UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

Bc. Milena Houfová

2. ročník – prezenční studium

Obor: Učitelství matematiky pro 2. stupeň základních škol a Učitelství

základů společenských věd a občanské výchovy pro střední školy

a 2. stupeň základních škol

ZLOMKY V UČIVU ZÁKLADNÍ ŠKOLY

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Vedoucí diplomové práce: Mgr. Eva Bártková., Ph.D.

OLOMOUC 2013

Prohlašuji, ţe jsem diplomovou práci s názvem „Zlomky v učivu základní školy“

zpracovala samostatně za pouţití literatury a dalších zdrojů uvedených v seznamu.

V Olomouci dne: ………………… ……………………

Podpis

Na tomto místě bych chtěla poděkovat Mgr. Evě Bártkové, Ph.D. za její odborné

vedení, cenné rady a připomínky, stejně jako za věnovaný čas v průběhu vzniku této

práce.

Obsah

Úvod.............................................................................................................................6

TEORETICKÁ ČÁST

1. Historie zlomků ......................................................................................... 9

1.1 Mezopotámie .............................................................................................. 9

1.2 Egypt .......................................................................................................... 9

1.3 Řecko ........................................................................................................ 12

1.4 Řím ........................................................................................................... 12

1.5 Indie .......................................................................................................... 13

1.6 Středověká Evropa .................................................................................... 13

2. Řešené historické úlohy se zlomky .......................................................... 15

3. Zlomky v RVP ZV ................................................................................... 18

4. Racionální čísla ........................................................................................ 20

4.1 Konstrukce oboru racionálních čísel .......................................................... 20

4.2 Těleso racionálních čísel jako rozšíření oboru integrity čísel celých........... 21

5. Zlomky v učivu základní školy ............................................................... 22

5.1 Zlomek jako část celku .............................................................................. 22

5.2 Zlomek jako operátor ................................................................................ 23

5.3 Definice zlomku ........................................................................................ 25

5.4 Zobrazení zlomku na číselné ose ............................................................... 26

5.5 Rozšiřování a krácení zlomku .................................................................... 26

5.6 Rovnost zlomků, porovnávání zlomků ....................................................... 27

5.7 Základní pojmy ......................................................................................... 29

5.8 Nula ve zlomku ......................................................................................... 31

5.9 Početní operace se zlomky......................................................................... 32

5.9.1 Sčítání zlomků ................................................................................... 32

5.9.2 Odčítání zlomků ................................................................................. 35

5.9.3 Násobení zlomků................................................................................ 37

5.9.4 Dělení zlomků .................................................................................... 39

5.10 Sloţený zlomek ..................................................................................... 42

5.11 Zápis zlomku desetinným číslem ........................................................... 43

6. Zlomky ve vyučování............................................................................... 45

EMPIRICKÁ ČÁST

7. Didaktický test ......................................................................................... 52

7.1 Úloha 1 ..................................................................................................... 53

7.2 Úloha 2 ..................................................................................................... 58

7.3 Úloha 3 ..................................................................................................... 61

7.4 Úloha 4 ..................................................................................................... 64

7.5 Úloha 5 ..................................................................................................... 67

7.6 Úloha 6 ..................................................................................................... 76

7.7 Úloha 7 ..................................................................................................... 79

7.8 Úloha 8 ..................................................................................................... 82

7.9 Testování hypotézy ................................................................................... 86

7.10 Závěr empirické části ............................................................................. 89

Závěr.... ................................................................................................................. 93

Prameny a literatura ............................................................................................ 94

Elektronické zdroje .............................................................................................. 97

Seznam obrázků ................................................................................................... 98

Seznam příloh

ANOTACE

6

Úvod

Zlomek patří mezi náročné pojmy školské matematiky a mezi ţáky patří počítání

se zlomky spíše k méně oblíbeným činnostem. Téma své závěrečné práce „Zlomky

v učivu základní školy“ jsem si vybrala hlavně díky ţákům, se kterými mám moţnost se

setkávat během individuálních hodin doučování matematiky. Ţáci mnohdy nemají

představu ani o těch nejjednodušších zlomcích. Svědčí o tom i odpověď „Dvě

čtvrtiny.“, které se mi nedávno dostalo na otázku „Kolik je jedna polovina plus jedna

polovina?“ Ţáci mají s uchopením tohoto pojmu problémy. Zlomek je moţné chápat

jako veličinu či jako operátor, a to u ţáků můţe způsobovat neporozumění.

Děti se se zlomky setkávají jiţ v předškolním věku a později se s nimi blíţe

seznamují jako ţáci na prvním stupni základní školy. Tematický celek „Zlomek“ je jako

hlavní téma zařazen do 7. ročníku.

Ţáci se s pojmem zlomek nejprve seznamují jako s částí z určitého celku. Od chápání

zlomku jako části z celku se postupně připravují k pochopení pojmu zlomek jako

reprezentant racionálního čísla. Neţ ţáci správně pochopí zlomek jako číslo, je třeba

vyuţít mnoho manipulativních činností, různých modelů a příkladů z běţného ţivota,

aby se u nich pojem racionálního čísla správně vytvořil. Poznatky, ke kterým se ţák

dopracuje svou vlastní činností, jsou nepřenosné a mají trvalejší hodnotu neţ poznatky

získané pouze zprostředkovaně.

Cílem diplomové práce je vytvořit souhrnný přehled základních pojmů týkající se

tematického celku „Zlomek“. Vytvořit nestandardizovaný didaktický test obsahující

základní úlohy se zlomky a na vzorku ţáků ze 7. ročníků základní školy a 2. ročníků

osmiletého gymnázia zjistit úroveň jejich znalostí v této oblasti a porovnat jejich

výsledky.

Diplomová práce je rozdělena na dvě části: teoretickou a empirickou.

Teoretická část práce je rozčleněna do šesti kapitol.

První kapitola pojednává o historickém vývoji zlomků a způsobů jejich zápisu.

Ve druhé kapitole jsou představeny a vyřešeny některé historické úlohy se zlomky,

které mohou slouţit jako motivační činitel při výuce zlomků ve školské matematice.

Třetí kapitola obsahuje informace o postavení racionálních čísel a učiva o zlomcích

na druhém stupni základního vzdělávání v Rámcovém vzdělávacím programu

pro základní vzdělávání.

7

Čtvrtá kapitola je zaměřena na konstrukci oboru racionálních čísel. Jsou zde

mj. popsány důvody, které stály za potřebou zavedení racionálních čísel.

Pátá kapitola se věnuje několika tématům a základním pojmům vztahující se k učivu

o zlomcích. V úvodních podkapitolách je představen zlomek jako část celku a zlomek

jako číselný operátor. Další podkapitoly jsou věnovány definici zlomku, krácení

a rozšiřování zlomku, porovnávání zlomků a početním operacím se zlomky. V poslední

podkapitole je zmíněn postup, pomocí kterého lze zapsat zlomek desetinným číslem.

Šestá kapitola představuje některé pomůcky, didaktické hry, zajímavé úlohy či úlohy

s netradičním zadáním apod., které by měly ţáky v hodinách zaujmout a motivovat.

Empirická část se věnuje vyhodnocení nestandardizovaného didaktického testu,

analýze ţákovských řešení a vyvozuje závěry, zda jsou mezi výsledky vzorku ţáků

základní školy a osmiletého gymnázia statisticky významné rozdíly.

8

TEORETICKÁ ČÁST

9

1. Historie zlomků

V evropské literatuře se termín zlomek objevuje jako překlad arabského kasr

(z kasara = rozbíjet, lámat). V překladu aritmetického spisu al-Chwárízmího se zlomek

nazývá fractio (z lat. frangere = lámat, rozbíjet, rozdrobovat).1

Vznik zlomků a počítání s nimi souvisí s rostoucími hospodářskými potřebami.

Zlomky začali uţívat ty národy, které přešly k usedlému způsobu ţivota a zajímaly je

tudíţ praktické problémy jako měření polí, objem nádob, dělení úrody apod. Pojem

zlomku se postupně vyvíjel a prošel různými podobami.2

1.1 Mezopotámie

O způsobu počítání ve starověké Mezopotámii se dovídáme z nalezených tabulek

s matematickými texty, jichţ nejvíce se jich dochovalo z 2. tisíciletí př. n. l. V této době

nahrazuje poziční šedesátková soustava při zápisu čísel soustavu desítkovou

a šedesátkově desítkovou.3

V Mezopotámii pouţívali klínové písmo, které ryli do hliněných tabulek. Čísla od 1

do 59 zapisovali nepozičně.4 Pro číslo 1 byl stejný znak jako pro číslo 60, tj. malý svislý

klín . Velký vodorovný klín byl uţíván pro číslo 10. Způsob zápisu čísel nebyl

jednoznačný. Znak mohl značit i 3600

1,3600 atd. Skutečná hodnota čísla se tak

určovala z kontextu úlohy. Zvláštní znaky existovaly pro zlomky:5

2

1=

3

1=

3

2=

Šedesátinný způsob zapisování zlomků se pouţíval aţ do konce středověku

a předcházel počítání s desetinnými zlomky.6

1.2 Egypt

Poznatky o egyptských matematických znalostech můţeme získat z dochovaných

textů psaných na papyru. Mezi nejrozsáhlejší a nejznámější matematické texty

1 BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s. 162. 2 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 63. 3 POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, 17. 4 Tamtéţ, s. 18. 5 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 48. 6 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 63.

10

ze starého Egypta patří Rhindův (19 st. př. n. l.) a Moskevský papyrus (18 st. př. n. l.).

Oba papyry obsahují řešené úlohy hospodářského rázu a nechávají nám nahlédnout

do způsobu tehdejšího počítání. Staří Egypťané pouţívali desítkovou soustavu.7

Egyptské zlomky vznikly při dělení plochy pole na části. Pro zlomky 4

3,

4

1,

3

2,

3

1,

2

1

existovaly zvláštní symboly, z nichţ se však později pouţívaly jen 2

1 a

3

2.8

Pro egyptskou matematiku je typické počítání s tzv. kmennými zlomky (tj. zlomky

ve tvaru n

1). Při zápisu v hieroglyfickém písmu se nad jmenovatelem zapsal znak

„ra” . V hieratickém písmu byl znak „ra“ nahrazen tečkou. Všechny ostatní zlomky

se převáděly na součet kmenných zlomků a popř. zlomku 3

2.9

Symbolické značení zlomků nebylo vţdy uţíváno důsledně.

Znak neznamenal 2

1, ale

3

2.

Znak nepředstavoval 1 , ale zlomek 3

1.

Symbol značil 4

3 a později

3

1.10

Při dělení celých čísel vyuţívali Egypťané tabulky s rozklady zlomků n

2 na součet

kmenných zlomků a 3

2 . Pokud bylo n sudé, zlomek ve tvaru

n

2 se zkrátil. Pro lichá n

byly sestaveny speciální tabulky. Jednu takovou můţeme nalézt v Rhindově papyru,

který obsahuje tabulku pro všechna lichá n od 3 do 101.

Zlomek n

2 lze rozloţit mnoha různými způsoby, ale nejčastěji se pouţíval rozklad

podle vzorce )1(

2

1

22

nnnn. Např.

15

1

3

1

5

2 .

11

Následující příklad ukazuje, jak se postupovalo při dělení podle schématu půlení.

7 POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, s. 13. 8 Tamtéţ, s. 14-15. 9 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 37. 10 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 63. 11 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 38.

11

Příklad: 28:5

„Egypťané začali sestavovat tabulku podle předchozího vzoru:

/1 5

2 10

/ 4 20 .

V ní našli, ţe 25205 , coţ je menší neţ 28 . Tedy součet odpovídajících čísel

v levém sloupci 541 nebyl ještě hledaným výsledkem. Nyní místo dalšího

zdvojnásobování v pravém sloupci (coţ by bylo zbytečné) napsali v levém sloupci 5

1 ,

pak 5

2, pro které našli v rozkladu zlomků

n

2 rozklad

15

1

3

1 . To znamená,

ţe pokračovali v tabulce:

/5

1 1

/5

2 2 .

Kdyţ pak sečetli všechna označená čísla v levém sloupci (místo 5

2 psali

15

1

3

1 ),

získali hledaný podíl 15

1

3

1

5

15 .“

12

K dalšímu rozvoji počítání se zlomky přispěly i výpočty týkající se kalendáře.

Egypťané dělili rok na 12 měsíců po 30 dnech a po jejich uplynutí přidávali 5 dní. Data

dnů v měsíci vyjadřovali pomocí částí měsíce. Tzn. první den = 30

1, …, dvacátý

den = 3

2, …, dvacátý čtvrtý den =

5

4 (v kmenných zlomcích

3

2

10

1

3

1 ) atd.

13

Způsob egyptského počítání s kmennými zlomky později převzali Řekové, Římané

a Arabové. Počátkem 13. století se způsob počítání s kmennými zlomky objevuje díky

spisům Leonarda Pisánského ve středověkých evropských učebnicích.14

12 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 38. 13 POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, s. 15. 14 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 64.

12

1.3 Řecko

V Řecku nebylo nikdy zavedeno počítání s desetinnými zlomky. S desetinnými

zlomky se blíţe seznamují aţ v období evropské renesance a ani v 19. století

se neobjevily ve všech učebnicích.

Řecký systém počítání se zlomky nebyl jednotný. Počítali jak s egyptskými

kmennými zlomky, tak s šedesátinnými zlomky, tak také se zlomky připomínající

tvarem náš zápis.15

Nejvíce pouţívali egyptské kmenné zlomky. Kaţdému zlomku n

1 odpovídal jeho

„doplňkový zlomek“ n

n 1, jejichţ součet je roven jedné. Kmenné zlomky nejprve

zapisovali slovně, později s pouţitím symbolů. Např. 3

1 = , , . Obecné

zlomky tvaru n

m byly povaţovány za m-násobky kmenných zlomků

n

1 nebo

za naznačené dělení nm : . Zápis obecných zlomků byl nejednotný. Nejdokonalejší

zápis byl ten, kdy se jmenovatel psal nad čitatele. Např. = 9

65. Přiblíţili se tak

našemu označování zlomků, které pravděpodobně vzniklo u starých Indů.16

1.4 Řím

Římané se většinou zabývali jen těmi matematickými problémy, které souvisely

s praktickými otázkami týkající se dědického práva, úrokového počtu, obchodu,

zeměměřičství a stavitelství.

Při počítání se zlomky vycházeli z rozdělení své peněţní jednotky as na dvanáct

uncií. Při výpočtech uţívali zlomky se jmenovatelem dvanáct či se jmenovateli, jeţ byli

násobky dvanácti.

15 STRUIK, D. J. Dějiny matematiky, s. 62. 16 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 81-82.

13

Jednotlivé části asu měli svůj název, který ale s postupem času ztrácel svůj konkrétní

význam. Např. 12

12 = jeden as,

12

11 = deunx,

12

10 = dextans,

12

4 = triens (třetina),

12

3

= quadrans (čtvrtina), 288

1 = scriptulum,

1152

1 = ceratus (odtud náš název pro karát).

17

1.5 Indie

V indických spisech z 500 př. n. l. v tzv. Súlvasútrech nalezneme mj. speciální

případy Pythagorovy věty zároveň s několika pozoruhodnými aproximacemi

vyjádřenými kmennými zlomky. Např. 34.4.3

1

4.3

1

3

112 (= 4142156,1 ).

18

V Indii má své historické kořeny nynější obecný pojem zlomku. I oni nejdříve

počítali s kmennými zlomky, ale jiţ v 4. st. př. n. l. přešli k počítání se zlomky i s jinými

čitateli. Početní operace se zlomky prováděli přibliţně v té podobě, v jaké je známe

dnes. Prostřednictvím Arabů (Al Chovarizmiho) proniká indická nauka o zlomcích

do děl Leonarda Pisánského i jiných matematiků 13. století.

Indové zapisovali zlomky takřka shodným způsobem s naším, jen chyběla zlomková

čára. Odlišné bylo i zapisování čísel smíšených. Např. 5

42 by zapsali takto:

5

4

2

19

Se zlomkovou čarou pracoval Leonardo Pisánský a nazýval jí „virgula“. Poznal ji

u arabských matematiků. Zlomková čára však byla všeobecně zavedena aţ 16. století.20

1.6 Středověká Evropa

Výrok Bedy Venerabilise svědčí o obtíţnosti středověkého počítání se zlomky:

„Kdo umí dělit, tomu se ţádná záleţitost nebude zdát těţká. Já znám hodně sloţitých

věcí, ale nic není sloţitější neţ operace se zlomky.“21

V Evropě se aţ do 12. st. udrţel římský způsob počítání se zlomky, který jiţ ale

nebyl schopen dalšího rozvoje. Výpočty byly zdlouhavé a zbytečně komplikované.

17 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 64. 18 STRUIK, D. J. Dějiny matematiky, s. 29. 19 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 65. 20 Tamtéţ, s. 66. 21 KONFOROVIČ, A. G. Významné matematické úlohy, s. 109.

14

Začínají se pouţívat zlomky desetinné, které se zapisovaly pomocí výrazné tečky.

Např. 5

4 .

22

Počítání se zlomky bylo pro tehdejší ţáky obtíţné. Například i profesor matematiky

Luca Pacioli z Florencie se divil tomu, jak při násobení zlomkem menším neţ 1

je výsledek menší neţ násobenec. Byl ovlivněn citátem z bible: „Rosteţ a mnoţte se

a naplňte Zemi!“ V té době chápali sloveso mnoţit se jako násobení.23

Zajímavý, ale v tehdejší době obtíţně srozumitelný způsob dělení zlomků

doporučoval Jordanus Nemorarius. „Nemorarius doporučoval dělit čitatele prvního

zlomku čitatelem zlomku druhého a výsledek dělit podílem jmenovatelů prvního

a druhého zlomku. Jestliţe tento postup nebylo moţno pouţít, pak doporučoval násobit

čitatele i jmenovatele prvního zlomku součinem čitatele a jmenovatele zlomku druhého

(tj. rozšířit první zlomek) a teprve potom provést výše uvedený úkon.“ 24

Např.: 5.4

7.3

7

5:

7.5.4

7.5.3

7

5:

4

3

Při počítání se zlomky bylo novinkou určování nejmenšího společného jmenovatele.

