UŠĆUMLIĆ MATEMATIKA 2

www.etf.ba

_. - ._, ..... . .. . - ~~.

l V E R Z ( T E T BEOGRADU

PAVLE MlI.K"!ć MO CILO ĆUMLIĆ

ZBIRKA ZAD IZ TIKE II

I I2t>ANI

Rešenjem Rektora Univerziteta u Beogradu br. 06-347511 od 20. novembra 1969. na predlog Univerzitetske komisije za udžbenike ova knjiga je odobrena kao stalni pomoćni udžbenik

ZA PREDUZEĆE:

W. JURELA. glavni urednik D. LADN. urednik J. PRŠENDIĆ. tehnički urednik D. ALAGIĆ. korektor A. PAJVANČIĆ. naslovna strana

ŠTA1\1PA: Beogradski grafički zavod. Buj. vojvode Mišića 17. Beosnd

PREDGOVOR

"Zbirka zadataka iz više matematike lU. koja je već doživela treće izdanje i .,Zbirka zadataka iz više matematike U", koja se prvi put sada pojavljuje, čine jednu celinu koja obuhvata programe matematike na višim školama i programe matematike na prve dve godine većine fakulteta u našoj zemlji, kao i neke delove programa poslediplomskih studija.

Uloživši sve svoje višegodišnje iskustvo sa izVođenja nastave, prvenstveno smo želeli da ovim dvema knjigama pomognemo studentima na savlađivanju gradiva u toku studija i u toku sistematskog pripremanja za ispit.

Pri izradi knjige koristili smo sve postojeće zbirke koje su u upotrebi kod nas. bilo da su strane ili domaće, ali veliki broj zadataka su originalnog karaktera. Svi zadaci imaju rezultate ili rešenja. Veliki broj zadataka je urađen iii je dato uputstvo za rešavanje. Poređani su po oblastima, od prostijih do složenijih, a na početku svake oblasti date su I!ajvažnije definicije i teoreme koje se koriste u zadacima te i sledećih oblasti.

I za ovu Zbirku, kao i za treće izdanje prve Zbirke. recenzenti su bili vanredni profesori Prirodno-matematičkog fakulteta dr D. Ađnađević i dr M. Marjanović. koji su svojim primedbama i sugestijama doprineli da pojedini delovi u knjizi postanu preciznije i tačnije izloženi. l ovog puta im se na tome najsrdačnije zahvaljujemo.

P"scbno se zahvaljujemo magisIm matematičkih nauka M. Trifunoviću na saradnji u pisanju knjige.

Veliku zahvalnost dugujemo vanrednom profesoru Prirodno-matematičkog fakulteta dr V. Dajoviću na njegovoj inicijativi za pisanje ovih Zbirki i na podrškama.

Zahvaljujemo se dipl. ing. A. Miličić" na izradi crteža i kolektivima Građcvinske knjige i Beogradskog grafičkog zavoda koji su uspešno re"lizovali pojavu ovih knjiga.

Kao i do sada bićemo zahvalni svima koji nam ukažu na omaške, greške i nedostatke ove knjige.

Beograd Pisci 8. XII. 1969.

www.etf.ba

www.etf.ba

SADRZAJ

o va I

Redo .. i .~ •• .••.•.• • . . ... . •. . ... . . .. • .• •.... ..... ..... ... . .. ......

lt 1. ~ni redovi a potjtivnim čllm ima .. . ...... oo •••• ••• • • • oo. oo oo. oo. oo .. ..

f 2. Redovi S:l rom J ' m pr ZlI!I.~ elano i operacije sa ko Yu;en1Jtim red.ovima f ' . Ponovljeni i dvoJru redo I . ........... ... . .. . .•.. •.•• . • . .....•.•.•.. . ... ~ 4. Funkci alni ~CIovl ••.•• .••.. • .••..•..•. " •••• . . • •••••••.•••••••••••.••• ~ .s. S tcpeo.i r edovi .... oo • •• • oo •• oo ..... . oo ...... .. . . oo ................ oo oo . . ..

§ 6. FOurierTOvi redovi •..• oo .. ............ ........ oo .. .. ......... ..... oo • oo ...

§ 7. B~ko:nmi proizvodi . .• . • . . • • . • . .. .. ..•. • .•.....•........ . . ......... . . G ava IT

l ""cija)" ra~ 6uJitcija .. ik rt!IIlaill pl'Oml!l10irih . . • . . • . • • • . ...•..•.•••••••.• § l. GraDI 'iTCdoost I nepl"eJdd.n.o!l[ funk ' ville promenljivih ....••••••...

2. P :rciia.l.ni iz'i'Od1 i dlf8J'encljall. b:vod Blote (ull.locije .. • . • . . .. . .•• • ••• § 3. FunJcclouallllll deter1tun.ante. Oi(eren<:i1'otnje imp ic-imin {unke;' Smeoa pmmen-

Jj vlb .. ...... _ .• .. . .• • .. ..• .. . ..•. _ .••..•.••.... _ . .................. . ~. Tll)'lorov formuli. E/<stumumr runJ{(:ija. SlDgoiarne t:a.č.kc krivih u r.lvtl

Gv:a1U

L'StrWd i kri .. ollaijsk Ini II •••••••• _ • • • •• •• ••••••••• • •••• • ••••••••••••.

~ 1. Dvojf1i i I .. . .... . .. .... . .... ....... ... . . .. . . . ...... . ..... _ .. _ . .. . § 2. lxr<IČU aVll.lUe po iae ra lita. sr-m.oću dvo DOg mt qnt.ll . oo oo ..... oo ••••

§ J . Tu.eu.naV8.DlII ~mine POn'IOČlI đVOjOO8 tes:rata _ ......... .. . ...........•. § Wl&va!Ue povriIDe povrti. . •. •.... ...... .. ..•..•..•••..••..•• •.•••••.•. § 5. Pr1Dle~ dvojnQg !n~ .u md1Anici .. • . . . • . . • . . • •..•.•.•.• . .• . •..•...... § 6. l'OJl11 l V QtnJ I In[ev' 11 ••• o o • • • • •• o ••••••••••••• • ••• ••• •••• • •••• • •••••

~ 7. l%nII:amaV1lnje mprc:mi e pomoću tr'O$tru OB in eualll ... o •• •••• • •• • •••• ••••••

§ S. Prime!lll trojnoe lDlearal u mchAck1 .... .................. oo . ......... oo ••

§ 9. ivoLinij j Integral ........•........... . ..•.............. o • o • o ••••••••••

lO. fl ena. knvolinijskO!: Integrala . • .••.. •.•.•• . •.••.••••••••••••••.•..••••.• Ji. Poyrlinski in tegr:lL •••••••••••••• ••••••• •• .•. •.••....•.. • •• ... . . •..•......

Glava

V · tor lIJ12 %Il i elementl I r pOlja .•.••.•.••••.•.••....•.•.••...•.•..•...... I t. Vektor IlZII •.... . ...•.. • .. • ..•.... . ...••.•......••..... . ......... .. • 2. Elementi leorlje poljli ....••.••.•...•• • .•.•••••• • .•.. •.•••• .•. •.••.•.•••.

I ri'

u prostoru

ml povr i,.: .•

G \'ll vl

O I va VJ1

zo lli niČU .0... . •... .. .................... .. .... ...... ... .... .......... I. Si5 cml i omue .. . ..... . ... ... . ..•.. .....•... ... .•.•.........•.••. 2. Tr nsro tl. ~IJe pro nljrvih. Teozor.5b teba ....................... ..

no ....

l 1

II 14 19 26 30

3t. 3

~ ss f> 1

6S 73 1

8 1 90 en s)6 99

10 109 I II !lS m DO

140 140 1 .9

l1S 175 1.9

§

I

SUIOtll

3. Tenmrsk:a. a. i2a ..... • .•••.• oo .oo ..... ....... ... oo oo oo •••••• oo •••• oo •• • • 18J 4. Prim':1)ll tcn r~ tl difcre1\d,aJnoj eometriji i mehani i ... . .. " ... .. oo .. . oo oo J91

Oj)

f i •

O va VIn

da ...................... ............. .... . jedrili ' na poor; teda ... •.. . •.•.. . •••.• ....... •

Glava bC

Gl:lvll X

..... ....... ............ ......................... . .. . .........

Gla . ...... .. ............................................ . ... oo ..... . ........... .

J. Odrod :lnjc $Iiltc i oligina A ............. ... ....... oo ••• oo oo oo ...... oo.

2. PrimcIllI opcnc'ooo~ ra. \lDll na ~lav~ dl ija1nJh jedn ĆJOB •••• •••••••• 'l. ,,"me D operllci nos postu,pb na nIAa~ dI.t. oo Inlh jcdn.~ sl! lITB\l'

197

197

241

245 251 .ss 266 ~3

9l 293 298

~. 317 32

7 33

~9 S2

3S4 J57 J60 ,. 364 366 ]68 369 37

376 376 ]81

mCOlom odstupanja j dl~l:nih . lM ....... oo • oo oo oo oo oo oo .. oo. • oo,

§ .. PrimeM dono ra.čtm& Dll re!ava.n nđlb lipova inte Ta nib jednačin ) 8 392

RaČ"1 >W{) 1111 • . oo .... oo • • • • • •• • ••• oo • • oo •• oo • oo ... oo ................. oo • • • 397 I. (h \'l1i pojmovi i đefinicijc .....•. •. . •.•• . •.•.••.•.. ... . . •.........•..• 39'1 2. Geornc 'jska l'tlOnt O •• •• • . . . . . . . .. .. . . . . . . • . • . • . • . . . . • . •• ....•..•.. 405 J. U$lOvna YeTOY tDoćL Proi2:vod i zbir ~vatnoća. 'totalna \lIlInoča ..••. 'I. lu n:,vlUljc ,",",va.u'\oćc pojl.-e do • ti pooavU II D Y l P lt. . • . • 4110 S. Slučajne velič' ~ I n ·ih.o ~ karaktenstike ..... oo. oo oo oo oo oo oo oo ••• oo oo oo oo 42.8

R zu] U . .•• .•.• • •..... ... . .•. •. •••••••••••••••••••••.•.•• •. •.•.• 449

Glava I

REDOVI

§ 1. Redovi S~ pozitivnim članovima

J" K o n v ~ r g e rl C i j a r e d a. Brojni red

(J) aJ +a2 +aJ +···+an+···= I an ,;=1

je konvergentan ako po,,(oji konačan limes

lim S,,~S tl-700

gde je Sn =a, +a2 + ... -ran (delimična suma reda (1)) i S zbir reda (1). U protivnom slučaju, kaže se da red (1) divergira.

yea u e h y e v k r i t e r i j u m. Potreban i dovoljan usiov da red (1) konvergira jeste da za proizvoljno 1:>0 postoji prirodan broj N~N (e) takav da je za n>N i p>O

ISn+p-Snl<l:·

Specijalno je lim a" = 0, ako red konvergira. n-...,

3 0 Testovi upoređivanja. Neka je, pored (1), dat red

8 (2) b,+D2 +D,+···+b,,+···= .Lbn.

n=l

1) Ako je za n> Ilo ispunjena nejednakost

tada iz konvergencije reda (2) sledi konVergencija reda (1) iz divergencije reda (l) sledi divergencija reda (2).

2) Ako je

lim a" =Ic n~oo bu

(O <;Ic <; oo)

tada iz konvergencije reda (l), za lc < oo, sledi konvergencija reda (2), a iz divergencije reda (l), za lc> O, sledi divergencija reda (2).

www.etf.ba

Glava I

REDOVI

§ 1. Redovi S~ pozitivnim članovima

J" K o n v ~ r g e rl C i j a r e d a. Brojni red

(J) aJ +a2 +aJ +···+an+···= I an ,;=1

je konvergentan ako po,,(oji konačan limes

lim S,,~S tl-700

gde je Sn =a, +a2 + ... -ran (delimična suma reda (1)) i S zbir reda (1). U protivnom slučaju, kaže se da red (1) divergira.

yea u e h y e v k r i t e r i j u m. Potreban i dovoljan usiov da red (1) konvergira jeste da za proizvoljno 1:>0 postoji prirodan broj N~N (e) takav da je za n>N i p>O

ISn+p-Snl<l:·

Specijalno je lim a" = 0, ako red konvergira. n-...,

3 0 Testovi upoređivanja. Neka je, pored (1), dat red

8 (2) b,+D2 +D,+···+b,,+···= .Lbn.

n=l

1) Ako je za n> Ilo ispunjena nejednakost

tada iz konvergencije reda (2) sledi konVergencija reda (1) iz divergencije reda (l) sledi divergencija reda (2).

2) Ako je

lim a" =Ic n~oo bu

(O <;Ic <; oo)

tada iz konvergencije reda (l), za lc < oo, sledi konvergencija reda (2), a iz divergencije reda (l), za lc> O, sledi divergencija reda (2).

www.etf.ba

4.

O.

r. REDOVI

'" l Kao komparativni red (2) često se upotrebljava red L - koji konvergira za p> 1 i

n=l nP divergira za p< 1.

4 o D' A l e m b e r t o v t e s t. Ako je

-.- tln+l hm .--~q

an

tada je za q< 1 red (1) konvergentan. Ako je lim an+. =q> 1, red (1) je divergentan.

11--:»-00 an 5° C a li c h y e v t e s t. Ako je

n

iim Van=q (a,,;;<>O),

tada je za q< 1 red (1) konvergentan a za q> 1 divergentan.

6° R a a b e o v t e S t. Ako je

. (un ) lim n ----1 =p n-:,.oo an + I

tada je za p> 1 red (1) konvergentan a za p< 1 divergentan.

7° G a Ll s s o v t e s t. Neka je.

an . !-' en --=A.+-+-

Q n + 1 II n1 + t (a,,>O),

goe Je On ograničena funkcija od n i 8>0. Tada red (1) konvergira za A> 1 i za A = l ako je fl.> 1. Za ,1,< 1 i za ,1,=1 ako je p< 1, red (1) divergira.

8° Caucl1yev integralni test. Ako je f(x) (x>O) nenegativna rastuća funkcija, tada red

oo

.L fen) n=1

konvergira iIi divergira istovremeno sa integralom

J f(x) dx. 1

Za sledeće redove naći deIimičnu sumu Sn limes limSn=S: " ..... '"

oo oo (_1)710-1 oo 1 L q". 2. 2: 3. 1~] n(n+ 1) n=1 n=1 2710- 1

oo 1 oo 2n+ 1 L (kEN). 5. n~] n2 (n + 1)2 11=0 (n+k) (n+k+ l)

~[~ __ 1 l n~l1n(l+ ~). n n+l

7. 8. i (tla- Va) (a>O). 11=] n" (n + I)k N=l

§ 1. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA

oo 1 9. L ------- gde pozitivni brojevi an obrazuju aritmetički nIZ.

n~2 ji a"'-l + va: oo co

3

10. oo 1 "arctO'-- . ~ bl)..,

n. 1° L qn sinllx('iqi< 1); 2° 2: qn cosnx Ciqi<l). n=l ...... n- n=l n=l

12. Površine ograničene krivom Ji = e-X V'sinx (x;;<> O) i x-osom rotiraju oko x-ose. Naći zbir zapremina tela koja nastaju ovom rotacijom.

13.

15.

Na osnovu opšteg člana reda, an, zaključiti da sledeći redovi divergiraju:

'" n ')-.

n--=! II + l 14. L sinna

,,=1

'" (7l 7l) >' cosna --<a<- . ,,";;'0 2 2

16. oo 11.

L n n=l V'n!

Odrediti granice kojima teže sledeći izrazi kad

17.

1)-+00:

oo

""' 2. -n---'

n=) ]!n+a

l n 18. an =- 2.: e-l.'.

n k=O

1 n

19. an=- 2: Ink. n k=l

1 n 21}. Gn=- L ka (a>-l).

n1+a k=l

21. Na osnovu Cauchyevog kriterijlIma dokazati da konvergencija reda oo ro Pn+l-1 L an pOVlači konvergenciju reda L An. gde je An= L ai (Pl = 1,

11=1 n=l

Pn <P"'+l, 7<=1,2, ... ). ~ oo

22. PokaZ'.Lti da je II prethodnom zadatku L an = L An. n=l n=l

Koristeći Cauchyev kriterijum dokazati da sledeći redovi konvergiraju:

'" a· 23. ao+ L ~ (iaii<b, b>l).

j~l b

25. '" COSllX-cOs(n+1)x L--'--"-'

11=1 n

24.

26. Koristeći Cauchyev kriterijum dokazati da red l ~ divergira. n=3 n

Z "'d' d~lk naJUCl a Je re L., - onvergentan n=1 na

za a>l divergentan za a < 1

ispitati konvergenciju sledećih redova:

oo 1 oo l oo l 27. L-' 28. L . 2~. ,,-- (a>O).

11=1 2n-1 ,,=] (2n-1)2 n7:1 1 +an

'" ~]ln+l-y,; 30. L 31. I 32. JI=l njln+ 1 n=l ]l3n(2n-1) lJ=1 V'n .

www.etf.ba

4 I. REDOVI

33. ~ l (a>O). n=l(an+b)P

34. ~ (Va--l) (a> 1).

35.

11=1

36. ~ _1 In ( n + 1 ) n=zVll n-l'

. 1 nSlli-

37. ~ (~-ln n+ l). 11=1 n n

'" n

n~l VnZ+T 39.

<13.

49.

41.

oo

."~3 (lun)lnn 44.

'" l 47. 2----.

n=3 (ln n)lnlnn

ch~ 45. ~ ln __ n_.

n=;' :rc

48.

cosn

Za dovoljno velike vrednosti .n važi sledeća Stirlingova formula

o n! = J/2nnnn e -n+lli (O<!.ln< l).

Koristeći ovu formulu ispitati konvergenciju sledećih redova:

50. "" n 2:-" .

n= l 1 !:::"l yn,

51. ~ l~n! . 11-=1 n111n

"" 1 53. Dokazati da je red >' - divergentan ako je al' az, a3 , •.• aritrnetički niz.

n7:l an

54. Da li je konvergentan red ~ ~ ako je al' az, a3, ... geometrijski niz? 11=1 an

'" '" 55. Ako je red 2: an (an> O) konvergentan, dokazati da je red 2: a; takođe n=1 n=l

konvergentan. Primerom pokazati da obrnuto ne važi.

56. Iz konvergencije redova .z a~ i :z b~ sledi konvergencija sledećih redova: n=l n=l

3° ~ ~. Dokazati. n=l n

oo

10 2: lan bn !; n=1

co

2° 2 (a" ± bn)2; n=l

§ l. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA 5

eo

57. Ako je red 2: an konvergentan ako je za dovoljno veliko n an > an+l >0 n=l

tada je lim nan=O. Dokazati. n_'"

Koristeći D'Alambertov test ispitati konvergenciju sledećih redova:

5S; "" J "" 210 "'an 2:-. 59. 2:-. 60. 2:- (a> O). n=ln! n=l n n=ln!

