Upload
trangnguyen
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 1/15
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 2/15
Cao Hào Thi 75
θ̂ chỉ phụ thuộc vào giá tr ị quan sát x1, x2, ... ,xn chứ không phụ thuộc vào các tham
số chưa biết θ của tập hợ p chính.
b) Giá tr ị ướ c l ượ ng (Estimate) hay còn g ọi là giá tr ị ướ c l ượ ng đ i ể m (Point
Estimate)
Là giá tr ị cụ thể của ướ c lượ ng θ̂ và đượ c xem như giá tr ị ướ c lượ ng của tham số thống
kê θ của tập hợ p chính.
Tham số thống kê và tập hợ pchính (Population Parameter)
Ướ c lượ ng (Estimation)Giá tr ị ướ c lượ ng
Estimate (Point estimate)
Số trung bình µ X
Phươ ng sai 2xσ Sx
2
Độ lệch chuẩn σx Sx
Tỷ lệ p f ̂
7.2.2 Ướ c lượ ng không chệch: (Unbiased Estimators)
a) Ướ c l ượ ng không chệ ch:
Ướ c lượ ng θ đượ c gọi là ướ c lượ ng không chệch của tham số thống kê θ nếu k ỳ vọng
của θ̂ là θ.
E ( θ̂ ) = θ
Thí d ụ
E(X ) = µ => X là ướ c lượ ng không chệch của µ
E(Sx2) = 2
xσ => Sx2 là ướ c lượ ng không chệch cuả 2
xσ
E ( f ̂) = p => f ̂ là ướ c lượ ng không chệch của p
b) Độ chệ ch (The Bias)
Gọi θ̂ là ướ c lượ ng của θ: Bias( θ̂ ) = E ( θ̂ ) - θ
Đối vớ i ướ c lượ ng không chệch ⇒ Bias = độ chệch = 0
c) Ướ c l ượ ng hi ệ u quả t ố t nhấ t:
Gọi θ̂ 1 và θ̂ 2 là 2 ướ c lượ ng không chệch của θ dựa trên số lượ ng của mẫu quan sát
giống nhau.
o θ̂ 1 đượ c gọi là hiệu quả hơ n θ̂ 2 nếu: Var ( θ̂ 1) < Var ( θ̂ 2)
o Hiệu quả tươ ng đối giữa hai ướ c lượ ng là tỉ số giữa 2 phươ ng sai của chúng.
Hiệu quả tươ ng đối (Relative Efficency) =)ˆ(Var
)ˆ(Var
1
2
θ
θ
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 3/15
Cao Hào Thi 76
o Nếu θ̂ là ướ c lượ ng không chệch của θ và nếu không có một ướ c lượ ng không
chệch nào có phươ ng sai nhỏ hơ n phươ ng sai của θ̂ thì θ̂ đuợ c gọi là ướ c lượ ng
tốt nhất (Best Estimator) hay θ̂ còn gọi là ướ c lượ ng không chệch có phươ ng sai
nhỏ nhất của θ (Minimum Variance Unbiased Estimator of θ)
θ2θ1
θ2
θ1
θˆ
1 : ướ c lượ ng không chệch của θ θˆ
1 θˆ
2: ướ c lượ ng không chệch của θ
θ̂ 2 : ướ c lượ ng chệch của θ θ̂ 1 ướ c lượ ng hiệu quả hơ n θ̂ 2:
d) Sai số bình phươ ng trung bình (Mean Squared Error - MSE)
Sai số bình phươ ng trung bình của ướ c lượ ng θ̂ đượ c định nghĩ a như sau:
MSE( θ̂ ) = E [( θ̂ - θ)2]
Ngườ i ta chứng minh đượ c r ằng:
MSE ( θ̂ ) = Var( θ̂ ) + [θ - E ( θ̂ )]2
MSE ( θ̂ ) = Var ( θ̂ ) + [ Bias( θ̂ )]2
Nếu θ̂ là ướ c lượ ng không chệch ta có:
Bias( θ̂ ) = 0
⇒ MSE ( θ̂ ) = Var ( θ̂ )
e) Ướ c l ượ ng nhấ t quán vữ ng (Consistent Estimators)
θ̂ n = θ̂ (x1, x2,... xn) gọi là ướ c lượ ng vững của θ nếu vớ i mọi ε > 0 ta có:
∞→ilim P( | θ̂ n - θ | ≤ ε) = 1
tức là dãy θ̂ n hội tụ theo xác suất tớ i θ khi n → ∞
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 4/15
Cao Hào Thi 77
7.3 ƯỚ C LƯỢ NG KHOẢNG (Interval Estimation)
7.3.1 Khoảng tin cậy (Confidence Interval)
a) Ướ c l ượ ng khoảng và giá tr ị ướ c l ượ ng khoảng
(Interval Estimator And Interval Estimate).
