Univerzitet u Istočnom SarajevuUniverzitet u Istočnom SarajevuFilozofski fakultetFilozofski fakultet

Odsjek: matematika i Odsjek: matematika i računarstvoračunarstvo

Student:Student:Milica RadmilMilica Radmilovićović

Profesor:Profesor:Prof. Dr MiloradProf. Dr Milorad K. K. BanjaninBanjanin

VIZUELIZACIJA UVIZUELIZACIJA U NASTAVINASTAVI MATEMATIKEMATEMATIKE

Mart 2012.

PREGLED TEMA I KLJUČNIH RIJEČI pojačava stvaralačko

mišljenje ne samo u horizontalnom i

vertikalnom smjeru, već i u laterarnim

smjerovima mišljenja, čineci ga širim, pokretljivijim,

otvorenijim, svestranijim.

pojačava stvaralačko

mišljenje ne samo u horizontalnom i

vertikalnom smjeru, već i u laterarnim

smjerovima mišljenja, čineci ga širim, pokretljivijim,

otvorenijim, svestranijim.

jе višeaspektna kategorija, tj. moze biti

sistem, оbjekat i proces.

Sistem је kada uspostavlja određenu strukturu, оbjekat је

кada se bavi коnkretnim sadržajem i proces је кadа sе ti коnkretni sadržaji u sistemu realizuju.

jе višeaspektna kategorija, tj. moze biti

sistem, оbjekat i proces.

Sistem је kada uspostavlja određenu strukturu, оbjekat је

кada se bavi коnkretnim sadržajem i proces је кadа sе ti коnkretni sadržaji u sistemu realizuju.

-gotovo u svim njenim disciplinama;

-i na svim obrazovnim nivoima;

-doprinosi unapređenju kvaliteta znanja

studenata;

-na njima su bazirani nastavni sadržaji kurseva

matematike, namijenjenim studentima

tehnike, informatike, fizike,

tehnologije, ekonomije,…

-gotovo u svim njenim disciplinama;

-i na svim obrazovnim nivoima;

-doprinosi unapređenju kvaliteta znanja

studenata;

-na njima su bazirani nastavni sadržaji kurseva

matematike, namijenjenim studentima

tehnike, informatike, fizike,

tehnologije, ekonomije,…

* masovna upotreba računara;(informaciono-komunikacione tehnologije);•prodor Interneta i •dostupnost brzog Interneta u domovima, školama i univerzitetima.

* masovna upotreba računara;(informaciono-komunikacione tehnologije);•prodor Interneta i •dostupnost brzog Interneta u domovima, školama i univerzitetima.

SAVREMENA MATEMATIKA

VIZUELIZACIJANASTAVA

Cilj Izučavanje •POJMOVA, •OSOBINA,

•TVRĐENJA, •PROBLEMA

•Jedan od pojmova •je FUNKCIJA

Na njenrazvoj

uticala je:

Danas su sasvim novi načini životа

u društvu Obimna produkcija еdukativnih proizvodа (кnjigе, softverski

paketi, CD-ovi, аpleti, internet-portali) namijenjenih zа učenjе

mаtematikе

produkcija obrazovnih sadržaja

u elektronskom formatu

SAVREMENA MATEMATIKA

najpogodniја zа učenjе podržano računarom.

informaciono društvо postaje sve dominantnije;

bazirano je na znanju; koje jedostupno širokoj populaciji

vizuelizacijsке mеtodе naročitо su аtraktivnо ugrađenе u svе formе računarom podržano učenje matematike

zahtijeva doživotno, permanentno učenje

i usavršavanje

vizuelizacija sama po sebipodrazumijeva viši kvalitet

u informacionoj obradi

Produkcija novih didaktičkih sredstava odvija se brže nego što se razvija i sama nauka didaktika matematike.

Zbog toga se javlja i izvjestan jaz između didaktičke teorije i nastavne prakse.