Je nutno poznamenat, ţe k všeobecnému rozšíření této metody došlo aţ v 17. století.

Společně s desetinnými zlomky se pouţívaly i zlomky šedesátinné, které se uţívaly

zejména v astronomii. Jinak se v Evropě příliš velké oblibě netěšily.

V 16. století vydal nizozemský matematik Simon Stevin knihu Arithmétique (1585),

která představovala první, stručný a přehledný souhrn vědomostí o zlomcích a operacích

s nimi.25

Co se týče krácení a rozšiřování zlomků – to bylo známo jiţ velmi dávno. Ale aţ

na některé výjimky nebyla ve středověkých učebnicích ţádná zmínka o tom,

ţe násobením nebo dělením čitatele i jmenovatele stejným číslem se velikost zlomku

nezmění.

V jednom francouzském rukopisu z roku 1484 se objevil moderní způsob krácení

a rozšiřování zlomků. Společný dělitel při krácení zlomku byl stanoven známým

Eukleidovým algoritmem.

Populární německý matematik Adam Ries (16. st.) radil, aby se zlomek krátil tak, ţe

se nejdříve zkrátí dvěma (pokud to jde u obou čísel), pak třemi, pěti atd.26

22 BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s. 255. 23 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 67. 24 BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s. 256. 25 Tamtéţ, s. 256 - 257.

15

2. Řešené historické úlohy se zlomky

Historické poznámky jsou pro řadu ţáků při vyučování přitaţlivé. V následující

kapitole proto představím několik netradičních úloh.

Úloha č. 1:

„Egypťané uţívali jen zlomků s čitatelem jedna (kmenné zlomky). Přesvědčte se, zda

dobře vyjádřili zlomky s čitatelem 2 či 7 součtem kmenných zlomků.“27

a) 232

1

174

1

58

1

24

1

29

2

Řešení:

29

2

696

48

696

341229

232

1

174

1

58

1

24

1

b) 232

1

87

1

58

1

24

1

6

1

29

7

Řešení:

29

7

696

168

696

381229116

232

1

87

1

58

1

24

1

6

1

Úloha č. 2:

„Sečtěte následující zlomky způsobem, kterého uţívali staří indičtí matematikové.

Společným jmenovatelem byl součin všech jmenovatelů. Proveďte sčítání indickým

i naším způsobem a ověřte si, zda je uvedený společný jmenovatel správný.“28

4002881463

11

36

7

21

1

20

1

15

8

Ověření:

400288146336212015

Ano, uvedený společný jmenovatel je správný.

26 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 67. 27 MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. – 9. ročník základní devítileté školy, s. 33. 28 Tamtéţ, s. 35-36.

16

Řešení:

Indický způsob:

40028814

800494230077824006804207144806207

63

11

36

7

21

1

20

1

15

8

140028814

40028814

Společný jmenovatel je nejmenší společný násobek jmenovatelů:

11260

1260

1260

2202456063672

63

11

36

7

21

1

20

1

15

8

Úloha č. 3:

„Krácení zlomků prováděli staří čínští matematikové podle tohoto předpisu:

Co můţeš rozdělit dvěma, rozděl; nelze-li dělit dvěma, odčítej od většího menší. Odčítej

vzájemně tak dlouho, aţ dostaneš stejná čísla. Tím stejným číslem zkrať zlomek. Ověřte

si správnost předpisu např. pro zlomky:“29

a) 245

455

Řešení: 455 – 245 = 210

245 – 210 = 35

210 – 35 = 175

175 – 35 = 140

140 – 35 = 105

105 – 35 = 70

70 – 35 = 35 … tzn. zlomek zkrátíme 35

7

13

35:245

35:455

b) 365

219

Řešení: 365 – 219 = 146

219 – 146 = 73

146 – 73 = 73 … tzn. zlomek zkrátíme 73

5

3

73:365

73:219

29 MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. – 9. ročník základní devítileté školy, s. 36.

17

Úloha č. 4:

„Římský spisovatel Plinius (1. stol. n. l.) uvádí velikosti tří tehdy známých světadílů

ve srovnání s velikostí zemské pevniny takto:

Evropa 8

1

3

1

; Asie

14

1

4

1 ; Afrika

60

1

5

1 .

Představují uvedené kmenné zlomky celek?“30

Řešení:

Evropa: 24

11

24

38

8

1

3

1

Asie: 28

9

28

27

14

1

4

1

Afrika: 60

13

60

112

60

1

5

1

Evropa + Asie + Afrika = 280

279

840

837

840

182270385

60

13

28

9

24

11

.

Uvedené kmenné zlomky nepředstavují celek.

30 MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. – 9. ročník základní devítileté školy, s. 36.

18

3. Zlomky v RVP ZV

Se zlomky se ţáci seznamují jiţ na prvním stupni základní školy, ale jako hlavní

téma jsou do výuky zařazeny v 7. ročníku základní školy (2. ročníku osmiletého

gymnázia), coţ plně koresponduje s Rámcovým vzdělávacím programem pro základní

vzdělávání, kde učivo o zlomcích spadá do vzdělávací oblasti Matematika a její

aplikace a jejího tematického okruhu Číslo a proměnná. Tematický okruh Číslo

a proměnná obsahuje několik očekávaných výstupů, jeţ se vztahují přímo k učivu

o zlomcích, potaţmo k učivu o racionálních číslech.

Ţák:

- „provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; uţívá

ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu;

- zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně vyuţívá kalkulátor

- modeluje a řeší situace s vyuţitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel;

- užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným

číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem);

- řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky

map a plánů;

- řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, ţe procentová část je větší

neţ celek);

- matematizuje jednoduché reálné situace s vyuţitím proměnných; určí hodnotu

výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin

pomocí vzorců a vytýkáním;

- formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav;

- analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž

využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel.“31

Učivo:

- „dělitelnost přirozených čísel – prvočíslo, číslo sloţené, násobek, dělitel,

nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti;

- celá čísla – čísla navzájem opačná, číselná osa;

31 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 2013-01-20]. Dostupné z www: <www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf>, s. 32.

19

- desetinná čísla, zlomky – rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převrácené

číslo, smíšené číslo, složený zlomek;

- poměr – měřítko, úměra, trojčlenka;

- procenta – procento, promile; základ, procentová část, počet procent;

jednoduché úrokování;

- mocniny a odmocniny – druhá mocnina a odmocnina;

- výrazy – číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými,

mnohočleny;

- rovnice – lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma

neznámými.“32

Učivo o nezáporných zlomcích je na 2. stupni základních škol nejčastěji zařazeno

v prvním pololetí sedmého ročníku po učivu o desetinných a popř. celých číslech.

Poté následuje učivo: celá čísla, racionální čísla (záporné zlomky a záporná desetinná

čísla), poměr, přímá a nepřímá úměrnost a procenta.33

V RVP ZV jsou očekávané výstupy i učivo charakterizovány stručněji a obecněji

neţ v ŠVP jednotlivých škol.34

Od nového školního roku 2013/2014 bude platit nový vzdělávací program

pro základní vzdělávání, na jehoţ základě je učivo o zlomcích a desetinných číslech

přesunuto na první stupeň, odkud před osmi lety vypadlo. Tuto změnu schválilo

Ministerstvo školství a tělovýchovy i na doporučení Jednoty českých matematiků a

fyziků. Od vyučování zlomků a desetinných čísel na prvním stupni základní školy si

ministerstvo slibuje zlepšení znalostí dětí z matematiky a jejich výsledků

v mezinárodních průzkumech, ve kterých jim do této doby dělaly zlomky a desetinná

čísla největší problémy.35

32 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 2013-01-20]. Dostupné z www: <www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-

07.pdf>, s. 32. 33 ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s. 65. 34 Tamtéţ, s. 62. 35 LUKÁŠ, I. (ČT 24) Zlomky jsou zpět na prvním stupni, děti budou dělit pizzu nebo čokoládu. [online]. [cit. 2013-01-18]. Dostupné z www: <http://www.ceskatelevize.cz/ct24/domaci/211539-zlomky-jsou-zpet-na-prvnim-stupni-deti-budou-delit-pizzu-nebo-cokoladu/>.

20

4. Racionální čísla

Na základní škole se ţáci setkávají nejdříve s čísly přirozenými (N). Kaţdá dvě

přirozená čísla můţeme sečíst i vynásobit a výsledek je opět číslo přirozené. Problém

nastane při odčítání přirozených čísel. Aby bylo moţné odečíst dvě sobě rovná čísla,

bylo zavedeno další číslo, číslo nula. A aby bylo moţné odečíst větší přirozené číslo

od menšího, byl obor přirozených čísel s nulou rozšířen o čísla záporná.36

Přirozená

čísla, číslo nula a čísla záporná tvoří obor celých čísel (C37

). V oboru celých čísel však

není vţdy proveditelné dělení. Při dělení dvou celých čísel (za předpokladu ţe se dělitel

nerovná nule) nemusí existovat celé číslo, které by bylo jejich podílem. Proto vyvstala

potřeba rozšířit obor celých čísel o další čísla – racionální necelá. Nejčastěji je

vyjadřujeme ve tvaru zlomku. Celá čísla a čísla racionální necelá tvoří obor racionálních

čísel (Q).38

Zlomky mají v matematice nezastupitelný význam, jelikoţ umoţňují matematizovat

celou řadu různých praktických problémů. „Takovou typickou úlohou je dělení celku

na libovolný konečný počet rovných částí, který se v praxi velmi často vyskytuje a jehoţ

řešení není celočíselné.“39

Poznámka: Název pro racionální čísla je odvozen z latinského slova ratio [ráció],

které do češtiny překládáme jako poměr. Racionální čísla Q jsou tedy čísla, která se dají

vyjádřit jako poměr, tj. podíl dvou celých čísel.40

4.1 Konstrukce oboru racionálních čísel

Při konstruování oboru racionálních čísel můţeme postupovat dvěma způsoby. První,

historický postup spočívá v rozšiřování mnoţiny všech přirozených čísel. Jsou zavedena

čísla kladná racionální a k nim poté čísla opačná. Celá čísla jsou pak tudíţ zahrnuta

v mnoţině všech čísel racionálních.

Druhý postup spočívá nejprve v zavedení čísel celých a poté racionálních. Kaţdý

z těchto způsobů zavedení má své výhody i nevýhody. Mezi odborníky v teorii

36 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 11. 37 V současné době se pro označení mnoţiny celých čísel pouţívá písmeno Z. V zájmu zachování struktury textu se ale budu drţet značení, které je uvedeno v odborné literatuře, ze které jsem čerpala. 38 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 12. 39 DRÁBEK, J. a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 207. 40 ABZ slovník cizích slov. [online]. Pojem ratio. [cit. 2013-01-22]. Dostupné z www: < http://slovnik-cizich-slov.abz.cz/web.php/slovo/ratio-racio >.

21

vyučování matematiky existují spory v přístupu k tomuto tématu, ale v současné době

má druhý přístup ke konstrukci racionálních čísel více zastánců.41

4.2 Těleso racionálních čísel jako rozšíření oboru integrity čísel celých

Karol Křiţalkovič v Základy elementární matematiky postupuje při budování nové

matematické struktury, tělesa racionálních čísel (Q; +, .), následovně:

- v mnoţině přirozených čísel nelze bez omezení odčítat a dělit;

- polookruh (N; +, .) je rozšířen na obor integrity (C; +, .);

- v oboru celých čísel (C; +, .) neexistuje podíl a:b pro kaţdá dvě čísla

a,b C (b 0), tudíţ je obor celých čísel doplněn o nové prvky tak, aby v nové

algebraické struktuře všech racionálních čísel bylo moţné dělit bez omezení.

Těleso všech racionálních čísel (Q; +, .) bylo vybudováno tak, aby mělo následující

vlastnosti:

- aby se v něm počítalo podle stejných pravidel jako v (C; +, .);

- abychom mohli celá čísla povaţovat za čísla racionální;

- aby se kaţdé racionální číslo dalo vyjádřit pomocí čísel celých. 42

„Komutativní těleso (Q; +, .) nazveme komutativním tělesem racionálních čísel

právě tehdy, kdyţ platí:

a) Existuje podobor integrity (C*; +, .) komutativního tělesa (Q; +, .), který

je izomorfní s oborem integrity (C; +, .) všech celých čísel.

b) Kaţdý prvek komutativního tělesa (Q; +, .) je moţné vyjádřit jako podíl dvou

prvků z podoboru integrity (C*; +, .).

Mnoţina Q se nazývá mnoţina racionálních čísel a její prvky racionální čísla.“43

Racionální číslo je mnoţina všech navzájem ekvivalentních zlomků, tj. zlomků,

které se sobě rovnají.44

Například ...},12

8,

9

6,

6

4,

3

2,

6

4{

3

2

.

41 DRÁBEK, J. a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 207. 42 Tamtéţ, s. 208. 43 Tamtéţ, s. 208. 44 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 66.

22

5. Zlomky v učivu základní školy

V praktických výpočtech v současné době převaţuje počítání s desetinnými čísly

oproti vyuţívání zlomků (i díky moţnosti vyuţít technickou podporu v podobě

kalkulátoru). Existují ale i situace, kdy se člověk bez aplikace zlomků neobejde,

nebo mu alespoň jejich uţití usnadňuje práci. Znalosti týkající se tematického celku

„Zlomek“ ţáci ve školské matematice vyuţijí například pro zvládnutí úprav lomených

algebraických výrazů.45

Ţáci se se zlomky (polovina, čtvrtina) setkávají jiţ v předškolním věku. Po nástupu

do školy s nimi pracují například při čtení hodin (určování času). Při kaţdém

rozdělování celku na stejné části ţáci intuitivně pracují s polovinou, třetinou a čtvrtinou.

Ţáci pojem zlomek chápou nejprve jako část celku. Teprve později pracují se zlomky

jako s čísly.46

5.1 Zlomek jako část celku

Ţáci se se zlomkem jako částí celku seznamují prostřednictvím manipulativních

činností. Překládají papír, vybarvují různé obrazce. Tematicky celek „Zlomek“ by měl

být budován za pomocí konkrétních situací z praktického ţivota, jako je krájení dortu či

rozdělování čokolády.47

Ţáci mohou řešit například úlohu: „Rozdělte čtverec na osm stejných částí.

Vybarvěte pět částí. Zapište zlomkem jaká část čtverce je vybarvena.“

Při řešení úloh je nezbytné, abychom ţáky vhodnými otázkami směřovali

k aktivnímu pouţívání základních pojmů: „Na kolik stejných částí jsme čtverec

rozdělili? Kolik částí jsme vybarvili? Jak zapíšeme, ţe jsme vybarvili pět částí

z osmi?“48

45 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s. 2. 46 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 65. 47 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s. 395. 48 Tamtéţ, s. 395.

23

Obměna předchozí úlohy: „Zapiš zlomkem, jaká část obrázku je vybarvená.“

5.2 Zlomek jako operátor

Chápeme-li zlomek jako číselný operátor, díváme se na něj jako na návod

k provedení konkrétní činnosti, při které je přirozené číslo (celek) přeměněno na jiné

přirozené číslo (část).49

Schematicky můţeme problém (4

3 z 12 = 24 ) znázornit takto:

Obrázek 1: Zlomek jako operátor. Převzato z: DIVÍŠEK, J. Didaktika

matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ.

Z uvedeného schématu vyplývá, ţe můţeme řešit tři typy úloh o zlomcích

podle toho, která ze tří informací je neznámá: celek (C), část (č), zlomek (z).50

S úlohami, v rámci jejichţ řešení hledáme operátor nebo část, se běţně setkáváme

v praktickém ţivotě. Úlohy na hledání celku jsou svým způsobem umělé a setkáváme se

s nimi hlavně ve školských úlohách.51

Příklad: Petra vyrazila na výlet na kole. Ujela 18 km, tj. 4

3 z 24 km dlouhé

plánované trasy. Pokud známe dva z těchto údajů, můţeme dopočítat údaj třetí:

- Petra ujela 4

3 z plánovaných 24 km. Kolik km zatím ujela?

49 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 70. 50 Tamtéţ, s. 71. 51 HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s. 70.

24

18

244

3

č

č

Czč

Petra zatím ujela 18 km.

- Petra ujela 18km. Jakou část z plánovaných 24 km ujela?

4

3

24

18

z

z

C

čz

Petra ujela 4

3 z plánované trasy.

- Petra ujela 18 km, coţ byly 4

3 její plánované trasy. Jak dlouhá je její trasa?

18

4

3

18

C

C

z

čC

Petřina trasa je dlouhá 24 km.

K řešení úloh, ve kterých chápeme zlomek jako operátor, nemusíme znát předpis

Czč . Je vhodné, abychom úlohy tohoto typu s ţáky nejprve podrobně rozebrali,

situaci znázornili na obrázku a teprve poté odvodili daný předpis.

Slovní úloha: „Kolik je ve třídě celkem ţáků, jestliţe 8

6 tvoří děvčata a ve třídě

je 6 chlapců?“

Řešení: Danou situaci si graficky znázorníme:

Na kolik částí byl celek (počet ţáků) rozdělen? Na 8 částí. Kolik částí z celku (počtu

ţáků) představují chlapci? 2 části. Kolik ţáků odpovídá jedné části?

32:6 ţáci. Kolik částí z celku tvoří děvčata? 6 částí. Kolik děvčat je ve třídě?

1836 děvčat.

