il cammino classico è quello che soddisfa il Principio di Minima Azione

δ

δq(t)( S[q(t)] )qcl = 0, (1.31)

dove S è l'azione classica.

Dal confronto delle (1.30) e (1.31) si identi�ca il termine di fase con S, a meno di una

costante.


Dal momento che l'approssimazione di fase stazionaria risulta valida nel limite classico

( S >> ~), si può scrivere il termine di fase comeS

~; per cui la formula �nale del propagatore

risulta essere

〈qf |e−i~�HT|qi〉 = K (qf , qi; T) =

∫Dq(t)ei

S[q(t)]~ , (1.32)

come sopra riportato (cfr. la forma compatta della (1.14)) [5].

L'espressione (1.32) mostra che il contributo dei cammini al calcolo del propagatore

dipende dall'azione secondo il peso ei~S(q): maggiore è l'azione minore è il contributo del

corrispondente cammino, in quanto le oscillazioni dell'esponenziale risultano rilevanti.

E' possibile veri�care che la (1.32) fornisce la corretta �gura di interferenza nell'esperi-

mento ottico della doppia fenditura, schematicamente riportato nella �gura sottostante

(Fig. 1.2).

Figura 1.2: L'esperimento della doppia fenditura.

L'azione per entrambi i cammini mostrati in Fig. 1.2 è per de�nizione pari a1

2mv2t.

Per il primo cammino la velocità è v1 =D

t, la fase

mD2

2~t. Per il secondo v2 =

D + d

t, la

fasem(D + d)2

2~t. Assumendo che d << D, si ha v1 ≈ v2. Espandendo in serie di Taylor

la fase del secondo cammino in termini did

D, l'eccesso di fase risulta essere

mDd

~t≈ pd

~.

Sostituendo in quest'ultima espressione la relazione di de Broglie p =h

λ, in accordo con

l'ottica classica si ottiene che il secondo cammino risulta avere una fase più grande di2πd

λ


rispetto al primo, con λ =2π~p

. Ciò conferma che le �gure di interferenza delle particelle

quantistiche sono le stesse di quelle delle onde classiche.

1.5 La rotazione di Wick

Il propagatore de�nito nei precedenti paragra� non è scritto nella forma idonea per

poter essere calcolata matematicamente: la funzione integranda risulta essere fortemente

oscillante.

Per trovare una soluzione a tale problema si opera la seguente sostituzione

t→ e−iθτ , (1.33)

con θ ∈ (0,π

2) e τ ∈ <.

Si ottiene, così, una continuazione analitica della funzione integranda al tempo immagi-

nario. In letteratura per θ =π

2si de�nisce la sostituzione come rotazione di Wick. Essa

consiste nella rotazione dell'asse temporale in senso orario �no a coincidenza con l'asse imma-

ginario (operazione, quest'ultima, lecita solo in assenza di poli nell'area di piano complesso

spazzata dall'asse dei tempi. In caso contrario si dovrebbe tener conto dei singoli residui

della funzione calcolati nei poli).

L'argomento dell'esponenziale del propagatore diventa

i

~

∫ tf

ti

dtL(q, q)→ −1

~

∫ τf

τi

dτm

2

(dq

dτ

)2

+ V(q) = −∫dτH := −SE , (1.34)

dove SE è de�nita azione euclidea.

In�ne, l'espressione del propagatore utilizzata per il calcolo numerico è

K(qf , τf ; qi, τi) =

∫Dq(t)e−SE(q), (1.35)

dove si ha che [15]

SE =

∫ τf

τi

dτ[m

2q2 + V(q)

]. (1.36)


Di seguito si riportano le espressioni delle (1.18), (1.19) e (1.28) nel tempo euclideo

K(q, q;T) =∑n

|ψn(q)|2 e−En T;

∫dqK(q, q;T) =

∑n

e−En T∫dq|ψn(q)|2 =

∑n

e−En T;

〈O(t2)O(t1)〉 =

∫dq〈q, tf |O(t2)O(t1)|q, ti〉 =

∑n,n′

|〈n′|O|n〉|2e−EnTe−(En′−En)(t2−t1).

(1.37)

Come precedentemente accennato le (1.37) sono dominate dal contributo dello stato fon-

damentale per T→∞. L'utilità di queste espressioni si renderà chiara nel terzo capitolo del

presente lavoro, dove si ricaveranno le determinazioni dell'autovalore dell'energia e del modu-

lo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale e le determinazioni dell'autovalore

del primo livello eccitato di alcuni sistemi �sici.

1.6 Modelli �sici risolubili analiticamente

In questa sezione si analizzano due sistemi �sici che ammettono una soluzione analitica

del propagatore quantistico: la particella libera e l'oscillatore armonico.

1.6.1 Soluzione analitica di un sistema costituito da una particella

libera

La particella libera rappresenta il caso più semplice per cui si possa ottenere una soluzione

analitica del propagatore K.

L'Hamiltoniana che descrive il sistema è

H =p2

2m.

Avvalendosi della de�nizione (1.1), il calcolo del propagatore fornisce direttamente

K(qf , qi;T) = 〈qf | e−ip2 T2m | qi〉 =

∫dp e−i

p2 T2m 〈qf |p〉〈p|qi〉=

=1

2π

∫dp ei

T

[p2−2mp

(qf−qiT

)]2m =

√m

2πiTeim(qf−qi)

2

2T . (1.38)


Alternativamente è possibile e�ettuare il calcolo del propagatore attraverso l'integrale

funzionale

K(qf , qi;T) = limN→∞

( m

2π i δt

)N2

∫ N−1∏n=1

dqneim2δt

∑N−1n=0 (qn+1−qn)2 =

limN→∞

( m

2π i δt

)N2

∫ N−1∏n=1

dqn exp

{im

2δt

[(qf − qN−1)2 + (qN−1 − qN−2)2 + ...+ (q2 − q1)2 + (q1 − qi)2

]}.

(1.39)

Gli integrali gaussiani non sono più disaccoppiati. Utilizzando, dunque, la formula

∫ ∞∞

du

√a

πe−a(x−u)2

√b

πe−b(u−y)2 =

√ab

π(a+ b)e−

ab(x−y)2a+b . (1.40)

Si ottiene per N = 2

√−C

π

∫dq1 exp

[C(q1 − qi)2 + C(q2 − q1)2

]=

√− C

2πec2 (q2−qi)2 , (1.41)

con C =im

2δt.

Reiterando l'operazione N volte, si ottiene la formula �nale


( m

2π i δt

)N2 1√

N

(2π i δt

m

)N−12

eim(qf−qi)

2

2Nδt =

=( m

2π iT

) 12

eim(qf−qi)

2

2T , (1.42)

in accordo con la (1.38) [5, 15].

1.6.2 Soluzione analitica di un oscillatore armonico

Seguendo la trattazione di C. Itzykson e J. B. Zuber [10], si presenta di seguito la

soluzione analitica del propagatore per un sistema unidimensionale soggetto ad un potenziale

di tipo armonico, descritto dunque dall'Hamiltoniana

H =p2

2m+

1

2mω2q2. (1.43)

Il metodo risolutivo adottato può anche essere esteso allo studio di Hamiltoniane dipen-

denti dal tempo, che descrivono il moto unidimensionale di particelle soggette a campi di

forza esterni. Per ulteriori approfondimenti si rimanda alla vasta trattazione riportata in

[5].


Nell'intervallo temporale in�nitesimo (t, t+δt), si approssima un cammino arbitrario con

un segmento lineare congiungente i punti dello spazio q1 e q2 e si calcola il corrisponden-

te incremento dell'azione ∆S(2, 1), usando una conveniente discretizzazione del potenziale,

come segue

∆S(2, 1) =m

2

[(q2 − q1)2

δt− ω2δt

q22 + q2q1 + q2

1

3

]. (1.44)

Conseguentemente, utilizzando l'equazione (1.14) il propagatore K(qf , qi;T) assume l'e-

spressione

K(qf , qi;T) =

limN→∞

N−1∏n=1

dqn

(N me−i

π2

2πT

)N2

exp

{im

2

N∑1

[N

T(qn − qn−1)2 − ω2 T

3N(q2n + qnqn−1 + q2

n−1)

]}.

(1.45)

Si deve, pertanto, integrare l'esponenziale di una forma quadratica eim2 qMq, dove q indica

simbolicamente il set q0 ≡ qi, q1, ..., qN−1, qN ≡ qf e M ha elementi di matrice

M00 = MNN =N

T− ω2

3NT

Mk,k = 2

(N

T− ω2T

3N

)

Mk,k+1 = Mk−1,k = −(N

T+ω2T

6N

)1 ≤ k ≤ N − 1.

(1.46)

Tutti gli altri elementi di matrice sono nulli.

Se N è la matrice ottenuta cancellando da M le righe e colonne con indici 0 e N , si ha

qMq = M00(q20 + q2

N ) + 2M01(q0q1 + qN−1qN ) +

N−1∑j,l=1

qjNjlql. (1.47)

Utilizzando

∫dN−1q ei

m2 qNq =

(2π

meiπ2

)N−12

(det N)−12 , (1.48)

segue che



(Nme−i

π2

2πT

)N2(

2π

meiπ2

)N−12

(det N)−12×

× exp{im2 [M00(q2

0 + q2N )−M2

01(N−111 q

20 + N−1

N−1,N−1q2N + 2N−1

1,N−1q0qN )]}.

(1.49)

Si calcola, quindi, det N. Ponendo

a =1

2

1 +ω2T2

6N2

1− ω2T2

3N2

, (1.50)

il determinante di N è dato da

det N= 2N−1

(N

T− ω2T

3N

)N−1

detN−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −a 0 ...

−a 1 −a ...

0 −a 1 −a ...

......

