ELEKTRICKÝ OBVOD ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ VELIČINY ...amber.feld.cvut.cz/vyu/eo1/files/lectures/Prednaska1.pdf · Þ Maxwellovy rovnice, vlnová rovnice, rovnice kontinuity c velmi

Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty

- 1 -

ELEKTRICKÝ OBVOD, ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ VELIČINY, CHARAKTERISTICKÉ HODNOTY

Elektrotechnické zařízení

Schéma Elektrický obvod Elektrotechnické zařízení

• druh technického zařízení, které využívá přeměny elektrické energie • využívá vlastností elektromagnetického pole • fyzikální přístup popisu obvodu • systémový přístup – rozdělení obvodu na samostatné konstrukční celky

Fyzikální přístup – základní veličiny:

o vektor intenzity elektrického pole ¡!E¡!E [V/m]

o vektor magnetické indukce ¡!B¡!B [T]

⇒ Maxwellovy rovnice, vlnová rovnice, rovnice kontinuity c velmi obtížné a pracné


- 2 -

• konečná rychlost šíření elektromagnetické vlny prostředím – často c – rozměry zařízení mohou být velmi důležité

• v určitých objemech je energie magnetického pole mnohem větší nežli energie elektrického pole → zjednodušení – budeme řešit samostatně pouze magnetické pole v objemu → můžeme zavést indukčnost jako veličinu charakterizující vlastnosti magnetického pole

• pokud je dominantní energie elektrického pole → kapacita • odpor je z tohoto pohledu fyzikální veličina, charakterizující poměr mezi

integrálními veličinami, popisujícími elektromagnetická pole – napětím a proudem

Systémový přístup – zařízení je sestaveno z dílčích celků, jejichž vlastnosti můžeme popisovat odděleně Jednotlivé konstrukční celky mají vstupy a výstupy, napětí a proudy jsou vstupní a výstupní (budící a buzené) veličiny odezva – výstupní veličina

Dekompozice – konstrukční celek lze pokládat za spojení jednodušších částí Součástky – nejjednodušší, dále nedělitelné části obvodu, jejichž vlastnosti mohou být popsány vztahy mezi jejich vstupními a výstupními veličinami Modely – nahrazení součástek se složitým fyzikálním popisem (tranzistory, diody, …) spojením několika jednoduchých součástek (různá složitost pro různé účely a podle stupně zanedbání méně významných vlastností součástky)

u2(t)

i2(t)

u1(t)

i1(t)

vstup výstup

výstupnísvorky

vstupnísvorky


- 3 -

Model cívky (vinutí cívky)

Příklady dvou různých modelů bipolárního tranzistoru

Zjednodušený model tranzistoru pro malý

signál a malé kmitočty Zjednodušený model tranzistoru pro vysoké

kmitočty

Obvodové schéma – elektrotechnický výkres, v němž jsou jednotlivé součástky reprezentovány smluvenými značkami, propojení svorek plnými čarami a tečkou propojení vodičů

Dva příklady realizace cívky na desce tištěných spojů (obvykle deska tištěných spojů realizuje propojení mezi svorkami obvodových

součástek a kapacity a indukčnosti spojů jsou parazitní a nechtěné)

Implementace jednoduché cívky

E

CB

E E

CB

E

uzly

L1

ibib ibibicic icic

ucuc ucucubub ubub


- 4 -

Vodivá cesta zde kombinuje implementaci tištěné cívky a propojení několika

součástek Analýza

• obvodové prvky, struktura obvodu a časové průběhy budících veličin jsou dané

• cílem je najít časové průběhy výstupních veličin Syntéza Ø daný je vztah mezi vstupními a výstupními veličinami Ø cílem je najít vhodnou obvodovou realizaci (strukturu obvodu)

