Uniwersytet Mikołaja KopernikaWydział Matematyki i Informatyki

Różne rodzaje stabilności rozwiązańna przestrzeniach czasowych

Sebastian Ruszkowskinr albumu: 219871

Toruń, 2010

Spis treści

Wstęp 2

1 Przestrzenie czasowe 31.1 Funkcje skoku i klasyfikacja punków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 ∆-pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Równania ∆-różniczkowe 62.1 Układy nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Układy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Stabilność na przestrzeniach czasowych 103.1 Stabilność w sensie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Stabilność wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Stabilność orbitalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Stabilność w sensie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Porównanie stabilności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A x∆ = f1(t, x) czy x∆ = f2(t, x, x◦σ)? 14

B Rozwiązania zadań 16

Bibliografia 21

1

Wstęp

Celem tej pracy jest zdefiniowanie i omówienie różnych rodzajów stabilności rozwiązań równań∆-różniczkowych (na przestrzeniach czasowych).

W rozdziale 1 zaczynam od wprowadzenia podstawowych własności przestrzeni czasowych,rachunku różniczkowego (czy też ściślej: ∆-różniczkowego) i całkowego na tych przestrzeniach.Następnie w rozdziale 2 przedstawiam elementy teorii równań ∆-różniczkowych. Znajdują się tupewne dokonane przeze mnie uogólnienia teorii nieliniowej.

Ostatni i zarazem kluczowy rozdział 3 pracy jest w większości autorski. Stabilności, którepojawiają się w tym rozdziale, są przeniesieniem na przestrzenie czasowe definicji z [2]. Zakładamrównież, że czytelnik zna podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych, dzięki czemu natu-ralne staną się metody postępowania przeniesione właśnie z teorii stabilności w sensie Lapunowadla równań różniczkowych.

Do każdej części prezentuję również zestaw ułożonych przez siebie zadań wraz z rozwiązaniami.

2

Rozdział 1

Przestrzenie czasowe

Przestrzenią czasową (Time scale) nazwiemy dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczy-wistych R oznaczany T. Zdefiniujemy w tym rozdziale pojęcia ∆-pochodnej f∆ i całki

∫ baf(t)∆t

dla funkcji f : T → X o wartościach w przestrzeni Banacha (zazwyczaj będziemy brali X = Rnlub X = R), oraz podstawowe własności tych pojęć. Posłuży nam to w następnym rozdziale dorozważania równań ∆-różniczkowych, które są unifikacją równań różniczkowych na R i równańróżnicowych na Z, oraz uogólnieniem na innych przestrzeniach czasowych.

1.1 Funkcje skoku i klasyfikacja punków

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń T są funkcje skoku σ, ρ :T→ T i µ :T→ R,określone w następujący sposób:

Definicja 1.1.1.

• σ(t) = inf{s ∈ T : s > t} funkcja następnika / funkcja skoku przedniego(forward jump operator)

• ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t} funkcja poprzednika / funkcja skoku wstecznego(backward jump operator)

• µ(t) = σ(t)− t funkcja ziarnistości (graininess function)

gdzie na potrzeby definicji przyjmiemy odpowiednio: inf ∅ = sup T i sup ∅ = inf T.1

Dzięki takiemu przyjęciu wartości na ekstremach T, funkcja następnika jest niemalejąca i funkcjapoprzednika jest nierosnąca.

Każdy punkt t ∈ T ma charakteryzację poprzez funkcje skoku.

Definicja 1.1.2.Punkt t jest:

• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli ρ(t) = t > inf T

• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli σ(t) = t < sup T

• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli ρ(t) < t

• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli σ(t) > t

• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty

• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany1Oznacza to, że jeżeli T osiąga swój kres górny (dolny), to funkcje następnika (poprzednika) nie byłaby określona

na całym T jedynie przy pomocy definicji kresowej i trzeba ją rozszerzyć na kresie, przyjmując σ(sup T) = sup T(ρ(inf T) = inf T).

3

4 Rozdział 1. Przestrzenie czasowe

Przykład 1.1.1.Podstawowymi przykładami przestrzeni czasowych są R i Z:

a) dla T = R, mamy: σ(t) = ρ(t) = t, µ(t) = 0, wszystkie punkty są gęste

b) dla T = Z, mamy: σ(t) = t+ 1, ρ(t) = t− 1, µ(t) = 1, wszystkie punkty są izolowane

1.2 ∆-pochodna

Celem uzależnienia ∆-pochodnej od własności T użyjemy funkcji następnika.

Definicja 1.2.1.∆-pochodną funkcji f : T→ X w punkcie t nazwiemy liczbę f∆(t) o własności:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀s∈B(t,δ)∩T ‖f(σ(t))− f(s)− f∆(t)(σ(t)− s)‖ ≤ ε|σ(t)− s|

Zauważmy, że jeżeli T jest ograniczony z góry i tM = sup T = max T jest punktem lewostron-nie izolowanym, to dla każdej wartości f∆(tM ) powyższy warunek jest spełniony niezależnie odfunkcji f.

Ta niejednoznaczność jest przyczyną rozpatrywania różniczkowalności jedynie na zbiorze Tκokreślonym następująco:

Tκ =

{T \

(ρ(sup T), sup T

]sup T

1.3. Całkowanie 5

1.3 CałkowanieSposób w jaki uzyskamy pojęcie całki jest to tak zwane podejście Newtona–Leibniza. W tym

celu potrzebujemy kilku definicji wstępnych.

