UP1_U6___REDES_DE_DOS_PUERTOS

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07/12/10 Página 1 de 11 07/12/2010 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

UNIDAD 6REDES DE DOS PUERTOS

CONTENIDO

6.1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS6.2 RED DE UN PUERTO6.3 RED DE DOS PUERTOS6.3.1 DESCRIPCIÓN DEL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOS6.3.2 RAZONES POR LA CUAL SE ESTUDIAN LOS TRANSDUCTORES DE DOS PUERTOS6.3.3 PARÁMETROS DEL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOS6.3.4 CONVENCIÓN DE SIGNOS Y POLARIDADES EN EL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOS6.4 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Z6.4.1 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS6.4.2 EJEMPLO NUMÉRICO6.4.3 DETERMINACIÓN DE VOLTAJES Y CORRIENTES6.5 PARÁMETROS DE ADMITANCIA6.5.1 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS6.5.2 EJEMPLO NUMÉRICO6.6 PARÁMETROS HÍBRIDOS6.7 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN6.8 EJERCICIOS RESUELTOS




UNIDAD 6

REDES DE DOS PUERTOS

6.1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMASEl creciente número de sistemas encapsulados en los campos eléctrico, electrónico y de computación se prela necesidad de estudiar a estos elementos, en una nueva área conocida con el nombre de análisis de sistem

Las ventajas asociadas con las estructuras de los sistemas encapsulados (circuitos integrados) son:- Tamaño reducido- Diseño complejo y comprobado- Menor tiempo de desarrollo- Costos reducidos en comparación con diseños discretos.El uso de cualquier sistema encapsulado se limita solo a la utilización adecuada de los terminales proporciona el sistema, por lo tanto, no es posible introducirse a la estructura interna, lo cual elimin posibilidad de reparar tales sistemas.En esta introducción al análisis de sistemas se incluirá el desarrollo de modelos de dispositivos con dos, tvarios puertos, pero específicamente nos referiremos a la red de dos puertos.

6.2 RED DE UN PUERTO

En una red como la de la figura siguiente, que contiene dos terminales, se dice que la red tiene un solo puertLa red lineal de un solo puerto que está conectada al par de terminales Ay B, pestar representada por un solo elemento como, una resistencia, una inductanciacapacitancia, o la interconexión entre ellos.

6.3 RED DE DOS PUERTOS

En una red como la de la figura siguiente, que contiene cuatro terminales, se dice que la red tiene dos puertorecibe el nombre de Transductor De Dos Puertos.

Por regla general los terminales A y B representan el puerto de entrada y lterminales C y D representan el puerto de salida, algunas veces puede exisun terminal común para ambos puertos.

6.3.1 DESCRIPCIÓN DEL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOS

El transductor de dos puertos es una red lineal que cosiste de elementos lineales como resistencia, inductanccapacitancia, fuentes dependientes cuya dependencia está a primer grado, Amplificadores operacionales ytransformadores. No se incluyen las fuentes independientes.

6.3.2 RAZONES POR LA CUAL SE ESTUDIAN LOS TRANSDUCTORES DE DOS PUERTOS1°. La mayoría de circuitos intergrados o transductores o sistemas encapsulados tine al menos dos puertos2°. Podremos colocar una señal de entrada en un puerto y obtener una señal de salida modificada en el otro puerto.3°. Los parámetros de una red de dos puertos describen su comportamiento en términos de voltaje y de corrien cada puerto.

B

ARED

LINEAL

D

C

B

ARED

LINEAL




NOTA: Conocer los parámetros de una red de dos puertos nos permite describir su operación cuando ésta seconecta a una red mas grande y también se podrá encontrar una combinación de elementos de red que nos permita sustituir la red con otra que se comporta de forma similar a la red original.4°. Las redes de dos puertos son importantes en el diseño de dispositivos electrónicos y componentes desistemas.Ejemplos: Diseñar componentes como transistores y amplificadores operacionales

Componentes modelados por el transductor de dos puertos son el transformador y las lineas dtransmicsión.