Značajan dio ovakvih novih didaktičkih materijala nema jasno postavljenu bazu u didaktici kao nauci;

Autori ovakvih materijala najčešće se vode sopstvenom intuicijom i eksperimentišu u nastavi.

Npr.šema

se baviIzučavanjem razumijevanja,

tj.daje značenje.

DIDAKTIKA

U fokusu teme je učenje u nastavi

i izvođenje nastave iz pojedinih predmeta,

koja omogućava ostvarenje cjelovitog ili holističkog učenja.

Obrazovni materijaliObrazovni materijali u u elektronskoj formi elektronskoj formi koji koji

sese baziraju nabaziraju na teorijskim osnovama teorijskim osnovama

teorijeteorije nastavenastave matematikematematike::

Obrazovni materijaliObrazovni materijali u u elektronskoj formi elektronskoj formi koji koji

sese baziraju nabaziraju na teorijskim osnovama teorijskim osnovama

teorijeteorije nastavenastave matematikematematike::

-Prezentacije

-Interaktivni fajlovi

-Apleti

-Dinamički i grafički prikazi

-Animacije -Interaktivni pogrami za vizuelizaciju konkretnihmatematičkihproblema

Svi ovi obrazovni

materijali se odnose na nastavne sadržaje

vezane za funkcije jedne

ili više promjenljivih

i imaju

naglašenu vizuelnu

komponentu.

GrafiGrafiččko prikazivanje funkcijako prikazivanje funkcija

““ČČitanjeitanje" " svojstavasvojstava funkcijafunkcija iziz njihovih njihovih grafikagrafika

ZnaZnaččenjeenje granigraniččnene vrijednostivrijednosti funkcijefunkcije uu tataččkiki

Neprekidnost funkcijaNeprekidnost funkcija

Izvod funkcije u taIzvod funkcije u taččkiki

11

33

55

44

22

DiferencijabilnostDiferencijabilnost 66 PrimjenePrimjene ii tumatumaččenjeenje teoremeteoreme oo srednjoj srednjoj

vrijednostivrijednosti

77Rimanove sumeRimanove sume 88OdreOdređđeni integraleni integral 99

Trodimenzionalna analitička geometrija – prave

1010

Ravni i kvadratne površine 1111

Grafičko prikazivanje funkcija dvije promjenljive

1212

Vektorske funkcije 1313

Tangente krive 1414

Tangentne ravni 1515

Geometrijsko tumačenje parcijalnih izvoda

1616

Dvojni integrali… 1717Osnovni

CILJ ovakvih

obrazovnihmaterijalaje vizuelno

i interaktivno

sticanje esencijalnih

znanja ofunkcijama

:

Izrada ovakvih elektronskih obrazovnih materijala obuhvata dva aspekta primjene softvera:

primjena slobodnog i/ili

besplatnog softvera kao sto je

GeoGebra (Dynamic Mathematics for

Everyone) ...primjena komercijalnog softvera

kao sto je

Matlab i softver za obradu video fajlova;

Slobodan softver је primijenjen i као platforma sistema za upravljanje е-učenjem. (Dokeos).

Razrađene su i metode integrisanja obrazovnih materijalau redovnoj nastavi matematike, jer one same

po sebi ne mogu obuhvatiti cjelokupan kompleksni nastavni proces, kao što i računar ne može zamijeniti nastavnika.

Dva tipa vizuelizacije:

SIMBOLIČKA vizuelizacija

SIMBOLIČKA vizuelizacija

tabelamatabelama

crtecrtežžimaima

graficimagraficima

ššemamaemama

dijagramimadijagramimagrafovima binarnih grafovima binarnih relacija...relacija...