25

Obdobný postup řešení mají úlohy typu: „Kolik minut jsou 3

2 hodiny? Kolik cm je

4

5 metru? Kolik hodin je čtvrtina dne?“

52

Úlohu „Kolik minut jsou 3

2 hodiny?“ řešíme následovně: celek (60 minut) byl

rozdělen na 3 stejné části (na třetiny, 203:60 minut), z těchto částí vezmeme jen dvě

( 4020.2 minut).

5.3 Definice zlomku

Zlomek je uspořádaná dvojice celých čísel ba, . Zapisuje se ve tvaru b

a, kde b 0.

53

Jmenovatel zlomku udává, na kolik stejných dílů je celek rozdělen.

Čitatel sděluje, kolik těchto dílů zlomek obsahuje.54

Zlomek zapisujeme tak, ţe nejdříve napíšeme zlomkovou čáru, potom čitatele a

nakonec jmenovatele. Při zápisech početních výkonů se zlomky se píší zlomkové čáry

na stejné úrovni jako početní znaménka:55

4

9

3

7

9

4:

3

7

2

1

3

1

6

5

52 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s. 396. 53 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 66. 54 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 8. 55 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy., s. 41.

26

Při čtení zlomku vyslovíme, kolik částí vyjádřených jmenovatelem zlomek

obsahuje. Například tři sedminy, šestnáct dvaadvacetin apod. Pokud je vyslovování

obtíţné, pouţijeme slova „lomeno“. Například „pět lomeno stodvěma“.56

Zlomek je tedy pojmenován podle svého jmenovatele, tj. na kolik částí je celek

rozdělen. Např. tři – třetina, sedm – sedmina, čtyřicet – čtyřicetina. Je zajímavé, ţe jen

jeden zlomek – polovina, tvoří vyjímku. Není pojmenován podle svého jmenovatele

(dva – dvojina). “Zlomek jedna polovina má název od dělení – rozlamování celku

na dvě části, coţ člověk dělal daleko dříve, neţ poznal zlomky.”57

5.4 Zobrazení zlomku na číselné ose

Pro znázorňování kladných (popř. záporných, opačných) zlomků je vhodné mít

předem na číselné ose vyznačeny obrazy čísel přirozených (popř. celých). Celek (tzn.

úsečku mezi 0-1, 1-2, atd.) rozdělujeme na tolik částí, kolik udává číslo ve jmenovateli

daného zlomku.

Například pokud máme na číselné ose zobrazit obrazy zlomků 5

7,

5

2,

5

4 , vypadalo

by řešení takto:

„Při znázorňování zlomků na číselné ose je nutné respektovat skutečnost, ţe obrazem

čísla na číselné ose je bod, nikoliv interval, tedy např. obrazem čísla 2

1 a všech zlomků

s tímto zlomkem ekvivalentních je bod, nikoliv úsečka nebo obdélník, jak to ţáci někdy

činí.“58

5.5 Rozšiřování a krácení zlomku

Rozšiřovat zlomek znamená násobit čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od

nuly. Hodnota zlomku se rozšiřováním nemění.59

Např. n

n

2

1...

8

4

4

2

2

1

56 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 41. 57 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II s. 397. 58 Tamtéţ, s. 399. 59 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 25.

27

Rozšiřování i krácení zlomku lze dobře ilustrovat dělením téhoţ celku na různý počet

stejných dílů. Právě ilustrace pomůţe ţákům pochopit, ţe rozšiřováním ani krácením se

hodnota zlomku nemění.60

...8

4

4

2

2

1

Obrázek 2: Rozšiřování zlomku. Převzato z: KINDL, K.

Matematika. Přehled učiva základní školy.

V učebnici matematiky pro 7. ročník ZŠ od nakladatelství Prometheus mne zaujala

pěkná ilustrace vztahující se k rozšiřování zlomků:

Obrázek 3: Rozšiřování zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1].

Krátit zlomek znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly.

Hodnota zlomku se krácením nemění.61

5.6 Rovnost zlomků, porovnávání zlomků

Rovnost zlomkůb

aa

d

c

je definována takto: bcad

d

c

b

a .

Tato definice se však ve školské matematice příliš nepouţívá. Vhodnější je vysvětlit

rovnost zlomků pomocí grafického znázornění:62

60 ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s. 9. 61 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 26.

28

Obrázek 4: Rovnost zlomků. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak

ve školské matematice II.

Pokud nechceme pouţívat výše uvedenou definici pro rovnost zlomků, stačí oba

zlomky rozšířit tak, aby měli stejného jmenovatele, a odtud uţ snadno poznáme, zda se

sobě zlomky rovnají:

Obrázek 5: Porovnávání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O.

Matematika pro 7. ročník základní školy [1].

Zlomky můţeme porovnávat různými způsoby. Někdy je jeden způsob výhodnější

neţ ostatní. Výběr metody pro porovnávání závisí na podobě zlomků, které chceme

porovnat.

1) Zlomky můţeme porovnávat na číselné ose. Ze dvou znázorněných zlomků je

větší ten, jehoţ obraz je více vpravo.63

2) Při porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího

čitatele.64

3) Při porovnávání zlomků s různými jmenovateli můţeme postupovat dvěma

způsoby:

a) Pouţijeme tzv. „šipkové“ pravidlo: bcadd

c

b

a .

65

b) Zlomky převedeme na společného jmenovatele. Rozšířené zlomky

porovnáme. Stejná nerovnost platí i mezi původními zlomky.66

62 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s. 399. 63 Tamtéţ, s. 401. 64 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 19. 65 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s. 400.

29

4) Zlomky můţeme porovnávat vzhledem k jedné. Např. 20

19 je menší neţ

21

20,

jelikoţ do jedné celé chybí v prvním zlomku více (20

1) neţ ve druhém zlomku (

21

1).

67

Učivo o porovnávání zlomků můţeme ţákům přiblíţit i nespočetnými příklady

z reálného ţivota. Např. hodiny, pizza, čokoláda… Jistě si velmi rychle uvědomí, ţe

nechtějí být ošizeni a raději od kamaráda dostanou jednu třetinu místo jedné čtvrtiny

čokolády.

5.7 Základní pojmy

Základní tvar zlomku

Zlomek je v základním tvaru, jestliţe ho nemůţeme krátit, tzn. čitatel a jmenovatel jsou

nesoudělná čísla (jejich největší společný dělitel je jedna).68

Zlomek se rovná 1, jestliţe jeho čitatel je roven jmenovateli.69

Např. 111

11;1

4

4 .

Zlomek je roven celému číslu, jeţ je v čitateli, pokud je jmenovatelem zlomku 1.70

Např. 101

10;2

1

2 .

Společný jmenovatel

Nejmenší společný násobek jmenovatelů zlomků je jejich společný jmenovatel.71

Pravý zlomek

Zlomek, jehoţ čitatel je menší neţ jmenovatel, se nazývá pravý zlomek.72

Pravý zlomek je tedy menší neţ 1. Např. 27

3;

5

2;

4

1.

Nepravý zlomek

Zlomek, jehoţ čitatel je větší nebo roven jmenovateli, se nazývá nepravý zlomek.73

Nepravý zlomek je tedy větší nebo roven 1. Např. 15

15;

11

100;

3

4.

66 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 20. 67 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s. 401. 68 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 27. 69 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 41. 70 Tamtéţ, s. 42. 71 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 29. 72 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 41. 73 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 28.

30

Smíšené číslo je číslo sloţené z celého čísla a zlomku menšího neţ jedna. Např. 3

12 .

Dané smíšené číslo čteme „dvě a jedna třetina“. Platí, ţe kaţdé smíšené číslo můţeme

převést na nepravý zlomek a naopak, kaţdý nepravý zlomek můţeme převést

na smíšené číslo, popřípadě na celé.74

- Převod nepravého zlomku na smíšené číslo:

3

12

3

12

3

1

3

6

3

7

- Převod smíšeného čísla na zlomek:

4

15

4

3

4

12

4

3

4

34

4

33

Obrázek 6: Smíšené číslo. Převzato z: ODVÁRKO, O.

Matematika pro 7. ročník základní školy [1].

Opačný zlomek ke zlomku b

a je zlomek

b

a .

75

Převrácený zlomek ke zlomku b

a ( 0a ) je zlomek

a

b .

76

V učebnici matematiky pro 7. ročník ZŠ od nakladatelství Prometheus mne opět

zaujala následující ilustrace, která popisuje problematiku převráceného zlomku:77

Obrázek 7: Převrácený zlomek. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1].

74 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 42. 75 BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Aritmetika. Pracovní sešit pro základní školy a víceletá gymnázia, s. 40c. 76 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 42. 77 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 41.

31

Kmenný zlomek je zlomek ve tvaru n

1.78

Např. 42

1;

7

1;

2

1.

„Ve vyučování však kmenovému zlomku věnujeme malou pozornost. Současný

způsob zavedení pojmu zlomek ve škole pouţije pojem kmenového zlomku, ale jen jako

předstupeň pojmu zlomek. Pojem zlomku je totiţ zaloţen na konstrukci:

.11

1n

m

nm

n “

79

Desetinný zlomek

Zlomek, jehoţ jmenovatel je mocnina čísla 10, je desetinný.80

Např. 1000

3;

100

2;

10

1.

Kaţdý takovýto zlomek lze zapsat jako desetinné číslo.

5.8 Nula ve zlomku

Nula v čitateli

Pokud je čitatel zlomku roven nule, rovná se zlomek nule.81

Např. 010

0;0

4

0 .

Nula ve jmenovateli

Kaţdý určitě několikrát během školní docházky slyšet větu: „Nulou dělit nelze“.

Proč tomu tak je?

Například pokud by platil podíl 5 : 0 = x, musel by existovat součin x . 0 = 5.

Ale součin jakéhokoliv čísla s nulou je roven nule.

Neexistuje ani podíl 0 : 0 = x. Podílem by mohlo být kterékoli číslo, protoţe

např. 3 . 0 = 0, 11 . 0 = 0 atd. Tato skutečnost by ale byla v rozporu s definicí binární

operace, ze které vyplývá, ţe pro kaţdé dva prvky existuje v binární operaci nejvýše

jeden výsledek.82

Profesor Milan Hejný uvádí v Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky pěkný

příběh o tom, proč nejen ţe nulou nelze dělit, ale ţe je tento poţadavek i nesmyslný…

„Po několika neúspěšných pokusech jsme nakonec objevili způsob, jak vnitřní

rozpornost dělení nulou otevřít ţákům. Trik spočíval v tom, ţe jsme úlohu „rozdělit

spravedlivě 12 jahod mezi 0 dětí“ vloţili do série dobře řešitelných úloh: „rozdělit

78 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s. 37. 79 HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s. 348. 80 ŢENATÁ, E. Přehled učiva matematiky, s. 42. 81 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s. 42. 82 BĚLÍK, M. Celá a racionální čísla, s. 47.

32

spravedlivě 12 jahod mezi n dětí“, kde n bylo postupně 4, 3, 2 a 1. Případy 4, 3 a 2 byly

bez problémů. Případ n = 1 vyvolal diskuzi, protoţe „jaké pak dělení, kdyţ všechno

dostane jedno dítě“. Ale případ n = 0 byl po kratší třídní diskuzi všemi prohlášen

za nesmysl. Asi po měsíci jeden ţák přinesl učebnici, ve které bylo v rámečku napsáno

NULOU SE NESMÍ DĚLIT. Řekl, ţe by tam mělo být DĚLENÍ NULOU JE

NESMYSLNÉ. Právě poznání nesmyslnosti této operace je poznáním příčiny onoho

často opakovaného pravidla o dělení nulou.“83

5.9 Početní operace se zlomky

Výpočty se zlomky provádíme na základě následujících pravidel84

:

Sčítání bd

bcad

d

c

b

a Násobení

bd

ac

d

c

b

a

Odčítání bd

bcad

d

c

b

a

Dělení )0(: c

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

„Z ilustrací i zkušenosti víme, ţe pro mnoho ţáků je zlomek jako objekt aritmetických

operací pouze uspořádaná dvojice čísel. Pravidla pro práci se zlomky ţák uchovává

v paměti, ale nedovede:

- pouţít jazyk zlomků při modelování reálných situací – např. určit hmotnost cihly,

kdyţ víme ţe váţí 1kg plus půl cihly, nebo určit celek, kdyţ 7

2 z něj je 100 Kč;

- ze známých pravidel vyvodit další pravidla – např. z pravidla pro součet zlomků

vyvodit pravidlo pro rozdíl zlomků nebo pro součet zlomku a přirozeného

čísla.“85

5.9.1 Sčítání zlomků

Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme tak, ţe sečteme čitatele zlomků

a jmenovatele opíšeme.86

83 HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s. 341. 84 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 67. 85 HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s. 346-347. 86 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 33.

33

Zlomky s různými jmenovateli nejprve převedeme na společného jmenovatele,

poté čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme.87

Postup při sčítání zlomků s různými jmenovateli můţeme schematicky znázornit

následujícím způsobem:88

Obrázek 8: Schéma sčítání zlomků. Převzato z:

ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele k učebnicím matematiky pro 7. ročník základní školy.

Smíšená čísla můţeme sčítat dvěma způsoby:

1) Nejprve sečteme celky, poté zlomky. Součet upravíme a přičteme k celkům:

12

112

12

11211

12

1311

12

9411

12

3.31.411

4

35

3

16

2) Smíšená čísla vyjádříme ve tvaru zlomku a poté postupujeme jako při sčítání

zlomků:89

12

112

12

145

12

6976

12

23.319.4

4

23

3

19

4

35

3

16

Součet zlomků 4

1

3

1

lze graficky znázornit na třech geometrických modelech:

Tyčový model

Při konstrukci budeme postupovat takto:

- Tyč rozdělíme na třetiny a čtvrtiny .

- Nejmenší dílek ohraničený těmito body tvoří úsečku.

- Tuto úsečku naneseme po celé délce tyče a zjistíme, ţe se vejde dvanáctkrát.90

3

1= 4 dílky,

4

1 = 3 dílky, 4 + 3 = 7 dílků tzn.

12

7

4

1

3

1

87 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 34. 88 ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s. 27. 89 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 36. 90 HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2, s. 76.

34

Obrázek 9: Tyčový model sčítání zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M.

Teória vyučovania matematiky 2.

Kruhový model

Při konstrukci budeme postupovat takto:

- Kruh rozdělíme na třetiny a čtvrtiny tak, aby jeden řez byl společný.

- Podle velikosti dvou nejmenších výseků rozdělíme celý kruh.

- Do obrázku vyznačíme 3

1 a

4

1. Celkem jsme vyznačili 7 výseků, čili

12

7.91

Obrázek 10: Kruhový model sčítání zlomků. Převzato z:

HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.

Obdélníkový model

Při konstrukci budeme postupovat takto:

- Nakreslíme obdélník a rozdělíme ho na 12 čtverečků (3 čtverečky na výšku,

4 na délku).

- Vybarvíme 4 a 3 čtverečky, dohromady tedy 7 čtverečků, coţ odpovídá 12

7.92

Obrázek 11: Obdélníkový model násobení zlomků.

Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.

91 HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2, s. 76. 92 Tamtéţ, s. 77.

35

V učebnicích matematiky se často objevují nesprávná grafická znázornění sčítání

zlomků. „Je nutné si uvědomit, ţe při práci s modely nesčítáme modely, ale pouze jejich

počet, tedy části celku k sobě přidáváme, přisouváme, ale nesčítáme je, sčítáme pouze

čísla, kterými počet částí zapíšeme.“93

Správné grafické znázornění sčítání zlomků:

Obrázek 12: Správné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z:

MOLNÁR, J. Matematika 7, učebnice s komentářem pro učitele.

Nesprávné grafické znázornění sčítání zlomků:

Obrázek 13: Nesprávné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z:

ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1].

Toto grafické znázornění je chybné z těchto důvodů:

- „nemůţeme sčítat konkrétní předměty, ale pouze jejich počet,

- je porušen princip rovnosti mnoţin a ekvivalence mnoţin,

- ke znázornění příkladu je třeba dvakrát tolik prvků.“94

5.9.2 Odčítání zlomků

Metodický postup při odčítání zlomků je velmi podobný postupu uvedeného

při sčítání zlomků. Grafická znázornění jsou při odčítání poněkud sloţitější, proto je

vhodné při výkladu vyuţívat motivační úlohy zaloţené spíše na manipulativní činnosti

s konkrétními předměty či modely.95

93 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III, s. 464. 94 Tamtéţ, s. 465. 95 Tamtéţ, s. 468.

36

Pokud úlohy vycházejí z praktických činností běţného ţivota, ţáci si danou situaci

lépe představí. Např.: „Snědla jsem 8

5 pizzy, jaká část pizzy zůstala na talíři?“

S ţáky můţeme řešit i slovní úlohu typu:

„V termosce bylo l2

12 čaje. Jirka si nalil l

4

1, Tereza l

3

1 čaje, Milan l

4

1 čaje a

Pepík l2

1 čaje. Kolik litrů čaje v termosce zůstalo?“

96

Zápis:

v termosce bylo …………. l2

12 čaje

postupně bylo odlito …….. l4

1, l

3

1, l

4

1, a l

2

1

čaje

Kolik litrů čaje zůstalo v termosce?

Řešení: 6

11

6

7

12

14

12

16

12

30

12

6343

2

5)

2

1

4

1

3

1

4

1(

2

12

Zkouška:

2

12

2

5

6

15

12

30

12

634314

2

1

4

1

3

1

4

1

6

7

2

1

4

1

3

1

4

1

6

11

Odpověď: V termosce zůstalo 2

12 l čaje.

V učebnicích matematiky se často objevují nesprávná grafická znázornění i odčítání

zlomků.

Nesprávné grafické znázornění odčítání zlomků:

Obrázek 14: Nesprávné grafické znázornění odčítání zlomků.

Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy.

96 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 36.

37

Správné grafické znázornění odčítání zlomků:

Obrázek 15: Správné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z:

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III.