6.3.3 PARÁMETROS DEL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOS

En este documento se desarrollaran tres grupos de parámetros para la configuración de dos puertos, estos sonParámetros de Impedancia ZParámetros de Admitancia YParámetros Híbridos H6.3.4 CONVENCIÓN DE SIGNOS Y POLARIDADES EN EL TRANSDUCTOR DE DOS PUERTOSPara el transductor de dos puertos se acostumbra a asignar las polaridades de los voltajes y las direcciones dlas corrientes como se indican en la figura siguiente:

Los terminales superiores, A y C, son positivos con respea los inferiores B y D . Las corrientes entran positivamentransductor por los terminales superiores Ay C.

6.4 PARÁMETROS DE IMPEDANCIA Z

Como la red es lineal y no contiene fuentes independientes, se le puede aplicar el principio de superposición para encontrar el valor del voltaje V1, con base en las corrientes que entran al transductor. Por tanto, V1 pueexpresarse como la suma de dos componentes, una debida a la corriente de entrada I1 y otra debida a la corride salida I2. Esto es : V1 = Z11* I1 + Z12* I2. De igual forma se puede obtener el voltaje V2, quedando: V2

Z21* I1 + Z22* I2 De esta forma se produce un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, luego, para que halla unasolución no trivial, se hace necesario conocer de antemano a dos de ellas.El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial, quedando:

V1 Z11 Z12 I1

= xV2 Z21 Z22 I2

6.4.1 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROSLos parámetros de impedancia se pueden obtener a partir de cada una de las ecuaciones determinadas

anteriormente. Para ello, debido a que cada una de las ecuaciones encierra tres variables, podremos determinun cierto parámetro en función de solo dos de las variables, sí hacemos que la tercera de las variables tenga valor de cero.De esta forma los parámetros de impedancia quedarán definidos por :

Z11 =0 I

I

V

21

1

=; Parámetro de impedancia de entrada de circuito abierto

+V1 -

+V2 -

I2I1

REDLINEAL

En donde la matriz de Zas recibeel nombre de PARÁMETROSDE IMPEDANCIA




Z1 Z2

V2V1

0 v

I2 = 0I1Z2 Z1

V2V10 v

I2 I1=0Z2 Z1

Z12 =0 I

I

V

12

1

=; Parámetro de impedancia de transferencia de circuito abierto

Z21 =0 I

I

V

21

2

=; Parámetro de impedancia de transferencia de circuito abierto

Z22 =0 I

I

V

12

2

=; Parámetro de impedancia de salida de circuito abierto

6.4.2 EJEMPLO NUMÉRICO

Determinar los parámetros de impedancia del transductor siguiente:

Z3

En donde Z1 = 2 Ω ; Z2 = j 2 Ω y Z3 = - j 4 Ω

Para los parámetros de circuito abierto cuando I2 = 0, el circuito quedará de la forma siguiente:

De la figura se pueden determinar las ecuaciones siguientes:V1 = I1 * (Z1+Z3) = I1* ( 2- j 4)V2 = I1 * (Z3) = I1 * ( - j 4)

Z3

Luego dos de los parámetros de impedancia quedarán:

Z11 =0 I

IV

21

1

== ( 2- j 4) = 4.47 ∠ - 63.4° ; Impedancia de entrada

Z21 =0 I

I

V

21

2

== ( - j 4) = 4 ∠ - 90° ; Impedancia de transferencia

Para los parámetros de circuito abierto cuando I1 = 0, el circuito quedará de la forma siguiente :

De la figura se pueden determinar las ecuaciones siguientes:V2 = I2 * (Z2+Z3) = I2* ( 2 j - j 4)Z3 = I2 * (-j2)