...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (1.51)

Il restante determinante è indicato con IN−1(a) e per a �ssato soddisfa la relazione

ricorsiva

In(a) = In−1(a)− a2In−2(a) I0(a) = I1(a) = 1. (1.52)

Risolvendo nella forma In(a)

In−1(a)

=

1 −a2

1 0

n−11

1

, (1.53)

si diagonalizza la matrice 2× 2 e si trovano i corrispondenti autovalori λ±(a)

IN−1(a) =λN+ (a)− λN− (a)

λ+(a)− λ−(a)λ±(a) =

1± i√

4a2 − 1

2−−−−→N→∞

1

2e±

iωTN . (1.54)

Pertanto, per N →∞

IN−1(a) ≈ N

2N−1

sinωT

ωT. (1.55)

Dalla (1.49) segue allora

K(qf , qi;T) =(mωe−i

π2

2π sinωT

) 12

limN→∞

exp{im

2[(q2

i + q2f )(M00 −M2

01N−111 )− 2qiqfM

201N

−11,N−1]

}.

(1.56)


Per concludere si valutano

N−11,1 =

T

2N(1− ω2T2

3N2)

IN−2(a)

IN−1(a)≈ T

N

(1− ωT

Ncotωt

)+ O(N−3)

N−11,N−1 =

T

2N(1− ω2T2

3N2)

aN−2

IN−1(a)≈ ωT2

N2 sinωT+ O(N−3),

(1.57)

ricavando, in�ne, l'espressione

K(qf , qi;T) =

(mωe−i

π2

2π sinωT

) 12

exp

{imω

2

[(q2f + q2

i ) cotωT− 2qfqi

sinωT

]}. (1.58)

Come esempi di applicazione dell'espressione (1.58) trovata si possono ricavare gli au-

tovalori ed il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore

armonico unidimensionale.

Richiamando la (1.19) si ha

∑n

e−i En T =

∫dqK(q, q;T) =

=

∫dq

√−imω

2π sinωTexp

[imω

2 sinωT2q2(cosωT− 1)

]=

1

2i sin ωT2

= e−12 i ωT

∑n

e−i n ωT.

(1.59)

Confrontando il primo e l'ultimo membro della (1.59) si ottiene la ben nota espressione degli

autovalori En per l'oscillatore armonico unidimensionale [6]

En = ω(n+1

2). (1.60)

In�ne, ricordando la prima delle (1.37) e usando la prescrizione del tempo euclideo (T→

−iτ) nella (1.58), nel limite di τ →∞ si ottiene

limτ→∞

K(q, q;T) = limτ→∞

( mω

2π sinhωτ

) 12

exp

[imωq2

(i cothωτ − i

sinhωτ

)]=

=(mωπ

) 12

e−mωq2

e−ωτ2 = |ψ0(q)|2e−E0τ . (1.61)

Dividendo la (1.61) per il fattore e−ωτ2 (= e−E0τ ), si ricava la nota espressione analitica

del modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico

|ψ0(q)|2:

|ψ0(q)|2 =(mωπ

) 12

e−mωq2

. (1.62)

Capitolo 2

Metodi di integrazione numerica

Come il formalismo canonico, anche l'approccio dei Path Integrals conduce a soluzioni

analitiche in un numero limitato di casi, tra cui la particella libera e l'oscillatore armonico

analizzati nel precedente capitolo.

Nella presente sezione si descrive un metodo numerico per e�ettuare l'integrazione fun-

zionale adatto all'implementazione su un computer.

Facendo riferimento alle espressioni riportate in �1.3, i valori medi delle osservabili �siche

possono essere calcolati attraverso l'integrale sui cammini come:

〈O〉 = 1

Z

∫D[U ]e−S[U ]O[U ], (2.1)

dove Z è un fattore di normalizzazione pari a

Z =

∫D[U ]e−S[U ] (2.2)

e U indica in questo capitolo l'insieme delle possibili con�gurazioni del sistema ovvero

l'insieme dei cammini di Feynman.

Per calcolare 〈O〉 è possibile valutare l'integrale attraverso una integrazione numerica del

tipo Monte Carlo, che consiste nel mediare i valori assunti dall'osservabile su un insieme

�nito di N con�gurazioni Un distribuite con probabilità e−S[Un]:

〈O〉 ≈ 1

N

∑Un con probabilità∝ e−S[Un]

O[Un]. (2.3)

18

CAPITOLO 2. METODI DI INTEGRAZIONE NUMERICA 19

Si discute la teoria del metodo Monte Carlo basato sulle catene di Markov ( MCMC,

Markov Chain Monte Carlo ) e, successivamente, la relativa applicazione all'algoritmo

Metropolis.

2.1 Il metodo Monte Carlo

Nella (2.1) i cammini su cui si calcola l'osservabile sono pesati attraverso il fattore di

Boltzmann e−S[Un]. Pertanto, l'azione S attribuisce alle diverse con�gurazioni Un di�erente

importanza nel contributo alla valutazione del valor medio di O. Questo modo di mediare

l'osservabile è de�nito Importance Sampling.

Al valore aspettato (2.3) è associata un'incertezza statistica proporzionale a1√N

e

l'esatto valore medio è ottenuto nel limite di N →∞.

Il cuore del metodo numerico MCMC consiste nel trovare le con�gurazioni Un distri-

buite secondo la corretta funzione di probabilità P(U) = e−S[Un]. Si stabilisce, dunque,

una con�gurazione arbitraria a partire dalla quale si costruisce una sequenza stocastica di

con�gurazioni che tendono a seguire la distribuzione di equilibrio P(U).

Nella �gura sottostante (Fig. 2.1) si mostra un'illustrazione schematica di una catena di

Markov.

Figura 2.1: Rappresentazione schematica di una catena di Markov.

I punti in �gura rappresentano le con�gurazioni visitate dalla catena di Markov sequen-

zialmente. La catena inizia in un punto arbitrario dello spazio delle con�gurazioni per poi

convergere velocemente verso il centro della regione visitata con maggiore frequenza (dove

si osserva una maggiore densità di punti): in questa parte di spazio il fattore di Boltzmann


assume valori alti e, pertanto, la probabilità delle rispettive Un è alta. Il processo di Markov

si evolve nel tempo visitando più spesso le con�gurazioni aventi maggiori probabilità.

Il processo di Markov è caratterizzato da una probabilità di transizione condizionata da

U a U ′

T(U ′|U) := P(Un = U ′|Un-1 = U). (2.4)

La caratteristica peculiare del metodo MCMC consiste nella dipendenza della probabilità

(2.4) dalle sole con�gurazioni U e U ′, ma non dall'indice n, ossia dalla storia precedente.

La probabilità T soddisfa, ovviamente, le seguenti proprietà

0 ≤ T(U ′|U) ≤ 1,∑U ′

T(U ′|U) = 1. (2.5)

Una volta raggiunto l'equilibrio, la probabilità di passaggio U → U ′ deve essere uguale

alla corrispondente U ′ → U .

Si ottiene, così, l'equazione di bilancio

∑U

T(U ′|U)P(U) =∑U

T(U |U ′)P(U ′). (2.6)

Il membro sinistro della (2.6) rappresenta la probabilità totale di passaggio nella catena

allo stato U ′ ed è uguale, per l'equazione di bilancio, alla probabilità di uscire da U ′.

Una soluzione della (2.6) puo' essere ottenuta richiedendo che l'eguaglianza sia valida

termine a termine

T(U ′|U)P(U) = T(U |U ′)P(U ′). (2.7)

Questa equazione è nota come la condizione di bilancio dettagliato. E' possibile dimostrare

che l'equazione (2.7) è una condizione su�ciente a garantire che la catena di Markov converga

all'equilibrio.

Nel seguente paragrafo si discute nel dettaglio il padre di tutti gli algoritmi Monte Carlo

che usano la condizione di bilancio dettagliato: l'algoritmo Metropolis. Questo algoritmo

sarà successivamente utilizzato nei programmi di simulazione descritti nel terzo capitolo.


2.2 L'algoritmo Metropolis

L'algoritmo Metropolis è de�nito dai seguenti tre step.

Step 1: Si sceglie una con�gurazione arbitraria U ′ secondo una probabilità di selezione a

priori T0(U ′|U), dove U = Un−1.

Step 2: Si accetta la con�gurazione U ′ candidata come nuova con�gurazione Un con pro-

babilità di accettazione

TA(U ′|U) = min

(1,

T0(U |U ′)e−S[U ′]

T0(U ′|U)e−S[U ]

). (2.8)

Se la nuova con�gurazione non è accettata la catena di Markov include quella invariata.

Step 3: Si ripetono gli step 1 e 2 dall'inizio.

E' possibile veri�care che la probabilità di transizione totale T = T0TA soddisfa all'equa-

zione di bilancio dettagliato (2.7):

T(U ′|U) e−S[U ] = T0(U ′|U) min

(1,

T0(U |U ′)e−S[U ′]

T0(U ′|U)e−S[U ]

)e−S[U ] =

= min(T0(U ′|U) e−S[U ], T0(U |U ′) e−S[U ′]

)= T(U |U ′)e−S[U ′], (2.9)

dove nei passaggi si sfruttano le proprietà di simmetria dell'operazione di minimo e la

positività di tutti i fattori.

Nella maggior parte dei casi si usa una probabilità di selezione T0 che obbedisce alla

seguente proprietà di simmetria

T0(U |U ′) = T0(U ′|U). (2.10)

In questo caso l'espressione (2.8) si sempli�ca divenendo [7]

TA(U ′|U) = min (1, e−∆S) con ∆S = S[U ′]− S[U ]. (2.11)

Capitolo 3

La simulazione numerica

Lo scopo del presente capitolo è quello di descrivere la metodologia con cui si applica

l'algoritmo Metropolis allo studio di alcuni sistemi �sici attraverso il formalismo dei Path

Integrals e di presentare i relativi risultati ottenuti per mezzo di un programma di simulazione

numerica.

In particolar modo la presente sezione si divide in due sottosezioni: la prima riguarda la

descrizione del programma scritto con l'ausilio del software Wolfram Mathematica, di cui si

riporta una traccia schematica del listato in appendice; la seconda tratta dell'applicazione

del codice di programmazione allo studio di tre sistemi �sici.

Preliminarmente si svolge l'analisi su un sistema ben noto in Meccanica Quantistica e

di vasta applicazione in tutti i campi della �sica, l'oscillatore armonico. Successivamente si

esaminano due sistemi caratterizzati da potenziali che modi�cano la Hamiltoniana dell'o-

scillatore armonico con l'aggiunta di termini anarmonici, la doppia buca di potenziale ed il

doppio oscillatore.