5.9.3 Násobení zlomků

Násobení zlomku přirozeným číslem

„Ve školské matematice se násobení zlomků zavádí a demonstruje nejprve

na příkladech násobení zlomku přirozeným číslem. To se, podobně jako násobení

přirozených čísel, ukazuje nejprve na základě sčítání několika stejných sčítanců.“97

Např. 5

3

5

1

5

1

5

1

5

13 .

Daný příklad můţe ilustrovat např. úloha: „Pizza je rozdělena na pětiny. Sním tři

kousky. Jakou část pizzy jsem snědl?“

Dostatek motivačních a aplikačních úloh podpoří správné pochopení věty o násobení

zlomku přirozeným číslem: Zlomek násobíme přirozeným číslem tak, ţe tímto číslem

vynásobíme čitatel zlomku a jmenovatel opíšeme.98

Např. 5

6

5

2.3

5

23 .

Násobení smíšeného čísla přirozeným číslem můţeme znázornit schematickým

náčrtem. Zde by se mohlo jednat o úlohu, kdy je třeba vypočítat obsah obdélníkové

podlahy o daných rozměrech (2 m, 4

34 m).

99

Obrázek 16: Násobení smíšeného čísla přirozeným číslem. Převzato z: BINTEROVÁ, H.

Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia.

97 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 136. 98 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 36. 99 BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia, s. A-30.

38

Násobení zlomku zlomkem

„Zlomek vynásobíme zlomkem tak, ţe vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele

jmenovatelem.“100

Při násobení můţeme zlomky krátit. Krátit můţeme jak jednotlivé zlomky (pokud jiţ

nejsou v základním tvaru), tak i mezi sebou (tzv. krácení kříţem). Ţáky upozorníme

i na případy, kdy krátit nelze:

Lze krátit Nelze krátit

15

6

6

5

15

6

6

5

10

4

4

5

10

4

4

5

6

65

6

65

4

45

4

45 101

Násobení zlomku zlomkem můţeme zobrazit na různých ilustračních modelech:

Model součinu jako obsahu

Příklad: 15

8

3

2

5

4 .

Obrázek je spojením tyčového a obdélníkového modelu (celkově jde o obdélníkový

model, ale kaţdá strana obdélníka se chápe jako tyčový model). Z obdélníka 4x3, který

reprezentuje zlomek 5

4, jsme vybrali jeho spodní dva řádky, tj.

3

2.102

Obrázek 17: Model součinu jako obsahu. Převzato z:

HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.

100 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1], s. 38. 101 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 138. 102 HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s. 78-79.

39

Model součinu jako část z části

Příklad: 12

1

4

1

3

2 .

Součin 4

1

3

2 chápeme jako nalezení dvou třetin z jedné čtvrtiny kruhu . Danou

situaci můţeme graficky znázornit takto:103

Obrázek 18: Model součinu jako část z části. Převzato z:

HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.

Příklad:

7

2

14

4

7

4

2

1 .

Znázorněte graficky jednu polovinu ze čtyř sedmin .104

Ţáci by měli pochopit, ţe součin zlomků je „část z části“. Při násobení zlomků

bychom měli vést ţáky k tomu, aby dané zlomky před samotným násobením zkrátili.105

5.9.4 Dělení zlomků

Dělení zlomku přirozeným číslem

Dělení zlomku přirozeným číslem ukáţeme na praktických úlohách.

Příklad:

1) 3

1

6

2

2

1

3

2

1

2:

3

22:

3

2

103 HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s. 79. 104 ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7. 1. díl, s. 146. 105 ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s. 79.

40

2) 4

1

12

3

3

1

4

3

1

3:

4

33:

4

3

3) 8

3

2

1

4

3

1

2:

4

32:

4

3

Tyto příklady na dělení zlomků přirozeným číslem můţeme znázornit i graficky,

přičemţ budeme vycházet z praktických úloh.

1) Dvě třetiny dortu rozdělit na dvě části.

Obrázek 19: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV:

2) Tři čtvrtiny litru mléka rozdělit na tři části.

Obrázek 20: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z:

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV.

3) Tři čtvrtiny pizzy rozdělit na dvě části.106

Obrázek 21: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z:

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV.

Dělení přirozeného čísla zlomkem

Je vhodné nejprve uvést příklady, na kterých ţáci snadno pochopí princip dělení

přirozeného čísla zlomkem.107

Například chceme-li rozlít 15 litrů moštu do lahví

o objemu 1 litr, potřebujeme jich 15, neboť 151:15 . Pokud však chceme pouţít láhve

106 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 139. 107 Tamtéţ, s. 139.

41

o objemu 2

1l, budeme jich potřebovat 30, neboť 30

2

1:15 . Analogicky můţeme dále

pokračovat (rozlévat mošt do lahví o objemu 3

1l,

4

1l,

5

1l,

2

3l apod.). Získané údaje

můţeme shrnout do tabulky.108

Počet litrů moštu 15 15 15 15 15 15

Objem jedné lahve [l] 1 2

1

3

1

4

1

5

1

2

3

Počet lahví [ks] 1 30 45 60 75 10

Z tabulky je patrné, ţe 302

1:15 . Víme, ţe 30215 , tedy

1

215

2

1:15 .

Pokud bychom chtěli plnit do lahví o objemu 4

1l, spotřebovali bychom jich 60,

protoţe 601

415

4

1:15 .

Pokud bychom měli k dispozici lahve o objemu 2

3l, spotřebovali bychom jich 10,

protoţe 103

215

2

3:15 .

Z těchto uvedených příkladů lze vyvodit pravidlo, ţe přirozené číslo dělíme

zlomkem tak, ţe jej vynásobíme zlomkem převráceným.109

Dělení zlomku zlomkem

Operaci dělení budeme chápat jako operaci inverzní k násobení. Úloha 3

2:

5

6

znamená nalézt takové číslo, které po vynásobení zlomkem 3

2 dá součin

5

6, nebo najít

takové číslo, aby 3

2 toho čísla bylo

5

6. Tedy:

3

2 hledaného čísla je

5

6,

3

1 hledaného

čísla je 2.5

6, hledané číslo je

5

9

10

18

2.5

3.6 .

110

108 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 140. 109 Tamtéţ, s. 140. 110 HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s. 79.

42

Zlomek zlomkem dělíme tak, ţe jej vynásobíme zlomkem převráceným k druhému

zlomku.111

Příklad: „Hasiči pouţili na vyčerpání vody ze zatopeného sklepa čerpadlo, které

vyčerpalo za 4

16 minuty

4

120 m

3 vody. Kolik m

3 vody vyčerpá toto čerpadlo za 1

minutu?“112

Zápis: výkon čerpadla ….. 4

120 m

3 vody ….. za

4

16 minuty

Kolik m3 vody vyčerpá čerpadlo za 1 minutu?

Řešení: 25

63

25

81

25

4

4

81

4

25:

4

81

4

16:

4

120 .

Zkouška: 4

120

4

81

4

25

25

81

4

16

25

63 .

Odpověď: Čerpadlo za 1 minutu vyčerpá 25

63 m

3 vody.

5.10 Sloţený zlomek

Sloţený zlomek má v čitateli nebo ve jmenovateli zlomek.

Při zjednodušování sloţeného zlomku )0,0( dc

d

cb

a

můţeme postupovat několika

způsoby:113

Zlomek v čitateli dělíme zlomkem ve jmenovateli:

6

5

3

5

2

1

5

3:

2

1

5

32

1

Celé číslo v čitateli (nebo ve jmenovateli) zapíšeme ve tvaru zlomku a pokračujeme

jako v předchozím případě:

3

216

3

50

3

5

1

10

5

3:

1

10

5

31

10

5

3

10

21

4

3

1

7

4

1

3:

7

4

1

37

4

3

7

4

111 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 140. 112 ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7. 1. díl, s. 153. 113 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 40.

43

Při úpravě sloţeného zlomku můţeme postupovat i takto:114

5.11 Zápis zlomku desetinným číslem

„Právě všechna racionální čísla lze zapsat jako čísla s ukončeným

nebo neukončeným periodickým desetinným rozvojem.“115

Při zapisování zlomku desetinným číslem lze postupovat dvěma způsoby:

- zlomek upravíme na desetinný zlomek a pak vyjádříme desetinným číslem,

- čitatele dělíme jmenovatelem.116

Všechny zlomky nelze zapsat ve tvaru desetinného zlomku. Zlomek lze převést

do tvaru desetinného zlomku jen tehdy, kdyţ rozklad na prvočinitele jeho jmenovatele

v základním tvaru je sloţen jen z prvočísel 2 nebo 5.117

Desetinné číslo, jeţ obdrţíme po vydělení čitatele jmenovatelem, můţe být:

a) Číslo s ukončeným desetinným rozvojem. Dělení je ukončené (beze zbytku).

Tento případ nastane, pokud lze zlomek rozšířit tak, aby ve jmenovateli zlomku

byla mocnina čísla 10, např. 25,0100

25

4

1 .

b) Číslo s ryze periodickým desetinným rozvojem. Dělení je neukončené a hned

za desetinnou čárkou se opakuje jedno číslo nebo skupina čísel. Číslo

nebo skupinu čísel, které se opakují, nazýváme periodou a značíme ji

vodorovnou čarou, např. 3,0....33333,03

1 .

c) Číslo s neryze periodickým desetinným rozvojem. Dělení je neukončené,

ale periodu předchází číslo nebo skupina čísel (tzv. předperioda), která se

neopakuje, např. 691,0...916666,012

11 .

118

114 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s. 142. 115 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 83. 116 ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7. 1. díl, s. 108. 117 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ, s. 66. 118 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 82-83.

44

Perioda můţe začínat na libovolném desetinném místě a můţe být libovolně dlouhá.

Při dělení se tedy můţe stát, ţe perioda začíná tak pozdě, ţe se k ní vůbec nemusíme

dopracovat. Při kaţdém dělení ale perioda dříve či později nastane.

S problematikou čísel, která mají zápis nekonečný a neperiodický

(např. ...121111112121121,0 ) se ţáci seznamují později. Jsou to čísla iracionální,

která nelze zapsat ţádným zlomkem.119

Příklad:

Periodické číslo 45,1 lze převést na zlomek následující způsobem:120

11

16

99

144

99:/14499

/45,145100

45,1...454545,1

x

x

x

xx

x

119 BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia, s. A-23. 120 HAVRLANT, L. Racionální čísla. In Matematika polopatě [online]. [cit. 2013-03-08] Dostupné z www: <http://www.matweb.cz/racionalni-cisla#gsc.tab=0>.

45

6. Zlomky ve vyučování

Zlomky pouţíváme v běţném hovoru denně v rozličných tématech. Sport,

nakupování, vaření, cestování atd. Ţáci vědí, ţe fotbalové utkání má dva poločasy a

hokejové utkání se dělí na třetiny.121

V obchodě si můţou koupit půlku chleba, kilo

a půl jablek, osminku másla či čtvrt litru mléka. V restauraci si i mohou objednat třetinu

litru limonády a číšník jim přinese do tři čtvrtě hodiny hlavní chod. Takovéto příklady

ze ţivota můţeme s výhodou vyuţít při výuce zlomků, konkrétně při určování části

z celku (příklady s vyuţitím převodů jednotek).

Vhodná pomůcka při výuce zlomků je tzv. zlomkovnice. Nejčastěji ji tvoří šest kruhů

odlišných barev. Zlomkovnice mohou být z různých materiálů, ale pro ţáky jsou

nejdostupnější ty z papíru. Kaţdý ţák si pod vedením učitele můţe vytvořit svoji vlastní

tak, ţe jeden kruh nechá celý a zbylých pět rozstříhá na poloviny, třetiny, čtvrtiny,

šestiny a osminy Z důvodu rychlé kontroly je lepší předem se domluvit na barvě

kaţdého z kruhů (např. zelený kruh bude rozdělen na poloviny atd.). Zlomkovnici

vyuţijeme při zavedení pojmu zlomek (ţáci vidí, jak zlomky vznikají – dělením celku,

stříháním), při porovnávání zlomků, rozšiřování a krácení, k vytvoření pojmu smíšené

číslo apod.122

Ţáci mohou pracovat i s barevnými kostkami a upravovat daný model (stavbu) tak,

aby např. jedna třetina kostek byla modrých.123

Stavbu z kostek mohou také dokončit,

pokud vědí, ţe je zatím postavena polovina, pětina apod.

Obrázek 22: Stavba z kostek. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice.

Dobré vyuţití má při výuce zlomků čtverečkový papír. Ţáci řeší úlohy typu –

„Urči zlomkem, jakou část obdélníku tvoří vybarvený obrazec:“124

121 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 22. 122 METODICKÝ PORTÁL RVP. Výroba a vyuţití zlomkovnice. [online]. [cit. 2013-01-28]. Dostupné z www: <http://clanky.rvp.cz/clanek/c/Z/13661/vyroba-a-vyuziti-zlomkovnice.html/> 123 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s. 13. 124 HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám, s. 157.

46

Obrázek 23: Část z celku. Převzato z: HUSAR, P.

Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám.

Jiné vyuţití čtverečkového papíru je takové, ţe se na něm vyznačí čtverec (obdélník)

a ţáci vybarvují jeho polovinu, čtvrtinu…. Úloha se dá řešit různými způsoby a někteří

ţáci mohou přijít i na nezvyklá řešení:125

Pokud nemáme k dispozici čtverečkový papír, můţeme pouţít i obyčejný. Jednou

z činností můţe být, ţe ţáci ho několikrát přeloţí, poté rozloţí, vybarví jednotlivé části

dvěma či více barvami (mohou vytvořit vzory) a poté odpovídají na otázky typu: „Jaká

část je vybarvena? Jaká část není vybarvena? Jaká část je vybarvena jen červeně, zeleně

atd.?“126

Ţáci si svá řešení mohou kontrolovat i navzájem mezi sebou v lavici.

Ţáci ke kontrole správnosti výpočtu u jednoduchých příkladů mohou pouţívat

tzv. tabulku se samokontrolou. Jedná se o schéma se čtyřmi zlomky, které se sečtou

v řádcích a sloupcích a součty takto vzniklých zlomků se sobě rovnají.127

Tabulku

můţeme pouţít i při násobení zlomků.

Obrázek 24: Tabulka se samokontrolou. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R.

Co, proč a jak ve školské matematice III.

125 FUCHS, E. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání, s. 62. 126 Tamtéţ, s. 59. 127 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III, s. 466.

47

Nedílnou součástí nejen tematického celku „Zlomek“ jsou slovní úlohy či slovní

zadání příkladů. Ţáky jistě zaujme úloha typu: „Spravedlivě rozděl tři koláče čtyřem

dětem.“ Ţáci mohou nacházet různá řešení a jejich pravdivost poté obhajovat.128

Aktivitu ţáků podněcuje úloha, kdy mají vytvořit slovní úlohu k výpočtu.129

Např. „Utvoř slovní úlohu k zadání 5

2

3

1 .“

Neméně zajímavou činností je vytváření slovních úloh k obrázku.130

Např. „Napište

znění slovní úlohy, jejíţ řešení mohlo být zaznamenáno tímto obrázkem:

Obrázek 25: Zadání slovní úlohy obrázkem. Převzato z: TICHÁ, M.

Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice.

Jako pomůcka při výuce mohou poslouţit i obyčejné papírové hodiny – ţáci zapisují

ve zlomcích, jakou část z 12 hodin ukazují ručičky hodin na ciferníku.131

Obrázek 26: Hodiny. Převzato z: BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Aritmetika.

Pracovní sešit pro základní školy a víceletá gymnázia.

Tvrzení, ţe při rozšiřování zlomku se jeho hodnota nemění, můţeme dokázat pomocí

překládání prouţku papíru na potřebný počet stejných dílů.132

Např. bychom dovedli

názorně předvést, ţe 4

2

2

1 nebo

8

6

4

3 .

Při výuce zlomků můţeme vyuţít mezipředmětový vztah s hudební výchovou. Ţáci

znají noty půlové, čtvrťové, osminové atd. Mohou jejich délky zapsat zlomkem a

jednotlivé noty doplňovat do notového zápisu tak, aby byl zachován dvoučtvrťový,

tříčtvrťový či čtyřčtvrťový takt.133

128 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s. 9. 129 Tamtéţ, s. 29. 130 Tamtéţ, s. 33. 131 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 24. 132 Tamtéţ, s. 26. 133 Tamtéţ, s. 32 – 33.

48

Úlohu „Vyjádřit zlomkem vybarvenou část z obrazce.“ známe všichni. Můţe být ale

zadána i poněkud netradičně, a to vzhledem k podobě celku. Takové zadání můţe

vypadat např. takto:134

Obrázek 27: Netradiční zadání podle S. Lamon. Převzato z: TICHÁ, M.

Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice.

Historickou poznámku o kmenných zlomcích doplníme i o zajímavé úlohy, jako jsou

tzv. egyptské trojúhelníky či egyptské čtverce. Ke stranám trojúhelníku (čtverce) jsou

napsány různé kmenné zlomky. Daný trojúhelník (čtverec) je egyptský, jestliţe součty

zlomků na stranách (které zapíšeme k vrcholům odpovídajících si stran) jsou téţ

kmenné zlomky.135

Obrázek 28: Příklad neegyptského trojúhelníku. Převzato z:

TICHÁ, M.: Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice.

Myslím si, ţe je zajímavé ţákům představit i poněkud sloţitější sloţené zlomky:

2

11

11

11

Při řešení těchto sloţitějších sloţených zlomků si mnozí ţáci procvičí svoji trpělivost a

schopnost udrţet přehlednost ve svém zápisu během řešení.

134 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s. 16. 135 Tamtéţ, s. 17.

49

Oţivení hodin a běţného počítání se zlomky přináší vyuţití tzv. logických pyramid.

Logický klíč, podle kterého doplňují chybějící čísla do pyramidy, ţáci objevují sami.136

Obrázek 29: Logická pyramida. Převzato z: HUSAR, P.

Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám.

Podobně lze v hodinách vyuţít i tzv. magické čtverce. Ţáci doplňují čísla

do čtverečků tak, aby součet ve všech řádcích, sloupcích a úhlopříčkách byl např. 2.

Zlomky zapisují v základním tvaru.137

Obrázek 30: Magický čtverec. Převzato z: HUSAR, P.

Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám.

Zadávání početních hádanek pomáhá ţákům upevňovat základní pojmy

a procvičovat početní operace se zlomky:

„Jaké číslo si myslím:

a) přičtu-li k němu jeho třetinu a dostanu číslo 16,

b) zmenším-li ho o jeho pětinu a dostanu číslo 16,

c) zvětším-li ho o jeho tři sedminy a dostanu číslo 20?

Kdyţ z celku odebereme jeho 11 patnáctin, dostaneme číslo 20. Urči velikost celku.

Kdyţ k celku přidáme jeho 4 pětiny, dostaneme číslo 108. Urči velikost celku.“138

136 HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám, s. 41. 137 Tamtéţ, s. 41. 138 Tamtéţ, s. 58.

50

Ţáky baví i různé tematicky zaměřené hry. Mezi nejznámější patří zlomkové

domino, pexeso či Riskuj. Náměty můţeme vţdy obměnit podle toho, kterou dovednost

si ţáci potřebují upevnit. Porovnávání zlomků si ţáci procvičí ve hře Porovnej.

„Pomůckou jsou kartičky, na kterých jsou zapsána buď čísla nebo výrazy s čísly (kladné

zlomky, racionální čísla, součiny, součty, mocniny, odmocniny, …) – vţdy podle toho,

jaké učivo je třeba procvičit. Kartičky se promíchají, dají na kupičku, soupeři si berou

vţdy po jedné kartě a poloţí je vedle sebe. Kdo má vyšší hodnotu, obě kartičky bere.

Je – li hodnota stejná, přidají oba hráči další 2 karty a porovnají hodnoty posledních

karet. Hra končí buď vyčerpáním časového limitu, nebo získá-li jeden ze soupeřů

všechny karty. Je lépe, hrají-li proti sobě dvojice, neboť je více zajištěna správnost

rozhodnutí o větší hodnotě karty. Jde o hru s prvky náhody, vyhrát můţe i slabší hráč,

coţ můţe zlepšit jeho vztah k matematice.“139

Při výuce můţeme vyuţít počítačové programy zaměřené na jednoduché

procvičování učiva. Ţák je motivován především atraktivní animací a bezprostřední

zpětnou vazbou na svůj výkon. Mnoho odkazů na pěkné výukové programy

(v angličtině) týkající se zlomků nalezneme např. na:

http://www.naberanku.cz/vyuka/matematika/zaci/mat07.htm.

139 VÁVROVÁ, A. Hry ve vyučování matematice jako významná strategie vedoucí k rozvoji klíčových kompetencí ţáků, s. 8 – 9.

51

EMPIRICKÁ ČÁST

52

7. Didaktický test

Jedním s cílů mé diplomové práce je zjistit aktuální úroveň znalostí ţáků týkající se

zlomků. K naplnění tohoto cíle jsem se rozhodla vyuţít výsledků získaných

z nestandardizovaného didaktického testu, který jsem sama vytvořila.

Test byl zadán vzorku ţáků ze 7. ročníku základní školy a vzorku ţáků z 2. ročníku

osmiletého gymnázia s cílem zjistit úroveň jejich znalostí v této oblasti a porovnat jejich

výsledky. V souvislosti s porovnáním výsledků ţáků dvou typů škol jsem formulovala

věcnou hypotézu, která je na základě statistických hypotéz ověřována v jedné

podkapitole empirické části diplomové práce.

Didaktický test na zlomky vyplnilo celkem 106 ţáků, z toho 42 testů vyplnili ţáci

FZŠ a MŠ Holečkova 10, Olomouc a 64 testů vyplnili ţáci osmiletého Slovanského

gymnázia, Pasteurova 19, Olomouc (po dvou třídách na kaţdé škole).

Na vypracování měli ţáci všech čtyř tříd cca 40min (byl zadáván v běţné vyučovací

hodině). Ţáci ZŠ Holečkova probírali zlomky nedávno, bylo to pro ně tedy opakování.

Ţáci sekundy probírali zlomky na konci primy, čili jim byla písemná práce na toto téma

předem oznámena s tím, aby si učivo zopakovali.

Celé zadání didaktického testu je uvedeno v Příloze č. 1. Kaţdý ţák dostal test na

samostatném listu papíru formátu A4 (potištěný z obou stan). Kalkulačky nebyly

dovoleny. Veškeré pomocné výpočty, řešení i výsledky psali ţáci přímo do zadání.

Didaktický test obsahuje 8 testových úloh, jedná se o otevřené úlohy se stručnou

odpovědí (produkční i doplňovací). Didaktický test je objektivně skórovatelný

a monotematický. Mým záměrem bylo otestovat základní znalosti a dovednosti týkající

se učiva o zlomcích.

Bodování a vyhodnocení testu

Ţáci mohli celkem získat 32 bodů, z toho 16 bodů na první stránce za: grafické

znázornění zlomku jako části z celku, vyznačení zlomku na číselné ose, porovnávání

zlomků, uţití znalosti rozšiřování a krácení zlomku a početní operace se zlomky.

Na druhé straně testu mohli ţáci získat 11 bodů za tři slovní úlohy s gradující obtíţností.

Maximum bodů, které mohli ţáci získat za jednotlivé příklady, je uvedeno v následující

tabulce:

Číslo úlohy 1. 2. 3. 4. 5.A) 5.B) 5.C) 6. 7. 8. Celkem

Maximum bodů 3 2 3 1 4 5 3 4 3 4 32

53

Kaţdou testovou úlohu vyhodnocuji v samostatné kapitole, kde je uvedeno originální

znění úlohy, bodování, tabulka s výsledky (četnost jednotlivých bodů v jednotlivých

třídách, průměrné počty bodů, procentuální úspěšnost ţáků při řešení) a sloupcový graf

s tabulkou dat znázorňující procentuální zastoupení ţáků s danými body v jednotlivých

třídách.

Při analýze ţákovských řešení mne nezajímala pouze správná řešení, ale zaměřila

jsem se hlavně na chybná řešení. Pokud se v ţákovských řešeních objevila určitá chyba

vícekrát, uvádím tuto skutečnost v přehledné tabulce s hodnotami pro kaţdou třídu.

V rámci vyhodnocování testových úloh přikládám také ukázky konkrétních ţákovských

řešení. U kaţdého obrázku ţákovského řešení je uvedeno, zda se jedná o řešení ţáka

základní školy (ZŠ) nebo zda se jedná o řešení ţáka osmiletého gymnázia (G).

7.1 Úloha 1

První úloha je zaměřena na určení části z celku. Celek (kruh) je rozdělen

na dvanáctiny a ţáci musí správně vybarvit jeho jednu šestinu a jednu třetinu.

Zadání

1) Do obrázku vyznač barevnou tuţkou 6

1 a jinou barvou do stejného obrázku

3

1.

Jaká část z celku zůstala nevybarvena?

Bodování

Dohromady mohli ţáci získat 3 body: 1 bod za vyznačení jedné třetiny, 1 bod

za vyznačení jedné šestiny a 1 bod za správnou odpověď.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

3 6 11 23 20

2 8 5 6 9

1 3 2 1 2

0 2 5 1 2

Průměrný počet b. 1,95 1,96 2,65 2,42

Úspěšnost při řešení 65 % 65,3 % 88,3% 80,7 %

54

První úlohu vyřešilo bezchybně 40,5% ţáků ZŠ (17 ţáků ze 42) a 67,2% ţáků

osmiletého gymnázia (43 ţáků z 64). Nejlepšího výsledku dosáhli ţáci 2.A8 osmiletého

gymnázia. Ţáci 7.A ZŠ při řešení první úlohy často zapomínali napsat odpověď, coţ se

projevilo i v celkovém hodnocení.

Ţákovská řešení

Správná řešení

První úlohu řešila většina ţáků zpaměti. Jen několik ţáků na gymnáziu uvedlo

početní postup (jak přišli na to, kolik částí vybarvit), nebo postup, jímţ zjistili odpověď

(jaká část z celku zůstala nevybarvena). V následující tabulce je uveden počet ţáků,

kteří uvedli postup při řešení:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Uvedlo postup řešení 0 0 7 3

(G)

3 2 1 0

7.A 31,6% 42,1% 15,8% 10,5%

7.B 47,8% 21,7% 8,7% 21,7%

2.A8 74,2% 19,4% 3,2% 3,2%

2.B8 60,6% 27,3% 6,1% 6,6%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Počet

ţák

ů (

%)

Zastoupení ţáků s danými body

55

(G)

Pokud ţáci nezapomněli napsat odpověď, odpověděli buď jedním slovem, tj. „2

1“

nebo celou větou, tj. „Zůstala 2

1.“ nebo „Zůstala nevybarvena

2

1.“

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet odpovědí 9 16 26 25

Jednoslovné odpovědi 0 10 6 6

Odpovědi ve větě 9 6 20 19

(ZŠ)

(G)

56

Ne všichni ţáci popsali, která vybarvená část značí 3

1 a

6

1 kruhu. Počet ţáků, kteří

uvedli popis částí kruhu je uveden v následující tabulce:

(ZŠ)

(G)

(G)

Chybná řešení

Nejčastější chybou bylo, ţe ţák vybarvil tři a šest políček. Tuto chybu jsem předem

předpokládala, a tudíţ pro mě bylo překvapením, ţe se jí dopustilo poměrně málo ţáků.

V následující tabulce je vidět, ţe nejvíce takto chybujících ţáků bylo v 7.B:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet ţáků 8 7 28 18

57

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet chybných řešení 1 5 1 1

(ZŠ)

(ZŠ)

(G)

Dvakrát se objevila chyba, kdy ţák správně vyznačil části kruhu, ale uvedl chybnou

odpověď. Daná chyba je vidět na následujících obrázcích řešení ţáků:

58

(ZŠ)

(G)

Ţáci při řešení první úlohy zapomínali na odpověď. Šlo o poměrně častou chybu,

kterou jsem spíše neočekávala. Myslím si, ţe byla způsobena nepozorností ţáků. Zadání

úlohy si například nepřečetli aţ do konce nebo se k zadání po vyřešení úlohy

jiţ nevrátili, aby zkontrolovali, zda splnili vše, co je poţadováno. Následující tabulka

udává počet ţáků, kteří nenapsali odpověď:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Bez odpovědi 10 7 5 8

7.2 Úloha 2

Druhá úloha testuje, jak se ţáci orientují na číselné ose, a zda jsou na ní schopni

přesně vyznačit obraz daného zlomku jako reprezentanta racionálního čísla.

Zadání

2) Na číselné ose vyznač zlomek 5

2.

59

Bodování

Druhý úkol byl za 2 body. Při chybném řešení ţáci získali 0 bodů.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

2 18 14 28 27

0 1 9 3 6

Průměrný počet b. 1,95 1,22 1,81 1,64

Úspěšnost při řešení 97,5 % 61 % 90,5 % 82 %

Druhou úlohu vyřešilo bezchybně 76,2% ţáků ZŠ (32 ţáků ze 42) a 86% ţáků

osmiletého gymnázia (55 ţáků z 64). Aţ na třídu 7.B ZŠ byla úspěšnost při řešení druhé

úlohy mezi třídami poměrně vyrovnaná. Nejlepšího výsledku dosáhli ţáci 7.A ZŠ.

Ţákovská řešení:

Interval 0-1 na číselné ose měli ţáci předem rozdělený na desetiny. Jejich úkolem

tedy bylo zjistit, ţe 10

4

5

2 a daný zlomek tak měli správně přiřadit ke čtvrté „čárce“

na číselné ose.

Správná řešení

Někteří ţáci vyznačili zlomek dvě pětiny jako část z celku (interval). Pravděpodobně

předpokládali, ţe druhá úloha se řeší podobně jako předchozí. I přestoţe byl můj záměr

jiný, dostali ţáci za tuto odpověď plný počet bodů, protoţe dvě pětiny správně přiřadili

ke čtvrté „čárce“ na číselné ose. V následující tabulce je uveden počet ţáků, kteří danou

2 0

7.A 94,7% 5,3%

7.B 60,9% 39,1%

2.A8 90,3% 9,7%

2.B8 81,8% 18,2%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

60

úlohu vyřešili správně a také počet těch, kteří znázornili obraz zlomku na číselné ose

jako interval i jako bod:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Správně řešilo 18 14 28 27

Vyznačení intervalem 10 1 6 0

(ZŠ)

(ZŠ)

(G)

(G)

Jeden ţák základní školy a tři ţáci osmiletého gymnázia řešili druhou úlohu tak,

ţe zlomek 5

2 převedli na desetinné číslo:

(ZŠ)

(G)

61

Chybná řešení

U tří ţáků základní školy pravděpodobně došlo k zaměnění zlomku 5

2 za desetinné

číslo 5,2 a toto desetinné číslo na číselnou osu vyznačili i přes to, ţe na ní byl jasně

vyznačen pouze interval 0-1:

(ZŠ)

(ZŠ)

Objevila se i takováto chybná řešení:

(G)

(G)

Na tomto obrázku je uveden i postup, kterým ţák dospěl k chybnému řešení:

(G)

7.3 Úloha 3

Třetí úloha prověřuje znalosti a dovednosti ţáků při porovnávání zlomků.

Zadání

3) Doplň znaménka <, >, =

5

6

6

5

2

202

1

101

4

1

3

1

62

Bodování

Dohromady mohli ţáci získat 3 body: za kaţdé správně umístěné znaménko 1 bod.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

3 11 12 30 31

2 4 5 1 0

1 3 5 0 2

0 1 1 0 0

Průměrný počet b. 2,32 2,22 2,97 2,88

Úspěšnost při řešení 77,3 % 74 % 99 % 96 %

Z uvedené tabulky a grafu vyplývá, ţe v porovnávání zlomků jsou zběhlejší ţáci

osmiletého gymnázia. Třetí úlohu vyřešilo bezchybně 54,8% ţáků ZŠ (23 ţáků ze 42) a

95,3% osmiletého gymnázia (61 ţáků z 64). Téměř stoprocentního úspěchu dosáhli ţáci

2.A8 osmiletého gymnázia.

Ţákovská řešení:

Vybrané tři příklady na porovnávání zlomků nejsou těţké. Všechny se daly řešit

pomocí „šipkového“ pravidla. U prvního příkladu (5

6

6

5 ) se ţáci mohli orientovat dle

toho, zda se jedná o pravý nebo nepravý zlomek, mohli převést zlomek 5

6 na smíšené

číslo, oba zlomky mohli upravit na společného jmenovatele apod. U druhého příkladu

( 2

202

1

101 ) mohli ţáci zkrátit zlomek

2

202 nebo opět převést oba zlomky

3 2 1 0

7.A 57,9% 21,1% 15,8% 5,3%

7.B 52,2% 21,7% 21,7% 4,3%

2.A8 96,8% 3,2% 0,0% 0,0%

2.B8 93,9% 0,0% 6,1% 0,0%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

63

na společného jmenovatele. Zlomky v posledním, třetím příkladu (4

1

3

1 ) si ţáci opět

mohli převést na společného jmenovatele. Ţáci si také mohli například poloţit otázku:

„Co je víc? 3

1 nebo

4

1 čokolády?“ Třetí příklad jsem do testu zařadila schválně, jelikoţ

v něm ţáci často chybují (ví, ţe 4 > 3 a podle toho doplní i znaménko nerovnosti).

Správná řešení

Výsledky psali ţáci obou škol většinou přímo hned do zadání (bez pomocných

výpočtů). Jen několik ţáků si ověřovalo správnost svého úsudku převedením zlomků

na společného jmenovatele. Následující tabulka udává počet ţáků, kteří třetí úlohu řešili

pomocí převedení zlomků na společného jmenovatele:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet ţáků 4 4 2 6

(G)

Jen jediný ţák (ZŠ) si pomohl převedením nepravého zlomku na smíšené číslo:

(ZŠ)

Chybná řešení

Následující tabulka udává počet chyb u daných příkladů:

Třída

Příklad

7.A 7.B 2.A8 2.B8

Počet chyb

5

6

6

5 3 1 1 2

2

202

1

101 4 9 0 0

4

1

3

1 7 8 0 2

Z uvedené tabulky vyplývá, ţe nejčastěji ţáci chybovali u třetího příkladu a nejméně

u prvního příkladu.

64

(ZŠ)

(G)

Z řešení několika ţáků ZŠ je zřejmé, ţe umístění znamének nerovnosti

pravděpodobně tipovali:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Tipovalo 2 5 0 0

(ZŠ)

7.4 Úloha 4

Čtvrtá úloha se týká rovnosti zlomků a rozšiřování zlomků. Ţáci zjišťují, jakým

číslem byl zlomek rozšířen, aby platila naznačená rovnost.

Zadání

4) Doplň tak, aby platila rovnost.

56

8

7

Bodování

Za správnou odpověď ţáci získali 1 bod.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

1 19 18 29 32

0 0 5 2 1

Průměrný počet b. 1 0,78 0,94 0,97

Úspěšnost při řešení 100 % 78 % 94 % 97 %

65

Čtvrtou úlohu vyřešilo bezchybně 88,1% ţáků ZŠ (37 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků

osmiletého gymnázia (61 ţáků z 64). Stojí za zmínku, ţe nejlepšího (stoprocentního)

výsledku dosáhli ţáci 7.A ZŠ.

Ţákovská řešení:

Ţáci si museli uvědomit či spočítat, ţe zlomek 8

7 byl rozšířen číslem 8, jelikoţ musí

platit rovnost 56

8

7 a 87:56 .