Modela Modela ravanskih ravanskih

figurafiguraModelaModela

prostornih prostornih situacijasituacija Modela Modela

geometrijskih geometrijskih tijelatijela

PREDMETNA vizuelizacija

PREDMETNA vizuelizacija

se postiže:se postiže korišćenjem:

model se podrazumjeva kao fizička interpretacija određene prostorne

situacije.Kod nekih modela moguće je vidjeti

interakcije nekoliko objekata,npr.presjeci geometrijskog tijela sa ravnim.

naglašava se veza koju didaktička sredstva moraju uspostaviti sa načinom razmišljanja studenta, kako bi on bio u stanju da tačno razumije šta određeni crteži, slike ili šeme znače.

Crteži, tablice, grafici,… sve to se može znatno brže proizvesti, čak i u toku samog nastavnog procesa.

Simulacije je teže izraditi, ali se preporučuje da se koriste upravo za onu svrhu za koju se koriste fizički modeli.

Simboličkom vizuelizacijom

Kod predmetne vizuelizacije

U kontekstu simboličke i predmetne vizuelizacije, informacione tehnologije mogu se upotrijebiti za izradu

GRAFIKA i SIMULACIJA

NASTAVA MATEMATIKE

u PO svojoj prirodi u PO svojoj prirodi podrazumijeva podrazumijeva

izuizuččavanjeavanje

nasuprot STATInasuprot STATIČČKIH KIH MULTIMEDIJALNIH MULTIMEDIJALNIH

ALATKIALATKI

POJMOVAPOJMOVA CRTEžACRTEžA

koji su suštinski povezani sa određenim dinamičkim procesom ili situacijom.

trebaju se koristiti DINAMIČKE

MULTIMEDIJALNE ALATKE

OSOBINAOSOBINA

TVRĐENJATVRĐENJA

PROBLEMAPROBLEMA

GRAFIKAGRAFIKA

ANIMACIJEANIMACIJE

FILMOVIFILMOVI

SIMULACIJESIMULACIJE

“vizuelnimedijum"

“vizuelna pismenost"

“vizuelna reprezentacija "

“medijskailustracija"

“medijska pismenost" “vizuelna

komunikacijska vještina"

šta je ta je VIZUELIZACIJA?VIZUELIZACIJA?

“ilustracija"

U literaturi sreććemo

nekoliko sinonima, tj.različitih termina,

koji se odnose na ovaj pojam

ili su mu veoma bliski:

Philips, Noris, Macnab objavili su tabelarni pregled definicija vizuelizacije

Neke od njih su:Strong, Smith

2001 “Prostorna vizuelizacija je sposobnost za

manipulisanje sa objektom u

zamišljenom 3D prostoru i kreiranje reprezentacije tog objekta sa druge tačke gledišta”.

Habre (1995): “Vizuelizacija je proces u kojem

se koristi geometrija da bi

se ilustrovali matematički koncepti."

Hortin (1982): “sposobnost razumjeti i koristiti slike i misliti i učiti preko slike, odnosno, misliti vizuelno."

(Deliyianni, Monoyiou, Elia, Georgiou, Zannettou,2009). “Specijalno, u kontekstu rješavanja matematičkih problema, vizuelizacija upućuje na razumjevanje problema izradom i/ili korišćenjem dijagrama ili slike u svrhu dobijanja rješenja tog problema“.

(Korakakis, Pavlatou, Palyvos, Spyrellis, 2009). “Prostorna vizuelizacija je sposobnost preciznog razumijevanja trodimenzionalnih objekata od njihove dvodimenzionalne reprezentacije".

Sharma (1985), vizuelizaciju razumije kao “mentalnu slikovitost koja služi kao neki vid ‘ mentalne table' na kojoj se mogu razviti ideje i istraživati njihove implikacije."

Аrnheim-а (1991), “Vizuelizacija upućuje na kognitivne funkcije u vizuelnoj percepciji. U vizuelizaciji, slike kombinuju aspekte prirodnog predstavljanja za formalnije oblike da bi povećali kognitivno razumijevanje".

(Maihai, Ramadas,2009),

“Vizuelizacija je definisana

u smislu razumijevanja transformacije

neke strukture i njihovo povezivanje

funkcijom“.