Ướ c lượ ng khoảng: Ướ c lượ ng khoảng đối vớ i tham số thống kê của tập hợ p chính θ
là một quy tắc dựa trên thông tin của mẫu để xác định miền (Range) hay khoảng
(Interval) mà tham số θ hầu như nằm trong đó.
Gía tr ị ướ c lượ ng khoảng: là giá tr ị cụ thể của miền hay khoảng mà tham số θ nằm
trong đó.
b) Khoảng tin cậy và độ tin cậy (Confidence Interval and Level of Confidence)
Gọi θ là tham số thống kê chưa biết. Giả sử dựa trên thông tin của mẫu ta có thể xác
định đượ c 2 biến ngẫu nhiên A và B sao cho
P (A < θ < B) = 1 - α vớ i 0 < α < 1
Nếu giá tr ị cụ thể của biến ngẫu nhiên A và B là a và b thì khoảng (a,b) từ a đến b
đượ c gọi là khoảng tin cậy của θ vớ i xác suất là (1 - α)
Xác suất (1 - α) đượ c gọi là độ tin cậy của khoảng.
Ghi chú:
o Trong thực tế, độ tin cậy (1-α) do nhà thống kê chọn theo yêu cầu của mình,
thông thườ ng độ tin cậy đượ c chọn là 0,90; 0,95; 0,99...
o α là xác suất sai lầm khi chọn khoảng tin cậy (a, b)
7.3.2 Khoảng tin cậy đối vớ i số trung bình của phân phối chuẩn trong trườ ng hợ pđã biết phươ ng sai của tập hợ p chính:
Nghĩ a là đi tìm ướ c lượ ng của µ trong N (µ, σx2) khi đã biến σx2
a) Đi ể m phần tr ăm gi ớ i hạn trên Z (Upper Percentage Cut Off Point)
Gọi Z là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa và α là số bất k ỳ sao cho 0 < α < 1
Zα là điểm phần tr ăm giớ i hạn trên nếu.
P (Z > Zα ) = α
Ghi chú:
P (Z > Zα) = F
Z(Z
α) = 1 - α
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 5/15
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 6/15
Cao Hào Thi 79
Thí d ụ:
Giả sử tr ọng lượ ng của các học sinh lớ p 2 tuân theo phân phối chuẩn vớ i độ lệch chuẩn
1,2kg. Mẫu ngẫu nhiên gồm 25 học sinh có trung bình là 19,8kg. Tìm khoảng tin cậy 95%
đối vớ i tr ọng lượ ng trung bình của tất cả học sinh lớ p 2 trong 1 tr ườ ng.
