UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di ...geotecnica.dicea.unifi.it/less_idra10.pdfDr. Ing. Johann Facciorusso L’acqua nel terreno Corso di Geotecnica per Ingegneria

“IDRAULICA DEI TERRENI”

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann Facciorusso

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011

[email protected]://www.dicea.unifi.it/~johannf/

L’acqua nel terrenoDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

Nell’affrontare la maggior parte dei problemi dell’Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell’acqua nel terreno.

L’ACQUA NEL TERRENO

In un deposito di terreno, si distinguono, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione, in cui l’acqua presente nei vuoti si trova in condizioni diverse.

Zona di evapotraspirazione

Zona di ritenzione

Acq

ua so

spes

a

Zona

vad

osa

Zona

di f

alda

Frangia capillare

Falda

Acq

ua d

i fal

dau > 0

u < 0

Zona parzialmente satura(Sr decrescente verso l’alto )

Zona completamente satura(Sr = 100 % )

2/572/57

L’acqua nel terreno

3/573/57

Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

TIPI DI FALDA

Acquifero confinato(falda artesiana)

Falda freatica

Falda sospesa

Infiltrazione

Terreno con permeabilitàmolto bassa

Livello piezometrico

Roccia

piezometri


4/574/57


STATO DI MOTO E DI QUIETEAllo stato naturale o in conseguenza di perturbazioni dell’equilibrio, l’acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di:

STAZIONARIO (PERMANENTE)Parametri del moto costanti nel tempo

Condizione tipica dei PROBLEMI DI FILTRAZIONE

QUIETE

MOTO (flusso mono‐, bi‐, tridimensionale)

NON STAZIONARIO (VARIO)Parametri del moto variabili nel tempo

Condizione tipica dei PROBLEMI DI CONSOLIDAZIONE

Velocità, V

Linea di flusso (o filetto fluido)

Def. La portata d’acqua q che attraversa una superficie, dA, ovvero “il volume d’acqua che attraversa la superficie dell’elemento nell’unità di tempo”, vale: q = Vn•dA

dAP

V

Vn


5/575/57


PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSANel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di

terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento, per il principio di conservazione della massa (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è

diversa da quella uscente (filtrazione in regime vario). Se il terreno è saturo, la differenza tra le due quantità può produrre il fenomeno della consolidazione o del rigonfiamento.

vz

dz

11

vz

dz

11

xy

z

dxdy

Vx dzdx

xvv x

x ∂∂

+

dzzVV z

z ∂∂

+

Vz

Vy

dyyV

V y

y ∂

∂+

Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di acqua, di velocità V (di componenti Vx, Vy e Vz).La portata d’acqua entrante nell’elemento, qin, vale:

e quella uscente, qout, nella stessa direzione:

dydxvdzdxvdzdyvq zyxin ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

dydxdzzvv

dzdxdyyv

vdzdydxxvvq

zz

y

yx

xout

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

++

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂++⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+=

Legge di Darcy

6/576/57


CARICO PIEZOMETRICO E GRADIENTE IDRAULICOI moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui compete energia maggiore ad un punto ad energia minore.

L’energia, espressa in termini di carico, o altezza (energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini:

altezza geometrica, z * (la distanza verticale del punto considerato da un piano orizzontale di riferimento arbitrario, z = 0, misurata positivamente se al di sopra, negativamente al di sotto)

altezza di pressione, u/γw (l’altezza di risalita dell’acqua rispetto al punto consideratoconsiderato, per effetto della sua pressione, u))

altezza di velocità, v2/2g (l’energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluidodove g è l’accelerazione di gravità).

CARICO EFFETTIVO o TOTALE

CARICO PIEZOMETRICO*

g2vuzH

2

w

* +γ

+=

w

* uzhγ

+=N.B: h = ‐z+u/γw nel caso in cui l’asse z, come accade di solito in Geotecnica, sia orientato verso il basso (z*=‐z)

Legge di DarcyDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

TEOREMA DI BERNOULLI“Per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto permanente, soggetto solo alla forza di gravità, il carico totale è costante lungo una traiettoria (linea di flusso)”

Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2 (principio di conservazione della massa):

N.B L’acqua non è un fluido perfetto, quindi la perdita di energia totale in realtà è piccola ma non nulla.