'" nl '" nP oo (x\" 61. 2:-':". 62. 2:-. 63. 2:n! - (x>O). n=lnn n=ln! n=O \ n!

~

~ xn ., (2n-I)!!. . 64. (x>O, y>O). 65. 2:

n=l nY n=l (2 n)!! 211.+1

66. '" an I-------

n=l (l + a) (l + a2) • •• (1 + an)

"" 3 5 1n+ l

67. 10 2: OI2-V2)()!2-)I2)· . ·(112-)12); 11=1

'" 3 5 2n+ 1

2° 2: (V5-j!5) (VS-VS) . . ·O/S-VS). n=l

"" 68. Ako red 2:an (an>O) kOl1vergira, dokazati da može biti lim an+1 =q>1. 11=1 n-+oo an

"" n sin2 lc a 69. Dokazati da je red 2: TI kop.vergentan za svako a l X.

n=lk=l 1 +x2+cos2 ka

\)..j 75.

Koristeći Cauchyev test ispitati konvergenciju sledećih redova:

'" n (jJ 71. ') --o

n7::! (ln n)"

Z (~)n, gde je lim an=a, x>O, an>O. ,,~l an

oo 112+1

2:a~. 11=1

~76. 'l

(a> O). I

JJ oo (X \" 72. 2: -)

n=l n (x>O).

" _ oo (' n-2 ),,(n+1) l 14.2:-- . l n=Z n+2

oo nk 77. '>:'--- ·(a>l,b>l).

.-=-! a"+ b"

78. Ako D'Alembertov test rešava pitanje konvergencije nekog reda onda ga rešava i Cauchyev test. Obrnuto ue važi. Dokazati.

www.etf.ba

6 I REDOVI.

oo

79. Primeniti D'Alembertov i Cauchyev test na red L an gde je aZk-1 = n~l

2k - 1

3k - 1

hodnom

2k-l . a ,. = -- (k = 1, 2, ... ) 1 potvrditi drugi deo teoreme II pret-

2," 3k

zadatku.

80. Ako je lim V an = q (an> O) tada je red za q < l konvergentan a za q> l

divergent;:. Dokazati.

Ispitati konvergenciju redova:

82.

oo n

SJ (a> 1).

83. I (1 + cos n )2n-lnn

n~l 2+cosn 84. 2: V''-I x'-Inz=-+-"'I.-'v l--"-n2

•

n=l

Koristeći Raabeov test ispitati konvergenciju redova:

oo n' ,JI 85. 2: . .v

,,~l (a + l)(a+ 2)· .. (a+ n)

oo (2n-1)!! . __ l_.,~y) 86. 2: -Ć.-_-'--n~l (2n)!! 2n+1

oo a(a+l)·· ·(a+n-1),B(,B+1)·· ,(p+n-1) 87. 2

n~l n!y(y+1)·· ·(y+n-l)

(7

88. Z ( ll) ( 0; ( vn) (a>O). n~l a+l I a+ 2 ... a+ n

'" 1 (n)" 89. z- - . n~l n! e

90. Z -=a:...:;(..-a +~1 ):........_. _. (O-a:.......+_n_-_l-'-..)

n-l n! (a> O).

na

91. ID ln(1+k) (a>O). n~lk~lln(l +a+k)

Koristeći Gaussov test ispitati konvergenciju redova:

(lo r (2n-I)!! JP oo [ p(p+l)·· ·(p+n-l) Ja I 92. Ii . 93. 2: \Jn~~ (2n)!! n~l q(q+l)'" +(q+n-l)

(p>o, q>O).

Koristeći Cauchyev integralni test ispitati konvergenciju redova:

94. '" 1 2-;;-' n~l n

95. ~ l n~2 n (ln n)"

(a> 1).

96. l° I I ; n~2n In3 n ln2 (Inn)

oo

2° 2----n~2 n Inn In (Inn)

97.

§ 2. REDOVI SA PROMENLJIVIM PREDZNACIMA ČLANOVA I OPERACIJE .•. 7

oo 1 Neka je s= L - Ca>l).

n=! nO. l ° Pokazati da se, ako se umesto S uzme

S ~ l v·· vk n = L, -, CilU gres a k~lko

. d I l manja o --.--a-l nO

- 1 2° Dodajući još da je

" JdX . . '"' 1 .,... ..., = Sn + -va' pokazati da je S Između ...,--- l Lo.

"" 2na

1: __ 1_+ a <S<1: __ 1_+ a 2 n" 12 (n+ 1)°+1 2n° 12(n-1)0+1

3e Pokazati da je

oo

98. Ako je an>a'i+' >0 za svako n dovoljno veliko, dokazati da red 2: an

9.9.

1l=1 oo

i red L 2n a2" istovremeno konvergiraju i divergiraju. r.=!

Ispitati konvergenciju redova:

~ j/n+a-v;;+b n=! na (a>O, b>O). 100. I(~+Jnn+1).

n~l JI n n

alogit n+b

102. I },clogl.n+d (l.>l). n=l

§ 2. Redovi sa promenIjivim predznacirua članova operacije sa konvergentnim redovima

10 A p s o l u t n a k o n ver g e n c i j a. Kaže se da red

'" (1) 2: an

n=l

konvergira a p s o l II t n o ako konvergira red

oo

(2) 2I a"l. n=l

U tom slučaju konvergira i red (1). Zbir apsolutno konvergentnog reda ne zavisi od poretka sabiranja njegovih članova. Ako red (1) konvergira a red (2) divergira, kaže se da red (1) u S lov n o konvergira. Zbir uslovno konvergentnog reda promenom poretka sabiranja njegovih članova može imati proizvoljnu vrednost (Riemannova teorema).

20 T e s t o v i k o n ver g e n c i j e. l) Leibnizov test. Naizmenični red

b,-bz+b,-b4 +··· +(-1) "-'bn+···

konvergira ako je bn>bn+,(1l~1,2, ... ) i lim bn~O.

U tom slučaju za ostatak reda Rn~(-1)nbn+,+(-1)1t+'bn+2+'" važi ocena

www.etf.ba

8

103.

J. REDOVI

oo oo

2) Abe/Ol' test. Red L a"b" konvergira ako konvergira red 2 an i ako brojevi n=l n=l

bn obrazuju monotono ograničen niz. oo

3) Dirichletov test. Red 2 anb,. konvergira ako su delimične sume A~ ~ n=l

rl

~ .2 ale ograničene i ako bn monotono teži nuli kad n-l- oo. "=1

co = 3° O p e r a e j j e s a r e d o v i m a. Ako red 2: an i red 2: bn konvergiraju tada je:

n=l n=! oo '" co

1) 2: an ± 2: bn ~ 2: (an±bn); n=l n=I n=l

gde je en = aJ bn + a2 bn - J + ... + an b, i bar jedan od datih redova apsolutno konvergira.

Primenom Leibnizovog testa dokazati konvergenciju redova:

= (_1)17-1 L a

n=l n (0.>0).

'" (- 1)n 104. L-~-__ n~1 II (n + l)

Može se dokazati da iz

'" '" '" 105. L a,,=A, L bn=B, L c,,=C

n=l 1:=1 n=l

(Abel)

Ispitati apsolutnu uslovnu konvergenciju redova:

106. '" -j (I.M )" """ 11 '-' ~ ~ (-l)n-_~=-,-_

1l= 1 l/n. "" 1

107. L (-I)"tg-. n~1 rt

oo

"" (-n" lOg. '" --'-. n~2 ln n

109. L ( _1)"-1

(n + 1) a2n 1'1=1

110. Da li se može primeniti Leibnizov test na red

l l l 1 l l _______ + _______ + ... .L _______ + ... ? )12- l )12+ 1 V3-1 ].13+ 1 '(n-l )In+ l Konvergira li dati red?

111. '" (-1)"-1

Znajući da je L ln 2 naći sumu reda 11=1 rz

l l l l 1 1-----+-----+ .

1 1 l . . +---------+. 24368 2k-l 4k-2 4k

koji je nastao od datog reda premeštanjem njegovih članova.

§ 2. REDOVI SA PROMENLJIVIM PREDZNACIMA ČLANOVA I OPERACIJE •.. 9

Primenom Dirichletovog testa dokazati konvergenciju sledećih redova:

112.

115.

n (n-I)

'" (-1)-2-L~-'---n~l IZ

'"

'" (_1)fV;;-1 113. 2: -'---'---

n=l n

L a" cos n o. gde je an- 1 >an>O, lim an = o. n=l ll-+CO

.:;:. sinna. 114. L.,

n~2 Inn

oo ln2n . nn 116. 2: --SIU-'

n~1 n 4 "" 1 n n2

117. 2 --cos--' n~2 In2n 17+ 1

Primenom Abelovog testa dokazati konvergenciju redova: --",

1118. Z (-1)n(1 +~)ntg~. ''--/ n=l IZ IZ

Pokazati da sledeći redovi konvergiraju tačnošću od 0,01.

izračunati njihov zbir sa

121. 122. oo (-l)n 2: .

n=2n(n+ 1)(17+2)

Koliko članova reda treba sabrati da bi se dobio zbir sa tačnošću 10-6 :

124. ~ sin n° . n=1 vn

. 1 ~ (-1)n-1 125. Dokazati da Je -< L cr < l

2 ,,=1 n (a>O).

126. "" (a-l)na" L --'----'----"~l (2"+1)1n(n+1)

Ispitati USlOVllU apsolutnu konvergenciju redova:

127. '" n' 2: (-l)"-=-' n=l nn

128. ~ (-1)"'-1 2n

si112" X •

n=1 n 129.

130. ~ C- 1)"f (2n-l)!! r n~l L (2 n)!! J

oo a" 131. L -b - Cb;;.> O). 132.

n=1 "+n

133. oo sin nx L n=I na.

(O<x<n). ( . !ln] Sln--

134. i ln l + -~ . n~1 n

. nn 8111--

"" 12 L-' . 11=2 Inn

nn cos--

~ 4 5--' . ~ a

/.=1 JZ

www.etf.ba

10 I. REDOVI

oo oo oo

136. Ako su redovi 2 an 2 bn divergentni, može li biti red 2 (an ± bn) n=l n=l n=l

oo 1 oo 1 konvergentan? Posmatrati redove: 2 - 2 ---'

n=1 n n=l n+l oo

137. Da bi red 2: Cn (cn = al bn + az bn- l + ... + an bn) bio konvergentan, mo-n=l

oo oo

raju li oba reda 2 an 2 bll. biti konvergentna? n=1 "=1

.. 1 138. Transformacijom članova reda 2 - sin n sin n2, pokazati da ovaj red

n=l n konvergira i da mu je zbir između O i 1.

all.+1 3 (-1)11. . --=-+---, ispitatI apsolutnu an 4 2

139. Ako je al = 1 ,

.. genciju reda 2 (_1)11. an'

n=l

Naći zbirove sledećih redova:

oo 140. Ž (~+ (-1)11.).

n=l 3 n 211. 141. :2

142.

. 3-4n Slll---7l

2 __ 6 __ n=l 2n

n=1

(-1)n(2n+1)+1

n(n+ 1)

l43. Koristeći jednakost ~ ~ = 2 naći zbir reda ~ ~ . 11-::0 2'" n7::1 211.+1

uslovnu konver-

~44. Naći Cauchyev proizvod reda ~ ~~ sa samim sobom i pokazati n=O V n+ 1

da tako dobijeni red ne konvergira iako dati red konvergira.

. k' d . ~ n(n-1) . l45. Koristeći Cauchyev proIzvod po azatI a Je L, = 16 pa zatim 11=2 211.-2

oo n2 naći zbir reda 2 - .

n=1 2 '"

,~46. Dokazati da je 2- 2--=1. ( '" 1) ( '" (-1)11.) n=O nl n=O n!

§ 3. PONOVLJENI I DVOJNI REDOVI II

§ 3. Ponovljeni dvojni redovi

Data je beskonačna matrica

Neka su elementi matrice A, ai!, biJa kako poređani u niz

(1)

i neka je pomoću njega formiran red

(2) 2 Un

n=l

koji daje "zbir" svih elemenata matrice A. Najčešće se upotrebljavaju sledeća tri metoda nalaženja "zbira" svih elemenata matrice A:

lOM e t o d t r o u g l a. Obrazuju se zbirovi:

Sl=a Il , SZ=Sl+a12+aZl' S3=S2+ alJ+ a22+ a.H'···

traži se granična vrednost niza

Ako ova granična vrednost postoji i konačna je, kaže se da red (2) (un = II

= 2 a, n-i+l) konvergira po Cauchyu i zbir mu je i=1

2' M e t o d k o n a č n i h p r a vou g a o n i l: a. Obrazuje se konačan zbir

i traži se dvojni limes

i=n, j=m

'" Anm= L, i.j=l

Ako ovaj limes postoji i konačan je, kaže se da dvojni red

oo

(3) 2 Uij

i,j=l

konvergira zbir mu je

S~ lim An",' n-H" m-~OO

www.etf.ba

12 l. REDOVI

3° Metod beskonačnih pravougaonika. Ako sve vrste matrice A obrazuju konvergentne redove

i ako red oo

2: Ai j=l

konvergira, kaže se da konvergira ponovljeni red

oo

(4) 2: 2: aij' /=1 j=1

Takođe je ponovljeni i red oo oo

(4' ) 2: 2: aw j=l i=l

4° Va ž n i j e t e o r e m e. 1) Ako red (2) apsolutno konvergira tada je

2) Ako red 2: j=l

oo oo

2: Un = 2: n=l j=l

"" 2: la"Ji konvergira tada konvergiraju i=l

oo oo oo

važi 2: 2: ail = 2: un' j=l i=l It=l

oo oo

3) Ako red 2: 2: I a'jl konvergira tada je j=1 i=1

oo oo

redovi 2: 2: ail }=1 i=l

4) Za konvergenciju dvojnog reda (3), pod uslovom Clij,>O, potrebno je i dovoljno da su mu delimične sume

i=n, .i=m

Anm= .2: ai} i. j=l

ograničene.

5) Neka su članovi niza (1) elementi matrice A i neka se svi članovi matrice A nalaze tl nizu (1). Ako bilo koji od redova (2), (3), (4), (4'), posle zamene njihovih članova sa apsolutnim vrednostima, konvergira, tada konVergiraju svi i imaju isti zbir.

'" l 147. Ispitati konvergenciju dvojnog reda 2 . i,k=l iPkq

oo l 148. Dokazati da dvojni red 2: --- konvergira za p>2.

i, k~l (i + k)P

§ 3. PONOVLJENI I DVOJNI REDOVI

149. Naći zbir ponovljenog reda

150 N k '. _ i-j (i+j-3)! . e a Je. a;j----2i+1-2 (i-l)! (j-l)!

(i> 1, j> 1),

ai1=2-(;-1) (i> l), alj=-2-(i-!) U>l), all =0.

oo

Pokazati da je: 10 2: 2: ajj = l; j=1 i=1

oo

20 2: 2: a;j=-l. i-I j=1

13

151. Neka je r<p. Dokazati da iz konvergencije reda n~1 C~ Iu.lr ) l/r sledi

00("" )1 konvergencija reda n~1 V~1 luvlp "P.

152. Neka je r<p. Dokazati da iz konvergencije reda "~I C~I lu (n, /11) lT}~ oo (O<> \~ oo

sledi konvergencija reda 2: 2: I u (n, m) I P)P . Mogu li sigme 2: m=l rJ=l nl=l

promeniti mesta pa da iskaz važi?

Dokazati da je:

oo l 153. 2:

m,,,=2(p+n)m p+l (p>-l).

oo

155. 2: 111.11=1

oo

156. 2: 111,n=1

:n; 1 ----=---1n2. (4n-1)2m+l 8 2

----=~ln2. (4n-l)zm 4

157.

15° P k . d' ~ xp Xq > O o. O azatl a Je L. p,q=l p+q+ 1

154.

oo

oo l 2: -.-=ln2. m=2, ,,=. (2 n)m

2: m,n=l (4n-2)zm 8

ako je

'"

2: 1"1=]

159. Neka je: ~ X;= 1, p=!

i neka red 2: apqxpYq konvergira. p,q=l

Pokazati da su sledeća dva iskaza ekvivalentna:

konvergira,

konvergira.

www.etf.ba

14 I. REDOVI

160. Neka je: oo 2 " X = 1 L p , Dokazati da je

p=l

co xp Yq L L <n. p=O q=O p + q + l

161. Kaže se da beskonačna matrica A = ('41)4J=1 preslikava niz {xn} II niz

162.

-[ x~} ako je x~ = ~ anj Xj j_l

(n = 1, 2, ... ).

Pokazati da beskonačna matrica A, kod koje je lim an" = 0, transformiše n->-oo

svaki ograničen niz' II nula niz tada i samo tada kada je lim ~ land = o. n~oo k=l

" Posmatrajućiln=~ [t[i (-lY(XrCosrt-YrSinrt)lJ2 dt i koristeći:

:rc \. T=l

J t sin mtdt m

J t cos mt dt = ° (m ceo broj različit od nule),

pokazati da je In = 2 (Sn - Tn) gde je

Sn=iiXpYq

, p=l q=1 P +q

CL' označava da se pri sabiranju izostavljaju članovi gde je p = q). Ako je:

T= L ~,XPYq, p=1 '1=1 p-q

dokazati cia je: I S I < n, I TI < 2 n.

oo 2 oo

L Xp= L y~= l, p=l '1=1

§ 4. Funkcionalni redovi

1 ° O b I a s t k o II Ver g e II c i j e. Skup X, onih vrednosti -". za koje funkcionalni red

"" (l) L Un (x)

n=l

konvergira, zove se oblast konvergencije. 2 0 Uniformna konvergencija. Kaže se da niz funkcija

U, (x), 1I2 (x), ll, (x), ...

uniformno konvergira na skupu X ako za svako x E X postoji funkCija u (x) = = lim Un (x) i ako, za proizvoljno c>O, postoji broj N = N (e) takav da je

lU (x)-un (x) I <e

za svako n>Ni za svako xEX.

§ 4. FUNKCIONALNI REDOVI 15

Funkcionalni red (l) je uniformno konvergentan na skupu X ako na tom skupu uniformno konvergira niz njegovih delimičnih suma

n

Sn (x) = L U. (x) (11= 1,2,3, ... ). v=1

3° Cauchyev kriterijum za uniformnu konvergenciju. Da bi red (1) uniformno konvergirao na skupu X, potrebno je i dQvoljno da za svako c>o postoji broj N=N(c), takav da je za n>N i p>O ispunjena nejednakost

I n+p t

! Sn+p(x)-Sn (x) I = L Uv(X) <c t'=71+1

(xEX).