V1 = I2 * (Z3) = I2 * ( - j 4)Luego dos de los parámetros de impedancia quedarán:

I1 2 Ω

- j 4 Ω

j 2 Ω

V2V1

I2




Z12 =0 I

I

V

12

1

== ( - j 4) = 4 ∠ - 90°; Impedancia de transferencia

Z22 =0 I

I

V

12

2

== (- j 2) = 2 ∠ - 90° ; Impedancia de salida

Por lo tanto las ecuaciones que relacionan los voltajes y corrientes de entrada y salida del transductor quedar

expresadas de la forma siguiente:V1 = ( 2- j 4) * I1 + ( - j 4) * I2.V2 = ( - j 4) * I1 + (- j 2) * I2

6.4.3 DETERMINACIÓN DE VOLTAJES Y CORRIENTESDetermine los voltajes y corrientes de salida y entrada del transductor anterior, sí a la entrada se le conecta fuente 12∟0° en serie con una resistencia de 1 Ω y a la salida se le conecta una resistencia de 4 Ω

Aplicando las leyes de ohm y de Kirchooff a la entra y salida del transductor, podremos encontrar lasecuaciones siguientes:Entrada: 12∟0° - I1 – V1 = 0 ; luego, V1 = 12∟0° - I1 Salida: V2 = - 4 I2 Reemplazando estas ecuaciones en las del transductor, desarrolladas anteriormente, encontraremos dosecuaciones con solo dos incógnitas, I1 e I2, las cuales al ser desarrolladas simultáneamente determinaremos lvalores de las corrientes, éstas son:12∟0° - I1 = ( 2- j 4) * I1 + ( - j 4) * I2. 12∟0° = (3-j4) I1 – j4 I2

- 4 I2 = ( - j 4) * I1 + (- j 2) * I2 0 = - j4 I1 + (4-j2) I2 Cuyas respuestas estarán dadas por: I1 = 1.8050∟21.16° ; I2 = 1.6144∟137.7°V1 = 10.337∟-3.6137° ; V2 = 6.4576∟-42.3°

6.5 PARAMETROS DE ADMITANCIAAl igual que se obtuvieron los parámetros de impedancia se pueden obtener los de admitancia. Como la red lineal y no contiene fuentes independientes, se le puede aplicar el principio de superposición para encontrar valor de la corriente I1, con base en los voltajes de entrada y salida del transductor. Por tanto, I1 puedeexpresarse como la suma de dos componentes, una debida al voltaje de entrada V1 y otra debida al voltaje dsalida V2. Esto es : I1 = Y11* V1 + Y12* V2. De igual forma se puede obtener el voltaje V2, quedando: I2 =Y21* V1 + Y22* V2 De esta forma se produce un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, luego, para que halla unasolución no trivial, se hace necesario conocer de antemano a dos de ellas.El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial, quedando:

I1 Y11 Y12 V1

= xI2 Y21 Y22 V2

12∟0° v

1 Ω

4 Ω

+

V1 -

+

V2 -

I2I1

TRANSDUC

TOR

En donde la matriz de Yes recibe el nombre dePARÁMETROS DEADMITANCIA




Y1 Y2

6.5.1 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Los parámetros de admitancia se pueden obtener a partir de cada una de las ecuaciones determinadasanteriormente. Para ello, debido a que cada una de las ecuaciones encierra tres variables, podremos determinun cierto parámetro en función de solo dos de las variables, sí hacemos que la tercera de las variables tenga valor de cero.De esta forma los parámetros de admitancia quedarán definidos por :