Lz1

Piano di riferimento (z* = 0)

carico totale perfluido idealeu1γw

2

z2

u2γw

∆h12 = ∆H12

A1

A’

∆H12 = 0

∆h12 = 0

∆h12 ≅ 0

7/577/57


TEOREMA DI BERNOULLI

x

xx L

hi ∆=

Nel tubo contenente terreno invece si osserva una perdita del carico totale H:

Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2

ed essendo nei terreni v ≅ 0 ⇒ H ≅ h

Def. Si definisce GRADIENTE IDRAULICO :

Lx

A1

z1

Piano di riferimento (z* = 0)

carico totale perfluido idealeu1γw

A’

2

∆h

z2

u2γw

H2 < H1

∆h12 = ∆H12

N.B. Il moto è monodimensionale(direzione di V costante)

x

x

8/578/57

Legge di Darcy

9/579/57


LEGGE DI DARCY

v = velocità apparente di filtrazioneik

Lhkv

AQ

⋅=⋅==∆

k = coefficiente di permeabilità

hkvrr

∇⋅−=Caso bi‐tridimensionale

zzzz

yyyy

xxxx

ikzhkv

ikyhkv

ikxhkv

⋅−=⋅−=

⋅−=⋅−=

⋅−=⋅−=

∂∂∂∂∂∂

anisotropia

E’ utile identificare una relazione tra caratteristiche del moto (velocità), proprietà del terreno e perdita di carico, con riferimento al caso di moto monodimensionale:

Il moto si sviluppa sempre da punti con h maggiori verso punti con h inferiori

Nel caso più generale di moto tridimensionale:


vr AvAvQ ⋅=⋅=

nAA

vv v

r

==

v = n⋅vr < vr

vr = velocità reale di filtrazione

L < Lr

A

Av

L

Lr

vr

v = velocità apparente di filtrazione

VELOCITÀ REALE E APPARENTE

10/5710/57

Coefficiente di permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀIl coefficiente di permeabilità, k, ha le dimensioni di una velocità.

Esso rappresenta la resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso.

Tale coefficiente dipende:dalle proprietà del fluido (densità, ρ e viscosità, µ)dalle caratteristiche del mezzo poroso (permeabilità intrinseca, kp)

pkgk ⋅⋅

=µρ

11/5711/57

TIPO DI TERRENO k (m/s) Ghiaia pulita 10

-2 - 1

Sabbia pulita, sabbia e ghiaia 10-5

- 10-2

Sabbia molto fine 10

-6 - 10

-4

Limo e sabbia argillosa 10-9

- 10-5

Limo 10

-8 - 10

-6

Argilla omogenea sotto falda < 10-9

Argilla sovraconsolidata fessurata 10

-8 - 10

-4

Roccia non fessurata 10-12

- 10-10

Coefficiente di permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

12/5712/57

Per i terreni a grana grossa la permeabilità dipende dalla:granulometria (contenuto di fine)indice dei vuotistato di addensamento (densità relativa)

Per i terreni a grana fine la permeabilitàdipende dalla:

composizione mineralogicastruttura

La permeabilità cresce al crescere del grado di saturazione(sebbene non si possa stabilire una relazione univoca tra le due grandezze)A grande scala la permeabilità di un terreno dipende anche dalle caratteristiche macrostrutturali di un terreno (discontinuità, fessurazioni)

Misura della permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

13/5713/57

DETERMINAZIONE DELCOEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ

k = C⋅ (D10)2

con k [cm/s], D10 [cm],C = 100 ÷ 150

(sabbie sciolte uniformi)

Valgono per terreni a grana grossa.

FORMULA DI HAZEN(sabbie sciolte uniformi)

Stima mediante correlazioni empiriche


14/5714/57

Misura sperimentale in sito e in laboratorio

La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio che in sito.per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più

significative e quindi preferibili (essendo la permeabilità fortemente influenzata anche dai caratteri macrostrutturali)per i terreni utilizzati come materiale da costruzione sono significative

anche le prove di laboratorio.

Misura della permeabilità

curva granulometrica

CORRELAZIONI

Permeametro a carico costante

PROVE DI LABORATORIO

Permeametro a carico variabile

Prova edometrica

Prova in pozzetto superficiale

PROVE IN SITO

Prova in foro di sondaggio

Prova di pompaggio

Piezocono, dilatometro, ecc.



Prova in foro di sondaggio (delicata esecuzione; misura locale)Prova di pompaggio (delicata esecuzione; significativa)

Permeametro a carico costante (facile esecuzione)

10‐3 10‐410‐1 10‐5 10‐6 10‐7 10‐810‐21 10‐9 10‐10 10‐11K [m/s]