Definicja 1.3.1.Funkcją pierwotną funkcji f na zbiorze D ⊂ T nazwiemy ciągłą funkcję F : T→ X taką,

że ∀t∈D F∆(t) = f(t)

Definicja 1.3.2.Funkcję f nazwiemy pg-ciągłą jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje

skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych, oznaczamy to: f ∈ CpgTwierdzenie 1.3.1.

Dla każdej funkcji f pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna F na Tκ. Na dodatek F jestwyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

(patrz [1, Th. 1.74, str 27])Powyższe twierdzenie pozwala nam zdefiniować całkę dla funkcji pg-ciągłych

t∫t0

f(x)∆xdef

:= F (t)− F (t0)

Twierdzenie 1.3.2.Własności całki:

a)∫ baαf(t) + βg(t)∆t = α

∫ baf(t)∆t+ β

∫ bag(t)∆t

b)∫ σ(t)t

f(τ)∆τ = f(t)µ(t)

c) [a, b] ⊂ T⇒∫ baf(t)∆t =

∫ baf(t)dt

d)∫ baf(t)∆t = −

∫ abf(t)∆t

e)∫ baf(t)∆t =

∫ caf(t)∆t+

∫ bcf(t)∆t

f)∥∥∥∫ ba f(t)∆t∥∥∥ 6 ∫ ba ‖f(t)‖∆t

g) dla X = R mamy również: |f(t)| 6 g(t)⇒∣∣∣∫ ba f(t)∆t∣∣∣ 6 ∫ ba g(t)∆t

(patrz [1, Th. 1.75,1.77 str 28])

1.4 ZadaniaZadanie 1.1.

Znaleźć funkcje skoku i charakteryzację punktów przestrzeni

T ={

1n

: n ∈ Z \ {0}}∪ {0}

Zadanie 1.2.Zbadać ∆-różniczkowalność oraz dwukrotną ∆-różniczkowalność funkcji f(t) = t2 na T =⋃

n∈Z[2n, 2n+ 1], oraz wskazać ∆-pochodną i drugą ∆-pochodną.

Zadanie 1.3.Policzyć na T =

{1− 1n : n ∈ N+

}∪ [1, 3] całkę:∫ e

12

1t∆t

Rozdział 2

Równania ∆-różniczkowe

Równania ∆-różniczkowe są uogólnieniem równań różniczkowych i różnicowych. Podaję tu-taj moją definicję równania ∆-różniczkowego, będącą próbą unifikacji i rozszerzenia pojęcia zróżnych zagadnień, chociaż zazwyczaj rozpatruje się nieco uproszczoną wersję definicji równania∆-różniczkowego (x∆(t) = f(t, x(t))). Dyskusję na ile jest to ogólniejsze podejście przeprowadz-imy w dodatku A.

2.1 Układy nielinioweNiezbędne będzie kilka pojęć wstępnych.

Definicja 2.1.1.f : T× X2 → X jest:

a) pg-ciągła, jeżeli dla każdej funkcji ciągłej x : T → X funkcja ϕ(t) = f(t, x(t), x(σ(t))) jestpg-ciągła

b) lipschitzowska na S ⊂ (T× X× X), jeżeli

∃L>0∀(t,x1,y1),(t,x2,y2)∈S ‖f(t, x1, y1)− f(t, x2, y2)‖ 6 L ·max{‖x1 − x2‖, ‖y1 − y2‖}

Definicja 2.1.2.Równaniem ∆-różniczkowym zwyczajnym nazywamy:{

x∆ = f(t, x, x ◦ σ)x(t0) = x0

gdzie f : T× X2 → X jest pg-ciągła.

Niech B(x0, b) kulą w X o promieniu b i Ia = (t0 − a, t0 + a) ∩ T.

Twierdzenie 2.1.1 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań).Jeżeli f : T × X2 → X jest pg-ciągła, lipschitzowska na (Ia × B(x0, b)2) (ze stałą L > 0)

i ograniczona przez M , wtedy układ:{x∆(t) = f(t, x(t), x(σ(t)))x(t0) = x0

ma dokładnie jedno rozwiązanie na J = [t0 − α, t0 + α] ∩ T, gdzie α = min{a, bM ,1−εL }

Dowód. Skorzystamy z twierdzenia Banacha dla kontrakcji.Dla ułatwienia zapisu przyjmujemy, że x(σ(max(t ∈ J))) = x(max(t ∈ J)).

Dla C(D,Y) = {g : D→ Y : g jest ciągłe} z normą sup zadamy odwzorowanie funkcji:

ψ : C(J, B(x0, b))→ C(J,X)

6

2.1. Układy nieliniowe 7

ψ(x)(t) = x0 +∫ tt0

f(t, x(t), x(σ(t)))∆s

sprawdźmy, czy spełnione są założenia tw. Banacha.

‖ψ(x)(t)− x0‖ =∥∥∥∥∫ t

t0

f(t, x(t), x(σ(t)))∆s∥∥∥∥ 6 |t− t0|M 6 αM 6 b

więc ψ(C(J, B(x0, b))) ⊂ C(J, B(x0, b)).Korzystając z twierdzenia 1.3.2a,f,g oraz ‖x−y‖ > ‖x◦σ−y ◦σ‖ otrzymujemy ciąg szacowań:

‖ψ(x)− ψ(y)‖ = supt∈J

∥∥∥∥∫ tt0

f(s, x(s), x(σ(s)))− f(s, y(s), y(σ(s)))∆s∥∥∥∥ 6

6 supt∈J

∫ tt0

‖f(s, x(s), x(σ(s)))− f(s, y(s), y(σ(s)))‖∆s 6

6 supt∈J

∫ tt0

L ·max{‖x(s)− y(s)‖, ‖x ◦ σ(s)− y ◦ σ(s)‖}∆s 6

6 supt∈J

∫ tt0

L ·max{‖x− y‖, ‖x ◦ σ − y ◦ σ‖}∆s =

= supt∈J|t− t0|L‖x− y‖ 6 αL‖x− y‖ 6

6 (1− ε)‖x− y‖

więc jest to kontrakcja.Spełnione są założenia tw. Banacha. Otrzymujemy więc istnienie dokładnie jednego rozwiąza-

nia równania x = ψ(x), a tym samym dokładnie jedno rozwiązanie układu początkowego.