4° Testovi uniformne konvergencije. 1) Weierstrassov test. Red (1) konvergira apsolutno uniformno na skupu X

'" ako postoji konvergentan brojni red 2: Cn takav da ie za svako x E X

17=1

(n = 1, 2,.. l.

2) Abelov test. Red

'" (2) L an. (x) bn (X)

71=1

uniformno konvergira na X ako red L an (x) konvergir:: uniformno na X i ako je niz funkcija bn (x) (n= 1, 2, ... ) ograničen i monoton za svako xEX.

3) Dirichletov test. Red (2) uniformno konvergira na X ako su delilllične SUll1(' n

L av (x) ograničene i ako niz bn (x) (n = 1, 2, ... ) za svako x E X monotono ; :11=1 uniformno konvergira ka nuli kad n->-oo.

5° Osobine funkcionalnih redova. 1) Zbir uniformno konvergentnog reda neprekidnih funkcija je neprekidna fnnkcija.

2) Ako funkcionalni red (1) uniformno konvergira na intervalu (a, b) i ako postoji oo

lim lin (x) ~ An (n ~ 1,2, ... ) lada: a) red L An konvergira i b) važi jednakost x--?a Jl=l

3) Ako su članovi konvergentnog reda (1) neprekidno diferencijabilne funkCije na

intervalu (a, b) i ako red L u~(x) uniformno konvergira na (a,b) tada je zaxE(a,b) ll=!

., L u~(x).

n=l

4) Ako su članovi reda (1) neprekidne funkcije ako red uniformno konvergira na konačnom segmentu [a, bl tada je

b b

(3) J L~l Un(X)}dx~Jl Jun (x) dx

www.etf.ba

16

163.

166.

169.

172.

l. REDOVI

b

Ako f {. ~ u, eX)} dx->-O za n->-oo onda je formula (3) tačna i u slučaju beskol=n+l

a načnih granica integracije.

Odrediti oblast apsolutne i uslovne konvergencije redova:

oo (_1)"-1 (2x)n oo n '" 3" I ' 164. )-. 165. I-· n~l n n7::1 xn n=1 xn

oo i oo oo finx)"

n~1 n(x+ 2)n' 167. I n Vsin"x. 168. I~--·

n=l 11=1 n

oo 1 '" (2n-1)!! (~r ~ xn

I 170. 2: 171. 11=1 x2+n2 n=l (2n)!! 1 +x2 n=l l +x2

"

oo n oo 71.2 oo 2" sin"x I cosnx. 2: ne-x 173. 2:~. 174. I 175. n=l n~1 nl n=l nZ n=l enx

176. Dat je niz funkcija un(x)=x" (n=l, 2, ... ). l° Pokazati da dati niz konvergira na odsečku [O, l] i naći mu graničnu vredllOSt. 2° Pokazati da na odsečku [0,1] niz funkcija ne konvergira uniformno. 3° Da ii dati niz konvergira uniformno na odsečku [O, a] (a< l)? Za ispitivanje uniformne konvergencije nizova funkcija korisno može da posluži sledeća teorema:

177.

179.

181.

183.

Da bi niz Un (x) uillfornmo konvergirao graničnoj funkciji u (x) na skupu X potrebno i dovoljno je da je

lim {sup i Un (x) -u (x) i } = O. Il~OO xEx

Ispitati običnu i uniformnu konvergenciju nizova funkcija na datim intervalima:

un (x) =11 (l-x) xn-l, xE[O,lJ. 178. Un (x) UX

XE[O, l]. l+n+x

Un (x) = ~ X2 + l , 180. () sinnx xE [a, b]. xE(-OO,oo). Un X =--, n2 n

un (x) = arc tg nx, xE(O,oo). 182. un (x) =enOnx- 1), xE (l, e).

( xr Un (x) = 1+-;:;- , l° x E (a, b); 2° XE(-oo,oo).

Koristeći Cauchyev kriterijum ispitati uniformnu konvergenciju redova:

'" 184. 2:xn za: l° ixi<Q<I;

n=O

§4. FUNKCIONALNI REDOVI 17

~ xn, 185. L n~1 n2

xE[-l,l]. 186. '" l I ' n~2(x+n-l) (x+n)

xE[O, a].

oo

187. I x(1-x)", XE[O,l]. oo nx

188. I ,XE[l CO] n~I(1+x)(1+2x) .. ·(l+nx) '. n=O

189. '" (x-l)(x-2) . .. (x-n) Ako red I an (Newtollov red) konverg'

,,~O nl Ira za x=xo, xo~O, 1,2, ... , dokazati da konvergira za svako x>xo.

'" 190. Dokazati da iz konvergencije reda I (-l) n

n 1 -XL -

an e k~llc sledi kOllver<>en 11=1 b -

oo (x-l)(x-2) . .. (X-n) I an . n~O nl

cija reda

191. Dokazati da Newtonov red I an (x-l)(x-2)··. (x·-n) iDirich' n~O nf le-

oo (-l)na" tov red 2 imaju istu oblast obične kOllvergencije i apso_

11=1 nZ

lutne konvergencije,

Koristeći Weierstrassov test pokazati da sledeći redovi uniformno k vergiraju II naznačenim intervalima °n-

20 ~ sin nx., L., a>l, XE(-OO, oo).

11=1 na

19~. ~ sin nx ( ) - ~ L xE -oo, oo • n=l nl '

oo nx 195. 2 ,XE(-oo, oo).

,,~l 1 +n4x2

oo l 197. I ' XE(-oo, co).

n=1 n2 + [cp (x»)2

co l I-,

Jl=l nZ 199. xE[a,ooJ (a> l).

'" 194. I---

n~l x2+n3 xE(-oo, eo).

'" 196. I

n=l .ln-l Vl +nx' XE[O, co).

XE(-co, eo).

200. i ln(l +~), n~2 llln2 n Xc: [-a,a].

Ispitati uniformnu konvergenciju sledećih redova na naznačenim intervalima:

201. i: (-l)", xE(O, oo). 202. i: VI+2i'X, XE[O, oo). n~l x+n n~l nl

co

2"-' "x2" e-n2 X2, " ..... L 11=1

xE (-00,00).

2 Zbirka zadataka jz više matematike II

www.etf.ba

18 l. REDOVI

oo

204. Ako red 2: I Un (x) I uniformno konvergira na [a, bl, dokazati da red n=l

~ Un (x) uniformno konvergira na [a, b]. n=l

oo oo

20S. Ako red 2: an konvergira, dokazati da red 2: an e-t''" konvergira unifor-n~1 n=1

nmo zaxE[O, oo ).

Odrediti oblast definisanosti i oblast neprekidnosti sledećih funkcija:

'" 206. 2: x e-n(x) oo ( 1) n 207. f(x) = 2: x+- . oo 1

208. f (x) = 2: ----11=1 n2(1 +n2x2 11=1 n=1 n

209. Ispitati uslovnu, apsolutnu unifornmu konvergenciju reda ~ (~)an n=1 X + 1

(UER).

210. Da li se može diferencirati član po član reda f(x)= I sin2nnx, n~1 2n

XE(-oo, oo)? oo l

211. Koristeći jednakost 2: xn=--(Ixl<l) naći zbirove: n~O l-x

10 l + 2 x + 3 X2 + 4 x3 + ..

Naći limese:

212. . '" (-1) n-I xn

hm 2: --o x ...... 1-0n~1 n l +xn

213. lim I l X->+ On~1 tx+n) (x +n + l)

214. lim "" 1 215. lim 2:-.

p-+ "" k~ 1 k 2P

Da li se mogu diferencirati član po član redovi:

216. XE(e,2n-e). 7 ~ sinnx

21. L., --, n=1 n2

218. oo x 2: arc tg-.

n=1 n2 XE(-OO, oo).

Da li se mogu integra1iti član po član redovi:

219. "" l ,,-- XE(-OO,oo). ~ .., .,'

1l=1 x-+n-220. I sin~~,

n=1 n Vn

221. Naći r (I _1_) dx. .. n=l n4+x2 o

XE(e,2n-e).

xE(-OO, oo).

5. STEPENI REDOVI 19

222. Neka je lim an = oo "" l neka red 2: -- konvergira.

1I~llanl

10 Pokazati da red I __ 1_ konvergira apsolutno i uniformno na svakom n=lx-an

ograničenom i zatvorenom skupu koji ne sadrži tačke x=an (n= 1,2, ... ).

20 Za an=a(1-22n),gde an(n= l, 2, ... ) ne pripada odsečku [a, 2a], 2a

naći J Ctx~aJ dx.

§ 5. Stepeni redovi

'" l° Interval konvergencije. Za stepeni red 2: 4 n (x-a) II postoji broj Rtakav

11=0 da za I x-a I < R red konvergira a za I x-a! > R red divergira. Interval (R-a, R + a) zove se interval konvergencije a R po!uprečnik imerva!a konvergencije reda. Na krajevima intervala konvergencije, red može konvergirati ili divergirati. R se određuje po formuli

1 _ n -~lim Vra;;j , R n-:;.oo

ili po formuli

I an I R=lim --n-+IX) I an + l I

ako ovaj limes postoji.

2° T a y J o r o v red. Ako funkcija I (x) II tački x = a ima sve neprekidne izvode tada se u okolini te tačke funkcija može predstaviti na sjedeći način

oo I(n)

I(x)~ 2: -..J:'l (x-a)". n=O n!

Ovaj red zove se Taylorov red funkcije I(x). Izraz

n I(k) I(n+ 1) [a + e (x-a)] Rn(x)~/(x)- ?' ~ (x-a)k=--_______ (x_a)n+l

""':;;0 k! (71 + 1)!

je o s t a t a k T a y l o r o v o g r e d a.

3' Taylorov red nekih funkcija u tački x=O.

oo X 2n - 1

sinx~ 2: (_1)"-' ---n=1 (211-l)!

(-oo<X< oo).

oo x2n

cosx= 2: (-1)"-__ (-co<x< oo). n=O (2 n) !

(O<lkl)

www.etf.ba

20

223.

226.

229.

232.

l. REDOVI

'" (1+X)a~ 2: (~) xn(-l<x<l za ",',,;;-1; 11=0

'" xn ln (l+x)~ 2: (_1)n-l - (-l<x";;l).

n=l II

Odrediti poluprečnik konvergencije i ispitati konvergenciju na krajevima intervala konvergencije za sledeće stepene redove:

'" "'x" '" xn 2: (n+ 1) xn. 224. 2:-. 225. 2:-.

n=O n~lnt n~l n

'" xn '" nxn co xr"

'" 227. 2: . 228. 2: (_1)n-l_.

"~l n (n+ 1) n~l (n + 2) (n + 3) n~1 n

'" co xn

(a>O). 231. ~ 2nxn. 2: (_2)n,X2n. 230. '" --/

n=O n::-l nan n~l n2+ 1

'" Inn 233. '" ln + Ir L __ xn. '" __ xn. L\ n=l n 11=1 n

'" (nan2 )P xn. 235. 2: -- - (a>O, pER).

n=l n+2 nl

236. Ako je Rl poluprečnik konvergencije reda ~ an xn i R2 poluprečnik kon-fJ=O

'" vergencije reda 2: bn xn, šta se može reći o poluprečniku konvergencije n=O

'" oo

redova; 1 a 2: (an + bn)xn; n=O

2° 2: anbnxn? n=O

Naći oblast konvergencije redova:

237. '" (l 1 ) af3 a (a + l) f3 (f3 + 1) X2 + . . . + 2: 1+-+··' +- x". 238. 1 +-n~l 2 n 1'1' 1.2·y(y+l)

+ a (a + 1)· .. (a + n-l) f3 (f3 + 1) ... (f3 + n-l) x" + ....

l· 2· 3· . . ny(y+ 1)· .. (y+n-l)

Naći oblast definisanosti funkcija:

'" (-l)n (X_l)2n+l 239. J(x) = 2: -- -

n~O 211+1 x+l 240

'" e-n \x+l)

) =2:---' n~l n2

242. I'(x) = '" > •

'" [(2 n-l) [!JP (COS X-I)n J n;;1 (2 n) tl 2

§ 5. STEPENI REDOVI 21

243. J(x)= ~(n+l)-n' en:~;. n~l n

244. Razložiti polinom x 3-2x2 +5x-7 po stepenima od (x-l).

2.:S5. Razložiti polinom xlO+2x9-3x7_6x6+3x4+6x3_X-2 li red po stepenima (x -1) i pokazati da je x = 1 nula trećeg reda ovog polinoma.

246. Razložiti funkciju JCx)=_l- (a~O) II red po; 1° stepenima od x; a-x

1 U . 1 ~. . 2° stepenima od (x-b) (b~a); 3° stepenima od -. sVim sUCajeVIma

odrediti oblast konvergencije dobijenih redova.

247. Napisati Mac Laurinov red za funkciju !(x)=_l_ (k prirodan broj). l +Xl~

248. Razložiti funkciju J(x)=~ u red po stepenima. od (x+ 1) X2

kada razvoj važi.

249. Razložiti funkciju eX u red po stepenima (x + 2).

naznačiti

250. Razložiti funkciju lnx u red po stepenima (x-l) i pokazati za koje x važi taj razvoj.

25.!.. Razložiti funkciju cos2 x II red po stepenima (x _ n ) . . 4

Koristeći razlaganja II stepeni red po x funkcija eX, sinx, cosx, In (1 +x), (1 + x)a razložiti u stepeni red po x sledeće funkcije i naznačiti kada ti raZVOJI važe:

252, sh x. 253. chx.

255. 256.

258. x + Vl +X2. 259.

261. ln (l + 3 x + 2 X2). 262.

x

264. I ln cl tH) dt. 265.

o

254. aX (a>O).

x-3

(x+ 1)'

x cos a-x2

1 - 2 x cos a + x 2

x

r arc tg t d --- t.

J t l

257.

260.

eX sin x.

12-5 x 6-5 X-X2

263. x sin a

1-2xcosa+x"

6 ~ ICOSXd-2 o. -- x. x

www.etf.ba

22 I. REDOVI

Razvijajući izvod .f' ex) u stepeni red dobijenog reda napisati razvoj u stepeni

po x i mtegraleći član po· član red po x funkcija: ..

267. f(x) = arc tgx. 268.fx)=arcsmx. 269. f(x)=1n(x+ Vl + X2).

270. f(x)=arccos(I-2x2).

Razviti li stepeni red x sledeće funkcije:

271. xcos2x. 272. ln l+x. 273. (l + X2) arc tg x. l-x

274. (l + e:'')2. 275. ln2 (l-x).

Napisati prva četiri člana stepenog reda po x sledećih funkcija:

276. tg.\.". 277. eCOS"'. 278. (l +x)x.

oo e _1)11-1 279. Kolika je greška ako se zbir reda 2: zameni zbirom prvih 100

n~l n članova?

280. Proceniti grešku ako se zbir reda ~ xn zameni zbirom prvih n članova? II =on!

21H. Ako je za dovoljno veliki broj n I a;:l I < k < l tada za ostatak reda Rn

važi procena l Rn ! < I an 1~. Dokazati. l-k

282. oo (_I)lIx2n+l

Koristeći razvoj arc tg x = 2: izračnnati broj n sa pet tačnih n~O 2n+ 1

decimalnih mesta.

233. Koristeći odgovarajuće stepene izračunati sledeće vrednosti sa tačnošću od 0,0001:

10 cos lOo; 2° sin 10; 3° sin~; 4° arc sin 1; 5° arc tg"'!"'; 6° jie. 4 5

Razvijajući podintegralnu funkciju u stepeni red izračunati integrale:

l

284. f sin x dx sa tačnošću do lO-s. . x o ,,/4

286. J smx2 dx sa tačnošću 10-3•

o

l/S

288. J sinx Ih -x dx sa tačnošću 10-3

•

o

1

285. J e-x2 dx sa tačnošću 10-3•

o

287.

1/2

J arc to" x __ "'_dx x

o

sa tačnošću 10-2 •

§ S. STEPENI REDOVI 23

Naći zbirove sledećih redova:

289. '" (_1)11-1

290. ~ n-l oo n2

I 2,--. 291. I-· n=l n n~l n2 (2 n-l) n~ln!

::'92. oo 211(n + 1) oo xll '" X 411+1 _ I . 293. I-· 294. I-n~O n! rl=-l n n~O 4 n + l

295. '" e -1)11 22 11-1 x 211- 1 '" (- 1)n+l X2 n 2:' . 296. 2: . n~l (2n-l) n~12n(211-1)

Integracijom član po član naći zbirove sledećih redova:

oo

297. 2: n2 x"-I. 298. oo (2n+3)x2n I . n~O 11 ! 11=1

J'.. co 11. xn 299. NaCI zbIr reda 2: -- -.

n~ll1+ 2 n!

300.

301.

302.

Razlaganjem podintegralne funkcije u stepeni red po x izračunati sledeće integrale:

oo r _ l )n-l

znajući da je 2: ' I

1l=1 n2 12

l

J'ln(l-X) d ..

x, znaJUĆI > x o

f ' l+x. JU -- ax.

> l-x o

• oo l n2 da Je 2: -=-.

n~l n2 6

1

303. Jinx In(1-x) dx.

3'}.:! D· . . t l IC) r ln x ( OR" f nk .. 1. ,<. ac Je In egra a =J --- a> . aZvltl II CIJU -.-- li stepeni ~+~ ~+~

o

reel po x za O<x<a i U stepeni red po!!-. za x>a, pa zatim isko-a x

ristiti jednakost

oo a oo

J, ln x d' J ln x d J ln x dx x2 +a2 x= x2+a2 x+ x2+a2

o o

integraleći član po član U dobijenim redovima.

naći ICa)

www.etf.ba

24 1. REDOVI

nj2 , •.•.. " ....

305. Znajući da je.r sin zn rp d rp

O

(2n-1)!! :n;

(2 n) !! 2 dokazati da se dužina luka

. X2 yZ e!Jpse 25 +9= l .može izraziti li obliku konvergentnog brojnog reda

s=lO:n; (1-:2 r(2n-~r(4!5)2"}. l "~1 .. (2 n) !! .J 2n-1

'" 306. Dat je integral J sin2ax

I(a)= ---dx. x (e2X-l)

l ° Pokazati da je

o

'" oo

d. [. { d I sin2 ax ] } l J ( '" .) -{l (a)} = -Il dx=- L e-lcxsmax dx. da L da. x (e 2X-l) 2 \k~l

o o

l oo 2 x 2° Koristeći jednakost cthx=-+ L ----

X n~l X2 + n2 :n;2 J ° naći I (a) u obliku

elementarne funkcije.

