Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET SINGIDUNUM
Prof. dr Mališa ŽižovićProf. dr Olivera Nikolić
mr Ivana Kovačević
KVAN TITATIVNE
METODE
- ZBIRKA ZADATAKA -
Beograd, 2009.
KVANTITATIVNE METODE- Zbirka zadataka -
Autori:Prof. dr Mališa ŽižovićProf. dr Olivera Nikolićmr Ivana Kovačević
Recenzent:Prof. dr Dušan Adnađević
Izdavač:UNIVERZITET SINGIDUNUMBeograd, Danijelova 32
Za izdavača:Prof. dr Milovan Stanišić
Tehnička obrada:Novak Njeguš
Dizajn korica:Milan Nikolič
Godina izdanja:2009.
Tiraž:2000 primeraka
Štampa:Mladost GrupLoznica
ISBN: 978-86-7912-209-4
III
SADRŽAJ
1. MATEMATIČKA LOGIKA I sKupOvI 1
2. MATRICE, DETERMINANTE I sIsTEMI JEDNAČINA 6
3. FuNKCIJE JEDNE I vIŠE pROMENLJIvIH 25
4. DIFERENCIJALNI RAČuN 41
5. vEROvATNOĆE 105
6. sTATIsTIKA 130
pRAKTIKuM ZA MATLAB 159
TABLICE 257
1. MATEMATIČKA LOGIKA I SKUPOVI
1. Da li su dati izrazi, iskazi:
a) 1 15 3> , b) 2 2 2x y xy+ ≥ ,
c) ( )23 3− = − , d) 2x y= .
Rešenje:
a) da, b) da,
c) da, d) ne.
2. Odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a) 1 15 3> , b) 2 2 2x y xy+ ≥ , c) ( )23 3− = − ,
d) ( ) 3 10x R x∀ ∈ + < , e) ( ) 3 10x R x∃ ∈ + < Rešenje:
a) 1 15 3
τ ⎛ ⎞> =⊥⎜ ⎟⎝ ⎠
,
b) ( )2 2 2x y xy Tτ + ≥ = ,
c) ( )( )23 3τ − = − =⊥ ,
d) ( )( )3 10x R xτ ∀ ∈ + < =⊥
e) ( )( )3 10x R x Tτ ∃ ∈ + < =
1
3. Dati su iskazi :
1 1 1 1 10:2 3 4 5 3
p ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, 1 1 1 1 37:2 3 4 5 6
q ⎛ ⎞≡ − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
,
1 1 1 1: 72 3 4 5
r ⎛ ⎞≡ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1 1 1 1 2:2 3 4 5 5
s ≡ − − = .
Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a) ( )p q r∧ ∨ , b) ( ) ( )p q r s∨ ∨ ∧ ,
c) ( ) ( )p q r s∨ ⇒ ∧¬ , d) ( ) ( )p q r s∨¬ ⇔ ∧ .
Rešenje:
Kako je ( ) ( ) ( ) ( ), , ,p T q T r sτ τ τ τ= = =⊥ =⊥ ,
a) ( )( ) ( )p q r T T T Tτ ∧ ∨ = ∧ ∨ ⊥= ∨ ⊥= ,
b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,p q r s T T T Tτ ∨ ∨ ∧ = ∨ ∨ ⊥ ∧ ⊥ = ∨ ⊥=
c) ( ) ( )( ) ,p q r sτ ∨ ⇒ ∧¬ =⊥
d) ( ) ( )( ) .p q r sτ ∨¬ ⇔ ∧ =⊥
4. Dati su iskazi:
( ) ( )3 54 3 2 2 34 : 2 2p x y x y x y≡ = , 1
x xqy y
−⎛ ⎞
≡ =⎜ ⎟⎝ ⎠
,
( )( ) 2 22 2 4r x y x y x y≡ − + = − ,
( )2 2 22 4 4s x y x xy y≡ − = + + . Odrediti njihovu tačnost i na osnovu toga odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:
a) ( )p q r∧ ∨ , b) ( ) ( )p q r s∨ ∨ ∧ ,
c) ( ) ( )p q r s∨ ⇒ ∧¬ , d) ( ) ( )p q r s∨¬ ⇔ ∧ .
2
Rešenje:
Kako je ( ) ( ) ( ) ( ), , ,p q r T sτ τ τ τ=⊥ =⊥ = =⊥ ,
a) ( )( )p q r Tτ ∧ ∨ = ,
b) ( ) ( )( )p q r sτ ∨ ∨ ∧ =⊥ ,
v) ( ) ( )( )p q r s Tτ ∨ ⇒ ∧¬ = ,
g) ( ) ( )( )p q r sτ ∨¬ ⇔ ∧ =⊥ .
5. Implikaciju 3 10x x= ⇒ < , pročitati na više načina. Rešenje:
Ako 3x = , onda je 10x < , 3x = je pretpostavka posledice 10x < , 3x = povlači 10x < ,
iz 3x = sledi 10x < , 3x = je dovoljan uslov za 10x < , 10x < je potreban uslov za 3x = .
6. Ispitati da li su iskazne formule tautologije:
a) ( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨¬ , b) ( ) ( )p q p q¬ ∨ ⇔ ¬ ∧¬ ,
v) ( )p q p⇔ ⇔¬ , g) ( )p p p∧ ⇔ ,
d) ( ) ( ) ( )p q r p r q r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ .
Rešenje:
a) ( ) ( )p q p q¬ ∧ ⇔ ¬ ∨¬
( )pτ ( )pτ ( )pτ ¬ ( )qτ ¬ ( )p qτ ∧ ( )( )p qτ ¬ ∧ ( )p qτ ¬ ∨¬ F T T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ T T ⊥ ⊥ T ⊥ T T T ⊥ T T ⊥ ⊥ T T T ⊥ ⊥ T T ⊥ T T T
3
Formula je tautologija.
b) ( ) ( )p q p q¬ ∨ ⇔ ¬ ∧¬ je tautologija,
v) ( )p q p⇔ ⇔¬ je tautologija,
g) ( )p p p∧ ⇔ je tautologija,
d) ( ) ( ) ( )p q r p r q r∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
( )pτ ( )qτ ( )rτ ( )p qτ ∨ ( )( )p q rτ ∨ ∧ ( )p rτ ∨ ( )q rτ ∨ ( ) ( )( )p r q rτ ∨ ∧ ∨ ( )Fτ
T T T T T T T T T T T ⊥ T ⊥ T T T ⊥ T ⊥ T T T T T T T T ⊥ ⊥ T ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T T T T T T T T ⊥ T ⊥ T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ T T T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Formula nije tautologija.
7. Dati su skupovi { }1, 2,3A = , { }2,3, 4,5B = i { }2,3, 4,5,6,7C = , odrediti
a) ( ), ,A B A B C∪ ∪ ∪
b) ( ), ,A B A B C∩ ∩ ∩ c) \ , \A B C A ,
d) A B× , ( )P A . Rešenje:
a) { }1, 2,3, 4,5A B =∪ , ( ) { }1, 2,3, 4,5,6,7A B C =∪ ∪ ,
b) { }2,3A B =∩ , ( ) { }3A B C =∩ ∩ ,
c) { }\ 1A B = , { }\ 5,6,7C A = ,
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5A B× =
( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }, 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3P A = ∅ .
4
8. Odrediti elemente skupova { }2 1 0A x x x Z= − = ∧ ∈ i
{ }2 1 7B x x x N= + < ∧ ∈ , a zatim izračunati , , \A B A B A B∩ ∪ i
\B A . Rešenje:
Kako je { }1,1A = − i { }1, 2B = , dobijamo
{ }1A B =∩ , { }1,1, 2A B = −∪ , { }\ 1A B = − , { }\ 2B A = .
9. Dat je skup { }0,1, 2, 9P = . Odrediti skupove
{ }3A x x P x= ∈ ∧ ≥ i { }8B x x P x= ∈ ∧ < , a zatim izračunati
( ), , \ , \A B A B A B P A B∩ ∪ .
Rešenje:
{ }3, 4,5,6,7,8,9A = i { }0,1, 2,3, 4,5,6,7B = .
{ }3, 4,5,6,7A B =∩ , { }0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9A B =∪ , { }\ 8,9A B = ,
[ ] { } { } { }{ }\ , 8 , 9 , 8,9P A B = ∅ .
10. Dat je skup { }0,1, 2, 9P = . Odrediti skupove
212
xA x x P Px
⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈⎨ ⎬−⎩ ⎭
i 2
2xB x x P x P
⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ ∧ − ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
, a zatim
izračunati:
, , \ ,A B A B A B∩ ∪ ( ) ( )\ , \ \B A A B B A× .
Rešenje:
{ }0, 4,6,8,9A = , { }0, 2, 4B = .
{ }0,6,8A B =∩ , { }0, 2, 4,6,8,9A B =∪ ,
{ }\ 6,8,9A B = , { }\ 2B A = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }\ \ 6, 2 , 8,2 , 9,2A B B A× = .
5
2. MATRICE, DETERMINANTE I SISTEMI JEDNAČINA
1. Naći zbir matrica 2 13 2
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
i 1 21 2
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Rešenje:
( )2 1 1 2 3 12 1 1 23 2 1 2 4 43 1 2 2
A B− −⎡ ⎤+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = + = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦.
2. Pomnožiti matricu
1 2 34 5 67 8 9
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
brojem 2λ = .
Rešenje:
2 4 6
2 8 10 1214 16 18
A⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
3. Naći matricu
2C A B= ⋅ − , ako su date matrice 2 13 2
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
i 1 21 2
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Rešenje:
2 1 1 2 4 2 1 2 3 4
2 23 2 1 2 6 4 1 2 5 2
C A B− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ − = ⋅ − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
6
4. Naći proizvode
A B⋅ i B A⋅ matrica 2 13 2
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
i 1 2 31 1 2
B−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Rešenje:
( )( )
2 1 1 2 33 2 1 1 2
2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 3 83 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 2 5 4 13
A B−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −⎣ ⎦⎣ ⎦
Proizvod matrica nije komutativna operacija, odnosno A B B A⋅ ≠ ⋅ . Proizvod B A⋅ ne postoji jer dimenzije matrica A i B nisu odgovarajuće.
5. Proveriti jednakost
A I I A A⋅ = ⋅ = , ako je 1 2 34 5 67 8 9
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
a I jedinična matrica odgovarajućih dimenzija Rešenje:
1 2 3 1 0 0 1 1 2 0 3 0 1 0 2 1 3 0 1 0 2 0 3 14 5 6 0 1 0 4 1 5 0 6 0 4 0 5 1 6 0 4 0 5 0 6 17 8 9 0 0 1 7 1 8 0 9 0 7 0 8 1 9 0 7 0 8 0 9 1
1 2 34 5 67 8 9
A I⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 0 0 1 2 3 1 1 0 4 0 7 1 2 0 5 0 8 1 3 0 6 0 90 1 0 4 5 6 0 1 1 4 0 7 0 2 1 5 0 8 0 3 1 6 0 90 0 1 7 8 9 0 1 0 4 1 7 0 2 0 5 1 8 0 3 0 6 1 9
1 2 34 5 67 8 9
I A⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
7
Mada proizvod matrica nije komutatitivna operacija, u ovom specijalnom slučaju kada je jedna matrica jedinična , važi zakon komutacije, tj. A I I A⋅ = ⋅ .
6. Dokazati da za matrice
1 12 1
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ i
1 14 1
B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
važi relacija ( )2 2 2A B A B+ = + .
Rešenje:
( )21 1 1 1 2 0 2 0 2 0 4 0,
2 1 4 1 6 2 6 2 6 2 0 4A B A B
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = + = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
2 1 1 1 1 1 02 1 2 1 0 1
A− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦,
2 1 1 1 1 5 04 1 4 1 0 5
B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2 1 0 5 0 4 00 1 0 5 0 4
A B−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
7. Ako je
3 52 64 5
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
, naći njenu transponovanu matricu TA .
Rešenje:
3 2 45 6 5
TA−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.
8
8. Proveriti sledeće rezultate:
a) 3 2 3 4 5 25 4 2 5 7 0
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
b) 1
3 2 1 102
0 1 2 83
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
,
c) [ ] [ ]1
2 1 3 2 133
⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
d) 5 8 4 3 1 5 23 39 296 9 5 4 1 3 24 48 324 7 3 6 9 5 58 24 56
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
e) 1 2 3 1 2 4 0 0 02 4 6 1 2 4 0 0 03 6 9 1 2 4 0 0 0
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
9. Izračunati vrednost determinanti:
a) 1 34 1
, b) 2 1 35 3 21 4 3
, c) 1 0 33 2 1 .1 3 5− −
Rešenje:
a) 1 3
1 1 3 4 1 12 114 1
= ⋅ − ⋅ = − = −
9
b) Koristeći Sarusovo pravilo dobijamo:
2 1 3 2 15 3 2 5 31 4 3 1 4
2 3 3 1 2 1 3 5 4 3 3 1 2 2 4 1 5 3 40
+ + ± − −
=
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po prvoj vrsti dobijamo:
( ) ( ) ( )
2 1 33 2 5 2 5 3
5 3 2 2 1 34 3 1 3 1 4
1 4 3
2 9 8 15 2 3 20 3 40
= ⋅ − ⋅ + ⋅ =
⋅ − − − + ⋅ − =
c) Koristeći Laplasovo pravilo, razvijanjem po drugoj koloni dobijamo:
( ) ( )1 0 3
3 1 1 3 1 33 2 1 0 2 3
1 5 1 5 3 11 3 52 2 3 10 34
−− − = ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =
−
− ⋅ − ⋅ = −
Koristeći osobine determinanti, možemo prvu kolonu da pomnožimo sa 3− i dodamo trećoj koloni. Determinantu sada razvijamo po prvoj vrsti koja sadrži dve nule.
1 0 3 1 0 0
2 103 2 1 3 2 10 1 34
3 21 3 5 1 3 2
−− − = − − = ⋅ = − .
10
10. Proveriti rezultate:
a) 5 3 41 3 0 202 1 0
−= , b)
11 01
a b cb c ac a b
++ =+
, c) ( )3
1 1 1 11 1 1
11 1 11 1 1
aa
aa
= − .
11. Odrediti rang matrica
a) 1 2 32 4 13 5 2
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
, b)1 1 1 12 3 1 1 .3 4 0 2
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Rešenje: a) Determinanta date matrice A je različita od nule,
1 2 3
4 1 2 1 2 42 4 1 1 2 3 3 2 6 5 0
5 2 3 2 3 53 5 2
−− −
− = ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + = ≠− −
−,
i zaključujemo da je rang ove matrice3, tj. ( ) 3rang A = . b) Svi minori trećeg reda matrice A su jednaki nuli,
2 3 16 2 3 1 2 16 1 3 16 11 6 2 1 6 3 1 2 3 6 2 3 0 ,4 9 12 4 9 7 4 12 7 9 12 7
− − −− = = − = − =
ali postoji bar jedan minor drugog reda koji je različit od nule, naprimer
2 3
01 6
−≠ , pa zaključujemo da je rang ove matrice 2,
tj. ( ) 2rang A = .
11
12. Naći inverzne matrice matrica:
a) 2 13 1
A−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦, b)
2 1 22 3 10 2 2
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
c) 2 0 41 2 33 2 1
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Rešenje:
a) Kako je det 1 0A = − ≠ , postoji matrica 1A− .
Kofaktori matrice A su: 11 12 21 221 , 3 , 1 , 2A A A A= = = = .
11 211
12 22
1 1 1 113 2 3 2det
A AA
A AA− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
.
b) ( )2 1 2
det 2 3 1 4 00 2 2
A−
= − = ≠
Kofaktori matrice A su:
11 21 31
12 22 32
13 23 33
3 1 1 2 1 28 6 5
2 2 2 2 3 1
2 1 2 2 2 24 4 2
0 2 0 2 2 1
2 3 2 1 2 14 4 4
0 2 0 2 2 3
A A A
A A A
A A A
− − −= = = − = − = =
−
− − −= − = − = = = − = −
−
= = = − = − = =
1
8 6 51 4 4 24
4 4 4A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
c) Kako je det 0A = , 1A− ne postoji.
12
13. Proveriti rešenja:
a)
13 4 5 8 29 112 3 1 5 18 73 5 1 1 3 1
−− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
b)
13 1 1 2 1 112 1 0 4 6 24
0 1 2 2 3 1
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
14. Rešiti matričnu jednačinu
,XA B= gde je 2 2 31 1 01 2 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
i 1 0 2
0 1 3B
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
Rešenje: Polazna jednačina može da se tranformiše u ekvivalentnu jednačinu, tj.
1 1
1 1.XA B XAA BAXI BA X BA
− −
− −
= ⇔ = ⇔
= ⇔ =
Kako je 2 2 3
det 1 1 0 1 01 2 1
A = − = − ≠−
, postoji 1A− i iznosi
( )1
1 4 3 1 4 31 1 5 3 1 5 3
1 6 4 1 6 4A−
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Znači,
1 4 3
1 0 2 3 16 111 5 3 .
0 1 3 4 23 151 6 4
X− −⎡ ⎤
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦
13
15. Rešiti matričnu jednačinu
1 2 0 1 21 1 1 0 20 1 3 1 0
X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Rešenje: Matrična jednačina se može napisati u obliku
AX B= , gde je 1 2 0 1 21 1 1 , 0 20 1 3 1 0
A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, odnosno 1 .X A B−=
Kako je 1
2 6 21 3 3 14
1 1 1A−
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⋅ − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
, dobijamo da je
2 6 2 1 2 4 8 1 2
1 13 3 1 0 2 4 0 1 0 .4 4
1 1 1 1 0 0 0 0 0X
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − ⋅ = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
16. Rešiti matričnu jednačinu
0=−+⋅ BXXA , ako je ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
113120241
A i ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
030212101
B .
Rešenje:
( ) ( )
( )
( )
1
1
0
1 4 2 1 0 0 2 4 20 2 1 0 1 0 0 3 13 1 1 0 0 1 3 1 2
det 4 0
5 6 2 7 12 71 13 2 2 1 8 1 .4 4
9 10 6 11 28 11
AX X B A I X B X A I B
A I
A I
A I X
−
−
+ − = ⇔ + = ⇔ = + ⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ = ≠
− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = ⋅ − − ⇔ = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
14
17. Rešiti matričnu jednačinu
TAXXA =+ ako je ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
111102011
A .
Rešenje:
( ) ( )
( )
1
2 1 02 1 1 , det 31 1 0
T T TXA X A X A I A X A A I
A I A I
−+ = ⇔ + = ⇔ = +
−⎡ ⎤⎢ ⎥+ = + = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2 1 1 0 1 2 3 1
1 11 0 1 1 0 2 2 3 53 3
0 1 1 1 3 4 0 3 6X
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅ − − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
18. Rešiti matrične jednačine:
a) ( )3 ,X A I A I− = + ako je 1 3 21 2 10 0 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
b) ,AX B= ako je 1 2 3 1 23 5 6 , 2 37 12 16 3 4
A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
c) ( ) ,A I X A I+ = − ako je 1 3 21 2 10 0 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Rešenje:
a) 5 12 104 9 80 0 1
X⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
, b) 7 16
7 152 4
X− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
, c)
1 2 12 1 03 30 0 0
X
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
15
19. Gausovom metodom rešiti sistem jednačina
a) 2 3 4
2 32 2 6
x y zx y zx y z
+ − = −− + =
− + + = b)
62 3 13
5 2 3
x y zx y zx y z
+ + =+ + =
− + − =,
c)
2 83 2 7
3 2 14 3 15
x y zx y zx y z
x y z
− + =+ − = −+ − =− + =
, d)2 2 1
2 3 01
x y zx y z
ax y z
+ + =+ + =+ − =
.
Rešenje: a) Nakon množenja prve jednačine polaznog sistema, redom sa 2− i 2 i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem ekvivalentan polaznom, tj.
2 3 45 7 11
5 4 2
x y zy z
y z
+ − = −− + =
− = −.
Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo sistem, tj.
2 3 45 7 11
3 9
x y zy z
z
+ − = −− + =
=
čije je jedinstveno rešenje ( ) ( ), , 1, 2,3x y z = . b) Ako se prva jednačina polaznog sistema pomnoži sa 2− i doda drugoj jednačini i prva jednačina doda trećoj dobićemo sistem
61
6 9
x y zy zy z
+ + =− + =
− =
16
Množenjem druge jednačine sa 6 i dodavanjem trećoj dobijamo sistem
61
5 10
x y zy zy
+ + =− + =
=
čije je jedinstveno rešenje ( ) ( ), , 1, 2,3x y z = . c) Ako u polaznom sistemu prvu jednačinu pomnoženu, redom sa 2 , 1 i 3− dodamo drugoj, trećoj odnosno četvrtoj jednačini, dobijamo sistem:
2 85 9
5 95 9
x y zx y
x yx y
− + =+ =+ =
− − = −
⇔2 85 9
x y zx y− + =+ =
Dobijeni sistem od dve jednačine sa tri nepoznate ne može da ima jedinstveno rešenje. Ako stavimo da je x t R= ∈ , proizvoljno, tada iz druge jednačine sistema dobijamo 9 5y t= − , a iz prve jednačine dobijamo da je
17 7z t= − .
Dakle skup rešenja je ( ) ( ), , , 9 5 ,17 7x y z t t t= − − . c)
( )
2 3 03 4 1
2 4 1
x y zx y
a x y
+ + =− − =
+ + =
⇔
( )
2 3 03 4 1
1 2
x y zx y
a x
+ + =− − =
− =
Skup rešenja zadatog sistema jednačina glasi:
Za ( ) ( ) ( )2 5 3 11 , , , , ,
1 4 1 4 1a aa x y z
a a a⎛ ⎞− − −
≠ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
Za 1a = sistem nema rešenja.
17
20. Gausovom metodom rešiti sisteme jednačina:
a) 2 6 13
2 5 4 243 10 26
x y zx y zx y z
+ − = −+ + =+ + =
, b) 2 3 5
2 3 5 85 8 7
x y zx y zx y z
+ − =+ − =+ − =
, c) 2 1
2 3 82 7
x y zx y zax y z
− + = −+ − =+ − =
.
Rešenje:
a) ( ) ( ), , 1, 2,3x y z = , b) ( ) ( ), , 1, 2,0x y z = ,
c) Za 3a ≠ ( ) ( ), , 0, 5, 6x y z = − −
Za 3a = ( ) ( ), , ,7 5,5 6x y z t t t= − − .
21. Rešiti sistem jednačina Kramerovom metodom.
7232123
=+=+−=−+
zxzyxzyx
Rešenje:
Determinanta sistema je 1 3 22 1 1 13 01 0 2
D−
= − = − ≠ , a pomoćne
determinante xD , yD , zD dobijamo kada u determinanti D zamenimo redom prvu, drugu i treću kolonu kolonom slobodnih članova, tj.
13207113231
−=−−
=xD 26271132211
−=−
=yD 39701312131
−=−=zD
Rešenje sistema je:
13 113
xDxD
−= = =
−,
26 213
yDy
D−
= = =−
, 39 313
zDzD
−= = =
−,
( ) ( ), , 1, 2,3x y z = .
18
22. Kramerovom metodom rešiti sisteme jednačina:
a) 3 2 52 3 12 3 11
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
, b) 2 10
2 610 3 2
x y zx y zx y z
+ + =+ + =− + =
,
c) 3
2 2 12 3 4
x y yx y z
x y z
+ + =− + =
− + − =, d)
2 12 3
3 2 4 1
x y zx y zx y z
+ + = −− + + =
+ + =.
Rešenje:
a)3 2 12 3 1 122 1 3
D = = ,5 2 11 3 1 2411 1 3
xD = = ,
3 5 12 1 1 242 11 3
yD = = −3 2 52 3 1 362 1 11
zD = =
kako je 0D ≠ sistem ima jedinstveno rešenje.
24 212
xDxD
= = = , 24 2
12yD
yD
−= = = − ,
36 312
zDzD
= = = ,
( ) ( ), , 2, 2,3x y z = − . b) 1 2 3 0D D D D= = = = . Zaključujemo da je sistem neodređen. Primenom Gausovog metoda transformiše se u ekvivalentni sistem
2 10
3 14x y z
y z+ + =− − = −
čije je rešenje ( ) 2 14, , , ,3 3
t tx y z t+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, gde je t R∈ .
c) 0 , 32xD D= = , pa prema Kramerovoj teoremi sistem je nemoguć i nema rešenja.
d) ( ) ( ), , 1,0,1x y z = − .
19
23. Diskutovati i rešiti sisteme jednačina u zavisnosti od realnog parametra a :
a) 1
2 22 0
ax y zx ay z
x y z
+ + =+ + =+ + =
, b) 3 2 0
2 20
x y zx y z
ax y z
− + =− + − =
− − =.
Rešenje: a)
1 12 1 2 1
1 21 1 2 1 2 1
2 1 1
aa a
D a a= = − + =
( ) ( )222 3 1 4 4 2 ,a a a a a− + + = − + = −
1 1 1
1 1 1 12 2 2,
2 2 20 1 1
xD a aa
= = − + = −
1 1
1 1 11 2 2 2 2 1
2 2 1 22 0 1
y
aa
D a= = + = − ,
( ) ( )1 1
1 1 11 2 2 2 2 2 1 5 4 .
2 1 22 1 0
z
aa
D a a a aa
= = − = − − − = −
Za 0,D ≠ tj. za 2a ≠ sistem ima jedinstveno rešenje:
( ) ( )2 2
1 2 1 5 4, , .2 2 2
yx zDD Da ax y z
D a D Da a− −
= = = = = =− − −
( )( ) ( )2 2
1 2 1 5 4, , , ,2 2 2
a ax y za a a
⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
.
Za 0D = ,odnosno za 2a = dobijamo 3 0,yD = ≠ sistem nemoguć i nema rešenja.
20
b) ( )3 2D a= − , 6xD = − , ( )2 3yD a= − + , ( )2 2 3zD a= − − . Za 0D ≠ , tj. za 2a ≠ sistem ima jedinstveno rešenje
( ) ( )( )
( )( )
2 3 2 2 32, , , ,2 3 2 3 2
a ax y z
a a a⎛ ⎞− + − −−
= −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠.
Za 0D = , tj. za 2a = 0, 0, 0x y zD D D≠ ≠ ≠ sistem je nemoguć i nema rešenja.
24. Rešiti sisteme jednačina i diskutovati rešenja u zavisnosti od parametra a R∈ :
a) ( )( )
1 21 0
x y z ax a y z ax y a z
+ + =+ + + =+ + + =
, b) 300
x y azx ay zax y z
+ + =+ + =+ + =
Rešenje:
a) 2 3, xD a D a= = , 2 2,y zD a D a= = − . Za 0D ≠ , tj. za 0a ≠ sistem ima jedinstveno rešenje
( ) ( ), , ,1 , 1x y z a= − . 0D = ,za 0a = i sistem postaje neodređen.
000
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
Svodi se na jednu jednačinu sa tri nepoznate čije rešenje je
( ) ( ), , , , ,x y z t k t k t k R= − − ∈ .
b) Za ( ) ( )21 2 0,D a a= − − + ≠ odnosno za 1 2a a≠ ∧ ≠ − , sistem ima jedinstveno rešenje
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )3 13 3, , , ,
1 2 1 2 1 2a
x y za a a a a a
⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠
.
Za 0,D = odnosno za 2a = − , sistem nije moguć i nema rešenja. Za 0,D = odnosno za 1a = , sistem nije moguć i nema rešenja.
21
25. Rešiti homogene sisteme jednačina
a) 2 2 3 03 5 0
7 3 0
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
b)2 2 3 03 5 5 0
7 3 0
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
c)2 2 3 03 5 0
7 3 0
x y zx ay z
x y z
+ + =+ + =+ + =
d)
( )
04 0
6 2 2 0
x y zax y z
x a y z
+ + =+ + =
+ + + =
Rešenje: a) Kako je determinanta matrice sistema različita od nule, tj.
2 2 33 1 5 121 7 3
= − , sistem ima samo trivijalno rešenje
( ) ( ), , 0,0,0x y z = .
b) Kako je determinanta matrice sistema jednaka nuli, tj. 2 2 33 5 5 01 7 3
= ,
sistem ima i netrivijalnih rešenja. Do njih dolazimo primenom Gausove metode.
2 2 3 0
2 2 3 02 2 3 0
3 5 5 07 3 0
x y zx y z
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =
+ + = ⇔+ + =
+ + =
Rešenje sistema je ( ) ( ), , 5 4, 4,x y z t t t t R= − − ∈ .
c) 2 2 33 5 51 7 3
D a a= = −
Za 0D ≠ , odnosno za 5a ≠ , sistem ima samo trivijalno rešenje
( )0,0,0 .
22
Za 5a = sistem osim trivijalnog rešenja ( )0,0,0 može da ima još neka rešenja.Zamenom ove vrednosti u sistem dobijamo
2 2 3 0
2 2 3 02 2 3 0
3 5 5 07 3 0
x y zx y z
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =
+ + = ⇔+ + =
+ + =
Rešenje sistema je ( ) ( ), , 5 4, 4,x y z t t t t R= − − ∈ .
d) 2 12D a a= − − . Za 0D ≠ , odnosno za 4 3a a≠ ∧ ≠ − , sistem ima samo trivijalno
rešenje ( )0,0,0 .
0D = za 4a = i tada sistem postaje 0 0
4 4 0 06 6 2 0 0
x y zx y z
x y z
+ + + =+ + + =+ + + =
čije je rešenje ( ) ( ), , , ,0x y z k k= − .
0D = za 3a = − i sistem postaje 0
3 4 06 2 0
x y zx y z
x y z
+ + =− + + =
− + =
čije je rešenje ( ) ( ), , 3 , 4 ,7x y z k k k= − − .
26. Rešiti sisteme jednačina matričnom metodom
a) 3
13232
=−−−=++−=−+
zyxzyx
zyx b)
22 3 2
2 5
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ − =
c) 2 3 1
2 4 53 2 1
x y zx y z
x y z
− + = −+ − =+ + =
23
Rešenje: a) Ako stavimo da je
1 2 1 32 3 1 11 1 1 3
xA B X y
z
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, sistem se može napisati
u obliku matrične jednačine AX B= .
1
1
2 3 51det 9, 3 0 39
5 3 1
AX B X A B
A A
−
−
= ⇔ = ⋅
−⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) ( )1
18 21 18 2 , , , 2, 2,19
9 1X A B x y z−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
b)
1
1 1 1 21 2 3 , 2 ,1 1 2 5
xA B X y
z
AX B X BA−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇔ =
( ) ( ), , 1, 2, 1x y z = − ,
c) ( ) ( ), , 1,0, 1x y z = − .
24
3. FUNKCIJE JEDNE I VIŠE PROMENLJIVIH Odrediti oblast definisanosti ili domen sledećih funkcija:
1. a) 2 2 1y x x= + + , b) 1
22 −
=x
xy ,
c) ( )21 2
1xy
x−
=−
, d) 2
21
xyx
=+
.
Rešenje:
a) xD R= ,
b) ( ) ( ) ( )2 1 0 1, : , 1 1,1 1,xx x D x− ≠ ⇔ ≠ ± ∈ −∞ − − +∞∪ ∪ ,
c) ( )21 0 1x x− ≠ ⇔ ≠ , { }\ 1xD R=
d) 2 1 0x + > za x R∀ ∈ , xD R= .
2. a) 9y x= − , b) 29 xy −= , c) 24 ,y x x= −
c) x
xxy−−−
=2168 2
.
Rešenje:
a) ( ]9 0 9, : ,9xx x D x− ≥ ⇔ ≤ ∈ −∞ ,
b) ( )( ) [ ]29 0 3 3 0 , : 3,3xx x x D x− ≥ ⇔ − + ≥ ∈ − ,
c) ( ) [ ]24 0 4 0 : 0, 4xx x x x D x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ∈ ,
d) ( )2 0 2 , : , 2xx x D x− > ⇔ < ∈ −∞ .
3. a) ( )ln 3y x= − , b) ( )2ln 5 6y x x= − + , c) 2xy e += ,
d) 1xy e= .
Rešenje:
a) ( )3 0 : ,3xx D x− > ⇔ ∈ −∞ ,
25
b) ( ) ( )2 5 6 0 : , 2 3,xx x D x− + > ⇔ ∈ −∞ +∞∪ ,
c) xD R= ,
d) ( ) ( )0, : ,0 0,xx D x≠ ∈ −∞ +∞∪ .
4. Odrediti kodomen ili oblast vrednosti funkcija:
a) 121 2 −−= xy , b) 92 −= xy , c) 2 1xy = + .
Rešenje:
a) ( ]: , 1yD y∈ −∞ − ,
b) [ ): 9,yD y∈ − +∞ ,
c) [ ): 1,yD y∈ +∞ .
5. Odrediti domen i nule datih funkcija:
a) 1
1032
2
+−+
=x
xxy , b) 2 1y x x= − , c) ( )2 4 xy x e= − ⋅ ,
d) 2
ln1x
xy += .
Rešenje:
a) Domen: xD R= ,
Nule funkcije: 0y = za 1 22 5x x= ∨ = − .
b) Domen: ( ] [ ): , 1 1,xD x∈ −∞ − +∞∪ ,
Nule funkcije: 1,20 1y x= ⇔ = ± . ( rešenje 0x = ne pripada domenu funkcije)
c) Domen: xD R= ,
Nule funkcije: ( )21,24 0 2 , 0x xx e x e− ⋅ = ⇔ = ± ≠
d) Domen: ( ): 0,xD x∈ +∞ , Nule funkcije:
11 ln 0 ln 1x x x e−+ = ⇔ = − ⇔ =
26
6. Odrediti domen, nule i znak funkcija:
a) 2
21
xyx
=+
, b) 2
21
yx
=−
, c) 1
xeyx
=−
, d) ( )2ln 1y x= − .
Rešenje:
a) Domen: xD R= . Nule funkcije: 0x = .