Twierdzenie 2.1.2 (Globalne istnienie i jednoznaczność rozwiązań).Jeżeli f : T×X2 → X jest pg-ciągła i dla każdego punktu (t, x) ∈ (T× X) istnieje jego otoczenie

(S ×B(x, bx)) ⊂ (T×X) takie, że na (S ×B(x, bx)2) f jest ograniczona i lipschitzowska ze stałąLt,x > 0 spełniającą warunek Lt,xµ(t) < 1 ∧ Lt,x(t− ρ(t)) < 1, wtedy układ:{

x∆(t) = f(t, x(t), x(σ(t)))x(t0) = x0

ma dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie na maksymalnym przedziale istnienia Imax, któryjest otwarty w T.

Lemat 2.1.2.1.Niech X będzie przestrzenią Banacha, y ∈ X i ϕ(x) : X→ X będzie zwężające. Wtedy istnieje

dokładnie jedno rozwiązanie x ∈ X równania:

y = (id+ ϕ)(x) (*)

Dowód. (Lematu)Rozważmy odwzorowanie g(x) := y − ϕ(x). Dla x, z ∈ X mamy:

‖g(x)− g(z)‖ = ‖y − y + ϕ(z)− ϕ(x)‖ 6 λ‖z − x‖

więc g jest zwężające, a stąd z twierdzenia Banacha istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania:x = g(x) = y − ϕ(x), które można zapisać również jako (*).

Dowód. (Twierdzenia o globalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań)Pokażemy najpierw, że z założeń i x(t) = y wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązań w ρ(t)

dla t lewostronnie izolowanego i σ(t) dla t prawostronnie izolowanego.

x(σ(t)) = x(t) + µ(t)x∆(t) = y + µ(t)f(t, y, x(σ(t)))

więc (id− µ(t)f(t, y, · ))(x(σ(t))) = y.

8 Rozdział 2. Równania ∆-różniczkowe

Odwzorowanie −µ(t)f(t, y, · ) jest zwężające ponieważ µ(t0)Lt,x < 1, więc podstawiając ϕ :=−µ(t)f(t, y, · ), x := x(σ(t)), y := y do (*) otrzymujemy z lematu istnienie i jednoznacznośćrozwiązania w x(σ(t)).

Analogicznie postępujemy z ρ(t):

y = x(t) = x(ρ(t)) + µ(ρ(t))x∆(ρ(t)) = x(ρ(t)) + µ(ρ(t))f(t, x(ρ(t)), x(σ(ρ(t)))) == x(ρ(t)) + µ(ρ(t))f(t, x(ρ(t)), y)

więc (id+ µ(t)f(t, ·, y))(x(ρ(t))) = y, co z Lematu daje istnienie i jednoznaczność rozwiązania wx(ρ(t)).

Teraz możemy przejść do właściwej części twierdzenia.Z twierdzenia 2.1.1 wiemy, że istnieje lokalne rozwiązanie. Rozszerzmy je teraz w lewo i prawo

tak długo jak to możliwe uzyskując nierozszerzalne rozwiązanie x1. Gdyby x1 było określony nat1sup = sup{t ∈ T; x1(t) określone} prawostronnie gęstego otrzymujemy możliwość rozszerzeniaz tw. 2.1.1, a dla t1sup prawostronnie izolowanego możemy rozszerzyć na jego następnik z pierszejczęści dowodu. Analogicznie rozumując dla t1inf = inf{t ∈ T; x1(t) określone} otrzymujemy, żeI1max = (t1inf , t1sup) ∩ T, a więc jest otwarte w T.

Załóżmy nie wprost, że znajdziemy inne nierozszerzalne rozwiązanie x2 na I2max. Z domknię-tości T oraz ciągłości x1 i x2 wiemy, że zbiór {t ∈ T; x1(t) = x2(t)} jest domknięty w I1max∩I2max.

Załóżmy teraz, że różnica pojawia się na lewo od t0. Z domkniętości {t ∈ T; x1(t) = x2(t)}wiemy, że w punkcie s := sup{t ∈ T; t < t0 ∧ x1(t) 6= x2(t)} obie funkcje są równe. Jeżeli s jestlewostronnie gęsty to na podstawie twierdzenia 2.1.1 otrzymujemy jednoznaczność rozwiązaniana jakimś otoczeniu s, a tym samym równość x1 i x2, co jest sprzeczne z definicją tego punktu.Jeżeli zaś s jest lewostronnie izolowany to z pierwszej części dowodu uzyskujemy jednoznacznośćrozwiązania dla ρ(s), co również przeczy definicji s.

Analogiczne rozumowanie dla różnicy między x1 a x2 dla jakiegoś t > t0 również prowadzi dosprzeczności. Otrzymujemy więc jednoznaczność rozwiązania nierozszerzalnego.