Usando le formule riportate in �1.2 e �1.3, si ottengono per i tre sistemi di interesse le

determinazioni dell'autovalore e del modulo quadro della funzione d'onda dello stato fon-

damentale e l'autovalore del primo livello eccitato (speci�catamente la di�erenza energetica

tra il primo livello eccitato e quello fondamentale).

Come già speci�cato nel primo capitolo, il potenziale dell'oscillatore armonico ammette

una soluzione analitica nel formalismo dell'integrale funzionale sui cammini (cfr. �1.6.2).

Pertanto, tale modello �sico si usa quale sistema di prova per testare il buon funzionamento

e l'e�cienza dell'algoritmo numerico implementato nel programma di simulazione. Ciò allo

22

CAPITOLO 3. LA SIMULAZIONE NUMERICA 23

scopo di poterne estendere l'applicazione a sistemi �sici di cui non si conosce una soluzione

analitica (la doppia buca di potenziale ed il doppio oscillatore).

3.1 Descrizione del programma di simulazione numerica

Di seguito si fornisce una descrizione del programma di simulazione comune ai tre sistemi

oggetto di studio, facendo riferimento al listato riportato nell'appendice A.

3.1.1 Simulazione Monte Carlo e scelta dei parametri

I parametri di inizializzazione considerati sono i parametri dell'Hamiltoniana (massa

della particella, frequenza di oscillazione ecc...) ed i parametri reticolari del Path Integral

(estensione temporale dei cammini T1, passo reticolare δt e numero di cammini simulati

Ncammini).

Nota la scala energetica caratteristica del modello in analisi E, la scelta ottimale del

valore del passo reticolare δt è vincolata alla soddisfazione della seguente relazione

δt E << 1. (3.1)

Questa condizione garantisce che gli e�etti di discretizzazione siano trascurabili.

Inoltre, il valore di T (tempo intercorrente tra lo stato iniziale e quello �nale) deve essere

su�cientemente grande in modo da isolare dai livelli eccitati lo stato fondamentale nella

determinazione del rispettivo autovalore e del modulo quadro della funzione d'onda (come

discusso in �1.5):

T E >> 1. (3.2)

Per tutti i sistemi di interesse si sceglie un valore comune del numero dei cammini (o

con�gurazioni) pari aNcammini=10 000. Questa scelta è principalmente dettata dall'esigenza

di collezionare un insieme signi�cativo di dati da usare nell'analisi statistica, al �ne di

ricavare risultati accurati.

Per poter ottenere le determinazioni delle diverse quantità �siche, si considerano solo

cammini chiusi di periodo T, ossia si impongono condizioni al contorno periodiche, in cui

xi = xf = x0 e, come discusso nel primo capitolo, il tempo è trattato come una variabile

1Nel presente capitolo per T si intende ovunque il tempo euclideo.


discreta 0 ≡ t0, t1, ..., tN ≡ T, ove N =T

δt(trasformando, così, il propagatore in un integrale

multidimensionale ad N − 1 dimensioni 〈 x |e−�HT| x 〉= A

∫ ∞−∞

dx1... dxN−1 e−S(x), con A

costante di normalizzazione pari a A =( m

2π δt

)N2

).

Si de�nisce, quindi, l'azione classica euclidea discretizzata S

S =∑n

[m(xn+1 − xn)2

2δt+ δtV

(xn+1 + xn

2

)](3.3)

e si procede con l'implementazione dell'algoritmo Metropolis.

Nella catena di Markov la scelta del cammino iniziale è irrilevante. Il cammino iniziale

può essere indi�erentemente un insieme di punti casuali oppure {xj = 0} per j = 0, ..., N−1

(per l'oscillatore armonico questa scelta corrisponde al cammino che minimizza l'azione

euclidea). A partire dal cammino iniziale si generano tutte le con�gurazioni successive

secondo la distribuzione e−S(x), applicando la procedura dell'algoritmo Metropolis descritta

nel secondo capitolo e che si riporta brevemente di seguito.

Si varia ciascun punto xj del cammino al tempo tn−1 separatamente, aggiungendo una

quantità random δxj estratta secondo una distribuzione uniforme nell'intervallo (-A, A). La

scelta di A regola le prestazioni del programma di simulazione e, in particolare, la probabilità

di accettazione della nuova con�gurazione al tempo tn a partire da quella al tempo tn−1.

Una scelta ottimale è quella di una probabilità di accettazione (accettanza) pari a circa

0.7-0.8.

Dunque, viene calcolata la di�erenza ∆S tra l'azione del nuovo cammino e quella del

cammino invariato. Se ∆S risulta negativa, l'algoritmo Metropolis accetta la variazione

proposta e ripete il procedimento variando gli altri punti del cammino in questione. Al

contrario, se ∆S risulta essere positiva viene accettato il nuovo valore xj con probabilità

e−∆S (a tale scopo si estrae un numero casuale con distribuzione uniforme tra (0,1) e lo

si confronta con e−∆S). L'algoritmo procede iterativamente �no alla generazione di tutti i

cammini [13, 19].

Nella Fig. 3.1 si riporta una rappresentazione gra�ca dei cammini generati dal program-

ma di simulazione.


20 40 60 80 100tempo

-3

-2

-1

1

2

3

spazio

Figura 3.1: Illustrazione gra�ca di un campione dei cammini generati dal programma di

simulazione dell'oscillatore armonico.

Nelle Figg. 3.2 e 3.3 si riporta, inoltre, l'andamento dell'azione in funzione dei cammini

generati.

2000 4000 6000 8000 10 000cammini

20

40

60

80

azione

Figura 3.2: Andamento dell'azione S(x) in funzione dei passi Monte Carlo. Il gra�co è tratto

dal programma di simulazione realizzato per l'oscillatore armonico.


50 100 150 200cammini

10

20

30

40

50

60

azione

Figura 3.3: Dettaglio del gra�co in Fig. 3.2 sui primi 200 cammini generati.

Come si evince dai gra�ci sopra riportati, l'azione raggiunge una stabilizzazione intorno

ad un valore asintotico. Questo procedimento è chiamato termalizzazione e rappresenta il

raggiungimento della distribuzione limite di equilibrio intorno alla quale i cammini oscillano

nell'evoluzione della catena di Markov (cfr. �2.1).

Poiché alla determinazione delle osservabili �siche non devono contribuire i cammini che

non abbiano raggiunto la termalizzazione, si scartano i cammini in questione (circa 50 nel

caso della Fig. 3.3). Inoltre, per non dover tenere in conto l'autocorrelazione tra i dati, è

utile salvare le sole con�gurazioni ad intervalli di M step, dove M è maggiore della larghezza

tipica delle oscillazioni osservate in Fig. 3.3 (M ≥ 20).

3.1.2 Funzione d'onda dello stato fondamentale

Una volta generato un insieme di cammini con distribuzione proporzionale a e−S(x) si

possono calcolare i valori medi di interesse. Nel programma la prima quantità che viene

considerata è il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale del sistema.

Dalla seguente espressione per il propagatore

K(x, x;T) =∑n

|ψn(x)|2e−EnT (3.4)

si osserva che si può calcolare il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamen-

tale come

|ψ0(x)|2 = limT→∞

K(x, x;T)∫dxK(x, x;T)

=

∫dx0δ(x0 − x)K(x0, x0;T)∫

dx0K(x0, x0;T)

. (3.5)


L'ultima uguaglianza indica immediatamente un metodo e�ciente per calolare |ψ0(x)|2.

Questo è dato, infatti, dal �valor medio� di δ(x0−x). Come discusso nel capitolo precedente

(cfr. eq. (2.3)), questo valore medio è dato semplicemente da

|ψ0(x)|2 =1

Ncammini

∑c

δ(xc0 − x). (3.6)

Per meglio chiarire l'espressione (3.6), si consideri un intervallo ∆x piccolo, allora si ha

che

|ψ0(x)|2∆x =

∫ x+∆x

x

dx′|ψ0(x′)|2 =1

Ncammini

∑c

∫ x+∆x

x

dx′δ(xc0 − x′), (3.7)

dove nell'ultimo passaggio si è inserita la (3.6).

Dunque, per ottenere il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale,

si deve calcolare il numero di cammini il cui punto iniziale x0 cade nell'intervallo (x, x+∆x),

facendo un istogramma dei dati {xc0} ,∀c, normalizzato al numero dei cammini Ncammini e

all'ampiezza ∆x dei bins.

In aggiunta si sviluppa la seguente argomentazione. Dato un cammino

xc = {x0, x1, ..., xj , xj+1, ..., xN ≡ x0},

si possono creare delle copie di xc con estremi xj del tipo {xj , xj+1, ..., x0, x1, ..., xj}, che

essendo composte dagli stessi punti hanno un valore dell'azione pari a quella del cammino xc.

Quindi, calcolando per ciascuna di esse la (3.7), si può aumentare la statistica dei dati, senza

dispendio ulteriore di memoria, e realizzare un istogramma complessivo dal quale ricavare

l'andamento della |ψ0(x)|2 con maggiore livello di accuratezza.

Collezionando i dati relativi a più esecuzioni del programma si ottiene un gra�co del

modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale del sistema in analisi in

funzione di x, i cui punti sono la media dei valori delle occorrenze degli istogrammi ricavati

ad ogni esecuzione. Si associa, quindi, a ciascuno dei dati un'incertezza pari aσ√N, dove

σ è la deviazione standard delle occorrenze ed N la popolazione del campione. Analoga

procedura è utilizzata nelle analisi per valutare l'errore statistico su tutte le altre osservabili

considerate.


3.1.3 Livello di energia dello stato fondamentale

Noto il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale è possibile ottenere

una determinazione del corrispondente livello di energia E0.