Znak funkcije : ( ),0x∈ −∞ 0y < , a za ( )0,x∈ ∞ 0y > .
b) Domen: ( ) ( ) ( ): , 1 1,1 1,xD x∈ −∞ − − +∞∪ ∪ . Nule funkcije: funkcija nema nula.
Znak funkcije: : ( )1,1x∈ − 0y < , a za ( ) ( ), 1 1,x∈ −∞ − ∞∪ 0y > .
c) Domen: ( ) ( ): ,1 1,xD x∈ −∞ +∞∪ .
Nule funkcije: 0xe > i funkcija nema nula.
Znak funkcije: za ( ),1x∈ −∞ , 0y < , a za ( )1,x∈ ∞ , 0y > .
d) Domen: ( ) ( ): , 1 1,xD x∈ −∞ − +∞∪ .
Nule funkcije: 2x = ±
Znak funkcije: za ( ) ( )2, 1 1, 2x∈ − − ∪ , 0y < ,a za
( ) ( ), 2 2,x∈ −∞ − ∞∪ , 0y > .
7. Dokazati da funkcije nisu ni parne ni neparne:
a) 2
2 2xyx−
= , b) 1−
=xey
x
.
Rešenje:
a) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 1x xf x f x f x
xx
− − − +− = = ≠ ≠ −
−,
b) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1
x
x x
ef x f x f xx e x e x
− −− = = ⋅ = − ≠ ≠ −
− − + +.
27
8. Dokazati da su funkcije parne:
a) 24 xy −= , b) 2
2x
ey−
= , c) ( ) 22 1 xy x e−= − ⋅ . Rešenje:
a) ( ) ( ) ( )2 24 4f x x x f x− = − − = − = ,
b) ( )( )
( )2 2
2 2x x
f x e e f x−
− −− = = = ,
c) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 1x xf x x e x e f x− − −− = − − ⋅ = − ⋅ = .
9. Dokazati da su funkcije neparne:
a) xxy 23 −= , b) ( ) 11
x
x
ef xe+
=−
, c) 1212
+−
= x
x
y .
Rešenje:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2f x x x x x f x− = − − − = − − = − ,
b) ( ) ( )1 111 1
1 11 11
x
x xx x
xx x
x x
ee ee ef x f x
ee ee e
−
−
+++ +
− = = = = − = −−− −−
,
c) ( ) ( )1 1 212 1 2 12 21 1 22 1 2 112 2
x
x xx x
xx x
x x
f x f x−
−
−−− −− = = = = − = −
++ ++.
10. Napisati nekoliko članova niza čiji je opšti član:
a) 1
1nan
=+
, b) ( ) 11 nna
n= − .
Rešenje:
a) 1 1 1, , ,2 3 4
… , b) 1 11, , ,2 3
− − … .
28
11. Naći opšti član niza zadatog sa nekoliko prvih članova:
a) 1 1 1, , ,2 4 8
… , b) 1 2 3 4, , , ,2 3 4 5− − … .
Rešenje:
a) 12n na = , b) ( ) 11
1n
nna
n+= −
+.
12. Naći tačke nagomilavanja i ispitati konvergenciju sledećih nizova:
a) 1
1nan
=+
, b) ( ) 11 nna
n= − , c)
1n
nan+
= , d)
( ) 21 nn
nan+
= − .
Rešenje:
a) tačka nagomilavanja je 0 i konvergira, b) tačka nagomilavanja je 0 i konvergira, c) tačka nagomilavanja je 1 i konvergira,
d) tačke nagomilavanja su 1− i 1 i niz divergira.
13. Dat je opšti član niza1n
nan
=+
. Izračunati njegovu graničnu vrednost.
Odrediti 0n za 0,01ε = . Rešenje:
1lim lim 111 1n n
nn
n→∞ →∞
= =+ +
.
Kako je tačka1 granična vrednost niza, onda je 1 11 0,01
1 1 1n
n n n−
− = = <+ + +
odakle je 99n > tj. 0 99n = .
Prema tome 99 članova niza je van ε okoline tačke 1 širine 0,01 , a počev od 100a svi ostali, njih beskonačno mnogo nalaze u ε okolini tačke 1.
29
14. Odrediti granične vrednosti nizova:
a) 2
2
2 2 3lim3 1n
n nn→∞
+ ++
, b) 2
2lim3 1n
nn→∞ +
, c) 22lim
3 1n
nn→∞ +
.
Rešenje:
a) 2 2
2
2
2 322 2 3 2lim lim 13 1 33n n
n n n nn
n→∞ →∞
+ ++ += =
+ +,
b). 2
2
22lim lim 013 1 3
n n
n nn
n→∞ →∞
= =+ +
,
c). 2
2
2 2lim lim 3 13 1n n
nn
n n→∞ →∞
= = ∞+ +
.
15. Izračunati
a) ( )
( )2
1 3 5 2 1lim
1n
n
n→∞
+ + + + −
+
…, b) 2
1 1 1lim 12 2 2nn→∞
⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Rešenje: a) Koristeći formulu za zbir prvih n članova aritmetičkog niza
( )( )12 12nnS a n d= + − , gde je 1 1 , 2a d= = , dobijamo da je
( )
22
2lim lim 111n n
n nnn→∞ →∞
⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠+.
b) Koristeći formulu za zbir prvih n članova geometrijskog niza
111
n
nqS aq
−= ⋅
−, gde je 1
11 ,2
a q= = dobijamo:
1
2
111 1 1 2lim 1 lim 212 2 2 1
2
n
nx x
+
→∞ →∞
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ + + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −
… .
30
16. Izračunati
a) ( )2lim 1n
n n→∞
+ − , b) lim1n
nn n→∞ + −
.
Rešenje:
a) ( ) ( )( )2 2
2
2
1 1lim 1 lim
1n n
n n n nn n
n n→+∞ →+∞
+ − + ++ − =
+ +
( )2 2
2 2
1 1lim lim 01 1n n
n n
n n n n→+∞ →+∞
+ −= = =
+ + + +,
b) ( )
( )( )1
lim lim1 1 1n n
n n nnn n n n n n→∞ →∞
+ +=
+ − + − + +
( ) ( )1
lim lim 1 .1n n
n n nn n
n n→∞ →∞
+ += = + + = ∞
+ −
17. Izračunati
a) 32lim 1n
n n→∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
, b)2
lim1
n
n
nn→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
, c) 23limn
n
nn→∞
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Rešenje:
a)
23 23 2 2332 2lim 1 lim 1
n n
n ne e
n n→∞ →∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
,
b)
( )2
2 2 2 1 11 1 1 1lim lim lim 1 lim 11 1 1 1
nn n n n n
n n n n
n nn n n n
−− + +
→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2lim 21
2
1 .n
nne e
e→∞
− −+= = =
31
c)
32 32 3
23 3lim lim 1 .n n
n n
n en n
−−
−
→∞ →∞
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
18. Odrediti granične vrednosti funkcija:
a) 2 1lim3 1x
xx→∞
++
, b) 22
2
1lim2x
xx→+∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎝ ⎠
, c)2 2 1lim ,2 1x
x xx→+∞
+ ++
d) 2
2 1lim2 1x
xx x→+∞
+− +
, e) ( )2
2
1lim
2 2 1x
xx x→+∞
+− +
, f) 2
3
6limx
x xx x→∞
+ −+
.
Rešenje:
a)
122 1 2lim lim 13 1 33x x
x xx
x→∞ →∞
++= =
+ +,
b)
2
22 2
2
2
111lim lim 122 1x x
x xx
x→+∞ →+∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞+= =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
c)2 2
2
2 112 1lim lim 2 12 1x x
x x x xx
x x→+∞ →+∞
+ ++ += = ∞
+ +
d) 2
2
2
2 12 1lim lim 02 12 1 1
x x
x x xx x
x x→+∞ →+∞
++=
− + − +,
e) 12
, f) 0 .
32
19. Izračunati
a) 2
23
9lim3x
xx x→−
−+
, b) 2
23
5 6lim7 12x
x xx x→−
+ ++ +
,
c) 4 2
3 23
6 27lim3 3x
x xx x x→−
− −+ + +
, d) 2
4 23
3lim2 3x
xx x→
−− +
,
e) 5
22
16lim2 4 16x
x xx x→
−+ −
.
Rešenje: a)
( )( )
( )2
23 3 3
3 39 3lim lim lim 23 3x x x
x xx xx x x x x→− →− →−
− +− −= = =
+ +,
b)
( )( )( )( )
2
23 3 3
3 25 6 2lim lim lim 17 12 3 4 4x x x
x xx x xx x x x x→− →− →−
+ ++ + += = = −
+ + + + +,
c)
( )( )( )( )
( )( )2 2 24 2
3 2 223 3 3
9 3 3 36 27 36lim lim lim3 3 1 53 1x x x
x x x xx xx x x xx x→− →− →−
− + − +− −= = = −
+ + + ++ +
d)
( )( )2 2
4 2 22 23 3 3
3 3 1 1lim lim lim2 3 1 43 1x x x
x xx x xx x→ → →
− −= = =
− − +− +,
e)
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
4 2 2 25
2 22 2 2 2
16 4 4 2 416 16lim lim lim lim2 4 16 2 2 4 2 4 32 2 8x x x x
x x x x x x x xx xx x x x xx x→ → → →
− − + + +−= = = =
+ − − + ++ −
33
20. Izračunati
a) ( )2lim 1x
x x x→∞
+ − , b) 2
limn
xx x x→∞ + −
c) 0
4 2limx
xx→
+ −, d)
31
1lim1x
xx→
−−
,
f) 2
21
3 2lim15 4x
xx→
+ −
+ −.
Rešenje: a)
( ) ( ) ( )22 22 2
2 2
11 1lim lim
1 1x x
x x xx x x x x
x x x x→∞ →∞
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ − ⋅ + +⎝ ⎠= =
+ + + +
2 2
2 2
2
11lim lim lim 0 .
1 11 1 1x x x
x x x xx x x x
x x
→∞ →∞ →∞
+ −= = = =
+ + + + + +
b)
( )( ) ( )
2
2 2 2
2
lim lim
1 1lim lim 1 1,
x x
x x
x x x xxx x x x x x x x x
x x xx x x
→∞ →∞
→∞ →∞
+ +=
+ − + − ⋅ + +
⎛ ⎞+ += = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
c)
( )( )
2
0 0 0
0
4 44 2 4 2 4 2lim lim lim4 2 4 2
1 1lim ,44 2
x x x
x
xx x xx x x x x
x
→ → →
→
+ −+ − + − + += ⋅ =
+ + + +
= =+ +
34
d)
( )( )
( ) ( )( )
( )22 3 33 3
23 3
2 33 31 1 1 133 3 3
1 111 1lim lim lim lim 1 31 1 1 1x x x x
x x xx xx x x xx x x x x→ → → →
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟+ +− − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= ⋅ = = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠− − + + −
e)
2 2 2 2
2 2 2 21 1
3 2 3 2 3 2 15 4lim lim15 4 15 4 3 2 15 4x x
x x x xx x x x→ →
+ − + − + + + += ⋅ ⋅ =
+ − + − + + + +
2
21
15 4lim 2.3 2x
xx→
+ +=
+ +
21. Ako je 0
sinlim 1x
xx→
= , izračunati sledeće granične vrednosti
а) 0
sin 4limx
xx→
, б) 0
sin 2limsin 3x
xx→
, в) 0
tglimx
xx→
.
Rešenje:
а) 0 0
sin 4 sin 4lim 4 lim 44x x
x xx x→ →
= ⋅ = ,
б) 0 0
2sin 2sin 2 22lim lim 3sin 3sin 3 3
3x x
xx x
xxx
→ →= = ,
в) 0 0
tg sinx 1lim lim 1cosx x
xx x x→ →
= ⋅ = .
22. Ako je 1lim 1
x
xe
x→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
i ( )1
0lim 1 xx
x e→
+ = , izračunati sledeće granične
vrednosti
a) 1lim 1
x
x x→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
, b) ( )2
0lim 1 2 xx
x→
+ ,
35
c) 1lim1
x
x
xx→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
, d) 23lim
x
x
xx
+
→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Rešenje:
a) 1
11 1lim 1 lim 1x x
x xe
x x
−−−
→∞ →∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠,
b) ( ) ( )42 1
420 0
lim 1 2 lim 1 2x xx x
x x e→ →
⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
,
c)
21 1 22 lim 211 2 2lim 1 1 lim 1 lim 1
1 1 1x
xx xx x x
xx x x
x e ex x x
→∞
− −
−
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − = + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
d) 3
2 2 2 23 33 3 3 3 3 3lim lim 1 lim 1 1 lim 1 1 .xx x x
x x x x
x ex x x x x x
+ +
→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + ⋅ + = + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
23. Dokazati sledeće rezultate
2
1lim 11x
xx→+∞
+=
+,
( ) ( )( ) ( )
3 3
3 3
1 1lim 0
1 1x
x xx x→∞
+ − −=
+ + −,
2
lim 0x
x x xx→+∞
+ −= , ( ) 1lim 1
2xx x x
→∞+ − = ,
0
sin 4lim 81 1x
xx→
=+ −
, ( )
0
sin 1lim 2
1x
xx→
−= −
−,
3
62lim 1x
xe
x−
→∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2 1
21lim2
x
x
x ex
+−
→∞
+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠.
0
1 1 1lim4 4x
x xx→
+ − −= ,
0
2 sin 1lim2 sin 3x
x xx x→
−=
+.
36
24. Odrediti asimptote funkcija:
a) 1
1y
x=
−, b)
31
xyx+
=+
, c) 2
2
2 14
xyx
−=
−, d)
2 14
xyx+
=+
.
Rešenje: a) Funkcija ima prekid za 1x = .
Kako je 1 0 1 0
1 1lim , lim1 1x xx x→ + → −= +∞ = −∞
− −, zaključujemo da funkcija ima
vertikalnu asimptotu, pravu 1x = .
Kako je 1lim 0
1x x→±∞=
−, funkcija ima i horizontalnu asimptotu, x - osu, tj
pravu 0y =
b)V.A. 1x = − i H.A. 1y = .
c) Funkcija ima prekid za 2x = ± . Kako je
2 2 2 2
2 2 2 22 0 2 0 2 0 2 0
2 1 2 1 2 1 2 1lim , lim , lim , lim4 4 4 4x x x x
x x x xx x x x→ + → − →− + →− −
− − − −= +∞ = −∞ = +∞
− − − − zaključujemo da funkcija ima dve vertikalne asimptote, prave 2x = ± .
Kako je 2
2
2 1lim 24x
xx→∞
−=
−, funkcija ima i horizontalnu asimptotu, pravu
2y = d) Funkcija ima prekid za 4x = − ,
a2 2
4 0 4 0
1 1lim , lim4 4x x
x xx x→− + →− −
+ += +∞ = −∞
+ +,
pa zaključujemo da funkcija ima vertikalnu asiptotu, pravu 4x = − .
37
Pošto je 2 1lim
4x
xx→±∞
+= ±∞
+, funkcija nema horizontalnu asimptotu, pa može
da ima kosu. 2
2
2
2
114lim lim 1,4
1 3lim lim 34 4
x x
x x
xxxk
x x xx xn xx x
→±∞ →±∞
→±∞ →±∞
+++= = =+
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
Funkcija koja ima horizontalnu ima kosu asimptotu, pravu 3y x= − .
25. Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija
a) 2 2
1yx y
=+
, b) 1y
x y=
−, c) 2 2
x yyx y+
=−
, d)
2 21y x y= − − .
Rešenje: a) Oblast definisanosti je svaka tačka Dekartove xoy ravni sem tačke
( )0,0 .
b) Oblast definisanosti je svaka tačka Dekartove xoy ravni sem tačaka
koje pripadaju pravoj y x= .
c) Oblast definisanosti je svaka tačka Dekartove xoy ravni sem tačaka
koje pripadaju pravama y x= i y x= − .
d) Oblast definisanosti je svaka tačka Dekartove xoy ravni koje se nalaze
na kružnici i u unutrašnjosti kružnice 2 2 1x y+ = .
38
26. Odrediti sledeće granične vrednosti:
a) 00
1lim2x
y
x yx y→
→
+ −− +
, b) 03
sinlimxy
xyx→
→
Rešenje:
a) 00
1 1lim2 2x
y
x yx y→
→
+ −= −
− +,
b) 0 0 3 03 3
sin sin sinlim lim lim lim 3 1 3x x y xy y
xy xy xyy yx xy xy→ → → →
→ →
= = = ⋅ = .
27. Naći ( )( )lim lim ,x y
f x y→∞ →∞
i ( )( )lim lim ,y x
f x y→∞ →∞
, ako je
a) ( ), x yf x yx y−
=+
, b) ( ), sin2
xf x yx yπ
=+
.
Rešenje: a) 1
lim lim lim lim 11
x y x y
xx y y
xx yy
→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞− ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
1lim lim lim lim 1
1y x y x
yx y x
yx yx
→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞−= =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎜ ⎟+
⎝ ⎠
,
b) lim lim sin 02x y
xx yπ
→∞ →∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟+⎝ ⎠
,
lim limsin lim limsin lim sin 12 22
y x y x y
xyx yx
π π π→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎜ ⎟+⎝ ⎠
.
39
4. Diferencijalni račun
efinicija diferencijabilnosti funkcije na odre�enom intervalu Ako funkcija f ima izvod odnosno diferencijabilna je u svakoj ta�ki intervala
tada je funkcija , )a b f diferencijabilna na intervalu ( , , odnosno ima izvod )a b
0
( ) ('( ) limx
)f x x f xf xx� �
� � ��
�
za svako ( , )x a b� . Ovako definisana funkcija 'f naziva se izvodna funkcija ili izvod funkcije f
Funkcija Izvodna funkcija
1
1
( ) , , '( ) 0( ) , , '( )( ) , , '( )( ) , 0 1, '( ) ln( ) , '( )
1( ) log , 0 1, '( )ln
1( ) ln , '( )
( ) sin , '( ) cos
n n
x x
x x
a
f x A A const x R f xf x x n N x R f x nxf x x R x R f x xf x a a x R f x a af x e x R f x e
f x x a x R f xx a
f x x x R f xx
f x x x R f x x
� �� �
�
�
�
�
� � � �
� � � �
� � � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �( ) cos , '( ) sinf x x x R f x x� � � �
� �
��
2
2
2
2
2
2
1( ) , \ (2 1) / 2; '( )cos
1( ) , \ ; '( )sin1( ) sin , 1, '( )
11( ) cos , 1, '( )
11( ) , '( )
11( ) , '( )
1
f x tg x x R k k Z f xx
f x ctg x x R k k Z f xx
f x arc x x x R f xx
f x arc x x x R f xx
f x arc tg x x R f xx
f x arc ctg x x R f xx
� � � � �
� � � � �
� � ��
� � � ��
� � ��
� � � ��
Tablica izvoda
41
1. Naći prvi izvod funkcije: a) 6 45 3 4 7y x x x
' ' '6 4 ' 5 3' 5 3 4 7 5 6 3 4 4 1 0y x x x x x
5 3' 30 12 4y x x
Izvodna pravila: Neka su , onda važi ( )u u x� ( )v v x�( ) ' 'u v u v� � � ' ( ) ' 'u v u v u v� � � � � '
2
' '( ) 'u u v u vv v
� � �� , 0v
42
43
i) ln xyx
' '
2 2 2
1 lnln ln 1 ln'x xx x x x xxy
x x x
2. Odrediti prvi izvod datih složenih funkcija:
a) 32 8y x
2 ' 2 22 2 2 2' 3 8 8 3 8 2 6 8y x x x x x x
b) 3 2 1y x 2 '3
2 23 3
1 1 2' 2 1 2 1 23 3 2 1 3 2 1
y x xx x
c) 2 2xy x e '2 2 2 2 2 2' 2 2 2 2x x x xy xe x e x xe x e
22 1xxe x
d) 2ln 1y x x '2 2 2
2 2
1' ln 1 1 ln 1 21 1
xy x x x x xx x
2
22
2ln 11
xxx
e) ln siny x '1 1' sin cossin sin
y x x ctg xx x
3. Naći drugi izvod funkcije: a) 4 23 2 3 5y x x x 3' 12 4 3y x x 2'' 36 4y x b) ln 1y x
1'1
yx
2 2
0 1 1''1 1
yx x
c) 1
2 2 21 1y x x 1
2 22
1' 1 22 1
xy x xx
21 22 2 22
2 22
1 11 1 212''
11
xxx x x xxy
xx
2 2
2
2 2 2
111
1 1 1
x xxx x x
d) 2xy e
2
' 2xy e x
2 2 2 2'' 2 2 2 4 2x x xy e x x e e x
44
e) 2 2 2
1x xyx
2 2
2 2
2 2 1 2 2 1 2'1 1
x x x x x xyx x
2 2
4
2 2 1 2 2 1 1''
1
x x x x xy
x
2
3
2 2 1 2 2
1
x x x x
x
2 2
3 3
2 2 2 2 2 4 21 1
x x x x xx x
f) 3
21xyx
22 3 2 3
4 3
3 1 2 1 1 3 1 2'
1 1x x x x x x x
yx x
2 2 3 2
3 3 3
3 3 2 3 3'1 1 1
x x x x x x xyx x x
3 22 3 2
6
3 6 1 3 3 1 1''
1
x x x x x xy
x
2 3 2
4
3 6 1 3 3
1
x x x x x
x
3 2 2 3 2
4 4
3 6 3 6 3 9 6''1 1
x x x x x x xyx x
4. Primenom Lopitalove teoreme izračunati granične vrednosti
a) 2
3 21 1
1 0 2 2lim lim1 0 3 3x x
x xx x
b) 21 1
1 cos 0 sin 1lim lim0 2 2x x
x xx x
c) 0 0 0 0
2
1lnlim ln 0 lim lim lim 01 1x x x x
x xx x x
x x
d)
11
1 2
0 0 02
1
lim 0 lim lim1 1
xx
xx x x
ee xxe
x x
45
e) 2 2
1ln 1lim lim lim 0
2 2x x x
x xx x x
f) 2 2
2 3 2lim lim 02x xx x
x xe e x
5. Odrediti tačke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije: a) 4 3 34 8 3 :y x x x D x R 3 2 2' 4 12 16 4 3 4y x x x x x x
2' 0 0 3 4 0y x x x 0 1 4x x x x 2 3 4x x y'
, 1 0,4 ' 0x y y
1,0 4, ' 0x y y 4 3 2
min 1 1 4 1 8 1 3 1 4 8 3 0y y
max 0 3y y 4 3 2max 4 4 4 4 8 4 3 125y y
b) 2
2 , :1xy D x Rx
2 22 2
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4'1 1 1
x x x xx xyx x x
2 20 1 0 1 1y x x x
22 21 0 1x x
, 1 1, ' 0x y y
1,1 ' 0x y y
min21 1
1 1y y
max21 1
1y y
x
c) 3
2 , :3
xy D x Rx
2 2 3 2 24 2 4 4 2
2 2 2 22 2 2 2
3 3 2 93 9 2 9'3 3 3 3
x x x x x xx x x x xyx x x x
' 0 ,y x R y i nema ekstremne vrednosti.
46
d) 31 :xy x e D x R
' 3 3
23 3 33
1 3 1 3 11 1 3 3'x x
x x xx
e x e xx xye e ee
3
4 3' xxy
e
3 0xe 4 3x
4, ' 0 ,3
x y y
4 , ' 0 ,3
x y y
4 433
4 14 13max3 3
y yee
6. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne tačke funkcija: a) 4 26 4 :y x x D x R 3' 4 12y x x 2 2'' 12 12 12 1y x x
2'' 0 1 0 1 1y x x x ''y , 1 1, '' 0x y y
1,1 '' 0x y y
1 11, 1 1 6 4 1P f
2 1, 1 1 1 6 4P f
b) 22 : ,1 1,1xy D xx
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1 2 2 24 4 2 2 4'1 1 1 1
x x x x xx x x x xyx x x x
2 2
4
4 4 1 2 4 2 1''
1
x x x x xy
x
2
3
4 4 1 2 2 4
1
x x x x
x
2 2
3 34 4 4 4 4 8 4''
1 1x x x x xy
x x
1 '' 0x y y 1 '' 0x y y funkcija nema prevojnih tačaka.
47
c) 2 2ln 1 , 1 0y x x x R
2
2'1xyx
2 22 2
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4''1 1 1
x x x xx xyx x x
2'' 0 1 0 1 1y x x x 21 x
, 1 1, '' 0x y y
1,1 '' 0x y y
1 1, ln 2 1 ln 1 1 ln 2P f
2 1, ln 2P d) :y x arc tg x D x R
2'1xy arc tg xx
2 2 2 2
2 2 22 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2''1 1 1 1
x x x x x xyx x x x
'' 0y y i nema prevojnih tačaka.
7. Nacrtati grafik funkcije:
a) - 22
xx
y
1. 2 0 : , 2 2,x D x
2. 2 2 22 2 2
x x xf x f xx x x
ni parna, ni neparna 3. 0 2 0 2 , 2y x x D x-2 x+2 sgn y 0 1x y
4. 0 02
2 2 4lim lim lim2 2h hx
h hf xh h
0 0 02
2 2 4 4lim lim lim lim2 2h h hx
h h hf xh h h
: 2BA x
212lim lim lim 122 1x x x
x xf xx
x
48
: 1XA y
5. 2 2 2
1 2 2 1 2 2 4'2 2 2
x x x xyx x x
' 0x D y y
6. 4 3
4 2 2 1 8''2 2x
yx x
'' 0x D y , 2 '' 0x y y
2, '' 0x y y
b) 2
21xyx
1. 21 0 :x D x R
2. 2 2
2 211
x xf x f xxx
neparna
3. 0 2 0 0y x x ,0 0x y
0, 0x y
4. 2
2
22 0lim lim 011 11
x x
x xx
x
0XA y
5. 2 22 2 2
2 2 2 22 2 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4 2 2'1 1 1 1
x x x xx x xyx x x x
2' 0 1 0 1 1y x x x
21 x
1 1, ' 0x y y
1,1 ' 0x y y
49
12min 1 1 1, 1
1 1y y M
22max 1 1 1,1
1 1y y M
6. 22 2 2 2 2
4 32 2
4 1 2 2 2 1 2 4 1 4 2 2''
1 1
x x x x x x x x xy
x x
2 2 2 2
3 3 32 2 2
4 1 2 2 4 3 4 3''
1 1 1
x x x x x x xy
x x x
2'' 0 4 3 0 0 3 3y x x x x x
4x
2 3x
''y
, 3 0, 3 '' 0x y y
3,0 3, '' 0x y y
13 2 3 33, 3
2 1 3 2P f
2 0,0P
c) 2 3
4x xyx
4 0 : , 4 4,x D x
2 2 23 3 3
4 4 4x x x x x xf x f xx x x
20 3 0 3 0 0 3y x x x x x x
2 3x x
50
4x
sgn y , 4 3,0 0x y
4, 3 0, 0x y
4. 22 2
0 04
4 3 43 16 8 12 3lim lim lim4 4 4h hx
h hx x h h hx h h
2
0
4 5limh
h hh
22 2
0 04
4 3 43 16 8 12 3lim lim lim4 4 4h hx
h hx x h h hx h h
2
0
4 5limh
h hh
: 4BA x
2
2
313lim lim 1 44x x
x x x nema XAx
x x
2 3 3134lim lim lim lim 144 11
x x x x
x xf x x xx x
xx x xx
KA: y ax b
2 2 33 3 4lim lim lim lim
4 4 4x x x x
x x x x x x xb f x ax xx x x
1lim 1 141x
b
x
: 1KA y x
5. 2 2 2 2
2 2 2
2 3 4 3 1 2 3 8 12 3 8 12'4 4 4
x x x x x x x x x x xyx x x
2' 0 8 12 0 2 6y x x x x 2 8 12x x , 6 2, ' 0x y y
6, 2 ' 0x y y
136 18 18max 6 9 6, 9
6 4 2y y M
24 6 2min 2 1 2,12 4 2
y y M
6. 2 2 2
4 3
2 8 4 8 12 2 4 1 2 8 4 2 8 12''
4 4
x x x x x x x x xy
x x
51
2 2
3 32 8 8 32 2 16 24 8''
4 4x x x x xy
x x
'' 0y x D , 4 '' 0x y y
4, '' 0x y y
d) 3
2-1xyx
1. 1 0 : ,1 1.x D x
2. 3 3 3
2 2 21 1 1x x xf x f xx x x
ni parna ni neparna. 3. 30 0 0 0y x x D ,0 0x y
0.1 1 0x y
4. 3 3
2 20 01
1 1lim lim lim
1 1h hx
h hf x
hh
3 3
2 21 0 0
1 1lim lim lim
1 1x h h
h hf x
hh
: 1BA x
52
3 2
23 6lim lim lim
2 1 21h h h
x x xxx
nema XA
KA: y ax b
3
2 3 2
2 2
1lim lim lim lim
2 11x x x x
xf x x x xax x x xx x
2
1lim 1 12 11x
a
x x
3 23
2 2
2 1lim lim lim
1 1x x x
x x x xxb f x ax xx x
3 3 2
2
2
122lim lim 2 22 12 1 1x x
x x x x x bx x
x x
3
2: 21xKA y x yx
3
2
2 3
3 2 2 3
21
2 2 1
2 2 4 23 2
xxx
x x x x
x x x x x xx
23
2 ;32 2 823 3 32 8;3 3
s
x
S y
y
S
5. 22 3 2 3 3 2 3
4 3 3
3 1 2 1 1 3 1 2 3 3 2'1 1 1
x x x x x x x x x xyx x x
3 2
33'1
x xyx
53
3 2 2' 0 3 0 3 0 0 3y x x x x x x 3x 31x sgn 'y ,1 3, ' 0x y y
1,3 ' 0x y y
1227 27 271 min 3 3,
4 43 1D y y M
6. 3 22 3 2 2 3 2
6 4
3 6 1 3 3 1 1 3 6 1 3 3''
1 1
x x x x x x x x x x xy
x x
3 2 2 2 2
4 4
3 6 3 6 3 9 61 1
x x x x x x xx x
'' 0 6 0 0y x x ,0 '' 0x y y
0,1 1, '' 0x y y
0,0P
e) 1xy xe
1. 0 : ,0 0,x D x
2. 1xf x xe f x
ni parna ni neparna
3. 1
0 0 0 , 0xy xe x D funkcija nema nula 0 0x y 0 0x y
54
4.
11
00 00
lim lim 0 lim 1h
hx xx
ef x h e
h
1
12
0 0
2
1
lim lim1
h
hx x
eh e
h
1
0100 0
1lim lim 0 lim 0hxx x
h
f x h e he
0x je vertikalna asimptota sa desne strane
1
lim xxxe nema XA KA: y ax b
11
0lim lim lim 1 1x
xx x x
f x xea e e ax x
11 1 1lim lim lim 1 lim
1x
x xx x x x
eb f x ax xe x x e
x
1
120
2
10 lim lim 1 110
x
xx x
ex e e b
x
: 1KA y x
5. 1 1 1 1
2
1 1 1' 1x x x x xy e xe e ex x x
' 0 1 0 1y x x 1x x sgn 'y ` ,0 1, ' 0x y y
0,1 ' 0x y y
0 min 1 1,D y y e M e
6. 1 1 1
2 2 3 2
11 1 1 1'' x x xx xx x x xy e e e
x x x x x
1 1
3 3
1 1x xx xe ex x
'' 0y za x D ,0 '' 0x y y
0, '' 0x y y
55
f) lnxyx
1. 0 ln 0 : 0,1 1,x x D x 2. 0 0 0y x D nema nula x ln x sgn y 0,1 0x y
1, 0x y
3. 0 00
1lim lim lim 0ln lnh hx
hf x hh h
01
1lim limln 1hh
hf xh
01
1lim limln 1hh
hf xh
: 1BA X
1lim lim lim lim1lnx x x x
xf x xx
x
nema XA
1lnlim lim lim 0
lnx x x
xf x xax x x
nema KA
4. 2 2
1ln ln 1'ln ln
x x xxyx x
' 0 ln 1 0 ln 1 ,y x x x e e D
56
ln 1x 0,1 1, ' 0x e y y
, ' 0x e y y
1 min 1,lneD y y e e M ee
5.
2
4 3
1 1 1 1ln ln 1 2ln ln 2 ln 1''
ln ln
x x x x xx x x xy
x x
3 3
1 ln 2ln 2 2 lnln ln
x x xxx x x
2 2'' 0 2 ln 0 ln 2 ,y x x x e e D
2 ln x
x
3ln x
''y 20,1 , '' 0x e y y
21, '' 0x e y
2 2 2
2 2 221 ,
2 ln 2e e eD e D P e f e
e
g) 3 3 - 3y x x 1. :D x R
2. 3 3 33 3 33 33 3 3 3f x x x x x x x x x
f x f x neparna
57
3. 3 20 3 0 3 0 0 3 1y x x x x x x x
x
2 3x
y
, 3 0, 3 0x y
3,0 3, 0x y
4. 3 3lim 3x
x x nema XA
3 3 3
3 33 2
1lim lim lim lim 1 1 1x x x x
f x x x x xa ax x x x
2 33 3 233 3
2 33 3 23
3 3lim lim 3
3 3x x
x x x x x xf x ax x x x
x x x x x x
3
3 6 4 2 3 3 2 3 6 4 2 3 3
2
33
lim lim6 9 3 6 9 3
1
3x x
x xx x x x x x x x x x x x
x x
x x
3 32 4 2
30lim 036 9 31 1 1
x
xb
x x x
3 33 3
3 3
::
3 33
00;0
KA y xpresek sa KA
y x y x x x x xx x xxO
5. 22 2
3 232 23 23 3
3 11 1' 3 3 3 ' 03 3 3 3
x xy x x x yx x x x
2' 0 1 0 1 1y x x x
Prvi izvod nije definisan u tačkama 3, 3 0i
, 1 1, ' 0x y y
1,1 ' 0x y y
3 33max 11 1 3 2 1, 2y y M
3 33min 21 1 3 2 1, 2y y M
58
6.
