Úplné kvadratické rovnice

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Mgr. Martina Fainová

POZNÁMKY ve formátu PDF

KVADRATICKÁ ROVNICE

Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze

ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0,

kde a R-{0}; b,c R.

Poznámka:ax2 – kvadratický člen, a - koeficient kvadratického členu bx – lineární člen, b - koeficient lineárního členuc – absolutní člen ax2 + bx + c – kvadratický trojčlen

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici převedeme na anulovaný tvar a dále použijeme některou z možností řešení:

I. Řešení pomocí diskriminantu

II. Vztah mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice

III. Řešení doplněním na čtverec

??? Neúplné kvadratické rovnice a tyto metody

Lze je použít, ale postup je zbytečně zdlouhavý.

Řešení pomocí diskriminantu

Diskriminant kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0 je výraz b2 – 4ac a značíme jej D.

D rozhoduje o kořenech rovnice:

D 0 rce nemá v R řešení

D = 0 rce má jeden dvojnás. kořen

D 0 rce má dva reálné kořeny a

bx

2

a

Dbx

21

a

Dbx

22

,

Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice:

a) 2x2 - x - 6 = 0

Řešení:

23

2;K

a = 2, b = -1, c = -6

D = b2 – 4ac = (-1)2 - 42(-6) = 1 + 48 = 49> 0

2 řešení

222491

21

a

Dbx

23

22491

22

a

Dbx

Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice:

b) 2x2 - x + 6 = 0

Řešení:

a = 2, b = -1, c = 6

D = (-1)2 - 426 = < 0

K = Ø

c) x2 - 2x + 1 = 0

Řešení:

a = 1, b = -2, c = 1

D = (-2)2 - 411 = 4 - 4 = 0

K = {1}

1122

2

)(

a

bx

= 1 - 48 = -47

Cvičení:

a) 16x2 - 8x + 1 = 0

b) 3x + x2 + 4 = 0

c) 3z2 - 4 - z = 0

d) x2 + 1,5x - 4,5 = 0

e) 4x = 4x2 - 1

f) 19x = 7x2

V oboru reálných čísel řešte pomocí D dané rovnice:

g) (4x - 3)2 = (3x + 2)2

h) 7x(x - 3) = -2(x2 + 5)

i) (2x + 1)(x + 2) = 2(5 + 2x)

j) (x + 3)(x - 2) = (3x + 2)(4x - 3)

k) .

l) .

5021

,uu

212

112

xx

Řešení pomocí VKK

Příklad: Řešte kvadratickou rovnici 3x2 + x – 10 = 0.

,

Řešení: ,35

1 x 22 x

21 xx

21 xx

3

12

3

5 a = 3

b = 1c = -10

Jsou-li x1, x2 kořeny kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0, pak pro ně platí:

a

bxx 21 a

cxx 21

3

102

3

5

Řešení pomocí VKK

Je-li kvadr. rovnice normovaná (x2+px+q = 0), platí pro její kořeny Vietovy vzorce:

pxx 21 qxx 21

Příklad: Pomocí Vietových vzorců řešte rci x2-7x+12=0

721 pxx

1221 qxx

Řešení:

26, (-2)(-6), 34, (-3)(-4), 112

3+4 = 7

K = {3; 4} ?? Platí uvedené věty i obráceně

Řešení pomocí VKK

Nechť a, b, c R a 0. Pak čísla x1, x2, pro která platí , ,

jsou kořeny kvadr. rovnice ax2+bx+c = 0.a

bxx

21 a

cxx 21

Příklad: Určete b, c tak, aby čísla 3 a -0,5 byla kořeny kvadratické rovnice 2x2+bx+c = 0

2503

b ),(

2503

c ),(

Řešení: x1 = 3, x2 = -0,5

b = -5

c = -32x2 - 5x - 3 = 0

Řešení doplněním na čtverec

Rovnici ax2 + bx + c = 0 převedeme na tvar a(x2 + b´x + c´) = 0, závorku dále upravujeme:

(x + b´/2)2 - (b´/2)2 + c´= 0 ,

p q2

(x + p)2 – q2 = (x + p - q) (x + p + q) = = (x – x1) (x – x2)

x1 a x2 jsou hledanými kořeny rovnice

Příklad:

x + 2 = 0

2

23

23

22

x

Řešení:

21 ;K

Doplněním na čtverec řešte rovnici x2 + 3x + 2 = 0.

41

23

2

x

22

21

23

x

21

23

21

23

xx 12 xx = 0

x + 1 = 0x = -2 x = -1

Rozklad kvadr. trojčlenu

Nechť je dána kvadr. rovnice ax2 + bx + c = 0 s kořeny x1, x2. Pak lze kvadr. trojčlen zapsat ve tvaru:

ax2 + bx + c = a(x–x1)(x–x2)

Příklad: Rozložte na součin lin. členů: 2x2 – 5x – 3

Řešení: D = b2 – 4ac = (-5)2 - 42(-3)

322

495

21

a

Dbx

2

1

22

495

22

a

Dbx

2x2 – 5x – 3 = 2(x – 3)(x – (–0,5))= 2(x – 3)(x + 0,5)

= 49

Cvičení:

a) x2 – 3x + 2 = 0

b) x + x2 – 6 = 0

c) 2x2 + 22x + 48 = 0

Příklad 2: Řešte pomocí VKK a kvadr. trojčleny zapište jako součin lineárních členů:

d) 5 = 0,5x2 + 1,5x

e) x2 + 16 = -10x

f) x2 + 8 = 9x

a) x2 – 3x + 2 = 0

b) x2 + 11x + 24 = 0

c) 10 = x2 + 3x

Příklad 1: Dané rovnice řešte doplněním na čtverec:d) 7x = x2 + 10

e) x2 - 8x + 15 = 0

f) x2 - 0,5 = 0,5x

Grafické řešení kvadr. rovnic

,

Rovnici převedeme na tvar x2 = -px - q

f1: y = x2 (grafem parabola) f2: y = -px - q (grafem přímka)

přímka je sečnou 2 spol. body rce má 2 řešení

přímka je tečnou 1 spol. bod rce má 1 řešení

žádný spol. bod rce nemá žádné řešení

??? Jaká souřadnice spol. bodu je řešením původní rceprvní souřadnice (x) společného bodu

Příklad: Graficky řešte rovnici x2 + x - 2 = 0

x2 = -x + 2 Řešení:

f1: y = x2

K = {-2; 1}

f2: y = -x + 2

x 0 3

y 2 -1