Poiché E0 = 〈E0|H|E0〉 = 〈E0|K|E0〉 + 〈E0|V|E0〉, dove K e V sono rispettivamente gli

operatori di energia cinetica e potenziale, si ha:

〈0|K|0〉 = − 1

2m

∫ ∞−∞

dx ψ∗0(x)∂2

∂x2ψ0(x) =

1

2m

∫ ∞−∞

dx

(∂ψ∗0(x)

∂x

)(∂ψ0(x)

∂x

)〈0|V|0〉 =

∫ ∞−∞

dx |ψ0(x)|2 V(x), (3.8)

dove nell'ultimo passaggio della prima equazione si è integrato per parti.

Stimando numericamente la derivata prima nella (3.8) come

ψ′0(x) ≈ ψ0(x+ ∆x)− ψ0(x−∆x)

2∆x,

per ∆x→ 0, e calcolando con un'approssimazione numerica discreta gli integrali nella (3.8)

con estremi nei punti di annullamento della funzione d'onda, si ricava l'autovalore dello stato

fondamentale E0.

3.1.4 Primo livello eccitato

In�ne, si descrive di seguito la procedura utilizzata per ottenere una determinazione

della di�erenza energetica ∆E tra il primo livello eccitato e quello fondamentale (l'approccio

descritto può essere esteso anche alla ricerca degli autovalori degli stati eccitati superiori al

primo).

Il metodo consiste nel valutare il valor medio del prodotto di due operatori calcolati a

tempi diversi, intermedi tra ti e tf (cfr. �1.3). Allo scopo di calcolare ∆E, si usa il prodotto

di due operatori di posizione:

G(t2 − t1) := 〈x(t2)x(t1)〉 =

∫Dx(t)x(t2)x(t1)e−S(x)∫

Dx(t)e−S(x)≈ 1

Ncammini

∑c

xct2xct1 , (3.9)

dove si integra su tutti i cammini chiusi comprendendo gli estremi.

Si veri�ca che la (3.9) fornisce informazioni sul primo stato eccitato. A tale scopo si

calcolano separatamente il numeratore e il denominatore del secondo termine nella (3.9).


Per quanto riguarda il denominatore, richiamando la (1.19) si ha:

∫Dx(t)e−S(x) =

∫dx0〈x0|e−

�H(x)T|x0〉 =

∫dx0

∑n

e−EnT|〈x0|En〉|2 =∑n

e−EnT. (3.10)

Il numeratore, invece, si sviluppa come nella (1.28):

∫Dx(t)x(t2)x(t1)e−S(x) =

∑n,n′

|〈En′ |x|En〉|2e−EnTe−(En′−En)(t2−t1). (3.11)

Nelle (3.10) e (3.11) per T >> t2 − t1 >> 0 lo stato fondamentale domina sulle somme

e, se il sistema considerato conserva la parità, l'operatore di posizione x cambia la parità

degli stati così da rendere non nulli nella (3.11) i soli termini che coinvolgono il primo livello

eccitato (o livelli più alti). Dunque la G(t2 − t1) diventa per T>> 0

G(t2 − t1)→ | < E1| x |E0 > |2e−(E1−E0)(t2−t1). (3.12)

Studiando l'andamento temporale della G(t2 − t1) si possono, dunque, determinare

secondo la (3.12) la di�erenza degli autovalori ∆E = E1 − E0 e l'elemento di matrice

|〈E1|x|E0〉|2.

Poiché la G(t2 − t1) è dipendente dal solo intervallo temporale (t2 − t1), con riferimento

all'ultimo termine della (3.9) è possibile sommare su tutti i punti dei cammini distanziati di

(t2 − t1).

3.2 Applicazioni a sistemi �sici

Nella presente sezione si riportano i risultati ottenuti nella simulazione dei diversi sistemi

�sici di interesse: l'oscillatore armonico, la doppia buca di potenziale ed il doppio oscillatore.

Inoltre, si e�etua un confronto, quando consentito, con i risulatati noti da diversi approcci.

3.2.1 L'oscillatore armonico

Il sistema dell'oscillatore armonico è descritto dalla seguente Hamiltoniana

H =p2

2m+

1

2mω2x2.

La scala energetica propria del sistema è de�nita evidentemente dalla pulsazione ω.

Pertanto, facendo riferimento alle (3.1) e (3.2), la scelta dei parametri di inizializzazione

che si e�etua è la seguente: m = 1;ω =1

2;T = 100; δt = 1.


Autovalore dell'energia dello stato fondamentale

In modo alternativo a quanto descritto nella precedente sezione (cfr. �3.1.3), per ricava-

re una determinazione dell'autovalore dello stato fondamentale E0 nel caso dell'oscillatore

armonico è possibile sfruttare il Teorema del Viriale al potenziale dell'oscillatore armonico.

Infatti, per un potenziale che è una funzione omogenea di grado k nelle coordinate del

tipo V(q) = αqk, si ha:

2〈En|K|En〉 = k〈En|V|En〉. (3.13)

Applicando il Teorema del Viriale con k = 2 all'espressione E0 = 〈E0|K|E0〉+〈E0|V|E0〉,

si ottiene

E0 = 2〈E0|V|E0〉 = mω2〈E0|x2|E0〉 = mω2 1

Ncammini

∑c

(xc)2. (3.14)

Dai valori medi dei quadrati delle coordinate dei cammini e collezionando i risultati

ottenuti da 60 esecuzioni del programma, si ottiene

E0 = 0.24994± 0.00046,

in accordo con quanto atteso, E0 =ω

2= 0.25.

Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale

-4 -2 2 4x

0.1

0.2

0.3

0.4

ÈΨ0HxL 2

Figura 3.4: Confronto del risultato ottenuto per il modulo quadro della funzione d'on-

da dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico (punti blu) con l'espressione nota

analiticamente (curva rossa).


In Fig. 3.4 si riporta il gra�co del modulo quadro della funzione d'onda dello stato

fondamentale. I punti blu rappresentano il risultato ottenuto nella simulazione per 60 run.

Come si può ben osservare, le barre d'incertezza sono molto piccole, al livello di 10−4. La

curva rossa sovrapposta riproduce l'espressione ben nota della funzione d'onda [18]

|ψ0(x)|2 =(mωπ

) 12

e−mωx2

.

Si evidenzia, dalla Fig. 3.4, l'ottimo accordo tra i valori restituiti dal programma di

simulazione e l'andamento aspettato.

Di�erenza energetica tra il primo stato eccitato e lo stato fondamentale

In Fig. 3.5 si riporta il gra�co di

∆E(t2 − t1) =1

δtln

[G(t2 − t1)

G(t2 − t1 + δt)

](3.15)

in funzione di t2 − t1, che secondo la (3.12) rappresenta la di�erenza di energia E1 − E0.

Il risultato è ottenuto collezionando i dati relativi a 14 esecuzioni del programma.

0 1 2 3 4 5 6 7t2-t10.40

0.45

0.50

0.55

0.60E1-E0

Figura 3.5: Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale dell'o-

scillatore armonico ottenuto mediante l'eq. (3.15). La linea in rosso rappresenta il valore

noto ∆E = ω.

Il valore medio e la corrispondente incertezza ottenuti per ∆E sono pari a

∆E = 0.514± 0.015,


compatibile con il valore atteso ∆E = ω = 0.5.

In�ne, nel caso dell'oscillatore armonico, si riporta anche una stima del modulo quadro

dell'elemento di matrice 〈E1|x|E0〉

|〈E1|x|E0〉|2 = 0.998± 0.042,

che risulta in accordo con il valore noto |〈E1|x|E0〉|2 =1

2mω= 1.

3.2.2 La doppia buca di potenziale

In questa sezione si presentano i risultati ottenuti per la doppia buca di potenziale.

L'Hamiltoniana del sistema è

H =p2

2m+ λ

(x2 − µ2

2λ

)2

. (3.16)

I parametri di inizializzazione ottimali scelti sono:

m =1

2; µ = 0.2; λ = 1.6× 10−3; T=100; δt = 1.

In Fig. 3.6 si riporta l'andamento del potenziale a doppia buca V(x) = λ

(x2 − µ2

2λ

)2

,

con µ e λ di cui sopra.

-6 -4 -2 2 4 6x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6VHxL

Figura 3.6: Andamento del potenziale a doppia buca V(x) = λ

(x2 − µ2

2λ

)2

, con µ = 0.2 e

λ = 1.6× 10−3.


Come si evince in Fig. 3.6, al variare dei parametri µ e λ il potenziale presenta una di-

stanza tra i minimi, posti in corrispondenza delle due buche, pari a µ

√2

λ≈ 7.07 e un'altezza

della barriera tra esse pari aµ4

4λ= 0.25.

Lo stato fondamentale del sistema è caratterizzato da livelli di energia in corrispondenza

delle due buche che sono degeneri nel limite di in�nita distanza tra i minimi del potenziale.

Man mano che la distanza tra le buche diminuisce il sistema risente dell'e�etto Tunnel, che

provoca la rimozione della degenerazione dei livelli energetici con conseguente loro separa-

zione in un livello fondamentale di energia minore rispetto allo stato degenere e in un primo

livello eccitato di più alta energia.

Nel presente lavoro, lo studio del sistema a doppia buca di potenziale è coadiuvato da

un vasto repertorio bibliogra�co. Nello speci�co si fa esplicito riferimento principalmente

all'articolo dei �sici Banerjee K. e Bhatnagar S. P. [1].

In [1], partendo da un'Hamiltoniana generica del tipo H(k, λ) = p2 − kx2 + λx4 e risca-

lando opportunamente gli operatori di posizione e impulso x→ k−14x e p→ k

14 p, si analizza

l'Hamiltoniana ridotta H(1, λ) = p2 − x2 + λx4. Quindi, gli autovalori En(k, λ) di H(k, λ)

sono legati a quelli dell'Hamiltoniana ridotta dalla seguente relazione:

En(k, λ) = k12En(1, k−

32λ) (3.17)

Confrontando la (3.16) con la H(k, λ) si ricava immediatamente che k = µ2.

Modulo quadro della funzione d'onda e autovalore dell'energia dello stato fon-

damentale

In Fig. 3.7 si riporta il gra�co che mostra il modulo quadro della funzione d'onda dello

stato fondamentale. Per migliorare l'accuratezza, la funzione è previamente simmetrizzata,

in quanto il potenziale è una funzione pari.