Y11 =0 V

V

I

21

1

=; Parámetro de admitancia de entrada de corto circuito

Y12 =0 V

V

I

12

1

=; Parámetro de admitancia de transferencia de corto circuito

Y21 =0 V

V

I

21

2

=; Parámetro de admitancia de transferencia de corto circuito

Y22 =0 V

V

I

12

2

=; Parámetro de admitancia de salida de corto circuito

6.5.2 EJEMPLO NUMÉRICODeterminar los parámetros de admitancia del transductor siguiente:

Y3

En donde Y1 = 0.5 s ; Y2 = - 0.5 j s = 0.5∟

90º y Z3 = 0.25 j s = 0.25∟

- 90º

Para los parámetros de corto circuito cuando V2 = 0, el circuito quedará de la forma siguiente:

De la figura se pueden determinar las ecuaciones siguientes:

V1 =2

2

1

1

Y

I

Y

I− ; V1=

21

1221

YY

)YIYI( −(A)

Y3 0Y

I

Y

II

2

2

3

21 =++

; I1= - I2 [2

23

Y

YY + ] (B)

V1 = I1 ]

)YY(Y

YYY[

321

321

+

++(C) , V1 = - I2

21

321

YY

YYY ++, (D)

Luego dos de los parámetros de admitancia quedarán:Admitancia de entrada

Y11 =0 V

V

I

21

1

==

321

321

YYY

)YY(Y

++

+=

j25.0) j5.0(5.0

) j25.0 j5.0(5.0

+−+

+−= 0.2236∟- 63.44°

I1 2 Ω

- j 4 Ω

j 2 Ω

V2V1

I2

V2=0

I1+I2

I1

V1

Y1

I2 Y2




I2

I1+I2

Y2 Y1

V2V1=0

I1

Admitancia de transferencia

Y21 =0 V

V

I

21

2

==

)YYY(

YY

321

12

++

−

Y21 =) j25.0 j5.05.0(

)5.0)( j5.0(

+−

−−= 0.4472∟116.56°

Para los parámetros de corto circuito cuando V1 = 0, el circuito quedará de la forma siguiente:

De la figura se pueden determinar las ecuaciones siguientes:

Y3 V2 =1

1

2

2

Y

I

Y

I− ; V2=

21

2112

YY

)YIYI( − (A)

0Y

I

Y

II

1

1

3

21 =++

; I2= - I1 [1

13

Y

YY + ] (B)

V2= ]

YYY

)YY(YI

[

321

312

2

++

+ (C) , V2 = - I1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

21

321

YY-

YYY (D)

Luego dos de los parámetros de admitancia quedarán:Admitancia de transferencia

Y12 =0 V

V

I

12

1

==

)YYY(

YY

321

12

++

−

Y12 =) j25.0 j5.05.0(

)5.0)( j5.0(

+−

−−= 0.4472∟116.56°

Admitancia de salida

Y22 = 0 V V

I

12

2

= = 321

312

YYY

)YY(Y

++

+

= j25.0) j5.0(5.0

) j25.05.0( j5.0

+−+

+−

= 0.5∟-36.86°

Por lo tanto las ecuaciones que relacionan los voltajes y corrientes de entrada y salida del transductor quedarexpresadas de la forma siguiente:I1 = 0.2236∟- 63.44° * V1 + 0.4472∟116.56° * V2.I2 = 0.4472∟116.56° * V1 + 0.5∟-36.86° * V2 , o

I1 = (0.01-0.2 j) * V1 + (-0.2 +0.4 j) * V2.

I2 = (-0.2 +0.4 j)* V1 + (0.4 - 0.3 j) * V2




6.6 PARÁMETROS HÍBRIDOS

En las ecuaciones presentadas para los parámetros de impedancia y de admitancia las variables explícitas sovoltajes o las corrientes respectivamente, en las ecuaciones que se presentarán para los parámetros híbridos,serán las mismas ecuaciones, pero con las variables explicitas una de voltaje de entrada y la otra de corrientsalida.Los parámetros híbridos están caracterizados por la siguiente ecuación matricial.