2.2 Układy linioweDefinicja 2.2.1.

Przekształcenie cylindryczne definiujemy dla h > 0 i z ∈ C następująco:

ξh(z) :={

1hLog(1 + zh) dla h > 0z dla h = 0

Przekształcenie cylindryczne ma swoje podłoże ideologiczne w uogólnionych liczbach zespolonych(patrz [1, podrozdział 2.1]).

Łatwo zauważyć, że ξh((− 1h ,∞)

)= R

Definicja 2.2.2.Uogólniona funkcja exponenta dla funkcji p : T→ R:

ep(t, s) := exp(∫ t

s

ξµ(τ)(p(τ))∆τ)

wprost z definicji

Twierdzenie 2.2.1.Jeżeli ∀t∈T 1 + µ(t)p(t) > 0 to ∀t,t0∈T ep(t, t0) > 0.

Twierdzenie 2.2.2.Niech p : T → R spełnia warunki: p ∈ Cpg, ∀t∈Tκ 1 + µ(t)p(t) 6= 0, wtedy dla ustalonego t0

uogólniona funkcja exponenta ep(·, t0) jest rozwiązaniem układu:{x∆(t) = p(t)x(t)x(t0) = 1

(patrz [1, Th. 2.33, str 59])

2.3. Zadania 9

2.3 ZadaniaZadanie 2.1.

Dla T = [0, 1] ∪ N znaleźć rozwiązanie układu: x∆1 (t) = πx2(t)x∆2 (t) = −πx1(σ(t))x1(0) = 0, x2(0) = 1

Zadanie 2.2.Dla T = Z∪

⋃k∈Z{k+1/n : n ∈ N+} zbadać w zależności od parametru a czy zagwarantowane

jest istnienie rozwiązania na mocy twierdzenia 2.1.2 dla równania:

x∆(t) =1

a+ x2(t)+√a3 · x(σ(t))

Zadanie 2.3.Dla T =

{2n2 : n ∈ Z

}znaleźć e−1(t, 0).

Rozdział 3

Stabilność na przestrzeniachczasowych

W tym rozdziale rozpatrywać będziemy równania ∆-różniczkowe postaci:

x∆(t) = f(t, x(t), x(σ(t))) (3.1)

gdzie sup(T) = ∞ oraz f : T × R2n → Rn jest pg-ciągła i dla każdego punktu (t, x) ∈ (T× Rn)istnieje jego otoczenie (S ×B(x, bx)) ⊂ (T× Rn) takie, że na (S ×B(x, bx)2) f jest ograniczonai lipschitzowska ze stałą Lt,x > 0 spełniającą warunekLt,xµ(t) < 1 ∧ Lt,x(t− ρ(t)) < 1.

Z twierdzenia 2.1.2 wiemy, że układ (3.1) ma dla dowolnego punktu t0 ∈ T, x0 ∈ Rn dokładniejedno nierozszerzalne rozwiązanie przechodzące przez ten punkt.

Odtąd przyjmujemy oznaczenie: I+ = [t0,∞) ∩ T

3.1 Stabilność w sensie LapunowaDefinicja 3.1.1.

Mówimy, że rozwiązanie χ przechodzące przez (t0, x0) układu (3.1) jest stabilne w sensieLapunowa jeżeli:

∀ε>0∃δ>0∀x∈B(x0,δ)∀t∈I+ ‖χ(t)− η(t0,x)(t)‖ < ε

gdzie η(t0,x) jest rozwiązaniem układu (3.1) przechodzącym przez (t0, x).

Z definicji wynika w szczególności, że η(t0,x) są nieograniczenie przedłużalne w prawo.Jeżeli teraz przyjmiemy: y = x− χ to przez odpowiednie podstawienia otrzymujemy:

y∆(t) =[f(t, (y + χ)(t), (y + χ)(σ(t)))− f(t, χ(t), χ(σ(t)))

](3.2)

Nowy układ (3.2) spełnia wszystkie założenia twierdzenia 2.1.2 i nazywamy go układem zre-dukowanym . Ma on rozwiązanie stałe równe 0 (które nazywa się rozwiązaniem trywialnym)odpowiadające rozwiązaniu χ(t) w wyjściowym układzie (3.1).

Widzimy więc, że w tej teorii wystarczy rozpatrywać układ zredukowany (3.2) z rozwiązaniemtrywialnym.

W miejscach, w których będzie można przeprowadzić podobne rozumowanie sprowadzającebadanie stabilności rozwiązania układu (3.1) do rozwiązania trywialnego układu zredukowanegobędę opisywał już w układzie (3.2).

Definicja 3.1.2.Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest asymptotycznie stabilne

w sensie Lapunowa (lub w skrócie asymptotycznie stabilne) o ile jest ono stabilne w sensieLapunowa oraz:

∃δ>0∀x∈B(0,δ) limt→∞

y(t0,x)(t) = 0

gdzie y(t0,x) jest rozwiązaniem przechodzącym przez (t0, x).

10

3.2. Stabilność wykładnicza 11

Definicja 3.1.3.Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest globalnie asymptotycznie

stabilne (w sensie Lapunowa) o ile jest ono stabilne w sensie Lapunowa oraz:

∀(s,x)∈(T,Rn) limt→∞

x(s,x)(t) = 0

Z definicji widzimy, że jest to zawężenie pojęcia stabilności asymptotycznej oraz, że jest tobardziej własność całego układu niż konkretnego rozwiązania rozwiązania.