-5 5x

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

ÈΨ0HxL 2

Figura 3.7: Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale della doppia buca

di potenziale.

Come atteso ben si evidenziano in Fig. 3.7 due picchi distinti della funzione.

Da un insieme di dati provenienti da 10 run del programma, ciascuno dei quali genera

10 000 cammini, si ottiene il valore di E0, come descritto dettagliatamente in �3.1:

E0 = 0.1874± 0.0023.

Confontando con la determinazione data in [1], E0 ≈ 0.1883, si evince che il risultato

ottenuto è compatibile entro una deviazione standard con il valore in [1].


In Fig. 3.8 si riporta il gra�co di eq. (3.15) vs. t2 − t1.


1 2 3 4 5 6 7t2-t1

0.11

0.12

0.13

0.14

E1-E0

Figura 3.8: Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale della

doppia buca di potenziale. La linea disegnata in rosso rappresenta il valore di ∆E ottenuto

in ref. [1].

Il risultato di ∆E ricavato è pari a

∆E = 0.1190± 0.0011,

dato compatibile con quello riportato in [1], ∆E ≈ 0.1188.

Per concludere si riportano anche alcuni riferimenti bibliogra�ci di approfondimento,

che trattano diversi metodi di calcolo numerico per ricavare determinazioni degli autovalori

della doppia buca di potenziale: per l'applicazione del metodo variazionale si veda [23]; per

il metodo WKB si consultino [2, 21]; per un originale algoritmo numerico di risoluzione

dell'equazione di Schrödinger si rimanda a [22] ed in�ne per approfondire l'applicazione dei

Path Integrals ed impostare un calcolo del propagatore attraverso l'espansione intorno a

soluzioni di pseudo-particelle si veda [8].

3.2.3 Il doppio oscillatore

Il terzo sistema analizzato per questo lavoro di tesi è il doppio oscillatore, la cui Hamil-

toniana è

H =p2

2m+mω2

2(|x| − x0)2.

La scelta dei parametri di inizializzazione è la seguente: m = 1; ω =1

2; x0 = 2; T=100;

δt = 1.


In Fig. 3.9 si riporta l'andamento del potenziale del sistema studiato.

-4 -2 2 4x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

VHxL

Figura 3.9: Andamento del potenziale del doppio oscillatore V(x) =mω2

2(|x| − x0)2 con

m = 1; ω = 0.5 e x0 = 2.

Al variare dei parametri di V(x), la distanza tra i due minimi è pari a 2x0 (In Fig. 3.9

2x0 = 4) e l'altezza della barriera tra le due buche è pari amω2x2

0

2(In Fig. 3.9

mω2x20

2= 0.5).

Modulo quadro della funzione d'onda e autovalore dello stato fondamentale

In Fig. 3.10 si riporta il modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale.

Anche in questo caso, la funzione è previamente simmetrizzata, in quanto il potenziale è una

funzione pari.

-6 -4 -2 2 4 6x

0.05

0.10

0.15

ÈΨ0HxL 2

Figura 3.10: Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fondamentale del doppio

oscillatore.


Seguendo il suggerimento riportato nel Landau-Lif²its (ref. [11]), è possibile approssi-

mare la funzione d'onda dello stato fondamentale del sistema ψ0(x) con la combinazione

simmetrica delle funzioni d'onda esatte dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico

centrate nelle due buche di potenziale, ottenendo la |ψLL0 (x)|2 così de�nita:

|ψLL0 (x)|2 =

[1√2

(ψosc0 (x) + ψosc0 (−x))

]2

=

=

{1√2

[(mωπ

) 14

e−mω(x−x0)2

2 +(mωπ

) 14

e−mω(−x−x0)2

2

]}2

.

In Fig. 3.11 si sovrappone al risultato ottenuto (punti blu) riportato in Fig. 3.10 la

|ψLL0 (x)|2 correttamente rinormalizzata (curva rossa).

-6 -4 -2 2 4 6x

0.05

0.10

0.15

0.20

ÈΨ0HxL 2

Figura 3.11: Confronto del risultato riportato in Fig. 3.10 con la funzione approssimata del

Landau-Lif²its.

Si nota che la |ψLL0 (x)|2 proposta in [11] è una buona approssimazione della funzione

ricavata nella simulazione.

Dai dati provenienti da 16 run del programma si ottiene:

E0 = 0.1928± 0.0011.


In Fig. 3.12 si riporta il gra�co eq. (3.15) vs. t2 − t1.


1 2 3 4 5 6 7t2-t1

0.09

0.10

0.11

0.12

E1-E0

Figura 3.12: Di�erenza di energia tra il primo livello eccitato e quello fondamentale del

doppio oscillatore. La linea disegnata in rosso rappresenta il valore di ∆E ottenuto in ref.

[11].

Il risultato di ∆E ricavato è pari a

∆E = 0.1005± 0.0017,

dato compatibile con la determinazione ∆E ≈ 0.1, ottenuta da [11], come segue:

∆ELL =2

mψosc0 (0)[ψosc0 (0)]′.

Conclusione

Al termine del presente lavoro di tesi, è possibile trarre alcune conclusioni.

Dall' analisi svolta nel terzo capitolo si evince il corretto funzionamento del programma

di simulazione numerica realizzato per i tre sistemi oggetto di studio: l'oscillatore armonico,

la doppia buca di potenziale ed il doppio oscillatore.

In particolare, nel presente lavoro, si sono ottenuti risultati sugli autovalori e sulle fun-

zioni d'onda di sistemi di notevole interesse, che attraggono signi�cativa attenzione da par-

te della Comunità Scienti�ca per le di�coltà che presentano nella loro soluzione e per le

applicazioni cui si prestano.

Da un'attenta e critica osservazione dei risultati prodotti ben emerge che il programma

implementato fornisce approssimazioni numeriche accurate e fedeli all'atteso, ad ulterio-

re conferma del successo dell'applicazione del metodo dei Path Integrals nello studio dei

problemi di Meccanica Quantistica non risolubili analiticamente.

L'approccio degli integrali funzionali sui cammini, caratterizzato da un'alta e�cienza e

versatilità nell'implemetazione a computer, è tale da potersi a�ermare quale metodo originale

e alternativo per la ricerca di informazioni numeriche su disparati modelli �sici.

39

Appendice A

Codice dei programmi in Wolfram

Mathematica

Nella presente appendice si riporta un esempio di codice del programma realizzato con

l'ausilio del software Wolfram Mathematica per lo studio dell'oscillatore armonico. Il listato

in blu rappresenta le variazioni apportate per i programmi della doppia buca di potenziale

e del doppio oscillatore.

Parametri di inizializzazione

m = 1;m = 1;m = 1;

ω = 0.5;ω = 0.5;ω = 0.5;

T = 100;T = 100;T = 100;

δ = 1;δ = 1;δ = 1;

Nt = T/δ;Nt = T/δ;Nt = T/δ;

Ncammini = 10000;Ncammini = 10000;Ncammini = 10000;

A = 1.0;A = 1.0;A = 1.0;

�Markov Chain Monte Carlo�: algoritmo Metropolis

c = m2δ ;c = m2δ ;c = m2δ ;

g = 12mω

2δ;g = 12mω

2δ;g = 12mω

2δ;

40

APPENDICE A. CODICE DEI PROGRAMMI IN WOLFRAM MATHEMATICA 41

(*(*(*

V [kk_, zz_, j_, s_]:=λδ(

((kk[[j]] + zz[[s]])/2)2 − µ2

2λ

)2

; doppia buca di potenzialeV [kk_, zz_, j_, s_]:=λδ(

((kk[[j]] + zz[[s]])/2)2 − µ2

2λ

)2

; doppia buca di potenzialeV [kk_, zz_, j_, s_]:=λδ(

((kk[[j]] + zz[[s]])/2)2 − µ2

2λ

)2

; doppia buca di potenziale

V [kk_, zz_, j_, s_]:=mω2δ2 (Abs[(kk[[j]] + zz[[s]])/2]− x0)2; doppio oscillatoreV [kk_, zz_, j_, s_]:=mω2δ2 (Abs[(kk[[j]] + zz[[s]])/2]− x0)2; doppio oscillatoreV [kk_, zz_, j_, s_]:=mω2δ2 (Abs[(kk[[j]] + zz[[s]])/2]− x0)2; doppio oscillatore

*)*)*)

Azione[w_]:=Sum[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + g((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2, {i,Nt− 1}

];Azione[w_]:=Sum

[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + g((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2, {i,Nt− 1}

];Azione[w_]:=Sum

[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + g((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2, {i,Nt− 1}

];

(* funzioni Azione per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore(* funzioni Azione per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore(* funzioni Azione per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore

Azione[w_]:=Sum

[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + λδ

(((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2 − µ2

2λ

)2

, {i,Nt− 1}]

;Azione[w_]:=Sum

[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + λδ

(((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2 − µ2

2λ

)2

, {i,Nt− 1}]

;Azione[w_]:=Sum

[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + λδ

(((x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2)2 − µ2

2λ

)2

, {i,Nt− 1}]

;

Azione[w_]:=Sum[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + mω2δ

2 (Abs[(x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2]− x0)2, {i,Nt− 1}]

;Azione[w_]:=Sum[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + mω2δ

2 (Abs[(x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2]− x0)2, {i,Nt− 1}]

;Azione[w_]:=Sum[c(x[[w, i+ 1]]− x[[w, i]])2 + mω2δ

2 (Abs[(x[[w, i+ 1]] + x[[w, i]])/2]− x0)2, {i,Nt− 1}]

;

*)*)*)

∆S[i_, im_, ip_]:=racc((

2c+ g2

)(racc + 2xnew[[i]]) +

(g2 − 2c

)(xnew[[im]] + xnew[[ip]])

);∆S[i_, im_, ip_]:=racc

((2c+ g

2


(g2 − 2c


);∆S[i_, im_, ip_]:=racc

((2c+ g

2


(g2 − 2c


);

(* funzione ∆S per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore(* funzione ∆S per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore(* funzione ∆S per la doppia buca di potenziale e per il doppio oscillatore