Správná řešení

Většina ţáků napsala správný výsledek hned přímo do zadání, někteří si připsali

pomocný výpočet:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet řešení s pomocným výpočtem 0 1 4 2

(ZŠ)

(G)

(G)

1 0

7.A 100,0% 0,0%

7.B 78,3% 21,7%

2.A8 93,5% 6,5%

2.B8 97,0% 3,0%

0,0%

20,0%

40,0%

60,0%

80,0%

100,0%

120,0%

Počet

ţák

ů (

%)

Zastoupení ţáků s danými body

66

(G)

Sloţitým, ale správným pomocným výpočtem přišel ţák osmiletého gymnázia

na správné řešení čtvrté úlohy. Pravděpodobně vycházel z definice pro rovnost zlomků:

cbadd

c

b

a . Jeho řešení můţeme vidět na obrázku níţe:

(G)

Chybná řešení

K chybnému řešení mohli ţáci dospět různými způsoby. Některé chyby vycházely

z nepochopení úlohy (rovnost zlomků) a některé vznikly jako numerická chyba

při násobení:

(ZŠ)

(ZŠ)

(ZŠ)

(G)

(G)

U jednoho ţáka ZŠ i u jednoho ţáka osmiletého gymnázia se objevila tato numerická

chyba:

(ZŠ)

67

7.5 Úloha 5

V rámci páté úlohy ţáci řešili tři příklady, které měly prověřit jejich dovednosti

při provádění početních operací se zlomky. Příklady jsou sestavené tak, aby ţáci

ukázali, ţe umí: určovat společného jmenovatele zlomků, rozšiřovat zlomky, sčítat

zlomky, krátit zlomky ve tvaru součinu i zlomky samy o sobě. Ţáci také převáděli

smíšené číslo na zlomek a zapisovali přirozené číslo ve tvaru zlomku. V posledním

příkladu ţáci upravovali sloţený zlomek.

Zadání

5) Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo.

A)

28

15

6

5

5

4

B)

11:

3

8

9

15

C)

35

2014

12

Zadání 5.A)

A)

28

15

6

5

5

4

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 4 body: 1 bod za správně určeného společného

jmenovatele, 0,5 bodu za správně rozšířené čitatele, 0,5 bodu za správně sečtené

čitatele, 1 bod za správné zkrácení, 1 bod za výsledek v základním tvaru.

Za nesprávný postup při výpočtu jsem strhávala 1 bod – pokud ţáci nejprve sečetli

zlomky v závorce a aţ v závěru řešení k tomuto součtu připsali zlomek 28

15, aby jím

tento součet násobili. Jak uvádí následující tabulka, nejčastěji se tento nesprávný postup

objevil v řešeních ţáků třídy 7.B základní školy:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Nesprávný postup 1 8 1 0

(ZŠ)

68

V jednom případě měl tento nesprávný postup za následek i například to, ţe ţák

na násobení zlomkem 28

15 zapomněl a při výpočtu příkladu ho vynechal úplně:

(ZŠ)

Tabulka s výsledky

Příklad A) v páté úloze vyřešilo bezchybně 47,6% ţáků ZŠ (20 ţáků ze 42) a 65,6%

ţáků osmiletého gymnázia (42 ţáků z 64). Ţákům osmiletého gymnázia dělalo největší

problémy zkrátit výsledek na základní tvar. Pokud v průběhu výpočtu zlomky

v součinovém tvaru nezkrátili, dospěli sice ke správnému výsledku, jenţ byl ale zlomek

s velkými čísly v čitateli a jmenovateli a tudíţ šel obtíţně krátit. S největší úspěšností

tento příklad řešili ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Největší problémy s tímto příkladem

měli ţáci 7.B ZŠ.

4 3 2 1 0

7.A 47,4% 0,0% 47,4% 0,0% 5,5%

7.B 47,8% 8,7% 21,7% 0,0% 21,7%

2.A8 71,0% 16,0% 6,5% 3,2% 3,2%

2.B8 60,6% 15,2% 15,2% 9,1% 0,0%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

4 9 11 22 20

3 0 2 5 5

2 9 5 2 5

1 0 0 1 3

0 1 5 1 0

Průměrný počet b. 2,9 2,61 3,48 3,27

Úspěšnost při řešení 72,5 % 65,3 % 87 % 81,8 %

69

Ţákovská řešení

Správná řešení

(G)

(ZŠ)

Chybná řešení

Ţáci v tomto příkladě chybovali různými způsoby. Nejčastější společná chyba byla

taková, ţe zapomněli uvést výsledek v základním tvaru:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Výsledek není uveden v základním tvaru 3 0 4 3

(G)

(G)

Pro některé ţáky bylo obtíţné krácení zlomků v součinovém tvaru (tzv. kříţem):

(G)

(G)

Ţáci při převádění zlomků na společného jmenovatele chybně rozšířili jejich čitatele.

Tato chyba se objevila pouze u čtyř ţáků gymnázia:

(G)

(G)

70

Vyskytly se i numerické chyby, popř. chyby z nepozornosti:

(G)

(G)

(ZŠ)

Jeden ţák krátil zlomky v součtovém tvaru a poté zlomky i nesprávně sečetl:

(ZŠ)

Zadání 5.B)

B)

11:

3

8

9

15

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 5 bodů: 1 bod za převod smíšeného čísla na zlomek, 1 bod

za správně určeného společného jmenovatele, 0,5 bodu za správně rozšířené čitatele,

0,5 bodu za správně odečtené čitatele, 0,5 bodu za zapsání čísla 11 ve tvaru zlomku,

0,5 bodu za násobení převráceným zlomkem, 1 bod za výsledek v základním tvaru.

Za nesprávný postup jsem strhávala 1 bod – tímto postupem myslím takový, kdy ţáci

nejprve vypočítali rozdíl smíšeného čísla a zlomku v závorce a teprvé poté k tomuto

rozdílu připsali konec zadání čili „ :11 “. Tento postup se objevil u několika ţáků ZŠ

i u dvou ţáků osmiletého gymnázia:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Nesprávný postup 2 6 2 0

(G)

71

Tento nesprávný postup vedl k tomu, ţe tři ţáci ZŠ na dělení jedenácti zapomněli

úplně:

(ZŠ)

Tabulka s výsledky

Příklad B) v páté úloze vyřešilo bezchybně 38,1% ţáků ZŠ (16 ţáků ze 42) a 62,5%

ţáků osmiletého gymnázia (40 ţáků z 64). Největší potíţe činil tento příklad ţákům

7.B ZŠ. Ţáci dvou tříd osmiletého gymnázia tento příklad řešili s téměř stejnou

úspěšností.

5 4 3 2 1 0

7.A 42,0% 26,3% 5,3% 15,8% 5,3% 5,3%

7.B 34,8% 4,3% 8,7% 17,4% 4,3% 30,4%

2.A8 58,1% 6,5% 25,8% 6,5% 3,2% 0,0%

2.B8 66,7% 9,1% 3,0% 18,2% 3,0% 0,0%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

5 8 8 18 22

4 5 1 2 3

3 1 2 8 1

2 3 4 2 6

1 1 1 1 1

0 1 7 0 0

Průměrný počet b. 3,68 2,6 4,1 4,18

Úspěšnost při řešení 73,6 % 52 % 82 % 83,6 %

72

Ţákovská řešení

Správná řešení

(ZŠ)

(G)

Chybná řešení

V této úloze ţáci chybovali různě. Ţádná chyba se neopakovala ve větším počtu.

Nejčastější byly chyby numerické. Myslím si, ţe pro některé ţáky byl příklad náročnější

vzhledem k počtu kroků, které museli vykonat (převést smíšené číslo na zlomek, upravit

zlomky v závorce na společného jmenovatele a odečíst je, převést přirozené číslo

na zlomek, dělit zlomkem tak, ţe násobíme zlomkem převráceným atd.).

Většina ţáků nedělala chyby při převádění smíšeného čísla na zlomek. Počet ţáků,

kteří v tomto kroku udělali chybu, je uveden v následující tabulce:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Chybně převedené sloţené číslo na zlomek 0 4 2 2

(G)

V následující ukázce ţákovského řešení si ţák pravděpodobně spletl smíšené číslo

9

15 s násobením přirozeného čísla zlomkem

9

15 :

(G)

V další ukázce ţákovského řešení si můţeme všimnout, ţe ţák umí převádět smíšené

číslo na zlomek, posléze ale převede i poněkud bez rozmyslu také pravý zlomek

na smíšené číslo:

(ZŠ)

73

Dva ţáci ZŠ se snaţili příklad vyřešit bez převedení smíšeného čísla na zlomek:

(ZŠ)

(ZŠ)

Zadání 5.C)

C)

35

2014

12

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 3 body: 1 bod za převedení sloţeného zlomku na násobení

zlomků, 0,5 bodu za správné zkrácení, 0,5 bodu za výsledek, 1 bod za výsledek

ve smíšeném čísle.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

3 10 8 8 17

2 1 5 17 11

1 3 4 5 4

0 5 6 1 1

Průměrný počet b. 1,84 1,65 2,03 2,33

Úspěšnost při řešení 61,3 % 55 % 67,7 % 77,7 %

3 2 1 0

7.A 52,6% 5,3% 15,8% 26,3%

7.B 34,8% 21,7% 17,4% 26,1%

2.A8 25,8% 54,8% 16,1% 3,2%

2.B8 51,5% 33,3% 12,1% 3,0%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

Počet

ţák

ů (

%)

Zastoupení ţáků s danými body

74

Příklad C) v páté úloze vyřešilo bezchybně 42,9% ţáků ZŠ (18 ţáků ze 42)

a 39,1% ţáků osmiletého gymnázia (25 ţáků z 64). Ačkoli by se mohlo zdát, ţe ţáci

základní školy byli při řešení tohoto příkladu téměř stejně úspěšní jako ţáci osmiletého

gymnázia, není tomu tak. Do hodnocení tohoto příkladu se projevila chyba, které jsem

se dopustila ve formulaci zadání pátého příkladu. Podoba této chyby je nastíněna

v dalším odstavci. Největšího průměrného počtu bodů dosáhli ţáci 2.B8 osmiletého

gymnázia. Naopak největší potíţe činil tento příklad ţákům 7.B ZŠ.

Ţákovská řešení

V páté úloze jsem měla lépe formulovat zadání. Má chyba se projevila právě v tomto

příkladě C), jelikoţ ţáci (převáţně z gymnázia) zapomínali převést nepravý zlomek

na smíšené číslo a získali tak o jeden bod méně.

Zadání zní: „Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo.“

Zadání mělo znít: „Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru, nebo pokud lze,

jako smíšené číslo“. Při bodování této úlohy jsem se drţela své původní představy

a původního bodování, jelikoţ většina ţáků základní školy nepravý zlomek na smíšené

číslo převedla. Následující tabulka udává počet správných řešení a počet řešení, kde byl

správný výsledek uveden ve smíšeném čísle:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků 19 23 31 33

Správný výsledek 14 13 27 30

Výsledek ve smíšeném čísle 13 11 10 18

Ţáci tedy vyřešili příklad správně, výsledek napsali ve tvaru zlomku v základním

tvaru, ale jiţ ho nepřevedli na smíšené číslo:

(G)

Oproti předchozím dvěma příkladům z páté úlohy byl tento příklad častěji

vynecháván. Jak je vidět z následující tabulky - zejména na ZŠ:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Neřešilo 4 5 1 0

75

Správná řešení

(ZŠ)

(G)

Následující řešení mne příjemně překvapilo. Ţák krátil jiţ ve tvaru sloţeného

zlomku:

(G)

Chybná řešení

Ţáci nejčastěji špatně převedli sloţený zlomek do tvaru podílu dvou zlomků či

do tvaru součinu dvou zlomků. Objevily se i numerické chyby při krácení zlomků

a chyby v zápisu smíšeného čísla:

(ZŠ)

(G)

Někteří ţáci převáděli zlomek na smíšené číslo, i kdyţ ten nebyl v základním tvaru.

V získaném smíšeném čísle mohli ţáci tedy ještě „krátit“. Někteří to však neudělali

a výsledek vypadal například takto:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Výsledek ve tvaru: ...70

351,

10

51,

14

71,

4

21 1 3 3 1

76

(G)

V následujícím ţákovském řešení je vidět chyba způsobená nesprávným uţitím

algoritmu pro dělení zlomků. Ţák věděl, ţe dělení zlomků převádíme na násobení

převráceným zlomkem, ale převrátil dělenec (zlomek v čitateli sloţeného zlomku):

(ZŠ)

V další ukázce nesprávného ţákovského řešení ţák začal počítat správně (správně

upravil sloţený zlomek na násobení zlomků) a jmenovatele zlomků vynásobil. Pak jeho

postup začíná být matoucí, jelikoţ čitatele zlomků rozšířil, jako kdyby chtěl zlomky

sčítat, a ve výsledku čitatele stejně vynásobí:

(G)

7.6 Úloha 6

Tuto slovní úlohu jsem do testu vybírala s úmyslem, aby se jí povedlo vyřešit co

největšímu počtu ţáků. Úloha byla primárně určena pro řešitele soutěţe Matematický

klokan 2011 – obtíţnost kategorie Klokánek měla odpovídat znalostem ţákům ve

čtvrté – páté třídě. Při řešení mohli ţáci vyuţít svoji představivost nebo si danou situaci

ilustrovat obrázkem.

Zadání

6) Na oslavě byl kaţdý ze dvou shodných dortů rozdělen na 4 shodné díly. Poté byl

kaţdý z dílů ještě rozdělen na 3 stejné dílky. Takový dílek dostal kaţdý z účastníků

oslavy a 3 dílky ještě zbyly. Kolik lidí bylo na oslavě?

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 4 body: 2 body za postup při zjištění počtu dílků dortu,

1 bod za výpočet výsledku a 1 bod za odpověď.

77

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

4 9 17 30 31

3 3 2 1 0

2 2 0 0 0

1 1 3 0 1

0 4 1 0 1

Průměrný počet b. 2,63 3,35 3,97 3,79

Úspěšnost při řešení 65,8 % 83,8 % 99,3 % 94,8 %

Šestou úlohu vyřešilo bezchybně 61,9% ţáků ZŠ (26 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků

osmiletého gymnázia (61 ţáků z 64). Tato slovní úloha tedy podle mých předpokladů

nečinila ţákům větší obtíţe. Nejlepšími řešiteli byli ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia.

Oproti ostatním třídám byli výrazně nejneúspěšnějšími řešiteli ţáci 7.A ZŠ.

Ţákovská řešení

Úlohu ţáci řešili aţ na vyjímky úspěšně. Něktěří ţáci si pomohli více či méně

zdařilým obrázkem, jiní se snaţili dojít ke správné odpovědi pouze přes výpočet

např. 21324,2438,842 . Následující tabulka uvádí počet ţáků, kteří šestou

úlohu řešili s obrázkem nebo bez obrázku (ilustrace situace popsané v zadání úlohy):

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků 19 23 31 33

Řešení s obrázkem 8 18 22 19

Řešení bez obrázku 8 5 9 13

4 3 2 1 0

7.A 47,4% 15,8% 10,5% 5,3% 21,1%

7.B 73,9% 8,7% 0,0% 13,0% 4,3%

2.A8 96,8% 3,2% 0,0% 0,0% 0,0%

2.B8 93,9% 0,0% 0,0% 3,0% 3,0%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

78

Správná řešení

Z výše uvedené tabulky (Tabulka s výsledky pro šestou úlohu) vyplývá, ţe šestá

úloha nedělala ţákům osmiletého gymnázia větší problémy. Na ZŠ tuto úlohu řešilo

úspěšně přibliţně 60% ţáků (5 ţáků ji neřešilo vůbec).

(ZŠ)

(G)

U některých správných řešení jsem chápala myšlenkový pochod ţáků, avšak výpočet

počtu dílků dortu nebyl zcela matematicky v pořádku:

(ZŠ)

Chybná řešení

Dva ţáci základní školy a dva ţáci osmiletého gymnázia postupovali při řešení úlohy

správně, zapomněli však, ţe na oslavě byly dorty dva:

79

(ZŠ)

(G)

Několika ţákům činilo potíţe nakreslit si ilustrační obrázek k dané situaci:

(ZŠ)

(ZŠ)

7.7 Úloha 7

Sedmou úlohu jsem převzala z učebnice matematiky pro 7. ročník od autorů Odvárko

O. a Kadleček J. (nakladatelství Prometheus). Daná úloha měla prověřit, jak se

v takovéto typové slovní úloze ţáci orientují a zda jsou schopni vypočítat hodnotu části

z určitého celku.

80

Zadání

7) Jirka si šetří na horské kolo. To, které si vyhlídl, stojí 6000 Kč. Má uspořenou

teprve čtvrtinu. Kolik korun musí ještě ušetřit?

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 3 body: 1 bod za výpočet hodnoty čtvrtiny z celku (z ceny

kola), 1 bod za výpočet výsledku (kolik korun musí ještě Jirka ušetřit) a 1 bod

za odpověď.

Tabulka s výsledky

Sedmou úlohu vyřešilo bezchybně 61,9% ţáků ZŠ (26 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků

osmiletého gymnázia (61 ţáků z 64). Nejúspěšnějšími řešiteli byli ţáci 2.B8 osmiletého

gymnázia. Nejméně úspěšnými byli ţáci 7.A ZŠ. U této úlohy je zajímavé, ţe obě

paralelní třídy (7.A a 7.B, 2.A8 a 2.B8) dosáhli téměř stejné úspěšnosti. Z výsledků

úlohy by se tedy dalo usoudit, ţe se opravdu jedná o typovou popř. vzorovou slovní

úlohu, se kterou se ţáci všech čtyř tříd jistě setkali.