Klasifikace obvodů

energetická zařízení – slouží k výrobě, rozvodu a užití elektrické energie zařízení pro přenos a zpracování informací – zdrojem elektrické energie, která zde slouží jako nosič informace je vysílač, spotřebičem, který slouží k vyhodnocení informace, je přijímač analogové – časové průběhy jsou spojitou funkcí reálného času diskrétní v čase – obvodové veličiny jsou definovány pouze v určitých časových okamžicích digitální – časové průběhy jsou vzorkovány a kvantovány (jsou definovány pouze v určitých časových okamžicích, nabývají konečného počtu hodnot), jsou reprezentovány čísly

propojeníC1, C2 a L

LC3

D1

R1

C1

C2

propojeníC3, D1 a R1


- 5 -

lineární – vztah mezi vstupními a výstupními veličinami je lineární nelineární – mezi vstupními a výstupními veličinami není pospán lineární funkcí obvody se soustředěnými parametry – konečný počet obvodových prvků, nezáleží na jejich prostorovém uspořádání obvody s rozprostřenými parametry – nekonečný počet nekonečně malých prvků, záleží na prostorovém uspořádání, konečné rychlosti šíření elektromagnetického vlnění (např. anténní koaxiální kabel u TV)

Základní veličiny a zákony Náboj

symbol: q jednotka: coulomb [C] základní částice: elektrony – záporně nabité, protony – kladně nabité

c přitažlivé a odpudivé síly elementární náboj: e

:= 1:6021 ¢ 10¡19 Ce:= 1:6021 ¢ 10¡19 C

neodstranitelná, nevytvořitelná vlastnost elementárních částic – zákon zachování náboje

Elektrický proud ¿ Co to vlastně je ? – Proud tekoucí kovovým vodičem, vakuem,

dielektrikem kondenzátoru, … ⇒ proud kondukční, konvekční / vodivý, Maxwellův

(posuvný), polarizační

Kondukční – uspořádaný pohyb nábojů i = dqdti = dqdt

symbol: i jednotka: ampér [A]

K zamyšlení: rychlost uspořádaného pohybu elektronů je pouze v řádu mm / s (v = I

neSv = I

neS), elektřina se ale šíří rychlostí blízkou rychlosti světla cc

(rychlost šíření závisí na prostorovém uspořádání vodičů, i vlastnostech izolantu mezi nimi !!!)


- 6 -

Maxwellův (posuvný) – kondenzátor: iM = "0@E@t

iM = "0@E@t

Celkový – jedna z Maxwellových rovnic – rot H = r£H = i + "o@E@t

;rot H = r£H = i + "o@E@t

; i = ¾Ei = ¾E

skalární veličina, ALE – kladná orientace je určena směrem pohybu kladně nabitých částic (opačná ke směru záporně nabitých částic) – proud teče od kladného pólu k zápornému

silové účinky na náboje: na konstantní bodový náboj QQ působí v elektrickém poli síla F e = QEF e = QE [N], EE [V/m] je vektor intenzity elektrického pole Síla, působící na bodový náboj, pohybující se v magnetickém poli rychlostí v [ms¡1]v [ms¡1]:

F m = Q [v £ B]F m = Q [v £ B] [N] 1. Kirchhoffův zákon (proudový)

nX

k=1

ik = 0

nX

k=1

ik = 0

Napětí Skalární veličina, určuje práci, která je nutná k přemístění jednotkového náboje po (libovolné) dráze z bodu A do bodu B jednotka: volt [V]

uAB =A

quAB =

A

q kde A [J] práce vykonaná silami elektrického pole q [C] přenesený náboj AB body podél určité dráhy


- 7 -

A =

I B

A(s)

F e ¢ ds = q

I B

A(s)

Ee ¢ ds = q uABA =

I B

A(s)

F e ¢ ds = q

I B

A(s)

Ee ¢ ds = q uAB

uAB(s) =

I B

A(s)

E ¢ dsuAB(s) =

I B

A(s)

E ¢ ds

u0 =

IE ¢ ds = ¡d©C

dtu0 =

IE ¢ ds = ¡d©C

dt kde © =

RSB ¢ dS© =

RSB ¢ dS je magnetický (indukční) tok vektoru magnetické indukce

B plochou S [m2].

uAB =

I B

A

EdsuAB =

I B

A

Eds

uBC =

I C

B

EdsuBC =

I C

B

Eds

uCA =

I A

C

EdsuCA =

I A

C

Eds

uAB + uBC + uCA = 0uAB + uBC + uCA = 0

2. Kirchhofův zákon (napěťový)

nX

k=1

uk = 0

nX

k=1

uk = 0

Výkon

p(t) =dA

dt=

dA

dq

dq

dt= u(t)i(t)p(t) =

dA

dt=

dA

dq

dq

dt= u(t)i(t)