3.2 Stabilność wykładnicza

Definicja 3.2.1.Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest stabilne wykładniczo o ile

jest stabilne w sensie Lapunowa oraz:

∃h,N,α>0 (∀t∈T 1− µ(t)α > 0) ∧(∀(t0,x0)∈(T,Bn(0,h))∀t∈I+ ‖x(t0,x0)(t)‖ ≤ N‖x0‖e−α(t, t0)

)gdzie x(t0,x0) jest rozwiązaniem przechodzącym przez (t0, x0).

Z definicji exponenta otrzymujemy, że dla y(t) := e−α(t, t0) mamy:∀s∈T ξµ(s)(−α) < 0, więc dla t > t0 mamy

∫ tt0ξµ(τ)(−α)∆τ < 0, więc y(t) jest malejąca, co

w połączeniu z tw.2.2.1 daje istnienie granicy:limt→∞ y(t) =: a > 0

Z twierdzenia 2.2.2 otrzymujemy więc:0 = limt→∞ 0 = limt→∞(y∆(t) + αy(t)) = αa+ limt→∞ y∆(t)

gdyby a > 0 to limt→∞ y∆(t) < 0, a stąd limt→∞ y(t) = −∞.Powyższa sprzeczność dowodzi, że limt→∞ e−α(t, t0) = 0Widzimy więc, że stabilność wykładnicza jest zawężeniem pojęcia stabilności asymptotycznej.

Mówi jednak dodatkowo jak szybko rozwiązania z otoczenia zbliżają się do rozwiązania stabilnego.Powyższe ograniczenie zostało dobrane naturalnie do asymptotyki rozwiązania układu lin-

iowego.Analogicznie można wprowadzić pojęcie globalnej stabilności wykładniczej, nie ograniczając

po prostu doboru x0:

Definicja 3.2.2.Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest globalnie stabilne wykład-

niczo o ile:

∃N,α>0 (∀t∈T 1− µ(t)α > 0) ∧(∀(t0,x0)∈(T,Rn)∀t∈I+ ‖x(t0,x0)(t)‖ ≤ N‖x0‖e−α(t, t0)

)Jest to naturalne połączenie dwóch podanych wcześniej ograniczeń.O tym jak bardzo globalne jest to pojęcie oraz, że wcale nie jest niewykonalne, może świadczyć

chociażby poniższe twierdzenie:

Twierdzenie 3.2.1.Jeżeli na T = R rozwiązanie trywialne układu liniowego jednorodnego jest asymptotycznie sta-

bilne, to wszystkie rozwiązania tego układu są globalnie stabilne wykładniczo. (patrz [2, str. 294])

3.3 Stabilność orbitalna

Definicja 3.3.1.Mówimy, że rozwiązanie x układu jest stabilne orbitalnie o ile:

∀ε>0,t0∃δ>0∀y0∈B(x0,δ) %(y(t0,y0)(t),Γ+t0) < ε

gdzie y(t0,y0) jest jak zwykle rozwiązaniem przechodzącym przez (t0, y0), a Γ+t0 jest górną półtra-

jektorią rozwiązania x.

12 Rozdział 3. Stabilność na przestrzeniach czasowych

Z definicji widzimy, że jest to uogólnienie pojęcia stabilności w sensie Lapunowa oraz, że ni-estety do sprawdzania stabilności orbitalnej nie można rozpatrywać jedynie układu zredukowanego(na którym jest ono równoważne stabilności w sensie Lapunowa).

Definicja 3.3.2.Mówimy, że rozwiązanie x układu jest stabilne orbitalnie asymptotycznie o ile są stabilne

orbitalnie oraz:limt→∞

%(y(t0,y0)(t),Γ+t0) = 0

gdzie Γ+t0 jest jak ostatnio górną półtrajektorią rozwiązania x.

Widzimy, że jest to uogólnienie pojęcia asymptotycznej stabilności w sensie Lapunowa.Poniższy przykład dla T = R (zapisany dla ułatwienia we współrzędnych biegunowych)

pokazuje zasadność wprowadzania takiej definicji.

Przykład 3.3.1.Okrąg jednostkowy jest górną półtrajektorią rozwiązania równania różniczkowego:{

ṙ = r(1− r)α̇ = 1

Jest to rozwiązanie stabilne orbitalnie asymptotycznie, do której to trajektorii zbliżają się wszys-tkie rozwiązania za wyjątkiem zerowego. Nie jest to jednak rozwiązanie stabilne asymptotyczniew sensie Lapunowa

3.4 Stabilność w sensie Lagrange’aDefinicja 3.4.1.

Mówimy, że układ jest stabilny w sensie Lagrange’a o ile:

∀(t0,x0)∈(T,Rn)∃M∈R∀t∈I+ ‖x(t0,x0)(t)‖ < M

Warunek z definicji znaczy po prostu, że wszystkie rozwiązania są nieograniczenie przedłużalnew prawo i są ograniczone.

Z definicji widzimy, że nie odnosi się to pojęcie do konkretnego rozwiązania a do całej przestrzenirozwiązań, tym samym nie jest to rozszerzenie ani zawężenie standardowej stabilności Lapunowa.

Nie wystarczy również rozpatrywać układu zredukowanego z rozwiązaniem trywialnym.

Twierdzenie 3.4.1.Dla T = R układ jest stabilny w sensie Lagrange’a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja

V (t, y) taka, że:

1. V (t, y) ≥W (y), gdzie lim‖y‖→∞W (y) =∞

2. dla każdego (t0, x0) funkcja V (t, x(t0,x0)(t)) jest nierosnąca względem t

Powyższe twierdzenie mówi o funkcji podobnej (pod względem roli jaką pełni) do funkcjąLapunowa. Nawet dowód "w prawo"można przeprowadzić analogicznie do twierdzenia Lapunowa(patrz [2, str. 324]).