Giải:
Ta có: 100 (1 - α) = 95 ⇒ α = 0,05
⇒ Zα/2 =Z0,025
⇒ P(Z > Z0,025) = 0,025
P(Z < Z0,025) = FZ (Z0,025) = 1 - 0,025 = 0,975
Tra bảng ta có: Z0,025 = 1,96
Khoảng tin cậy 95% đối vớ i số trung bình tập chính µ sẽ là
x n
x n
x X − < < +α α σ µ σ / / 2 2
Vớ i X = 19,8 kg σx = 1,2 kg n = 25 Zα/2 = 1,96
Vậy : 19,33 < µ < 20,27
Ghi chú:
ε =n
Z x/ σα 2 : gọi là độ chính xác của ướ c lượ ng hay dung sai
X là trung tâm của khoảng tin cậy vớ i bề r ộng của khoảng tin cậy của µ là
W n
x = =2
22α σ ε /
o W càng nhỏ thì ướ c lượ ng càng chính xác ( ≡ ε càng nhỏ)
o Vớ i xác suất α và cỡ mẫu nhỏ, σx càng lớ n thì W càng lớ n.
o Vớ i α và σx cho tr ướ c, n càng lớ n thì W càng nhỏ.
o Vớ i σx và n cho tr ướ c, (1 - α) càng lớ n thì W càng nhỏ
n = 25 σx = 1.2 1-α = 0.99
n = 25
n = 64
n = 25
σx = 1.2
σx = 1.2
σx = 1.2
1-α = 0.95
1-α = 0.95
1-α = 0.95
c) Khoảng tin cậy của số trung bình µ trong t ập hợ p chính tr ườ ng hợ p cỡ mẫ u l ớ n.
Giả sử ta có mẫu vớ i cỡ mẫu là n đượ c lấy từ tập hợ p chính có số trung bình là µ.
Gọi X là số trung bình của mẫu và Sx là phươ ng sai của mẫu.
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 7/15
Cao Hào Thi 80
Nếu n lớ n thì khoảng tin cậy vớ i xác suất 100(1-α) % đối vớ i µ đượ c xem đúng là:
x n
x n
X x − < < +α α µ / / 2 2
Ghi Chú:
o Sự ướ c lượ ng này gần đúng ngay cả khi tập hợ p chính không theo phân phối
chuẩn.
o Khi n lớ n ta có thể xem gần đúng Sx = σx
7.3.3 Phân phối Stutent t:
Trong phần tr ướ c, ta đi tìm khoảng tin cậy của µ trong N (µ, σx2) khi đã biết σx
2 hoặc tìm
khoảng tin cậy của µ khi có mẫu lớ n.
Trong tr ườ ng hợ p không biết phươ ng sai σx
2
và cỡ mẫu không lớ n, để tìm khoảng tin cậycủa µ ta cần phải có một phân phối thích hợ p hơ n, đó là phân phối Student t.
a) Phân phố i Student t
Cho mẫu ngẫu nhiên vớ i cỡ n vớ i số trung bình của mẫu X và độ lệch chuẩn mẫu Sx;
mẫu đượ c lấy ra từ tập hợ p chính vớ i số trung bình là µ.
Biến ngẫu nhiên :
t x
S n x
=− µ
/
t tuân theo phân phối Student t vớ i độ tự do là n - 1
t
0
f(t)Phân phối chuẩn
Phân phối Student tvớ i độ tự do là 3
Biến ngẫu nhiên X đượ c gọi là tuân theo phân phối Studen t vớ i độ tự do ν nếu hàm mật
độ xác định có dạng.
f x
x
B
x ( )
( )
( , )
( )
=+
−+
1
1
2 2
2 1
2
ϑ
ϑ ϑ
ϑ
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 8/15
Cao Hào Thi 81
b) Đi ể m phần tr ăm gi ớ i hạn trên t ν,α:
Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Student t vớ i độ tự do ν, đượ c ký hiệu là tν. tν ,α là
điểm phần tr ăm giớ i hạn trên nếu:
P(tν > tν ,α ) = α
Ngườ i ta lập bảng tính sẳn cho các giá tr ị diện tích ở dướ i đườ ng cong từ tν ,α đến +∞
t
α
tυ,α0
f(tυ)
Tươ ng tự phần tr ăm trên ta có:
P(-tν ,α /2 < tν < tν ,α /2) = 1 - α
t
α/2 α/2
tυ,α/20
f(tυ)
−tυ,α/2
7.3.4 Khoảng tin cậy đối vớ i số trung bình µ trong phân phối chuẩn khi chư a biếtphươ ng sai:
(Khoảng tin cậy của µ trong N(µ, σx2) khi chưa biết σx
2
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên vớ i cỡ mẫu n từ phân phối chuẩn vớ i số trung bình là µ vàphươ ng sai σx
2 chưa biết. Nếu số trung bình mẫu là X và độ lệch chuẩn mẫu là Sx thì
khoảng tin cậy của số trung bình tập hợ p chính µ sẽ đượ c tính bở i .