E1

E2

A

B

Cu1

u2

u3


- 8 -

Odpor Parametr, který charakterizuje vlastnosti elektrického pole ve vodivém prostředí … s ohledem na energii nevratně přeměněnou na teplo (práci, …) obvodový prvek: rezistor jednotka: ohm [Ω] Ohmův zákon (pouze v lineárním prostředí!): u = Riu = Ri

Kapacita Parametr, který charakterizuje vlastnosti elektrického pole v nevodivém prostředí (dielektriku) … s ohledem na akumulovanou energii elektrického pole obvodový prvek: kondenzátor náboj: q = Cuq = Cu jednotka: Farad [F] akumulovaná energie: We(t) = 1

2Cu2(t)We(t) = 1

2Cu2(t)

Indukčnost Parametr, který charakterizuje vlastnosti magnetického pole vodičů, kterými protéká elektrický proud … s ohledem na akumulovanou energii magnetického pole obvodový prvek: induktor magnetický tok: ©c = Li©c = Li jednotka: Henry [H] akumulovaná energie: Wm(t) = 1

2Li2(t)Wm(t) = 1

2Li2(t)


- 9 -

Obvodové veličiny Deterministické – mohou být popsány matematickými funkcemi Nedeterministické (stochastické) – náhodné procesy (→ hustota rozložení pravděpodobnosti, …) Deterministické:

• spojité • nespojité

Deterministické:

• stacionární – po dobu pozorování nemění svoji velikost ani smysl – stejnosměrný proud DC

• periodické – po určité době T (perioda) opakují svojí okamžitou hodnotu, u(t + kT ) = u(t)u(t + kT ) = u(t) (specielním případem je střídavý proud AC)

• aperiodické

Periodické: • obecný • pulsující • střídavý AC

Charakteristické hodnoty Střední hodnota Definice:

IS =

1

T

Z t0+T

t0

i(t)dtIS =1

T

Z t0+T

t0

i(t)dt

Význam: Odpovídající velikost stejnosměrného proudu I, který přenese stejný

náboj, jako proud střídavý. Tato hodnota odpovídá výšce obdélníka se stejnou plochou, jako střídavý i(t) během jedné periody T.


- 10 -

Na rozdíl od např. Fourierových řad, kde má střední hodnota význam stejnosměrné složky signálu, určuje IS celkové účinky proudu bez ohledu na jeho okamžitou hodnotu.

⇒ Střední hodnotu je nezbytné počítat jinak: 1. Aritmetická střední hodnota (mean rectified value)

Isar =1

T

Z t0+T

t0

ji(t)jdtIsar =1

T

Z t0+T

t0

ji(t)jdt

2. Střední hodnota v době jedné půlperiody (čtvrtperiody, …) – výška obdélníka je stále stejná!

Is =2

T

Z T2

0i(t)dtIs =

2

T

Z T2

0i(t)dt

Is =

4

T

Z T4

0i(t)dtIs =

4

T

Z T4

0i(t)dt

Efektivní hodnota (Root Mean Square, RMS) Definice:

I =

s1

T

Z t0+T

t0

i2(t)dtI =

s1

T

Z t0+T

t0

i2(t)dt,

Měřící přístroje, které měří přímo efektivní hodnotu, bývají označeny RMS, resp. True RMS, zatímco “RMS calibrated” znamená, že přístroj měří střední hodnotu a ta je násobená hodnotou 1.11, takže se přístroj snaží ukázat efektivní hodnotu sinusovky. Význam: Hodnota stejnosměrného proudu I, kterým se za dobu jedné

periody vyvine ve stejném prostředí stejné množství tepla, jako proudem střídavým


- 11 -

Odvození:

1. Teplo, generované stejnosměrným proudem během periody T: W = RI2TW = RI2T 2. Okamžitý výkon střídavého proudu: p(t) = Ri2(t)p(t) = Ri2(t) 3. Celkové teplo, generované střídavým proudem za dobu jedné periody T může

být vyjádřena jako “součet” všech okamžitých hodnot výkonu – tedy integrací (viz obrázek) W =