PERMEABILITÀDRENAGGIO

TERRENO

MISURA DIRETTA

STIMA INDIRETTA

alta media bassa molto bassa impermeabilebuono povero praticamente nullo

ghiaie pulitesabbie pulite e miscele di ghiaie e sabbie pulite

sabbie fini, limi, miscele di sabbie, limi e argille,

depositi di argille stratificati

Argille omogenee non

alterate

Argille alterate

Permeametro a carico variabilefacile esecuz.;significativa

delicata esecuz.;poco significativa

Piezometro; Pressiometro; Piezocono(delicata esecuzione; misura locale)

curva granulometrica(solo per ghiaie e sabbie pulite)

prova edometrica

delicata esecuz.;molto poco significativa

15/5715/57


16/5716/57


Misura sperimentale in laboratorioPer la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi:

il permeametro a carico costante, per k > 10‐5 m/sil permeametro a carico variabile, per 10‐8< k < 10‐5 m/si risultati della prova edometrica, per k < 10‐8 m/s

L Ah

C

Permeametro a carico costante

tAhLCk∆⋅⋅

⋅=

(Legge di Darcy)

tAvC ∆⋅⋅=

regime stazionario (parametri del moto costanti nel tempo)La portata che attraversa il campione, costante nel tempo, vale: t/CAVQ ∆=⋅=

tALhktAiktAvC ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅=

)ikv( ⋅=


17/5717/57


L Aa

h0

h1

dt/dhaALhk ⋅−=⋅⋅

∫∫ ⋅⋅=⋅1

1

1t

t

h

h o

o

dtLAkdh

ha )tt(

LAk

hhlna o1

1

o −⋅=⋅

( ) ( ) 110

111log3.2ln

hh

ttALa

hh

ttALak o

o

o

o −⋅⋅

=−⋅⋅

=

(Separando le variabili e integrando)

Permeametro a carico variabileregime vario (parametri del moto variabili nel tempo)

Con riferimento ad un intervallo di tempo infinitesimo dt, in cui il livello d’acqua nel piezometro si è abbassato di dh, la portata che attraversa il campione vale: dt/dhadt/dVAVQ ⋅==⋅=

(Legge di Darcy: )ikv ⋅=

dt/dhaAv ⋅−=⋅



Misura sperimentale in sito

Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere a tre tipi di prove:prove in pozzetto superficialeprove in foro di sondaggioprove di emungimento

Prove in pozzetto superficiale

prove speditive e di facile esecuzione forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati piùsuperficiali si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra durante la loro costruzione sono preferibili per terreni aventi permeabilità maggiori di 10‐6 m/s, e posti sopra falda

18/5718/57



d > 10-15 diametro massimo dei granuli

h > d/4m

H > 7 hm

Pozzetto a base quadrata (d) o circolare (b)

La prova si esegue in modalità:− a carico costante (viene immessa una certa portata, q, per mantenere costante il livello dell’acqua nel pozzetto)− a carico variabile (viene registrato l’abbassamento (h1–h2) del livello dell’acqua nel pozzetto in un certo intervallo di tempo (t2‐t1) )

π1⋅

⋅=

mhdqk

mhtthhdk 1

32 12

21 ⋅−−

⋅=

327

12

+⋅⋅=

bhb

qkm 327

21

12

21

+⋅

⋅+⋅

−−

=

bh

bh

tthhk

m

m

Pozzetto circolare

Pozzetto quadrato

Carico costante Carico variabile

19/5719/57



Prove in foro di sondaggio

‐ Prove a carico costante

‐ Prove a carico variabile

Prove di immissione(sopra o sotto falda)

Prove di emungimento(solo sotto falda)

Prove di abbassamento(sopra o sotto falda)

Prove di risalita(solo sotto falda)

Possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione Forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilitàLe pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino allaprofondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità Nei terreni che tendono a franare il tratto di prova viene riempito dimateriale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile

20/5720/57


21/5721/57


Schema della prova

h

L

Filtro

D

h1h

2

Q

h

a)

L

Tubo di rivestimento

D

h1h

2

QRivestimento esterno

Tampone impermeabile

Tubazione interna

a) b)a) SENZA FILTROb) CON FILTRO

F60/F10 ≤ 2

4D15 ≤ F15 ≤ 4D85

Caratteristiche del filtro:

TerrenoFiltro


22/5722/57


Prova a carico costanteViene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q [m3/s], necessaria a mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, h [m], misurato rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda. La permeabilità k [m/s] è data dalla formula empirica:

hFQk⋅

= [m/s] dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante (cilindrica, sferica, piana).

Prova a carico variabileVengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita (prove di risalita) oppure immettendo acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di abbassamento (prove di abbassamento). Il coefficiente di permeabilità k [m/s] è dato dalla formula empirica:

( ) 2

1

12 hhln

ttFAk ⋅−⋅

=[m/s] dove A [m2] è l’area della sezione filtrante, h1 e h2

[m], sono il livello dell’acqua nel foro agli istanti t1 e t2 [s], misurati rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda .



Osservazioni

1. Il valore del coefficiente di permeabilità misurato durante le prove di abbassamento è in genere inferiore al valore misurato, per lo stesso terreno, durante le prove di risalita.

2. Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (kr) e di abbassamento (ka), ovvero:

3. In un deposito stratificato il coefficiente di permeabilità verticale, kV, risulta in genere differente dal coefficiente di permeabilità orizzontale, kH. Per il valore misurato durante una prova in foro di sondaggio,k, con una sezione filtrante di lunghezza L e diametro D, si assume:k = kV (per L/D tendente a 0, caso limite sezione piana L = 0)k = kH (per L/D ≥ 1.2)

k = (per 0 ≤ L/D ≤ 1.2)

ar kkk ⋅=

VHmedio kkk ⋅=

23/5723/57

N.B. Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere lastratigrafia, l’estensione dell’acquifero e le condizioni iniziali dellafalda La prova fornisce un valore medio del coefficiente di permeabilitàdell’acquifero


24/5724/57


Prove di pompaggioLe prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio‐alta, al di sotto del livello di falda.Consistono nell’abbassare il livello della falda all’interno di un pozzo, opportunamente realizzato, e nell’osservare in corrispondenza di un certo numero di verticali, strumentate con piezometri, l’abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso stazionario.

Le prove di emungimento vengono interpretate attraverso modelli matematici come problemi di flusso transitorio, tenendo presente che:nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono

orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo;nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le

superfici equipotenziali) sono curve.


25/5725/57


Prove di pompaggio in acquiferi confinati

QPozzo Piezometri di controllo

Livello piezometrico iniziale

Acquifero confinato

Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso

h

b

h1r

1 r2

s1

s2

h2

D = 200 ÷ 400 mm

Cono di depressione

Tubo finestrato

)hh(

)rrln(

b2Qk

12

1

2

−⋅

⋅=

π[m/s] Q [m3/s], b [m],

Roccia

Terreno poco permeabili

Terreni impermeabili


26/5726/57


Prove di pompaggio in acquiferi non confinati

Q

h

h1r

1

r2

s1

s2

h2

Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso

Pozzo

Acquifero non confinato

Piezometri di controllo

Livello piezometr

)hh(

)rrln(

Qk 21

22

1

2

−⋅=

π

Roccia

Terreno poco permeabili

Terreni impermeabili

[m/s] Q [m3/s]



PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI

FILTRAZIONE IN PARALLELO

q H

kh1, H1 q1 q2 kh2, H2

qn kn, Hn

a)

q

H

Il gradiente idraulico i è lo stesso per tutti gli N strati. Applicando la legge di Darcy:vi = kHi i ∀iqi = vi ⋅ Hi ∀i

La portata di filtrazione totale è:q = ∑ qi =∑ (vi ⋅ Hi) =∑(kHi ∙Hi ∙i)

dove v = kH i è la velocità media e kH è il coefficiente di permeabilità medio orizzontale

HHk

k ihiH

∑ ⋅=

Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione

(kH influenzato dallo strato più permeabile)

q = v ⋅ H =kH ∙H ∙ i

Eguagliando si ottiene:

27/5727/57



q

H

kv1, H1 kv2, H2

kv, Hn

q

kv1, H1

kv2, H2

kvn, Hn

H

FILTRAZIONE IN SERIE

v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in

La portata (e quindi la velocità) di filtrazione è la stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy:

dove kV è il coefficiente di permeabilità medio verticale, im il gradiente idraulico medio e h la perdita di carico totale, che è pari a:

v = kV im = kV ∙ (h/H)

( ) ∑∑ ∑ ∑ ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅==

vi

i

vi

iiii kHv

kvHiHhh

∑=

vi

iV

kH

Hk (kv influenzato dallo strato meno permeabile)

OSS. A causa dell’orientamento dei grani nella fase di deposizione, kH, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di kV.

v = kV ∙ (h/H) = (kV/H)∙ v ∙∑(Hi/kvi)

Sostituendo si ottiene:

28/5728/57


29/5729/57

Moti di filtrazione

EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO DI UN FLUIDO ATTRAVERSO UN MEZZO POROSO

Si consideri un elemento infinitesimo del mezzo poroso (terreno) di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di fluido (acqua), con velocità di filtrazione (apparente), V (di componenti Vx, Vy e Vz)

dpdmvq nwen ⋅⋅⋅γ=

dpdmdnnvvq n

nwun ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅γ=

vz

dz

11

vz

dz

11

xy

z

dxdy

Vx dzdx

xvv x

x ∂∂

+

dzzVV z

z ∂∂

+

Vz

Vy

dyyV

V y

y ∂

∂+

La portata d’acqua (in peso) entrante nell’elemento, qin,x, nella direzione x (oppure y, z) vale:

e quella uscente, qout,x, nella stessa direzione:

dzdyvq xwx,in ⋅⋅⋅γ=

dzdydxxvvq x

xwx,out ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅γ=

)dzdxvq( ywy,in ⋅⋅⋅γ= )dydxvq( zwz,in ⋅⋅⋅γ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂+⋅γ= dzdxdy

yv

vq y

ywy,out

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅γ= dydxdzzvvq z

zwz,out


30/5730/57

Moti di filtrazione

(I) Con riferimento alla prima parte dell’equazione di continuità:

Si applica l’equazione di continuità

=Qin – Qout(nell’unità di tempo) t

Pw

∂∂ Pw = peso d’acqua contenuta nell’elemento

Qin = portata d’acqua entrante = qin,x+qin,y+qin,zQout = portata d’acqua uscente = qout,x+qout,y+qout,z

Nel caso di moto stazionario Pw = cost:(I) (II)

Qin = Qout (principio di conservazione della massa)

dzdydxzv

yv

xvQQ zyx

woutin ⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅γ−=−

Se si applica la legge di Darcy:

dzdydx

zh

zk

zhk

yh

yk

yhk

xh

xk

xhk

z2

2

z

y

2

2

y

x2

2

x

w ⋅⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅+

+∂∂⋅

∂

∂+

∂∂⋅+

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

⋅γ=

hkVrr

∇⋅−=


Moti di filtrazione

e, assumendo la permeabilità è costante lungo ciascuna delle tre direzioni : 0

zk

yk

xk zyx =

∂∂

=∂

∂=

∂∂

dzdydxzhk

yhk

xhkQQ

2

2

z2

2

y2

2

xwoutin ⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅γ=−

essendo: rswrvwwww SeVSVVP ⋅⋅⋅γ=⋅⋅γ=⋅γ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅⋅γ=

∂∂

teS

tSeV

tP

rr

sww

N.B. Si assumono l’acqua e le particelle solide incompressibili

(II) Con riferimento alla seconda parte dell’equazione di continuità:

ed essendo: 1VV

VVV

VVe

SS

S

S

V −=−

== ovvero: e1dzdydx

e1VVS +

⋅⋅=

+=

dzdydxteS

tSe

e11

tP

rr

ww ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+⋅γ=

∂∂

31/5731/57


32/5732/57

Moti di filtrazione

Eguagliando la I e la II, si ottiene l’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi diincompressibilità del fluido e dello scheletro solido e dottenuta applicando l’equazione di continuità e la legge di Darcy :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅

teS

tSe

e11

zhk

yhk

xhk r

r2

2

z2

2

y2

2

x

Nel caso di isotropia del mezzo rispetto alla permeabilità (k = kx = ky = kz)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅2

2

2

2

2

2

zh

yh

xhk

Nel caso di flusso monodimensionale(nella direzione x)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂∂⋅

teS

tSe

e11

xhk r

r2

2

(I) (II)

te

e1Sr

∂∂⋅

+Consolidazione o rigonfiamento

(Sr = cost. = 1; e= variabile)

Drenaggio o imbibizione(Sr = variabile, e = cost.)

tS

e1e r

∂∂⋅

+


Moti di filtrazione

Nell’ipotesi di filtrazione permanente (o stazionaria):

0tS

te r =

∂∂

=∂∂

Kx = ky = kz

0zh

yh

xh

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂ EQUAZIONE DI LAPLACE

FILTRAZIONE PERMANENTE

e terreno isotropo:

(Sr = cost. = 1; e = cost)

l’equazione generale del flusso diventa:

Nel caso di flusso bidimensionale (moto piano), ad es. sul piano x,z, l’equazione generale del flusso stazionario diventa :

che viene in genere risolta per via numerica o grafica, una volta definite le condizioni al contorno (il moto è indipendente dal tempo).

0zh

xh

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

33/5733/57

∆a

∆q

∆b

∆h

Cana

le di

flus

so

Campo

Linee di flusso

Linee equipotenziali

h

h-h∆


34/5734/57

Moti di filtrazione

La soluzione dell’equazione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione):

Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale, ne esistono infinite e lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso e vi scorre una portata costante d’acqua ∆q. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico, ne esistono infinite e la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante ∆hdel carico idraulico.

RETICOLO DI FILTRAZIONE

Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione.


Moti di filtrazione

i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q,la perdita di carico fra due linee

equipotenziali successive ∆h=h/N sia costante,i campi siano approssimativamente

quadrati (∆a ≅ ∆b).