123 2 3 23 3
433
22 3 1 3 3 33''3
x x x x x x xy
x x
2 2233
3 3
433
2 1 12 3
3''3
x xx x x
x xyx x
3 4 2
4 2 4 23 3
4 53 33 3
2 3 2 2 12 6 2 4 23''
3 3
x x x x xx x x xx xy
x x x x
23
5 53 33 3
2 12 2''3 3
xxyx x x x
Drugi izvod menja znak u tačkama sa apscisama 3, 0, 3i 22 1x
533 3x x
''y
, 3 0, 3 '' 0x y y
3,0 3, '' 0x y y
1 2 33,0 0,0 3,0P P P
59
8. Izračunati priraštaj i diferencijal funkcije 23y x x za 1x i 0,01.h 1 1y f h f
2 23 1 1 3 1 1h h
23 1 2 1 3 1h h h
23 6 3 3h h h 23 5h h 3 5h h
0,01 0,03 5 0,01 5,03 0,0503 'dy f x dx
6 1x h 5 0,01 0,05
9. Dokazati da su za dovoljno malo h tačne približne formule:
a) 11 12
h h
f x x
'f x h f x f x h
12
x h x hx
12
x h x hx
1x
11 12 1
h h
11 12
h h
b) 3 11 13
h h
c) 1he h d) ln 1 h h
10. Odrediti približnu vrednost: a) 3 8,02
33 2
1'3
f x x f xx
3 33 2
13
x h x hx
60
3 33 2
8 , 0,023hx h x x hx
333
0,028,02 83 64
3 0,028,02 2 2,001663.4
11. Koristeći Tejlorovu formulu razložiti polinom: 4 3 22 5 3 8 4P x x x x x po stepenima 2x
4 3 22 2 2 5 2 3 2 8 2 4 32 40 12 16 4 0P
3 28 15 6 8IP x x x x
3 22 8 2 15 2 6 2 8 64 60 12 8 0IP
224 30 6IIP x x x
2 24 4 30 2 6 96 66 30IIP
48 30IIIP x x
48 2 30 96 30 66IIIP x
48 2 48IV IVP x P
2 32 2 2 22 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
I II III IVP P P PP x P x x x x
2 3 430 66 482 2 22 6 24
P x x x x
2 3 415 2 11 2 2 2P x x x x
12. Koristeći Maklorenovu formulu dokazati:
a) 2
1 12 8x xx
1 0 1f x x f
1 1' ' 022 1
f x fx
1 11 12 1'' '' 0
2 1 44 1 1 )xxf fx x x
2' 0 '' 00
1! 2!f f
f x f x x
2 2
11 1 141 12 2 2 8
f x x x x x
b) 4
2 2cos 13xx x
61
2cos 0 0 1f x x a f
2' 2cos sin sin 2 0 0If x x x x f
'' cos 2 2 2cos 2 0 2IIf x x x f
'' 2 sin 2 2 4sin 2 0 0IIIf x x x f
4cos 2 2 8cos 2 0 8IV IVxf x x f
2 2 3 40 2 0 8cos 1.1! 2! 3! 4!
x x x x x
2 2 41cos 13
x x x
13. Naći prve parcijalne izvode funkcije: a) 2 2 ' 2 ' 2x yz x y z x z y
b) 2
1' 'x yx xz z zy y y
c) 2 2'yx x y x yz zx y x y x y
2 2
1'y
x xzx y x y
d) 2
2 2 2
1 1' ' 22 2
x yyz x y z z y
x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4'xx x y x x y x x y x yx y xyz z
x y x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 4'yy x y x y y y x y x y x yz
x y x y x y
14. Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda: a) 3 3z x xy y
2
2
' 3 '' 6
' 3 '' 1 '' 1
'' 6
x xx
x xy yx
yy
z x y z xz x y z z
z y
b) 2lnz x y
2 2
1 1' 1xz x y x y
2 2
1 2' 2yyz y
x y x y
2 22 2
1 2'' ''xx xyyz z
x y x y
62
2 22 2
1 2'' ''xx yxyz z
x y x y
c) xyzx y
2
212 2 2'
2x
y x y xyy x y xy
x y x y xy yzx y x y x y x y
2
21 12 2 2'
2y
x x y xyx x y xy
x y x y x xyzx y x y x y x y
3 122 2
3
32 2 22''
4xx
y x y xy y x yz
x y
13 122 22 2
3 3
2 3 22 3 2
4 4
x y y x y xy yy x y xy y x y
x y x y
22 2
3 3
42 2 3 6
4 4
y xy x yx y xy y xy y
x y x y
3 122 2
3
34 2 2 22''
4xy
x y x y xy y x yz
x y
122
3
2 8 3 2
4
x y x y x y xy y
x y
2 2 2
3
2 8 2 8 3 6
4
x y x xy xy y xy y
x y
2 2
3
2 13 14
4
x xy y x y
x y
3 122 2
3
32 2 2 12''
4yy
x x y x xy x yz
x y
122
3
2 3 2
4
x y x x y x xy
x y
2 2
3
2 2 6 3
4
x xy x xy x y
x y
2
3
4 3
4
x xy x y
x y
63
15. Naći totalni diferencijal I i II reda za funkcije: a) 2 2z x xy y ' 2xz x y ' 2yz x y
2 2dz x y dx x y dy '' 2 '' 1 '' 2xx xy yyz z z
2 2 22 2 2d z dx dx dy dy b) 2lnz x y
2 2
2 1' 'x yxz z
x y x y
2 2
2 1xdz dx dyx y x y
2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2''xxx y x x x y x x yzx y x y x y
2 22 2
2 1 2''xyx xzx y x y
22
1''yyzx y
2
2 2 22 2 22 2 2
2 4 1z
x y xd dx dx dy dyx y x y x y
16. Naći Maklorenov polinom za funkciju x yz e pri 3n .
0,0' ' / 1x yx xz e z
0,0' 1 ' / 1x yy yz e z
0,0'' '' / 1x yxx xxz e z
0,0'' 1 '' / 1x yxy xyz e z
0,0'' '' / 1x yyy yyz e z
0,0''' ''' / 1x yxxx xxxz e z
0,0''' 1 ''' / 1x yxxy xxyz e z
0,0''' ''' / 1x yxyy xyyz e z
0,0''' 1 ''' / 1x yyyy yyyz e z
2 2 3 2 2 31 1 11 2 3 31! 2! 3!
x ye x y x xy y x x y xy y
2 31 112 6
x ye x y x y x y
64
17. Naći Tejlorov polinom drugog reda za funkciju:
3 22 3z x y xy u tački (1,2).
21,2' 3 3 ' / 3 6 9x xz x y z
1,2' 4 3 ' / 8 3 5y yz y x z
1,2'' 6 '' / 6xx xxz x z
1,2'' 3 '' / 3xy xyz z
1,2'' 4 '' / 4yy yyz z
1,2/ 1 8 6 1z
21 11 1 9 2 5 1 6 6 1 21! 2!
z x y x x y
22 4y
18. Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije 3 23 15 12z x xy x y 2 2
2 2 2 2
2 4 22
' 3 3 15 ' 6 12
3 3 15 0 526 12 0 2
4 5 4 5
x
y
z x yz xy
x y x y
xy xy yx
x x xx
4 2 2
2
5 4 0 , 05 4 0
x x x t tt t
- + = = >- + =
2 21 21 4
1 41 1 2 22 2 1 1
t t
x xx x x xy y x x
Stacionarne tačke su 1 2 3 41,2 , 1, 2 , 2, 1 2,1M M M i M '' 6 '' 6 '' 6xx xy yyz x z y z x
a) 1 1,2M 6 12 6 144 36 108A B C
>0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.
b) 2 1, 2M 6 12 6 144 36 108A B C
>0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.
c) 3 2, 1M
65
12 6 12 36 144 108A B C
<0 i A<0 pa funkcija ima lokalni maksimum.
3 2max 2 3 2 1 15 2 12 1
8 6 30 1228
z
d) 4 2,1M 12 6 12 36 144 108A B C
<0 i A>0 pa funkcija ima lokalni minimum
3 2min 2 3 2 1 15 2 12 18 6 30 12
28
z
19. Naći uslovne ekstremne vrednosti sledeće funkcije 2 2z x y pri uslovu 1
2 3x y .
2 2, 12 3x yF x y x y ' 2xF x
l= +
2
' 2yF yl
= +3
' 12 3x y
F l = + -
2 02 4
x x
2 03 6
y y
1 02 3x y
___________
1 0
91
l l
l l
- - - =
-=
8 18-472
131
72l- =
72131 72 184 13 131 72 126 13 13
18 12,13 13
x
y
M
66
'' 2 '' 0 '' 2xx xy yyF F F
2 2 22 2 0d F dx dy
pa u tački 18 12,13 13
M funkcija ima uslovni minimum
min324 144 468169 169 169
z
Zadaci za vežbu:
1. Proveriti da li su tačno određene oblasti definisanosti za sledeće funkcije:
a) 2
1 , ,1 1,1 1,1
y xx
b) 1 , 2,2
y xx
c) 2
2 ,x
y x e x R
d) 4ln , 1,41xy xx
e) 1 ln , 0, ,1 ln
xy x e ex
f) 1, 3,3
xy x xx
g) 232 , 0,3x xy x
2. Odrediti oblast definisanosti funkcije:
a) 2
2
16 ;5 4
xyx x
b) 3
2 1;1
xyx
c) 29y x d) 2
5 ;4 3
xyx x
e) 22 12;y x x x f) 2 2log 4 36 ;y x x
g) 1 2ln ;2xy
x h)
1xy e
3. Ispitati parnost odnosno neparnost funkcije:
a) 2
2 ;x
y e b) 2
1 2 ;1xy
x c) 2
2xy
x
d) 3
2
1;xyx
e) 2
;2
xyx
h) 2 3
xeyx
67
g) 4;y x h) ;y x i) 2 1 ;2
y x x
j) 3;y x k) 2 2 ;x xy l) 3
2 ;1xyx
4. Odrediti znak i nule funkcije:
a) 2 2 2 ;
1x xyx
b) 2 ;4 3xy
x x c)
3
2 ;1
xyx
d) 22 ;xy x e e) 21 ;xy x e f) 2 ;4
xeyx
g) 2 ln ;y x x h) ln ;y x x i) 23 1 ;y x
j) 2
4 ;4xyx
k) 2
2
2 11
x xyx
5. Izračunati sledeće granične vrednosti:
a) 3
6 5lim ;4 2x
xx
b) 21
2lim ;1x
xx
c) 2
1lim2
x
x
6. Proveriti sledeće granične vrednosti:
a) 2
21
4 3 2lim ;2 3x
x xx x
b) 2
21
2 1lim 0;x
x xx x
c) 3 2
22
3 2 2lim ;6 5x
x x xx x
d) 0
1 1 1lim ;2x
xx
e) 9
9lim 6;3x
xx
f) 38
8lim 12.2x
xx
7. Izračunati granične vrednosti:
a) 2
1
2 3lim ;1x
x xx
b) 2
31
2lim ;4 3x
x xx x
c) 2
22
5 6lim4x
x xx
d) 21
1 2lim ;1 1x x x
e) 3
3lim ;1 2x
xx
f) 3 3
0
1 1lim ;x
x xx
g) 23
4 1lim ;9x
xx
h) 2
2
4lim .2 2x
xx x
8. Proveriti sledeće rezultate:
a) 3 1lim ;
2x
xx
b) 3
2lim 0;x
xx x
c) 2
2
3 2 1lim 3;3x
x xx
d) lim 0x
x a x
68
9. Izračunati:
a) 3 7lim ;5 2x
xx
b) 2 1lim ;
2x
x xx
c) 2
3lim ;1x
xx x
d) 3
4 2lim ;3 1x
x xx x
e) 3 2
2
2lim ;1x
x x xx
f) 3
2
3 2 1lim ;1x
x xx
g) lim 1 1 ;x
x x h) 2 2lim 1 1 ;x
x x x
10. Proveriti sledeće rezultate:
a) 22lim 1x
xe
x b)
2 231lim 1
3
x
xe
x
c) 2 51lim 1
2 5
x
xe
x d)
261lim
2
x
x
x ex
e) 5
10
0lim 1 2 xx
x e f) 0
ln 1 2lim 2x
xx
11. Proveriti rezultate:
a) 0
1lim ;sin 2 2x
xx
b) 0
1 cos 2lim 2;sinx
xx x
c) 2
0
sinlim 2;1 cosx
xx
d) 0
sin 1lim 2
1x
xx
12. Izračunati sledeće granične vrednosti:
a) 3lim 1 ;2
x
x x b)
42lim 1 ;3
x
x x
c) 2 3lim ;2 1
x
x
xx
d) 233lim ;
9
x
x
xx
e) 2
lim 1 3 ;xx
x f) 1
3lim 1 2 ;xx
x
g) ln 1
lim ;2x
xx
h) ln 1 2
lim ;3x
xx
i) sin 3lim ;5x
xx
j) lim ;2x
tgxx
k) 1 cos 2lim2sin cos
2 2x
xx x
13. Dokazati da je:
a) 0
1lim 1;x
x
ex
b) 0
1lim lnx
x
a ax
69
14. Ispitati neprekidnost sledećih funkcija:
a) 2
1 ;2
xf xx
b) 2 5, 1
1 , 1
x xf x
xx
c) 1
;xf x e d)
3 1, 112, 1
x xf x xx
e) 1
xef xx
15. Odrediti asimptote grafika funkcije:
a) 2
2 ;1xy
x b)
2
2
4 ;4
xyx
c) 2
1 ;y xx
d) 3
2
2 ;1
xyx
e) 2 6 ;
2x xyx
f) 2 ;4 3xy
x x
g) 3
2 ;1xyx
h) 22 ;
1x xyx
i) 2 4xy
x
16. Proveriti da li je tačno određen prvi izvod funkcije a) 6 5 5 45 3 4 8 ' 30 15 4y x x x y x x
b) 32 3 43 2 3
2 3 1 1 1 3 34 '5 53
y x yx x x xx x x
c) 2 21 ' 2 1x xy x e y x x e
d) 2 cos ' 2cos siny x x y x x x x
e) 2
22 2
4'2 2
x xy yx x
f) 2
ln 2 2'ln lnxy yx x x
17. Izračunati prvi izvod sledećih funkcija: a) 4 3 23 5 6 9 8;y x x x x
b) 3 84 3
2 33 ;y x xx x
c) 36
2 5 2 ;3
y x xx
d) 3
1 1 1 ;yx x x
e) 2 23 3 2 1 ;y x x x x
f) 1 2 ;y x x
g) sin cos ;y x x x
70
h) 21 ;y x arc tg x
i) 3
;4
xyx
j) 2
1 ;1
yn
k) ;1 cosxyx
l) sin ;1x xytg x
m) 23log ;y x x
n) 1 ln ;1 ln
tyt
o) 2
ln ;1tyt
p) 5 ;ln
yx
q) 2 2 3 ;xy x x e
r) sin
xeyx
18. Pokazati da je:
a) 2 2'
3 3 2 3 ;x x x xe e x b) '
2 1
1 2ln ;1
xx x
c) 2 2'
2 33 2 4 ;x xx e x x e d) '2 2 lnln xx
x
19. Odrediti prvi izvod funkcija:
a) ;xy xe b) 1
;xy xe c) 22 1 ;xy e x x d) 2ln ;y x x
e) ln 1 ;xy e f) 2
4 ;4
yx
g) 3 3 ;y x x h) 22 ;xy x e
i) 2lnxyx
20. Odrediti druge izvode funkcija:
a) 2
4 12 ;2
xyx
b) 2 ;4
xyx
c) 3
2 ;1xyx
d) 2 ;2 3xy
x x
71
e) 3
2 ;1x xyx
f) 1
1;xy xe
g) 22 ;xy x e h) 2 ;4
xeyx
i) ;lnxyx
j) 2 ln ;y x x
k) 3 2
;1
xyx
l) 2ln ;y x x
m) 21 ;y x n) 3 3 3y x x
21. Dokazati da je:
a) 3
lim 0 0kxx
x ke
b) 5
lim 0 1xx
x aa
c) 4
lnlim 0x
tt
22. Izračunati:
a) 0
1lim ;sin 2
x
x
ex
b) 3
0lim ;
sinx
xx x
c) 2
0lim ln ;xx x
d) 2
5lim ;x
x x e) 1 lnlim ;
1 lnx
xx
f) lim x
xxe
23. Odrediti domen funkcije 2
34 3
xyx x
24. Ispitati parnost funkcije:
22xy
x
25. Odrediti nule i znak funkcije: 2 lny x x
26. Ispitati neprekidnost funkcije: 3 1 , 1
1 2 , 1
x xy xx
72
27. Odrediti asimptote grafika funkcije:
21
2xy
x
28. Da li funkcija 1xy xe ima kosu asimptotu?
29. Odrediti tačke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije:
a) 3 21 3 ;3
y x x x b) 2
;2
xyx
c) 2 ;xy x e
d) 2ln ;y x x e) 221 xy x e
30. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevodne tačke funkcije:
a) 3 24 4 ;y x x x b) 2 ;1xyx
c) 221 ;xy x e d) 21 ln 1 ;y x
e) ln xyx
31. Odrediti ekstremne vrednosti i intervale monotonosti funkcije
2
2xyx
.
32. Ima li funkcija y x tgx ekstremne vrednosti?
33. Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije 2lny x x .
34. Odrediti prevojne tačke i intervale konveksnosti i konkavnosti za funkciju 4 3 22 36y x x x x .
35. Ima li funkcija 3
21xyx
prevojne tačke?
36. Da li je x=0 vertikalna asimptota grafika funkcije 1xy xe ?
73
37. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: A:
a) 2
2
2 1;1
x xyx
b) 2
4 ;4xyx
c) 2 ;1
xyx
d) 2 2 2 ;
1x xyx
e) 2 6 ;
2x xyx
f) 21
;2
xy
x
g) 22 ;
1x xyx
h) 2 12 ;
4x xyx
i) 23 ;
4x xyx
j) 2
;1
x xyx
k) 3
2 ;2 1xyx
l) 3
2 ;9
xyx
m) 3
2 ;1x xyx
n) 3
2
1;xyx
o) 3
2 ;4
xyx
p) 2
2
4 ;1
xyx
q) 2
2
1;1
xyx
r) 2 ;4 3xy
x x
s) 22 ;xy
x t)
2 1;xyx
v) 21 .
2xy
x
B.
a) ;xy xe b) 222 ;xy x e c) ;
1
xeyx
d) 2 ;3
xeyx
e) 21 ;xy x e f) 1
;xy xe
g) 2
2 ;x
y xe h) 22 ;xy x e i) ;
xeyx
j) 21
xeyx
;
C.
a) ln ;xyx
b) ;lnxyx
c) 2 ln ;y x x
d) 2ln ;y x x e) 2
1 ln ;xyx
f) ln ;xyx
g) 2ln 1 ;y x h) 4ln ;1xyx
i) 2ln 3 3y x x
D.
a) 3 21 ;y x b) 21 ;y x c) 1;1
xyx
d) 3y x x
38. Odrediti približnu vrednost:
a) cos 61 ; b) 3 1,02; c) 61 ;tg
d) 1,04 ; e) arcsin 0,51; f) 1,05arc tg
74
39. Koristeći Tejlorovu formulu razložiti polinom: 5 4 3 22 2 1P x x x x x x po stepenima 1x
40. Koristeći Maklorenovu formulu dokazati:
a) 2 3
1 12 8 16x x xx
b) 2 33 11ln 2
2 6x x xe x x
c) 3 5
3 5x xarc tgx x .
41. Naći prve parcijalne izvode funkcije:
a) 2 yz x e b) 2 2x yz e c) 2sinz x y
d) xyzx y
e) 3 2lnz x y f) 2
2
x yzx y
g) 2 2lnz x y h) 2
xzx y
i) 2 sin 2z x y
j) 2
xyzx y
k) 2z x y l) sin xyz e
m) 2 2x yz e n)
2 22 2 x yz x y e o)
xyz e
42. Naći totalni diferencijal I i II reda za sledeće funkcije:
a) 38 xz xy
; b) 2 2
xzx y
;
c) 2cossin xz x x y
y; d) yz xy
x;
e) 2 2y xz x e y e ; f) 2 2lnz xy x y
43. Naći Tejlorov polinom drugog reda za funkciju 3 3z x xy y u okolini tačke (1,1).
44. Aproksimirati funkciju 2 2z x xy y x y Tejlorovim polinomom trećeg reda u okolini tačke (1,1).
45. Naći Maklorenov polinom za funkciju cosxz e y za 2n .
46. Naći Maklorenov polinom četvrtog reda za funkciju cos cosz x y .
47. Naći Maklorenov polinom trećeg reda za funkciju cosx yz e y .
75
48. Naći Tejlorov polinom drugog reda za funkciju sin xyz e u okolini tačke
1,2
49. Napisati Tejlorov polinom trećeg reda funkcije 2, yf x y e x u okolini tačke (1,0)
50. Napiši Tejlorov polinom za n=3 za funkciju 1,f x yxy
u okolini tačke (-1,1)
51. Napiši Maklorenov polinom četvrtog stepena za funkciju:
a) 2 2, x xyf x y e
b) , ln 1yf x y e x
52. Proveriti da li je tačka 1 3, 3M tačka lokalnog minimuma i tačka 2 3, 3M
tačka lokalnog maksimuma za funkciju 3 2 6z x xy xy
53. Naći lokalne ekstremne vrednosti sledećih funkcija:
a) 2 2z x y
b) 2 2z x y
c) 2 2z x y xy x y
d) 2 2 5 3 2z x y xy x y
e) 3 3 6z x y x y
f) 3 3 9 27z x y xy
g) 2 3 32 2 2 1z x y x y
h) 3 26z x xy y
i) 4 4 2 22 4 2z x y x xy y
j) 1z xy x y
k) 2 3z x y xy x
l) 2 6z y x y x y
m) 2 2x yz e x y
n) 2 2
2 2 x yz x y e
o) 2 22y xz e x y
p) 8 0, 0xz y x yx y
76
54. Naći uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy pri uslovu: a) 2x y b) 2 2 1x y
c) xyy x e
55. Odrediti uslovne ekstremne vrednosti funkcija:
a) 1 1zx y
za 1x y
b) z x y za 2 2
1 1 1x y
c) 4 3 6z x y za 2 2 1x y
d) 2 2 5z x y za 2 0x y
e) 2 2 4z x y za 1xy
f) 3 4z x y za 2 2 1x y
g) 2 2
4 4zx y
za 3x y
h) 2 2z x y za x y c
56. Odrediti I i II totalni diferencijal funkcije 2 3lnz x y
57. Ispitati uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy pri uslovu 1x y
58. Proveriti jednakost:
2 2z zx y zx y
ako je 22cos yz xx
77
Neodređeni integral
Tablica neodređenih integrala
1. 1
, \ 1 , 01
xx dx C R x
2. lndx x Cx
3. , 0, 1ln
xx aa dx C a a
a
4. x xe dx e C
5. sin cosxdx x C
6. cos sinxdx x C
7. 2 , ,cos 2dx tgx C x k kx
8. 2 , ,sindx C ctgx C x k kx
9. 2
arcsin1dx x Cx
10. 21dx arctgx Cx
Primeri sa rešenjima:
1. Odrediti integrale primenom osnovnih teorema o integralu i primenom tablice neodređenih integrala:
a) 3
2 2 33 3 33xx dx x dx C x C
b) 3 2 3 2( 2 2 1) 2 2x x x dx x dx x dx xdx dx
4 3 2 4
3 222 24 3 2 4 3x x x xx C x x x C
78
c) 2 2
4 4 4 4
6 2 6 2x x dx x xdx dx dxx x x x
3 2 14 3 2
3 2
6 2 6 23 2 1
2 1 1
x x xx dx x dx x dx C
Cx x x
d) 21 1
3 2 32 21x x dx x dx x dx x dxx
2 513 32
33 52 323 1 5 3 52 2 3
x x x C x x x C
e) 3 2 2 3 2 33 22 2 2
x x x x
x x xdx dx dx
33 23 2 3 2 32 ln
2
x
x
dx dx x C
f) 2 21 1x x
x x x
e edx dx dxe e e
11
1ln
x
xx x ee dx dx e C
ee
11
ln1 ln
x
x xx
ee C e Ce e
g) 2 2
2 2
1 11 1x xdx dxx x
2
2 2
11 1
x dxdx dx arctgx C x arctgx Cx x
h) 2 2
2 2 2 2
sin cossin cos sin cos
dx x xdxx x x x
2 2
2 2 2 2 2 2
sin cossin cos sin cos cos sin
x x dx dxdx dxx x x x x x
tgx ctgx C
2. Metodom smene naći sledeće integrale:
a) 1111
10 105 55
11 11x t xtx dx t dt C Cdx dt
79
b)
41 3 43 3 3
2 11 32 1 2 2 142 2 8
32
x tdt tx dx dx dt t C x C
dtdx
c) 3 2
1 1cos(3 2) 3 cos sin sin 3 23 3 3
3
x tdtx dx dx dt t t C x C
dtdx
d) 3 33
1 1 13 3 3
3
x t t xx t
e dx e dt e C e Cdtdx
e) 5
ln ln 55
x tdx dtdx dt t C x Cx t
dx dt
3. Izračunati
2 2 ,dx a Rx a
Iz tablice neodređenih integrala 2 1dx arctgx Cx
Podintegralnu funkciju transformišemo:
22 2 2 2 22
22
1 11
1 1
1 1
x tdx dx dx adta
x a a a tx x dx adtaa a
xarctg t C arctg Ca a a
2 2
1dx xarctg Cx a a a
4. Izračunati:
a) 2 2 2
19 3 3 3dx dx xarctg Cx x
b) 222
2
133 2 2 322 2
dx dx dxx x x
1 1 2 22 3 3 2 3 3
2 2
x xatctg C arctg C
80
c) 22 2
24 9 52 5
x tdx dx dtdx dtx x tx
1 1 25 5 5 5
t xarctg C arctg C
d) 23 1dx
x x
Funkciju iz imenioca napisati u kanonskom obliku:
2 2 2
2
1 1 1 1 1 123 1 3 3 23 3 6 36 36 36
1 1136 36
x x x x x x
x
2 22 22
11 1
63 1 3 31 11 11
6 6 6
x tdx dx dtx x dx dtx t
61 1 2 2 6 13 11 11 11 11 11 11
6 6
x tt xarctg C arctg C arctg C
5. Izračunati:
2 2
dxa x
Integral transformišemo na sledeći način:
2 2 222
2
2
1
1 1
1 arcsin arcsin1
x tdx dx dxa
aa x x x dx adtaa a
adt xt C Ca at
6. Izračunati sledeće integrale:
a) 2 2 2
arcsin24 2
dx dx x Cx x
b) 2 2
2 2
1 arcsin 1211 4 14 2 24 2
dx dx dx x Cx x x
1 arcsin 22
x C
81
c) 2 2
2 2
1 arcsin 3499 16 316 4 416 4
dx dx dx x Cx x x
1 4arcsin4 3
x C
d) 2 2 2 2
sincos arcsincossin
x txdx dt t Cxdx dt aa x a t
sinarcsin x Ca
7. Odrediti:
a) '( )( )f x dxf x
; b) ( ) '( )f x f x dx
a) Uvodimo smenu ( )f x t pa je '( )f x dx dt
'( ) ln ln ( )( )f x dtdx t C f x Cf x t
b) Slično kao pod a) ( )f x t 11( ) '( ) ( )1
f x f x dx f x C
8. Odrediti:
a)
2
22
11 1 12 ln ln 1
1 2 2 2
2
x tx dtdx xdx dt t C x Cx t
dtxdx
b) 2
2
3 52 3 ln3 5 2 3
x x tx dtdx t Cx x tx dx dt
2ln 3 5x x C
c) cossin
sincosx tx dttgxdx dxxdx dtx t
ln ln cost C x C
d) ln
ln ln lnln
x tdx dt t C x Cdxx x tdt
x
82
e) 21
2 33 2
11
21
x txdx x xdxxdx dtx
21 23 22 23 331 3 31 122 2 4 4
3
dt tt C x C x C
f) 1
2 2
cossinsincos 1x txdx dt t Cxdx dtx t
1 1cos
C Ct x
g) 4
3 3 4sin 1sin cos sincos 4 4x t tx xdx t dt C x Cxdx dt
h) 1 1
2
2
11
1t tx x
txe dx e dt e C e C
x dx dtx
i)
3
22 3
2 3 2
2
1 1 13cos 3 cos 3 3
3
x tx dx dtx dx dt tgt C tgx Cx t
dtx dx
9. Izračunati sledeće integrale primenom metoda parcijalne integracije:
a) cos cos sin
cosx dx dv v x dx x
x x dxx u du dx
sin sin sin cosx x x dx x x x C
b) 2 2
2
lnln ln
2 22
dxx u dux x dxxx x dx x
xxxdx dv v
2 2 2 2 21 1ln ln ln
2 2 2 2 2 2 4x x x x xx xdx x C x C
c) 221
1
dxarc tgx u du xdxarc tgx dx x arc tgxxxdx dv v x
21 2x t xdx dt :
22
1 1 1ln ln 11 2 2 2xdx dt t C x Cx t
21 ln 12
arc tgx dx xarc tgx x C
83
d)
1
1 1
1 1
1
sin
sin sin cos
cos cos
cos
cos cos sin
sin sin
cos sin sin
sin cos
2 sin cos1 s2
x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x
x
e x dx I
u e e dx du
dv x dx v x dx x
I e x e x dx
I e x dx
u e e dx du
dv x dx v x dx x
I e x e x dx
I e x e x e x dx
I e x x I
I e x x
I e in cosx x
10. Izračunati
a)
2
22
: 2 22 4222 2
2 44
x x xx xx dx x dxxx x
x
2
2 4 2 4ln 22 2
dx xx dx dx x x Cx
b) 2
12
x dx Ix x
2 21 22 0 1 2 2 1 2x x x x x x x x
2
1 / 1 2 02 1 2
x A B x xx x x x
1 2 11 2
x A x B xx Ax Bx A B
1
2 12 13 3
A B
A B A B
2 1 2 1ln 1 ln 23 1 3 2 3 3
dx dxI x x Cx x
c) 2
11
x dxI
x x
84
2 2
11 1
x A B Cx x x x x
21 1 1x Ax x B x Cx
2 21x Cx Ax Ax Bx B
0 21
1 2
A C AA BB C
2
12 2 2ln 2ln 11
dx dx dxI x x Cx x x x
12 ln1x Cx x
d) 2 2
2 22
2 5 2 1 42 5 1 4 1 4
x x x xdx dxx x x x
2
1 1 1 14 2 2 2 2
x t dt t xarc tg C arc tg Cdx dt t
e) 21 2 3dx I
x x x
2 2 3 0 4 12 8 0x x D
22 22 3 2 1 2 1 2x x x x x
222
1 / 1 2 31 2 31 2 3A Bx C x x xx x xx x x
21 2 3 1A x x Bx C x
2 21 2 3Ax Bx Ax Bx Cx A C 0A B 0A B 2 0A B C 5 1A B 3 1A C
12
1 11 16 2 ln 16 1 2 3 6
xdxI dx x Ix x x
'2
1 2 2
1 11 36 2 2 3 2 2
2 3 6 2 3
x xI dx x x xx x x x
1 2 2 2
1 2 6 1 2 2 1 46 2 3 6 2 3 6 2 3
x x dxI dx dxx x x x x x
2
2
11 2ln 2 36 3 1 2
x tdxx xdx dtx
222
1 2ln 2 36 3 2
dtx xt
6 1
16
1612
A
A
B
C
85
21 2 1ln 2 36 3 2 2
tx x arc tg C
21 2 1ln 2 36 3 2
xx x arc tg C
21 1 2 1ln 1 ln 2 36 6 3 2
xI x x x arc tg C
11. Izračunati:
a) 3 63
6 5
3 2 3 12 65
3, 2 6
66
Sx tdx x t t dt
x x t tdx t dt
2 5 7 4
4 3 36 6 61 1
t t t tdt dt dtt t t t t
= 4 3 2 1: 1 11
t t t t tt
4 3 2
3 2 16 1 6 11 4 3 2
t t tt t t dt t lu tt
6 6 64 3 2 6 63 2 3 6 ln 12x x x x x C
3 2 3 6 63 2 3 6 ln 12x x x x x C
b) 5 5
63 42 36 123 5
2,3 661 6
1 1 6
Sdx t dt t dtx t
t tx x t tdx t dt
5 2
3
16 6 6 11 1 1
t dt t dt t dtt t t t
2
26 ln 1 3 6 6ln 12t t t C t t t C
2 6 663 1 6 1 6ln 1 1x x x C
3 6 63 1 6 1 6ln 1 1x x x C
Zadaci za vežbu:
1. Proveriti sledeće rezultate:
a) 3 2 4 3 25 4 35 4 3 5 54 3 2
x x x dx x x x x C
86
b) 4 3
73 2 6ln7
x x x dx x x x Cx x x
c) 3 23 2
2 3sin 3 cos 3arcsin1
x dx x x x Cx x
d) 2 sin cosx x
xx
e e xdx e x Ce
e) 3
2
1 sin cossin
x dx x ctg x Cx
f) 2
2
1 21
x dx x arctgx Cx
g) 2
sin cos cos2 2x x dx x x C
h) 3 2 1 16 2 ln 2 3 ln 3
x x
x x xdx C
i) 2 2
cos 2sin cos
x dx ctgx tgx Cx x
2. Izračunati sledeće integrale:
a) 2 4
2
1 23x x dxx
b) 3 2 4x xdx
x
c) 3
1t
t aa dtt
d) 2 2
2 3 41 1
dxx xx
e) 2
54cos9 9
t dtt
f) 2ctg x dx
g)
13 2 2x x x dxx x
h) 42
x dxx
3. Proveriti rezultate:
a) 2
13 3 3
dx xarctg Cx
b) 2
1 3 32 3 3 2 2dx arctgx Cx
c) 2
cos 1 sin4 sin 2 2
xdx xarctg Cx
87
d) 2
12 2 2
x x
x
e dx earctg Ce
e) 2
1 ln3 ln 3 3dx xarctg C
x x
4. Proveriti rezultate:
a) 2
1 3arcsin3 525 9
dx x Cx
b) 2
arcsin ln1 lndx x C
x x
c) 3 1 3arcsinln 3 525 9
x x
x
dx C
5. Proveriti rezultate:
a) 3 32 1
3x xe x dx e C
b) sin sincosx xe xdx e C
c) 3
4ln 1 ln4
xdx xdxx
d) 2 31cos sin cos3
x xdx x C
e) 4 5
5
110 24
x dx xarctg Cx
f) 2 lnsin lndx ctg x C
x x
6. Izračunati sledeće integrale:
a) 95 2x dx b) 3 4 3x dx c) 4 5dxx
d) 5xe dx e) sin 2x dx ; f) 2 1dxx
g) 225 4dxx
h) 2 2
sincosx
a x i) x x
dxe e
j) 2 1dx
x x k)
23 4dxx
l) 25 2
dxx
88
m) 2
sin2 cosx dx
x n)
2
35 lndx
x x o)
1
x
x
e dxe
p) 22 3x dxx
q) 2ln x dxx
r) 4 1x dxx
s) ctgx dx t) 2
3
3 22
x dxx x
v) 3 5 41 x x dx
y) 2sin 1x x dx z) 5sin cosx x dx ž) 2
64x dxx
đ) 2
4 55
x dxx
ć) 43
x dxx
č) 2
2 3sinx dxx
7. Proveriti sledeće rezultate:
a) sin sin sinx x dx x x x C
b) 5 5
4 lnln5 25
x x xx x dx C
c) 2 2cos sin 2 cos 2sinx x dx x x x x x C
d) 2sin sin 1arc x dx x arc x x C
e) 2 2 2 2x xx e dx e x x C
f) ln lnx dx x x x C
8. Izračunati:
a) 2 sinx x dx ; b) 2 lnx x dx ; c) ln ,x x dx R
d) xxe dx ; e) x arc tgx dx ; f) 2x arc tgx dx
g) 2ln x dx ; h) 3
ln xdxx
; i) 3 cos 2x x dx
j) 2 2 5 xx x e dx ; k) 2 2 3 xx x e dx l) 2ln 1x dx
9. Izračunati:
a) 3 5 3x x x dx
x x b) ctgx dx
c) cos sinxe x dx d) 22 3
3 5x dx
x x
e) ln x dx f) 3 sinx x dx
89
10. Proveriti da li su tačne jednakosti:
a) 2
1 1ln ln 22 2 2
dx x x Cx x
b) 2
1 3ln6 5 2
dx x Cx x x
c) 3
3 3ln ln 1 2ln 1x dx x x x Cx x
d) 22
1 1 1ln 1 ln 12 4 21 1
xdx x x arc tgx Cx x
e) 2
3 2
11 1 2 1ln1 6 1 3 3
xdx xarc tg Cx x x
f) 3 3
2 4 8ln 22 3
x xdx x x x Cx
g) 3 2
2
4 5ln 2 ln 12 2 3 3
x xdx x x x Cx x
h) 3
23 2
1 1 1 2 2 1ln 1 ln 13 3 3 3 3
x xdx x x x x arc tgx x
i) 4 2
2
7 7 222 ln 1 ln 1 ln 22 6 2 31 2
x dx x x x x x Cx x
11. Izračunati:
a) 3 2
22
x dxx x
; b) 2 1dx
x x; c) 3 2
84 4x dx
x x x
d) 2
2
13 4x
dxx x
; e) 2
2 6 10x dx
x x; f) 3 22
dxx x x
g) 2 2
21 3x dx dx
x x; h)
2
3 2
12
x dxx x x
; i) 2
45 6
x dxx x
j) 2
11
x dxx x
; k) 3 1xdxx
; l) 2 7 13xdx
x x
12. Proveriti:
a) ln 121
x xdx x x cx
b) 3 34 4
34
4 ln 131
xdx x x Cx
c) 6
6 67 863 6
6 6 16 2 3ln5 71 1
xdx xx x x x Cx x
90
13. Izračunati:
a) 3
1x dxx
; b) 2x dx
x;
c) 2 1
dxx x
; d) 2
1 21 1x dx
x x
14. Izračunati:
a) 25
2x dx
x x
b) 2 4 5dx
x x
c)21 2 2x dx
x x x
d)3
1x dxx
91
Određeni integral
Primeri sa rešenjima:
1. Primenom Njutn-Lajbnicove formule izračunati:
a) 4 4 43 3 3
11
3 1 81 1 80| 204 4 4 4 4xx dx
b)
2 12 5 5 538 83 2 8 83 3 3 31 11 1
3 3| | 8 12 5 513
xx dx x dx x
53 3 932 1 32 15 5 5
c) 11ln | ln ln1 1
e edx x ex
d) / 3 /3
/ 42/ 4
3 3| 1 1sin 3 4 3 3dx ctg x ctg ctgx
2. Izračunati:
a) 3 53 3
2 3
2 1 2 32 1 2 3 5
2
2
x t x tdtx dx dx dt x t t
dtdx
4
5 4 43
1 1 1 544 685 3 625 812 4 8 8 8 1t
b) 1 3 3
00 0
3 0 0 13 1 1 3 3
tx tx t x t dte dx e edx dt x t
3 0 31 1 13 3e e e
c) 2 29 3
1 1
1 11 122 9 3
x t x tx tdx tdttdx tdt x tx
92
3 3 33 2 3
11
3 12 1 2 2 3 13 3 3tt dt t
26 26 6 402 2 23 3 3
3. Izračunati:
a) /2 /2/2
00 0sin cos cos
sin cosx u du dx
x xdx x x xdxxdx dv v x
/ 220cos 0cos0 sin sin sin 0 1
2 2x
b) 1
0 1
1 0 1ln 1 ln
1e ex t x t
x dx t dtdx dt x e t e
1 1
lnln |2
eedtt u du dtt t t
tdt dv v t
1ln 1ln1 1 1 1ee e t e e e e
4. Izračunati površinu figure ograničene linijama: a) 22 0y x x y
2 2
0
2 320
2
22 3
P x x dx
x x
b) 21 , 2y x y
3 314 0 2 03
8 443 3
22 1 x 2 1x 1x
1 1 2
1 12 1P dx x dx
31 1
1 12
3xP x x
12 1 1 1 1 1 13
P 2 2 44 2 23 3 3
P
c) y x 22y x x 22x x x 1 0,0M
20 3x x 2 3, 3M
0 3x x
93
3 32
0 02P x x dx x dx
3 2
02P x x x dx
2 33 2 3
003 3 /
2 3x xP x x dx
3 19 0 27 02 3
27 992 2
P
5. Izračunati:
a)
21 233 3
131 1
3lim lim lim 12 23
b b
b b b
dx xx dx bx
b) 2 2
2
2
0 0
0 0lim 2
2
bx x
b
x t x txe dx xe dx x dx dt x b t b
dtxdx
2 2
2
00 0
1 1lim lim lim2 2 2
b bt t t b
b b b
dte e dt e
2
201 1 1 1lim lim 1
2 2 2b
bb be e
e
c) 2 2 11 1
2
lnln lnlim
11
b
b
dxx u dux dx x dx xx x dx xdv v
x x
1 121
ln lnb ln1 1ln lim1
bb b
b b
x dxx x b x
11lim 1 1
1b
bb
6. Izračunati:
a) 11 1 12
0 0 0 0
12lim lim / lim 2 1 21
2
xdx x dxx
94
b) 3 1 32 2 1
20 0 10lim 1 1
1xdx dt
dx x dx x dxx
1 122 2
1 210 0lim lim
1 1t tt dt t dt
210 0
1 1 1 1 1lim lim 12t t
0
2 3lim2
c) 1 1 10
lim limln ln ln ln ln
c c b
c cb
dx dx dx dx dxx x x x x x x x x x
ln lnb
ln 1 ln0
lnlim lim
c
cb
x tdt dt
dx t tdtx
ln lnblnln 10
limln / lim ln /ccc b
t t
0
lim ln ln ln ln 1 lim ln lnb ln lnb
c c
Zadaci za vežbu:
1. Proveriti:
a) 2
0sin 0xdx b)
1
20 1 4dxx
c) 8
31
454
x dx
2. Izračunati:
a) 1
32 11 5dxx
; b) 0 2cos
5
dxx
; c) 1
20 1
x
x
e dxe
;
3. Izračunati:
a) 2
0;
lu xxe dx b) 3
0xarc tgx ; c)
/ 2 2
0cosx x dx ;
95
4. Izračunati:
a) 1
0
xe dx ; b) 2 2
0x dx ; c)
8
31
dxx
;
d) 3 2
11 2 3x x dx ; e)
/ 2
2/ 6
1cossin
x dxx
;
5. Izračunati površinu oblasti ograničenu linijama:
a) 23 6 , 0, 4, 0y x x x x y
b) 22 , 4, 0y x y x y
c) 2 29 , 9y x y x
d) 23 2 , 0y x x y
e) ln , , 0y x x e y
f) 3 ,y x y x
g) 2 4 , 4y x x y x
h) 3 , 4y x yx
6. Izračunati integrale:
a) 32
0
xx e dx b) lne
dxx x
c) 0
2 /33dx
x
d) 21dxx
e) 1
0 2 1dxx x
f) 6
22 3 4
dx
x
g) 12
0 lndxx x
h) 112 lndxx x
7. Proveriti:
1 3
1
65
x dx
8. Izračunati:
1
20 2
x
xe dxe
96
9. Izračunati:
a) 20
cosx x dx
b) 1
21dxx
c) 4
22 3
dx
x
10. Izračunati površinu oblasti ograničenu linijama: 22 ,y x 4 0y x i y
97
Diferencijalne jednačine
Primeri sa rešenjima:
1. Rešiti diferencijalnu jednačinu: 2
2
2
2
2
2
' 1
1
1
1
2
2
y x y
dy x ydxdy xdxydy xdxy
xarc tg y C
xy tg C
2. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine
2
2' 01
xyyx
koje zadovoljava uslov 2 1y .
2
2
2
2
21
212
1
ln ln 1 ln ' , '
dy x ydx xdy x dxy xdy x dxy x
y x C C R
2 2ln 1 ' ln 1 ' ' 2 '1 , ,x C x C C Cy e e e e x C e C R
2 1y C x
2 21 1 ,y C x ili y C x C R
98
i konačno
2 1 , ) 0 .y C x C R
je opšte rešenje naše diferencijalne jednačine. Zamenom početnog uslova 2 1y u dobi-
jenu formulu dobijemo
1 2 1 . 1C tj C
Traženo partikularno rešenje je 2 1.y x
3. Odrediti opšti integral sledećih jednačina:
a) 0x y dx xdy
x y dx xdy
x y dyx dx
1dy ydx x
uvedimo smenu . ' 'y u tj y u x ux
( )
' 1 ln
1 ln
ln
u x u u u x Cdu yx x C
dx xdx
du y x x Cx
+ = + = +
= = +
= = +
b) 2x y y dx x dy
2
2
xy y dyx dx
2
'y y yx x
uvedimo smenu . ' 'y ux tj y u x u
2 22'
1ln ln
ln ln
du dx duu u u x u u x
dx x u
x C C Ru
x xx C y
y c x
+
- = + - = = -
+ = Î
= =
99
4. Naći ono rešenje jednačine 2 2
' 0x yyxy
koje zadovoljava uslov
1 1y
2 2
' 'x y x y
y yxy y x+
= - = - -
uvedimo smenu . ' 'y u tj u x u yx
2
2
4 42 2 2
2 44 2 2
2 4
1 1 2' 1 2
1 ln 1 2 ln ln l n 1 2 ln 1 24
1 2 2
du u udu dxu x u u xn dx u u x
C Cu C x u ux x
y C x x yx x
4 44 2
22C xC yx
Iz početnog uslova dobijamo
44
4 42
2 2
11 3
23 32 2
CC
x xy y
x x
-= =
- -= =
5. Naći opšte rešenje jednačine
32' 1 , 11yy x x
x
2 2
3
2 231 1
32ln 1 2ln 1
3ln 1 ln 1
2 11
1
1
1
dxdxx x
x x
x x
P x Q x xx
y e C x e dx
y e C x e dx
y e C x e dx
Kako je lnae a
2 32
2
22
11 11
1 1
11
2
y x C x dxx
x C x dx
xy x C
100
6. Odrediti partikularno rešenje jednačine 'cos sin 1y x y x koje zadovoljava uslov
0 1y
ln coslncos lncos
2 2
1 1' , cos 2 cos
1 1cos cos
cos coscos cos
tg x dx xx x
y y tg x x k k Z P x tg x Q xx x
y e C e dx y e C e dxx x
dx dxy x C y x Cx
cos cos cos sin 1 0 1 cos sinp
xy C x x tg x C x x C Cy x x
Zadaci za vežbu:
1. Naći opšte rešenje jednačina
a) ' x yyx
b) 2 0x y ydx x dy
c) 2 2
2' y xy xyx
d) 2 3 3xy dy x y dx
2. Rešiti sledeće diferencijalne jednačine, i zatim naći ono rešenje koje zadovoljava uslov:
a) 2 02 , 3
3 1dy x ydx y
b) 2 1' 1 0 , 3y xy x y
c) 2 02 , 0ye dy x dx y
d) 0' , 11yy yx
e) x dy y dx
f) 21x y dx x dy
101
3. Odrediti partikularna rešenja sledećih jednačina
a) 2' 0 12x yy y za xx
b) ' ln 1 1y yy ako je y za xx x
c) 1' 1 , 1yxxy y x e y
4. Odrediti opšte rešenje sledećih jednačina:
a) 41 ' 2 1x y y x
b) 2' 2xy x y
c) 2' 1 0yy xx
d) 'cos sin sin 2y x y x x
5. Odrediti partikularno rešenje jednačine pod datim uslovima:
a) 2 02' 1
1 1xyy yx x2
b) 2 0' 0 1x xy e y e y
c) 2 2' 2 1 1x y xy y
d) 2 0'cos 0y x tg x y y
6. Naći opšte rešenje sledećih jednačina:
a) 2' 0yy xyx
b) 3 3' 2 2y xy x y
c) 2 2' 2 0xy y x y
d) 32 ' siny y x y
e) ' 3 0y y y y x
102
7. Reši diferencijlanu jednačinu 2 1 0y dx x dy
8. Naći partikularno rešenje sledeće diferencijalne jednačine:
lny yyx x
ako je 1y za 1x
9. Odrediti opšte rešenje jednačine:
2 2
2 4' 01 1xy xyx x
103
8. Godišnja potrošnja kafe 100 tročlanih domaćinstava data je sledećim pregledom:
Potrošnja u kg Do 3.5 3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5 9.5+
Broj domaćinstava 3 10 14 51 10 5 5 2
Izračunati:
a) Aritmetičku sredinu, modus i medijanu
b) Koeficijent asimetrije
c) Koeficijent spljoštenosti
9. Raspored 1000 stanovnika jednog naselja po godinama starosti dat je u sledećoj tabeli:
Godine starosti Do 20 21-40 41-60 Preko 60
Broj stanovnika 150 280 320 250
Izračunati:
a) Aritmetičku sredinu
b) Modus
c) Medijanu
d) Interkvartilnu razliku
10. Raspored 50 opština prema broju osnovnih škola dat je u sledećoj tabeli:
Broj osnovnih škola 1 2 3 4 5 6
Broj opština 6 9 21 10 3 1
Izračunati:
a) Geometrijsku sredinu
b) Modus
c) Medijanu
d) Standardnu devijaciju
e) Koeficijent varijacije
104
5. VEROVATNOĆA
5.1 SLUČAJNI DOGAĐAJI
Zadatak 1. Baca se kocka i registruje broj koji se pojavi na gornjoj strani. Neka je: događaj A: pada broj manji od 3 događaj B: pada broj deljiv sa 2 događaj C: pada broj deljiv sa 3 događaj D: pada broj veći od 4. Opisati procenu elementarnih događaja Ω i događaje A, B, C i D pomoću elementarnih događaja. Naći disjunktne događaje. Rešenje: Ako iω znači da se na gornjoj strani pale kocke nalazi i tačica tada je:
{ }654321 ,,,,, ωωωωωω=Ω
{ }21,A ωω= { }642 ,,B ωωω= { }63 ,C ωω= { }65 ,D ωω= i disjunktni događaju su A i C i A i D jer je ØAC = i ØAD = .
Zadatak 2. U uslovima prethodnog zadatka neka su događaji: E: pao je prost broj F: pao je neparan broj veći od 2. Opisati ove događaje i ispitati da li važi EF ⊂ ili FE ⊂ ili E=F. Rešenje: Kako su među prvih šest brojeva prosti brojevi 2, 3 i 5 to je
{ }532 ,,E ωωω= a u uslovima pod kojima je opisan događaj F imamo
{ }53 ,F ωω=
105
i odavde sledi da događaj F implicira događaj E tj. važi EF ⊆ . (Očigledno EF ≠ jer E2 ∈ω i F2 ∉ω ).
Zadatak 3. U zadacima 1 i 2 opisati događaje CCC E,D,A i CF i pokazati da
je: CC FE ⊆ i ØDA CC ≠ .
Rešenje: Kako je { }6543C ,,,A ωωωω=
{ }4321C ,,,D ωωωω=
{ }641C ,,E ωωω=
{ }6421C ,,,F ωωωω=
to je očigledno CC FE ⊆ i { } Ø,DA 43CC ≠ωω= .
Napomena: Može se pokazati da uvek važi CC ABBA ⊆⇔⊆ i takođe: ako
je Ω⊂+ BA tada ØBAAB CC ≠⇒Φ= .
Zadatak 4. Opisati skup elementarnih događaja ako se bacaju dve homogene kocke čije su strane označene brojevima od 1 do 6 (uslovi prvog zadatka za jednu kocku). Rešenje: { }6j1,6i1|)y,x( ii ≤≤≤≤=Ω
ix znači da je na prvoj kocki na gornjoj strani i , a iy znači da je na drugoj kocki na gornjoj strani j .
Zadatak 5. U uslovima prethodnog zadatka opisati događaje: A - na prvoj kocki je pao broj 6 a na drugoj neparan broj B - na prvoj kocki je pao broj veći od 4 a na drugoj je pao broj manji od 3
pa zatim naći CC AB,BA,BA,AB ∪ .
106
Rešenje: { })y,x(),y,x(),y,x(A 563616= { })y,x(),y,x(),y,x(),y,x(B 26162515= { })y,x(AB 16= { })y,x(),y,x(),y,x(),y,x(),y,x(),y,x(BA 563626162515=∪
{ })y,x(),y,x(),y,x(BA 262515C =
{ })y,x(),y,x(AB 5636C =
Zadatak 5. Ako su A, B i C tri događaja naći izraze za događaje koji su definisani na sledeći način: (1) Ostvari se samo A (2) Ostvari se i A i B (3) Ostvare se sva tri događaja (4) Ostvari se bar jedan od događaja (5) Ostvare se tačno dva događaja (6) Ostvare se bar dva događaja (7) Ne ostvari se ni jedan od ovih događaja. Rešenje:
(1) CCCAB (2) AB (3) ABC (4) CBA ∪∪
(5) BCACABABC CCC ∪∪
(6) ABCBCACABABC CCC ∪∪∪
(7) CCCC )BBA(CBA ∪∪=
107
Zadatak 6. Eksperiment se sastoji od elementarnih događaja polaganja ispita tri studenta. Opisati događaje: (1) Svi studenti su položili (2) Bar jedan student je položio (3) Položila su tačno dva studenta. Rešenje: Ako sa A1 označimo događaj prvi je položio A2 označimo događaj drugi je položio i sa A3 označimo događaj treći je položio tada imamo 1) A1A2A3
2) 3
C2
C1
C32
C1
C3
C21
32C13
C21
C321321
AAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAA
+++
++++
3) 32C13
C21
C321 AAAAAAAAA ++ .
108
5.2. POJAM VEROVATNOĆE
Zadatak 6. Kolika je verovatnoća događaja A da se pri bacanju kocke pojavi broj deljiv sa 3? Rešenje: Ukupan broj mogućnosti pri bacanju kocke je 6 a broj povoljnih mogućnosti dve jer su povoljni događaji pala je trojka i pala je šestica, pa je:
31
62)A(P == .
Zadatak 7. U kutiji se nalaze dve bele i tri crne kuglice. Iz kutije se slučajno izvlače dve kuglice odjednom. Naći verovatnoću događaja A da se izvuku kuglice različitih boja. Rešenje: Pošto je u kutiji ukupno 5 kuglica to se dve kuglice od ukupno 5
mogu izvući na tačno ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛25
načina (broj kombinacija druge vrste od 5
elemenata) a to je
103212154321
!3!2!5
)!25(!2!5
25
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Nepovoljne mogućnosti su da od dve bele izvučemo obe, a to je jedna od ovih deset mogućnosti, takođe je nepovoljno da izvučeno i dve crne a to se može uraditi tačno na tri načina (broj kombinacija druge vrste od tri elementa). Dakle, ukupan broj nepovoljnih mogućnosti je 4 pa sledi da je broj povoljnih mogućnosti 6 i tražena verovatnoća je
6.0106)A(P == .
109
Zadatak 8. Naći verovatnoću da se pri bacanju dve kocke dobije zbir 8. Rešenje: Pri bacanju dve kocke imamo sledeće mogućnosti:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1) (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).
Dakle ima ih 36. Pri tom za naš događaj su povoljne (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) i (6,2) i ima ih 5. Dakle verovatnoća našeg događaja je
365)A(P =
Zadatak 9. Pri bacanju dve kocke naći verovatnoću da padnu: a) dva ista broja b) brojevi čiji zbir je 7 v) brojevi čiji zbir je 6 g) bar jedna jedinica. Rešenje: a) Povoljni događaji su (1,1), (2,2), (33), (4,4), (5,5), (6,6) pa ih ima 6 i tražena verovatnoća je
61
366)A(P a == .
b) Povoljni događaji su (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) i (6,1). Dakle, ima ih 6 pa je tražena verovatnoća
110
61
366)A(P b == .
v) Povoljni događaji su (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) i (5,1) i ima ih 5 pa je tražena verovatnoća
365)A(P v = .
g) Povoljni događaji su u ovom slučaju (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1) i (6,1) i ima ih 11 pa je tražena verovatnoća
3611)A(P g = .
Zadatak 10. Naći verovatnoću da se pri istovremenom bacanju tri kocke dobije zbir manji od 5.
Rešenje: Ukupan broj mogućnosti pri bacanju tri kocke je 21663 = . Povoljne mogućnosti su (1,1,1), (1,2,1), (1,1,2) i (2,1,1). Dakle, ima ih 4 pa je traženi rezultat
541
2164)A(P ==
Zadatak 11. Šta je verovatnije dobiti pri istovremenom bacanju tri kocke: zbir 11 ili zbir 12? Rešenje: Ukupan broj mogućnosti pri bacanju tri kocke je 216. Za zbir 11 povoljne mogućnosti su: (1,4,6), (1,5,5), (1,6,4), (2,3,6), (2,4,5), (2,5,4), (2,6,3), (3,2,6), (3,3,5), (3,4,4), (3,5,3), (3,6,2), (4,1,6), (4,2,5), (4,3,4), (4,4,3), (4,5,2), (4,6,1), (5,1,5), (5,2,4), (5,3,3), (5,4,2), (5,5,1), (6,1,4), (6,2,3), (6,3,2), (6,4,1). Dakle, ukupno 27 i verovatnoća
111
81
21627)11(P == .
Za zbir 12 povoljne mogućnosti su: (1,5,6), (1,6,5), (2,4,6), (2,5,5), (2,6,4), (3,3,6), (3,4,5), (3,5,4), (3,6,3), (4,2,6), (4,3,5), (4,4,4), (4,5,3), (4,6,2), (5,1,6), (5,2,5), (5,3,4), (5,4,3), (5,5,2), (5,6,1), (6,1,5), (6,2,4), (6,3,3), (6,4,2), (6,5,1). Dakle, ukupno ih je 25 pa je
21625)12(P = odakle je jasno )12(P)11(P > .
Zadatak 12. Iz špila od 52 karte je izvučena jedna karta, pa je zatim vraćena u špil, pa je iz njega ponovo izvučena jedna karta. Naći verovatnoću da su oba puta izvučene dvojke.
Rešenje: Verovatnoća da je prvo izvučena dvojka je 524
, a ista verovatnoća je
i u drugom izvlačenju, pa je odavde verovatnoća da su izvučene oba puta dvojke
1691
524
524)A(P =⋅= .
Zadatak 13. Novčić se baca tri puta. Odrediti verovatnoći da sva tri puta padne grb. Rešenje: Očigledno je da je ukupan broj mogućnosti pri bacanju tri novčića osam. Povoljna je pri tom samo jedna. Dakle, verovatnoća tog događaja je
81)A(P = .
Uslovne verovatnoće. Nezavisnost događaja
112
Zadatak 14. Iz skupa brojeva { }12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1S = slučajno se izvlači jedan broj. Ako je poznato da je izvučen broj deljiv sa 3, kolika je verovatnoća da je on paran? Rešenje: U našem skupu imamo deljive sa 3 brojeve 3, 6, 9 i 12. Dakle četiri
broja. Od toga 2 su parna pa je 21
42)D|P(P 3 == .
Zadatak 15. Da li je u prethodnom slučaju događaj izvučen je paran broj i broj deljiv sa 3 nezavisan?
Rešenje: Kako je 21)P(P = i
31
124)D(P 3 ==
)D(P)P(P31
21
61
122)PD(P 33 ⋅=⋅===
Ovo se dobija i iz uslova prethodnog zadatka
21)D|P(P)P(P 3 == .
Zadatak 16. Dva strelca gađaju po jednom u cilj. Verovatnoća da prvi pogodi je 0.4 a verovatnoća da drugi pogodi je 0.5. Naći verovatnoću da cilj bude pogođen bar jednom. Rešenje: Verovatnoća da prvi promaši je 0.6 a drugi 0.5. Verovatnoća da oba promaše je
30.05.06.0)B(P)A(P)BA(P =⋅=⋅= .
Dakle, verovatnoća da će cilj bar jednom biti pogođen je
7.03.01)BA(P1 =−=− .
113
Zadatak 17. Proizvoljan događaj A i siguran događaj Ω su uvek nezavisni. Rešenje: Kako je AA =Ω to važi i )A(P)A(P =Ω . Kako je 1)(P =Ω to važi iz prethodne relacije
)(P)A(P1)A(P)A(P Ω⋅=⋅=Ω .
Ovo kao i naredno tvrđenje spada u tzv. trivijalna tvrđenja.
Zadatak 18. Ako je A proizvoljan događaj i Ø nemoguć događaj oni su nezavisni. Rešenje: Iz relacije Ø)A(P =Φ sledi )Ø(P)ØA(P = . Kako je 0)Ø(P = to imamo )Ø(P)A(P)A(P00)ØA(P ⋅=⋅== .
Zadatak 19. Ako su događaji A i V nezavisni i imaju pozitivne verovatnoće 0)A(P > i 0)B(P > onda se oni ne isključuju.
Rešenje: Ako bi pretpostavili da se oni isključuju bilo bi ØAB = . Odavde bi bilo 0)AB(P = i iz nezavisnosti događaja A i V bilo bi
)B(P)A(P)AB(P ⋅=
pa bi imali da je proizvod dva pozitivna broja nula a to je nemoguće. Dakle, mora biti ØAB ≠ .
Zadatak 20. Ako su događaji sa pozitivnim verovatnoćama disjunktni onda su oni zavisni. Rešenje: Kako je ØAB = to je očigledno 0)AB(P = . Isto tako je 0)A(P > i
0)B(P > odakle je )B(P)A(P)AB(P ⋅≠ pa su događaji A i V zavisni.
114
Zadatak 21. Po statističkim podacima 5% muškaraca i 0.25% žena su daltonisti. Slučajno izabrano lice je daltonist. Koja je verovatnoća da je lice muškog odnosno ženskog pola? Rešenje: Ako pretpostavimo da je isti broj (statistički) muškaraca i žena tada možemo zaključiti da je muškaraca daltonista 20 puta više nego žena, pa je
verovatnoća da je slučajno odabrani daltonist muškog pola 2120
a ženskog
pola 211
.
5.2.1. Formule totalne verovatnoće
i Bajesova formula
Zadatak 22. Imamo 5 kutija sa dve bele i 3 crvene kuglice i imamo 3 kutije sa 4 bele i tri crvene kuglice. Slučajno se baca jedna kutija i iz nje se slučajno uzima jedna kuglica. Koja je verovatnoća da je ona bela?
Rešenje: Verovatnoća izbora kutije prvog tipa je 85)K(P 1 = a verovatnoća
izbora kutije drugog tipa je 83)K(P 2 = . Verovatnoća bele kuglice u prvom
slučaju je 52)K|B(P 1 = , a verovatnoća bele kuglice u drugom slučaju je
74)K|B(P 2 = .
Dakle, verovatnoća bele kuglice je
2813
143
41
74
83
52
85)K|B(P)K(P)K|B(P)K(P)B(P 2211 =+=⋅+⋅=⋅+⋅= .
115
Slično, verovatnoća izvučene crvene kuglice je
2815
56921
569
83
73
83
53
85
)K|C(P)K(P)K|C(P)K(P)C(P 2211
=+
=+=⋅+⋅=
=⋅+⋅=.
Zadatak 23. U uslovima prethodnog zadatka ako smo izvukli belu kuglicu koja je verovatnoća da je ona izvučena iz kutije sa dve bele kuglice odnosno koja je verovatnoća da je ona izučena iz kutije sa četiri bele kuglice? Rešenje: Odgovor na ovo pitanje ćemo dobiti iz Bajesove formule:
137
281341
2813
52
85
)B(P)K|B(P)K(P)B|K(P 11
1 ==⋅
=⋅
= odnosno
136
2813
74
83
)B(P)K|B(P)K(P)B|K(P 22
2 =⋅
=⋅
= .
Zadatak 24. Verovatnoća da kamion za snadbevanje robom prodavnica ide u grad A je 0.4, u grad B je 0.3 a u grad C 0.2 i da vozi u lokalu L 0.1. Pritom verovatnoće kvara pri tim putevima su respektivno: 0.01; .0.02; 0.03 i 0.005. Koja je verovatnoća da će se kamion pokvariti narednog dana? Rešenje: Rešenje zadatka nalaziomo po formuli za totalnu verovatnoću:
)L|K(P)L(P)C|K(P)C(P)B|K(P)B(P)A|K(P)A(P)K(P ⋅+⋅+⋅+⋅= Kako je ovde 1.0)L(P,2.0)C(P,3.0)B(P,4.0)A(P ==== i
005.0)L|K(P,03.0)C|K(P,02.0)B|K(P,01.0)A|K(P ==== to je 0165.0005.01.003.02.002.03.001.04.0)K(P =⋅+⋅+⋅+⋅=
116
Zadatak 25. Ako se u uslovima prethodnog zadatka kvar na kamionu desio koja je verovatnoća da je on nastao na putu za A, B, C ili u lokalnoj vožnji L? Rešenje: Odgovor na ovo pitanje daje Bajesova formula
)K(P)X|K(P)X(P)K|X(P ⋅
= gde { }L,C,B,AX∈ , tj. imamo
338
16540
0165.0004.0
0165.001.04.0)K|A(P ===
⋅=
114
0165.0006.0
0165.002.03.0)K|B(P ==
⋅=
114
0165.0006.0
0165.003.02.0)K|C(P ==
⋅=
331
1655
0165.00005.0
0165.0005.01.0)K|L(P ===
⋅= .
117
5.3. SLUČAJNE PROMENLJIVE
Zadatak 26. Neka je { }{ }3,2,1b,a|)b,a( ∈=Ω i 91)(P =ω . Formirati
slučajnu promenljivu ba)b,a(X)(XX +==ω= . Rešenje: Da bismo slikovito rešili ovaj zadatak sve mogućnosti ćemo prikazati grafički. Odakle se vidi da se u 6 i 2 "slikaju" po jedan element iz skupa Ω , u 3 i 5 po dva elementa i u broj 4 tri elementa iz Ω , pa na osnovu činjenice da su svi elementi skupa Ω jednako verovatni imamo da brojevima 6 i 2
pridružujemo verovatnoće 91
, brojevima 3 i 5 verovatnoće 92
i broju 4
verovatnoću 31
93= , tj, imamo sledeću raspodelu verovatnoća:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
91
92
31
92
91
65432X .
118
Zadatak 27. U uslovima prethodnog zadatka formirati slučajnu promenljivu ba2)b,a(Y)(YY −==ω= .
Rešenje: I u ovom slučaju ćemo se poslužiti slikom da bismo bolje shvatili rešenje. Iz slike se vidi da se u brojeve -1, 0, 2, 4 i 5 slika po jedan element iz skupa Ω
pa oni imaju verovatnoću 91
, a u brojeve 1 i 3 se slikaju po dva elementa iz
Ω pa oni imaju verovatnoću 92
i zakon raspodele verovatnoća je zadat
tabelom:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
91
91
92
91
92
91
91
5432101Y .