n
Stx
n
Stx
x/,nx/,n 2121 α−α− +<µ<−
Trong đó tn-1,α/2 là số có P(tn-1 > tn-1,α/2) =2
αvà tn-1 là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối
Student vớ i độ tự do là n - 1
Chứ ng minh:
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 9/15
Cao Hào Thi 82
P(-tn-1,α/2 < tn-1 < tn-1,α/2) = 1 - α
α−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ <
µ−<− α−α− 12121 /,n
x
/,n tn/S
XtP
α−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎝ ⎛ <µ−<− α−α− 1
2121
n
StXn
StPx/,nx/,n
α−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +<µ<− α−α−
12121
n
StX
n
StXP
x/,nx/,n
Thí d ụ: Mẫu ngẫu nhiên của tr ọng lượ ng 6 học sinh lớ p 2 có giá tr ị như sau:
18,6kg 18,4kg 19,2kg 20,8kg 19,4kg 20,5kg
Tìm khoảng tin cậy 90% đối vớ i số trung bình của tất cả học sinh lớ p 2. Gỉa sử r ằng phân
phối tr ọng lượ ng của tất cả học sinh lớ p 2 là phân phối chuẩn.
Giải:
Tr ướ c hết ta phải tìm số trung bình mẫu X và phươ ng sai mẫu Sx
Số trung bình mẫu:
x n
xi = ∑ = =1 1
6116 9 19 4833( . ) .
Phươ ng sai mẫu:
S n
x nx x i 2 2
21
1= − ∑ −( )
=
1
52282 41 6 19 4833 0 962( . , , ) ,− × =
Độ lệch chuẩn: S x
= =0 96 098, .
Khoảng tin cậy 90% đối vớ i tr ọng lượ ng trung bình của tất cả học sinh lớ p 2 là:
x l
n x
t
n
n x n x − < < +− −1 2 1 2, ,/ / α α µ
X = 19,4833 , Sx = 0,98 , n = 6
i xi xi2
1 18,6 345,96
2 18,4 338,56
3 19,2 368,64
4 20,8 432,64
5 19,4 376,366 20,5 420,25
Tổn 116,9 2282,4
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 10/15
Cao Hào Thi 83
100 (1-α) = 90 => α = 0,10 => α/2 = 0,05
Tra bảng ta có: tn-1,α/2 = t5,0.05 = 2.015
19 482 015 0 098
619 48
2 015 0 98
6
1867 20 29
.. .
.. .
. .
−×
< < +×
< <
µ
µ
Các khoảng tin cậy:
(18.89,4) (20.07,4)
(18.67,2) (20.29,2)
(18.45,0) (20.51,0)
(17.87,-2) (21.09,-
Khoảng tin cậy 99%
Khoảng tin cậy 95%
Khoảng tin cậy 90%
Khoảng tin cậy 80%
7.3.5 Khoảng tin cậy đối vớ i phươ ng sai của phân phối chuẩn σ2
Nhắc lại, giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên vớ i cỡ mẫu n đượ c lấy ra từ tập hợ p chính có phân
phối chuẩn N(µx,sx2) và gọi Sx
2 là phươ ng sai của mẫu.