Per disegnare la rete di filtrazione, una volta note le condizioni al contorno ovvero alcune linee di flusso o equipotenziali che delimitano la rete (ad es. le superfici impermeabili sono linee di flusso e le superfici libere di falda sono equipotenziali) e la perdita di carico totale, h, e scelto il numero di dislivelli N, occorre che:

La portata di filtrazione per ogni canale di flusso è:

Nhk

bNahkavq ⋅≅

∆⋅∆⋅⋅

=∆⋅=∆ e la portata totale:NNhkqNQ 1

1 ⋅⋅=∆⋅=

A

F

D

E

G

K H B C J L

35/5735/57


FORZE DI FILTRAZIONE

z

B

O

h2

h1 B

z

A

OP

h

A

h2

h1

z

A

O

hB

h2

h1

PP

Come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiziali) in un punto del terreno, passando da una condizione di fluido in quiete (regime idrostatico), ad una con moto di filtrazione (in regime stazionario)?

CASO 1 CASO 2 CASO 3

Sabbia satura Serbatoio

Verifiche idrauliche

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37/5737/57

Caso 1 (Assenza di filtrazione)

σz = γsat⋅z + γw⋅h1

Nel generico punto P:

u = γw⋅(h1+z)

σ’z = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(h1+z) = γ’⋅z essendo γ’ = γsat ‐ γw

Non c’è differenza di carico tra i due punti, A e B, appartenenti alla due superfici libere l’acqua è in quiete

w

w

w

1

1

1

1

B

O

A

γ h

h

γ

γ (h + h )

h2

h1

Pu

z

0

Q

h

z

0

1h

h

z

0



38/5738/57

Caso 2 (Filtrazione discendente)La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da A a B)

Hp: La perdita di carico ∆h tra A e B avviene tutta nel terreno (tra O e Q), è costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in O) e h1‐∆h (in Q)

ww

11

h2

h1 BA

OP

h

γ γ

u

z

w

w

1

1 2

γ h

γ (h + h - h)wγ z i

u

Q

0

1h

h

z

0

1h - h



σz (z) = γsat⋅z + γw⋅h1

Nel generico punto P (a profondità z):

Legge di variazione del carico:

zihzhhh)z(h 1

2

1 ⋅−=⋅∆

−=

e per definizione di carico piezometrico:

w

uz)z(hγ

+−=

zi)hz()]zih(z[]hz[)z(u ww11ww ⋅⋅γ−γ⋅+=⋅−+⋅γ=+⋅γ=

σ’z (z) = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(z+h1) + γw ∙ i∙z = γ’⋅z + γw ∙ i∙z

*N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato dal livello d’acqua nel piezometro).

(Il piano di riferimento z*=0 coincide col p.c. e perciò z* = ‐z)


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40/5740/57

Caso 3 (Filtrazione ascendente)La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da A a B)

Hp: La perdita di carico ∆h tra B e A avviene tutta nel terreno (tra Q e O), è costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in Q) e h1‐∆h (in O)

h2

h1

A

O

B

P

w w

11

h

γ γ

u

z

w

w

w

1

1 2

γ h

γ (h + h + h)γ z i

Q

0

1h

h

z

0

1h + h



σz (z) = γsat⋅z + γw⋅h1

Nel generico punto P (a profondità z) la tensione verticale totale non cambia:

Legge di variazione del carico diventa:

zihzhhh)z(h 1

2

1 ⋅+=⋅∆

+=

e per definizione di carico piezometrico:

w

uz)z(hγ

+−=

zi)hz()]zih(z[]hz[)z(u ww11ww ⋅⋅γ+γ⋅+=⋅++⋅γ=+⋅γ=

σ’z (z) = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(z+h1) ‐ γw ∙ i∙z = γ’⋅z ‐ γw ∙ i∙z

*N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato dal livello d’acqua nel piezometro).

(Il piano di riferimento z*=0 coincide col p.c. e perciò z* = ‐z)


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42/5742/57

GRADIENTE IDRAULICO CRITICOIn presenza di filtrazione la pressione interstiziale è data dalla somma di una componente idrostatica e di una componente idrodinamica (PRESSIONE DI FILTRAZIONE):

u = γw⋅(z + h1) ± γw ∙ i∙z

COMPONENTEIDROSTATICA

COMPONENTEIDRODINAMICA

‐ Filtrazione discendente+ Filtrazione ascendente

La pressione efficace in presenza di filtrazione ascendente vale: σ’z = γ’⋅z ‐ γw ⋅ i⋅ze si annulla quando il gradiente idraulico è pari a:

wc

'iγγ

= GRADIENTE IDRAULICO CRITICO

OSS. 1. Il valore di ic dipende esclusivamente dal peso di volume del terreno2. Essendo γ’ ≅ γw, il valore di ic è prossimo all’unità




SIFONAMENTOIn un terreno privo di legami coesivi, in presenza di filtrazione ascendentequando i = ic, si annullano le forze intergranulari, si annulla la resistenza del terreno e le particelle solide possono essere trasportate dall’acqua in movimento, dando origine ad un fenomeno progressivo di erosione che conduce al collasso della struttura del terreno.