119
Zadatak 28. Data je slučajna promenljiva H raspodela:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
p1
41
41
81
161
81
432101:X
a) Odrediti r b) Formirati slučajnu promenljivu H2. Rešenje: a) Kako je ovde reč o slučajnoj promenljivoj to 1)( =Ωp i sledi da mora biti
1141
41
81
161
81
=+++++ . Odavde je 163
16131p =−= .
b) Slučajna promenljiva H2 ima vrednosti 0, 1, 4, 9 i 16 (to su kvadrati vrednosti slučajne promenljive H sa odgovarajućim verovatnoćama). 0 - pridružujemo verovatnoću od 0 iz H 1 - pridružujemo verovatnoću od -1 i 1 iz H 4 - pridružujemo verovatnoću od 2 9 - pridružujemo verovatnoću od 3 16 - pridružujemo verovatnoću od 4 i tako imamo
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
163
41
41
41
161
169410:X2 .
Zadatak 29. U uslovima prethodnog zadatka naći )31( <≤ XP . Rešenje: Kako su vrednosti koje pripadaju H iz intervala [ )3,1 1 i 2 to je
83
41
81)2()1()31( =+=+=<≤ ppXP .
120
Zadatak 30. Odrediti k tako da funkcija +∞<<−∞+
= x,x1
k)x(g 2 bude
gustina raspodele verovatnoća neprekidne slučajne promenljive H pa zatim
naći )3X1(P ≤≤− . Rešenje: Kako je reč o neprekidnoj slučajnoj promenljivoj to mora biti
∫+∞
∞−
=1dx)x(g . Odavde znajući da je ∫ =+
arctgxx1
dx2 i isto tako znajući da je
∫ ∫ ==+
=+
+∞
∞−
+
− −+∞→+∞→
M
M
M
MM2M2 |arctgxlimx1
dxlimx1
dx
π=π⋅==−−=
+∞→+∞→ 22arctgMlim2))M(arcgarctgM(lim
MM
sledi da tražena vrednost za broj k iz uslova zadatka mora biti π
=1k .
b)
127
1271
431)1arctg3arctg(1
))1(arctg3arctg(1|arctgx1x1
dx13x1(P3
1
3
12
=π
⋅π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
⋅π
=+π
=−−π
=π
=∫+π
=≤≤−−
Zadatak 31. Odrediti k tako da funkcija
⎩⎨⎧
=0
xsink)x(g [ ]π∉
π≤≤,0x
x0
bude gustina raspodele verovatnoća slučajne promenljive x pa zatim naći
)4
x0(P π≤≤ .
121
Rešenje: Kako mora biti ∫+∞
∞−
=1dx)x(g to sledi da mora
biti ∫+∞
∞−
=1xdxsink odnosno kako je
∫π π
==+π−=−=0 0
1k2)0coscos(k)xcos(kxdxsink |
odakle nalazimo 21k = . Isto tako
422)
221(
21)0cos
4cos(
21
|)xcos(21xdxsin
21)
4x0(P
4
0
4
0
−=−=+
π−=
=−∫ ==π
≤≤
ππ
Zadatak 32. Dat je zakon raspodele dvodimenzionalne slučajne promenljive
)Y,X( sledećom tabelom 44:
Tabela 44.
X Y
0 1 2 3
1 403
401
81
201
2 407
101
401
401
3 0 201
51
p
a) Odrediti p b) Naći marginalne funkcije raspodele za X i Y v) Naći uslovne raspodele )2Y|X(P = i )1X|Y(P = .
122
Rešenje: a) Kako je ovde reč o dvodimenzionalnoj slučajnoj promenljivoj to mora biti
∑ =1)y,x(p ji Odavde imamo
1p51
201
401
401
101
407
201
81
401
403
=++++++++++
Odavde je 203
406
40341p ==−=
b) Marginalne raspodele dobijamo sabiranjem po vrstama i kolonama
Tabela 45.
X
Y 0 1 2 3 ∑
1 403
401
81
201
4011
2 407
101
401
401
4013
3 0 201
51
203
52
∑ 41
407
207
409
1
odnosno
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
409
207
407
41
3210:X
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
52
4013
4011
321:Y
123
v) Raspodela verovatnoća za 2Y|X = se dobija iz prethodne tabele, uočavajući vrstu za 2Y =
407
101
401
401
4013
a slučajnu promenljivu dobijamo delenjem svih elemenata vrste sa zbirom u
vrsti 4013
:
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
131
131
134
137
3210:2| YX
Analogno kao u prethodnom slučaju raspodelu za 1Y|X = dobijamo
uočavajući kolonu 1X = i deleći sa zbirom 41
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= 0
107
103
321:1| XY
Zadatak 33. Proveriti da li su slučajne promenljive X i Y u prethodnom zadatku nezavisne. Rešenje: Da bi dve slučajne promenljive X i Y bile nezavisne moraju
vrednosti )y,x(p ji koje odgovaraju brojevima ix i jy biti jednake
proizvodima odgovarajućih marginalnih vrednosti za ix i jy za svaku ix i
jy od vrednosti koje uzimaju slučajne promenljive X i Y .
124
U ovom slučaju to nije ispunjeno jer npr. za 0X = i 1Y = imamo
403)1,0(p = a
41)0x(p == i
4011)1y(p == i pritom je
4011
41
403
⋅≠ . Dakle,
ove dve slučajne promenljive su zavisne. Zadatak 34. Data je dvodimenzionalna slučajna promenljiva tablicom:
Tabela 46.
X
Y 1 2 3 ∑
0 81
121
241
41
1 101
151
301
51
2 4011
6011
12011
2011
∑ 21
31
61
1
Proveriti da li su X i Y nezavisne slučajne promenljive. Rešenje: U ovom slučaju jesu, jer je svaka vrednost )y,x(p ji proizvod
odgovarajućih marginalnih vrednosti, npr. 21
41
81
⋅= , itd.
125
NUMERIČKE VREDNOSTI SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
Zadatak 35. Data je slučajna promenljiva
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−
91
121
91
121
91
61
31
4321012:X
Naći matematičko očekivanje i disperziju. Rešenje:
∑ == iipx)X(E
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−+⋅−=914
1213
912
1211
910
61)1(
31)2(
61
94
123
92
121
61
32
=++++−−= .
=−=σ ∑ 2i
2i
2 ))x(E(px)X(
36163
361
9116
1219
914
1211
611
314 =−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
Zadatak 36. Gustina raspodele slučajne promenljive X je
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
=0
41x
81
)x(g [ ]6,2x6x2
∉≤≤
Naći srednju vrednost (matematičko očekivanje) i disperziju slučajne promenljive X . Rešenje: Kako je u pitanju neprekidna slučajna promenljiva to ćemo numeričke vrednosti od X dobiti integracijom:
126
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −== ∫∫∫
+∞
∞−
|6
2
236
2
26
2 8x
24xdxx
41x
81dx
41x
81xdx)x(xg)X(E
314
822
24222
866
24666
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−⋅⋅
−⋅
−⋅⋅
=
98
9196
368
323
41
81))(()()(
26
2
2222 =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−= ∫ dxxxXEXEXσ
ODREĐIVANJE VEROVATNOĆA SLUČAJNIH PROMENLJIVIH ČIJE SU
RASPODELE DATE TABELARNO
Zadatak 37. Slučajna promenljiva X je raspoređena po normalnom zakonu
sa 4m = i 252 =σ . Naći verovatnoću: a) )9x2(P ≤≤ b) )12x6(P ≤≤ v) )3x6(P ≤≤− . Rešenje:
a) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤≤−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
≤−
=≤≤ 1X52P
549
54x
542P)9x2(P *
49676.015542.034134.0)4.0()1()4.0()1( =+=Φ+Φ=−Φ−Φ=
b) ( )=≤≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
≤−
=≤≤ 6.1X4.0P5
4125
4x5
46P)12x6(P *
28978.015542.044520.0)4.0()6.1( =−=Φ−Φ=
v) ( )=−≤≤−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≤−
≤−−
=≤≤− 2.0X2P5
435
4x5
46P)3x6(P *
39799.007926.047725.0)2.0()2()2()2.0( =−=Φ−Φ=−Φ−−Φ= .
127
Zadatak 38. Odrediti vrednost x za koju je α=Φ )x( gde je α zadata verovatnoća a) 47500.0=α b) 47000.0=α Rešenje: a) Iz tablice 3 nalazimo da je 96.1x = , 47500.0)96.1( =Φ b) U tablici 3 nalazimo vrednosti za koju je 47000.0)x( =Φ , Međutim, mi možemo naći
)89.1(47062.047000.046995.0)88.1( Φ=<<=Φ Odavde ćemo x odrediti linearnom interpolacijom (približno):
Iz sličnosti trouglova ABCΔ ∼ AEDΔ sledi proporcija
t:00005.001.0:00067.0 =
odnosno 0007.067
01.0500067.0
01.000005.0t ≈⋅
=⋅
= .
Dakle, 8807.1t88.1x ≈+= .
128
Zadatak 39. Iz tablice za Studentovu raspodelu naći vrednosti
a) 05.0;8t
b) 95.0;8t Rešenje: a) Iz tablice V očitavamo vrednost 306.2t 05.0;8 = b) U tablici V nemamo vrednost 95.0;8t ali imamo vrednost
262.0t 8.0;8 = i 130.0t 9.0;8 =
pa ćemo vrednost 95.0;8t odrediti linearnom ekstrapolacijom (približno) Iz sličnosti trouglova ABEΔ i ACDΔ imamo: DC:ADEB:AE = odnosno
15.0:)x262.0(1.0:132.0 −=
odakle je x1.0262.01.015.0132.0 ⋅−⋅=⋅ tj.
15.0132.0262.01.0x1.0 ⋅−⋅=
064.01.0
0198.00262.0x =−
=
Dakle, 064.0t 95.0;8 = .
95.0;8t90;8t80;8t
X
129
6. STATISTIKA
6.1. STATISTIČKE SERIJE I TABELE
Zadatak 1. Dati su podaci o broju pogodaka od ispucanih 20 metaka jedne čete od 50 vojnika.
10 0 11 9 13 6 14 13 4 11 5 14 1 19 11 8 10 15 16 7
12 15 12 6 17 18 9 14 5 1 18 4 15 19 3 20 12 0 10 9 17 19 8 16 12 19 1 18 20 11
a) Grupisati podatke u obliku numeričke serije b) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije. Rešenje: a) Kod grupisanja podataka u obliku numeričke serije prvo se uoči najmanja vrednost obeležja, a zatim se vrednosti slažu po rastućem nizu. Nakon toga se prebrojavaju koliko se puta vrednosti obeležja pojavljuju i te brojke unose u tabelu.
Tabela 1.
Broj pogodaka
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Σ
Broj vojnika (frekvencija)
2 3 0 1 2 2 2 1 2 3 3 4 4 2 3 3 2 2 3 4 2 50
b) Grupisanje podataka u obliku intervalne numeričke serije prethodno zahteva da se odredi broj grupnih intervala kao i širinu tih intervala.
130
Primenićemo Sturgesovo pravilo: Broj grupa za 50 podataka koji variraju od 0 do 20 biće:
Nlog3.31k += 50log3.31k +=
69897.13.31k ⋅+= 60660.6k =
7k ≈ a širina grupnog intervala:
kxx
i minmax −=
20 07
i −=
3i ≈ . Tabela 2. Grupisanje po broju pogodaka.
[0-2] 5 [3-5] 5 [6-8] 5
[9-11] 10 [12-14] 9 [15-17] 7 [18-20] 9
Zadatak 2. Izračunati relativne i kumulativne frekvencije u zadatku 1. Rešenje:
Brojpogodaka
Relativnafrekvencija
Kumulativiispod
Kumulativiiznad
0 0.04 2 501 0.06 5 482 0 5 453 0.02 6 454 0.04 8 44
131
5 0.04 10 426 0.04 12 407 0.02 13 388 0.04 15 379 0.06 18 35
10 0.06 21 3211 0.08 25 2912 0.08 29 2513 0.04 31 2114 0.06 34 1915 0.06 37 1616 0.04 39 1317 0.04 41 1118 0.06 44 919 0.08 48 620 0.04 50 2Σ 1 - -
Zadatak 3: Izračunati relativne i kumulativne frekvencije u procentima za podatke date u zadatku 1. Rešenje:
Broj pogodaka
Relativna frekvencija [%]
Kumulativi ispod [%]
Kumulativi iznad [%]
0 4 4 100 1 6 10 96 2 0 10 90 3 2 12 90 4 4 16 88 5 4 20 84 6 4 24 80 7 2 26 76 8 4 30 74 9 6 36 70
132
10 6 42 64 11 8 50 58 12 8 58 50 13 4 62 42 14 6 68 38 15 6 74 32 16 4 78 26 17 4 82 22 18 6 88 18 19 8 96 12 20 4 100 4 Σ 100 - -
Zadatak 4: Za grupisane podatke iz zadatka jedan dati grafički prikaz u obliku histograma i poligona. Rešenje:
133
6.2. ANALIZA PODATAKA
6.2.1. Srednje vrednosti
6.2.1.1. Aritmetička sredina
Zadatak 5. Visina igrača jednog košarkaškog tima iznosi u centimetrima: 195, 180, 190, 202, 205, 201, 198, 199, 200, 204. Naći prosečnu visinu igrača, odnosno aritmetičku sredinu.
Rešenje: N
xm
N
ii∑
== 1 ; 1
1974N
ii
x=
=∑ ; 10N =
1974 197.4cm
10m = = .
134
Zadatak 6. Prinos jedne vrste pšenice u mc (metričnim centima) po hektaru na šest parcela data je u sledećoj tabeli.
Tabela. Prinos pšenice u mc po ha na šest parcela
Parcela Prinos u mc x I 33 II 38 III 39 IV 40 V 46 VI 44
Da li se može na osnovu datih podataka izračunati prosečan prinos pšenice u mc po hektaru. Rešenje: Zadatak se ne može rešiti na osnovu datih podataka, izuzev u specijalnom slučaju: kada su sve parcele iste površine. Da bi se dalo korektno rešenje, moraju se znazi površine pojedinih parcela. U slučaju da su sve površine iste, nije teško izračunati da je prosečan prinos po hektaru 40mc. Grupisani podaci
Zadatak 7. U jednom ispitnom roku dobijene su sledeće ocene na ispitu iz jednog predmeta:
Ocena ix 6 7 8 9 10
Broj studenata if 12 8 10 6 4 Izračunati prosečnu ocenu iz tog predmeta. Rešenje:
Tabela 21. Radna tabela:
135
Ocena )(x Frekvencija )( f fx
6 12 72 7 8 56 8 10 80 9 6 54
10 4 40
∑ 40 302 Formula za izračunavanje aritmetičke sredine iz grupisanih podataka glasi:
∑
∑
=
== n
1ii
n
1iii
f
fxm
302 7.5540
m = =
Prema tome, prosečna ocena iznosi 7.55.
6.2.1.2. Harmonijska sredina
Zadatak 8. Automobil pređe 150 km brzinom od 60 km/h i vrati se brzinom 50 km/h. Izračunati srednju brzinu kretanja automobila. Rešenje: Srednja brzina kretanja automobila nije 55 km/h, koja se dobija aritmetičkom sredinom:
552
1102
5060==
+=m km/h.
136
Srednja brzina se dobija na sledeći način:
)( )( )( vbrzina
sputtvreme =
Za odlazak: htvreme 5.260
150 1 ==
Za povratak: htvreme 350
150 2 ==
Ukupno vreme: httt 5.535.221 =+=+= Ukupan put: kmkmkmsss 30015015021 =+=+=
Srednja brzina: hkmtsv /54.54
5.5300
=== .
Ova vrednost se dobija preko harmonijske sredine. Formula glasi:
∑=
= N
1i ix1
NH
2 21 1 5 6
60 50 300
H = =++
11600
113002
300112
=⋅
==H
54.54=H
Prema tome, harmonijska sredina 54.54=H je srednja brzina kretanja automobila u km/h.
137
Zadatak 9. Za izradu jedinice proizvoda radnik A utroši 10 minuta, a radnik B – 6 minuta. Izračunati prosečno vreme utrošeno za izradu jedne jedinice proizvoda. Rešenje: Prosečno vreme izrade jedinice proizvoda ne može se izračunati preko aritmetičke sredine, dakle ono nije očigledno 8 minuta jer za jedan sat prvi radnik uradi 6 proizvoda, a drugi radnik uradi 10 proizvoda. Dakle, ova dva radnika za dva sata rada urade 16 jedinica proizvoda, tj. prosečno vreme je 120/16, tj. 7.5 minuta. Ova vrednost se dobija i preko harmonijske sredine istim postupkom kao u prethodnom zadatku.
6.2.1.3. Geometrijska sredina
Zadatak 10. Cena jednog proizvoda je u doba velike inflacije umnožavana mesečno brojevima datim u sledećoj tabeli:
I II III IV V VI VII VIII
2 2.5 3 3.5 4 5 7 13 1) Kolika je cena bila na kraju osmog meseca u odnosu na jednu jedinicu cene na početku prvog meseca? 2) Izračunati prosečni mesečni porast cena. Rešenje: Ako je cena bila jednu jedinicu na početku prvog meseca onda je na kraju očigledno iznosila
95550137545.335.22 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C
138
2) Prosečni mesečni porast cena se očigledno ne može računati po aritmetičkoj progresiji jer bi tada bilo
58
137545.335.22=
+++++++=AC
i tada bi cena iznosila
390625555555555 8 ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ što je mnogo više od stvarne cene! Dakle, stvarni prosek se u ovom slučaju računa pomoću geometrijske sredine, tj.
8 82 2.5 3 3.5 4 5 7 13 95550 95550pC = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = , a ovde rezultat dobijamo običnim korenovanjem i on iznosi približno
1930382.4≅pC .
Zadatak 11. Porast plate jednog radnika je bio u dva povećanja 13% i 25%. Koliko mu je prosečno rasla plata? Rešenje: Prosečno povećanje se računa kao geometrijska sredina
1884864.125.115.1 ≅⋅=G odnosno 18.84864% što je normalno manje od aritmetičke sredine koja je 19%. 6.2.2. Pozicione srednje vrednosti
6.2.2.1. Modus
Zadatak 12: Data je sledeća serija podataka: 10, 7, 8, 13, 8, 17, 19, 12, 12, 10, 11, 12, 10, 15, 12, 12. Odrediti modus.
139
Rešenje: Serija podataka se uredi po veličinama vrednosti obeležja:
7, 8, 8, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 15, 17, 19.
Modus ove serije podataka je ona vrednost obeležja koja se najviše puta pojavljuje a to je 12.
12=oM .
Zadatak 13. Iz sledeće serije podataka odrediti modus:
14, 19, 19, 19, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 27, 29, 30
Rešenje: 19=oM , 23oM = , 25=oM Ovde se radi o polimodalnoj seriji podataka.
6.2.2.2. Medijana
Zadatak 14. Date su dve serije podataka, prva sa neparnim brojem i druga sa parnim brojem podataka. Odrediti medijanu za prvu i drugu seriju.
I serija: 18, 25, 19, 22, 26, 28, 30, 16, 36 II serija: 100, 150, 120, 200, 160, 220
Rešenje: Prvo se serije podataka urede po veličini vrednosti obeležja:
I serija: 16, 18, 19, 22, 25, 26, 28, 30, 36 II serija: 100, 120, 150, 160, 200, 220
Pozicija medijane za I seriju (serija sa neparnim brojem podataka):
140
Ме
Ме
52
192
1=
+=
+N
što znači da je eM (medijana) ove serije vrednost petog člana serije:
16, 18, 19, 22, 25, 26, 28, 30, 36 Prema tome, eM (medijana) prve serije iznosi
eM = 25. Zatim se odredi pozicija medijane sa parnim brojem podataka (II serija podataka)
100, 120, 150, 160, 200, 220
5.327
216
21
==+
=+N
što znači da je medijana ove serije vrednost između trećeg i četvrtog člana serije:
100, 120, 150, 160, 200, 220
155
1552
3102
160150
=
==+
=
e
e
M
M
141
6.2.3. Mere varijacije ili disperzije
6.2.3.1. Razmak varijacije
Zadatak 15. Iz serije podataka odrediti razmak varijacije:
Tabela 32.
x 1 3 5 8 10 11 12 14 15 f 4 4 9 15 11 8 4 2 1
Rešenje: 15 1 14R = − = .
6.2.3.2. Srednje apsolutno odstupanje
Zadatak 16. Zarade deset radnika u toku jednog meseca u 2002. godini (u 000 din) su:
6, 12, 16, 18, 20, 24, 26, 30, 32, 36. Izračunati srednje apsolutno odstupanje. Rešenje: Prvo je potrebno izračunati prosečnu platu radnika, a to je aritmetička sredina i ona u hiljadama iznosi 22m = . Sada za računanje srednjeg apsolutnog odstupanja možemo koristiti sledeću tabelu:
142
x mx − mx − 6 -16 16
12 -10 10 16 -6 6 18 -4 4 20 -2 2 24 2 2 26 4 4 30 8 8 32 10 10 36 14 14 Σ 0 76
Sada je očigledno:
∑=
−=N
ii mx
NSD
1
1
6.776101
=⋅=SD
6.2.3.3. Varijansa i standardna devijacija
Zadatak 17. Dati su podaci u tabeli:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑ fi 100 80 70 60 50 20 10 5 4 1 400
Izračunati: a) varijansu, b) standardnu devijaciju.
143
Rešenje: Za rešavanje zadataka u kojima se koriste obrasci za aritmetičku sredinu i srednje kvadratno odstupanje, veoma je pogodno koristiti tabele za izračunavanje istih. Očigledno je da će u obrascu za aritmetičku sredinu u brojiocu biti suma u trećoj koloni sledeće tabele, a u imeniocu suma u drugoj koloni. U obrascu za srednje kvadratno odstupanje pojaviće se zbir iz pete kolone iste tabele.
Radna tabela
ix if ii fx 2i
x 2i ix f
0 100 0 0 0 1 80 80 1 80 2 70 140 4 280 3 60 180 9 540 4 50 200 16 800 5 20 100 25 500 6 10 60 36 360 7 5 35 49 245 8 4 32 64 256 9 1 9 81 81 ∑ 400 836 3142
a)
9
09
0
836 2.09400
i ii
ii
x fm
f
=
=
= = =∑
∑,
92
2 2 209
0
3142 2.09 3.487400
i ii
ii
x fm
f
=
=
σ = − = − =∑
∑.
b) 2 3.487σ = ,
144
2 3.487σ = σ = ,
867.1=σ Skraćeni postupak I: S obzirom da se lakše računa sa manjim brojevima i ako od svih vrednosti u nekoj seriji oduzmemo isti broj, za tu vrednost se smanjuje i aritmetička sredina, a vrednost srednje kvadratnog odstupanja se praktično ne menja, to skraćeni postupak sprovodimo tako što najčešće oduzimamo vrednost sa najvećom frekvencijom ili neku vrednost blisku njoj. U ovom slučaju smo oduzeli vrednost 1 i došli do sledeće tabele:
Radna tabela
1−ix if ( ) ii fx 1− ( )21−ix ( ) ii fx 21− -1 100 -100 1 100 0 80 0 0 0 1 70 70 1 70 2 60 120 4 240 3 50 150 9 450 4 20 80 16 320 5 10 50 25 250 6 5 30 36 180 7 4 28 49 196 8 1 8 64 64 ∑ 400 436 1870
a) 09.14004361 ==−m
09.209.11 =+=m 22 09.1
4001870
−=σ
487.3188.1675.42 =−=σ b) 487.3=σ
867.1=σ
145
Skraćeni postupak II: U ovom slučaju smo oduzeli vrednost 2, i dobili sledeću tabelu:
Radna tabela
2−ix if ( ) ii fx 2− ( )22−ix ( ) ii fx 22− -2 100 -200 4 400 -1 80 -80 1 80 0 70 0 0 0 1 60 60 1 60 2 50 100 4 200 3 20 60 9 180 4 10 40 16 160 5 5 25 25 125 6 4 24 36 144 7 1 7 49 49 ∑ 400 36 1398
a) 09.0400362 ==−m
09.209.02 =+=m 22 09.0
4001398
−=σ
487.3008.0495.32 =−=σ 487.32 =σ
b) 867.1487.3 ==σ 867.1=σ .
Rezultati dobijeni skraćenim postupcima su očigledno isti, ali sa lakšim računom.
146
6.3. STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE
1. INTERVAL POVERENJA ZA NEPOZNATU VEROVATNOĆU
Zadatak 18. Od 620 komada nekog proizvoda kontrola je ustanovila da je bilo 10 defektnih. Naći 98% interval poverenja za verovatnoću događaja "proizvod je defektan". Rešenje: Kako je 620=n i 10=nS i nivo poverenja je .98,0=β Da rešimo jednačinu
0)2()( 22222 =++−+ nn SpnZnSpnZn ββ
i odredimo interval poverenja za nepoznatu verovatnoću treba odrediti βZ iz uslova
.49000,02
)( ==Φβ
βZ
Posle primene interpolacije (jer ovu vrednost nemamo u tablici) dobijamo
3263,2≅βZ
i uvrstivši ovu vrednost (i ostale) u našu jednačinu dobijamo
00787,01 ≅p i 0327,02 ≅p odakle je traženi interval poverenja
[ ]0327,0;00787,0
147
Zadatak 19. U kojim granicama treba očekivati procenat škarta u nekoj velikoj seriji sa nivoom poverenja 95.0=β ako je u uzorku od 300 komada proizvoda nađeno 3% škarta? Rešenje: Iz tablice III nalazimo 96,1Z =β (ove vrednosti ima u tablici
)47500,0)96,1( =Φ . Određujemo 9100
3300 =⋅=nS i jasno 300=n pa
posle ubicivanja ovih vrednosti u obrascu iz prethodnog zadatka i dobijamo jednačinu
08148,655248,91152 2 =+− pp
odakle dobijamo interval poverenja
[ ]056,0;015,0 .
2, INTERVAL POVERENJE ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE M
U SLUČAJU POZNATE 2σ
Zadatak 20: Ako je iz jedne serije uzet uzorak n = 200 komada i nađeno da je
prosečna težina u uzorku 5,2200 =X kg. ako je pretpostavljena disperzija
.42 =σ Odrediti: a) 98% interval poverenja za težinu proizvoda b) 90% interval poverenja za težinu proizvoda Rešenje:
a) 200=n 49000,0298,0
2===Φ
βzb 5,2200 =X βZ - faktor
poverenja 48983,031,21 ⇒=βZ 49010,033,22 ⇒=βZ
148
x:01,000017,0:00027,0 =
0063,000027,0
01,000017,0=
⋅=x
326,2006,032,2 =+≅βZ
326,2≅βZ ove vrednosti ubacujemo u jednačinu
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−∈
nZX
nZXm σσ
ββ , i dobijamo:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−∈210
2326,25,2;210
2326,25,2m
[ ]14,05,2;14,05,2 +−∈m odnosno [ ]64,2;36,2∈m
b) n = 200 45,029,0
2===Φ
βzb 5,2200 =X
44950,064,11 ⇒=bZ 45053,065,12 ⇒=bZ
0,0002
0,49010
2,332,32
0,48983
0,0001
0,4900X
0,01
149
x:01,00005,0:001,0 =
005,0001,0
01,00005,0=
⋅=x
645,1005,064,1 =+=βZ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−∈210
2645,15,2;210
2645,15,2m
[ ]233,05,2;233,105,2 +−∈m [ ]733,2;267,2∈m
3. INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE M
KADA DISPERZIJA 2σ NIJE POZNATA
Zadatak 21. Iz populacije sa raspodelom ),( 2σmN uzet je uzorak obima n
= 10 i izračunata sredina uzorka 5,5=nX i disperzija .6,3=nS Naći interval poverenja m sa nivoom poverenja a) 90,0=β b) 95,0=β
0,001
0,45053
1,65 1,64
0,44950
0,00017
0,49000
X
0,01
150
Rešenje: a) Prvo odreduimo 1,0;9t iz uzorka
{ } 1,01,0;99 =>= ttP
Iz Tablica V - Studentova raspodela čitamo 833,11,0;9 =t i ove vrednosti ubacujemo u obrazac
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
−−∈ −−−− 1
;1 1;11;1 n
StXnStXm n
nn
n ββ odakle je
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−
−∈110
6,3833,15,5;110
6,3833,15,5m
[ ]3,25,5;3,25,5 +−∈m [ ]8,7;2,3∈m
b) 95,005,0;99 =≤= ttP
,05,005,0;99 =≤= ttP zatim čitamo
262,205,0;9 =t Iz tablice V - Studentova raspodela i iz prethodnog obrasca dobijamo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−∈
36,3262,25,5;
36,3262,25,5m
[ ]71,25,5;71,25,5 +−∈m [ ]21,8;79,2∈m
Zadatak 22. Neka je iz populacije sa normalnom raspodelom ),m(N 2σ , uzet uzorak dat tabelom:
iX 0 1 2 3 4
in 1 4 6 12 2
151
Odrediti interval poverenja za matematičko očekivanje čitave populacije sa nivoom poverenja .95,0=β Rešenje: U našem slučaju imamo
25=n 4,22560
25836124
==+++
=X
96,04,2)2161296441(2511 2222 =−⋅+⋅+⋅+⋅=−= ∑ Xxn
nS iin
976,096,0 ==nS
Iz tablica V - Studentova raspodela nalazimo 064,205.0;24 =t i ako ovu vrednost uvrstimo u obrazac iz prethodnog zadatka imamo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−∈
24976,0064,24,2;
24976,0064,24,2m
[ ]4,04,2;4,04,298,401,24,2;
98,401,24,2 +−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−∈m
[ ]8,2;2∈m
4. INTERVAL POVERENJA ZA NEPOZNATU
DISPERZIJU 2σ
Zadatak 23. Iz uzorka obima 26 populacije koja je normalno raspoređena,
nađene su 2,326 =X .24,02 =S Naći jednostrani i dvostrani interval
poverenja za 2σ za nivo poverenja .90,0=β
Rešenje: a) Jednostrani interval poverenja ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
−2
;1
2
;0βχn
nSnI gde je
24,0,262== nSn i iz tablice za 473,162
9,0;25 =χ
152
pa dobijamo [ ].03789;,0=I b) Dvostrani interval poverenja je dat obrascem
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
+−
−−
2
21;1
2
2
21;1
2
;ββ χχ
n
n
n
n SnSnI
pri tome vrednost 625,3705,0;225
29,01;
225 ==+ χχ odmah očitavamo iz tablice 4,
kao i vrednost 611,1105,0;225
29,01;
225 ==+ χχ
pa posle zamene u prethodnom obrascu dobijamo interval poverenja
[ ].427,0;166,0
6.4. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA
Pirsonov 2χ test
Zadatak 24. Registrovan je broj pred šalterom banke u jednakim razmacima, i predstavljen tabelom.
ix 0 1 2 3 4 5 6 7
in 112 168 130 68 32 5 1 1
Koristeći 2χ test sa nivoom značajnosti α =0,05 ispitati da li je ova raspodela Puasonova.
54.1517
7625128204260168X ≅++++++
==λ−
153
Sada pristupamo određivanju verovatnoća (teorijskih) sa pretpostavkom da je raspodela Puasonova. Ovo možemo raditi koristeći tablicu 1 ili po obrascu
!kep
k
k
λλ −
= ,...2,1,0=k
Ovaj primer je rešen po obrascu:
214381.0!0
54.1ep0
54,10 =⋅= − 050236.0
!454.1ep
454,1
4 =⋅= −
330146.0!1
54.1ep1
54,11 =⋅= − 015471.0
!554.1ep
554,1
5 =⋅= −
254212.0!2
54.1ep2
54,12 =⋅= − 0039.0
!654.1ep
654,1
6 =⋅= −
130415.0!3
54.1ep3
54,13 =⋅= − 002.0)p...pp(1p 6217 =+++−=
Dakle, teorijske vrednosti su :
835.110214381.0517np0 =⋅= 68.170330146.0517np1 =⋅= 43.131254212.0517np2 =⋅= 43.67130415.0517np3 =⋅= 97.25050236.0517np4 =⋅=
99.7015471.0517np5 =⋅= 051.20039.0517np6 =⋅= 05.20039.0517np7 =⋅=
Kada zadnje tri vrednosti grupišemo u jednu (da u grupi ne bude manje od 5 elemenata) i izračunamo odstupanje
154
( )∑ −=
i i
2ii
npnpfC
dobijamo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 994.2075.11
75.110797.25
97.253242.67
42.676843.131
43.13113068.170
68.170168835.110
835.110112C
222
222
≅−
+−
+−
+
+−
+−
+−
=
Kritična vrednost 488.905.0;42
05.0;1162
05.0;1sn2 =χ=χ=χ −−−− se određuje iz
tablice 4. Kako je 2,994<9,448, hipoteza da je raspodela Puasonova se prihvata.
Zadatak 25. Kroz presek puta je u jednakim vremenskim razmacima proticao broj automobila dat tabelom:
α i br. aut 0 1 2 3 4 fi br. interv. 23 34 26 12 5
Koristeći 2χ - test proveriti da li je ova raspodela Puasonova sa pragom značajnosti α =0,01. Rešenje: Pošto nemamo nađemo srednju vrednost date parametre raspodele,
λ =−
X = 4.142.1100142
51226342354123262341230
≈≈=++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
i iz tablice se za Puasonovu raspodelu za λ=1.4 nalazimo verovatnoće
155
0p ≅ 0.2466
1p ≅ 0.3452
2p ≅ 0.2417
3p ≅ 0.1128
4p ≅ 0.0537 i teorijske vrednosti prolaska auta su npi
np0 =24.66 np 1 = 34.52 np 2 =24.17 np 3 =11.28 np 4 =5.37
Odstupanje se računa po obrascu:
C=( )∑
=
=−4
0i i
ii
npnpf
33.002.005.014.001.011.037.5
37.5528.11
28.111217.24
17.242652.34
52.343466.24
66.2323 22222
=++++≅
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Kritična vrednost se dobija iz tablice 4:
05,02
115 ;−−χ = 205,0;3χ =7.815
Kako je 0.33<7.815, hipoteza da je raspodela Puasonova se prihvata.