Tutaj również dość często rozwiązaniem jest drobna modyfikacja funkcji: ‖x‖2.

3.5 Porównanie stabilnościW ramach porównania zamieszczam diagram ilustrujący zależności zachodzące między różnymi

rodzajami stabilności.Rodzaj stabilności położony w diagramie poniżej innej i połączony z nią linią - implikuje

powyższą.Linia falowana przy stabilności w sensie Lagrange’a odnosi się do spostrzeżenia, że jeżeli ist-

nieje ograniczone rozwiązanie orbitalnie globalnie asymptotycznie stabilne, to układ jest stabilnyw sensie Lagrange’a.

3.6. Zadania 13

3.6 ZadaniaZadanie 3.1.

Dla T = R zbadać równanie: {ẋ = y(x2 + y2)ẏ = −x(x2 + y2)

ze względu na wszystkie wymienione w tym rozdziale stabilności.

Zadanie 3.2.Dla T = R oraz a, b 6 0 znaleźć funkcję V z twierdzenia warunkującego stabilność Lagrange’a

dla układu: {ẋ = y + ax(1− x2 − y2)ẏ = −x+ by(1− x2 − y2)

Dodatek A

x∆ = f1(t, x) czy x∆ = f2(t, x, x◦σ)?

Definicje oraz założenia twierdzeń w rozdziale 2 odnośnie teorii nieliniowej zostały tak do-brane, aby x∆ = f1(t, x)(*) ze standardowej teorii równań ∆-różniczkowych było szczególnymprzypadkiem x∆ = f2(t, x, x◦σ)(**).Naturalnym wydaje się pytanie: czy takie uogólnienie wnosi coś do teorii?

Dzięki założeniom wiemy, że z równania (**) można uzależnić x◦σ od x i tym samym popodstawieniu sprowadzić równanie (**) do postaci (*). Jest to jednak często równoznaczne zeznalezieniem rozwiązania równania (**).

Dla t prawostronnie gęstych mamy x(t) = x◦σ(t), co nie musi zachodzić w punktach pra-wostronnie izolowanych. Ta różnica daje nam udogodnienie w zapisie funkcji.Dodatkowo w odniesieniu do założeń o lipschitzowości już najprostsze przykłady uwidaczniająprzewagę równania (**).

Przykład A.1.Rozpatrzmy równanie przy założeniu ∀t∈Tµ(t) < 2 oraz ∃t1∈Tµ(t1) > 1:

x∆(t) =x(σ(t))

2

możemy je zapisać kolejno: {x(σ(t))−x(t)

µ(t) =x(σ(t))

2 dla µ(t) > 0x∆(t) = x(t)2 dla µ(t) = 0{

x(σ(t))(1− µ(t)2 ) = x(t) dla µ(t) > 0x∆(t) = x(t)2 dla µ(t) = 0{

x∆(t) = x(σ(t))−x(t)µ(t) =x(t)µ(t) (

22−µ(t) − 1) =

x(t)2−µ(t) dla µ(t) > 0

x∆(t) = x(t)2−0 dla µ(t) = 0

x∆(t) =x(t)

2− µ(t)

lewa strona tej równości ma stałą Lipschitza Lt,x = 12−µ(t) , więc Lt1,xµ(t1) =µ(t1)

2−µ(t1) > 1równanie w tej postaci nie spełnia założeń twierdzenia 2.1.2.

Niestety nie zawsze równanie w postaci (**) jest lepsze od (*).Następny przykład pokaże zaburzenie lipschitzowości prawej strony mimo, że po sprowadzeniu dopostaci (*) mamy lipschitzowość, na dodatek spełniającą założenia twierdzenia 2.1.2.

Przykład A.2.Rozpatrzmy równanie dla µ 6 12 i X = R:

x∆(t) =√|x(t)x(σ(t))|

14

15

postępując jak w poprzednim przykładzie:{x(σ(t))−x(t)

µ(t) =√|x(t)x(σ(t))| dla µ(t) > 0

x∆(t) =√|x(t)x(t)| dla µ(t) = 0{

x(σ(t))−√|x(σ(t))|µ(t)

√|x(t)| − x(t) = 0 dla µ(t) > 0

x∆(t) = |x(t)| dla µ(t) = 0

x(σ(t)) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x(t) = 0.Załóżmy więc, że x(σ(t)) 6= 0. Wtedy podstawiając y :=

√|x(σ(t))|, pierwszą z równości można

zapisać w postaci równania kwadratowego:

y2 sgn (x(σ(t)))− y µ(t)√|x(t)| − x(t) = 0

teraz policzymy pierwiastki równania kwadratowego:∆ = µ2(t)|x(t)|+ 4x(t)sgn (x(σ(t)))aby ∆ była nieujemna: sgn (x(σ(t))) = sgn (x(t)) =: s i wtedy:∆ = |x(t)|(µ2(t) + 4)y =

√|x(t)|µ(t)±

õ2(t)+4

2suwzględniając to, że y > 0 mamy:

y =√|x(t)|

√µ2(t) + 4 + sµ(t)

2

x(σ(t)) = sy2 = s|x(t)|µ2(t) + 4 + 2sµ(t)

√µ2(t) + 4 + µ(t)2

22= x(t)

µ2(t) + 2 + sµ(t)√µ2(t) + 4

2

x∆(t) =x(σ(t))− x(t)

µ(t)= x(t)