307. Dat je integral 1= cosaxdx(a>O,{J>O) Za-min(a,{J> r e-ax_e-'Px

, x o

<a < min (a, {J) razviti cos ax u stepeni red, pokazati da znak integrala i znak sumiranja mogu razmeniti mes~a i na osnovu toga izračunati [ II

obliku elementarnih funkcija.

'" 308. Koeficijenti an stepenog reda 2: an xn su uzastopne cifre decimalnog broja TI=l

4 koji se dobija pretvaranjem razlomka - u decimalni broj. Odrediti polu-

7 prečnik konvergencije i zbir toga reda.

"" 309. Dat je red J!. Cx) = L ni. x n- 1 (,1. ER). 11=1

l ° Odrediti interval konvergencije i ispitati konvergenciju na krajevima intervala.

2° Pokazati da je J!.+1 (x) = ~ [x/;. (x)]. dx

oo (312+2)a 310. Dat je red 2:' xn (aER).

n=I11(n+1)(12+2)

§ 5 STEPENr':'REDOVI

1 ° Ispitati uslovnu, apsolutnu i uniformnu konvergenciju reda.

2° Za a = l i x = 1 sumirati dati red.

25

oo ('Jn -;- an) nan 311. Dat je potencijalni red L ~ xn gde su a i cz realni parametri.

Il=l n!

l ° Odrediti poluprečnik konvergencije datog reda II zavisnosti od a i a.

2° Za a= l i a):2 ispitati konvergenciju na krajevima intervala konver: gencije.

3° Za a=O i a=-~ sumirati dati red. 3

oo 221c 4° Sumirati red L -- x 2 /;.

k-l (2k)!

oo 3"+11 312. Dat je red L __ xn (uER).

n=lU! nail

1 ° Odrediti po1uprečnik konvergencije datog reda u zavisnosti od parametra a.

2° Za a = - l ispitati konvergenciju datog reda na granicama intervala konvergencije.

3° Za a = O naći zbir datog reda.

313. Dat je red J(x) = 2: --. '" (_l)n+l (X-l )2n+1 n=l 4n2-1 x+ 1

1 ° Naći oblast definisanosti funkcije J(x).

2° Napisati J(x) u konačnom obliku. oo (-1)u

3° Naći zbir reda L ' . n=l (4 n2-1) 9n

'" 314. Dat je red Lxnsh(n+l)a (a>O). n=O

10 Naći poiuprečnik konvergencije ispitati konvergenciju na krajevima intervala konvergencije.

sh a 2° Pokazati da je zbir reda jednak -------

1-2x cha+x2

315. l ° Naći oblast konvergencije redova

oo oo

J(I',6)= L r'"cosk6, rp(r,6)= L r'"sinkĐ. k~ k=1

2° Napisati JCr, 6) i rp Cr, 6) u konačnom obliku.

www.etf.ba

26 I. REDOVI

V(k+l)"

316. Pokazati jednakost J sinx2 dx=I<-l)k J Isinx21dx pa na osnovu o k~O Vk,;

toga dokazati da integral J sinx1dx konvergira. Da li jz konvergencije o

integrala J f<x) dx sledi da je limf(x) =o? x ...... '" a

Dokazati da konvergiraju integrali:

317. J cos X2 dx. o

318 • .r (_1)E(X2) dx. o

oo (k+l)"

319. Pokazati da je J sin2 x oo J sin2 x --- dx = L -- dx, pa koristeći srednju vrednost x 1<=0 x

o k"

(k+I)"

integrala J sin2 x --dx dobijenu jednakost dokazati da integral

k" oo

r sin2 x ---dx

v x o

x

divergira.

,320. Ispitati apsoiutnu i uslovnu konvergenciju integrala ----- dx J xsinx

x 2 +x+ l o

predstavljajući ga redom.

§ 6. Fourierovi redovi

lOD i ric h l e t o v i u s lov i. Kaže se da funkcija J(x) ispunjava Dirichletove usjove u intervalu (a, b) ako je u tom intervalu: .

1) uniformno ograničena, tj. IJ(x) 1<.1\1 za svako x E (a, b) gdc je 1\1 konstanta; 2) ima ne više od konačnog broja tačaka prekida i sve su prvog reda, tj. u svakoj tački prekida ~ postoji konačan levi i desni limes; 3) ima ne više od konačnog broja pravih ekstremuma.

2° Teorema o razlaganju u Fourierov red. Ako funkcija ispunjava Dirichietove uslove ti intervalu (-l, l), tada se za svaku tačku x-tog intervala, za

1 koju je f(x) ~2 [J(x-O) + J(x+ O)], funkcija može predstaviti Fourierovim redom:

(1) '" a o ,,( nnx nnx)

I(x)~-+ L.., ancos--+bnsin--2 n~1 l l

§ 6, FOURIEROVI REDOVI 27

gde je: I

(2) 1 nnx

an=Tf f(x)cos--,-dx (/Z=O, 1,2, ... ) -/

I

1 f' /znx bn=- f(x) sin-- dx (11= L 2, 3,., .). I ~I l

Specijalno: a) ako je J(x) parna, tada je

I a o co II rc X 2 r 11 :n; X

J(x)=-+ L an cos -- gde je a.",=- J(x)cos--dx . 2 n=1 l I il l

(n=O, 1,2, ... )

b) ako je I(x) neparna, tada je

oo I1nx 2 l nnx f (x) = L b" sin -1- gde je b" =T .r J (x) sin -1- dx (n = J, 2, .. ,),

n=l O

3° I n t e g r a c i j a F o u r i e r o vo g r e d a. Ako je funkcija f(x) integrabiIna na intervalu (-l, l) tada se red (1), koji može biti i divergentan, može integraliti član po član u tom intervalu,

321. Pokazati da funkcija f(x) = E (x) na svakom konačnom intervalu ispunja-1+ X2

va Dirichletove uslove.

322. Pokazati da funkcija f(x) = arc sin (sin x) na svakom konačnom intervalu ispunjava Dirichletove uslove.

{

. l . .. XSII1-,

Da II funkCIja fex) = x

° , 323. x*O ispunjava Dirichletove uslove na

intervalu (-l, l)?

324. 1° Razviti u Fourierov red funkciju f(x) = x 'll razmaku (-n, n).

2° Za koje je x funkcija jednaka ZbIru reda?

3° Izraziti n u obliku konvergentnog brojnog reda. 2

oo ( _ I )1/.-1 4° Naći zbir reda L -'--'--

n=l 2n-l

325. l ° Funkciju f(x) = I x I razviti II Fourierov red II razmaku (-n, n).

oo 1 2° Naći zbir reda L ---

n=I (2 n- 1)2

www.etf.ba

28 L REDOVI

326. 1 ° Periodičnu funkciju I(x) ~ X2 za xE [-n, nj, sa periodom 2 n, razviti li

Fourierov red u razmaku [-n, n].

327.

.. \ ~ 1 2° SUn1Jratl redove: aj L -:;-; n~1 n-

1 ° Pokazati da se Fourierovi koeficijenti periodične funkcije lex) sa periodom 2 l mogu izračunati po obrascima:

-"+21

1 J . nnx d an =- I(x) cos-- x l l

;\

'\+21

bn=- I(x) S111-- dx 1 J . nnx l l

;\

gde je A proizvoljan broj.

(11=0,1,2, ... ),

(n= 1,2,3, .. )

2° Razložiti periodičnu funkciju J (x) = n-x za xE[O, 2 nj, sa periodom 2

2 n, u Fourierov red.

r I

x, XE(O, ~ J

328. Razložiti funkciju J(x) = ( n-x, xE ( ~, 32n)

I l [

3n ' x-2n, xE 2' 2:n)

II Fourierov red.

329. 1° Razložiti u Fourierov red funkciju f(x) = [ nx-x2, xE (O, n) l x2-3nx+2n2,xE(n,2n).

oo (-1)"-1 n3 2° Pokazati da je L -.

n~l (2 n-l)3 32

Razviti u Fourierov red na naznačenim intervalima sledeće funkcije

330. J (x) = { ax, -n<x <; O bx, O<x<n u intervalu (-n, n).

331. J (x) = co;; 3 x u intervalu (-n, n).

332. ICx) = sin ax u intervalu (-n, n).

333. I (x) = eX u intervalu (-l, I).

334. I(x) = ch ax u intervalu (-n, n).

§ 6. FOURIEROVI REDOVI

n

335. I(x) = L (ai cos ix+ bl sin ix) u intervalu (-n, n). i=l

336. I(x) = x cos x u intervalu (-n/2, n/2).

Razložiti u Fourierov red sledeće periodične funkcije

337. I(x)=sin ! x, xE(-n,n); f(x)=/(x+2n).

338. I(x)=x(n-x), xE(O, n); f(x)=f(x+n).

339. f(x)-sgn(cosx). 340. fex) = arc sin (sin x). Pokazati du je

29

4 oo ( -1)" oo (_1)n+1 ( n ;;;; \ - L ? sin (2 n-l) x = L sin 2 nx = x za xE -- -2' , -- \ n n~1 (2 n-1)- n-l n 2 !'

341. f(x) = (n2-x2)2, xE[-n, n]; f(x)=f(x+2n). Izračunati zbir reda

", (- 1)n-1 L . 11=1 124

342. Funkciju f(x) = X2 za I x I <; l razviti ti Fourierov red naći zbirove

", l . '" (_1)"-1 L-IL . n=l n2 n=l n2

343. Funkciju f(X)={ etx

, xE(O, 2n) . f(x+2n)=f(x) razviti u Fourierov l, x"",0,x=2n'

1 ", t red i pokazati da je nctgh(nt)=-+ 2 L --, (t#O).

t n=l n2+t2

344. f(x)=ln ISin ; ,. i x I 345. f(x)=ln I tg - . 2,

346.

348.

Razlaganjem u stepeni red po a naći Fourierov red sledećih periodičnih funkcija po x:

asinx -----(l a l<l)· 1-2 acosx+a2

acosx-a2

-----Ial>l. l - 2 a cos x + a2

347. l-a2

-----(Iai<l). 1-2 acosx+a2

349. Funkciju f(x) = { x, xE (O, l) u intervalu (0,2) razložiti: 2-x, xE(1,2)

l ° u red sinusa; 2° u red kosinusa.

www.etf.ba

30 I. REDOVI

Razložiti sledeće funkcije u red PO sinusima u intervalu (O, n):

. X 350. f(x) = sm-.

2 351. f(x) = cos 2 x. 352. f(x)=x2•

Razložiti sledeće funkcije II intervalu (O, n) u red PO kosinusima:

f cos x, XE(O, ~) 353. f(x) = x sin x. 354. f(x)={ 355. f(x) = eM;.

l-cOS x, XE(~' n)

r l, XE(~' 2) f(x) = j 2

l 3-x, xE(2, 3)

. l (3 3) l v' • d , u mterva u \2' . , raz OZltl u re 356. Funkciju

po sinusima.

357. Pomoću Fourierovog reda funkcije f(x) u intervalu (-n, n), integracijom član po član, naći u tom intervalu Fourierov red za funkcije x 2 , x3, X4 itd.

358. Pokazati da se za funkciju f(x) koja ispunjava Dirichletove uslove na (-n, n) i ima neprekidan treći izvod, Fourierovi koeficijenti mogu izračunati po formulama

'" an =_1_. Jf'" (x) sin nxdx, bn = __ 1_ r /''' (x) cos nxdx.

nn3 nn3 J

359. 1° Razviti u potencijalni red po x funkcije:

f(x) = e",ctga cos x, q; (x) = e",ctga sin x.

.. oo sin ka ~. coskx. 2° Sumlratl redove: ""> --, L...

k7::1 k ! k~ 1 k !

3° Razviti u Fourierov red funkcije eCOS", cos (sin x) eCOS

", sin (sin x).

§ 7. Beskonačni proizvodi

1° Konvergencija proizvoda. Beskonačni proizvod

(1) oo

PIP2···Pn···~ IT Pn (Pn >0, n~1,2 ... ) n=l

je konvergentan ako postoji konačan i različit od nuje

limP",

360.

362.

364.

366.

370.

373~

376.

§ 7. BESKONAČNI PROIZVODI

II

gde je P n tzv. parcijalni proizvod definisan sa P n ~ IT Pk' k~1

Konvergencija proizvoda (1) ekvivalentna je konvergenciji reda

(2) n=no

31

2" A p s o l u t n a k o n ver g e n e i j a. Proizvod O) je apsolutno ili uslovno (ne apsolutno) konvergentan zavisno od toga da li red (2) konvergira apsolutno ili uslovno.

Dokazati jednakosti:

oo( l) l 361. oo n2-4 l

IT 1-- =-. IT-=-· 1I~2 n2 2 n~3 n2-1 4

oo 713-1 2 oo( 1) 001 I1-=-, 363. IT 1+-=2:-. n~2 n3 + l 3 n~2 2n- 2 n~O 2n

oo q; sin 'If) 365.

= x shx I1cos-=-- (O<q;<n). ITch-=-n~[ 2n cp n=! 2n x

oo 1 (I xl< 1). 367. fi (_1)n =a-1n2 IT (1 +x2n)= __

n~l l-x n=! xn

Dokazati konvergentnost naći vrednost proizvoda:

369. TI (2n+l)(271+7) II~O (2 n + 3) (2 n + 5)

Ispitati konvergenciju sledećih beskonačnih proizvoda:

oo l TI (1 +~). 372. oo 4 n2

I1----;. 371. }]4 n2-1 n=ll1 n=l n

(a> O).

oo ( xn) 374. TI ~n2+2. 375. oo ( 1 rl n,--]J 1+ 3n . IT 1+- ; 11 11. n~1 n2+ l n~1 n, I

o::) :lt I n oo l oo

IT Ch-/ cOS-. 377. IT--· 378. IT (l-an). 11=3 71 n l . 1 h=l n~ na SIn-

n"

Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju proizvoda:

oo ( ( _l)n+l ) 379. IT 1+ .

n~l n

www.etf.ba

32 1. REDOVI

382. fr (1 + (-1)"). n~2 Inn

~ ~

383. Dokazati da je 2: ak = TI (l-ak) (O<a,,<I). k~1 k~1

oo

384. Dokazati da je proizvod TI (l ±u,,) (an>O) konvergentan tada samo n=l

"" tada ako je konvergentan red 2: UU'

n=l

385. Pokazati da tvrđenje u prethodnom zadatku nije tačno ako an nije stalnog znaka. Uveriti se, na primer, da proizvod

(1 +_1 +~)(I_l_)(l+~+~)(I-~).,. vl 2 \ V2 lIJ 3; ]13

konvergira iako red

oo

386. Dokazati da iz konvergencije proizvoda fr Pn TI qn sledi konvergen-n=l n=l

oo oo

cija proizvoda; lOTI p" q,,; 20 11 Pn/qn' 11=1 n=l

387. Pokazati da proizvod r (x) = ~ fI (1 + ~)X I (1 + X) konvergira apso-,I\, n=l n I n

Iutno za svako x različito od nule svih negativnih celih brojeva.

r ) l , n ! n'" l' da 388. Dokazati da je (x = lm . Pos e pokazah n_~ x (x+ 1) (x+2), .. (x+n)

je T(a+ 1)=x T (x). Proveriti da li je r(n+ 1) = n!.

389. Za x=l=kn (lc ceo broj) može se pokazati da važi

(*) sinx=xfI 1--- . oo ( X2 )

k=1 /(2n2

l oo !C2 Pokazati da je r (x) r (l-x) = - 11 -- pa pomoću prethodne jed

x k~1 k2_X2

nakosti zaključiti da je r (x) r (l-x) = ~. smnx

§ 7. BESKONACNI PROIZVODI

390. Dokazati jednakost

'~I n(a+b+n)

IL (a+n) (b+n) F(a+ 1) r(b+ 1)

r(a+b+ l)

33

391. ~~~~I:Ći jednakost (*) u zadat1..-u (389) dokazati važnost sledeće Wallis ove

:rr, l' TI~ 2k 2k -= lm ----__ 2 ,,-'oo "~I 2 k -1 2 /( + l .

392. Koristeći Wallisovu formulu pokazati da je

(2n-1) !!

(2 n)U"" V:rr, 11 •

od jednačine sin 2 x = 2 x fr (l - 4 X2) pokazati da je k~1 k2 n2

393. Polazeći

cosx=nOO [1- 4X2 J

k=1 (2k-l)2n2 '

394. Koristeći prethodni zadatak polcazati da je li određenoj oblasti

t"'x= 8 ~ x "' ';;;:1 (2 n-l)2 n 2-4 X2 .

395. ~e9nakost ~*) u. zadatku 389 važi za kompleksne vrednosti x. Koristeći JOS veze sm x l sh x, pokazati da je

Dokazati da je:

co ( X') shx=x TI 1+-'- . k=1 k2n2

396. sh x = fr (1 + --~~). 10=1 (2 k-l)2 n 2

l '" l 397. ctgx =-- 2x L ---X k=1 k2:rr,2_X2

39&. 1/sinx=~+2x Z (_1)k . X k~1 x2-k2n2

3 Zbirka zadataka iz višo matematike Il

www.etf.ba

Glava II

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

§ 1. Granična vrednost i neprekidnost funkcije više promenljivih

10 R e a l n i n _ d i ID e n z i o n i p r o s t o r R". Ne~a je. Rn skup nizova od 'n članova (Rn={(~" ~" ••• , ~n)}' ~iER) u kome J~.~blr_dva elem~nta x~(~" 1;" ... , ~n} i y~ (?I" ?I" ... , ?In) (koji se zovu vektori Ih tacke) definIsan sa

X+Y~(~,+?ll' ~,+?I" ., , ~n+?I.)

a množenje skalara ? i vektora x sa

i\x~(M" A~2' ... , i\~,,), ~A je realan broj).

Ako je rastojanje između tačaka x i y dato sa

onda je Rn n-dimenzioni realni metrički prostor.

. . N' čak (.m ,m .. , ~m) konver"ira :tački 20 KonvergenCIja u R1t..· tZ ta ~Xm= r;t' ~2' 'n . ='

x~(~,' ~" ... , ~n) ako za proizvoljno 8>0 postoji broj N takav da Je

čim je

30 Nivo funkcije u-e. Neka je u=/(x):,:f(~" ;, .... , ~n)(f:D->-R,D~Rn) jednoznačna fuukcija n nezavisno promenljIvIh ;,(1=1,.2, "', I!)' Skup l~aI<:a =(~ ; .,. ;) za koje f(x)-e (e-const), zove se n.IVo funk~l.Je ll~e. o. Je

~ = 2 '~iv~ fun'kcne u = e su nivo linije, a ako je n = 3 U1VO funkCIje u ~ e su U1VO

površi.