156
Zadatak 26. Proverite dali su podaci dati tabelom raspoređeni po zakonu normalne raspodele sa pragom značajnosti α =0.05.
Granica intervala
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
Frekvencija 15 75 100 50 20 Rešenje: Za računanje vrednosti parametara normalne raspodele treba uzeti sredine intervala i račun možemo sprovesti prema sledećoj tabeli: Granica intervala
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 sume
x i 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5
Frekvencija 15 75 100 50 20 260
x i. f i 37.5 562.5 1250 875 450 3175
x 2i 6.25 56.25 156.25 306.25 506.25
x 2i
. f i 93.75 4218.25 15625 15312.5 10125 45375
Odakle računamo:
21.12260
3175n
fxX ii ==⋅∑=
−
∑ =−=−⋅=−−
42.2508.149260
45375Xxfn1S ii
2n
04.5Sn =−
Sada računamo teorijske vrednosti verovatnoće i teorijske vrednosti podataka u datim intervalima:
157
[ ]
( ) ( ) 07.042364.05.043.104.5
21.125*x5xp1
=−=∞−φ−−φ=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<<∞−=<<∞−=
np 2.1807.02601 =⋅=
[ ]
( ) ( ) 254.017003.042364.043.144.004.5
21.1210*x04.5
21.12510x5p2
=−=−φ−−φ=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<<−
=<<=
np 6.67254.02602 =⋅=
[ ]
( ) ( ) 375.017003.020884.044.055.004.5
21.1215*x04.5
21.121015x10p3
=+=−φ−+φ=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<<−
=<<=
np 8.98375.02603 =⋅=
[ ]
( ) ( ) 23.0208884.043822.055.054.104.5
21.1220*x04.5
21.121520x15p4
=−=+φ−+φ=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<<−
=<<=
np 8.5423.02604 =⋅=
[ ]
( ) ( ) 06.043822.049430.054.153.204.5
21.1225*x04.5
21.122025x20p5
=−=+φ−+φ=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<<−
=<<=
np 6.1506.02605 =⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
224.424.16.1014.081.056.06.15
6.15208.54
8.54508.98
8.981006.67
6.67752.18
2.1815npnpfC
225
1
22
i
2ii
≈++++=
=−
+−
+−
+∑−
+−−
==ν
Kritična vrednost se očitava iz tablice za 2χ raspodelu (tablica 4)
991,505,0,22
05,0;1252 ==−− χχ
Kako je 4,224<5,991 hipoteza o normalnoj raspodeli se prihvata.
158
Praktikum za
MATLAB
159
VEŽBA 1. ALATI I OSNOVNE FUNKCIJE
1.1. KAKO POČETI RAD U MATLAB –U MATLAB je softverski paket za rešavanje matematičkih problama. Distribuira u komprimovanom formatu na CD-ovima i instaliraju u Windows-ovom okruženju. Kada je program pozvan, pojavljuje se sledeći komandni prozor. U ovom praktikumu koristi se verzija MATLAB 7.
Prvi red predstavlja liniju menija (Menu bar). Linija menija sadrži uobičajene komande. Ako se na ekranu odmah ne pojavi prozor sa slike , dobićemo ga ako izaberemo View-Desktop Layout-Default. Na ekranu mogu se videti i manji prozori:
161
Command window je glavni deo MATLAB-vog interaktivnog sistema. Iz tog prozora pristupamo MATLAB-ovim komandama i funkcijama. U radnom prostoru pojavljuje se znak >> , koji se naziva prompt, pored koga se nalazi kursor, vertikalna trepćuća linija, koja predstavlja spremnost računara da primi naredbu. Kada se u radnom delu otkuca naredba i pritisne taster Enter, naredba se odmah izvršava. Command History window čuva predhodne naredbe koje su bile korišćene u Command window. Launch Pad window je drugi način a se pristupi MATLAB u. Treba kliknuti na ikonu na vrhu prozora.i otvoriće se osnovni program ili toolbox-ovi, prema želji korisnika. Workspace window pokazuje promenljive koje su korišćene tokom rada, odnosno njihovu veličinu i vrstu. Ove informacije mogu biti od velike koristi kasnije u radu. Current Directory window pokazuje korišćene fajlove. 1.2. OPERATORI ZA POMOĆ U RADU Naredbom help obezbeđena je pomoć i informacije tokom rada. To je velika pogodnost za korisnike jer je teško memorisati veliki broj funkcija koje su definisane. Postoji nekoliko verzija ove naredbe. Ako otkucamo help i pritisnemo taster <Enter> na ekranu će se pojaviti spisak oblasti i uputstva za rad, tj. spisak svih opcija koje poseduje MATLAB.
> help HELP topics: matlab\general - General purpose commands. matlab\ops - Operators and special characters. matlab\lang - Programming language constructs.
162
Da bi se dobilo uputstvo za neku posebnu oblast, operator ili funkciju potrebno je uneti naredbu: >> help oblast Otkucati naredbe help i videti šta se dobija na ekranu.
>> help * >> help sqrt Za ilustrovanje mogućnosti MATLAB-a priređeni su uzorci raznih programa, koji se mogu pozvati naredbam demo. Aktiviranjem ovih naredbi otvara se grafički prozor koji pokazuje meni demonstracionih datoteka. 1.3. UNOŠENJE PODATAKA BROJEVI I ARITMETIČKI IZRAZI Osnovni objekat nad kojim se vrše operacije u MATLAB–u je polje brojeva. Ovo polje brojeva može da se tumači kao šema - matrica. Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa 1x1. Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone. MATLAB je jezik izraza. Sačinjen je od konstanti, promenljivih, operatora, specijalnih znakova i funkcija. Operacije i izrazi u MATLAB–u se pišu na uobičajen način, slično kao što se piše u matematici. Rezultat izvršenja izraza je matrica. MATLAB operiše sa realnim i kompleksnim brojevima. Koristi se uobičajena decimalna notacija sa znakom i decimalnom tačkom.
163
MATLAB može da se koristi za izračunavanje jednostavnih matematičkih izraza. Tada on radi slično kalkulatoru. Napomena: MATLAB je veoma strog prema definisanoj sintaksi jezika. Izostavljena zagrada ili zarez mogu da utiču da ceo program ne funkcioniše. Sa druge stane, velika olakšica u radu je što se na ekranu ispisuje vrsta učinjene greške i olakšava se korisniku da se greške isprave.
>> y=sin(x ??? y=sin(x | Error: ")" expected, "end of line" found. MATLABove promenljive mogu imati numeričke ili znakovne vrednosti ( string). Mogućnost manipulacije matematičkim izrazima bez korišćenja brojava može da bude veoma korisna. Znakovni tip podataka unosi se pod jednostrukim apostrofima 'x'. PRIMER 1: Napisati reč student. >> reč='student' reč = student
PRIMER 2: U reči student odrediti broj slova. . >> size(reč) ans = 1 7 U ovom primeru korišćena je naredba size, koja izračunava dimenziju unete promenljive.
164
Napomena: (Odgovor 1 7 označava polje brojeva, odnosno u 1 redu 7 elementa). Imena promenljivih ili funkcija, moraju početi slovom, iza koga može slediti prizvoljan niz simbola, ali se samo prvih 31 karaktera iz imena pamti. MATLAB razlikuje velika i mala slova, tj. x i X su dve različite promenljive. Imena matrica obično se pišu velikim slovima, dok imena skalara i vektora malim slovima. Imena funkcija moraju se pisati malim slovima. 1.4. ARITMETIČKI OPERATORI Aritmetički izrazi se prave korišćenjem uobičajenih aritmeričkih operacija za koje koristimo sledeće simbole:
+ sabiranje
- oduzimanje
* množenje
/ deljenje
^ stepenovanje
PRIMER 3: Izračunati vrednost izraza 2+4-6. >> 2+4-6 ans = 0
165
Iz ovog primera vidimo da MATLAB sam kreira veličinu pod imenom ans (answer-odgovor), ukoliko korisnik sam ne dodelili ime promenljivoj ili vrednosti izraza.
PRIMER 4: Izračunati ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
π1422x .
>> x=2+(2*4-1/pi) x = 9.6817 Broj π je definisan kao stalna veličina MATLAB-a i dovoljno je ukucati slova pi ( a ne vrednost 3.14).
PRIMER 5: Izračunati vrednost izraza 3y x= , ako je 23x = . >> x=3^2; >> y=3*x y = 27 Napomena: Ako ne želimo da se rezultat ili međurezultat odmah prikažu na ekranu, na kraju naredbe unosi se znak ; Na ovaj način se ubrzava rad na računaru, jer se eliminiše ispisivanje velikog broja, često nepotrebnih međurezultata. 1.5. RELACIJSKI OPERATORI Relacijski operatori su binarni operatori i koriste se za poređenje izraza. Rezultat poređenja je je tačno ( true ) u oznaci 1 ili netačno ( false ) u oznaci 0 .
166
< manje od
≤ manje ili jednako od
> veće od
≥ veće ili jednako od
= = jednako
=∼ nejednako
PRIMER 6: Ispitati istinitosnu vrednost izraza 5 3< . >> 5<3 ans = 0 Napomena: Često se greši tako što se operator = = pogrešno zamenjuje sa = PRIMER 7: Izračunati vrednost izraza: >> 5<(7= =8) ans 0 Zamenimo sada = = sа = >> 5<(7=8) ??? 5<(7=8) | Error: ")" expected, "=" found. U prvom primeru 7 8= = ima istinutosnu vrednost pogrešno, tj 0 i zato je 5 0< , što daje kao rezultat 0.
167
U drugom primeru greška se javlja zato što = predstavlja samo operaciju pridruživanja, a ne računanja vrednosti koja ima neku istinitosnu vrednost. 1.6. LOGIČKI OPERATORI
∼ i
& ili
| ne
Tablica vrednosti za logičke operacije
p q p p&q p|q 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0
Napomena: MATLAB tretira svaki ne nulti broj kao tačan i nulu kao netačan. >> ~4 ans = 0 1.7. KOMPLEKSNI BROJEVI Imaginarna jedinica je definisana kao stalna veličina. Koristi se uobičajena
definicija 1−=i ili 1−=j . >> i=sqrt(-1) i = 0 + 1.0000i
168
Kompleksni brojevi se definšu kao zbir z x iy= + gde je x realni , a y imaginarni deo kompleksnog broja. PRIMER 8: Napisati broj 2 3z i= + . >> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i Moduo, argument, realni i imaginarni deo i konjugovano kompleksni broj dobijaju se korišćenjem naredbi abs, angle, real, imag, conj. 1.8. OSNOVNE FUNKCIJE Funkcije se pozivaju tako što se iza imena funkcije u maloj zagradi navede argument funkcije. Elementarne funkcije ugrađene u MATLAB su:
abs apsolutna vrednost
sqrt kvadratni koren
sin sinus
cos kosinus
tan tangens
cot kotangens
exp eksponencijalna funkcija osnove e
log logaritam osnove e
log10 logaritam osnove 10
169
PRIMER 9: Izračunati 4
sin π .
>> sin(pi/4) ans = 0.7071
PRIMER 10: Za 5x = i 59y = izračunati vrednost izraza lnz y x= + . > x=5; >> y=59; >> z=log(y)+sqrt(x) z=6.0775 Primetimo da vrednosti promenljivih x i y nisu prikazane na ekranu, jer se iza promenljivih nalazio znak ;
PRIMER 11: Izračunati vrednost izraza logz x y= + , za vrednosti x i y zadatih u predhodnom primeru.
>> % Komentar: x i y su vrednosti promenljivih iz predhodnog primera >> z=log10(x)+abs(y) z = 59.6990 Napomena: Treba imati u vidu da MATLAB pamti predhodno unete veličine pa ih nije potrebno ponovo definisati ako nam kasnije trebaju u radu. Napomena: Oznaka % koristi se za pisanje komentara.
170
1.9. OSNOVNE KONSTANTE U MATLAB - U
ans vrednost izraza kada nije pridružen promenljivoj i , j imaginarna jedinica 1− pi π =3.14159265.....
Inf ∞ , ili rezultat 1/0 (infinity) NaN Nije broj, ili rezultat 0/0 –(Not a Number)
Napomena: Prednost rada u MATLAB-u je što deljenje nulom ne dovodi do prekida programa ili greške. Ispisuje se poruka upozorenja i specijalna veličina se ponaša korektno u kasnijim izračunavanjima. 1.10. IZLAZNI FORMAT Izlazni oblik prikazivanja rezultata može se kontrolisati naredbom format. Ova komanda utiče samo na prikaz na ekranu, a ne na to kako se šta izračunava ili smešta u memoriju. Postoje različiti izlazni formati: format long, format long e, format short, format short e, format rat. Ako nije definisan neki drugi format automatski se koristi format short, tj.standardni format sa 5 značajnih cifara. PRIMER 12: Broj π prikazati koristeći različite oblike naredbe format. >> format short, pi ans = 3.1416 >> format long, pi ans = 3.14159265358979 >> format long e, pi
171
ans =3.141592653589793e+000 >> format short e, pi ans = 3.1416e+000 >> format rat, pi ans = 355/113 Napomena: Sledeći broj sa kojim budemo radili biće automatski u formatu koji smo poslednji koristili. Da bi se vratili u uobičajeni, format short, dovoljno je otkucati samo naredbu format. 1.11. BRISANJE I ČUVANJE PODATAKA
clear briše podatke iz radne memorije
clear x briše se promenljiva x
save čuva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebu
save ime pamti sve veličine iz radnog prostora pod zadatim imenom
quit , exit ostvaruje se prekid programa
load predstvlja obrnutu naredbu od save
172
VEŽBA:
1. Izračunati vrednost izraza ( )12
3 212,32 12 2 2 12
⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
2. Utvrditi šta je veće πe ili eπ ?
3. Izračunati vrednost izraza A , ako je( )
( )
212 1
xA
x x x+
=− −
, ako je 1,2x = .
4. Izračunati vrednost izraza log32
2 sin3π
−.
5. Kao znakovnu promeljivu uneti svoje ime i prezime i odrediti broj slova u njemu.
6. Korišćenjem različitih izlaznih formata ispisati broj 2 .
173
VEŽBA 2. MATRICE I DETERMINANTE
2.1. MATRICE I VEKTORI Matrica je šema brojeva koje se definiše sa dva indeksa m i n, gde prvi indeks m označava broj vrsta, a drugi n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ] ograničavaju listu elemenata. U okviru liste, elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom. Taster Enter ili ; se koriste za odvajanje vrsta matrice.
PRIMER 1: Uneti matricu ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
247586421
A .
>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Druga mogućnost upisa je da se razmak između elemenata zameni zarezom. >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti način.
174
Ako su vrednosti elemenata ekvidistantne (sa istim korakom) koristi se simbol : . PRIMER 2: Uneti vektor x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10; x x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Naredba length izračunava dužinu vektora. >> length(x) ans = 10 Ako želimo proizvoljan korak, a ne 1, kao u predhodnom primeru, koristimo naredbu h=a:k:b, gde su a i b početna i krajnja vrednost, a k je korak. Kod matrica sa kompleksnim elementima možemo da koristimo dva načina unošenja podataka, tako što posebno unosimo realni i imaginarni deo ili broj kao celinu. Element matrice A koji se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone može se dobiti primenom naredbe A(i,j).
PRIMER 3: Iz matrice ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−=
654132321
A izdvojiti element koji se nalazi
u preseku druge vrste i treće kolone.
175
>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ; >> A(2 , 3) ans = 1 Ako želimo da izdvojimo vrstu koristimo komandu A(k,:) ili kolonu komandu A(:,k), gde k predstavlja traženu vrstu, odnosno kolonu. Dimenzije matrice određuju se naredbama size(A) ili [m,n]=size(A). PRIMER 4: Odrediti dimenzije date matrice A, koristeći naredbu size.
>> size(A) ans = 3 3
PRIMER 5: Odrediti dimenzije matrice A koristeći naredbu [m,n]=size(A).
>> [m, n]=size(A) m = 3 n = 3
2.2. MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURA Naredba eye definiše jediničnu matricu .
Naredba Opis
eye(n) Jedinična matrica dimenzija nxn
eye(m,n) Jedinična matrica dimenzija mxn
eye(size(A)) Jedinična matrica dimenzija date matrice A
176
PRIMER 6: Napisati matricu sa dve vrste i tri kolone čiji su elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a svi ostali elementi su jednaki 0. >> X=eye(2,3) X = 1 0 0 0 1 0 PRIMER 7: Odrediti jediničnu matricu istih dimenzije kao data matrice A . >> X=eye(size(A)) X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naredba ones definiše matricu čiji su svi elementi jedinice
Naredba Opis
ones(n) Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi jedinice
ones(m,n) Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi jedinice
ones(size(A)) Matrica dimenzije date matrice A čiji su svi elementi jedinice
177
PRIMER 8: Formirati kvadratnu matricu drugog reda čiji su svi elementi jednaki 1. >> X=ones(2) X = 1 1 1 1 Naredba zeros definiše matricu čiji su svi elementi nule
Naredba Opis
zeros(n) Matrica dimenzije nxn čiji su svi elementi nule
zeros(m,n) Matrica dimenzije mxn čiji su svi elementi nule
zeros(size(A)) Matrica dimenzija date matrice A čiji su svi elementi nule
PRIMER 9: Formirati matricu dimenzija 2 3× čiji su svi elementi jednaki 0. >> X=zeros(2,3) X = 0 0 0 0 0 0 Naredbom diag(A) dobijamo dijagonalnu matricu date matrice A.
178
PRIMER 10: Uočiti osobine matrica dobijenih korišćenjem naredbe diag. >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A)) A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 X2 = 1 0 0 0 -3 0 0 0 -6 2.3. OPERACIJE SA MATRICAMA SABIRANJE I ODUZIMANJE MATRICA
Zbir ili razlika, matrica { },m n i jA a× = i { },m n i jB b× = je nova matrica
{ },m n i jC c× = čiji su elementi ij ij ijc a b= ± . Napomena: Sabiranje i oduzimanje matrica vrši se tako što se sabiraju, odnosno oduzimaju odgovarajući elementi matrica.
PRIMER 11: Sabrati datu matricu A i matricu 2 3 41 1 13 2 1
B−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
179
>> A , B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] ; C=A+B A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 C = 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7 Sabiranje i oduzimanje je izvodljivo i u slučaju da je jedan činilac skalar. Takav izraz MATLAB tumači tako što svakom elementu matrice dodaje ili od njega oduzima naznačeni skalar. PRIMER 12 : Od date matrice A oduzeti skalar 1. >>A, D=A-1 A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 D = 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7
Napomena: Skalar 1 automatski se shvata kao matrica istih dimenzija kao što je matrica A, čiji su svi elementi jednaki 1.
180
MNOŽENJE MATRICA
Proizvod matrice { },m n i jA a× = i skalara k je nova matrica { },m n i jC c× = , čiji
su elementi ij ijc k a= ⋅ .
Napomena: Množenje matrice skalarom se vrši tako što svaki element te matrice pomnoži vrednošću datog skalara. Treba imati u vidu da važi zakon komutacije tj. kA Ak= . PRIMER 13 : Ako je 5k = , odrediti matricu 5F A= . >> A , F=5*A A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30
Množenje dve matrice: Proizvod matrica { },m r i jA a× = i { },r n i jB b× = je
nova matrica { },m n i jC c× = ) čiji su elementi , ,1
r
ij i k k jk
c a b=
= ∑ .
PRIMER 14: Pomnožiti matrice A i 1
1 22 31 6
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
181
>> A; A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] ; P=A*A1 P= 8 14 -3 19 -20 -29
PRIMER 15: Pomnožiti matrice 1A i A . >> A1*A ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Napomena: Kao što smo već istakli MATLAB daje opis svih grešaka koje smo načinili tokom rada i u ovom primeru podseća da kod množenja matrica mora da se vodi računa o njihovim dimenzijama. OPERACIJE NAD POLJEM BROJEVA Operatori nad poljem brojeva se razlikuju od operatora nad matricama. U zapisu sadrže decimalni tačku ispred operatora. Kada je u pitanju sabiranje i oduzimanje, razlike nema, pa se i ne koriste simboli .+ i . - . Kod ostalih operacija, napr množenja, razlika je što se operacije nad poljem brojeva obavljaju član po član, što ne mora da bude slučaj sa operacijama sa matricama. PRIMER 16: Uočiti razliku između množenja * i .* >> A ; C=[-2 4 0 ; 4 -6 –4 ; 0 -4 -12] ; >> A*C
182
ans = 6 -20 -44 -16 22 0 -12 38 92 >> A .*C ans = -2 8 0 8 18 -4 0 20 72 TRANSPONOVANJE MATRICA Transponovanje matrica je zamena vrsta i kolona. Vrši se pomoću operatora ' . PRIMER 17 : Transponovati datu matricu A. >> A , E=A' A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E = 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6
2.4. DETERMINANTA MATRICE
183
Determinanta kvadratne matrice je broj koji se u MATLAB-u izračunava pomoću operatora det. PRIMER 18 : Izračunti determinantu matrice A. >> A , D=det(A) A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 D= -27
2.5. INVERZNA MATRICA
Inverzna matrica matrice A definiše se kao adjAA
A)det(
11 =− .
U MATLAB- u inverzna matrica 1−A određuje se pomoću operatora inv(A). PRIMER 19 : Naći inverznu matricu date matrice A. >> A ; I=inv(A) I = -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593 PRIMER 20 : Izračunati inverznu matricu singularne matrice (determinanta
jednaka nuli) 1 2 34 5 67 8 9
S⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
184
>> S=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] >>det(A)=0 0 >> inv(S) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
2.6. “DELJENJE“ MATRICA U matričnom računu operacija deljenja nije definisana, ali u MATLAB- u , postoje dva operatora deljenja: \ označava “deljenje” sa leva, a / označava “deljenje” sa desna Neka je A kvadratna regularna matrica.
1\ *A B A B−= 1/ *A B B A−= Rezultati se dobijaju direktno, bez računanja inverzne matrice. PRIMER 21: U sledećem primeru možemo uočiti razliku između operatora “deljenja” sa leva \ i sa desna /. >> A ; B ; K=A\B , K1=A/B K = -2.8148 -3.4815 3.9259 -1.3704 -1.0370 1.1481 2.5185 2.8519 -3.4074 K1 = -2.2000 -3.0000 2.8000 0.9000 3.5000 -1.1000 4.6000 6.0000 -6.4000
DELJENJE POLJA BROJEVA
185
Za deljenje polja brojeva koristi se simbol . / gde tačka izpred oznake za deljenje ukazuje da se operacija vrši element po element. elementima. C=A./B podrazumeva sledeći postupak: c(i,j) = a(i,j) / b(i,j), gde su a(i,j), b(i,j) elementi matrica A, B. Na identičan način se definiše deljenje A.\B. PRIMER 22: U sledećem primeru možemo uočiti razliku između A./B i A.\B >> A./B ans = 0.5000 0.6667 -0.7500 2.0000 3.0000 1.0000 -1.3333 -2.5000 -6.0000 >> A.\B ans = 2.0000 1.5000 -1.3333 0.5000 0.3333 1.0000 -0.7500 -0.4000 -0.1667
Napomena: Izraz X=A\B (X= 1−A B) predstavlja rešenje jednačine AX=B, a
izraz X=A/B (X=B 1−A ), predstavlja rešenje jednačine XA=B. PRIMER 23: Rešiti matričnu jednačinu AX=B gde su date matrice
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−=
654132321
A i ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
221
B . (Uputstvo: 1AX B X A B−= ⇔ = )
>> A ; B ; X=inv(A)*B X = 0.1852
186
-0.3704 0.5185 ili >> X=A\B X = 0.1852 -0.3704 0.5185 PRIMER 24: Podeliti matricu A skalarom 2, sa leva i sa desna. >> A\2 ??? Error using ==> \ Matrix dimensions must agree. >> A/2 ans = 0.5000 1.0000 1.5000 1.0000 -1.5000 0.5000 -2.0000 -2.5000 -3.0000
VEŽBA:
1. Koristeći datu matricu A odrediti: a) član na mestu (3,1), b) drugu vrstu matrice A,
c) determinantu matrice 2A ,
d) transponovanu matricu matrice 1−A .
187
2. Izračunati ( )2 1
4 det
TA A
A
−+
+ koristeći datu matricu A .
3. Ako je ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1230
B izračunati 2 2B B I− + .
4. Rešiti matričnu jednačinu CXBA =2 (na dva načina), ako je:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0121
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1230
B , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
118178
C .
5. Dati su elementi , , 2eπ . Formirati matricu 3x3, čiju prvu vrstu čine dati
brojevi, drugu vrstu njihovi logaritmi, a treću vrstu kvadratni koreni datih brojeva.
188
VEŽBA 3. GRAFIKA
MATLAB poseduje velike mogućnosti grafičkog predstavljanja. U ovoj vežbi biće obrađene neke najosnovnije narebe za crtanje dvodimenzionalnih grafika.
3.1. GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE
Najjednostavniji način za grafičko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama, je korišćenjem naredbe plot(x). Prilikom crtanja otvara se grafički prozor za koji važe ista pravila kao kod Windows prozora. PRIMER1 1: Nacrtati vektor (1,2,4,8,16)x = . >> x=[1,2,4,8,16];plot(x)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Iz ovog primera možemo videti da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo redni broj elementa, a njihove slike su vrednosti vektora
x , tj. tačke nacrtanog grafika imaju koordinate ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 2, 2 , 3, 4 , 4,6 ....
189
U opštem slučaju naredba plot(x) crta grafik spajajući tačke (i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, gde je N dužina vektora. Nezavisno promenljiva može biti zadata kao vektor. U tom slučaju se koristi naredba plot(x,y). Slika je izlomljena kriva linija koja se dobija spajanjem tačaka sa odgovarajućim koordinatama. PRIMER 2: Nacrtati vektor zadat koordinatama (1,2,4,8,16)x = i
( 1,2, 4,8,16)y = − − . >> x=[1,2,4,8,16]; y=[-1,2,-4,8,16]; plot(x,y)
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Naredba plot(a:k:b) se koristi i za crtanje funkcija jedne promenljive u zadatom opsegu (a,b) i sa zadatim korakom k.
190
PRIMER 3: Nacrtati funkciju 2 xy e= u domenu [ ]1,1x∈ − sa korakom 0.1 . >> x=-1:.1:1; y=2*exp(x); plot(x,y)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
PRIMER 4: U istom koordinatnom sistemu nacrtati funkcije xy 2= i
2 xy e= , u domenu [ ]1,1x∈ − sa korakom 0.1 >> x=-1:.1:1; y1=2*x ;y2=2*exp(x); plot(x,y1,x,y2)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
191
Za izbor vrste i oblika linija koristi se naredba plot(x,y,'vrsta linije').
Simbol linije
Opis
. Tačka
o Krug
h h-znak
+ Plus
* Zvazda
- Puna linija
-. Tačka – crta
: Tačkasta
-- Isprekidana linija
Simbol boje
Boja
y Žuta
m Ljubičasta
s Cijan
r Crvena
g Zelena
b Plava
k Crna
w Bela
192
PRIMER 5: U predhodnom primeru uvedimo oznake za vrstu i boju linije. >> x=-1:.1:1;y1=2*x; y2=2*exp(x); >> plot(x1,y1,'g',x2,y2,'m+')
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Za crtanje grafika funkcija možemo da koristimo naredbu fplot(f,xmin,xmax).
Funkcija koju crtamo ima oblik ( )f x , gde je x vektor čiji je prvi element xmin, a poslednji element xmax. U naredbi fplot funkcija se piše pod navodnicima ' f '.
PRIMER 6: Nacrtati funkciju 92 −= xy u domenu [ ]3,3x∈ − . >> y='x^2-9'; fplot(y,[-3,3])
-3 -2 -1 0 1 2 3-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
193
3.2. OZNAČAVANJE GRAFIKA I OSA
MATLAB nudi mogućnosti označavanja osa, pisanja različitog teksta i razne druge mogućnosti.
Oznaka Opis
title naziv grafika
xlabel naziv x ose
ylabel naziv y ose
text naziv teksta na grafiku
gtext tekst na poziciji označenoj mišem
grid crtanje linija mreže
Tekst u predhodnim naredbama piše se u zagradi pod navodnicima. Naredba hold on zadržava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off . U naredbi gtext korisnik naknadno sam određuje mišem mesto na koje želi da smesti tekst.
PRIMER 9: Nacrtati funkciju siny x= na domenu [ ]2 , 2x π π∈ − i koristeći naredbe iz tabele obeležiti sliku. >> y='sin(x)';fplot(y,[-2*pi,2*pi]) >> hold on >> grid >> title('sinusna funkcija') >> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa') >> gtext('max')
194
-6 -4 -2 0 2 4 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1sinusna funkcija
x osa
y os
amax
Naredba subplot(m, n, p) formira više grafika na ekranu. Ekran se deli na m n× delova, a grafik se crta u p -tom delu ekrana. PRIMER 11: Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije:
[ ]1,1y x x= ∈ − , [ ]0,1xy xe x= ∈ , [ ]2 2, 2y x x= ∈ − ,
[ ]cos ,y x x π π= ∈ − . >> x1=-1:1:1; y1=x1; >> x2=0:0.5:1; y2=x2.*exp(x2); >> x3=-2:.1:2; y3=x3.^2; >> x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4); >> subplot(2,2,1),plot(x1,y1) >> subplot(2,2,2),plot(x2,y2) >> subplot(2,2,3),plot(x3,y3) >> subplot(2,2,4),plot(x4,y4)
195
-4 -2 0 2 4-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.5 10
1
2
3
-2 -1 0 1 20
1
2
3
4
3.3. SKALIRANJE OSA
Ose x i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i maksimalne vrednosti koordinata.
Oznaka Opis
axis('equal') Provera se da li je priraštaj po osama isti
axis(xmin,xmax,ymin,ymax) Zadaju se granice u kojima će biti nacrtan grafik
axis('normal') Vraćanje na prvobitne dimnezije grafika
axis('axis') Vraćanje na prvobitno skaliranje
axis Dobija se informacija o trenutnim dimenzijama
PRIMER 12: Nacrtati funkciju siny x= za -2 2xπ π≤ ≤ , , a zatim postaviti da opseg po x osi bude - xπ π≤ ≤ , a po y osi bude 2,2− .
196
>> x=-2*pi:pi/16:2*pi; y=sin(x);plot(x,y),grid
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
>> axis([-pi,pi,-2,2])
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
VEŽBA:
1. Nacrtati vector zadat koordinatama ( )1,0, 1, 2x = − i ( )2,3, 2,3y u opsegu od 0,2π .
2. Nacrtati siny x= i cosy x= u opsegu od 0, 2π , korišćenjem naredbe plot.
3. Nacrtati funkciju 2 5 6y x x= − + u proizvoljnom opsegu i opisati je tekstom.
4. Data je funkcija troškova 22 20 900y x x= + + . Odrediti proizvosnju za koju su prosečni troškovi jednaki graničnom.
5. Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1,6ny x n= ∈ .
197
VEŽBA 4. UPRAVLJANJE TOKOM PROGRAMA
Računarski program je niz naredbi. Kada je program jednostavan naredbe se izvršavaju jedna za drugom, po redosledu kako su napisane. Međutim, postoje složeni programi kada se naredbe ne moraju tako izvršavati. MATLAB ima više naredbi koje omogućavju korisniku da upravlja tokom programa. To su: if, for, while, else, break, error, while... Uslovni iskaz je naredba koja omogućava MATLABu da se odluči da li će izvršiti grupu naredbi koje slede ili će ih preskočiti. U uslovnom izrazu mora se zadati uslov.
4.1. USLOVNI IZRAZ : IF
Naredba if se koristi za uslovno izvršavanje programa. Oblik petlje je: if izraz naredbe end ili if izraz naredba 1 else naredba 2 end
198
ili if izraz 1 naredba 1 elseif izraz 2 naredba 2 else naredba 3 end Ako uslovni izraz u iskazu ima vrednost tačno - true (1), program izvršava komande koje neposredno slede sve do komande end. Ako je uslovni izraz netačan – false (0 ) , program preskače grupu komandi između if i end i nastavlja da izvršava komande iza end. Vrednost nezavisno promenljive može da se unese i korišćenjem naredbe input(‘tekst’). >> x=input ('unesi promenljivu x='); >> y=input ('unesi promenljivu y='); Za ispisivanje izlaznih rezultata koristi se naredba disp(‘tekst’). PRIMER 1: Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 na izlazu ispisati 'zabranjen alkohol', a u suprotnom izaći iz programa.
199
start
Unesi godine
Ako sugodine
manje od21
Nema alkohola
крај
>> godine=input('god'); god12 >> if godine <21 disp('zabranjen alkohol') end zabranjen alkohol >> godine=input('god'); god33 >> if godine <21 disp('zabranjen alkohol') end U prvom slučaju uneti broj godina je bio manji od 21, pa smo na ekranu dobili ispis zabranjen alkohol. U drugom slučaju je bio veći od 21 i na ekranu nije bilo ispisa.
200
PRIMER 2: Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', a u suprotnom ispisati 'dozvoljen alkohol'.
>> godine =input ('godine su:'); godine su:12 >> if godine <21 disp( 'zabranjen alkohol' ) else disp( 'dozvoljen alkohol' ) end PRIMER 3: Za unapred zadatu vrednost promenljive x izračunati vrednost izraza y , tako da, ako je 2x < sledi da je 2y x= − , za 2x = je 2y = , inače je 2y x= . > x=input('x=') x=4 x =
201
4 >> if x<2 y=-2*x; elseif x= =2 y=2; else y=2*x; disp(y) end 8
Napomena: Treba obratiti pažnju da u izrazu x= =2 koristi se oznaka = = , a ne =, zato što se u ovom izrazu koristi logički oprator za upoređivanje veličina.