Biến ngẫu nhiên2
22
,
)1(
x
xS n
σ
χ α γ
−= sẽ tuân theo phân phối 2χ vớ i độ tự do n - 1
a) Đi ể m phần tr ăm gi ớ i hạn trên2
,α γ χ
Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối 2χ vớ i độ tự do γ đượ c ký hiệu 2
,α γ χ
2
,α γ χ là điểm phần tr ăm giớ i hạn trên nếu
P( 2
γ χ > 2
,α γ χ ) = α
α
χ2υ,α
Thí dụ: Tìm2
%5;6χ
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 11/15
Cao Hào Thi 84
P( 2
6χ > 2
%5;6χ ) = 5% ⇒ 2
%5;6χ = 12,59
Tươ ng tự ta có:
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=<
=>
−2
1)(2
)(
2
2/1,
2
2
2/,
2
α χ χ
α χ χ
α γ γ
α γ γ
P
P
α−=χ<χ<χ αγγα−γ 122
2221 )(P /,/,
t
b) Khoảng tin cậy của phươ ng sai phân phố i chuẩ n σ2:
Khoảng tin cậy vớ i xác suất 100 (1- α)% của σ2 là
2211
22
221
2 11
/,n
x
/,n
x
S)n(S)n(
α−−α− χ
−<σ<χ
−
Trong đó 221 /,n α−χ là số có P( 2
γ χ > 221 /,n α−χ ) = α/2
Trong đó 2211 /,n α−−χ là số có P( 2
γ χ > 2211 /,n α−−χ ) = α/2
Và biến ngẫu nhiên 21−χn tuân theo phân phối 2χ vớ i độ tự do là n – 1
Chứng minh :
α−=χ<χ<χ αγγα−γ 122
2221 )(P /,/,
α−=χ<χ<χ α−−α−− 1221
21
2211 )(P /,nn/,n
α−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ χ<
σ
−<χ α−α−− 1
1 2212
22
211 /,n
x
x/,n
S)n(P
α−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
χ
−<σ<
χ
−
α−−α−
111
2211
22
221
2
/,n
xx
/,n
x S)n(S)n(P
Thí dụ : Một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 viên thuốc nhức đầu cho thấy độ lệch chuẩn trong
thành phần cấu tạo thuốc là 0,8. Tìm khoảng tin cậy 90% của phươ ng sai lô thuốc nói trên(thành phần trong lô thuốc tuân theo phân phối chuẩn)
α/2α/2
-χ2ν,1-α/2 χ2
ν,α/2
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 12/15
Cao Hào Thi 85
Giải :
n = 15, 2xS = 0,82 = 0,64; α = 10%
Tra bảng 221 /,n α−χ = 68,232
%5;14 =χ
Và 2211 /,n α−−χ = 57,62
%95;14 =χ
Vậy:2
211
22
221
2 11
/,n
xx
/,n
x S)n(S)n(
α−−α− χ
−<σ<
χ
−
⇔ 0,378 < 2xσ < 1,364
⇔ 0,61 < xσ < 1,17
7.3.6 Ướ c lượ ng khoảng tin cậy của tham số thống kê p trong phân phối nhị thứ c
trong điều kiện cỡ mẫu lớ n :
Nhắc lại, gọi f là tỷ số của số lần thành công trong n phép thử độc lập:n
Xf =
X tuân theo phân phối chuẩn có - số trung bình µ = np
- Phươ ng sai : σ2 = np(1-p)
Ta có : E(f) = p f là ướ c lượ ng không chệch của p.
n
)p(pf
−=σ
1
Khi cỡ mẫu đủ lớ n thì biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Z =m/)p(p
pf
−
−
1sẽ gần đúng có phân
phối chuẩn chuẩn hóa :
22 11f f S
n
)f (f
n
)p(p=
−≈
−=σ
Khi đó biến ngẫu nhiên Z =n/)f (f
pf
−
−
1sẽ có phân phối chuẩn chuẩn hóa.