Tale fenomeno è noto come instabilità idrodinamica (o sifonamento)

Il fattore di sicurezza globale nei confronti del sifonamento è il rapporto tra il gradiente idraulico critico, ic, e quello presente in esercizio (gradiente di efflusso), iE :

E

c

iiFS =

N.B. Essendo il sifonamento un fenomeno improvviso, senza segni premonitori, ed essendo difficile tener conto di fattori quali l’eterogeneità e l’anisotropia del terreno, si adottano valori alti di FS (> 3.5 ÷ 4)

Verifica puntuale in termini di tensioni

43/5743/57



p.c.

p.c.

H

D

A

B

In prima approssimazione, con riferimento al percorso di filtrazione più corto, A‐B (situazione più critica), nell’ipotesi di perdita di carico lineare con la profondità e trascurando lo spessore del diaframma, il gradiente di efflusso, iE, è dato da:

iE ≅ H/(H+2D) ≅ H/2D

dove:H è la perdita di carico tra i due punti

A e B della superficie liberaD è la profondità d’infissione del

diaframma.

44/5744/57


45/5745/57


Scavo in un mezzo di spessore infinito

Scavo nastriforme in un mezzodi spessore infinito

Trincea in un mezzodi spessore limitato

i E

α

b/Dh/D

i E

Per una più precisa determinazione del gradiente di efflusso, iE, e considerato che in genere la perdita di carico non è lineare con la profondità (in particolare segue andamenti differenti nel tratto discendente e ascendente) si può ricorrere ad uno dei seguenti diagrammi:

h/D


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SOLLEVAMENTO DEL FONDO SCAVO

Il sollevamento del fondo scavo è un fenomeno analogo al sifonamento, dovuto alle forze di filtrazione al piede di un diaframma, che si estende a tutta la profondità D dello scavo per una larghezza pari a D/2

Forza instabilizzante (forze di filtrazione dovute alla componente idrodinamica della pressione interstiziale):Sw = γw⋅ Hc⋅D/2

Forza stabilizzante (peso immerso del cuneo di terreno):

W’ = γ’ ⋅D ⋅ D/2

p.c

p.c.

D

A

E

H

Hc

γw c

H

D/2

D

SOVRAP‐PRESSIONI

(COMPONENTEIDRODINAMICA)

Verifica a lungo termine


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2HHc ≅

Quando non si conosce il valore di Hc, nell’ipotesi che la perdita di carico vari linearmente con la profondità, essendo:

o più cautelativamente:

D2HDHHc +⋅

≅

Per incrementare il valore di FS si possono adottare le seguenti soluzioni:aumentare la profondità di infissione in modo da ridurre il gradiente diefflusso;disporre sul fondo dello scavo in adiacenza al diaframma un filtro costituito damateriale di grossa pezzatura in modo da incrementare le tensioni efficaci:

2/2/' 2

DHWDFS

cw ⋅⋅+⋅

=γγ dove W è il peso del filtro

inserire dei dreni in modo da ridurre le sovrappressioni.

iE ≅ H/(H+2D)= Hc/D

cwcww HDʹ

2/DH2/DDʹ

SʹWFS

⋅γ⋅γ

=⋅⋅γ

⋅⋅γ==

Fattore di sicurezza globale:

ic

ie

Verifica globale in termini di forze


48/5748/57


Se lo scavo interessa un terreno a grana fine sovrastante un terreno a elevata permeabilità deve essere considerata anche la condizione a breve termine:

Forza instabilizzante (pressione idrostatica iniziale alla base dello strato di argilla)pw = γw⋅ HwAzione stabilizzante (pressione totale alla base dello strato di argilla)p = γsat⋅D

Fattore di sicurezza globale:

p.c.

p.c.

D

Hw

Sabbia

Sabbia

Argilla NC

γwHw

ww

sat

w HD

ppFS

⋅⋅

==γγ

Verifica a breve termine



Le NTC prescrivono l’uso del metodo degli stati limite (ultimi, SLU, e di esercizio, SLE) e dei coefficienti di sicurezza parziali.