4.2. USLOVNI IZRAZ: FOR- PETLJA
for petlja omogućava ponavljanje dela programa zadati broj puta. Završava se komandom end.
Oblik petlje: for promenljiva=izraz naredbe end
PRIMER 4: Za sve vrednosti promenljive { }1, 2,3, 4,5x∈ izračunati vrednost funkcije sin 2y x= .
202
>> for x=1:5 y (x)=sin(2*x); end >> y y= 0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440 PRIMER 5 : Napisati matricu A čiji se elementi izračunavaju po zakonu
( ) 1,2 2
a i ji j
=+ −
, a koja ima 4 vrste i 3 kolone.
>> for i=1:4 for j=1:3 A(i,j)=1/(2*i+j-2); end
203
end >> A A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1429 0.1250 0.1111 U ovom primeru korišćena je dupla for petlja.
4.3. USLOVNI IZRAZ: WHILE- PETLJA
While petlja koristi se za ponavljanje skupa naredbi dokle god je neku uslov tačan i kada nije poznat broj prolaza kroz petlju unapred. Uslov je obično neko poređenje u kome se koriste relacijski logički operatori. Oblik petlje:
while izraz naredbe end
PRIMER 6: Izračunavati vrednosti promenljive x , po zakonu 2x x= , dogod je 15x ≤ . >> x=1; >> while x <=15 x=2*x; end >> x x = 16
204
Kako funkcioniše nareba, preciznije se može videti, ako prikažemo sve među-rezultate promenljive x. >> x=1 >> while x <=15 x=2*x end x = 1 x = 2 x = 4 x = 8 x = 16
Deo programa između while i end izvršava se sve dok je izraz koji sledi posle while istinit.
PRIMER 7: Izračunati zbir reda ( )
21
1 1 1 114 9 16
n
ns
n
∞
=
−= = − + − + −∑ … sa
tačnošću 410− . >> s=0; >> n=1; >> while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4) s=s+(-1)^n/n^2; n=n+1; end >> s s =
205
-0.8225 VEŽBA: 1. Formirati matricu dimenzija 5x5 čiji su elementi jijia 2),( += . 2. Za unete godine starosti u zavisnosti da li je taj broj manji od 21 ispisati
na izlazu 'zabranjen alkohol', ako je broj godina veći od 65 ispisati 'alkohol zabranjen iz zdravstvenih razloga', inače, ispisati 'dozvoljeno piti umereno'.
3. Izračunati 5! koristeći petlje.
206
VEŽBA 5. M – FAJLOVI (DATOTEKE)
Svi dosadašnji primeri bili su izvršavani u komandnom prozoru. Nedostatak ovakvog načina rada je gubljenje unetih podataka i svih dobijenih rezultata nakon završetka rada u MATLAB-u. Zato se nameće potreba za formiranjem fajlova u koje se mogu smestiti programi, numerički rezultati, grafici, strukture, itd., a koji će ostati trajno sačuvani i po potrebi biti pozivani od strane korisnika. Komande se upišu u fajlove, snime i zatim pokrenu. Pokretanjem takvog fajla komande se izvršavaju redom kojim su navedene. M fajlovi su specifičnost MATLAB-a. To su fajlovi koji sadrže tekst u ASCII kodu i u imenu imaju ekstenziju .m. Postoje dve vrste M fajlova: komandni (script) i funkcijski (function).
5.1. KOMANDNI ILI SKRIPT FAJLOVI
Komandni ili skript fajl predstavlja niz MATLAB-ovih komandi snimljenih kao zaseban program, koje se izvršavaju kada se fajl pozove. Formiranje fajlova vrši se korišćenjem editora teksta koji se u MATLAB programskom paketu pokreće tako što se iz menija File komandnog prozora bira komanda New, a zatim opcija M-file. Tada se otvara nov prozor za pisanje programa. Komande se pišu red po red. MATLAB automatski dodeljuje broj novom redu kada se pritisne taster Enter. Skript fajl mora biti snimljen da bi se mogao pokrenuti. To se radi naredbom Save As iz menija File, posle čega bira se mesto gde će se snimiti fajl i ime pod kojim se snima. Pravila za imena su ista kao i za imena promenljivih (počinju slovom, mogu sadržati cifre i imaju najviše 63 znaka). Imena skript fajlova ne mogu biti imena MATLAB-ovih komandi ili imena promenljivih koje definišete. Fajl se poziva ukucavanjem njegovog imena u komandnoj liniji.
207
Program se izvršava ukucavanjem imena fajla bez ekstenzije i pritiskom na taster Enter.
PRIMER 1: Napisati fajl za određivanje zbira kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i sačuvati fajl pod imenom zbir. Prvo je potrebno iz menija File komandnog prozora izabrati komandu New, a zatim opciju M-file. U novootvorenom prozoru ukucati program za izračunavanje traženog zbira. % ime ovog m fajla je zbir x=1:10; x=[x.^2]; z=sum(x) Fajl mora da se snimi naredbom Save As iz menija File. U ovom primeru snima se pod imenom zbir.
208
Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati reč zbir, pod kojim smo upamtili ovaj fajl i pritisnuti taster Enter. Kao rezultat dobijamo: z = 385
Napomena: Ukoliko želimo da promenimo vrednosti u fajlu, moramo ga otvoriti, promeniti željene vrednosti i ponovo sminiti ovako izmenjeni fajl. PRIMER 2: Izmeniti fajl pod imenom zbir. tako da je broj sabiraka bude proizvoljan. Vrednost promenljive uneti naredbom input. x=input('unesi broj zeljenih sabiraka ') x=[x.^2]; S=sum(x) Svaki put kada nam je potreban zbir kvadrata proizvoljno mnogo brojeva, dovoljno je samo otkucati reč zbir, pod kojom smo upamtili ovaj fajl i uneti broj željenih sabiraka. >> zbir unesi broj zeljenih sabiraka 33 x = 33 S = 1089
209
5.2. FUNKCIJSKI FAJLOVI
Funkcijski fajl omogućava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije. Funkcijski fajlovi se pišu i uređuju isto kao i skript fajlovi. Osnovna osobina funkcijskog fajla je da ima ulaz i izlaz. Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadrže naredbu function . Naredba je oblika: function [ izlazni argumenti y1, y2,…] = ime funkcije (ulazni argumenti x1, x2,…) function ime funkcije (x1, x2,…) function [y1, y2,…] = ime funkcije Posle ovoga izraza sledi niz MATLAB - ovih komandi i izraza. PRIMER 3: Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija
( ) sinxf x e x= + i zapamtimo ga pod imenom fi. % funkcijski fajl % ime nove funkcije je fi function y=fi(x) y=exp(x)+sin(x);
210
Ako želimo da izračunamo vrednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo
funkciju fi i definišemo vrednost promenljive, na primer 2
x π= .
>> fi(pi/2) ans = 5.8105
PRIMER 4: Formirati funkcijski fajl u kome se definiše nova funkcija
( ) sinxf x e x= + pod imenom fa, a da se vrednost nezavisno promenljive unesi korišćenjem naredbe input % ime nove funkcije je fa function y=fa x=input('unesi promenljivu x= ') y=exp(x)+sin(x); Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobićemo odgovor: >> fa unesi promenljivu x=3 x = 3 ans = 20.2267
211
PRIMER 5: Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se određuje broj slova u nekom imenu. % funkcijski fajl ime kojim se odredjuje broj slova u imenu function br(x) x=input('unesi svoje ime:','s') % oznaka s u naredbi oznacava da se unose stringovi n=length(x); disp(['broj slova u imenu je',num2str(n)]) >> ime unesi svoje ime: ivana x = ivana broj slova u imenu je 5 U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, čija je prva komponenta znak (string), a druga koja je kao rezultat programa je broj koji mora da se naredbom num2str prebaci u znak (string) PRIMER 6: Formirati funkcijski fajl pod imenom element, za
izračunavanje elemenata matrice dimentija n m× , gde je ( )sin 2ija ij i= −
za i j= , a ( ) 1sin 22ija ij i= − + za i j≠ .
212
% izračunavanje elemenata matrice function a=element(i,j) if i= =j a=sin(2*i*j-i); else a=sin(2*i*j-i)+0.5; end Ako želimo da odredimo bilo koji element naše matrice, na primer element (2,3), pozvaćemo formirani fajl pod imenom element: >> element(2,3) ans = -0.0440 Koristeći formirane fajlove možemo formirati nove funkcijske fajlove. PRIMER 7 : Formirati funkcijski fajl pod imenom matrica, za definisanje matrice prizvoljnog reda n m× , čiji su elementi dati funkcijskim fajlom pod imenom element. % formiranje matrice ciji su elementi % sinusne funkcije iz fajla pod imenom element % ime novog fajla je matrica function A=matrica(m,n) for i=1:m for j=1:n
213
A(i,j)=element(i,j); end,end Ako želimo da definišemo neku određenu matricu na primer matricu sa 2 vrste i 3 kolone možemo postupiti na sledeći način: >> matrica(2,3) ans = 0.8415 0.6411 -0.4589 1.4093 -0.2794 -0.0440 VEŽBA:
1. Napraviri skript fajl za crtanje funkcije 2
11
yx
=+
, na intervalu ( )2, 2−
sa korakom 0,01 pod imenom funkcija. 2. Formirati funkcijski fajl pod imenom ln kojim se izračunava funkcija
lnx x , zatim izračunati ( )ln e i ( )ln 1,5 . 3. Formirati funkcijski fajl pod imenom element 1, za izračunavanje
elemenata matrice n m× , gde je i jija e += za i j≠ , a
2
2
12ij
iaj+
=+
za
i j= . 4. Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim svako unosi svoje ime i
prezime, prebrojava broj slova i ako je taj broj manji od 15 izračunava
vrednost izrarza 1 2+ , ako je broj slova između 15 i 20 definiše jediničnu matricu 3 3× , a ako je veći od 20 izračunava sumu kvadrata prvih 100 prirodnih brojeva.
214
VEŽBA 6. SIMBOLIČKA MATEMATIKA
Sve matematičke operacije koje smo do sad koristili bile su numeričke. Rezultat takvih operacija je numerička vrednost ( broj ili vektor brojeva). Sa druge strane, mnogi matematički problemi zadati su izrazima koji sadrže simboličke promenljive, koje nemaju numeričku vrednost u trenutku izvršenja. Rezultat takvih operacija je simbolički izraz. Symbolic Math Toolbox nam omogućava da radimo sa simboličkim promenljivim. Komande i funkcije za simboličke operacije imaju istu sintaksu i stil rada kao komande za numeričke operacije.
6.1. SIMBOLIČKI OBJEKTI I IZAZI
Simbolički objekti mogu biti promenljive ( kojoj nije dodeljena numerička vrednost ), brojevi ili izrazi sastavljeni od simboličkih promenljivih i brojeva . Naredbe za definisanje simboličkih promenljivih su sym ili syms. Naredba ima oblik ime objekta = sym ( ' znakovni izraz' ) PRIMER 1: Napisati 15 kao simboličku, a zatim kao numeričku promenljivu. > s=sym('15') s = 15 >> s=15 s = 15
215
Napomena: Rezultat u prvom slučaju je simbolička promenljiva i rezultat se prikazuje na ekranu bez uvlake, nasuprot drugom rezultatu koji je numerički rezultat i na ekranu se prikazuje sa uvlakom. Naredba syms koristi se za definisanje više simboličkih objekata. syms ime promenljive, ime promenljive,.......
PRIMER 2: Napisati simbolički izraz 2f ax bx c= + + . > syms a b c x >> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2+b*x+c
PRIMER 3: Napisati simbolički izraz 2f ax bx c= + + . >> f=’a*x^2+b*x+c’ f = a*x^2+b*x+c
Napomena: U primeru 2 smo definisali sve ulazne promenljive i dobili simbolički izraz f, a u primeru 3 nismo definisali ulazne promenljive i samim time sa dobijenim simboličkim izrazom f ne možemo vršiti nove operacije u kojima učestvuju promenljive a,b,c,x, jer ih nismo posebno definisali. Napr. Ne možemo sabrati izraz f i promenljivu x.
PRIMER 4: Izračunati vrednost izraza 2y ba
= + za 3a = i 4b = . Prvo
uzeti da su a i b simboličke promenljive, a zatim ih zadati kao numeričke vrednosti.
216
> a=sym(3);b=sym(4); >> c=2/a+sqrt(b) c = 8/3 >> a=3;b=4; >> c=2/a+sqrt(b) c = 2.6667
Napomena: Ako računamo sa simboličkim promenljivim rezultat je tačna brojna vrednost, a u drugom slučaju rezultat je približna numerička vrednost.
6. 2. REŠAVANJE JEDNAČINA
Rešavanje jednačina i sistema jednačina vrši se naredbom solve. Naredba ima oblik : s=solve(jednačina) s=solve(jednačina, promenljiva ) PRIMER 5: Rešiti jednačinu 2 5 0x − = > syms x >> y=solve(2*x-5) y = 5/2 Jednačina sadrži jednu ulaznu simboličku promenljivu x , a rešenje je broj, dat kao simbolička promenljiva.
217
PRIMER 6: Rešiti jednačinu 2 0ax bx c+ + = >> syms x a b c >> solve(a*x^2+b*x+c) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Jednačina sadrži više ulaznih simboličkih promenljivih , , ,x a b c , a rešenje je simbolička promenljiva u funkciji ulaznih parametara , ,a b c .
6. 3. REŠAVANJE SISTEMA JEDNAČINA
Naredbe imaju oblik : [r1,r2,...]=solve (jednačina 1, jednačina 2,....) rezultat=solve(jednačina 1, jednačina 2,..., promenljiva1 promenljiva2,....,) PRIMER 7: Rešiti sistem jednačina 5 3x y+ = i 2 4x y− = . >> [x,y]=solve( 'x+5*y-3','2*x-y-4') x = 23/11 y = 2/11 Napomena: Kako je sistem saglasan i ima jednoznačno rešenje, mi ga vidimo na ekranu kao par simboličkih brojeva.
218
PRIMER 8: Rešiti sistem jednačina 5 3x yz+ = i 2 4x y− = . >> [x,y]=solve( 'x+5*y*z-3','2*x-y-4') x = (20*z+3)/(1+10*z) y = 2/(1+10*z) Napomena: Kako je sistem saglasan, a ima beskonačno mnogo rešenja, mi rešenje vidimo na ekranu kao simboličku promenljivu izraženu u funkciji promenljive z .
PRIMER 9: Odrediti presek kruga 2 2 41x y+ = i prave 1 0y x− − = . >> syms x y > [x y]=solve('x^2+y^2-41','y-x-1') x = 4 -5 y = 5 -4
6.4. CRTANJE GRAFIKA KRIVE SIMBOLIČKOG IZRAZA
Crtanje grafika simboličkog izraza se radi korišćenjem naredbe ezplot. Naredba ima oblik : ezplot(S) ezplot(S,[xmin,xmax,ymin,ymax])
219
S je simbolički izraz krive koja se crta. U prvoj naredbi ezplot(S) grafik se crta
u fiksnom domenu ( )2 , 2π π− , a u drugoj sami zadajemo domen nezavisne promenljive x i zavisno promenljive y .
PRIMER 10: Nacrtati grafik funkcije 2 2 1y x x= + + . >> syms x >> y=x^2+2*x+1; >> ezplot(y)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
10
20
30
40
50
x
x2+2 x+1
VEŽBA:
1. Rešiti jednačinu 2 2 0x x− = .
2. Rešiti jednačinu 2 5 2 0ax x+ − = . 3. Rešiti sistem jednačina 2 1 0x y− − = i 2 4 0x y+ + = .
4. Nacrtati funkciju 1xy e= + .
5. Ispitati uzajamni položaj kruga 2 2 1x y+ = i pravih
a) 4 0x y+ − = , b) 1 0x y+ − = , c) 2 0x y+ − = . Zadatak uraditi računski i grafički.
220
VEŽBA 7. GRANIČNA VREDNOST I IZVOD FUNKCIJE
7. 1. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Naredbom limit računa se granična vrednost simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik limit(f,a) gde je f funkcija, x nezavisna promenljiva , a vrednost kojoj teži nezavisno promenljiva x .
PRIMER 1: Naći graničnu vrednost funkcije 2
21
1lim2 3x
xx x→
−+ −
.
>> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),1) ans = 1/2
PRIMER 2: Naći graničnu vrednost funkcije 2
2
1lim2 3x
xx x→∞
−+ −
.
>> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),inf) ans = 1
221
7. 2. IZVOD FUNKCIJE Naredbom diff dobija se izvod simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik diff(f) prvi izvod funkcije, diff(f,n) n-ti izvod funkcije.
PRIMER 3: Naći prvi izvod funkcije xxy sin3= . >> y='x.^3*sin(x)'; >> diff(y) ans = 3*x^2*sin(x)+x^3*cos(x) >> pretty(ans) 2 3 3 x sin(x) + x cos(x) PRIMER 4: Naći drugi izvod zadate funkcije. >> syms x >> y=x.^3*sin(x); >> diff(y,2) ans = 6*x*sin(x)+6*x^2*cos(x)-x^3*sin(x)
222
7.3. PRIMENE IZVODA -ODEĐIVANJE EKSTREMNIH VREDNOSTI Ekstremne vrednosti, ako postoje, određujemo kao nule prvog izvoda funkcije .
PRIMER 5 : Odrediti moguće ekstremne vrednosti funkcije x
xye
= .
>> syms x >> y=x/exp(x); >> d=diff(y) d = 1/exp(x)-x/exp(x) >> pretty(d) 1 x ------ - ------ exp(x) exp(x) >> s=solve(d) s = 1 >> y1=1/exp(1) y1= 0.3679
PRIMER 6 : Odrediti moguće ekstremne vrednosti funkcije
( )23 2xy e x x= − . >> y=exp(x)*(3*x-2*x.^2) >> d=diff(y) d = exp(x)*(3*x-2*x^2)+exp(x)*(3-4*x) >> s=solve(d) s =
223
1 -3/2 >> y1=exp(1)*(3*1-2*1.^2) y1 = 2.7183 >> y2=exp(-3/2)*(3*(-3/2)-2*(-3/2).^2) y2 = -2.0082
PRIMER 7 : Nacrtati funkciju 2
2xy
x=
− i tekstom opisati sliku.
>> syms x >> y=x.^2/(x-2); >> limit(y,2) ans = NaN >> limit(y,inf) ans = Inf >> solve(y) ans = 0 0 >> ezplot(y) >> grid, hold on >> gtext('nula(0,0)') >> d=diff(y) d = 2*x/(x-2)-x^2/(x-2)^2 >> s=solve(d) s = 0 4
224
>> y1=0.^2/(0-2) y1 = 0 >> y2=4.^2/(4-2) y2 = 8 >> gtext('max(0,0)') >> gtext('min(4,8)') >> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa')
-6 -4 -2 0 2 4 6
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x osa
x2/(x-2)
nula(0,0)max(0,0)
min(4,8)
y os
a
225
VEŽBA:
1. Izračunati 2lim1x
xx→∞ −
.
2. Izračunati 21lim
1x
xx→ −
.
3. Naći prvi izvod funkcije xxey = .
4. Naći deseti izvod funkcije 12 xy x e= .
5. Nacrtati i opisati sliku funkcije xxey = .
6. Nacrtati i opisati sliku funkcije 11
xyx+
=−
.
226
VEŽBA 8 INTEGRALI I NJIHOVA PRIMENA
8.1. NEODREĐENI INTEGRAL
Naredbom int izračunava se neodređeni integral simbolički zadate funkcije. Naredba ima oblik int(f) int(f,’x') ukoliko je funkcija konstanta i vraća vrednost funkcije u odnosu na promenljivu x.
PRIMER 1 : Izračunati integral 2
3 52 2
x dxx x
++ +∫ .
>> syms x >> f=(3*x+5)/(x^2+2*x+2); >> int(f) ans = 3/2*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1) >> pretty(ans) 2 3/2 log(x + 2 x + 2) + 2 atan(x + 1)
PRIMER 2 : Izračunati integral 5 dx∫ . > % broj 5 se mora prebaciti u simboličku promenljivu >> y=sym('5') y = 5 >> % sada se može izračunati vrednost integrala >> int(y,'x') ans = 5*x
227
8.2. ODREĐENI NTEGRAL
Određeni integral ∫b
a
dxxf )( izračunavamo naredbom int(f,a,b) gde su a i b
granice integracije.
PRIMER 3: Izračunati ∫ −−++3
2
2
)2)(1(1233 dx
xxxxx
.
>> syms x >> f=(3*x^2+3*x+12)/x*(x-1)*(x-2); >> int(f,2,3) ans = 13/4+24*log(3)-24*log(2) >> pretty(ans) 13/4 + 24 log(3) - 24 log(2) >> double(ans) ans = 12.9812
8.3. NESVOJSTVENI NTEGRAL
Nesvojstvene integrale izračunavamo istom naredbom kao i određene integrale. Oznaka za beskonačnu granicu je inf (infinity).
PRIMER 4: Izračunati nesvojstveni integral ∫∞
−
1
2
dxxe x .
>> syms x >> y=x*exp(-x.^2); >> int(y,1,inf) ans = 1/2*exp(-1) >> pretty(ans)
228
1/2 exp(-1) >> double(ans) ans = 0.1839
8.4. PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA
8.4.1. IZRAČUNAVANJE POVRŠINA
Za obeležavanje površine na traženom intervalu koristimo naredbu fill. Naredba ima oblik fill(x, y,’boja’). U naredbi fill, x i y su vektori i definišemo ih u obliku ([xp x xk],[yp y yk]), gde je xp, yp početna tačka, a xk, yk krajnja tačka traženog intervala. Naredba fill će popuniti sav prostor između zadate krive y i prave koja prolazi kroz tačke, (xp, yp) , (xk, yk). Površina koju senčimo mora da bude zatvorena.
PRIMER 5: Data je funkcija 2y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje tačke zadatog intervala i izračunati brojnu vrednost površine.
>> % domen nezavisno promenljive x je (0,1) >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala >> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala
229
>> xp=0,yp=0; >> xp=1;yp=1; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,1],'r')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Prava koja prolazi kroz tačke ( )0,0 i ( )1,1 ima jednačinu y x= , pa tražena površina ima vrednost: >> P=int('x',0,1)-int('x^2',0,1) P = 1/6 >> double(P) ans = 0.1667
PRIMER 6: Data je funkcija 2y x= na intervalu 10 ≤≤ x . Obeležiti oblast ograničenu datom funkcijom i x -osom i izračunati brojnu vrednost te površine. Napomena: Već smo naglasili da oblast koju računamo mora biti zatvorena.
U ovom slučaju mi tražimo oblast koju zahvata polazna funkcuja 2y x= i prava 0y = .
230
>> %domen nezavisno promenljive x >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je početna tačka zadatog intervala >> xp=0;yp=0; >> % (xk,yk) je krajnja tačka zadatog intervala >> xk=1;yk=0; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'r')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
>> % tražena površina >> P=int('x^2',0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333
PRIMER 7 : Izračunti površinu ograničenu lukom krive 2 9y x= − i x osom i obeležiti traženu površinu. >> syms x >>y=x^2-9;
231
% presečne tačke funkcije sa osom x dobijaju se rešavanjem jednačine y=0 >> a=solve(y) a = [ 3] [ -3] % granice integracije su dakle -3 i 3
>>I= int(y,-3,3) I = -36 % površina mora biti pozitivna >> abs(I) ans = 36 % obeležavanje oblasti integracije u datom domenu >> x=-3:0.1:3; >> y=x.^2-9; >> fill([-3,x,3],[0,y,0],'r')
-3 -2 -1 0 1 2 3-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
PRIMER 8: Obeležiti površinu ograničenu funkcijom 2 1y x= + i x osom na intervalu 0 1x≤ ≤ i izračunati površinu >> x=0:0.001:1;
232
>> y=x.^2+1; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'g')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
>> syms x >> y=x.^2+1; >> P=int(y,0,1) P = 4/3 >> double(P) ans = 1.3333
PRIMER 9: Obeležiti površinu ograničenu funkcijama 21( )f x x= i
( )2f x x= i izračunati površinu obeležene figure. >> syms x >> f1=x.^2; >> f2=sqrt(x); >> % računamo presečne tačke krivih >> f3=f1-f2; >> x=solve(f3)
233
x = 0 1 >> % presečne tačke krivih su 0 i 1 >> % vrednosti funkcija u tim tačkama su takođe 0 i 1 >> x=0:0.001:1; >> fill([0,x,1],[0,x.^2,1],'g',[0,x,1],[0,sqrt(x),1],'r')
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
>> % izračunavanje površine >> syms x >> f1=x.^2;f2=sqrt(x); >> P=int(f2,0,1)-int(f1,0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333
234
VEŽBA:
1. Odrediti sledeće integrale :
a) neodređene dxxx
x∫ ++
+22
532 , xxe dx∫ ,
b) određene 27
38
dxx∫ , ∫ +
2
02cos35
π
xdx
,
c) nesvojstvene 21
11
dxx
∞
+∫ , dxx
x∫∞
12
2ln.
2. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije
( ) 24f x x x= − i obeležiti traženu površinu. 3. Izračunati površinu koju ograničava x osa i grafik funkcije
( ) sinf x x= na intervalu 0,2π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦ i obeležiti traženu površinu.
4. Izračunati površini koju ograničavaju grafici datih funkcija
( ) ( )2 28 18 2 18f x x x f x x= − + ∧ = − + . (nacrtati sliku i obeležiti datu površinu).
235
VEŽBA 9. STATISTIČKA OBRADA PODATAKA
U ovoj vežbi obradiće se neke osnovne funkcije vezane za statističku obradu podataka i njihovo grafičko predstavljanje. Podaci koji se prikupljaju za neko obeležje, unose se u obliku jednodimenzionih nizova ili višedimenzionih nizova, tabela, odnosno šema sa m vrsta i n kolona. Ove šeme nazivamo i matricama brojeva. Ako su podaci zadati u jednodimenzionom nizu operacije se vrše respektivno, a ako su dati u obliku tabele podaci se sređuju po kolonama.
9.1. UREĐIVANJE PODATAKA
Za sređivanje podataka po veličini služi naredba sort.
PRIMER 1: Poređati elemente [ ]1, 2,3, 7,5A = − po veličini. >> A=[1 2 5 -7 3] A = 1 2 5 -7 3 >> sort(A) ans = -7 1 2 3 5
PRIMER 2: Poređati elemente matrice 1 2 3
4 3.1 21 5 6
B−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
po veličini.
236
> B=[-1 2 3;4 3.1 2;1 5 6] B = -1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 3.1000 2.0000 1.0000 5.0000 6.0000 >> sort(B) ans = -1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 3.1000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000
9.2. SREDNJE VREDNOSTI
9.2.1.RAČUNSKE SREDNJE VREDNOSTI
Aritmetička sredina, odnosno, srednja vrednost brojeva 1 2, , , nx x x… , je
izraz 1 2
1
1 nn
ii
x x xm xn n =
+ += = ∑…
.
U MATLAB-u se izračunava korišćenjem naredbe mean.
PRIMER 3: Odrediti aritmetičku sredinu elemenata [ ]1, 2,3, 7,5A = − . >> A=[1 2 5 -7 3] A = 1 2 5 -7 3 >> mean(A)
237
ans = 0.8000
Zaista ( )1 2 3 7 5
0,85
+ + + − += .
PRIMER 4: Odrediti srednju ocenu na ispitu na kome je broj studenata i ocena dat tabelom:
Ocena 5 6 7 8 9 10 Broj
studenata 5 7 7 5 4 3
>> B=[5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10]; >> m=mean(B) m = 7.1613 Geometrijska sredina pozitivnih brojeva 1 2, , , nx x x… , je izraz
1 2n
ng x x x= ⋅ … . U MATLAB-u se izračunava korišćenjem naredbe geomean.
PRIMER 5: Odrediti geometrijsku sredinu elemenata [ ]1, 2,3, 7,5A = − . > A=[1 2 5 7 3]; >> geomean(A) ans = 2.9137
238
Harmoniska sredina brojeva različitih od nule, 1 2, , , nx x x… , je izraz
1 2
1 1 1n
nh
x x x
=+ + +…
.
U MATLAB-u se izračunava korišćenjem naredbe harmmean.
9.2.2. POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI
Medijana je vrednost sredine serije koje su poređane po veličini.
Ako je broj podataka neparan, glasi1
2n
exM +
= ,
a ako je broj podataka paran glasi 1
2 2
2
n n
e
x xM
++
= .
Medijana se izračunava korišćenjem naredbe median.
PRIMER 6: Odrediti medijanu elemenata 1,2,3,4,5 .
>> x=[1 2 3 4 5]; >> median(x) ans = 3
PRIMER 7: Odrediti medijanu elemenata 1,2,3,4,5 ,6.
>> x=[1 2 3 4 5 6];
239
>> median(x) ans = 3.5000
Napomena: Ako je broj elemenata paran , medijana je aritmetička sredina srednja dva člana.
PRIMER 8: Odrediti medijanu koja pokazuje broj članova domaćinsta u jednoj zgradi od 12 stanova datih tabelom.
Broj članova domaćinstva Broj domaćinstava 1 1 2 4 3 3 4 2 5 1 6 1
>> D=[1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6]; >> median(D) ans = 3
Dakle, prva polovina domaćinstava ima manje od 3 člana, druga polovina više od 3 člana domaćinstva.
9.3. MERE ODSTUPANJA, STANDARDNO ODSTUPANJE
240
Varijansa je srednje kvadratno odstupanje podataka u seriji, od aritmetičke
sredine izračunava se po obrascu ( )2
2
1
11
n
ii
x mn
σ=
= −− ∑
gde je n zadati broj elemenata, , a m aritmetička sredina. Standardno odstupanje je σ . U MATLAB –u se izračunava korišćenjem naredbe std. PRIMER 9: Promet u jednoj prodavnici tokom sedmice kretao se :
dani Pon. Utor. Sred. Četv. Pet. Sub. Ned. promet 12 18 9 11 21 20 24
Koliki je prosečni promet i srednja mera pojedinačne prodaje od prosečne. >> A=[8 11 13 15 18 21 22 25 28 30] A = 8 11 13 15 18 21 22 25 28 30 m=mean(A) m = 19.1000 >> std(A) ans = 7.3704 Prosečni promet u deset prodavnica iznosi 19,1kg . Srednja mera pojedinačne prodaje od prosečne prodaje iznosi 7,3kg .
241
9.4. GRAFIČKO PREDSTAVLJANJE STATISTIČKIH PODATAKA
Za grafičko predstavljanje statističkih podataka koriste se prugasti dijagrami, kružni dijagrami i histogrami.
Za prugaste i kružne dijagrami dijagrame kotiste se naredbe: bar(x) dobija se dvodimenzioni vertikalni prugasti
dijagram barh(x) dobija se dvodimenzioni vertikalni prugasti dijagram bar3(x) dobija se trodimenzioni vertikalni prugasti dijagram barh3(x) dobija se trodimenzioni horizontalni prugasti
dijagram pie(x) dobija se dvodimenzioni kružni dijagram pie3(x) dobija se dtodimenzioni kružni dijagram
PRIMER 10: Brojne podatke 1,2,5,4,8 , grafički predstaviti korišćenjem 4 naredbe za grafičko predstavljanje podataka. Iskoristiti naredbu subplot, koja daje u više grafika na jednom crtežu.
>> x=[1 2 5 4 8]; >> subplot(2,2,1) >> bar(x) >> subplot(2,2,2) >> bar3(x) >> subplot(2,2,3) >> pie(x) >> subplot(2,2,4)
242
>> barh(x)
1 2 3 4 50
2
4
6
8
12
34
5
0
5
10
5%10%
25%
20%
40%
0 2 4 6 8
1
2
3
4
5
PRIMER 11: U periodu od 1988 do 1994 godine proizvedeno je u fabrici godišnje 8, 12, 20, 22, 18, 24, 27 miliona pari obuće. Napraviti grafikon i opisati ga tekstom. >> god=[1988:1994]; >> >> pro=[8 12 20 22 18 24 27]; >> bar(god,pro,'r') >> xlabel('prodaja u milionima') >> >> xlabel('godina') >> ylabel('prodaja u milionima')
243
1988 1989 1990 1991 1992 1993 19940
5
10
15
20
25
30
godina
prod
aja
u m
ilion
ima
Histogrami su grafikoni koji pokazuju raspodelu podataka.To su vertikalni trakasti grafikoni.
Za crtanje histograma koristi se naredba hist.
PRIMER 12: Maksimalne dnevne temperature izmerene u Beogradu u aprilu 2002 godine iznose: 18 14 17 20 18 17 21 21 22 16 16 15 19 18 18 19 13 19 19 18 15 16 15 16 16 16 18 17 19 22. Napraviti histogram raspodela temperatura. >> y=[18 14 17 20 18 17 21 21 22 16 16 15 19 18 18 19 13 19 19 18 15 16 15 16 16 16 18 17 19 22]; >> hist(y)
244
13 14 15 16 17 18 19 20 21 220
1
2
3
4
5
6
VEŽBA: 1. U toku nedelje dnevni ulozi na štednju u jednoj banci dati su tabelom:
Dani Ulozi u hiljadama ponedeljak 15
utorak 10 sreda 14
četvrtak 11 petak 18
subota 9 Koliko je bio prosečan ulog u toj nedelji? Nacrtati histogram raspodele. 2. Raspodela ocena studenata na ispitnom roku data je tabelom.
Ocena 5 6 7 8 9 10 Broj
studenata 14 18 7 5 8 3
245
Nacrtati grafikone korišćenjem naredbi bar i pie i opisati ih tekstom.
246
SPISAK KOMANDI I FUNKCIJA
Komande za upravljanje
help pomoć u radu sa Matlabom. demo osnovni demonstracioni programi. clc briše se sadržaj komandnog prozora. clear briše sve promenljive i funkcije iz memorije. who lista tekućih promenljivih. whos lista tekućih promenljivih, duža forma . size veličina promenljive. format izlazni format. load učitavanje promenljivih sa diska. save snimanje promenljivih na disk. delete brisanje fajlova. home skok na početak ekrana. quit završetak rada. exit završetak rada. pause pauza do pritiska na neki taster.