Khi Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa, ta có:
P(-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α
α−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ <
−
−<− αα 1
122 // Z
n/)f (f
pf ZP
α−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+<<
−− αα 1
1122
n
)f (f Zf p
n
)f (f Zf P //
Khoảng tin cậy của p :
Gọi f là tỷ số số lần thành công quan sát đượ c trong phép thử đượ c rút từ tập hợ p chính cótỷ số số lần thành công là p. Nếu n lớ n thì khoảng tin cậy của p là:
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 13/15
Cao Hào Thi 86
n
)f (f Zf p
n
)f (f Zf //
−+<<
−− αα
1122
Trong đó Zα/2 là số có P(Z > Zα/2) = α/2 (Z là biến ngẫu nhiên chẩn hóa)
Thí d ụ:
Một công ty đi nhận một lô hàng gồm vài ngàn sản phẩm. Ngườ i giám định lô hàng lấy
ngẫu nhiên 81 sản phẩm và nhận thấy 8 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tìm khoảng tin cậy
90% của tỷ lệ số sản phẩm không đạt yêu cầu trong toàn bộ lô hàng.
Giải:
Ta có : α = 10% ⇒ tra bảng Zα/2 = Z5% = 1,645,
099,081
8===
n
X f và
n
)f (f f
−=σ
1= 0,033
Khoảng tin cậy 90% của p là :
0,099 -1,645*0,033 < p < 0,099 + 1,645*0,033
0,045 < p < 0,153
7.3.7 Ướ c lượ ng cỡ mẫu (Estimating the Sample Size)
Trong các phần tr ướ c, chúng ta đi tìm các ướ c lượ ng khoảng đối vớ i các tham số thống kê
θ (µx, σ2x, p …) của tập hợ p chính dựa trên các mẫu cho tr ướ c (nghĩ a là đã biết cỡ mẫu
n). Vớ i cách làm đó, ta có thể gặp những k ết quả không mong muốn là bề r ộng của
khoảng tin cậy w quá lớ n, có nghĩ a là độ chính xác của các ướ c lượ ng nhỏ (vì độ chính
xác hay dung sai = w/2 có giá tr ị lớ n).
w = 2ε
ε θ −ˆ θ ̂ ε θ +ˆ
ε nói lên độ chính xác của ướ c lượ ng, nếu ε càng nhỏ thì θ̂ càng gần θ.
Trong thực tế thườ ng sai số cho phép ta ấn định độ chính xác ε (có nghĩ a là ấn định tr ướ cbề r ộng khoảng tin cậy w) từ đó tính toán chọn cỡ mẫu đủ lớ n để đảm bảo độ chính xác ε.
Để xác định cỡ mẫu ta cần các thông tin sau:
- Định rõ độ tin cậy (1 - α), thườ ng là 90%, 95%, hay 99%.
- Độ chính xác hay sai số cho phép ε hoặc bề r ộng khoảng tin cậy w.
- Độ lệch chuẩn.
Cỡ mẫu n lớ n hay nhỏ phụ thuộc độ phân tán σ, sai số cho phép ε chứ không phụ thuộc
vào kích thướ c tập hợ p chính N.
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 14/15
Cao Hào Thi 87
a. C ỡ mẫ u đố i vớ i khoảng tin cậy của trung bình µ trong N( µ;σ2) vớ i σ2
bi ế t tr ướ c:
- +
w = 2ε
xx
n
Z σ α 2/x
n
Z σ α 2/x
x n
x n
x x − −
− < < +α α σ µ
σ / / 2 2
hay : µ = X ± 2ε vớ i ε =n
Z x/ σα 2
Vớ i sai số cho phép ε cho tr ướ c, cỡ mẫu n đối vớ i ướ c lượ ng µ trong N(µ;σ
2
) vớ i σ
2
biếttr ướ c đượ c xác định bở i công thức:
2
22
2/
ε
σ α xZ n =
Thí d ụ:
Giả sử độ lệch chuẩn của các đườ ng ống thép đượ c sản xuất ra trong ngày ở một phân
xưở ng là 10 kg. Chúng ta muốn ướ c lượ ng trong lượ ng trung bình µ của các đườ ng ống
thép đượ c sản xuất ra trong ngày ở phân xưở ng đó vớ i độ chính xác ± 2,5kg và vớ i độ tin
cậy 95%. Tìm cỡ mẫu cần thiết cho sự ướ c lượ ng nói trên.