40 G r a n i č n a v r e d n o s t. Kazaćemo da je

lim f(x) = A X~Xo

ako za proizvoljno e>O postoji broj <'l (e, xo»O takav da je

If(x)-A I < e kad god je O<d (x, xo)<<'l·

§ l. GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE VIŠE PROMENJLIVIH 35

5° N e p r e k i d n o s t. Funkcija I (x) je neprekidna u tački Xo ako je

lim f(x)=/(xo)' X->-Xo

Fuukcija f(x) je neprekidna u oblasti D ako je neprekidna u svakoj tački te oblasti.

60 Uniformna neprekidnost. Funkcija f(x) je uniformno neprekidna u oblasti D ako za svako 8>0 postoji <'l>0 koje zavisi samo od e, tako da za bilo koje dve tačke x', x" E D važi nejednakost

I/(x')-/(x") 1<8

čim je d (x', x")<<'l. Ako je funkcija I(x) neprekidna u ograničenoj zatvorenoj oblasti onda je ona u toj oblasti uniformno neprekidna.

399. Označimo sa II x II rastojanje tačke x od tačke (O, 0, da je

gde je

n

O). Pokazati

40(}. Izraz .L /;i 'lJi, jz prethodnog zadatka, zove se skalami proizvod vektora '~l

x i y i označava se sa (x, y).

Pokazati da za skalami proizvod (x, y) važe jednakosti:

1 ° (x, y) = (y, x); 2° (Xl + x 2' y) = (Xl' y) + (X2' y); 3° (h, y) = ,1 (x, y)

401. Dokazati da niz tačaka xm=(/;~z, /;;.', "', $~n) konvergira tački x = (/;1' /;2' "', /;n) tada i samo tada ako 1;;' konvergira ka I;i za svako i=1,2,···,n.

5 2x-v 401. Dokazati da je f(2a, -a)=-4 ukoliko je f(x, y)=--~-" a*O.

y-Ly

403. Ako je f(x, y)=3x2y-J;'x6_y6, dokazati da je f(tx, ty)=t3 f(x, y).

40.:1. Pokazati da funkcija f(x, y) = xy zadovoljava funkcionalnu jednačinu

f(ax=bu, cy+dv)=ac/(x, y)+bcf(u, y)+adf(x, v)+bdf(u, v).

405. Funkcija f(x, y)=lnxlny zadovoljava funkcionalnu jednačinu

f(xy, uV)=f«x, u)+f(x, v)+f(y, u)+f(y, v). Dokazati.

www.etf.ba

36 II. DIFERENCIJALNI RACUN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

406. Pokazati da funkcija f (a, b, c, d) = (aZ + bz + Cl + dZ)l zadovoljava. funkcionalnu jednačinu fZ(a, b, c, d)=16a4 f(x, b, e, d) gde je

a:-b2 -c2-d2

X= 2a

Naći oblast definisanosti sledećih funkcija:

407. u= l/X + y.

410. u=ln[xln(y-x)].

13 .. 412. u=\ 2-SInlnxy.

414. . x

u=arCSlll-. y

413. u = Vsinn(X2.j· y2).

415. U= arccos--z_-.

VX2+y2

416. u=arctgln(x+y+z-l). x

417. u=ln~======~~;======= V(x-a)2+ (y-b)2 + (z-e)2

418. u = ln (a 2-x2-y2-z2).

Ispitati nivo linije sledećih površi:

419. z=ax+by. 420. XZ y2

421. XZ y2

Z=-+- Z=---. aZ b2 a2 b2

422. z=ln (I xl + Iy 1). 423. Z= )!XY. 424. Z= sin (x2+ y2).

2x

425. Z= sgn (xy). 426. z=ax-'+y2 (a>O). 427. z=min(\xl, Iy 1).

428. Šta su nivo linije obrtnih površi čija je osa z-osa?

429. Šta su nivo linije konoidne površi čija je direktorna ravan z = 0, a direktorna prava z-osa?

Naći nivo površi sledećih funkcija:

430. U= ax+ by+cz+d.

432. u = ax2 + by2 + ez2.

X2 y2 Z2 431. u=-+-+-.

aZ b2 e2

433. u=lxl+ IYI+lzl·

Pomoću nivo linija utvrditi vrstu sledećih površi:

434. Z=fCVX2+yZ).

437. Z=(X-I)f(-y-)+2-X. x-l

438. z=f(~).

436. z=f(ax+by).

S l. GRANICNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE VIŠE PROMENLJlVIH 37

439. Neka je z =!(x2-y+ x) + x2-xy, Odrediti funkciju.f ako je Z= _X2

za y=X.

44u. Data je familija površi 2 e-Z-cos (x + y = O (x-y) gde Je neprekidna funkcija od x-y.

I ° Odrediti onu od. datih površi koja prolazi kroz krivu ]i = -x, eZ COSZ x= l.

2° Šta su z-nivo linije tako dobijene površi?

441. Naći sledeće, ponOVljene Emese

( X2_yZ)

1° lim lim --- ; ),-rO ):-)0-0 x2 + y2

20 l' (l' X2

_V2

) lm lffi--'- . x-;.-O ),-)-0 X1 + yJ.

A' . .. .' x2_y2 .. 41. Pokazatl da ne postoji dVOJIli lImes hm ---o

;::::gX2+y2

443. Da li iz egzistencije dvojnog limesa sledi egzi>tencija ponovljenih limesa?

444. A.ko oba ponOVljena limesa postoje i ako su jednaka, dvojni limes ne mora da postoji. Dokazati primerom.

Naći sledeće limese ili ustanoviti da ne postoje:

445. lim x2_y2 . x-+ox2 +y2 y-+O

4 "7. 10 l' . x .., J lmSIn--; X~CO x+ y )'--+00

4 ~8 l' sin xy ....lm--. x-...+o X )'-+a

~_y2

450. lim e ",2+),2 •

X-)-O y-+O

X+y 446. lim ----"--

X-l-OO x2-xy + y2 )'-+00

2° limsin~ . .T-+a x+ y y-+oo

449. lim a- 11a2=XY. X---+O xy y-+O

451. lim (X+ i)X-.v. x-+oo X Y--Ta

10" x l 452. lJm --- n (X2 + y2). x->oo X2+ y2 y"""""CO

453. U kojoj oblasti egzistira konačan Em ex2-

y ' sir, 2 xy? )(-'>'00

),-,"00

Ispitati neprekidnost sledećih funkcija: rl IlJ

454. li (x, y) = L L aij Xi yi. = j=!

x+y 455. U=--.

X-Y

www.etf.ba

38 II. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNH:I PROMENUIVIH

l 456. u=---

ln (X2+y2) 457. u= x+y .

X 3+y3 458. u=---

X2 +y2+Z2

459. 1

U=--. 460. xyz

x=O, y=a, z~,a

f~ 461.

I ' u=.J X4+y2 l I l o,

462. Naći sve prekidne tačke funkcije u sin2 n x + sin2 ny

463. Dokazati da je funkcija I(x, y)=ax+by+c (a, b i c date. konstante) uniformno neprekidna u svakoj ograničenoj zatvorenoj oblastI.

464. Ispitati uniformnu neprekidnost funkcije u = ln (X2 + y2) u oblasti

O<X2+y2<R2. . l bl' 465. Ispitati običnu i uniformnu neprekidnost funkcije u = Slll .. _-- u o astI

X 2 +y2 O<X2 +y2<R2.

466. Ako je u oblasti D funkcija I(x, y) neprekidna po promenijivoj x i zadovoljava Lipchitzov uslov po promenijivoj y

(1/(x, y')-/(x, y")1 <L Iy'-y" I, (x, Y')ED, (x, Y")ED, L=const.),

dokazati da je I(x, y) neprekidna.

467. Proveriti sledeću Jungovu teoremu.: Ako je [(x, y) neprekidna posebno po promenljivoj x i posebno po promenljivoj y i ako je monotona po jednoj promenljivoj, onda je ona neprekidna.

§ 2. Parcijalni izvodi i diferencijali. Izvod složene funkcije

1° Parcijalni priraštaj i totalni priraštaj. Parcijalni priraštaj po promenIjivoj ~i je izraz

LJIi;/=f(1;" 1i2 , ••• ,1;, +LJ ~i' ~l+l "', lin)-!(~" 1;2' • ", ~n)'

Totalni priraštaj je izraz

Llf=f(~,+LJ li" ~2+LJIi2' "', t;n+LJ1;n)-f(~J' ';2' "', ~n)'

2° P arc i j a l n i i z vod. Prvi parcijalni izvod po promenIjivoj ,;, e limes

oj . f(~" ';2' •.• , ~i+Ll ~i' ~i+" ••• , ~n)-f(t;" t;2' •.. , nl -= hm O;i ..1;i-+O Ll ~i

§ 2. PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE 39

k-ti parcijalni izvod po promenljivoj ~i je prvi parcijalni izvod po ~, od k-I-og parcijalnog izvoda po ~l'

Uzastopno diferenciranje po pojedinim promenIjivim ne zavisi od reda diferenciranja ako su ti parcijalni izvodi neprekidni.

3° D i fer e n c i j a I. Ako Se totalni priraštaj može napisati u obliku

n

LJJ~ L ai LJ ~i +0"(0)

gde ai ne zavise od LJ~, i 0=V(LJ~,)2+(LJ~2)2+ .•. +(LJ~n)2 tada se kaže da je f,~x) diferencijabilna u tački (~" ~2' ••• , ~n) a glavni linearni deo priraštaja,

L ai LJ ~i' jednak i=1

(1) n of df~ L -d~i

~1 illi,

gde je d~! ~ LJ li,; (i ~ 1, 2, "', n), zove se diferencijal funkcije f. Ako su priraštaji LJ li, dovoljno mali (po apsolutnoj vrednosti) tada je

(2)

Formula (1) ostaje II važnosti ako su promenljive li, diferencijabilne funkcije oo novih promenljivih. Diferencijal k-og reda može se simbolički napisati

4° Izvod sI?žen~ fynkcije. Ako je u=f(~l' ~2' '~n) gde su gi (i=1, 2, .. :' ll) dlferenclJabllne funkcije od nezavisno promenljivih TJ" (k ~ 1, 2, "', m) tada je

Ou _ ~ o U O.Ii' --- L. ----0')1, I~I il;, o 'ik

(k~l, 2, "', m).

468. Za funkciju [(x, y)=lix 2 + y 2 naći prve parcijalne izvode u tački (1, l) *)

469. Ako je u oblasti D ollx, y) ox

[(x, y) = const. Dokazati.

o i ~o I(x, y) = O tada je II toj oblasti E ay

47(). Da li je za diferencijabilnost u tački dovoljna egzistencija parcijalnih izvoda u toj tački?

471. Postoje li parcijalni izvodi funkcije [=lix2+y2+z2 u tački (O, 0, O)? Da li je funkcija diferencijabi1na u toj tački?

*) U prvoj knjizi ove zbirke nalazi se veliki broj zadataka koji dolaze u ovaj Paragraf.

www.etf.ba

40 II. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNU,) PROMENLJIVIH

Naći prve parcijalne izvode sledeĆJh funkcija:

X"+ y2 473. U= --'-, 474. u=ln(x+y2).

xy

475. u=xY • ~ . ;:+v

476. U= arctg----. X"+y2

"

478. u=(;r-n

479. u = TI ;i' ;=1

(. )TIt,

43G. u= 2;;; ,=1

1=1

481.

4g2.

483.

Za sledeće flUlkcije naći naznačene parcijalne izvode:

()2 u

oxdy'

2° U= eXY ;

04U

oX2 0y2

x

U= ax+ by+ cx2 + dxy+ ey2+/x3 + gx2y+hy3 +x4-4x2y2+y4.

03 11 -. ----, al(o Je u=e'YZ. dx ay jz

iJp+q+ru 484. ako je u = xP yQ zr. o xP o yq o zr '

485. Koliko različitih parcijalnih izvoda k-og reda ima funkcija od 11 promenIjivih?

( 0"'+" U \ . un

486. Pokazati da je I =SJl1- ako je u=cxsiny. oxmoyn,;:g 2'

487. Pokazati x ou l ou .

da je - -+-- -=2u, ako Je U=XY. y ox l.nx ay

488. Pokazati da funkcija II = n il (x-a)2 + (y-b)2 zadovoljava Lavlasovu • .. • v' ()lu d2 u

dJf:::rencl]alnu Jednacmu --+--=0. - ox2 oy2

489. Funkcija u= l !V(x-a)2 + (y-b)2+(Z-C)2 zadovoljava Laplasovu jedna.

činu a"U 02U ,)2 U --+--+--=0 osim II tački (O, O, O). Dokazati. ax2 oy2 az"

§ 2: PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE 41

49G. Ako je u = P (X2 + )'2) i f{J diferencijabilna funkcija, dokazati da Je

ou ou y,--x-=O. o x ay

Pod pretpostavkom da su p i 'lJ! dife, ~llcijabiine funkcije dovoljan broj puti'!., dokazati sledeće jednakosti:

491. iJu ou

x--y-=x ako je u=x+p(xy). ox oy

492. iJu Ou

f X) 2x- +y-=2u ako je u=xp ~y2 . ox dy

493. du ou

u = tp ClIX2+.Vz) . )'-:--x-=o ako je dx oy

494. • iJu ou

u= eY tp ~e:~~J (,X2_y2) -+ xy -= xyu, ako je iJx oy

495. du du

u=xntp C~)· x-+ 2y-=nu, ako je ox o)'

496. (PU oU o u

u-----=o ako je U= tp (x) 'lJ! (y). oxoy ox oy ,

02U 02U (l2u 497. --2--+-=0. ako je u= Xf{J (x+ y)+Y'lJ! (x+ yj. OX2 ox oy Oy2 .

ako je

499. Ako diferencijabilm, funkcija u=/(x, y, z) zadovoijava j~dnačina

du iJu ou x-,-+y-+z---:-= nu,

ox ay {jz

dokazati da je ona homogena stepena homogenosti /l.

Naći prvi totalni diferencijal sledećih funkcija:

500. u=x2y.

503. U= arcigL. x

501.

50-'1.

xy u=--' -.

X-Y

z U=---.

X2+y2

Izračunati sa tačnošću 0,01 sledeće izraze:

506. 1,083.96• 507. sin 1,49· arc tg 0,07

22•95

S02. u=sin(xy).

n

SOS. II = rl gi' i=l

508. 2,68 sin 0,05.

www.etf.ba

42 IJ. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKC:JA VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

l· l' d k . d . x+y 509. Ako su x i y dovoJno ma l, O azatl a Je arc tg ---!'::IX + y. l+xy

510. Neka je r

1(X, y)=_{ Pokazati da je funkcijal (x, y)

l neprekidna li okolini tačke (O, O), da su I:(x, y) i I~ (x, y) ogramcene funkcije u okolini te tačke ali da funkcija I(x, y) nije_.diferencijabilna u toj tački.

511. Pokazati da je funkcija I(x, y, z)= jo/xYz neprekidna li tački (O, O, O) i d:l postoje parcijalni izvodi I~(O, 0, O), I~(O, O, O), I: (O, 0, O).

Da li je funkcija I(x, y, z) diferencijabilna u tački (O, 0, O)?

Naći totalni diferencijal naznačenog reda za date funkcije:

512. d2u; u=x3+ y3-3x2y + 3xy2. 513. d3 u; u=x3 + y3-3x2 y + 3xy2.

514. d 3 u; u=/(x, y). (Izraziti d3 u preko parcijalnih izvoda funkcije I(x, y) i dx i dy).

515. d4u; u=sinxcosy. 516. dnu; u=cp (x) '!jJ (y).

517. Dokazati da je za u=/(x+y+z) dnu =/(n)(x+y + z)(dx+ dy + dz)n.

518. Ako je P (x, y, z) homogeni polinom stepena homogenosti n, dokazati da je dn P (x, y, z)=n! P(dx, dy, dz).

9 N o' ou . du k - 21 x. 3 2 51. aCI - l - a o Je u=v nw a V=- l W= x- y. dX dy Y

Naći diferencijal prvog i drugog reda sledećih složenih funkcija: 520. u = I (z) gde je z = ax + by; (a i b konstante).

521. u=xsinycosz gde je y=ln(x2 +1), z=-Vl-x2.

522. u=sin(u, v, w) gde je U=X2 +y2, V=X2-y2, w=2xy.

523. Ako je y =1 (x, t) F(x, y, t)=O, tada je

.. ,'" dl dF _dl dF

dy

dx

Ox ot ot dx

OldF +dF dt oy ar

Dokazati.

§ 3. Funkcionalne determinante. Diferenciranje implicitnih funkcija. Smena promenljivih.

l" Funkcionalne determinante. Ako funkcije (l) LUi~f,(;;" ~2' ... , !;,,) (i~l, 2, ... , n)

§ 3. FUNKCIONALNE DETERMINANTE. DIFERENC. IMPL. FUNKCDA. SMENA PROMENLJIVIH

imaju parcijalne izvode u nekoj oblasti, tada se determinanta

OU, ou, ou, o;, 0;2 O/;n

oU2 ou, ou, J~ o;, o;, ()~n

................. ou" ou" OUn o~, O;, '" 01;"

naziva JakoMeva funkCionalna determinanra ili jakobijan. Označavaćemo je i sa

D (u" u2' . ••• , u,,)

D (!;,,_ ;2' ... ,1;,,)

Ako pored sistema funkcija (1) postoji i sistem

(2) 1;j ~ rp, (1]" 'h, '. -, 1],,) ci ~ 1, 2, ... , n)

sa sličnim osobinama, tada važi

D (u" u2 , "', un)

D (;" !;" ... , ;,,) D (1;" ~2' ... , ;,,)

D (1lt, 1]2> _ .. , 1]1')

D (up u 2 , "', un)

D ('Y) o 172, "', 17n)

2° Egzistencija ilnplicitnih funkcija. Neka funkcije

F,(;,. ~" ... , ~'" Ul> u" ... , um) (i~l, 2, .. " m)

zadovoljavaju uslove: 1) anuliraju se II tački Xo = (.;?, ~g, ~.'" ,;~, ui, u~,

2) diferencijabilne su u okolini tačke xo; 3) funkcionaln~-'determinant~

D (F" F" ... , Fm)

D (Ul) U2, "', Um)

je različita od nule u toj tački. Tada sistelE jednačina

(3)

43

jednoznačno definiše, u okolini tačke Xo ~ (etO cO ... ='1' S-2' ,

nili funkcija ~~), sistem diferencijabil.

koje zadovoljavaju dati sistem i početne uslove

I. ( tO tO tO) O . i Sl' ""2' "'J ':;n =Ui (l= 1,2, "', mj.

3' D.ifer~.n~iranje im.plici.tr:ih funkcija. Ako su funkcije Ui, iz (3), dlferencljabllne tada se diferenCIJal! du, mogu naći iz jednačina

www.etf.ba

44 n. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH.

bu,. . ct V'

a parcijalni izvodi - JZ Je nacma O;j

iJF, ~ oF, bu~_O -+ / ---c1~j k:;;'l OU}:; ()~J

(i= 1,2, "', nl; j= 1~ 2~ "', n),

Za 'fl = 2 i Jn = 1 dobijamo odg:ovaraj!:lći iskaz za egzistenciju inlpiicitnc funkcije F (x, )', z) ~ (") i formule za njeno ctiferencinmjc.