(BenChaim, Lappan, Houiang, 1989). “vizuelizacija je

centralina komponenta mnogih procesa u kojima se pravi prelaz sa konkretnog na

apstraktni model mišljenja. To je alatka za

predstavljanje matematičkih ideja i informacija."

Sledeća definicija (Gilbert, Reiner, Nakhlen, 2008)

je najobuhvatnija i najprihvatljivija: “Vizuelizacija je spoljašnja reprezentacija–

sistematičkog i fokusiranog displeja informacijau obliku slika, dijagrama, tabela……

kao I unutrašnja reprezentacija- mentalnog produkovanja, skladištenja i

korišćenja slike koja je često (ali ne uvijek) rezultat spoljašnje reprezentacije.

Vizuelizacija se može smatrati mentalnim ishodom vizuelnog prikaza

nekog objekta ili događaja."

Na osnovu prethodnih definicija,možemo govoriti o kompozitnom pojmu koji je sačinjen od:

Fizička vizuelizacija- slike, 3D reprezentacije, šematske reprezentacije...

Možda čak obogaćene i zvukom ili drugim senzornim efektima i koje se mogu pojaviti na različitom mediju:

papiru, kompjuterskom ekranu, slajdu... ;

Introspektivna vizuelizacija- Mentalni objekti koje ličnost stvara vjerujući da su slični ili isti sa fizičkim objektima modelovani nekim

oblikom fizičke vizuelizacije;

Interpretativna vizuelizacija-Pretvaranje fizičkog objekta ili introspektivne vizuelizacije u neki oblik znanja – kognitivno smještanje u postojeće mreže vjerovanja, stavova, iskustava, razumijevanja, fakata i generalizacija.

UČENJE POTPOMOGNUTO VIZUELIZACIJOM

ScheiterScheiter, , WiebeWiebe и и HolsanovaHolsanova postavljajupostavljaju

dvijedvije funkcijefunkcije::

1. Instrukcijske funkcije vizuelizacije kao poruke koje one same sadrže;2. Instrukcijke funkcije vizuelizacije kao dodatak verbalnoj poruci;

Primjena vizuelizacijskih metoda je efektivna samo ako ove metode ispunjavaju funkcije relevantne za postizanje nastavnih ciljeva.

Bez obzira na to da li su vizuelizacije korišćene sa ili bezverbalnih obrazloženja one mogu posjedovati sledeće funkcije:

Motivacijski uticaj; Zamjena ili dopuna iskustvu iz realnog života;

VizuELNo-prostorno rasuđivanje;

Reprezentacijska funkcija

Dekorativna funkcija (često

ima i negativan

uticaj)

Transformacijska funkcija

Interpretacijska funkcija

Organizacijska

funkcija

Sledeće funkcije se odnose na vizuelizaciju kao dodatku verbalnih poruka:

INDIVIDUALNE KARAKTERISTIKE STUDENTA imaju bitan uticaj na efektivnost učenja preko

vizuelizacije na sledeći način:

* percepiranje* interpretiranje * razumijevanje

* korišćenje slike;

Slikovne kompetencije

* Student sa većim predznanjem

bolje fokusira pažnju na relevantne informacije

* Sposobnost dekodiranja slika,razumijevanja i povezivanja

vizuelnih odlika reprezentacije sa interpretacijom objekta ili sadržaja

* Sposobnost mentalnog transformisanja

objekta u dvo ili trodimenzionalnom svijetu

i sposobnost zamišljanja promjenekoje nastaju kod objekata

nakon ovakvih transformacija

Vizuelna pismenost

Predznanja o specificnom domenu

Vizuelno-prostorne sposobnosti

KOGNITIVNE SPOSOBNOSTIKOGNITIVNE SPOSOBNOSTI 1.1.

* Psihološka dimenzija koja predstavlja konzistentnot u načinu na koje individua stiče i obrađuje informacije

je kognitivni stil.