3 2 1 0

7.A 63,2% 0,0% 21,1% 15,8%

7.B 60,9% 13,0% 13,0% 13,0%

2.A8 93,5% 0,0% 6,5% 0,0%

2.B8 97,0% 0,0% 3,0% 0,0%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

3 12 14 29 32

2 0 3 0 0

1 4 3 2 1

0 3 3 0 0

Průměrný počet b. 2,11 2,22 2,87 2,94

Úspěšnost při řešení 70,3 % 74 % 95,7 % 98 %

81

Ţákovská řešení

Správná řešení

(G)

(ZŠ)

Někteří ţáci úlohu řešili aniţ by si předem sestavili stručný zápis úlohy - co je dáno,

co se má vypočítat apod. Počet ţákovských řešení bez zápisu udává následující tabulka:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Bez zápisu 15 3 9 7

Chybná řešení

V kaţdé třídě alespoň jeden ţák napsal odpověď: „Jirka musí ještě ušetřit 1 500Kč.“

Tato chyba mohla být způsobena nepozorným čtením textu zadání úlohy. Ţáci mohli

také danou slovní úlohu vnímat ve zjednodušené podobě - kdyţ v zadání úlohy

rozpoznali zlomek jako číselný operátor (čtvrtina) a číslo (6000 Kč) a určovali pouze

část (čtvrtinu) z celku (z ceny kola). Následující tabulka uvádí četnost tohoto chybného

řešení:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Musí ušetřit 1 500 Kč. 1 2 1 1

(G)

82

U dvou ţáků (ţák ZŠ a ţák osmiletého gymnázia) se objevil chybný úsudek, ţe 4

1

z 6000Kč jsou 2000 Kč:

(G)

7.8 Úloha 8

Osmou úlohu jsem převzala z učebnice matematiky pro 7. ročník od nakladatelství

Prodos (autor J. Molnár). Úloha je poněkud netradiční. Ţáci si museli zadání pořádně

přečíst, aby si uvědomili, ţe údaj 70 cm neodpovídá uvedeným 16

9

šály.

Zadání

8) Petra plete tatínkovi šálu. Jak dlouhá bude šála, má-li upleteno 70 cm a chybí

ještě.16

9 šály?

Bodování

Ţáci mohli celkem získat 4 body: 1 bod za zjištění, ţe Petra má nyní upleteno 16

7

šály, coţ odpovídá 70 cm; 1 bod za výpočet délky 16

1

šály (= 10 cm); 1 bod za výpočet

délky celé šály ( 16016

16 cm) a 1 bod za odpověď.

Tabulka s výsledky

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Celkem ţáků 19 23 31 33

Počet bodů Počet ţáků s danými body

4 6 5 26 21

3 0 0 0 0

2 6 0 1 1

1 2 11 3 11

0 5 7 1 0

Průměrný počet b. 2 1,35 3,52 2,94

Úspěšnost při řešení 66,7 33,8 88 73,5

83

Osmou úlohu vyřešilo bezchybně 26,2% ţáků ZŠ (11 ţáků ze 42) a 73,4% ţáků

osmiletého gymnázia (47 ţáků z 64). Nejúspěšnějšími řešiteli byli ţáci 2.A8 osmiletého

gymnázia. Nejméně úspěšnými byli ţáci 7.B ZŠ. U této úlohy se projevily patrné

rozdíly v úspěšnosti jak mezi ţáky ZŠ a osmiletého gymnázia, tak rozdíly mezi

paralelními dvojicemi třídy (7.A x 7.B, 2.A8 x 2.B8). Z předchozího grafu je zřejmé,

ţe tři body nezískal ţádný z ţáků. Je to dáno tím, ţe pokud uţ ţák danou úlohu správně

vyřešil, nezapomněl k ní připsat i správnou odpověď.

Ţákovská řešení

S touto slovní úlohou měli ţáci největší potíţe. Nekteří ţáci ZŠ ji neřešili:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků 19 23 31 33

Neřešilo 4 7 0 0

Při řešení této slovní úlohy mohl ţákům pomoci její stručný zápis – shrnutí hlavních

informací, které získali ze zadání. Avšak jak uţ tomu napovídá předchozí úloha, ne

všichni ţáci si zápis napsali. Je ale pravdou, ţe pokud si ţáci přečetli zadání úlohy bez

porozumění a bez porozumění si vytvořili i zápis, ani ten jim při řešení příliš nepomohl.

Následující tabulka uvádí počet řešených úloh a počet řešení bez zápisu:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Úlohu řešilo 15 16 31 33

Bez zápisu 11 2 6 7

4 3 2 1 0

7.A 31,6% 0,0% 31,6% 10,5% 26,3%

7.B 21,7% 0,0% 0,0% 47,8% 30,4%

2.A8 83,9% 0,0% 3,2% 9,7% 3,2%

2.B8 63,6% 0,0% 3,0% 33,3% 0,0%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

Počet

ţá

ků

(%

)

Zastoupení ţáků s danými body

84

Správná řešení

(G)

(ZŠ)

Chybná řešení

Někteří ţáci si důsledně nepřečetli zadání slovní úlohy a odpovídali na otázku:

„Kolik šály ještě chybí uplést?“ Někteří ţáci odpovídali na správnou odpověď, svůj

výpočet však nedovedli do zdárného konce, a tak odpovídali chybně:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků 19 23 31 33

Řešilo 15 16 31 33

Odpověď „Chybí uplést … .“ 1 3 1 4

Odpověď „Šála bude dlouhá 90cm.“ 3 0 0 1

(ZŠ)

Řešení ţáků základní školy bylo více chaotické a nepřehledné neţ řešení ţáků

osmiletého gymnázia. Někteří ţáci nedokázali správně roztřídit údaje uvedené v úloze

a bez rozmyslu tyto údaje začali sčítat, násobit či dělit. Za kaţdou cenu se snaţili něco

vypočítat:

85

(ZŠ)

(ZŠ)

(ZŠ)

(ZŠ)

86

(ZŠ)

(ZŠ)

7.9 Testování hypotézy

Didaktický test na zlomky byl zadán dvěma skupinám ţáků. První skupinu tvoří

42 ţáků 7. ročníku FZŠ a MŠ Holečkova 10, Olomouc. Druhou skupinu ţáků tvoří

64 ţáků 2. ročníku osmiletého Slovanského gymnázia, Pasteurova 19, Olomouc.

V souvislosti s vyhodnocením testu jsem formulovala věcnou hypotézu:

HV: Rozhoduji, zda mezi výsledky dvou skupin ţáků v didaktickém testu na zlomky

jsou rozdíly.

Za účelem ověření hypotézy pomocí statistických metod jsem dále formulovala

statistické hypotézy (nulovou a alternativní):

H0 Mezi výsledky ţáků v obou skupinách nejsou statisticky významné rozdíly.

HA Mezi výsledky obou skupin ţáků jsou statisticky významné rozdíly.

Pro testování hypotézy pouţiji neparametrický statistický test U-test Manna a

Whitneyho pro větší skupiny – mohu pouţít v případech, kdy chci rozhodnout, zda dva

výběry mohou pocházet ze stejného základního souboru, tj. zda mají stejné rozdělení

četností.

87

Pomocí U-testu ověřím, zda jsou mezi výsledky daných dvou skupin ţáků

v didaktickém testu statisticky významné rozdíly.

Ověření hypotézy:

V tabulce (Příloha č. 2) jsou uvedeny výsledky obou skupin seřazené podle velikosti

a jednotlivým výsledkům je podle velikosti přiřazeno pořadí.

Zvolená hladina významnosti 05,0 .

Testové kritérium U (resp. U ):

6560,11242

)164(646442

2

)1(

03220,55912

)142(426442

2

)1(

222

21

111

21

Rnn

nnU

Rnn

nnU

1n = četnost první skupiny (Z)

2n = četnost druhé skupiny (G)

1R = součet pořadí v první skupině (Z)

2R = součet pořadí v druhé skupině (G)

Testovým kritériem je menší z obou vypočítaných hodnot, tj. 656U .

U-test je vhodný zejména pro testování menších skupin (do 20). Mann a Whitney

dokázali, ţe pro velké skupiny (větší neţ 20) má testové kritérium přibliţně normální

rozdělení. Nulovou hypotézu lze potom testovat pomocí normované normální veličiny:

44,4

12

)16442(6442

2

6442656

12

)1(

2

2121

21

nnnn

nnU

u

Vypočítanou hodnotu u srovnáme s kritickou hodnotou 96,105,0 u

pro hladinu

významnosti 0,05. Protoţe vypočítaná hodnota u je větší neţ hodnota kritická pro

hladinu významnosti 0,05, odmítáme nulovou hypotézu a přijímáme hypotézu

alternativní.140

Mezi výsledky obou skupin ţáků jsou statisticky významné rozdíly.

140 CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu, s. 92 – 97.

88

Jestliţe se ve srovnávaných skupinách některé hodnoty opakují, můţe být vypočítaná

hodnota u poněkud zkreslená. V těchto případech se doporučuje počítat normovanou

normální veličinu podle upraveného vzorce:141

1212)1(

233

21

21

rrnn

nn

nn

nnU

u

u =korigovaná absolutní hodnota normované náhodné veličiny

21 nnn

r = počet hodnot, které se opakují

Následující tabulka obsahuje počet hodnot, které se opakují (r) a hodnoty pomocného

výpočtu 12

3 rr :

Hodnota Počet opakování r 12

3 rr Hodnota Počet opakování r 12

3 rr

5 3 2 21 2 0,5

6 1 0 23 8 42

7 1 0 24 3 2

9 1 0 25 3 2

11 1 0 26 8 42

13 1 0 27 10 82,5

14 2 0,5 28 10 82,5

16 1 0 29 7 28

17 3 2 30 9 60

18 3 2 31 18 484,5

19 1 0 32 7 28

20 3 2

Potom:

5,86212

3

rr

78,4

5,86212

106106

)1106(106

6442

2

6442656

1212)1(

2333

21

21

rrnn

nn

nn

nnU

u

141 CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu, s. 98.

89

Výsledky obou výpočtů se příliš neliší a vedou ke stejnému závěru. Mezi výsledky

vzorku ţáků dvou tříd 7. ročníku základní školy Holečkova a vzorku ţáků dvou

tříd 2. ročníku osmiletého Slovanského gymnázia jsou statisticky významné rozdíly

a jak vyplývá z hodnocení a analýzy ţákovských řešení – v didaktickém testu byli

úspěšnější ţáci Slovanského gymnázia.

7.10 Závěr empirické části

Následující tabulka udává procentuální úspěšnost a průměrný počet bodů, kterého

dosáhli ţáci první (ZŠ) a druhé (G) skupiny v jednotlivých úlohách:

Příklad č./Max. bodů Celkový průměr ZŠ Úspěšnost Celkový průměr G Úspěšnost

1./3 b. 1,96 65,3 % 2,54 84,7 %

2./2 b. 1,56 78 % 1,73 86,5 %

3./ 3b. 2,27 75,7 % 2,93 97,7 %

4./ 1b. 0,89 89 % 0,95 95 %

5. A)/ 4b. 2,76 69 % 3,38 84,5 %

5. B)/ 5b. 3,14 62,8 % 4,14 82,8 %

5. C)/ 3b. 1,75 58,3 % 2,18 72,7 %

6./ 4b. 2,99 74,8 % 3,88 97 %

7./ 3b. 2,17 72,3 % 2,91 97 %

8./ 4b. 1,68 42 % 3,23 80,8 %

Procentuální úspěšnost ţáků v jednotlivých úlohách uvádím pro lepší přehlednost

ještě v následujícím sloupcovém grafu:

Z tabulky a z grafického znázornění úspěšnosti ţáků v jednotlivých úlohách vyplývá,

ţe ţáci základní školy byli nejúspěšnější v úloze č. 4 (rozšiřování zlomku) a největší

potíţe pro ně představovala úloha č. 8 (slovní úloha).

0

20

40

60

80

100

120

1. 2. 3. 4. 5A) 5.B) 5.C) 6. 7. 8.

Procen

tuáln

í ú

spešn

ost

Úloha č.

Úspěšnost ţáků v jednotlivých úlohách

ZŠ

G

90

Ţáci osmiletého gymnázia byli nejúspěšnější v úloze č. 3 (porovnávání zlomků) a

nejvíce chybovali v úloze č. 5 (příklad C) – úprava sloţeného zlomku). Výsledky této

úlohy jsou ale bohuţel ovlivněny chybnou formulací, které jsem se v zadání dopustila:

„Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo.“ Druhou

nejproblematičtější úlohou byla pro ţáky osmiletého gymnázia taktéţ osmá úloha.

Didaktický test, který jsem sestavila, neslouţil pouze pro potřeby mé diplomové

práce, ale jeho výsledky si převzali i učitelé vyučující matematiku v daných třídách.

Ţáci byli klasifikování podle procenta správně vyřešených úloh:

Procento správně vyřešených úloh Bodové rozmezí Klasifikační stupeň 100 – 90 32 - 29 1

89 – 75 28 - 24 2

74 – 50 23 - 16 3

49 - 25 15 - 8 4

24 - 0 7 - 0 5

Z následující tabulky lze vyčíst průměrnou známku (modus, medián) a průměrný

počet bodů (modus, medián), kterého ţáci v jednotlivých třídách dosáhli:

Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8

Počet ţáků 19 23 31 33

Známka

Průměrná známka 2,47 2,96 1,48 1,7

Modus 2 3 1 1

Medián 2 3 1 2

Body

Průměrný počet bodů 22,74 20,09 28,36 27,33

Modus 27 5 31 31

Medián 25 23 29 28

Výsledky didaktického testu jsou ovlivněny nejen ţákovou matematickou

gramotností týkající se zlomků, ale také typem školy, stylem výuky učitele či také

například učebnicí, podle které se na dané škole zlomky vyučovaly. Na ZŠ Holečkova

se ţáci učili podle učebnice od Zdeny Rosecké (Aritmetika pro 7. ročník, nakladatelství

Nová škola). Ţáci osmiletého Slovanského gymnázia měli k dispozici učebnici od Jiřího

Hermanna (Učebnice matematiky – Racionální čísla a procenta (sekunda),

nakladatelství Prometheus).

91

Nejmenší počet bodů, který tři ţáci základní školy získali, byl 5 bodů. Nejčastěji ţáci

ZŠ dosahovali 23 a 27 bodů (14,3% ze 42 ţáků):

Nejmenší počet bodů, jehoţ dosáhl ţák gymnázia, byl 16. Ţáci osmiletého gymnázia

nejčastěji dosahovali celkového počtu 31 bodů (26,6% z 64 ţáků):

Z následujícího grafu celkové četnosti bodů lze vyčíst, ţe nejčastěji ţáci dosahovali

31 bodů (17% ze 106 ţáků), 27 a 28 bodů (9,4% ze 106 ţáků).

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Počet

ţák

ů s

dan

ým

i b

od

y

Počet bodů

Četnost bodů - ZŠ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132

Počet

ţá

ků

s d

an

ým

i b

od

y

Počet bodů

Četnost bodů - G

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5 6 7 9 11 13 14 16 17 18 19 20 21 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Počet

ţák

ů s

dan

ým

i b

od

y

Počet bodů

Četnost bodů - celkem

92

Úlohy v didaktickém testu patřili opravdu k těm základním. Svědčí o tom i celková

úspěšnost ţáků, kdy 40% ţáků vyplnilo test s úspěšností v rozmezí 100 - 90%, 32%

ţáků vyplnilo test s úspěšností v rozmezí 89 – 75%, 20% ţáků vyplnilo test v rozmezí

74 – 50%. Pouze přibliţně 10% ţáků vyplnilo test s úspěšností pod 50%.

Danému vzorku ţáků činily největší potíţe slovní úlohy, zejména úloha č. 8, coţ

jsem i předpokládala. Co mne ale u posledních dvou slovních úloh překvapilo, bylo to,

ţe ţádný z ţáků si nepomohl při řešení obrázkem, na kterém by si danou situaci

znázornil. Cenu horského kola a čtvrtinu této ceny si mohli zaznačit například takto:

Šálu, kterou pletla Petra, stačilo nakreslit jako úsečku, na které by si vyznačili údaje,

které znají:

Po vyhodnocení slovních úloh musím souhlasit s profesorem Milanem Hejným, který

napsal: „Podstatou neschopnosti ţáků řešit slovní úlohy je neschopnost číst

s porozuměním text úlohy. Proto musí být snaha o vyřešení tohoto problému zaměřena

ne na transformaci slov do rovnic, ale na porozumění obsahu čteného textu.“142

Někteří ţáci se pokoušeli osmou úlohu vyřešit bez pochopení jejího zadání. V textu

zadání nebylo jasně dáno, co je celek a co část, coţ bylo pro ţáky matoucí. Někteří ţáci

tak raději věnovali čas a energii provádění výpočtů místo snaze o porozumění úlohy.

142 HEJNÝ, M., STEHLÍKOVÁ, N. Číselné představy dětí, s. 39.

93

Závěr

Cílem diplomové práce bylo shrnout základní pojmy týkající se tematického celku

„Zlomek“ a na vzorku ţáků ze základní školy a gymnázia zjistit úroveň jejich znalostí

v této oblasti. Cíle bylo dosaţeno sestavením nestandardizovaného didaktického testu,

zhodnocením a porovnáním výsledků ţákovských řešení. Zjištěné závěry vyplývající

z vyhodnocení didaktického testu korespondují se stanovenými cíli, které se mi tak

podařilo naplnit.

Z uvedeného rozboru ţákovských řešení vyplývá, ţe je nutné vyučovat zlomky

v bliţším sepjetí s reálnými ţivotními zkušenostmi ţáků a prvním krokem

pro odstranění problémů při řešení slovních úloh by se měla stát snaha učitele dbát

zejména na pochopení čteného textu.