V1 h11 h12 I1

= xI2 h21 h22 V2

Por lo tanto, para obtener los paramétros podremos utilizar las fórmulas siguientes:

h11 = 0 VI

V

21

1

=, h12 = 0 IV

V

12

1

=, h21 = 0 VI

I

21

2

=, h22 = 0 IV

I

12

2

=

Para la determinación de los parámetros se procede de la misma forma que se procedió en la determinación los parámetros de impedancia y de admitancia.

6.7 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN

Al igual que los parámetros híbridos las ecuaciones que relacionan las variables de entrada y salida se agrup pero esta vez para los parámetros de transmisión, las variables explícitas serán el voltaje de entrada y lacorriente de salida.Los parámetros de transmisión están caracterizados por la siguiente ecuación matricial.

V1 A B V2

= xI1 C D - I2


A = 0 IV

V

22

1

=, B = -

0 VI

V

22

1

=, C = 0 IV

I

22

1

=, D = -

0 VI

I

22

1

=

Para la determinación de los parámetros se procede de la misma forma que se procedió en la determinación los parámetros de impedancia y de admitancia.

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = h11* I1 + h12* V2

I2 = h21* I1 + h22* V2

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = A * V2 - B * I2

I1 = C * V2 - D * I2




6.8 EJERCICIOS RESUELTOS: Ejercicio Nº 39 , capítulo 17 , Hayt Kemmerly , 7ª Edición

Parámetros a obtener con I1 = 0 : Z12 =0 I

I

V

12

1

= h12 = 0 IV

V

12

1

=

Ecuaciones que se presentan con I1 = 0. Circuito abierto en la entrada del transductor.Como I1 = 0, entonces la corriente a través dela resistencia de 4 Ω, es igual a la corriente a través de la fuentecorriente controlada por corriente 0.2 I2 , entonces, la corriente a través de la resistencia de 10K es igual a 0.y por LVK a la malla de la derecha, tendremos: V2 = 10K* 0.8 I2 o V2 = 8 000 I2 (A)Por LVK al lazo externo del circuito, tendremos: V1 – 0.3 V2 + 4(0.2 I2) – V2 = 0 (B)

Reemplazando A en B y reagrupando, quedará: V1 – 1.3 V2 + 10000

V2

= 0 ; V1 – 1.299 V2 = 0 ; V1 = 1.29

Luego, h12 = 0 IV

V

12

1

== 1.299

Reemplazando A en B y reagrupando, quedará: V1 – 1.3(8000 I2 ) +10000

8000I2 = 0 ; V1 – 10 399.2 I2 = 0

Luego, Z12 =0 I

I

V

12

1

== 10 399.2

Parámetros a obtener con V1 = 0: Y12 =0 V

V

I

12

1

=

Ecuaciones que se presentan para V2 = 0. Corto circuito en la salida del transductor El esquema del circuito quedará de la forma siguiente:

Reemplazando A en B, tendremos: V1 = 5 I1 , luego: Y12 =0 V

V

I

12

1

== 0.2

V1

0.3 V2

V2=0

0.8 I2

V1 V2

I1

0.2 I2

0.3 V2

Para el circuito de la figura anterior,transductor conformado por una redlineal, determine los siguientes parámetros: h12 , Z12 , Y12

I2

I1 I2

Por LCK al nodo superior izquierdo,tendremos: I1 + I2 = 0.2 I2 , por lo tantoI1 = - 0.8 I2 ; I2 = - 1.25 I1 (A)Por LVK al lazo externo del circuito:V1 – 0.3 V2 + 4 I2 = 0, como V2 = 0,entonces: V1 = - 4 I2 (B)

0.2 I2




EJERCICIOS RESUELTOS: Ejercicio Nº 41 , capítulo 17 , Hayt Kemmerly , 7ª Edición

Parámetros Híbridos:Los parámetros híbridos están caracterizados por la siguiente ecuación matricial.