∆S[xx_, yy_, i_, im_, ip_]:=2c((xx[[i]])2 − (yy[[i]])2 + (yy[[i]]− xx[[i]])(yy[[im]] + yy[[ip]])

)+∆S[xx_, yy_, i_, im_, ip_]:=2c

((xx[[i]])2 − (yy[[i]])2 + (yy[[i]]− xx[[i]])(yy[[im]] + yy[[ip]])

)+∆S[xx_, yy_, i_, im_, ip_]:=2c

((xx[[i]])2 − (yy[[i]])2 + (yy[[i]]− xx[[i]])(yy[[im]] + yy[[ip]])

)+

V [xx, yy, i, im] + V [yy, xx, ip, i]− V [yy, yy, i, im]− V [yy, yy, ip, i];V [xx, yy, i, im] + V [yy, xx, ip, i]− V [yy, yy, i, im]− V [yy, yy, ip, i];V [xx, yy, i, im] + V [yy, xx, ip, i]− V [yy, yy, i, im]− V [yy, yy, ip, i];

*)*)*)

x = Table[0, {c,Ncammini}, {i,Nt}];x = Table[0, {c,Ncammini}, {i,Nt}];x = Table[0, {c,Ncammini}, {i,Nt}];

x[[1]] = Table[0, {Nt}];x[[1]] = Table[0, {Nt}];x[[1]] = Table[0, {Nt}]; (* oppure si crea un cammino arbitrario con condizioni periodiche al contorno *)(* oppure si crea un cammino arbitrario con condizioni periodiche al contorno *)(* oppure si crea un cammino arbitrario con condizioni periodiche al contorno *)

S = {Azione[1]};S = {Azione[1]};S = {Azione[1]};

itot = 0;itot = 0;itot = 0;

iacc = 0;iacc = 0;iacc = 0;

Do[Do[Do[

xnew = x[[ic]];xnew = x[[ic]];xnew = x[[ic]];

Do[itot = itot + 1;Do[itot = itot + 1;Do[itot = itot + 1;

xtest = xnew;xtest = xnew;xtest = xnew;

racc = RandomReal[{−A,A}];racc = RandomReal[{−A,A}];racc = RandomReal[{−A,A}];

xtest[[it]] = xnew[[it]] + racc;xtest[[it]] = xnew[[it]] + racc;xtest[[it]] = xnew[[it]] + racc;

xtest[[Nt]] = xtest[[1]];xtest[[Nt]] = xtest[[1]];xtest[[Nt]] = xtest[[1]];


itm = it− 1;itm = it− 1;itm = it− 1;

itp = it + 1;itp = it + 1;itp = it + 1;

If[it == 1, itm = Nt− 1];If[it == 1, itm = Nt− 1];If[it == 1, itm = Nt− 1];

test = Exp[−∆S[it, itm, itp]];test = Exp[−∆S[it, itm, itp]];test = Exp[−∆S[it, itm, itp]];

rr = RandomReal[{0, 1}];rr = RandomReal[{0, 1}];rr = RandomReal[{0, 1}];

If[rr < test, xnew[[it]] = xtest[[it]]; iacc = iacc + 1];If[rr < test, xnew[[it]] = xtest[[it]]; iacc = iacc + 1];If[rr < test, xnew[[it]] = xtest[[it]]; iacc = iacc + 1];

xnew[[Nt]] = xnew[[1]], {it, 1,Nt− 1}];xnew[[Nt]] = xnew[[1]], {it, 1,Nt− 1}];xnew[[Nt]] = xnew[[1]], {it, 1,Nt− 1}];

x[[ic + 1]] = xnew;x[[ic + 1]] = xnew;x[[ic + 1]] = xnew;

AppendTo[S,Azione[ic + 1]],AppendTo[S,Azione[ic + 1]],AppendTo[S,Azione[ic + 1]],

{ic, 1,Ncammini− 1}];{ic, 1,Ncammini− 1}];{ic, 1,Ncammini− 1}];

Print[�Accettanza = �, N [iacc/itot, 2]];Print[�Accettanza = �, N [iacc/itot, 2]];Print[�Accettanza = �, N [iacc/itot, 2]];

Print[�Numero di passi Montecarlo = �, itot];Print[�Numero di passi Montecarlo = �, itot];Print[�Numero di passi Montecarlo = �, itot];

ListPlot[S, Joined→ True,PlotLabel->Style[�Andamento dell'azione� , �Title� , 14],ListPlot[S, Joined→ True,PlotLabel->Style[�Andamento dell'azione� , �Title� , 14],ListPlot[S, Joined→ True,PlotLabel->Style[�Andamento dell'azione� , �Title� , 14],

AxesLabel→ {�cammini�, �azione�}]AxesLabel→ {�cammini�, �azione�}]AxesLabel→ {�cammini�, �azione�}]

2000 4000 6000 8000 10 000cammini

20

40

60

80

azione

d = 50;d = 50;d = 50;

gap = 20;gap = 20;gap = 20;

Snew = Drop[S, d];Snew = Drop[S, d];Snew = Drop[S, d];

xxnew = Drop[x, d];xxnew = Drop[x, d];xxnew = Drop[x, d];

Sdef = {};Sdef = {};Sdef = {};

xxdef = {};xxdef = {};xxdef = {};

Do[Do[Do[

If[i/gap− Floor[i/gap] == 0,If[i/gap− Floor[i/gap] == 0,If[i/gap− Floor[i/gap] == 0,

AppendTo[Sdef, Snew[[i]]];AppendTo[Sdef,Snew[[i]]];AppendTo[Sdef, Snew[[i]]];


AppendTo[xxdef, xxnew[[i]]]],AppendTo[xxdef, xxnew[[i]]]],AppendTo[xxdef, xxnew[[i]]]],

{i, 1,Ncammini− d}]{i, 1,Ncammini− d}]{i, 1,Ncammini− d}]

Autovalore dell'energia dello stato fondamentale

Print[�E0 = � ,Print[�E0 = � ,Print[�E0 = � ,

mω2Mean

[Sum[(xxdef[[w]])2,{w,1,(Ncammini−d)/gap}]

(Ncammini−d)/gap

]];mω2Mean


(Ncammini−d)/gap

]];mω2Mean


(Ncammini−d)/gap

]];

Print[�Valore atteso dell'autovalore dell'energia dello stato fondamentale = �, N

[(12ω + 1

Exp[ωT ]−1

)]];Print

[�Valore atteso dell'autovalore dell'energia dello stato fondamentale = �, N

[(12ω + 1

Exp[ωT ]−1

)]];Print

[�Valore atteso dell'autovalore dell'energia dello stato fondamentale = �, N

[(12ω + 1

Exp[ωT ]−1

)]];

E0 = 0.24973

Valore atteso dell'autovalotre dell'energia dello stato fondamentale = 0.25

Modulo quadro della funzione d'onda dello stato fonda-

mentale

∆x = 0.1;∆x = 0.1;∆x = 0.1;

dati = Table[0, {i,Nt− 1}];dati = Table[0, {i,Nt− 1}];dati = Table[0, {i,Nt− 1}];

normal[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap);normal[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap);normal[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap);

Do[dati[[it]] = Table[xxdef[[c, it]], {c, (Ncammini− d)/gap}],Do[dati[[it]] = Table[xxdef[[c, it]], {c, (Ncammini− d)/gap}],Do[dati[[it]] = Table[xxdef[[c, it]], {c, (Ncammini− d)/gap}],

{it, 1,Nt− 1}];{it, 1,Nt− 1}];{it, 1,Nt− 1}];

media = Flatten[dati];media = Flatten[dati];media = Flatten[dati];

normaltot[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap)/(Nt− 1);normaltot[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap)/(Nt− 1);normaltot[bins_, counts_]:=counts/∆x/((Ncammini− d)/gap)/(Nt− 1);

Histogram[media, {∆x}, normaltot,PlotLabel->Style

[sovrapposizione delle |ψ0(x)|2, �Title� , 14

],Histogram

[media, {∆x}, normaltot,PlotLabel->Style


],Histogram

[media, {∆x}, normaltot,PlotLabel->Style


],

AxesLabel→{x, |ψ0(x)|2

}]AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}]AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}]Print[�Media = �,Mean[media]];Print[�Media = �,Mean[media]];Print[�Media = �,Mean[media]];

Print[�Deviazione Standard = �, StandardDeviation[media]];Print[�Deviazione Standard = �, StandardDeviation[media]];Print[�Deviazione Standard = �,StandardDeviation[media]];

(* Si importano i dati media relativi a più esecuzioni del programma *)(* Si importano i dati media relativi a più esecuzioni del programma *)(* Si importano i dati media relativi a più esecuzioni del programma *)

Occ = Import[�occ.dat�];Occ = Import[�occ.dat�];Occ = Import[�occ.dat�];

Bbins = Import[�bins.dat� ];Bbins = Import[�bins.dat� ];Bbins = Import[�bins.dat� ];

input = Union[Flatten[Bbins]];input = Union[Flatten[Bbins]];input = Union[Flatten[Bbins]];

len = Length[Bbins];len = Length[Bbins];len = Length[Bbins];

Len = Length[input];Len = Length[input];Len = Length[input];


istotot = {};istotot = {};istotot = {};

Do[Do[Do[

isto = {};isto = {};isto = {};

Do[Do[Do[

Do[Do[Do[

If[Bbins[[i, j]] == input[[k]],If[Bbins[[i, j]] == input[[k]],If[Bbins[[i, j]] == input[[k]],

AppendTo[isto,Occ[[i, j]]]],AppendTo[isto,Occ[[i, j]]]],AppendTo[isto,Occ[[i, j]]]],

{j, 1,Length[Bbins[[i]]]− 1}{j, 1,Length[Bbins[[i]]]− 1}{j, 1,Length[Bbins[[i]]]− 1}

],],],

{i, 1, len}{i, 1, len}{i, 1, len}

];];];