Giải:
Ta có: ε = 2,5kg, σ = 10 kg,
α = 5% ⇒ Zα/2 = Z0,025 = 1,96
Vậy: n = 5,615,2
10*96,12
22
=
Cỡ mẫu n = 62 (ống thép).
b. C ỡ mẫ u đố i vớ i khoảng tin cậy của trung bình µ trong N( µ;σ2) khi chư a bi ế t σ2:
Khoảng tin cậy của trung bình µ trong N(µ;σ2) khi chưa biết σ2:
n
Stx
n
Stx
x/,nx/,n 2121 α−α− +<µ<−
⇒ ε =n
S t xn 2/,1 α − ⇒
2
22
2/,1
ε
α xn S t n
−=
Thí d ụ:
Một nhà quản lý công ty may muốn ướ c lượ ng khoảng thờ i gian trung bình để một công
nhân hoàn thành một sản phẩm. Cô ta muốn ướ c lượ ng µ vớ i sai số ± 5 phút và vớ i độ tincậy 90%. Bở i vì cô ta chưa có khái niệm gì về giá tr ị độ lệch chuẩn σ của tập hợ p chính,
8/7/2019 ước lượng khoảng cho tham số thống kê
http://slidepdf.com/reader/full/uoc-luong-khoang-cho-tham-so-thong-ke 15/15
Cao Hào Thi 88
cô ta lấy mẫu đầu tiên vớ i cỡ mẫu n = 15 công nhân và nhận thấy Sx = 20 phút. Hỏi cỡ mẫu bằng bao nhiêu để đạt đượ c khoảng tin cậy mong muốn.
Giải:
Ta có: ε = 5 phút, Sx = 20 phút,
α = 10% ⇒ tn-1,α/2 = t14;0,05 = 1,761
Vậy: n = 6,495
20*761,12
22
=
Cỡ mẫu n = 50 (công nhân).
Ghi chú: sau khi có n = 50 ta phải tính lặp lại lần thứ 2 vớ i cỡ mẫu n = 50 (nghĩ a là tìm Sx
và tn-1,α/2 của mẫu mớ i). Tính lặp nhiều lần ta sẽ đượ c k ết quả hội tụ mong muốn.
c. C ỡ mẫ u đố i vớ i khoảng tin cậy của p trong phân phố i nhị thứ c:
Khoảng tin cậy của p trong phân phối nhị thức
n
f f Z f p
n
f f Z f
)1()1(2/2/
−+<<
−− α α
⇒ ε =n
f f Z
)1(2/
−α ⇒
2
2
2/ )1(
ε
α f f Z n
−=
Thí d ụ:
Một k ỹ sư kiểm tra chất lượ ng sản phẩm muốn tỷ lệ phế phẩm trong dây chuyền sản xuất
vớ i sai số ± 0,05 và độ tin cậy 95%. Trong lần lấy mẫu đầu tiên vớ i 25 sản phẩm ngườ i k ỹ
sư nhận thấy có 4 phế phẩm. Hỏi cỡ mẫu bằng bao nhiêu để đạt đượ c khoảng tin cậymong muốn.
Giải:
Ta có: ε = 0,05, n = 25, f = 4/25 = 0,16
α = 5% ⇒ Zα/2 = Z0,025 = 1,96
Vậy: n = 5,20605,0
)16,01(*16,0*96,12
2
=−
Cỡ mẫu n = 207 (sản phẩm).
Ghi chú:
- Sau khi có n = 207 ta phải tính lặp lại lần thứ 2 vớ i cỡ mẫu n = 207 (nghĩ a là tìm f của
mẫu mớ i và tính lại n).
- Nếu ban đầu ta chưa biết cỡ mẫu bằng bao nhiêu ta có thể giả sử f = 0,5 để suy ra n và
thực hiện các bướ c lặp như trên. Tính lặp nhiều lần ta sẽ đượ c k ết quả hội tụ mong
muốn.