4° S m e n a p r o m e n lj i v i h. Ako se u diferencijalnom izrazu

(4) F(X, y, z,~, ~;, ~~, b::;Y' ::~, ... ) stavi: x=f(u. v),y=m, (u, v) gde su u i v novenczavisnopronv::n!jivc.tadnseparcijaJni

izvodi~, dc mdaze iz jednačina Ox oy

bz oz o/ iJz bT -~- -+--, iJu ox ou by OI!

az iJz {JJ oZ iJT -+--.

iJx Jv <ly bv

Ako se II (4) stavi: x='/(!!, v, \V), y=rp(u, v, w), z=giu, v, \V) gele' su il ; V nove bz OZ , b' ., . d

nezaVIsno promen1jive a ll') nova funkcija tada se --.:,-, -, ... lTIOgU GO III IZ Je -ox oy

načina

bg + og ~w ~ ~z (iJI +0/ ~')+ {Jz (~<P + ~rp bW') bu ow UF OX \ou aw ou. by ,Uli uw iJu,

itd.

Naći jakebijane datih sistema funkcija:

524. x~ U+l'

u 526. X= arc tg

]J

527.

uv Y=-·

a

X=Q cos O~

529. x=rcos<p Y = r sin 'p

z=h.

Y=e sinU.

531. x=arcos"q;coSP~LJ

y = b r sin" 'p cosP 1jJ

z = cr sinf.?f\

y=2 Ul'.

518. X=U, u+v

Y=--, u

530. x= r cos G cos rp y = r sin tJ cos rp z=rsinrp.

y=U2+V~.

U+V+I'" ':=---

gde su a, b, e, a, f3 konstante.

Š 3. FUNKCIONALNE DETERMINANTE. DIFERENC. IMPL. FUNKCUA. SMENA PROlvlENLnVIH . 45

1.

533. Neka je

v ~= ___ u_. __ 7)=----UZ +V2 +t2

<;;=-----

.. d l" D (x, y, z) Provent! a l Je D (~, 7), ~)

D(;, 7), .;) = l.

D(u, v, t)

Preslikati date oblasti datim transformacijama:

534:. {(x, y): a<.x<.b, c<.y<.d}

535. {(x, y): 1 <'X2+y2<.4}

536. {(x, y): (X2 + y2)2 <. 2a2xy}

537. {x,y) : (X2 + y2)3 < a2 (X4 + y4) }

538. {(X, y): x2 y2 } -+-<1 a2 b2

539. {(x, y, z): X2 + y2 + Z2 <. R2 }

{

X2 )'2 Z2 54G. (x, Y, z): -+_+-<.R2}

a2 b2 c2

541. Dokazati da sistem

iransformacijom f x = u + a \. Y=v+ (3.

transformacijom

transformaciiom

transformacijom

transformacijom

transformacijom

transformacijom

{ x= e cos e

y= fl sin e.

{ x=ecos e

y=esine.

t X= e cose Y=esin e.

{ x=aecos()

y=be sine.

( X= r cos q; cos 'IfJ, y = r sin q; cos ?p,

l z=rsin'!jJ.

j x= ar cos q; cos ?p,

y = b r sin q; cos ?p,

z= er sin ?p,

u yeU--V---=2x

l+v

definiše diferencijabilne funkcije u=u(x, y), v=v(x, y) takve da je

u (1, 2)= O vel, 2)=0.

www.etf.ba

46 II. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VLŠE REALNIH PROMENLJIVIH

542. Da Ii sistem sinu x sin v y

u okolini tačke (l, 1), uz početne uslove u(1, 1)= l, vel, 1)= 1, definiše jednoznačne neprekidne funkcije u=u(x, y), v=v(x, y)?

543. Naći izvod dy za sledeće funkcije: dx

oz OZ 1-y rp' (z)*O, dokazati da je -= rp (z) -. 544. Ako je z=x+YI/'(z) oy ox

545. Pokazati da z kao funkcija od x i y definisana jednačinom

'y=xrp(z)+1p(z)

zadovoljava diferencijalnu jednačinu

02Z (OZ)2 _ oz oz ~+ 02Z (OZ)2 = O. ox2 oy ox oy ox oy oy2 ox

Naći diferencijal du za sledeće implicitne funkcije:

547. ~=ln~+ 1. u y

548. cos2 x+ cos2 y + COS2 U= 1. 549. u3-3 (x+Y)U2+Z3=0.

Naći diferencijale du i dv ako je:

sinu x 550. u+v=x+Y, -.-=-.

552. Naći ou ox

553. Proveriti

jednačinu

sm v y

u V Y e~sin-=-,

y v2 x=1, y=l, u=O.

ou ako je ax+by-eu=kcos(ax+by-eu). oy

da li funkcija 4sin(3x+2y+5z)=3x+2y+5z oz OZ -+-+1=0. ox oy

zadovoljava

554 N o' ou ou ov ov

. aCI-, ,-,- ako je x=eu+usinv, y=eu-ucosv . ox oy ox oy

§ 3. FUNKCIONALNE DETERMINANTE. DIFERENC. IMPL. FUNKCIJA. SMENA PROMENLJIVIH 47

555. Ako su funkcije y, z i u, od nezavisno promenljive x, definisane sistemom

x+y+z+u=a, X2 + y2+Z2+ u2 = bz, x3+ y3+ Z3+ u3= e3 o. dy

naCl -.

556. Pokazati da funkcija z = z (x, y) definisana jednačinom

x+y+z=f(x2+ y2+Z2),

gde je f diferencijabilna funkcija, zadovoljava jednačinu

OZ OZ (y-z)-+ (z-x)-=x-y.

ox oy

557. Pokazati da funkcija z = z (x, y) definisana sa jednačinom

(X2 + y2 + Z2)3 = y2z

zadovoljava jednačinu

oz OZ (X2_y2-Z2)_+ 2xy-=2xz.

ox oy

558. Ako funkcija u = u (x, y, z) zadovoljava jednačinu

02U 02U 02U -+-+-=0, OX2 oy2 OZ2

pokazati da je zadovoljavaju i funkcije:

dx

ou ou ou ou ou oU. 02U 02U 02U oU ;--, x-+y-+z-, y--x- 1 y2---2xY-_+X2_+Z_. ,ox ox oy oz ox oy OX2 oxoy OX2 OZ

559 N o' ou ou f nk ., f' . ac) -:- za II CIJU U=U ex, y) de misanu sistemom jednačina: ox ay

u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=O, /1 (z, t)=O.

1 1 560. Transformisati jednačinu x2y" + 2 xy' + - = Osmenom x = -.

x 3 t

561. Smenom x = sht transformisati jednačinu

cl + X2)y" + [x- (a + ti) Vl + X2]y' + ati =0.

562. Uzimajući y za novu nezavisno promenljivu, transformisati jednačinu

y'2 yIV -10 y'y"y'" + 15 y"3 = o.

563. Uvodeći smenu x=u+t, y=u-t gde je u=u(t) transformisati jednačinu

yU + (x+ y)(l + y')bO.

www.etf.ba

48 Il. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH

564. Dokazati da izraz S= -'--- -x'n 3 (Xn) X' 2 x'

ostaje invarijantan u odnosu na

ax+ b d b O) smenu y= -- (a - c=/= . cx+d

iyUI 565. Izraziti krivinu krive, izraz K = --'-'--~

(l + y'l)'!2 u polarnim koordinatama.

566. Tangens ugla između tangenta krive y = y (x) u nekoj tački i potega u toj . xy'-y

tački dat Je obrascem tga=---. Izraziti ovaj izraz II polarnim koor-x+yy'

dinatama.

Uzimajući za u v nove nezavisno promenljive, transformisati jednačine:

oz ,oz ° 567. (x+y)--(x-y;-= , Ox oy

;-- y ako je u = ln ~ X2 + y2, V = arc tg -.

x

az az 568. x-+ y-=z+ Vx2 + y2+Z2, . ako je

ox ay

y U=-,

x

a2 v a2 v ov 569. Jednačina -----=2-, smenom v=ue-t , prelazi ujednačinu

ax2 ot2 at a2u 02U . -----=u. DokazatI! ot2 ox2

02U 02U 570. Jednačina -----=u, smenom 1;=x-f, 'Y)=x+t, prelazi ujednačinu

at2 OX2 02U 1 --+ - u = O. Dokazati!

01;0'Y) 4

571. Pokazati da jednačina

02W 02W 02W 02W 02W 02W X2 __ +y2 __ + Z2--+yz--+zx--+xy--=0,

ox2 Oy2 OZ2 Oyoz Oz Jx oxOy

smenom: x = uv, y = v t, z = tu, prelazi ujednačinu

02W OlW 02W t2--+U2--+ V2--=0.

0(2 ou2 ov2

572. Pokazati da jednačina

az dz X2 _+y2_=Z2, smenom: x=t,

ox ay t t l" d y = ---, z = ---, pre azl Uje -

l + tu l + tv

V' oV o ( ( » naCinU -=, v=v t, u . dt

Uzima jući za II i v nove nezavisno promen1jive a w za novu funkciju transformisati jednačine :

§ 4. TAYLOROVA FORMULA. EKSTREMUMI FUNKC[JA. SINGULARNE TAČKE KR[VIH U RAVNI 49

oz oz 573. y --x-= (y-x) z,

ox oy 1 1

ako je U=x2+y2, v=-+-, x y

w=lnz-(x+y).

574. oz az

ako je u=lnVx2+y2, ---=x-y, V= arc tgz, w=x+y+z. ox oy

575. Y 02Z + 2 0Z =2., ako je x

U=-, v=x, w=xz-y. oy2 oy X Y

576. oz (l + OZ)02Z -(1 + oz + az +2 0z OZ) 02Z + OZ (1 + OZ) 02Z =0 oy ay ox2 ox oy ox ay oxoy ox ox oy2

ako je u=x+z, v=Y+z, w=x+y+z.

. ~u ~u ~u 577. Smenom x=rcos<p, y=rsin<p IZraz w=x2--+2xy--+y2--

OX2 oxoy oy2

postaje 02U

w=r2--. or2

Dokazati.

578. Prelaskom na polarne koordinate: x = r cos 8, y = r sin 8, pokazati da izrazi

_ (OZ)2 (OZ) w1 - - +-ox oy

02Z 02Z W2=-+

OX2 Oy2

prelaze li izraze:

_ (OZ)2 I (OZ)2. W]- - +- - , or r2 08

(PZ l 02Z 1 az w2=-+- -+--.

or2 r2 082 r or

579. Transformisati izraze:

WI = (ou)2 + (OU)2 + (OU)2; ox ay oz

prelaskom na polarne koordinate:

x=rsin<pcos8, y=rsin<psin8, z=rcos<p.

580. Pokazati da se za F(x, y, z, t)=J(xyzt) parcijalna jednačina

04F

oxoyozot F, smenom xyzf=u, svodi na običnu diferencijalnu jednačinu

§ 4. Taylorova formula. Ekstremumi funkcija. Singularne tačke krivih u ravni

1° Taylorova formula i Taylorov red za funkciju dve prom e n lj i v e. Ako funkcija J(x, y) ima u nekoj okolini tačke (a, b) sve parcijalne izvode, do n + l-og reda zaključno, tada u toj okolini važi:

(l) n 1 [ tl tl J(l)

J(x, y)=J(a, b)+ 2:-=- (x-a)-+(y-b)- J(a, b)+Rn(x, y). ;=1 II OX ay

4 Zbirka zadataka jz više matematikeH

www.etf.ba

50 II. DIFERENCIJALNI RA<'::UN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENUIVIH

gde je

Rn(x, y)=-- (x-a)-+(Y-lJ)- f[a+en(x-a), b+en(y-b)l 1 [ o o 1<n+l) (11+ 1)! ox oy

(0<en<1). Ako je funkcija f(x, y) beskonačno diferencijabilna i lim Rn (x, y) =0, tada je

n-H"

(2) 1 Oi+j

f(x, y)=f(a, b)= 2: -=t=! o. . fra, b)(x-a)'(y-b)1. i+j>1 l.). X' oy;

Specijalni slučajevi formula (1) i (2) su Mac Laurinova formula i Mac Laurinov red za a=O, b=O.

20 Ekstremumi funkcija više promenljivih. 1) Potreban uslov da diferencijabiIna funkcija f(x)=f(I;\, 1;2' ..• , I;n} ima ekstremum u unutrašnjoj

tački X. oblasti definisanosti D, jeste da je u toj tački df = O, tj. da je of = O o~!

(i=1,2, ... , n).

Tačka X. zove se stacionarna tačka.

2) Dovoljan uslov da funkcija f(x) u tački x. ima ekstremum jeste:

n

a) df(x.} =0 i d 2f<0 za 2:1 dl;, 1 '1= O -maksimum; i=l

n

b) df(x.} = O i d'f>O za 2:1 d!;, 1 '1= O -minimum. i"",,!

Specijalno, da bi funkcija f{x, y) imala ekstremum u stacionarnoj tački (x., Y.) mora da bude u toj tački D=AC-B2>0,

gde je a2f

B=-oxoy

02/ C--.

oy'

a) maksimum, ako je D>O, A<O (C<O); b) minimum, ako je D>O, A>O (C>O).

Ako je D = O slučaj je neodreden.

Ako je D<O nema ekstremuma.

Tada je:

30 U s lov n i e k s t r e m u m. Nalaženje ekstremuma funkcije f(x) pri uslovima 9',(x)=O (i=l, 2, "', m, m<n) svodi se na nalaženje ekstremuma funkcije

m

F (x) = f(x) + 2: Ai 'Pi (X). i=1

40 A P s o l u t n i e k s t r e m u m. Diferencijabilna funkcija f(x) dostiže najveću ili najmanju vrednost, u zatvorenoj i ograničenoj oblasti, u stacionarnoj tački ili graničnoj tački te oblasti.

5 0 S i n g u l a r n e t a č k e k r i v i h u r a v n i. Tačka M (x., Y.) ravne krive f(x, y)=O je singularna ako je istovremeno:

Neka u singularnoj tački M (x., Y.), svi izvodi drugog reda A, B i C nisu jednaki nuli i neka je D =AC-B2. Tada je tačka M:

4. TAYLOROVA FORMULA. EKSTREMUMI FUNKCIJA. SINGULARNE TAČKE KRIVIH U RAVNI 51

a) za D>O izolovana tačka (sl. 1)

y YI

J o D

I I Sl. 1 Sl. 2

b) za D<O dvostruka tačka (sl. 2)

y y

MJ? Ai

o x _0

I I S:. 3 Sl. 4

e) za D = O povratna tačka prve vrste (sl. 3) ili druge vrste (sl. 4) ili izolovana tačka, ili dvostruka tačka sa dodirom (sl. 5)

581. Razložiti funkciju y

I(x, y)=Ax2 +By2+Cxy+Ex+Fy+G

u okolini tačke (a, b) po Taylorovoj formuli.

Sg2. Funkciju z=/(x, y), definisanu jednači. nom z3-2xz+y=O, pri čemu je

1(1,1)= 1,

predstaviti Taylorovim polinomom drugog stepena u okolini tačke (1, 1). SI. 5

583. Razložiti funkciju I(x, y)=ln(l +x+y) po Mac LaUTinovoj formuli u polinom do drugog stepena zaključno.

584. Razložiti po Mac Laurinovoj formuli funkciju I (x, y) = Ih _x2_y2 u polinom do četvrtog stepena zaključno.

4*

www.etf.ba

52 II. DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNlll PROMENLIIVIH

585. Razložiti u stepeni red po stepenima od binoma (x + 1) i (y-l) funkciju J (x, y) = eX +Y •

Razložiti u Mac Laurinov red funkcije:

x-y 586. J (x, y)=arctg---.

l-x-y+xy 587. u=ln ----..::.--"-

. l +xy 1-x-y

Dokazati da je: mem-l) n(n-l)

588. (l+x)m(1+y)n=l+mx+ny+ x2+mnxy+ ---y2+Rz (x y). 21 21'

oo oo xmy21Hl 589. e"'siny= 2: L (_l)n (Ixl<oo, Iyl<oo).

m=O n=O ml (2n+ 1)1

oo o!) xm yn 590. In(l+x)ln(1+y)= L 2:(_l)m+n_- (l x l<l, lyl<l).

m=l n=l mn

Naći stacionarne tačke za funkcije: '/

591. u=e2X (x+y2+2y). 5'92. U= 3lnx+2lny+5lnz+ ln (22-x-y-z).

Naći ekstremurne funkcija: . /

593. u=x3+ 8y3_6 xy+ 5. 594. u = ax+by+ e VXZ+y2+ l

Ispitati ekstremurne sledećih funkcija:

595. 10 u=(x-y)2+(y-l)3.

596. u=x lly-x2-y + 6x+3. 597. U= (X2+y) VeY. x

598. u=3ln-+2lny+ ln (12-x-y). 6

599. U= x-2y+lnVX2+ y2+ 3arctgz... x

y2 ZZ 2 600. U=X + -+-+- (x>O, ),>0, z>O).

4x y z

Naći uslovne ekstremurne sledećih funkcija:

601. u=ax+by, ako je X2+y2= 1.

602. u=x-2y+2z, ako je X2 + y2+ Z2= 1.

Naći najveće i najmanje vrednosti funkcije:

(az+b2 +c2 =1=O).

603. u=2x3 +4x2+y2_2xy II zatvorenoj oblasti ograničenoj krivama y=x2,

y=4.