AppendTo[istotot, isto],AppendTo[istotot, isto],AppendTo[istotot, isto],

{k, 1,Len− 1}];{k, 1,Len− 1}];{k, 1,Len− 1}];

medie = {};medie = {};medie = {};

inc = {};inc = {};inc = {};

meanbars = {};meanbars = {};meanbars = {};

xaxisbincentre = Table[input[[i]] + ∆x/2, {i, 1,Len− 1}];xaxisbincentre = Table[input[[i]] + ∆x/2, {i, 1,Len− 1}];xaxisbincentre = Table[input[[i]] + ∆x/2, {i, 1,Len− 1}];

Do[Do[Do[

AppendTo[medie,Mean[istotot[[i]]]];AppendTo[medie,Mean[istotot[[i]]]];AppendTo[medie,Mean[istotot[[i]]]];

If[Length[istotot[[i]]] > 1,If[Length[istotot[[i]]] > 1,If[Length[istotot[[i]]] > 1,

AppendTo

[inc, StandardDeviation[istotot[[i]]]√

Length[istotot[[i]]]

];AppendTo



];AppendTo



];

AppendTo[meanbars, {xaxisbincentre[[i]],Mean[istotot[[i]]]}]],AppendTo[meanbars, {xaxisbincentre[[i]],Mean[istotot[[i]]]}]],AppendTo[meanbars, {xaxisbincentre[[i]],Mean[istotot[[i]]]}]],

{i, 1,Length[istotot]}];{i, 1,Length[istotot]}];{i, 1,Length[istotot]}];

Needs[�ErrorBarPlots�]Needs[�ErrorBarPlots�]Needs[�ErrorBarPlots�]

modtableplot = Table[{xaxisbincentre[[i]],medie[[i]]}, {i, 1,Length[medie]}];modtableplot = Table[{xaxisbincentre[[i]],medie[[i]]}, {i, 1,Length[medie]}];modtableplot = Table[{xaxisbincentre[[i]],medie[[i]]}, {i, 1,Length[medie]}];

tablebars = Table[{meanbars[[i]],ErrorBar[inc[[i]]]}, {i, 1,Length[inc]}];tablebars = Table[{meanbars[[i]],ErrorBar[inc[[i]]]}, {i, 1,Length[inc]}];tablebars = Table[{meanbars[[i]],ErrorBar[inc[[i]]]}, {i, 1,Length[inc]}];

modpsi0teo = Plot[(mωπ

)1/2Exp

[−mωx2

], {x,−5, 5},PlotStyle→ Red

];modpsi0teo = Plot

[(mωπ

)1/2Exp

[−mωx2


];modpsi0teo = Plot

[(mωπ

)1/2Exp

[−mωx2


];

plotbars = ErrorListPlot[tablebars,plotbars = ErrorListPlot[tablebars,plotbars = ErrorListPlot[tablebars,

PlotLabel->Style[|ψ0(x)|2 con barre delle incertezze , �Title� , 14

],PlotLabel->Style

[|ψ0(x)|2 con barre delle incertezze , �Title� , 14

],PlotLabel->Style

[|ψ0(x)|2 con barre delle incertezze , �Title� , 14

],


}];AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}];AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}];

Show[plotbars,modpsi0teo,PlotLabel->Style

[Confronto con |ψ0

teo(x)|2 , �Title� , 14],Show

[plotbars,modpsi0teo,PlotLabel->Style

[Confronto con |ψ0

teo(x)|2 , �Title� , 14],Show

[plotbars,modpsi0teo,PlotLabel->Style

[Confronto con |ψ0

teo(x)|2 , �Title� , 14],


}]AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}]AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}]


-4 -2 2 4x

0.1

0.2

0.3

0.4

ÈΨ0HxL 2

(* Simmetrizzazione dei moduli quadri delle funzioni d′onda degli stati fondamentali(* Simmetrizzazione dei moduli quadri delle funzioni d′onda degli stati fondamentali(* Simmetrizzazione dei moduli quadri delle funzioni d′onda degli stati fondamentali

della doppia buca di potenziale e del doppio oscillatore *)della doppia buca di potenziale e del doppio oscillatore *)della doppia buca di potenziale e del doppio oscillatore *)

(*(*(*

h = HistogramList[media, {∆x}, normaltot];h = HistogramList[media, {∆x}, normaltot];h = HistogramList[media, {∆x},normaltot];

occ = h[[2]];occ = h[[2]];occ = h[[2]];

bins = Take[h[[1]] + ∆x

2 ,Length[occ]]

;bins = Take[h[[1]] + ∆x

2 ,Length[occ]]

;bins = Take[h[[1]] + ∆x

2 ,Length[occ]]

;

d = Min[Part[Abs[bins], 1],Last[Abs[bins]]];d = Min[Part[Abs[bins], 1],Last[Abs[bins]]];d = Min[Part[Abs[bins], 1],Last[Abs[bins]]];

len1 = Length[bins];len1 = Length[bins];len1 = Length[bins];

binsnew = {};binsnew = {};binsnew = {};

occnew = {};occnew = {};occnew = {};

Do[Do[Do[

If[bins[[i]] ≥ −d&&bins[[i]] ≤ d,If[bins[[i]] ≥ −d&&bins[[i]] ≤ d,If[bins[[i]] ≥ −d&&bins[[i]] ≤ d,

AppendTo[binsnew, bins[[i]]];AppendTo[binsnew,bins[[i]]];AppendTo[binsnew, bins[[i]]];

AppendTo[occnew, occ[[i]]]],AppendTo[occnew, occ[[i]]]],AppendTo[occnew, occ[[i]]]],

{i, 1, len1}];{i, 1, len1}];{i, 1, len1}];

llen = Length[occnew];llen = Length[occnew];llen = Length[occnew];

occsimm = Table[

12 (occnew[[1 + j]] + occnew[[llen− j]]), {j, 0, llen/2− 1}

];occsimm = Table

[12 (occnew[[1 + j]] + occnew[[llen− j]]), {j, 0, llen/2− 1}

];occsimm = Table

[12 (occnew[[1 + j]] + occnew[[llen− j]]), {j, 0, llen/2− 1}

];

Do[Do[Do[

AppendTo[occsimm, occsimm[[llen/2− i]]],AppendTo[occsimm, occsimm[[llen/2− i]]],AppendTo[occsimm, occsimm[[llen/2− i]]],

{i, 0, llen/2− 1}];{i, 0, llen/2− 1}];{i, 0, llen/2− 1}];


tablesimm = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]}, {i, 1, llen}];tablesimm = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]}, {i, 1, llen}];tablesimm = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]}, {i, 1, llen}];

plotsimm = ListPlot[tablesimm,AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}];plotsimm = ListPlot

[tablesimm,AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}];plotsimm = ListPlot

[tablesimm,AxesLabel→

{x, |ψ0(x)|2

}];

(* Metodo per ricavare E0 dalla funzione d′onda dello stato fondamentale *)(* Metodo per ricavare E0 dalla funzione d′onda dello stato fondamentale *)(* Metodo per ricavare E0 dalla funzione d′onda dello stato fondamentale *)

tabder = Table

[{binsnew[[i]],

(√occsimm[[i+1]]−

√occsimm[[i−1]]

2∆x

)2}, {i, 2,Length[occsimm]− 1}

];tabder = Table

[{binsnew[[i]],


√occsimm[[i−1]]

2∆x


];tabder = Table

[{binsnew[[i]],


√occsimm[[i−1]]

2∆x


];

fun = Interpolation[tabder];fun = Interpolation[tabder];fun = Interpolation[tabder];

Tmed = NIntegrate[fun[x],{x,tabder[[1,1]],Part[Last[tabder],1]}]2m ;Tmed = NIntegrate[fun[x],{x,tabder[[1,1]],Part[Last[tabder],1]}]2m ;Tmed = NIntegrate[fun[x],{x,tabder[[1,1]],Part[Last[tabder],1]}]2m ;

Potential[x_]:=λ(x2 − µ2

2λ

)2

; (*doppia buca di potenziale*)Potential[x_]:=λ(x2 − µ2

2λ

)2

; (*doppia buca di potenziale*)Potential[x_]:=λ(x2 − µ2

2λ

)2

; (*doppia buca di potenziale*)

Potential[x_]:=mω2

2 (Abs[x]− x0)2; (*doppio oscillatore*)Potential[x_]:=mω2

2 (Abs[x]− x0)2; (*doppio oscillatore*)Potential[x_]:=mω2

2 (Abs[x]− x0)2; (*doppio oscillatore*)

pot = Table[Potential[binsnew[[i]]], {i, 1,Length[binsnew]}];pot = Table[Potential[binsnew[[i]]], {i, 1,Length[binsnew]}];pot = Table[Potential[binsnew[[i]]], {i, 1,Length[binsnew]}];

pottable = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]pot[[i]]}, {i, 1,Length[occsimm]}];pottable = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]pot[[i]]}, {i, 1,Length[occsimm]}];pottable = Table[{binsnew[[i]], occsimm[[i]]pot[[i]]}, {i, 1,Length[occsimm]}];

fun1 = Interpolation[pottable];fun1 = Interpolation[pottable];fun1 = Interpolation[pottable];

Vmed = NIntegrate[fun1[x], {x, binsnew[[1]],Last[binsnew]}];Vmed = NIntegrate[fun1[x], {x, binsnew[[1]],Last[binsnew]}];Vmed = NIntegrate[fun1[x], {x,binsnew[[1]],Last[binsnew]}];

E0stim = Tmed + VmedE0stim = Tmed + VmedE0stim = Tmed + Vmed

*)*)*)

Di�erenza tra gli autovalori dell'energia del primo stato

eccitato e di quello fondamentale; |〈1|x|0〉|2

xx = Table[0, {t, 10/δ}];xx = Table[0, {t, 10/δ}];xx = Table[0, {t, 10/δ}];

Do[Do[Do[

xx[[t]] =xx[[t]] =xx[[t]] =

Mean[Table[Sum[xxdef[[w, t+ j]]xxdef[[w, j]], {j, 1,Nt− 1− 10/δ}], {w, (Ncammini− d)/gap}]]/Mean[Table[Sum[xxdef[[w, t+ j]]xxdef[[w, j]], {j, 1,Nt− 1− 10/δ}], {w, (Ncammini− d)/gap}]]/Mean[Table[Sum[xxdef[[w, t+ j]]xxdef[[w, j]], {j, 1,Nt− 1− 10/δ}], {w, (Ncammini− d)/gap}]]/