V1 h11 h12 I1

= xI2 h21 h22 V2


h11 = 0 VI

V

21

1

= , h12 = 0 IV

V

12

1

= , h21 = 0 VI

I

21

2

= , h22 = 0 IV

I

12

2

=

Ecuaciones que se presentan para I1 = 0 Circuito abierto en la entrada del transductor Con base en el esquema anterior podremos plantear las ecuaciones siguientes:

Por LCK al nodo superior izquierdo tendremos: I1 + 10- 5 V2 =1000

V1 (A)

Como I1 = 0, entonces, 0.01 V2 = V1 , (A) luego: h12 = 0 IV

V

12

1

== 0.01

Por LVK a la malla de la derecha tendremos: V2 – 10K I2 + 100V1 = 0 (B)Reemplazando A en B y simplificando, tendremos: 2V2 = 10K I2 ,

luego: h22 = 0 IVI 12

2= = 2x10- 4 = 200 uSiemens


Como V2 = 0, entonces I1 =1000

V1 (C), luego, h11 = 0 VI

V

21

1

== 1000 Ω

Por LVK a la malla de la derecha tendremos: 10K I2 - 100V1 = 0 (D) o V1 = 100 I2

Reemplazando C en D y simplificando, tendremos: 10 I1 = I2 , luego: h21 = 0 VI

I

21

2

== 10

Por lo tanto la ecuación matricial conformada por los parámetros híbridos quedará:

V1

I1 I2

V2 = 0100 V1

Para el transductor conformado por lared lineal, determine los parámetroshíbridos y de transmisión

I2I1

V2V1 100 V110- 5 V2

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = h11* I1 + h12* V2

I2 = h21* I1 + h22* V2

Con base en el esquema anterior podrem plantear las ecuaciones siguientes:Por LCK al nodo superior izquierdo

tendremos: I1 + 10- 5 V2 =1000

V1 (C)

10- 5 V2




V1 1000 Ω 0.01 I1

= xI2 10 200 us V2

Parámetros de Transmisión:Los parámetros de transmisión están caracterizados por la siguiente ecuación matricial.

V1 A B V2

= xI1 C D I2


A = 0 IV

V

22

1

=, B = -

0 VI

V

22

1

=, C = 0 IV

I

22

1

=, D = -

0 VI

I

22

1

=

Ecuaciones que se presentan para I

2 = 0 Circuito abierto en la salida del transductor Con base en el primer esquema del ejercicio podremos plantear las ecuaciones siguientes:Por LVK a la malla de la derecha tendremos: V2 – 10K I2 + 100V1 = 0 (1)

Como I2 = 0, entonces, V2 = - 100 V1 (1), luego: A = 0 IVV

22

1

== - 0.01


V1 (2)

Reemplazando 1 en 2 y simplificando, tendremos: I1 = 0.002 V2 , luego: C = 0 IV

I

22

1

== 0.002 = 2 mS



V1 (4) , Como V2 = 0, entonces I1 =1000

V1

Reemplazando 4 en 3 y simplificando, tendremos: 1000 I1 = 100 I2 , luego, D = - 0 VI

I

22

1

== - 0.1 .

Por lo tanto la ecuación matricial conformada por los parámetros híbridos quedará:

V1 - 0.01 - 100 Ω V2

= xI1 0.002 - 0.1 - I2

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = 1000 * I1 + 0.01 * V2

I2 = 10 * I1 + 2x10- 4 * V2

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = A * V2 - B * I2 I1 = C * V2 - D * I2

V1

I1 I2

V2 = 0100 V1

Con base en el esquema anterior podremos plantear las ecuaciones siguientes:

Por LVK a la malla de la derechatendremos: 10K I2 - 100V1 = 0 (3) o

V1 = 100 I2, luego: B = -0 VI

V

22

1

=

B = - 100 Ω

10- 5 V2

La cual se convierte en las ecuaciones siguientes:V1 = - 0.01 * V2 + 100 * I2

I1 = 0.002 * V2 + 0.1 * I2

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