§ 4. TAYLOROVA FORMULA. EKSTREMUMI FUNKCIJA. SINGULARNE TAČKE KRIVlli U RAVNI 53

604. U=X3 +y3-9xy+2z, ako je 0<:x<:4 i 0<y<:4.

605. U trouglu ABC A (O, O), B (l, O), C (O, 1» naći tačku čiji je zbir rastojanja od njegovih temena najveći.

606 P , .. f nk .. l ~ k d l ~ . omocu mlll1muma u clJe u 0;= - L. Xi po us ovom L, Xj "" const. doka-n ;=1 ;=1

zati nejednakost

(k>l, Xj>O, i=l, 2, "', n).

607. Razložiti pozitivan broj a na n sabiraka tako da zbir kvadrata tih sabiraka bude najmanji.

, xZyZz2 608. U elipsoid -+-+-= 1 upisati paralelepiped najveće zapremine.

aZ bz c2

609. U polusferu poluprečnika Rupisati paralelepiped najveće zapremine.

610. Pokazati da je najveće rastojanje tačke Mo (xo, Yo, zo) od tačaka ravni

Ax+By+Cz+D=O dato obrascem d= IAxo+BYo+Czo+DI VA2+B2+0

611. Pokazati da je najkraće rastojanje između pravih

X-Xl=y-Yl = Z-ZI X-Xz=Y-Yz = Z-Zz

/1 ml nl Zz mz n2 dato obrascem

1 X l-X2 Yl-Y2 Zl-Z2

d=- /1 ml nl ±Ll

Z2 m2 n2

gde je

Ll=~ I llmlr+ lz m2

Im1n1r+ m2 nz

I nl lj 12

•

nz 12

X2 612. Na elipsoidu - + y2+Z2= 1 naći tačku koja je najmanje (najviše) uda-

96 ljena od ravni 3x+4y+ 12z=288.

613. Klasirati singularne tačke krive y 2 =ax2 +x3•

Ispitati karakter singularnih tačaka sledećih krivih:

16 616. (y-a-x)2_-x5 =O.

225

www.etf.ba

54 n. DIFBRENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMENIJIVIH

617. y2-x(x-l)2+x=O.

619. y2(a+x)-x2(a-x)=O. 620. y2_X2(9-X2)=O.

621. (x2+ y2)2_a2 (X2_y2) = O. 622. x3+ y3-3 axy= O.

623. (y-x2)2-x(x-a)3=O (a>O). "624. a2y2+4axy2-4ax2y+4x4=O.

625. y2-(x-a)(x-b)(x-c)=O (a<b<c).

Glava In

FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU IN1EGRALA

§. 1. Funkcije predstavljene pravim integralima

l° Ako je funkcija I(x, m) definisana i neprekidna u ograničenoj oblasti R[a<x~b: m, ';;m<;m,l, onda je integral

b

J(m)= J I(x, m)dx

neprekidna funkcija na odsečku m, ,;;m<;m,.

2° Ako je uz uslove navedene pod 10 još i parcijalni izvod lm' (x, m) n~prekidan u oblasti R onda za m E (m" m,) važi Leibnizova formula

b b

d: J I(x, m) dx= J lm' (x, m) dx

a

U opštijem slučaju kada su i granice integrala diferencijabiJne funkcije cp (m) i tp (m) parametra m a sem toga je a';;ep (m)<;b, a,;; 'P (m)<.b za m, <m<m, onda je

",(m) ",(m)

d: J I(x, m) dx =/('1' (m), m) 'P' (m)-/(ep (m), m) cp' (m) + J lm' (x, m) dx

'I'(m) 'I'(m)

30 Ako Su ispunjeni uslovi pod 1° onda važi takođe i formula

m2 b b m2

J dm J I(x, m) dx = J dx J I (x, m) dm m, m,

626. Ispitati neprekidnost funkcije I

J(m) = f m/ex) dx x 2 +m2

o

ako je funkcija / (x) neprekidna pozitivna na segmentu [O, lJ.

www.etf.ba

56 m. FUNKCUE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

627. Naći

l

3° lim J Vx2 +m2 dx; m-..l

-I

2

2° lim f X2 cos mx dx; m->O

o

l

40 lim J dx

m-..'" o 1 + (1 + : r 628. Neka je f(x) neprekidna na segmentu [a, bl. Dokazati da je

Jim~ J [f(u+h)-f(u)] du=f(x)-f(a) (a<x<b). h->O h

629. Ispitati da li se može izvesti granični prelaz pod znakom integrala u izrazu

1 xl

lim J ...::... e -mz dx? m--+O m2

o

630. Ako je f(x, m) =cos mx

pokazati neposrednim izračunavanjem ispravnost jednakosti

(J f(x, m) dx)' = J fm' (x, m) dx. o m O

631. Može li se po Leibmzovom pravilu izračunati izvod funkcije

1

I (m) = J ln Vx2 +m2 dx o

za m=O?

632. Izračunati J' (x), ako je

I (x) = J e-xyl dy. x

633. Naći I(a), ako je:

COS a a

10 I(a)= J ea]ll-x'dx; 20 ' J(a)=fln(l+aX) dx; . X

sin a

§ l. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE PRAVIM INTEGRALIMA

b+a " 30 r sin.ax dx', J(a) =

, X 4° JCa) = f f(x+a), x-a) dx;

a+a o

a 2 x+a

50 J(a)= J dx J sin (xz+yZ-a2)dy. o x-a

634. Izračunati 1" (x), ako je x

I (x) = J (x+y)f(y)dy, o

gde je f(x) diferencijabilna funkcija.

635. Naći 1" (x), ako je

b

I (x) = J f(Y)lx-yldy, a

gde je aO), h o o

gde je f(x) neprekidna funkcija.

637. Naći ['("l(x) ako je x

I(x) = J f(t) (X_t)n-l dt. o

57

638. Pokazati da najopštija funkcija koja zadovoljava diferencijalnu jednačinu y(n)=f(x) ima oblik

(x-x )n-l 1 x --,---...:o~-+--J (x_t)n-l f(t) dt.

(n-l)! (n-l)! ...

639. Pokazati, ako je funkcija f(x) neprekidna u nekom intervalu, koji ne sadrži tačku a, da onda funkcija

y (x) =2. J f(t) sin k (x-t) dt, k a


y" + k2y = f(x).

www.etf.ba

58 ill. FUNKCIJE PREDSTAVlJENE POMOĆU INTEGRALA

640. Primenom formule za diferenciranje pod znakom integrala odrediti Fourierove koeficijente al i b! date funkcije y (x) tako da integral

2"

1=.2.. f [y (x)-TlI (X)]2 đx, 2n o

gde je Tn (x) = -.!... ao + i af cos ix + bi sin ix, ima minimalnu vrednost. 2 l-l

641. Naći izvod potpunih eliptičkih integrala

nl2

E (k) = J V'"1--'k;-:"2-S1,.-· n-=-2 -rp đrp o

"12

F(k)= J drp Vl-k2 sin2 rp

o

(O<k<l)

i izraziti ih pomoću funkcija E (k) i F (k). Pokazati da E (k) zadovoljava diferencijalnu jednačinu

E"(k)+-.!...E'(k)+~E(k) =0. k l-k2

642. Dokazati da Besselova funkcija celobrojnog indeksa n

1 " In (x) =-J cos (n rp-x sin rp) đ t:p

no

zadovoljava Besselovu jednačinu

643. Neka je ul

J(m) =f t:p(x) dx Vm-x '

o

gde je funkcija t:p (x) kao i njen prvi izvod t:pl (x), neprekidna za xE [O, aj.

Dokazati da je za mE (O, a) ispravna jednakost

r(m)=~~ +Jm ~ dx. ym m-x

o

644. Pokazati da funkcija l

rp (x) = J u (x, y) v (y) dy. o

gde je

§ l. FUNKCIJE PREDSTAVUENE PRAVIM INTEGRALIMA

u(x)=[ x(l-y), ako je x<y; l y (l-x), ako je x>y,

a v (y) neprekidna funkcija, zadovoljava jednačinu

g/' ex) = -v (x) (xE [O, l]).

645. Naći Izv" (x, y) ako je xy

lex, y) = J (x-yz) J (z) đz, xlY

gde je J(z) diferencijabilna funkcija.

59

646. Neka je J(x) dvaput diferencijabilna funkcija funkcija.

F(x) diferencijabilna

Dokazati da funkcija x+at

u (x, t)=-.!...[f(x-at)+J(x+at] +.2.. f F(z)dz 2 2 a x-at

zadovoljava jednačinu treperenja žice

02 u 02 u -=a2 -o t2 O X2

i početne uslove u (x, O) = I(x), ut' (x, O) = F (x).

647. Pokazati, ako je funkcija I(x) neprekidna na segmentu [O, l) i (x-;")2 + + y2 +Z2*O za ~E[O, 1], onda funkcija

648.

650.

I

U (x, y, z) =f J(~) dC V (x-C)2 + y2 + Z2

o

zadovoljava Laplaceovu jednačinu

cP u 02 u 02 z -+-+-=0. ox2 0)'2 OZ2

Primenom pravila diferenciranja po parametru izračunati sledeće integrale:

1 l

I (m) = J arc tg : dx. 649. ICa) = J arc tg ax dx

xVI-x2 (a>O).

o

Tn l

I (m) = J In(I+mx) dx. 651. I (m) = J ln (X2+ )'2) dx ()'>O). l +X2

o o

www.etf.ba

60 lll. FUNKCIJE PREDSTAVIJENE POMOĆU lNTEGRALA

652. J(r)=jln(1-2rcosx+r2)dx J(O)=O (Poissonov integral).

"j2 "j2

653. J(a)= x. J arc tg (a tg x) d 654. J (m) = J InCl+mcosx) dx.

cos x tg x o o

I b

655. J (y) = J Xli (ln x)n dx, (y>-I) 656. I(a) = J dx

(az + X2)2

657.

659.

I

J __ ln--,C'-.l_+_x...e.)_ dx. 658. l +x2

"j2

J dx --

(az cos2 x + bz sin2 X)2 o

o

"j2

I (m) =J ln (sin2 x+ m2 cos2 x) dx

o

(m>O).

660. Koristeći formulu

izračunati integral

arc tg x

x

I

l

J dx

l +X2 y2 o

J arc tg x _=d=x~_ X VI-x2

o

661. Primenom pravila integracije pod znakom integrala izračunati integral

l

J Xb_X" J= ---dx

ln x o

662. Izračunati integrale:

I I

1 ° f sin (ln~) Xb_X" dx; x ln x

2° J cos x (ln~) xb_xa

dx (a>O, b>O). x ln x

o o

Koristeći postupak integracije pod znakom integrala izračunati sledeće integrale:

~ 2. NEPRAVI INTEGRAL KAO FUNKCIJA PARAMETRA .•. 61

d l l

663. fdX J xlldy. 664. J J y2-x2 dx . (X2+y2)2

o o o

I l

665. 1° J dx J y-x dy. 2° J dy I y-x

dx. (x+ y)Z (x+ y)2

o o o "j2

666. J ln a+b sin x

a-b sin x

dx

sin x o

667. Neka su Fek) i E(k) potpuni eliptički integrali (v. zado 641).

Dokazati formule: k

1° j F(k)kdx=E(k)-k12F(k); o

k

2° J E(k)kdX=+[1 +k2) E (k)-k j2 F(")],

o

gde je "12 = l-k2.

668. Proveriti formulu

'" j x Jo (x) dx=x11 ex), o

gde su Jo (x) j II (x) Besselove funkcije sa indeksima O i l (v. zado 642).

§ 2. Nepravi integral kao funkcija parametra. Uniformna konvergencija integrala

10 Nepravi integral

(1) j I(x, m) dx, a

gde je funkcija I(x, m) neprekidna u oblasti a";;;x< oo, ml <;m<;m" naziva se uniformno konvergentan u intervalu (ml' m,) ako za proizvoljno e>O postoji broj M=M(e) takav, da za svako b>M važi nejednakost

'" I j I (x, m) dx I <e (m, <m<m,). b

Uniformna konvergencija definisana pod 10 ekvivalentna je uniformnoj konvergenciji svih redova oblika

co Q/J+J

L j I(x, 111) dx, n=O an

gde je a=aO<al<a,<···<an<Gn+I<··· i lim a,. = oo.

www.etf.ba

62

669.

672.

675.

678.

681.

684.

m. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

Ako integral (1) uniformno konvergira u intervalu (m" m,) onda je on neprekidna funkcija parametra m U tom intervalu. 2° Potreban i dovoljan uslov da integral (1) bude uniformno konvergentan u inter

valu (m" m;) je da za proizvoljno e>O postoji broj M =M (e) takav da je

b"

IJJ(x,m)dxl<s za m E (m\> m,) b'

samo ako je b'>b i b">M. Ovaj kriterijum je poznat kao Cauchyev kriterijum.

3° Da bi integral (1) bio uniformno konvergentan potrebno je i dovoljno da postoji major'lntna funkcija F(x) nezavisna od parametra m takva da je

1) IJ(x, m) I <F(x) za a~x< ~

2) J F(x)dx<oo.

Ovaj kriterijum naziva se Weierstrassov kriterijum.

4° Analogne teoreme važe i za slučaj nepravih integrala prekidnih funkcija.

Odrediti oblast konvergencije integrala: eo

f

.xa-l 670. f x~ 671. f e~Z --dx. --dx. --dx.

l+x 1 + x2 1 + X2 o o o

oo .. f

x cos x dx. 673. f x"e-zdx. 674. f xm sin xn dx.

xP+~ O O O

f x+2 d 676. f e- ax2 xm dx. 677. f _(X2+2-)

X"--- x. xm e x2 dx.

x+l o o

l

f sin ~ dx. ""cos---

f

e-ax2 _ e-bx2 679. f l-x dx. 680. dx.

xP V l-x2 x2

o o

Upoređivanjem sa redovima ispitati konvergenciju sledećih integrala:

f~dX. f xm sin xn dx. f X 682. 683. -----dx. x+rn 1 + xm sin2 X

O O O

oo

I dx 685. I sin (:;X2) dx.

x" if sin2 x o

§ 2. NEPRAVI INTEGRAL KAO FUNKCIJA PARAMETRA •••

686. Dokazati da za m> O integrali

J lex) e-mz dx o

J I ex) e-mx2 dx o

-uniformno konvergiraju ako integral J lex) dx apsolutno konvergira. o

687. Dokazati da, ako integral

J I (x) dx

63

konvergira ako je funkcija rp (x, y) ograničena monotona PO x, onda integral

J I (x) rp (x, y) dx

uniformno konvergira (u odgovarajućoj oblasti).

688. Pokazati da se uniformno konvergentni integral

oo 1( 1)2 1= f e-;;; x---;; dx (O<m<l)

l

ne može majorirati konvergentnim integralom koji ne zavisi od parametra.

689. Pokazati da integral

1=J me-mZdx o

l) uniformno konvergira u proizvoljnom intervalu O<a<m<.b

2) neuniformno konvergira u intervalu O <. m <. b.

690. Pokazati da Dirichletov integral

J sin ax 1= ---dx

t X :~-O

l) uniformno konvergira na svakom segmentu [a, b], koji ne sadrži vrednost a = O, i 2) neuniformno konvergira na svakom segmentu [a, b], koji sadrži vrednost a = O. Ispitati uniformnu konvergenciju, u naznačenim intervalima, sledećih integrala:

691. f y2_x2 dx. (X2 + )'2)2

x

692.

l

f ydx X 2 +y2 ' yE[O, d>O].

o

www.etf.ba

64 Ill. FUNKCDE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

693. f ye-XlI dx (a:> O).

1

694. J x ll- 1 dx. o

695. J e-.ax sin x dx (O<ao<a< oo). 696. J xm e-·" dx (a<.m<.b). o o

f sin ax cos x dx. 698. f cos mx

dx (-oo<m<oo). 697. x -1 +x2

o ,. ... -: ..

oo

I sin ax dx, a>O. 700. f sin x d (O<.a< oo). 699. --e-ax x

x x x o

f cos x 701. e-XlI __ dx xa

(O<a<l).

Q

J COS x 702. e-ax -- dx

xP (O <. u< oo), gde je p fiksno.

J

f cos xy 704.

J

sin x 2 dx Cm;;> O). 703. dx (O<a<I).

xa l+xm O

l f x sin xy (a>O). 706. f' 1 dx (0<m<2). 705. dx Slll-'-

a2 +x2 .x Xm l

707. Da li je dozvoljen prelaz pod znakom integrala u izrazu

lim J me-mz dx? m~+Oo

708. Ako je funkcija I ex) integrabiina u intervalu (O, co) dokazati formulu

lim J e-17lz I (x) dx = J I (x) dx. m ..... l o o

709. Dokazati da je

lim J I(x) sin mx dx=O, m.....o o

ako je I (x) apsolutno integrabiina u intetvalu (O, co).

\ 3. ZAMENA PROMENUIVIH U NEPRAVlM INTEGRAUMA •••

710. Izračunati integral

j e-xl dx = j n~~ [(l + x~ fnJ dx o o

koristeći granični prelaz pod znakom integrala.

711. Dokazati da je integral

'" ICa) = J e-(x-a)'dx

o

neprekidna funkcija parametra a.

Ispitati neprekidnost, II naznačenim intervalima, sledećih funkcija:

oo

712. I(m) =f x dx ,za m>O. xm+2

713. ICm) =J cos x dx, za m>O. Xm

1 O

" 714. l Cm) = f sin x dx,

xm (n-x)m zaO 1<2.

o

715.I(m)=J (Tz dx,zaO<m<l. I sin xlm

o

716. J(m) = J me-m'x dx, za - co <m< oo. o

65

§ 3. Zameoa promenljivih u nepravim integralima. Diferenciranje i integracija nepravih integrala pod znakom integrala

1° Ako je funkcija I(x, m) neprekidna i diferencijabilna po paramerru m u oblasti

'" a~x< oo, ml <m<m" i ako sem toga integral J I(x. m) dx konvergira, a integral

Q

J f~ (x, m) dx uniformno konvergira u intervalu (m" m,) onda je

~ II(x, m) dx = I f~(x, m) dx a a

za m l < m < m, (Leibnitzovo pravilo).

5 Zbirka zadataka iz više matematike II

www.etf.ba

66 m. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

20 Ako je funkcija [(x, m) neprekidna za x:>a i m,<m<mz, i ako integral

J I(x, m) dx uniformno konvergira u konačnom intervalu (m" mz) onda je

(1)

m2 oo m2

J dm J I (x, m) dx= J dx J I(x, m) dm. a a

Ako je [(x, m):>O, onda formula (1), važi takođe i za beskonačan interval (m" mJ uz pretpostavku da jedna od strana II jednakosti (1) ima smisla.