µ2(t) + 2− 2 + sµ(t)√µ2(t) + 4

2µ(t)=x(t)µ(t)

2+ |x(t)|

√(µ(t)

2

)2+ 1

czyli funkcja lipschitzowska ze stałą Lt =µ(t)

2 +

√(µ(t)

2

)2+ 1, co daje:

µ(s)Lt = µ(s)

µ(t)2

+

√(µ(t)

2

)2+ 1

6 12

14

+

√(14

)2+ 1

< 1

Dodatek B

Rozwiązania zadań

Rozdział 1

1.1Z definicji 1.1.1 mamy:

σ(1) = σ(sup T) = sup T = 1σ(0) = inf{s ∈ T : s > 0} = inf{ 1n : n ∈ N} = 0

Dla t = 1/n gdzie n ∈ N \ {1} mamy:σ(t) = 1n−1 =

1( 1n )−1−1

1n1n

=1n

1− 1n= t1−t

Dla t = −1/n gdzie n ∈ N mamy:σ(t) = − 1n+1 =

−1( 1n )−1+1

1n1n

= −1n

1−(− 1n )= t1−t

otrzymujemy więc ostatecznie wzór:

σ(t) ={

t1−t t 6= 11 t = 1

a stąd:

µ(t) = σ(t)− t ={

t2

1−t t 6= 10 t = 1

Analogicznie otrzymujemy kolejno:ρ(−1) = −1σ(0) = sup{s ∈ T : s < 0} = sup{− 1n : n ∈ N} = 0

t ∈ {1/n : n ∈ N \ {1} } ⇒ ρ(t) = − 1n−1 =−1

( 1n )−1−1

1n1n

= −1n

1− 1n= t1+t

t ∈ {−1/n : n ∈ N } ⇒ ρ(t) = 1n+1 =1

( 1n )−1+1

1n1n

=1n

1− 1n= t1+t

ρ(t) ={

t1+t t 6= −1−1 t = −1

Na podstawie powyższych wyników, z definicji 1.1.2 wnioskujemy, że: 0 jest punktem gęstym,1 – lewostronnie izolowanym, −1 – prawostronnie izolowanym, a pozostałe punkty t ∈ T sąizolowane.

1.2Z twierdzenia 1.2.1b otrzymujemy:

f∆(t) = (t · t)∆ = t∆t+ σ(t)t∆ = t+ σ(t)

funkcja t+ σ(t) jako nieciągła w punktach {2n+ 1 : n ∈ Z} nie jest tam różniczkowalna, a w po-zostałych punktach z T przyjmuje postać 2t, więc ∆-pochodna to 2.

Podsumowując:

16

17

f∆(t) ={

2t t ∈⋃n∈Z[2n, 2n+ 1)

2t+ 1 t ∈ {2n+ 1 : n ∈ Z}

f∆∆(t) ={

2 t ∈⋃n∈Z[2n, 2n+ 1)

nie istnieje t ∈ {2n+ 1 : n ∈ Z}

1.3Korzystając z twierdzenia 1.3.2e,b,c otrzymujemy kolejno:∫ 2

12

1t∆t =

∫ 112

1t∆t+

∫ 21

1t∆t =

∑t∈T∩[ 12 ,1)

1tµ(t) +

∫ 21

1tdt =

=∞∑n=2

11− 1n

(1− 1

n+ 1− (1− 1

n))

+ ln(t)|e1 =

=∞∑n=2

n

n− 11

n(n+ 1)+ 1− 0 =

∞∑n=2

1(n− 1)(n+ 1)

+ 1 =

=∞∑n=2

12

(1

n− 1− 1n+ 1

)+ 1 =

12

(11

+12

)+ 1 =

74

Rozdział 2

2.1Policzmy rozwiązanie najpierw dla t ∈ [0, 1].

Możemy zapisać wtedy równanie, które jest już różniczkowe: ẋ1(t) = πx2(t)ẋ2(t) = −πx1(t)x1(0) = 0, x2(0) = 1

co ma rozwiązanie: (x1(t), x2(t)) = (sin(πt), cos(πt))Zajmiemy się teraz x1.

Z ciągłości funkcji wiemy, że:x1(2) = x1(σ(1)) = x∆1 (1)µ(1) + x1(1) = x

∆1 (1) = limt→1 x

∆1 (t) = −π

podstawiając aby uzyskać równanie jedynie z x1: x∆∆1 (t) = π

2x1(σ(t))x1(1) = 0x1(2) = −π

można zapisać:

0 =(x∆1 (σ(t))− x∆1 (t))/1− π2x1(σ(t)) = (x1(σ(σ(t)))− 2x1(σ(t)) + x1(t))− π2x1(σ(t)) == x1(σ(σ(t)))− (2 + π2)x1(σ(t)) + x1(t)

co jest równaniem rekurencyjnym i można rozwiązać poprzez wielomian charakterystyczny:

0 = λ2 − (2 + π2)λ+ 1

λ1,2 =2 + π2 ± π

√4 + π2

2

po uwzględnieniu warunku początkowego dla n = 1 i n = 2 otrzymujemy:

∀n∈N+ x1(n) =(2 + π2 − π

√4 + π2

)n−1 − (2 + π2 + π√4 + π2)n−12n−1

√4− π2

18 Dodatek B. Rozwiązania zadań

znając x1 można obliczyć x2

x2(n) =x∆1 (n)π

=x1(n+ 1)− x1(n)

1 · π=

=(π −

√4 + π2)