R T0 Ri2(t)dtW =

R T0 Ri2(t)dt

4. Srovnáním (1) a (3) dostáváme RI2T =

Z T

0Ri2(t)dt =) I =

s1

T

Z T

0i2(t)dtRI2T =

Z T

0Ri2(t)dt =) I =

s1

T

Z T

0i2(t)dt

Činitelé… Tvaru (form factor) kt =

I

Iskt =

I

Is • Pokud máme měřící přístroj, který měří

střední hodnotu • Pro výpočet indukovaných napětí

Výkyvu Crest factor (peak-to-rms ratio)

kv =Im

Ikv =

Im

I • Každý měřící přístroj, který měří efektivní

hodnotu, resp. výkon, má maximální povolený činitel výkyvu; pokud je příliš velký, výsledek měření je chybný Důvod Ø omezený frekvenční rozsah přístroje Ø omezený dynamický rozsah přístroje

Plnění kp =

Is

Imkp =

Is

Im

∑=

∞→∆=

m

iiim

tpW1

lim


- 12 -

Příklady časových průběhů: Sin: ( ) ( )tIti m ωsin=

obdélník: ( )

)TTtI

TtIti

m

m

,2

2,0

∈−=

∈=

Trojúhelník: ( )

∈+−=

∈−=

∈=

4,044

4,0

42

4,0

4

TttTII

TttTII

TttTIti

mm

mm

m

Vypočtené hodnoty

sin obdélník trojúhelník Is

πmI2 mI

2mI

I 2mI

mI 3mI

st I

Ik = 11.122

=&π

1 15.1

32

=

IIk m

c = 2 1 3

m

sp I

Ik = π2

1 21

Výpočty Sin:

IS =1T2

Z T2

0

Im sin(!t)dt =2Im

T

·¡ cos(!t)

!

¸T2

0

=2Im

T

·¡ cos(2¼T

t)2¼T

¸T2

0

=

=Im

¼(¡ cos(¼) + cos(0)) =

2Im

¼

IS =1T2

Z T2

0

Im sin(!t)dt =2Im

T

·¡ cos(!t)

!

¸T2

0

=2Im

T

·¡ cos(2¼T

t)2¼T

¸T2

0

=

=Im

¼(¡ cos(¼) + cos(0)) =

2Im

¼

I =

s1

T

Z T

0

(Im sin(!t))2 dt =

¯¯sin2(!t) =

1 ¡ cos(2!t)

2

¯¯ =

=

sI2m

2T

Z T

0

(1 ¡ cos(2!t)) dt = Im

s1

2T

½[t]T0 ¡ 1

2![sin(2!t)]T0

¾=

= Im

s1

2T

·T ¡ 1

2 ¢ 2¼T

(sin(4¼) ¡ sin(0))

¸=

Imp2

I =

s1

T

Z T

0

(Im sin(!t))2 dt =

¯¯sin2(!t) =

1 ¡ cos(2!t)

2

¯¯ =

=

sI2m

2T

Z T

0

(1 ¡ cos(2!t)) dt = Im

s1

2T

½[t]T0 ¡ 1

2![sin(2!t)]T0

¾=

= Im

s1

2T

·T ¡ 1

2 ¢ 2¼T

(sin(4¼) ¡ sin(0))

¸=

Imp2


- 13 -

Trojúhelník:

Is =1T4

Z T4

0

4Im

Ttdt =

16Im

T 2

·t2

2

¸T4

0

=8Im

T 2

µT

4

¶2

=Im

2Is =

1T4

Z T4

0

4Im

Ttdt =

16Im

T 2

·t2

2

¸T4

0

=8Im

T 2

µT

4

¶2

=Im

2

I =

s1T4

Z T4

0

µ4Im

Tt

¶2

dt =

s64I2

m

T 3

·t3

3

¸T4

0

=Imp

3I =

s1T4

Z T4

0

µ4Im

Tt

¶2

dt =

s64I2

m

T 3

·t3

3

¸T4

0

=Imp

3 Pozn.: rovnice jsou odvozeny pro proud. Analogické vztahy platí i pro napětí. Odvození efektivní hodnoty vychází ze vztahu W = U2

R TW = U2

R T .

Documents

ELEKTRICKÝ OBVOD ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ VELIČINY ...amber.feld.cvut.cz/vyu/eo1/files/lectures/Prednaska1.pdf · Þ Maxwellovy rovnice, vlnová rovnice, rovnice kontinuity c velmi