Jako učitelé bychom neměli začínat výuku zlomků výkladem toho, co je čitatel,

jmenovatel, zlomková čára, měli bychom se zaměřit na praktické činnosti,

které k tomuto pojmu vedou. Ţáci by se s pojmem zlomek měli nejprve seznámit

pomocí dělení celku na části a tuto přípravnou fázi není dobré podceňovat. Není vhodné

hned přejít k procvičování aritmetických operací se zlomky, jelikoţ tato cesta nevede

k rozvoji schopnosti ţáků uchopovat úlohy s porozuměním. Při řešení úloh je třeba

vyuţívat různých grafických znázornění, číst text úlohy s porozuměním. Doporučuje se,

aby ţáci text přeformulovali a vysvětlili ho vlastními slovy například spoluţákovi.

Ţádnou z těchto činností nemůţeme chápat jako ztrátu času.

V didaktickém testu se ukázalo, ţe ţáci jsou schopni dosahovat poměrně dobrých

výsledků při provádění aritmetických operací se zlomky. Nezajímá je však, jak dané

pravidlo pracuje, spokojí se s pouhým zapamatováním algoritmu. Jeho zapomenutí se

při řešení početních operací projevilo v několika chybných řešeních.

Ţáci se při řešení slovních úloh se zlomky často uchylují k pamětnímu učení určitých

typových úloh. Uchopování slovní úlohy s porozuměním je pro ně náročné, vyţaduje

soustředění a zamyšlení se. V úloze č. 8 tak někteří ţáci byli bezradní, jelikoţ šlo

o nestandardní situaci, kde jim naučený algoritmus nepomohl. Přitom šlo o poměrně

jednoduchou slovní úlohu zaloţenou na reálné situaci.

Studium odborné literatury mne obohatilo o nové poznatky. Doufám, ţe je vyuţiji

ve své budoucí pedagogické praxi a přispěji tak k větší oblíbenosti zlomků mezi ţáky.

94

Prameny a literatura

BALADA, F. Z dějin elementární matematiky. Praha: SPN, 1959. 239 s.

BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě. Edice Dějiny matematiky, 19. svazek.

1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. 445 s. ISBN 80-7196-232-5.

BEČVÁŘ, J., BEČVÁŘOVÁ, M., VYMAZALOVÁ, H. Matematika ve starověku:

Egypt a Mezopotámie. Edice Dějiny matematiky, 23. svazek. Praha: Prometheus, 2003.

371 s. ISBN 80-7196-255-4.

BĚLÍK, M. Celá a racionální čísla ve studiu učitelství prvního stupně základní školy.

Teplice: UJEP, 2000. 100 s. ISBN 80-7044-294-8.

BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 7. Aritmetika. Geometrie.

Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2008. 157

s. ISBN 978-80-7238-683-3.

BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 7. Aritmetika. Pracovní sešit

pro základní školy a víceletá gymnázia. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2008. 80 s. ISBN 978-80-

7238-680-2.

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice I. Číslo nula. Matematika,

fyzika, informatika. Praha: Prometheus, 2005. vol. 14, no. 5, s. 257 – 262. ISSN 1210-

1761.

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika,

informatika. Praha: Prometheus, 2005. vol. 14, no. 7, s. 394 - 403. ISSN 1210-1761.

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky – sčítání

a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. Praha: Prometheus, 2005. vol. 14, no. 8, s.

463 – 469. ISSN 1210-1761.

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky –

násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika. Praha: Prometheus, 2005.

vol. 15, no. 3, s. 136 –142. ISSN 1210-1761.

DIVÍŠEK, J., BUŘIL, Z. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. Praha: SPN,

1989. 272 s. ISBN 80-04-20433-3.

95

DRÁBEK, J. a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vyd.

Praha: SPN, 1985. 224 s.

FUCHS, E., HOŠPESOVÁ, A., LIŠKOVÁ, H. Postavení matematiky ve školním

vzdělávacím programu Základní vzdělávání. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2006. 79 s.

ISBN 80-7196-326-7

FUCHS, E., KUBÁT, J. Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy a

niţší ročníky víceletých gymnázií. 1. vyd. Praha: Prometeus, 2000, 151 s. ISBN 80-

7196-169-8.

CHRÁSKA, M. Didaktické testy. Příručka pro učitele a studenty učitelství. 1. vyd.

Brno: Paido, 1999. 91 s. ISBN 80-85931-68-0.

CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu: základy kvantitativního výzkumu. 1.

vyd. Praha: Grada Publishing. 265 s. ISBN 978-80-247-1369-4.

HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy

k vyučování. 1. vyd. Praha: Portál, 2001, 187 s. Pedagogická praxe. ISBN 80-71785814.

HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. 1. vyd. Bratislava: SPN, 1989. 560

s. ISBN 80-08-00014-7.

HEJNÝ, M., STEHLÍKOVÁ, N. Číselné představy dětí. Praha: UK, 1999. 123 s. ISBN

80-86039-98-6.

HRUŠA, K. Elementární aritmetika. 1. vyd. Praha: Přírodovědecké nakladatelství,

1953. 300 s.

HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám. 1. vyd. Praha:

Prometheus, 2004. 180 s. ISBN 80-7196-279-1.

KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy. 1. vyd. Praha: SPN, 1972. 367 s.

KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku. Praha: Academia, 1969. 221 s.

KONFOROVIČ, A. G. Významné matematické úlohy. Praha: SPN, 1989. 208s.

KOTYRA, D., SIVOŠOVÁ, A. Úlohy se zlomky: příručka pro ţáky základních škol a

niţších tříd gymnázií. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 2004. 83 s. ISBN 80-7200-

986-9.

96

KUČERA, R., SKULA, L. Číselné obory. 1.vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1998.

95 s. ISBN 80-210-1965-4.

MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. – 9. ročník základní devítileté

školy. Praha: SPN, 1967. 215 s.

MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos,

1999. 159 s. ISBN 80-7230-031-8.

ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J. Kníţka pro učitele k učebnicím matematiky

pro 7. ročník základní školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 107 s. ISBN 80-7196-

145-0.

ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím

programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace. 1. vyd. Praha:

Prometheus, 2006. 111 s. ISBN 80-7196-333-X.

ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J. Matematika pro 7. ročník základní školy [1]. Zlomky.

Celá čísla. Racionální čísla. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2011. 104 s. ISBN 978-80-

7196-423-0.

POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele. 1. díl. Plzeň: Pedagogické centrum,

2003. 83 s. ISBN 80-7020-127-4.

STRUIK, D. J. Dějiny matematiky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1963. 250 s.

ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7. 1. díl. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 190 s. ISBN

80-7196-085-3.

ŢENATÁ, E. Přehled učiva matematiky: pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia

s příklady a řešením. 1. vyd. Benešov: Blug, 2009. 552 s. ISBN 978-80-7274-988-1.

97

Elektronické zdroje

ABZ slovník cizích slov. [online]. Pojem ratio. [cit. 2013-01-22]. Dostupné z www:

< http://slovnik-cizich-slov.abz.cz/web.php/slovo/ratio-racio >.

HAVRLANT, L. Racionální čísla. In Matematika polopatě [online]. [cit. 2013-03-08].

Dostupné z www: <http://www.matweb.cz/racionalni-cisla#gsc.tab=0>.

HEJNÝ, M., NOVOTNÁ, J., STEHLÍKOVÁ, N. Dvacet pět kapitol z didaktiky

matematiky. 1. a 2. díl. [online]. Praha: UK PdF, 2004. 456 s. [cit. 2013-01-15]. ISBN

80-7290-189-3. Dostupné z www: <http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/

Default.aspx?PorZobr=4&PolozkaID=-1&ClanekID=66>.

LUKÁŠ, I. (ČT 24) Zlomky jsou zpět na prvním stupni, děti budou dělit pizzu nebo

čokoládu. [online]. [cit. 2013-01-18]. Dostupné z www:

<http://www.ceskatelevize.cz/ct24/domaci/211539-zlomky-jsou-zpet-na-prvnim-stupni-

deti-budou-delit-pizzu-nebo-cokoladu/>.

METODICKÝ PORTÁL RVP. Výroba a vyuţití zlomkovnice. [online]. [cit. 2013-01-

28]. Dostupné z www: <http://clanky.rvp.cz/clanek/c/Z/13661/vyroba-a-vyuziti-

zlomkovnice.html/>.

MOLNÁR, J. a kol. Matematický klokan 2011. [online]. 1. vyd. Olomouc: JČMF

pobočka Olomouc, 2011, 56s. [cit. 2013-02-22]. ISBN 978-80-244-2914-4. Dostupné

z www: <http://matematickyklokan.net/Sborniky/sbornik_klokan_2011.pdf>.

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný

ústav pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 2013-01-20]. Dostupné z www:

<www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf>.

TICHÁ, M., MACHÁČKOVÁ, J. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice.

[online]. JČMF, 2006. 37 s. [cit. 2013-01-16]. Dostupné z www:

<class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=91>.

VÁVROVÁ, A. a kol. Hry ve vyučování matematice jako významná strategie vedoucí

k rozvoji klíčových kompetencí ţáků. [online]. JČMF, 2006. 44 s. [cit. 2013-03-01].

Dostupné z www: <class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=102>.

TICHÁ, M. Jak ţáci chápou slovní úlohy se zlomky. In 6. setkání učitelů matematiky

všech typů a stupňů škol. [online]. 198 s. [cit. 2013-03-04]. Dostupné z www:

<class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_55.pdf>.

98

Seznam obrázků

Obrázek 1: Zlomek jako operátor. Převzato z: DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky

pro učitelství 1. stupně ZŠ. .......................................................................................... 23

Obrázek 2: Rozšiřování zlomku. Převzato z: KINDL, K. Matematika. Přehled učiva

základní školy. ............................................................................................................ 27

Obrázek 3: Rozšiřování zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7.

ročník základní školy [1]. ............................................................................................ 27

Obrázek 4: Rovnost zlomků. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské

matematice II. ............................................................................................................. 28

Obrázek 5: Porovnávání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7.

ročník základní školy [1]. ............................................................................................ 28

Obrázek 6: Smíšené číslo. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník

základní školy [1]........................................................................................................ 30

Obrázek 7: Převrácený zlomek. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7.

ročník základní školy [1]. ............................................................................................ 30

Obrázek 8: Schéma sčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele

k učebnicím matematiky pro 7. ročník základní školy. ................................................ 33

Obrázek 9: Tyčový model sčítání zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória

vyučovania matematiky 2............................................................................................ 34

Obrázek 10: Kruhový model sčítání zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória

vyučovania matematiky 2............................................................................................ 34

Obrázek 11: Obdélníkový model násobení zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória

vyučovania matematiky 2............................................................................................ 34

Obrázek 12: Správné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: MOLNÁR, J.

Matematika 7, učebnice s komentářem pro učitele. ..................................................... 35

Obrázek 13: Nesprávné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO,

O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1]. .......................................................... 35

Obrázek 14: Nesprávné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z:

ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy. .......................................... 36

Obrázek 15: Správné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z:

BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III. ......................................... 37

99

Obrázek 16: Násobení smíšeného čísla přirozeným číslem. Převzato z:

BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá

gymnázia. ................................................................................................................... 37

Obrázek 17: Model součinu jako obsahu. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania

matematiky 2. ............................................................................................................. 38

Obrázek 18: Model součinu jako část z části. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória

vyučovania matematiky 2............................................................................................ 39

Obrázek 19: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč

a jak ve školské matematice IV: .................................................................................. 40

Obrázek 20: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč

a jak ve školské matematice IV. .................................................................................. 40

Obrázek 21: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč

a jak ve školské matematice IV. .................................................................................. 40

Obrázek 22: Stavba z kostek. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve

vyučování matematice................................................................................................. 45

Obrázek 23: Část z celku. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za krokem

k přijímacím zkouškám. .............................................................................................. 46

Obrázek 24: Tabulka se samokontrolou. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak

ve školské matematice III. ........................................................................................... 46

Obrázek 25: Zadání slovní úlohy obrázkem. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu

zlomek ve vyučování matematice. ............................................................................... 47

Obrázek 26: Hodiny. Převzato z: BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Aritmetika.

Pracovní sešit pro základní školy a víceletá gymnázia. ................................................ 47

Obrázek 27: Netradiční zadání podle S. Lamon. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj

pojmu zlomek ve vyučování matematice. .................................................................... 48

Obrázek 28: Příklad neegyptského trojúhelníku. Převzato z: TICHÁ, M.: Rozvoj

pojmu zlomek ve vyučování matematice. .................................................................... 48

Obrázek 29: Logická pyramida. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za

krokem k přijímacím zkouškám. ................................................................................. 49

Obrázek 30: Magický čtverec. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za krokem

k přijímacím zkouškám. .............................................................................................. 49

Seznam příloh

Příloha č. 1: Didaktický test

Příloha č. 2: Tabulka pořadí výsledků v první (ZŠ) a druhé skupině (G)

Příloha č. 1

Didaktický test

Škola: Jméno a příjmení:

Třída: Datum:

1) Do obrázku vyznač barevnou tuţkou 6

1 a jinou barvou do stejného obrázku

3

1.

Jaká část z celku zůstala nevybarvena?143

2) Na číselné ose vyznač zlomek 5

2.

3) Doplň znaménka <, >, =

5

6

6

5

2

202

1

101

4

1

3

1

4) Doplň tak, aby platila rovnost.

56

8

7

5) Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo.

A)

28

15

6

5

5

4

143 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice [online]. JČMF, 2006. [cit. 2013-01-16] Dostupné

z www: <class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=91>, s. 12.

B)

11:

3

8

9

15

C)

35

2014

12

6) Na oslavě byl kaţdý ze dvou shodných dortů rozdělen na 4 shodné díly. Poté byl

kaţdý z dílů ještě rozdělen na 3 stejné dílky. Takový dílek dostal kaţdý z účastníků

oslavy a 3 dílky ještě zbyly. Kolik lidí bylo na oslavě?144

7) Jirka si šetří na horské kolo. To, které si vyhlídl, stojí 6000 Kč. Má uspořenou

teprve čtvrtinu. Kolik korun musí ještě ušetřit?145

8) Petra plete tatínkovi šálu. Jak dlouhá bude šála, má-li upleteno 70 cm a chybí

ještě.16

9 šály?

146

144 MOLNÁR, J. a kol. Matematický klokan 2011 [online]. Olomouc: JČMF pobočka Olomouc, 2011, [cit. 2013-02-14]. Dostupné z www: <http://matematickyklokan.net/Sborniky/sbornik_klokan_2011.pdf>, s. 17. 145 ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [1, s. 36. 146 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 42.

Příloha č. 2

Tabulka pořadí výsledků v první (ZŠ) a druhé skupině (G)

Výsledky skupiny Z Výsledky skupiny G

Počet

bodů Pořadí

Počet

bodů Pořadí

Počet

bodů Pořadí

Počet

bodů Pořadí

Počet

bodů Pořadí

5 2,0 23 27,5 16 11,0 27 50,5 30 77,0

5 2,0 23 27,5 18 16,0 27 50,5 31 90,5

5 2,0 25 36,0 18 16,0 28 60,5 31 90,5

6 4,0 26 41,5 20 20,0 28 60,5 31 90,5

7 5,0 26 41,5 21 22,5 28 60,5 31 90,5

9 6,0 27 50,5 21 22,5 28 60,5 31 90,5

11 7,0 27 50,5 23 27,5 28 60,5 31 90,5

13 8,0 27 50,5 23 27,5 28 60,5 31 90,5

14 9,5 27 50,5 24 33,0 28 60,5 31 90,5

14 9,5 27 50,5 24 33,0 29 69,0 31 90,5

17 13,0 27 50,5 24 33,0 29 69,0 31 90,5

17 13,0 28 60,5 25 36,0 29 69,0 31 90,5

17 13,0 28 60,5 25 36,0 29 69,0 31 90,5

18 16,0 28 60,5 26 41,5 29 69,0 31 90,5

19 18,0 29 69,0 26 41,5 29 69,0 31 90,5

20 20,0 30 77,0 26 41,5 30 77,0 31 90,5

20 20,0 30 77,0 26 41,5 30 77,0 31 90,5

23 27,5 31 90,5 26 41,5 30 77,0 31 90,5

23 27,5 32 103,0 26 41,5 30 77,0 32 103,0

23 27,5 32 103,0 27 50,5 30 77,0 32 103,0

23 27,5 32 103,0 27 50,5 30 77,0 32 103,0

Zn =42 0,55911 R 32 103,0

Gn =64 0,11242 R

ANOTACE

Jméno a příjmení: Bc. Milena Houfová

Katedra: Katedra matematiky, PdF UP Olomouc

Vedoucí práce: Mgr. Eva Bártková, Ph.D.

Rok obhajoby: 2013

Název práce: Zlomky v učivu základní školy

Název v angličtině: Fractions in Primary School Curriculum

Anotace práce:

Práce se zabývá zlomky v učivu základní školy.

V teoretické části jsou vymezeny základní pojmy a

rozpracována témata vztahující se k teorii tematického

celku „Zlomek“. Pozornost je rovněţ věnována historii

zlomků a konstrukci oboru racionálních čísel. Součástí

empirické části práce je nestandardizovaný didaktický

test, kterým byla testována úroveň znalostí dané

tematiky u ţáků 7. tříd ZŠ a 2. ročníků osmiletého

gymnázia.

Klíčová slova: Racionální číslo, zlomek, historie zlomku, didaktický

test.

Anotace v angličtině:

The thesis deals with fractions in primary school

curriculum. Basic concepts and the elaborated topics

related to the theory of fraction are defined in the

theoretical part. The attention is also devoted to the

history of fractions and to the construction of rational

numbers. A non-standardized didactic test is the

empirical part of the diploma work, it tested the level of

this topic knowledge in seventh grade pupils

and the 2nd

class of secondary grammar school.

Klíčová slova

v angličtině:

Rational number, fraction, history of fraction, didactic

test.

Přílohy vázané v práci: 2

Rozsah práce: 99 stran

Jazyk práce: český