Dva tipa studenataDva tipa studenata:: VIZUELIZATORIVIZUELIZATORI VERBALIZATORIVERBALIZATORI

KOGNITIVNI STILKOGNITIVNI STIL2.2.

PREFERIRANJE VIZUELNOGPREFERIRANJE VIZUELNOG NASPRAM VERBALNOGNASPRAM VERBALNOG

3.3.

* Individualne razlike u stilovima se odnose na to na koji način individua preferira da dobije informaciju:

vizuelno ili vizuelno ili verbalnoverbalno. .

Kod individua Kod individua pravimo razliku pravimo razliku izmeizmeđđu u onihonih koji koji se radije se radije fokusiraju nafokusiraju na ššematske ematske interpretacije-interpretacije- lokacije objekata lokacije objekata i prostorne vezei prostorne veze izmeizmeđđu njihu njih ((PROSTORNI PROSTORNI VIZUELIZATORIVIZUELIZATORI) ) i i onih kojionih koji sese fokusiraju na fokusiraju na formuformu, , veliveliččinuinu, , bojuboju, , svjetlostsvjetlost ((IKONIIKONIČČKI KI VIZUELIZATORIVIZUELIZATORI).).

““ PrimjenaPrimjena vizuelizacije nikako ne bi vizuelizacije nikako ne bi trebala biti sama po sebi ciljtrebala biti sama po sebi cilj..””

Kada seKada se vizuelizacija primjenjujevizuelizacija primjenjuje samo radisamo radi njenenjene dekorativnedekorativne funkcijefunkcije,,

bezbez povezivanja sapovezivanja sa sadrsadržžajemajem i samo da bii samo da bi uuččinila tekstinila tekst, , prezentacijuprezentaciju iliili nastavninastavni procesproces interensantnijiminterensantnijim, ,

ona moona možže dovesti povee dovesti poveććanjaanja interesa iinteresa i motivacijemotivacije,,aliali najnajččeešćšćee samosamo defokusiradefokusira studentastudenta

od suod sušštinskogtinskog dijela procesadijela procesa uuččenjaenja..

ISHODI/EFEKTI

V I Z U E L I Z A C I J A

FUNKCIJE

MOTIVACIONE

Motivacioni uticaj. Vizuelizacija nije ograničena samo na podršku memorisanju već i dostizanju viših kognitivnih nivoa

PODSTIČE

PAMĆENJE

KOMUNIKACIONE

Zamena ili dopuna iskustva iz realnog života

STRUKTURIRAJUĆE

Vizuelno-prostorno rasuđivanje

IZRAŽAVA LIČNA ISKUSTVA

POJAŠNJAVA

KOMPLEKSNE SADRŽAJE

SLIČNOST i SIMULACIJASIMULACIJA je metoda predstavljanja PONAŠANJA ili KARAKTERISTIKA jednog entiteta (sistema , objekta, procesa,..) kroz korištenje nekog drugog komparativnog entiteta,. poseban računarski program namenjenog za tu svrhu.

SLIČNOST definišu parametri i/ili varijable nekog entiteta koji je predmet istraživanja, poređenja , vizuelizacije ili simulacije-Tri vrste sličnosti :

•strukturalna sličnost –HOMOLOGIJA ,podrazumeva reprodukciju ili ponavljanje strukture. Npr. dijagramska mapa grada jeste homologija objektivne stvarnosti u kojoj trgovi i ulice nose isti strukturni odnos. Model komunikacionog procesa jeste homologija u tome što predstavlja odnos uključenih elemenata.

•formalna sličnost– ANALOGIJA je pojam koji označava reprodukciju ili ponavljanje formi. Za razliku od homologije koja označava strukturalnu sličnost, analogija označava formalnu sličnost.