NTC – D.M. 14/01/08

I coefficienti parziali sono suddivisi in tre categorie:

I coefficienti parziali possono assumere valori diversi ed essere diversamente raggruppati e combinati tra loro (approcci) in funzione dell’opera, del tipo e delle finalità delle verifiche nei diversi stati limite considerati.

i coefficienti da applicare rispettivamente alle azioni o agli effetti delle azioni(A)i coefficienti da applicare alle caratteristiche dei materiali (M)i coefficienti da applicare alle resistenze (R) e assumono valori diversi in

relazione al tipo di opera e allo stato limite considerato

49/5749/57



VERIFICHE DEGLI STATI LIMITE ULTIMI IDRAULICI

UPL (da Uplift) – che comportano la perdita di equilibrio della struttura o del terreno a causa della sottospinta dell’acqua (fenomeni di galleggiamento di strutture interrate, come parcheggi sotterranei, stazioni metropolitane, etc.. o di sollevamento del fondo scavo)

HYD (da Hydrodinamic conditions) – in cui si verifica erosione e sifonamento del terreno a causa di moti di filtrazione dal basso verso l’alto con gradiente idraulico tale da produrre l’annullamento delle tensioni efficaci.

Per le verifiche di tipo idraulico devono essere considerati due stati limite ultimi:

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PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE

COEFFICIENTE PARZIALE

( M1 )* ( M2 )*

Tangente dell’angolo di resistenza al taglio

tan ϕ’k γϕ’ 1.0 1.25

Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25Resistenza non drenata

cuk γcu 1.0 1.4

Peso dell’unità di volume

γ γγ 1.0 1.0

Tabella 6.2.II – Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

* Vengono utilizzati alternativamente nei vari tipi di approccio, nelle verifiche idrauliche si adottano solo i coefficienti M2

N.B. Sono coefficienti che vanno divisi per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.

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STABILITÀ AL SOLLEVAMENTO (UPL)

essendo:Vinst,d= Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,

combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d = valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd = valore di progetto delle resistenze

Deve risultare: Vinst,d ≤ Gstb,d + Rd

p.c

p.c.

D

A

E

H

Hc

γw c

H

D/2

D

52/5752/57



Tab. 6.2.III (Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche al sollevamento)

CARICHI EFFETTOCoefficiente parziale

γF (o γE)SOLLEVAMENTO (UPL)

Favorevole 0.9Sfavorevole 1.1Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5

γQiVariabili

γG2Permanenti non strutturali*

γG1Permanenti

* se compiutamente definiti si utilizzano i coefficienti validi per le azioni permanenti

N.B. Sono coefficienti che vanno moltiplicati per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.

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54/5754/57


Gstab,d = 0.9∙(γsat/ 1)D

γG1

γG1

Esempio: sollevamento del fondo scavo a breve termine

Deve risultare:Vinst,d ≤ Gstab,d + Rd

ovvero:1,1 γw Hw ≤ 0.9 γsat D

Azioni in gioco e coefficienti parziali:

Rd = 0 (si trascura il contributo della resistenza del terreno ai lati del blocco)Vinst,d = Ginst,d = 1,1 ∙γw Hw

Verifica:

γγ

(Qinst,d = 0)p.c.

p.c.

D

Hw

Sabbia

Sabbia

Argilla NC

γwHw

N.B. Tale condizione che corrisponde a un coefficiente di sicurezza globale:FS = γsat D / γw Hw ≥ 1.1 / 0.9 = 1.22



STABILITÀ AL SIFONAMENTO (HYD)

Deve risultare: uinst,d ≤ σstb,dessendo:uinst,d= Vinst,d = valore di progetto della pressione interstiziale instabilizzanteσstb,d = Gstab,d + Rd = valore di progetto della tensione totale stabilizzante

COMPONENTE IDROSTATICA+ IDRODINAMICA

p.c.

p.c.

H

D

A

B

55/5755/57



Tab. 6.2.IV (Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche al sifonamento)

CARICHI EFFETTOCoefficiente parziale

γF (o γE)SIFONAMENTO (HYD)

Favorevole 0.9Sfavorevole 1.3Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5

γQiVariabili

γG2Permanenti non strutturali*

γG1Permanenti

* se compiutamente definiti si utilizzano i coefficienti validi per le azioni permanenti

N.B. Sono coefficienti che vanno moltiplicati per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.

56/5756/57



Esempio: diaframma infisso in terreno granulare

γG1Azioni in gioco e coefficienti parziali:

uinst,d = 1.3 γw (D + Hc) = 1.3 γw (D + H/2)

σstb,d = 0.9 (γsat / 1)D

(Qinst,d = 0)

Deve risultare:uinst,d ≤ sstb,d

ovvero:

1.3 γw (D + H/2) ≤ 0,9 γsat D

Verifica:

γG1 γγp.c

p.c.

D

A

E

H

Hc

γw c

H

D/2

D

SOVRAP‐PRESSIONI

(COMPONENTEIDRODINAMICA)

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(avendo assunto cautelativamente Hc=H/2)

Documents

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di ...geotecnica.dicea.unifi.it/less_idra10.pdfDr. Ing. Johann Facciorusso L’acqua nel terreno Corso di Geotecnica per Ingegneria