(2 + π2 − π

√4 + π2

)n−1 − (π +√4 + π2) (2 + π2 + π√4 + π2)n−12n√

4− π2

2.2W mianowniku pojawia się wyrażenie a+ x2(t), więc z dowolności x mamy warunek a > 0.∣∣∣∣ 1a+ x21 +

√a3y1 −

1a+ x22

−√a3y2

∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣ a+ x22 − a− x21(a+ x21)(a+ x22)∣∣∣∣+ ∣∣∣√a3(y1 − y2)∣∣∣ =

=∣∣∣∣ x2 + x1(a+ x21)(a+ x22)

∣∣∣∣ |x1 − x2|+√a3 |y1 − y2| 6 (∣∣∣∣ x2 + x1(a+ x21)(a+ x22)∣∣∣∣+√a3)max{|x1 − x2|, |y1 − y2|}

Stąd w celu wyznaczenia stałej lipschitza naszej funkcji wystarczy policzyć stałą lipschitza funkcji1

a+x2 i dodać√a3. (

1a+ x2

)′=

−2x(a+ x2)2(

−2x(a+ x2)2

)′=

2(3x2 − a)(a+ x2)3

więc pochodna przyjmuje ekstrema w ±√

3a3

Lx =

∣∣∣∣∣ 2√

3a3

(a+ a3 )2

∣∣∣∣∣ =(√

34a

)3więc

L =

(√34a

)3+√a3

biorąc b =√a3 mamy:

L =

√33

23b+ b

funkcja nie zależy od czasu, więc wystarczy:

0 > L sup{µ(t) : t ∈ T} − 1 =

(√33

23b+ b

)12− 1 =

√33 + 23b2 − 24b

24b

więc licząc pierwiastki otrzymujemy warunek na b:

b ∈

1−√√√√1−(√3

2

)3, 1 +

√√√√1−(√32

)3czyli równanie spełnia założenia twierdzenia 2.1.2 wtedy i tylko wtedy gdy:

a ∈

3√√√√√√1−

√√√√1−(√32

)32

,3

√√√√√√1 +

√√√√1−(√32

)32

19

2.3dla t = n2 mamy:

µ(t) = 2(n+ 1)2 − t = 2(

(t/2)1/2 + 1)− t = (2t)1/2 + 2

Z twierdzenia 2.2.2 mamy dla y(t) := e−1(t, 0):

y(t) = −y∆(t) = −y(σ(t))− y(t)µ(t)

= −y(σ(t))− y(t)(2t)1/2 + 2

stąd:y(t)((2t)1/2 + 2− 1) = −y(σ(t))

więc:y(σ(t)) = −y(t)((2t)1/2 + 1)

i rekurencyjnie powtarzając otrzymujemy:

e−1(t, 0) =(t/2)1/2−1∏

k=0

−(2k + 1) = (−1)(t/2)1/2

((2t)1/2 − 1)!!

gdzie symbol n!! oznacza iloczyn co drugich liczb aż do n.

Rozdział 3

3.1Układ ma rozwiązanie stacjonarne (0, 0) oraz rozwiązania okresowe

(r sin(r2(t− t0) + α), r cos(r2(t− t0) + α)).Jako rozwiązania okresowe (i stacjonarne) wszystkie rozwiązania są ograniczone (i nieskończe-

nie przedłużalne), tym samym układ jest stabilny w sensie Lagrange’a.Ponieważ wszystkie rozwiązania są okresowe (bądź stacjonarne), żadne rozwiązanie nie może

zbiegać do innego, a tym samym nie ma stabilności orbitalnej asymptotycznej, ani tym bardziejżadnej stabilności, będącej jej zawężeniem.

Wszystkie rozwiązania pozostają w stałej odległości od (0, 0), więc rozwiązanie stacjonarne(0, 0) jest stabilne w sensie Lapunowa.

Ustalając punkt x0 = (r sin(α), r cos(α)) (dla r > 0) oraz ε takie, że 2r > ε > 0, otrzymujemy:

∀δ>0 ‖x(x0,t0)(t0 +π

2rδ + δ2)− x(x0 r+δr ,t0)(t0 +

π

2rδ + δ2)‖ =

= ‖(r sin(r2((t0 +π

2rδ + δ2)− t0)α)− (r + δ) sin((r + δ)2((t0 +

π

2rδ + δ2)− t0) + α),

r cos(r2((t0 +π

2rδ + δ2)− t0)α)− (r + δ) cos((r + δ)2((t0 +

π

2rδ + δ2)− t0)α))‖ =

= ‖(r sin( πr2

2rδ + δ2+ α)− (r + δ) sin(π + πr

2

2rδ + δ2+ α),

r cos(πr2

2rδ + δ2+ α)− (r + δ) cos(π + πr

2

2rδ + δ2+ α))‖ =

= ‖((2r + δ) sin( πr2

2rδ + δ2+ α), (2r + δ) cos(π +

πr2

2rδ + δ2+ α))‖ = 2r + δ > ε

a tym samym rozwiązania niestacjonarne nie są stabilne w sensie Lapunowa.Rozwiązania tworzą jednak okręgi o wspólnym środku, więc ustalając rozwiązanie x oraz

t0 ∈ R2 otrzymujemy: ∀y0 %(y(t0,y0)(t),Γ+t0) = constant, więc każde rozwiązanie jest stabilne

orbitalnie.

3.2

20 Dodatek B. Rozwiązania zadań

Sprawdźmy, że funkcja: V (t, (x, y)) = ‖(x, y)‖2χ{(x,y); 1−x2−y2

Bibliografia

[1] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applica-tions, Birkhäuser, 2001

[2] B. P. Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, WNT, 1972

21