•funkcionalna sličnost– IZOMORFIZAM podrazumeva korespodentost između matematičkog modela entiteta i fizičkih manipulacija koje se izvode sa tim entitetom

•.•.

konceptualno simulacijsko modelovanje

konceptualno simulacijsko modelovanje

Pod modelovanjem se podrazumeva proces oblikovanja, odnosno, izrađivanja sistema, objekta ili procesa na temelju nekog uzorka.

Pod modelovanjem se podrazumeva proces oblikovanja, odnosno, izrađivanja sistema, objekta ili procesa na temelju nekog uzorka.

Model predstavlja apstraktni prikaz sistema i poseduje barem osnovna svojstva originala,i njima se omogućava opisivanje složenih fenomena.

Model predstavlja apstraktni prikaz sistema i poseduje barem osnovna svojstva originala,i njima se omogućava opisivanje složenih fenomena.

modeli dinamičkih sistema

njihovo stanje se menja tokom vremena

omogućavaju ispravan prikaz i efikasno izvođenje pomaka vremena

omogućavaju istovremeno odvijanje aktivnosti

Osnovne komponente simulacijskog modelovanja su:

Sistem Sistem

Model Model

Program Program

Računar Računar

skup delova koji zajedničkim međudelovanjem ostvaruju zadani cilj ili funkciju

prikazuje strukturu sistema, njegove delove i njihovo međudelovanje

detaljan opis strukture i načina rada modela

na temelju instrukcija programa i ulaznih podataka generiše razvoj modela u vremenu

Osnovne operacije nad komponentama su:Osnovne operacije nad komponentama su:

Analiza i modelovanje

Analiza i modelovanje

analiza strukture i načina rada sistema, te predstavljanje sistema u formalnom apstraktnom obliku

analiza strukture i načina rada sistema, te predstavljanje sistema u formalnom apstraktnom obliku

Programiranje Programiranje detaljan prikaz modela u obliku pogodnom za rad na računaru

detaljan prikaz modela u obliku pogodnom za rad na računaru

Simulacija Simulacija izvođenjem instrukcija programa na račuaru, oponaša se razvoj sistema u vremenu

izvođenjem instrukcija programa na račuaru, oponaša se razvoj sistema u vremenu

Prvi korak simulacijskog modelovanja je izgradnja

konceptualnih simulacijskih modela. Njihova je važnost da:

Prvi korak simulacijskog modelovanja je izgradnja

konceptualnih simulacijskih modela. Njihova je važnost da:

izdvoje najvažnije karakteristike sistema

opišu elemente sistema i njihovo međudelovanje

pomognu u komunikaciji onih koji razvijaju model i onih koji se koriste njime

pomognu u komunikaciji onih koji razvijaju model i onih koji se koriste njime pomognu u razvijanju računarskog modela

omogućavaju strukturiranje problema, te služe kao alat za

razmišljanje o problemu i za njegovo bolje razumevanje

omogućavaju strukturiranje problema, te služe kao alat za

razmišljanje o problemu i za njegovo bolje razumevanje

sadrže grubi opis sistema i njegovu razradu u module sadrže grubi opis sistema i njegovu razradu u module

povezuju identifikaciju sistema i detaljan opis simulacijskog programa

povezuju identifikaciju sistema i detaljan opis simulacijskog programa

predstavljaju objekte s dinamičkim paralelnim međudelovanjem

predstavljaju objekte s dinamičkim paralelnim međudelovanjem

Od kvalitetnog konceptualnog modela se očekuje:Od kvalitetnog konceptualnog modela se očekuje:

jednostavan, prirodan, lako razumljiv i nedvosmislen prikaz elemenata sistema,

jednostavan, prirodan, lako razumljiv i nedvosmislen prikaz elemenata sistema,

velike izražajne mogućnosti modelovanja,velike izražajne mogućnosti modelovanja,

modularan i fleksibilan prikaz koji omogućuje jednostavne i sigurne izmene modela.

modularan i fleksibilan prikaz koji omogućuje jednostavne i sigurne izmene modela.