(Nt− 1− 10/δ), {t, 1, 10/δ}];(Nt− 1− 10/δ), {t, 1, 10/δ}];(Nt− 1− 10/δ), {t, 1, 10/δ}];

ListPlot[Table[{t,Log[xx[[t/δ]]/xx[[t/δ + 1]]]/δ}, {t, δ, 10− δ, δ}],Filling→ Axis,ListPlot[Table[{t,Log[xx[[t/δ]]/xx[[t/δ + 1]]]/δ}, {t, δ, 10− δ, δ}],Filling→ Axis,ListPlot[Table[{t,Log[xx[[t/δ]]/xx[[t/δ + 1]]]/δ}, {t, δ, 10− δ, δ}],Filling→ Axis,

PlotLabel->Style[�∆E tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato�, �Title� , 14],PlotLabel->Style[�∆E tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato�, �Title� , 14],PlotLabel->Style[�∆E tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato�, �Title� , 14],

AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0}]AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0}]AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0}]

n = 6;n = 6;n = 6;

Print [Style [∆E tra gli autovalori E0e E1 = ,FontSize→ 14,FontWeight→ Bold,FontColor→ Red] ,Print [Style [∆E tra gli autovalori E0e E1 = ,FontSize→ 14,FontWeight→ Bold,FontColor→ Red] ,Print [Style [∆E tra gli autovalori E0e E1 = ,FontSize→ 14,FontWeight→ Bold,FontColor→ Red] ,


Mean[Table[Log[xx[[t]]/xx[[t+ 1]]]/δ, {t, 1, n}]]];Mean[Table[Log[xx[[t]]/xx[[t+ 1]]]/δ, {t, 1, n}]]];Mean[Table[Log[xx[[t]]/xx[[t+ 1]]]/δ, {t, 1, n}]]];

tmax = 6;tmax = 6;tmax = 6;

Media = Import[�meandelta� , �List� ];Media = Import[�meandelta� , �List� ];Media = Import[�meandelta� , �List� ];

Stdev = Import[�stdevdelta� , �List� ];Stdev = Import[�stdevdelta� , �List� ];Stdev = Import[�stdevdelta� , �List� ];

Stdev1 = Stdev√14

;Stdev1 = Stdev√14

;Stdev1 = Stdev√14

;

meantable = Table[{itδ,Media[[it]]}, {it, 1, tmax/δ}];meantable = Table[{itδ,Media[[it]]}, {it, 1, tmax/δ}];meantable = Table[{itδ,Media[[it]]}, {it, 1, tmax/δ}];

Needs[�ErrorBarPlots�]Needs[�ErrorBarPlots�]Needs[�ErrorBarPlots�]

tablebars = Table[{meantable[[i]],ErrorBar[Stdev1[[i]]]}, {i, 1, tmax/δ}];tablebars = Table[{meantable[[i]],ErrorBar[Stdev1[[i]]]}, {i, 1, tmax/δ}];tablebars = Table[{meantable[[i]],ErrorBar[Stdev1[[i]]]}, {i, 1, tmax/δ}];

plotbars = ErrorListPlot[tablebars];plotbars = ErrorListPlot[tablebars];plotbars = ErrorListPlot[tablebars];

DeltaEteo = Plot[ω, {x, 0, tmax + 1},PlotStyle→ Red];DeltaEteo = Plot[ω, {x, 0, tmax + 1},PlotStyle→ Red];DeltaEteo = Plot[ω, {x, 0, tmax + 1},PlotStyle→ Red];

Show [plotbars,DeltaEteo,PlotLabel->Style[� ∆E �, �Title� , 14],AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0} ,Show [plotbars,DeltaEteo,PlotLabel->Style[� ∆E �, �Title� , 14],AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0} ,Show [plotbars,DeltaEteo,PlotLabel->Style[� ∆E �, �Title� , 14],AxesLabel→ {t2 − t1,E1 − E0} ,

PlotRange→ {{0, tmax + 1}, {0.4, 0.6}},AxesOrigin→ {0, 0.4}]PlotRange→ {{0, tmax + 1}, {0.4, 0.6}},AxesOrigin→ {0, 0.4}]PlotRange→ {{0, tmax + 1}, {0.4, 0.6}},AxesOrigin→ {0, 0.4}]

0 1 2 3 4 5 6 7t2-t10.40

0.45

0.50

0.55

0.60E1-E0

F = Log[xx];F = Log[xx];F = Log[xx];

pl = Table[{t, F [[t/δ]]}, {t, δ, n ∗ δ, δ}];pl = Table[{t, F [[t/δ]]}, {t, δ, n ∗ δ, δ}];pl = Table[{t, F [[t/δ]]}, {t, δ, n ∗ δ, δ}];

line = Fit[pl, {1, t}, t];line = Fit[pl, {1, t}, t];line = Fit[pl, {1, t}, t];

Show[ListPlot[pl],Plot[line, {t, 0,Length[pl]}],AxesOrigin→ {0, 0},Show[ListPlot[pl],Plot[line, {t, 0,Length[pl]}],AxesOrigin→ {0, 0},Show[ListPlot[pl],Plot[line, {t, 0,Length[pl]}],AxesOrigin→ {0, 0},

PlotLabel->Style [Plot del ln[ G(t2 − t1) ], �Title� , 14] ,AxesLabel→ {t2 − t1, ln[ G(t2 − t1) ]}]PlotLabel->Style [Plot del ln[ G(t2 − t1) ], �Title� , 14] ,AxesLabel→ {t2 − t1, ln[ G(t2 − t1) ]}]PlotLabel->Style [Plot del ln[ G(t2 − t1) ], �Title� , 14] ,AxesLabel→ {t2 − t1, ln[ G(t2 − t1) ]}]

Print[�Equazione Fit lineare dei dati y = �, line = Fit[pl, {1, t}, t]];Print[�Equazione Fit lineare dei dati y = �, line = Fit[pl, {1, t}, t]];Print[�Equazione Fit lineare dei dati y = �, line = Fit[pl, {1, t}, t]];

Print[|〈1|x|0〉|2 = ,Exp[Fit[pl, {1, t}, t][[1]]]

];Print

[|〈1|x|0〉|2 = ,Exp[Fit[pl, {1, t}, t][[1]]]

];Print

[|〈1|x|0〉|2 = ,Exp[Fit[pl, {1, t}, t][[1]]]

];

Print[Valore teorico di |〈1|x|0〉|2 = , N [1/(2 ∗m ∗ ω)]

];Print

[Valore teorico di |〈1|x|0〉|2 = , N [1/(2 ∗m ∗ ω)]

];Print

[Valore teorico di |〈1|x|0〉|2 = , N [1/(2 ∗m ∗ ω)]

];

|〈1|x|0〉|2 = 0.9978

Valore atteso di|〈1|x|0〉|2 = 1

Bibliogra�a

[1] Banerjee K. and Bhatnagar S. P., Two Well Oscillator, Phys. Rev. D 18(1978) 4767

[2] Bender C. and Wu T. T., Anharmonic Oscillator, Phys. Rev. 184(1969) 1231 - 1260

[3] Cheng T. P. and Li L. F., Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford

University Press, 1988

[4] Fan H. Y. and Weng H. G., On the Weyl Ordering Operation, International Academic

Publishers, Commun. Theor. Phys 18(1992) 155 - 160

[5] Feynman R. P., Feynman's Thesis � A New Approach to Quantum Theory, Editor

Brown L. M., World Scienti�c Publishing, 2005

[6] Feynman R. P. and Hibbs A. R., Quantum Mechanics and Path Integrals, Emended

Edition, Dover Publications, 2010

[7] Gattringer C. and Lang C. B., Quantum Chromodynamics on the Lattice, Springer

Science, 2010

[8] Gildener E. and Patrascioiu A., Pseudoparticle Contribution to the Energy Spectrum of

a One-Dimentional System, Phys. Rev. D 16(1977) 423

[9] Grosche C., An Introduction into the Feynman Path Integral, http://arxiv.org/abs/hep-

th/9302097v1, 1993

[10] Itzykson C. and Zuber J. B., Quantum Field Theory, Dover Publications, 2006

[11] Landau L. D. and Lif²its E. M., Quantum Mechanics, Non-Relativistic Theory (Volume

3 of A Course of Theoretical Physics), Pergamon Press, 1965

[12] MacKenzie R., Path Integral Methods and Applications, http://arxiv.org/abs/quant-

ph/0004090v1, 2000

48

BIBLIOGRAFIA 49

[13] Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N., Teller A. H. and Teller E., Equa-

tions of State Calculations by Fast Computing Machines, J. Chem. Phys. 21(1953)

1087

[14] Merzbacher E., Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, 1998

[15] Montvay I. and Münster G., Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press,

1997

[16] Peskin M. E. and Schroeder D. V., An Introduction to Quantum Field Theory, Westview

Press, 1995

[17] Roncadelli M. e Defendi A., I Cammini di Feynman, Quaderni di Fisica Teorica, 2001

[18] Sakurai J. J., Meccanica Quantistica Moderna, Zanichelli, 1996

[19] Schulman L. S., Techniques and Applications of Path Integration, John Wiley & Sons,

1981

[20] Simon B., Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979

[21] Song D. Y., Tunneling and Energy Splitting in an Asymmetric Double-Well Potential,

Ann. Phys. 323(2008) 2991 - 2999

[22] Tambini U., Presilla C. and Onofrio R., Dynamics of Quantum Collapse in Energy

Measurements, Phys. Rev. A 51(1995) 967

[23] Ta³eli H., Accurate Computation of the Energy Spectrum for Potentials with

Multiminima, Int. J. Quant. Chem. 46(1993) 319 - 334

Documents

Università degli Studi Roma Tre - infn.it GLI INTEGRALI SUI CAMMINI IN MECCANICA QUANTISTICA: TEORIA E SIMULAZIONI Relatore Candidato ... Speci camente si forniscono cenni e tratti