Znakovi, aritmetički, relacijski i logički operatori
+ plus. - minus. * množenje. .* množenje element po element. ^ stepenovanje. .^ stepenovanje element po element. / deljenje udesno. \ deljenje ulevo. (,) za pozivanje funkcija i redosled operacija. [,] definišu vektore i matrice. . decimalni zarez. ... nastavlja red. , razmak između elemenata i argumenata funkcije.
247
; kraj reda ili isključuje prikazivanje rezultata. % komentar. = dodeljivanje vrednosti. = = jednakost. < manje. > veće. >= veće ili jednako. <= manje ili jednako. ~= nije jednako. & logičko i. | logičko ili. ~ logičko ne.
Unapred definisane promenljive
ans rezultat. pi π = 3.14.....
i,j kompleksna jedinica , 1− . NaN nije numerička vrednost. inf beskonačno.
Elementarne matematičke funkcije
abs apsolutna vrednost. sqrt kvadratni koren. sin sinus. cos kosinus. tan tangens. cot kotangens. exp eksponencijalna funkcija osnove e. log prirodni logaritam. log 10 dekadni logaritam. conj konjugovano kompleksni broj. imag imaginrni deo kompleksnog broja. real realni deo kompleksnog broja.
248
Crtanje i formatiranje grafikona
plot crta se kriva funkcije. fplot crta se kriva funkcije. subplot crta se više grafikona na istoj stranici. hist formira se histogram. hold on drži se otvoren tekući grafik. hold off suprotno od hold on. axis podešavanje osa. colormap podešavaju se boje na grafikonu. grid dodaje se ili oduzima rešetka na grafikonu. gtext dodaje se tekst na grafikon. text dodaje se tekst na grafikon. title grafikonu se dodaje naslov. xlabel dodaje se natpis na osu x. ylabel dodaje se natpis na osu y.
Komande za upravljanje tokom programa
break prekidanje izvršavanja petlje. else uslovno izvršavanje komandi. elseif uslovno izvršavanje komandi. end kraj uslovnog iskaza ili petlje. for ponavljanje izvršavanja grupe komandi. if islovno izvršavanje komandi. while ponavlja izvršavanje grupe komandi.
Simbolička matematika
diff diferenciranje. double pretvara broj simboličkog oblika u numerički. ezplot crtanje krive koja predstavlja izraz. pretty prikazuje se izraz u matematičkom formatu.
249
simple uprošćavanje izraza. solve rešavanje jednačina ili sistema jednačina. subs promenljive u zadatom izrazu zamenjuje vrednostima. sym formira se simbolički objekat. syms formira se simbolički objekat.
250
ZADACI ZA VEŽBANJE
1. Izračunati ( )2 1
4det
TA A
A
−+ koristeći datu matricu
2 3 41 1 21 0 2
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
2. Rešiti sistem jednačina matričnom metodom.
02 6 5 26 5 6 1
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
3. Rešiti sistem primenom Kramerovog pravila
2 3 16
3 2 1
x y zx y z
x y z
− + = −+ + =+ − = −
4. Za razne vrednosti parametra a ispitati da li je sistem linearnih
jednačina
123
ax y zx ay z
x y az
+ + =+ + =+ + = −
određen, neodređen ili protivrečan
8. Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1,6ny x n= ∈ . Svaka funkcija da bude druge boje i vrste linija.
9. Koristeći naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1, 4ny x n= ∈ . Svaka funkcija da bude druge boje i vrste linija.
251
10. Formirati funkcijski fajl pod imenom pi kojim se izračunava 2
2
sin ( )xx
,
zatim izračunati pi(pi\2), pi(1). 11. Formirati funkcijski fajl kojim se izračunava vrednost determinante za
razne vrednosti parametra 1k =
3 4 8 111 5 3
0 3 76 4 2 1
kk
Dk
k
− −= .
12. Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se određuje broj slova u
nekom imenu, a zatim nacrtati funkciju ( ) nf x x= , gde je n broj određenih slova.
13. Rešiti sistem jednačina nekom od metoda. Zatim grafički rešiti sistem ,
obeležiti sliku i uprediti tako dobijena rešenja. 2
2 3x yx y+ =+ = .
14. Nacrtati u istom koordinatnom sistemu funkcije
( ) lnf x x= , ( ) 2logf x x= , ( ) 10logf x x= i tekstom opisati sliku. Svaka funkcija da bude druge boje i vrste linija.
15. Koristeći funkciju subplot nacrtati funkcije, ( ) lognf x x= za 1 ,2, ,102
n e= i tekstom opisati sliku. Svaka funkcija da bude druge boje i
vrste linija.
16. Nacrtati u istom koordinatnom sistemu funkcije 2y x= , 3y x= na intervalu 1 1x− ≤ ≤ i tekstom opisati sliku. Svaka funkcija da bude druge boje i vrste linija.
252
17. Nacrtati u istom koordinatnom sistemu funkcije y x= na intervalu
1 1x− ≤ ≤ , xy xe= na intervalu 0 1x≤ ≤ i siny x= na intervalu
2 2xπ π
− ≤ ≤ i tekstom opisati sliku. Svaka funkcija da bude druge boje i
vrste linija. 18. Napraviti funkcijski fajl kojim se za razne vrednosti parametra k
izračunava vrednost determinante
3 4 8 111 5 3
0 3 76 4 2 1
kk
Dk
k
− −= .
19. Napraviti funkcijski fajl pod imenom element za izračunavanje
elemenata matrice gde je ( ),a i j i j= ⋅ za ,i j i j≠ < ,
( ) ( ), ,a i j a i j= − za i j> a ( ) 2,a i j i= za i j= , a zatim koristeći taj fajl napraviti novi pod imenom matrica, za definisanje matice proizvoljnog reda m n× .
20. Napraviti funkcijski fajl pod imenom element za izračunavanje
elemenata matrice gde je ( ),a i j i j= ⋅ za i j≠ , a ( ), 2 2a i j i j= ⋅ + za i j= ., a zatim koristeći taj fajl napraviti novi pod imenom matrica, za definisanje matice proizvoljnog reda m n× .
21. Formirati funkcijski fajl pod imenom godine kojim svako unosi svoj
datum i godinu rođenja ime, prebrojava broj simbola i ako je taj broj
manji od 15 određuje determinantu matrice 1 12 9⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, ako je broj slova
između 15 i 20 definiše je nultu matricu 3x3, a ako je veći od 20 izračunava sumu prvih 1000 prirodnih brojeva.
253
22. Formirati funkcijski fajl pod imenom mesto kojim svako unosi svoje ime mesta rođenja i opštinu, prebrojava broj slova i ako je taj broj manji od
15 određuje transponovanu matricu matrice 1 22 3
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, ako je broj
slova između 15 i 30 definiše jediničnu matricu, matrice A, a ako je veći
od 20 određuje 1A− .
23. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2 xy x e= . Tekstom opisati sliku.
24. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2
21
xyx
=+
. Tekstom opisati sliku.
25. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2
2
44
xyx−
=+
. Tekstom opisati sliku.
26. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2
2
1 xyx−
= . Tekstom opisati sliku.
27. Ispitati i grafički prikazati funkciju 3
2
21
xyx
=+
. Tekstom opisati sliku.
28. Ispitati i grafički prikazati funkciju xy xe−= . Tekstom opisati sliku.
29. Ispitati i grafički prikazati funkciju 22 xy x e−= . Tekstom opisati sliku.
30. Ispitati i grafički prikazati funkciju lny x x= . Tekstom opisati sliku.
31. Ispitati i grafički prikazati funkciju 2 lny x x= . Tekstom opisati sliku.
32. Ispitati i grafički prikazati funkciju ln xy
x= . Tekstom opisati sliku.
254
33. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije
( ) ( )2 2 3 12 3 2y x x x= − − − na intervalu [ ]3,6− . Slika.
34. Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije 3
3xy
x= + na intervalu
[ ]5, 1− − . Slika. 35. Dokazati da sistem jednačina
02 6 5 26 5 6 1
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
ima jedinstveno rešenje, a zatim rešiti sistem matričnom metodom. 36. Ispitati saglasnost sistema jednačina
2 3 16
3 2 1
x y zx y z
x y z
− + = −+ + =+ − = −
a zatim rešiti sistem primenom Kramerovog pravila.
37. Rešiti matričnu jednačinu 1 2 0 1 21 1 1 0 20 1 3 1 0
X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
38. Date su matrice 1 3 2 2 3 11 2 1 , 1 1 10 0 1 0 0 1
A M−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. Rešiti jednačinu
2 1X A AM −+ = .
255
39. Rešiti jednačinu AX BC D+ = , gde je
2 0 1 2 0 115
1 1 0 , 0 2 , , 63
3 1 2 0 1 9A B C D
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
40. Izračunati zbir kvadrata prvih 1000 prirodnih brojeva.
256
FINANSIJSKE TABLICE
I pn
%
n 1% 2% 3% 4% 5% 6%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,06002 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,12363 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,19104 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,26255 1,0510 1,0906 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382
6 1,0615 1,1261 1,1941 1,2653 1,3401 1,41857 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,50368 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,59389 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,898312 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,012213 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,132914 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,260915 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,540417 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,692818 1,1961 1,4284 1,7024 2,0258 2,4066 2,854319 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,025620 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071
21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,399622 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,603523 1,2572 1,5769 1,9735 2,4647 3,0715 3,819724 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,048925 1,2824 1,6406 2,0938 2,6658 3,3864 4,2919
26 1,2953 1,6734 2,1566 2,7725 3,5557 4,549427 1,3082 1,7069 2,2213 2,8824 3,7335 4,822328 1,3213 1,7410 2,2879 2,9987 3,9201 5,111729 1,3345 1,7758 2,3566 3,1187 4,1161 5,418430 1,3478 1,8114 2,4273 3,2434 4,3219 5,7435
31 1,3613 1,8476 2,5001 3,3731 4,5380 6,088132 1,3749 1,8845 2,5751 3,5081 4,7649 6,453433 1,3887 1,9222 2,6523 3,6484 5,0032 6,840634 1,4026 1,9607 2,7319 3,7943 5,2533 7,251035 1,4166 1,9999 2,8139 3,9461 5,5160 7,6861
36 1,4308 2,0399 2,8983 4,1039 5,7918 8,147337 1,4451 2,0807 2,9852 4,2681 6,0814 8,636138 1,4595 2,1223 3,0748 4,4388 6,3855 9,154339 1,4741 2,1647 3,1670 4,6164 6,7048 9,703540 1,4889 2,2080 3,2620 4,8010 7,0400 10,2857
257
Finansijske tablice
I pn
%
n 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,12002 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,25443 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,40494 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,57355 1,4026 1,4692 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623
6 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,97387 1,6058 1,7138 1,8280 1,9481 2,0762 2,21078 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,47609 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731
10 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058
11 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,478512 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,896013 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,363514 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,887115 2,7590 3,1722 3,6429 4,1772 4,7846 5,4736
16 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,130417 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,866018 3,3799 3,9960 4,7171 5,5600 6,5436 7,690019 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159 7,2633 8,612820 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463
21 4,1406 5,0338 6,1088 7,4002 8,9492 10,803822 4,4304 5,4365 6,6586 8,1403 9,9336 12,100323 4,7405 5,8715 7,2579 8,9543 11,0263 13,552324 5,0724 6,3412 7,9111 9,8497 12,2392 15,178625 5,4274 6,8485 8,6231 10,8347 13,5855 17,0001
26 5,8074 7,3964 9,3992 11,9182 15,0799 19,040127 6,2139 7,9881 10,2451 13,1100 16,7386 21,324928 6,6488 9,6271 11,1671 14,4210 18,5799 23,883929 7,1143 9,3173 12,1722 15,8631 20,6237 26,749930 7,6123 10,0626 13,2677 17,4494 22,8923 29,9599
31 8,1451 10,8677 14,4618 19,1943 25,4104 33,555132 8,7153 11,7371 15,7633 21,1138 28,2056 37,581733 9,3253 12,6760 17,1820 23,2252 31,3082 42,091534 9,9781 13,6901 18,7284 25,5477 34,7521 47,142535 10,6766 14,7853 20,4140 28,1024 38,5749 52,7996
36 11,4239 15,9682 22,2512 30,9127 42,8181 59,135637 12,2236 17,2456 24,2538 34,0039 47,5281 66,231838 13,0793 18,6253 26,4367 37,4043 52,7562 74,179739 13,9948 20,1153 28,8160 41,1448 58,5593 83,081240 14,9745 21,7245 31,4094 45,2593 65,0009 93,0510
258
Finansijske tablice
II pn
%
n 1% 2% 3% 4% 5% 6%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,94342 0,9803 0,9617 0,9426 0,9246 0,9070 0,89003 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,83964 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,79215 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473
6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,70507 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,66518 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,62749 0,9143 0,8368 0,7661 0,7026 0,6446 0,5919
10 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584
11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,526812 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,497013 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,468814 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,442315 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173
16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,393617 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134 0,4363 0,371418 0,9360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,350319 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,330520 0,8195 0,6730 0,5538 0,4564 0,3769 0,3118
21 0,8114 0,6598 0,5375 0,4388 0,3589 0,294222 0,8034 0,6468 0,5219 0,4220 0,3418 0,277523 0,7954 0,6342 0,5067 0,4057 0,3256 0,261824 0,7876 0,6217 0,4919 0,3901 0,3101 0,247025 0,7798 0,6095 0,4776 0,3751 0,2953 0,2330
26 0,7720 0,5976 0,4637 0,3607 0,2812 0,219827 0,7644 0,5859 0,4502 0,3468 0,2678 0,207428 0,7568 0,5744 0,4371 0,3335 0,2551 0,195629 0,7493 0,5631 0,4243 0,3207 0,2429 0,184630 0,7419 0,5521 0,4120 0,3083 0,2314 0,1741
31 0,7346 0,5412 0,4000 0,2965 0,2204 0,164332 0,7273 0,5306 0,3883 0,2851 0,2099 0,155033 0,7201 0,5202 0,3770 0,2741 0,1999 0,146234 0,7130 0,5100 0,3660 0,2636 0,1904 0,137935 0,7059 0,5000 0,3554 0,2534 0,1813 0,1301
36 06989 0,4902 0,3450 0,2437 0,1727 0,122737 06920 0,4806 0,3350 0,2343 0,1644 0,115838 06852 0,4712 0,3252 0,2253 0,1566 0,109839 06784 0,4619 0,3158 0,2166 0,1491 0,103140 06717 0,4529 0,3066 0,2083 0,1420 0,0972
259
Finansijske tablice
II pn
%
n 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 09346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,89292 08734 0,8537 0,9417 0,8264 0,8116 0,79723 08163 0,7938 0,7722 0,7513 0,7312 0,71184 07629 0,7350 0,7084 0,6830 0,6587 0,63555 07130 0,6806 0,6499 0,6209 0,5935 0,5674
6 06663 0,6302 0,5963 0,5645 0,5346 0,50667 0,6227 0,5835 0,5470 0,5132 0,4817 0,45238 0,5820 0,5403 0,5019 0,4665 0,4339 0,40399 0,5439 0,5002 0,4604 0,4241 0,3909 0,3606
10 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 0,3522 0,3220
11 0,4751 0,4289 0,3875 0,3505 0,3173 0,287512 0,4440 0,3971 0,3555 0,3186 0,2858 0,256713 0,4150 0,3677 0,3262 0,2897 0,2575 0,229214 0,3878 0,3405 0,2992 0,2633 0,2320 0,204615 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394 0,2090 0,1827
16 0,3387 0,2919 0,2519 0,2176 0,1883 0,163117 0,3166 0,2703 0,2312 0,1978 0,1696 0,145618 0,2959 0,2502 0,2120 0,1799 0,1528 0,130019 0,2765 0,2317 0,1945 0,1635 0,1377 0,116120 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 0,1240 0,1037
21 0,2415 0,1987 0,1637 0,1351 0,1117 0,092622 0,2257 0,1839 0,1502 0,1228 0,1007 0,082623 0,2109 0,1703 0,1378 0,1117 0,0907 0,073824 0,1971 0,1577 0,1264 0,1015 0,0817 0,065925 0,1842 0,1460 0,1160 0,0923 0,0736 0,0588
26 0,1722 0,1352 0,1064 0,0839 0,0663 0,052527 0,1609 0,1252 0,0976 0,0763 0,0597 0,046928 0,1504 0,1159 0,0895 0,0693 0,0538 0,041929 0,1406 0,1073 0,0822 0,0630 0,0485 0,037430 0,1314 0,0934 0,0754 0,0573 0,0437 0,0334
31 0,1228 0,0920 0,0691 0,0521 0,0394 0,029832 0,1147 0,0852 0,0634 0,0474 0,0355 0,026633 0,1072 0,0789 0,0582 0,0431 0,0319 0,023834 0,1002 0,0730 0,0534 0,0391 0,0288 0,021235 0,0937 0,0676 0,0490 0,0356 0,0259 0,0189
36 0,0875 0,0626 0,0449 0,0323 0,0234 0,016937 0,0818 0,0580 0,0412 0,0294 0,0210 0,015138 0,0766 0,0537 0,0378 0,0267 0,0190 0,013539 0,0715 0,0497 0,0347 0,0243 0,0171 0,012040 0,0668 0,0460 0,0318 0,0221 0,0154 0,0107
260
Finansijske tablice
III pn
%
n 1% 2% 3% 4% 5% 6%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,06002 2,0301 2,0604 2,0909 2,1216 2,1525 2,18363 3,0604 3,1216 3,1836 3,2465 3,3101 3,37464 4,1010 4,2040 4,3091 4,4163 4,5256 4,63715 5,1520 5,3081 5,4684 5,6330 5,8019 5,9753
6 6,2135 6,4343 6,6625 6,8983 7,1420 7,39387 7,2857 7,5830 7,8923 8,2142 8,5491 8,89758 8,3685 8,7546 9,1591 9,5828 10,0266 10,49139 9,4622 9,9497 10,4639 11,0061 11,5779 12,1808
10 10,5668 11,1687 11,8078 12,4864 13,2068 13,9716
11 11,6825 12,4120 13,1920 14,0258 14,9171 15,869912 12,8093 13,6803 14,6178 15,6268 16,7130 17,882113 13,9474 14,9739 16,0863 17,2919 18,5986 20,015114 15,0969 16,2934 17,5989 19,0236 20,5786 22,276015 16,2579 17,6393 19,1569 20,8245 22,6575 24,6725
16 17,4304 19,0121 20,7616 22,6975 24,8404 27,212917 18,6147 20,4123 22,4144 24,6454 27,1324 29,905718 19,8109 21,8406 24,1169 26,6712 29,5390 32,760019 21,0190 23,2974 25,8704 28,7781 32,0660 35,785620 22,2392 24,7833 27,6765 30,9692 34,7193 38,9927
21 23,4716 26,2990 29,5368 33,2480 37,5052 42,392322 24,7163 27,8450 31,4529 35,6179 40,4305 45,995823 25,9735 29,4219 33,4265 38,0826 43,5020 49,815624 27,2432 31,0303 35,4593 40,6459 46,7271 53,864525 28,5256 32,6709 37,5530 43,3117 50,1135 58,1564
26 29,8209 34,3443 39,7096 46,0842 53,6691 62,705827 31,1291 36,0512 41,9309 48,9676 57,4026 67,528128 32,4504 37,7922 44,2189 51,9663 61,3227 72,639829 33,7849 39,5681 46,5754 55,0849 65,4388 78,058230 35,1327 41,3794 49,0027 58,3283 69,7608 83,8017
31 36,4941 43,2270 51,5028 61,7015 74,2988 89,889832 37,8690 45,1116 54,0778 65,2095 79,0638 96,343233 39,2577 47,0338 56,7302 68,8579 84,0670 103,183834 40,6603 48,9945 59,4621 72,6522 89,3203 110,434835 42,0769 50,9944 62,2759 76,5983 94,8363 118,1209
36 43,5076 53,0343 65,1742 80,7022 100,6281 126,268137 44,9527 55,1149 68,1594 84,9703 106,7095 134,904238 46,4123 57,2372 71,2342 89,4091 113,0950 144,058539 47,8864 59,4020 74,4013 94,0255 119,7998 153,762040 49,3752 61,6100 77,6633 98,8265 126,8398 164,0477
261
Finansijske tablice
III pn
%
n 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,12002 2,2149 2,2464 2,2781 2,3100 2,3421 2,37443 3,4399 3,5061 3,5731 3,6410 3,7097 3,77934 4,7503 4,8666 4,9847 5,1051 5,2278 5,35285 6,1533 6,3359 6,5233 6,7156 6,9129 7,1152
6 7,6540 7,9228 8,2004 8,4872 8,7833 9,08907 9,2598 9,6366 10,0285 10,4359 10,8594 11,29978 10,9780 11,4876 12,0210 12,5795 13,1640 13,77579 12,8164 13,4866 14,1929 14,9374 15,7220 16,5483
10 14,7836 15,6455 16,5603 17,5312 18,5614 19,6546
11 16,8885 17,9771 18,1407 20,3843 21,7132 23,133112 19,1406 20,4953 21,9534 23,5227 25,2116 27,029113 21,5505 23,2149 25,0192 26,9750 29,0949 31,392614 24,1290 26,1521 28,3609 30,7725 33,4054 36,279715 26,8881 29,3243 32,0034 34,9497 38,1899 41,7533
16 29,8402 32,7502 35,9737 39,5447 43,5008 47,883717 32,9990 36,4502 40,3013 44,5992 49,3959 54,749718 36,3790 40,4463 45,0185 50,1591 55,3995 62,439719 39,9955 44,7620 50,1601 56,2750 63,2028 71,052420 43,8652 49,4229 55,7645 63,0025 71,2651 80,6987
21 48,0057 54,4568 61,8733 70,4027 80,2143 91,502622 52,4361 59,8933 68,5319 78,5430 90,1479 103,602923 57,1767 65,7648 75,7898 87,4973 101,1742 117,155224 62,2490 72,1059 83,7009 97,3471 113,4133 132,333925 67,6765 78,9544 92,3240 108,1818 126,9988 149,3339
26 73,4838 86,3508 101,7231 120,0999 142,0786 168,374027 79,6977 94,3388 111,9682 133,2099 158,8173 189,698928 86,3465 102,9659 123,1354 147,6309 177,3972 213,582629 93,4608 112,2832 135,3075 163,4940 198,0209 240,332730 101,0730 122,3459 148,5752 180,9434 220,9132 270,2926
31 109,2182 133,2135 163,0370 200,1378 246,3236 303,847732 117,9334 144,9506 178,8003 221,2515 274,5292 341,429433 127,2588 157,6267 195,9823 244,4767 305,8374 383,521034 137,2369 171,3168 214,7108 270,0244 340,5896 430,663535 147,9135 186,1021 235,1247 298,1268 379,1644 483,4631
36 159,3374 202,0703 257,3759 329,0395 421,9825 542,598737 171,5610 219,3159 281,6298 363,0434 469,5106 608,830538 174,6403 237,9412 308,0665 400,4478 522,2667 683,010239 198,6351 258,0565 336,8824 441,5926 580,8261 766,091440 213,6096 279,7810 368,2919 486,8518 645,8269 859,1424
262
Finansijske tablice
IVpn%
n 1% 2% 3% 4% 5% 6%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,94342 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,83343 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,67304 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,46515 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,91737 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,58248 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,20989 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,886912 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,383813 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,852914 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,295015 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122
16 14,7178 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,105917 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,477318 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,827619 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,158120 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699
21 18,8570 17,0112 15,4150 14,0292 12,8212 11,764122 19,6604 17,6580 15,9369 14,4511 13,1630 12,041623 20,4558 18,2922 16,4436 14,8568 13,4886 12,303424 21,2434 18,9139 16,9355 15,2470 13,7986 12,550425 22,0232 19,5235 17,4131 15,6221 14,0939 12,7834
26 22,7952 20,1210 17,8768 15,9828 14,3752 13,003227 23,5596 20,7069 18,3270 16,3296 14,6430 13,210528 24,3164 21,2813 18,7641 16,6631 14,8981 13,406229 25,0658 21,8444 19,1885 16,9837 15,1412 13,590730 25,8077 22,3965 19,6004 17,2920 15,3725 13,7648
31 26,5423 22,9377 20,0004 17,5885 15,5928 13,929132 27,2696 23,4683 20,3888 17,8736 15,8027 14,084033 27,9897 23,9886 20,7658 18,1476 16,0025 14,230234 28,7027 24,4986 21,1318 18,4112 16,1929 14,368135 29,4086 24,9986 21,4872 18,6646 16,3742 14,4982
36 30,1075 25,4888 21,8323 18,9083 16,5469 14,621037 30,7995 25,9695 22,1672 19,1426 16,7113 14,736838 31,4847 26,4406 22,4925 19,3679 16,8679 14,846039 32,1630 26,9026 22,8082 19,5845 17,0170 14,949140 32,8347 27,3555 23,1148 19,7928 17,1591 15,0463
263
Finansijske tablice
IVpn%
n 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,89292 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,69013 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,40184 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,03735 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048
6 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,11147 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,56388 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,96769 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282
10 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502
11 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,937712 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,194413 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,423514 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,628215 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109
16 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,974017 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,119618 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,249719 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,365820 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 7,9633 7,4694
21 10,8355 10,0168 9,2922 8,6487 8,0751 7,562022 11,0612 10,2007 9,4424 8,7715 8,1757 7,644623 11,2722 10,3711 9,5802 8,8832 8,2664 7,718424 11,4693 10,5288 9,7066 8,9847 8,3481 7,784325 11,6536 10,6748 9,8226 9,0770 8,4217 7,8431
26 11,8258 10,8100 9,9290 9,1609 8,4881 7,895727 11,9867 10,9352 10,0266 9,2372 8,5478 7,942628 12,1371 11,0511 10,1161 9,3066 8,6016 7,984429 12,2777 11,1584 10,1983 9,3696 8,6501 8,021830 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269 8,6938 8,0552
31 12,5318 11,3498 10,3428 9,4790 8,7331 8,085032 12,6466 11,4350 10,4062 9,5264 8,7686 8,111633 12,7538 11,5139 10,4644 9,5694 8,8005 8,135434 12,8540 11,5869 10,5178 9,6086 8,8293 8,156635 12,9477 11,6546 10,5668 9,6442 8,8552 8,1755
36 13,0352 11,7172 10,6118 9,6765 8,8786 8,192437 13,1170 11,7752 10,6530 9,7059 8,8996 8,207538 13,1935 11,8289 10,6908 9,7327 8,9186 8,221039 13,2649 11,8786 10,7255 9,7570 8,9357 8,233040 13,3317 11,9246 10,7574 9,7791 8,9511 8,2438
264
Finansijske tablice
Vpn%
n 1% 2% 3% 4% 5% 6%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,06002 0,5075 0,5150 0,5226 0,5302 0,5378 0,54543 0,3400 0,3468 0,3535 0,3603 0,3672 0,37414 0,2563 0,2626 0,2690 0,2755 0,2820 0,28865 0,2060 0,2122 0,2184 0,2246 0,2310 0,2374
6 0,1725 0,1785 0,1846 0,1908 0,1970 0,20347 0,1486 0,1545 0,1605 0,1666 0,1728 0,17918 0,1307 0,1365 0,1425 0,1485 0,1547 0,16109 0,1167 0,1225 0,1284 0,1345 0,1407 0,1470
10 0,1056 0,1113 0,1172 0,1233 0,1285 0,1359
11 0,0965 0,1022 0,1081 0,1141 0,1204 0,126812 0,0888 0,0946 0,1005 0,1066 0,1128 0,119313 0,0824 0,0881 0,0940 0,1001 0,1065 0,113014 0,0769 0,0826 0,0885 0,0947 0,1010 0,107615 0,0721 0,0778 0,0838 0,0899 0,0963 0,1030
16 0,0679 0,0737 0,0796 0,0858 0,0923 0,099017 0,0643 0,0700 0,0760 0,0822 0,0887 0,095418 0,0610 0,0667 0,0727 0,0790 0,0855 0,092419 0,0581 0,0638 0,0698 0,0761 0,0827 0,089620 0,0554 0,0612 0,0672 0,0736 0,0802 0,0872
21 0,0530 0,0588 0,0649 0,0713 0,0780 0,085022 0,0508 0,0566 0,0627 0,0692 0,0760 0,083023 0,0489 0,0547 0,0608 0,0673 0,0741 0,081324 0,0471 0,0529 0,0590 0,0656 0,0725 0,079725 0,0454 0,0512 0,0574 0,0640 0,0710 0,0782
26 0,0439 0,0497 0,0559 0,0626 0,0696 0,076927 0,0424 0,0483 0,0546 0,0612 0,0683 0,075728 0,0411 0,0470 0,0533 0,0600 0,0671 0,074629 0,0399 0,0458 0,0521 0,0589 0,0660 0,073630 0,0387 0,0446 0,0510 0,0578 0,0651 0,0726
31 0,0377 0,0436 0,0500 0,0569 0,0641 0,071832 0,0367 0,0426 0,0490 0,0559 0,0633 0,071033 0,0357 0,0417 0,0482 0,0551 0,0625 0,070334 0,0348 0,0408 0,0473 0,0543 0,0618 0,069635 0,0340 0,0400 0,0465 0,0536 0,0611 0,0690
36 0,0332 0,0392 0,0458 0,0529 0,0604 0,068437 0,0323 0,0385 0,0451 0,0522 0,0598 0,067938 0,0318 0,0378 0,0445 0,0516 0,0593 0,067439 0,0311 0,0372 0,0438 0,0511 0,0588 0,066940 0,0305 0,0366 0,0433 0,0505 0,0583 0,0665
265
Finansijske tablice
Vpn%
n 7% 8% 9% 10% 11% 12%
1 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,12002 0,5531 0,5608 0,5685 0,5762 0,5839 0,59173 0,3811 0,3880 0,3951 0,4021 0,4092 0,41634 0,2952 0,3019 0,3087 0,3155 0,3223 0,32925 0,2439 0,2505 0,2571 0,2638 0,2706 0,2774
6 0,2098 0,2163 0,2229 0,2296 0,2364 0,24327 0,1856 0,1921 0,1987 0,2054 0,2122 0,21918 0,1675 0,1740 0,1807 0,1874 0,1943 0,20139 0,1535 0,1601 0,1668 0,1736 0,1806 0,1877
10 0,1424 0,1490 0,1558 0,1627 0,1698 0,1770
11 0,1334 0,1401 0,1469 0,1540 0,1611 0,168412 0,1259 0,1327 0,1397 0,1468 0,1540 0,161413 0,1197 0,1265 0,1336 0,1408 0,1482 0,155714 0,1143 0,1213 0,1284 0,1357 0,1432 0,150915 0,1098 0,1168 0,1241 0,1315 0,1391 0,1468
16 0,1059 0,1130 0,1203 0,1278 0,1355 0,143417 0,1024 0,1096 0,1170 0,1247 0,1325 0,140518 0,0994 0,1067 0,1142 0,1219 0,1298 0,137919 0,0968 0,1041 0,1117 0,1195 0,1276 0,135820 0,0944 0,1019 0,1095 0,1175 0,1256 0,1339
21 0,0923 0,0998 0,1076 0,1156 0,1238 0,132222 0,0904 0,0980 0,1059 0,1140 0,1223 0,130823 0,0887 0,0964 0,1044 0,1126 0,1210 0,129624 0,0872 0,0950 0,1030 0,1113 0,1198 0,128525 0,0858 0,0937 0,1018 0,1102 0,1187 0,1275
26 0,0846 0,0925 0,1007 0,1092 0,1178 0,126727 0,0834 0,0914 0,0997 0,1083 0,1170 0,125928 0,0824 0,0905 0,0989 0,1075 0,1163 0,125229 0,0814 0,0896 0,0981 0,1067 0,1156 0,124730 0,0806 0,0888 0,0973 0,1061 0,1150 0,1241
31 0,0798 0,0881 0,0967 0,1055 0,1145 0,123732 0,0791 0,0875 0,0961 0,1050 0,1140 0,123333 0,0784 0,0869 0,0956 0,1045 0,1136 0,122934 0,0778 0,0863 0,0951 0,1041 0,1133 0,122635 0,0772 0,0858 0,0946 0,1037 0,1129 0,1223
36 0,0767 0,0853 0,0942 0,1033 0,1126 0,122137 0,0762 0,0849 0,0939 0,1030 0,1124 0,121838 0,0758 0,0845 0,0935 0,1027 0,1121 0,121639 0,0754 0,0842 0,0932 0,1025 0,1119 0,121540 0,0750 0,0839 0,0930 0,1023 0,1117 0,1213
266
STATISTIČKE TABLICE
267
Statistike tablice
268
Statistike tablice
269
Statistike tablice
270
Statistike tablice
271
Statistike tablice
272
Statistike tablice
273
Statistike tablice
274
Statistike tablice
275
Statistike tablice
276
Statistike tablice
277
TABLICA VIII - Slučajni brojevi
278
Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.
CIP - Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд
519.2(075.8)(076)51-77:33(075.8)(076)
ЖИЖОВИЋ, Малиша, 1948- Kvantitativne metode : zbirka zadataka /Mališa Žižović, Olivera Nikolić, Ivana Kovačević. - Beograd : Univerzitet Singidunum, 2009 (Loznica : Mladost grup). -III, 278 str. : graf. prikazi, tabele ; 25 cm
Tiraž 2.000.
ISBN 978-86-7912-209-41. Николић, Оливера, 1948- [аутор] 2.Ковачевић, Ивана 1952- [аутор]а) Математичка статистика - Задаци b)Привредна математика - ЗадациCOBISS.SR-ID 169549580
© 2009.Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti izdavača.