Uloga Petrijevih mreža u konceptualnom simulacijskom modelovanju

Uloga Petrijevih mreža u konceptualnom simulacijskom modelovanju Petrijeve mreže su jedna od grafičkih metoda konceptualnog

simulacijskog modelovanja. Njihovom upotrebom i pridržavanjem precizno definisanih pravila, može se izgraditi konceptualni model određenog sistema čije se ponašanje želi simulirati.

poseduju sve bitne karakteristike koje metode Konceptualnog modelovanja trebaju imati

zbog svoje dvodimenzionalnosti omogućavaju čovekovu vizualizaciju modelovanog sistema

omogućavaju i istovremeno odvijanje aktivnosti, te opisuju problem takmičenja procesa za resurse

omogućavaju i prikaz dinamičkih diskretnih događaja koji svoje stanje menjaju tokom vremena

PRIMER SIMULACIJE ZA RAZVOJ DSP ALGORITMA Za razvoj algoritma primenjujemo alat sa viših nivoa razvoja,: MATLAB, Simulink, C, C++ Simulaciju DSP algoritama je moguće ostvariti i pomoću računara opšte namene, Prednosti razvijanja na računaru opšte primene:1. Pomoću pribora višeg nivoa smanjujemo vreme razvoja i omogućavamo primenu C jezika na više DSP hardverskih platformi.2. Lako možemo da pratimo i da modifikujemo program koji je napisan u jeziku višeg nivoa pomoću integrisanog pribora za razvoj.3. Input – output operacije se lako mogu ostvariti pomoću fajlova sa diska, što mogućava lake analize sistema4. Kod računarskih simulacija moguće je upotrebiti formate podataka i aritmetiku sa pokretnim zarezom 5. Pomoću MATLAB ili Simulink lako se mogu ostvariti simulacije za DSP implementacije sa fiksnom tačkom.

Razvoj softvera pomoću personalnog računara

DSP-Digital Signal Processing

Pojednostavljen razvojni dijagram DSP sistema

Hvala na paHvala na pažžnji ! ! !nji ! ! !

Sadržitelj SubsadržiteljFaktor Prefiks Simbol Faktor Prefiks Simbol1024

1021

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

jotazetaeksapetateragigamegakilohektodeka*

YZEPTGMk

h**

da**

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10-24

decicentimilimikronanopikofemtoatozeptojokto

d**

c**

mμnpfazy

SI prefiksi (referenca)SI prefiksi (referenca)

" "

Svaka smrt umanjuje me jer sam deo Svaka smrt umanjuje me jer sam deo čovečanstva. I zato nikad ne pitaj za kim čovečanstva. I zato nikad ne pitaj za kim

zvona zvone, zvone za tobom. zvona zvone, zvone za tobom. " "

" U životu čoveka postoje samo tri događaja, " U životu čoveka postoje samo tri događaja, rođenje, život i smrt. rođenje, život i smrt. Dok se rađa ne oseca, Dok se rađa ne oseca,

dok umire pati, a zaboravlja da živi. " dok umire pati, a zaboravlja da živi. "

" " Budali se čini da je Budali se čini da je sve što ne sve što ne razume filozofija razume filozofija ""

" "

Svaka smrt umanjuje me jer sam deo Svaka smrt umanjuje me jer sam deo čovečanstva. I zato nikad ne pitaj za kim čovečanstva. I zato nikad ne pitaj za kim

zvona zvone, zvone za tobom. zvona zvone, zvone za tobom. " "

" U životu čoveka postoje samo tri događaja, " U životu čoveka postoje samo tri događaja, rođenje, život i smrt. rođenje, život i smrt. Dok se rađa ne oseca, Dok se rađa ne oseca,

dok umire pati, a zaboravlja da živi. " dok umire pati, a zaboravlja da živi. "

" " Budali se čini da je Budali se čini da je sve što ne sve što ne razume filozofija razume filozofija ""