717. Koristeći formulu

izračunati integral 1

1 J xm- 1 dx = .~ (m>O)

o

I = J xm- 1 Inn x dx, gde je n prirodan broj. o

718. Koristeći jednakost

izračunati integral

I e-XV dx = ~ za Y>O,

o

oo

I e-=-e-b'" ----dx,

x o

O<a<b.

719. Polazeći od jednakosti

I r'" cos {J x dx = a a 2 + (J2

o

koja se za a>O dobija neposrednom integracijom izračunati integral


oo

I Sin ax dx. x .

o

§ 3. ZAMENA PROMENUlVIH U NEPRAVIM INTEGRALIMA ...

gde je a>O, izračunati integral

J r ax x n- 1 d..'C o

_ ako je n prirodan broj.


I dx n x2+a2 =~'

o

izračunati vrednost integrala

J dx (x2+ a2)n •

o


'" --- dx= - sIgn a, J sin ax n.

x 2 o

naći integral

J cos ax-.cos bx dx. X2 .

o

Izračunati sledeće integrale:

d

723. I dy I Sin;y dx, (y>O).

o

724. J(y)= e-kX dx, J l-cos xy (y>o, k>O).

725.

x o

J l-e-XY ----dx.

xeX

o

727. cos mx dx, J e-az_e-bx

x o

726. J (e-a"'~e-pxrdX' o

(a>O, f3>O).

(a>O, f3 >0).

67

www.etf.ba

68 m. FUNKCUE PREDSTAVIJENE POMOĆU INTEGRALA

728. J sin xy dx, a0;60. 729. J arc tg xy dx.

x (aZ + xz) x (1 +XZ) o o

~

730. J ln (a2 + X2)

b2 +X2 dx, b0;60.

731. Izračunati Poissonov integral

polazeći od fo=ule

1= J e-x> dx o

/2 = J e-x' dx J xe- x>y2 dx. o o

Koristeći Poissonov integral izračunati sledeće integrale:

J~ _(X2+~)

732. e dx, (a>O).

o

~

J e-ax'_e-b:l.2

733. dx, x 2

(a>O, b>O); (vidi zado 680).

o

734. J e-ax' c;s bx dx, (a>O). O

735. J x e-ax' sin bx dx, ,

736. J x 2n e-x' cos 2 bx dx, (nEN). o

737. Polazeći od integrala

J sin f3x / (a) = e-az dx, x

o

izračunati Dirichletov integral

f sin f3x D (P) = dx.

x

(a:> O).

(a>O).

····i

t3. ZAMENA PROMENLJIVIH U NEPRAVlM INTEGRALIMA ••• 69

Koristeći Dirichletov integral i jednakost

J f(ax)-f(bx) dx=f(O) ln.!!.- (a>O, b>O). x x

o ~

gde je f(x) neprekidna funkcija i integral J f~) dx ima smisla za

A

proizvoljno A> O, izračunati sledeće integrale:

oo oo

738. dx, J e-ax'-cos f3x (a>O). 739. J sin aXxsin px dx.

Xl o

J sin4 a x-sin4 f3 x 740. dx.

x o

J~ ~kz sin a x sin f3 x 711.2. ~ dx,

X2 o

743. Izračunati integrale:

la J sin ax dx; x+b

744. Dat je integral

o

oo

741. J S~X2 dx.

(k>O, a>O, f3>O).

20 J cos ax dx. x+b

l (m) = J cos rnx dx, 1 +x2

o

gde je m realan parametar.

10 Ispitati. konvergenciju ovog integrala i naći takav pozitivan broj M da je II(m) I<M za svako realno m.

2 0 Vodeći računa o jednakosti

pokazati da je za m>O

oo

~= r sin x dx, 2, x

o

J" (m) =1 Crn)

www.etf.ba

70 m. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

3° Naći opšti integral diferencijalne jednačine pod 2° i vrednosti I (O) i l' (O) uz dokaz da druga od njih postoji. Na osnovu toga naći vrednost funkcije I (m).

4° Naći granične vrednosti

m

lim I (m) lim [dm J _c_o_s_m_x_. dx, m-')oCQ, 1+x2

o o

koristeći rezultat iz tačke 3° i bez njega.

745. Diferenciranjem po parametru izračunati vrednost integrala

746.

748.

J rt' cos mt dt, (mER).


oo

(' sin2 x d . -- x j l +x2 •

o

r cos ax

~ ax2 +2bx+c

747.

dx,

r cos ax

< (1 +X2)2 dx.


I(m) =J arc tg mx dx, x2 Vx2-1

gde je Jn realan parametar.

l e Ispitati konvergenciju integrala I (m).

2° Koristeći diferenciranje integrala po parametru izračunati integral I (m)' uz obrazloženje postupka.

3° Nac:tati grafile funkcije l (m) ,

750. K0risteći formulu

1 2 oo

- =- f e-xy' dx, (y>O) vx vn'o

izračunati Frenetove integrale

oo

smx2 dx=- --dx, J . 1 J sin x 2 vx

o o

3. ZAMENA PROMENLJIVIH U NEPF.AVIM INTEGRALIMA •• 71

'" J cos X2 dx = ~ J c~x dx.

O O

751. Koristeći pravilo diferenciranja pod znakom integrala izračunati vrednost integrala

I(a) = f e-X' ~os ax dx. o

Isti integral izračunati razvijajući cos ax u Mac Laurinov red uporediti dobijene rezultate.

752. Dokazati identitete

'" '" ° J sin x J e-mt dt 1 --dx= --,

x+m 1 + (2

m;;, O; J cos x J te-at 2° -- dx= -- dt

x+m 1 +/2 ' o o o o

Izračunati integrale:

753. f sin (ax2+2 bx+c) dx, (a~O).

754. f sin X2 cos 2 ax dx. 755. J cos X2 cos 2 ax dx.

'756. Izračunati a oo

lim (a-Je- x2dx) J-~

a->+O (X2 + a2)2 .

° o

757. Dokazati formule:

r cos ax :n; l° -. -- dx= - sin ax;

• a2-x2 2a °

oo

2° , dx = - - cos ax, J X sin ax' :n;

a2-x2 2 o

gde je a~O, a integrali se uzimaju u smislu glavne Cauchyeve vrednosti.

758. Izračunati vrednost integrala oo

J smx I (a) = -x- e-ax dx,

o

www.etf.ba

72 III. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

a na osnovu toga izračunati integrale:

~

1° J Si:X dx; I . 2 20 Sl: x dx;

o

~ " J sin4 X dx; J . 3 J sin4 X dx. 3° 40 sm x dx; 5° X2 x2 x 3

o o

759. Funkcije F (x) i G (x) definisane su određenim integralima

~ l

( J )2 J e-x2(t2+1)

F(x) = ct2

dt i G(x)=- . t2+1 dt.

o o

1 ° Pokazati da je F' (x) = G' (x) za svako x, pa odatle izvesti identitet

:re F(x)=-+G(x).

2

2 ° Na osnovu rezultata pod l ° izračunati vrednost integral a

j e-tl dt. o

760. Naći Laplaceovu transformaciju

F(p) = j e-pl JCt) dt o

(p>o)

za funkciju J(t), ako je:

l° J(t) =tn (nEN);

4° J (t) = te-"I;

2° J(t)=Vt;

5° J(t) = cos t;

6° J(t) = l-e-t

;

t

761. Dokazati formulu (Lipschitzov integral)

J e-"t lo (bt) dt = ~ (a>O) a2 +b2

o

gde je lo (t) = ~ cos ex sin rp) d rp - Besselova funkcija nultog indeksa. :Jj;

§ 4. EULBROVI INTEGRALI

762. Naći Weierstrassovu transformaciju oo

F (x) = /-;. J e-(x-Y)2 J(y) dy.

ako je:

1° J(y)= l; 2° J(y) = y2; 4° J(y) = cos ay.

763. Dokazati da za polinome Čebiševa-Hermitea

dn Hn(x)=(-1)nex2 dxn (e-Xl) (n=O, l, 2, ... )

važi formula oo

J Hm (x) H,,(x) e-xl dx ={o, ako:1 ~ 2n n!]in, ako Je m=n.

764. Integral

cp(x)=---2 :re<TI <Tz

ima veliki značaj u teoriji verovatnoće. Naći njegovu vrednost.

73

765. Neka je funkcija J(x) apsolutno integrabilna na intervalu (- oo, oo J. Dokazati da integral

zadovoljava jednačinu termoprovodljivosti

ou l 02U

početne uslove

1° Integral

-=---ot a2 iJxz

lim u ex, t) = J (x). 1-+0

§ 4. Eulerovi integrali

1

B(a, b)= !xa-1C1-x).-ldx o

za a>b i b>O naziva se beta funkcija ili Eulerov integral prve vrste. Osnovna svojstva beta funkcije su sledeća:

1) b-l

B(a, b)= B(a, b-l). (b> 1). a+b-l

www.etf.ba

74 Ill. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

Ako je b =n> 1, gde je n prirodan broj onda ova formula postaje rekurentna formula

n-l B (a, n)=--- (a, n-l).

a + n-l

2) Ako su a i b prirodni brojevi onda je

(m-l)! (n-l)! B(m, n)=----,--

(m+n-1)!

Specijalno za a = 1 i b = 1 sledi B (1, 1) = 1.

2° Integral

T (a) = J XI>-l e-zdx o

za a>O naziva se gama funkcija ili Eulerov integral druge vr.fte. Osnovna svojstva funkcije su sjedeća:

1) T(a+l)=aT(a)

Ako je a prirodan broj onda je

( 1) 1.3 ... (2n-l) T(n+ l)=n!; T n+-

2 = V~.

2n

Specijalno je T(2) =r(1) = 1. T(+) =j/n.

2) Ako a nije ceo broj onda važi formula

. :lt rea) T(l-a)=-.--.

sm:n;a

Ova formula omogućava da se proširi gama funkcija na negativne vrednosti argumenta.

Osnovna veza ismeđu beta i gama funkcije izražena je formulom

rea) T(b) B(a, b)= .

. T(a+b)

766. Dokazati da je beta funkcija B (a, b) neprekidna i da ima neprekidne izvode bilo kog reda u oblasti a>O i b>O.

767. Dokazati da je gama funkcija T (a) neprekidna i da ima neprekidne izvode bilo kog reda u oblasti a>O.


1

768. J Vx X2 dx.

1

770. f x ff l-x3 dx.~~

a

769. J x2 Va2-x2 dx O

1

(a>O).

771. J (l + t )",-1 (1- t)Y-l dx.

-I

772. J~dX 1+ X4

o

14. EULEROVI INTEGRAL! 75

1 I 1

773. J dx 774. J dx

775. J dx Vl-x4 VI-x3

n· , (11)0). II I-xn O O

,,/2

776. J xP- 1 (l-xm)Q-l dx (p, q, m>O). 777. J sin6 x COS'; X dx. O O

,,/2 oo

778. J sina- 1 rp COSb-1 rp d rp (a, b>O). 779. J sin2 X dx. X2

o o

oo

780. --dx. r sin4 x 781. J Sin; ~ dx.

o

782.

783.

784.

786.

788.

x3

o

oo

r sinPlq x ---dx, gde su p q uzajamno prosti neparni prirodni brojevi.

< x o

J x 2n e- x1 dx, o

(nEN).

Odrediti oblast definisanosti izraziti pomoću Eulerovih integrala sledeće integrale:

J dx (1 +X2)" .

o

J x 7n - 1

dx. (l + x)n

o

1

J J.,ooU-I (1-X)P-1 ---'---'-- dx,

(x + a)"+1i

785. I o

787. I o

xm-l --dx, n>O. 1 +xn

xm - dx (a>O, b>O, 11.>0).

(a+bxn)p

789. d rp, J sinn-1 rp

Cl-k sin rp) n O<k<1.

o

790. J tg2a- 1 X dx. 791. J xP e-ax ln x dx, (a>O) o

792. J xalnx ---dx.

I +X2 793. J xme-xndx.

o

www.etf.ba

76 nl. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

l

795. J (ln ~ r dx. o

796. I xP- I In2 x dx, (p>O). 797. I ;P~l~~:-~ dx.

l+x o o

l oo

798. I xP-I-x-P dx, (O<p< 1) 799. J shax dx, (O<a<{J).

l-x sh (J x o o

l a+l

800. J ln rex) dx. 801. J ln rex) dx, (a>O). o o

l l

802. I ln r (x) sin n x dx. 803. I ln rex) cos nnx dx, (nE N). o o

804. J

e-ax dx.

Vsh 2x o

Dokazati jednakosti: I

805. I e-X' dx I x2 e-x'dx= 8nV2' 806.

J

dx

J

X2 dx n

VI-x4 Jh-X4 4 o o o o

oo

807. I xP- I cos ax dx = ~ rep) cos n P, (O<p< 1). aP 2 o .

oo

808. I x P- 1 sin ax dx = 2- r (P) sin n p , aP 2

(-l<p<I).

o

809. rIJ xm-le-xndx=(-;r-~ (2n)n;l. 810. lim J e-xn dx= 1. n--+oo

811.

o O

Koristeći jednakost 2- = _1_ j tm-l e-zt dt (x> O), naći integrale: xm rex) o

'"

J cos ax ---dx, (O<m<l).

xm I Sin ax d' 812. ~\, xm

(O<m<2).

O

§ 5. FOURIEROV INTEGRAL·.! FOURIEROYE TRANSFORMACIJE

813. Pokazati da je za x>O i a>O

oo

dt=r(a) 2: n=1 (x+n)a

814. Dokazati Eulerove formule:~ oo

l ° J tX-I e-lt cos a cos (A t sin a) dt = r (x) cos a x; AZ

o

oo

2° JtX-le-lICasaSin (At sina)dt= T;:) sin ax,

o

(A>O, X>O, - ~ <u< ~) . 815. Naći dužinu luka krive

r"'=an cos n fP. (a>O, nEN).

816. Naći površinu ograničenu krivom


Ixlm+ Iy Im=am, (m>O, a>O).

rp (m) = I e-xm dx, (

gde je m realan parametar.

l ° Ispitati njegovu konver ene u. 2° Koristeći gama funkciju izračunati lim fP Cm).

oo

77

3° Ispitati konvergenciju reda 2: (2n-I)!! (

X )n. -- l naći njegov zbir. l +X2 n-I

§ 5. Fourierov integral i Fourierove transformacije

lOP r e d s t a v 1 j a n j e f u n k e i j e F o u r i e r o v i m i n t e g r a lom. Ako je funkcija I(x) apsolutno integrabiina na celoj realnoj pravoj, tj. ako integral

oo

I I/(x) I dx konvergira. i ako ispunjava Dirichletove uslove na svakom konačnom

intervalu, tada se ona, u svim tačkama neprekidnosti, može predstaviti Fourierovim integralom:

(1) I(x) = J [a (A) cos AX+ b (A) sin AX] dx

O

:.·'1 i ql

www.etf.ba

78 III. FUNKCIJE PREDSTAVLJENE POMOĆU INTEGRALA

gde je

1 .. a (Al =-; J f(t) cos A t dt

1 .. b (A)=-; J f(t) sin Atdt.

1 Uprekidnim tačkama integral (l) jednak je "2 [/(x+ O) +f(x-O)j.

Ako je funkcija f(x) parna, tada je:

(2)

gde je

f(x) = J a (A) COS Axdx, o

2 .. a (A) =-; J f(t) cOSA t dt,

o

a ako je funkcija /lx) neparna, tada je:

(3)

gde je

f(x) = J b (.1.) sin .1. x dx, o

2 oo

b (A) =-; J f(t) sin il t dt. o

r Predstavljanje funkcije Fourierovim integra]om u interval u (O, oo). Ako je funkcija f(x) zadata na intervalu (O. oo), apsolutno integrabiIna na tom intervalu i ispunjava Dirichletove uslove na svakom konačnom intervalu (a, b) e (O, oo), tada se. parnim produženjem. može predstaviti formu. lom (2), ili neparnim produženjem formulom (3).

30 Fourierove transformacije. Akosefunkcijaf(x) zasvakoXE(-oo,oo) sem. možda, u konačnom broju tačaka može predstaviti Fourierovim integralom, tada je funkcija F (z) koja je rešenje integralne jednačine

(4)

data integralom:

(5)

1 oo

f(x) =- J F(z) e-I$z dz 2",

l oo

F(z)~--= Jf(u)eI$Udu (i=V-1). V2", -oo

Funkcija F(z) zove se Fourierova transformacija funkcije f(x). Ako je funkcija fix) parna, tada je funkcija

Fc (z) =.J?; j feu) cos (zu) du o

rešenje integralne jednačine

f(X)=.J~ J Fc(z) cos (xz) dz, o

§ 5. FOURIEROV INTEGRAL I FOURIEROVE TRANSFORMACUE

a ako je f(x) neparna, tada je

FB (z) = ~ j feu) sin (zu) du o

rešenje integralne jednačine

f(x)=~~ j F.(z) sin (xz) dz.j o

79

Funkcije Fc (t) i F, (t) su respektivno kosinus-Fourierova transformacija i sinus-Fourierova transformacija funkcije f(x). Funkcija f(x) definisana za xE(O, <xl) može se parno ili neparno produžiti zavisno da li je potrebna sinus ili cosinus-Fourierova transformacija.

Sledeće funkcije predstaviti Fourierovim integral om:

818. f(x) = { l, Ixl<l O, lxi>!.

820. f(X)~j l+x, -1<x<O

l-x, O<x<l

O, lxi> 1.

822. f(x) = j 1, O<x<h -1, -h<x<O

O, Ixl>h.

1 824. f(x) =--

a2 +x2 (a>O).

j O, X<O

826. f(x)= sin x, O<x<n

O, x>n.

828. f(x) = {e-mx

, ernz ,

x>O

X<O (m>O).

j O, X<O

819. f(x) = nx, O <x< 1

O, x> 1.

821. f(x) = sgn (x-a)-sgn (x-b) (b>a).

823. f(x) = a'

J

A (1 ... - I x-xa I ) Ix-xal<a

!x-xol>a. 0,

x 825. f(x) =--- (a>O).

a2 +x2

A . I I 2nn sm wt, t <--w

827. f(x) =

I I 2nn

0, t I>~ (nEN).

829. f(x) = ' { e-mx _emx,

x>O

X<O (m>O).

830. f(x)= e- sm wx, x> {

ka; • O

O, X<O (k>O).

831. f(x)=e-a1x1cosfJx (a>O).

832. Funkciju f(x) = e-a; (O<x < oo) predstaviti Fourierovim integra] om: 10 parnim produženjem; 20 neparnim produženjem.

Naći Fourierove transformacije za sledeće funkcije:

www.etf.ba

80 III. FUNKCIJE PREDSTAVIJENE POMOĆU INTEGRALA

x Z

833. l(x)=e-a1xl (a>O). 834. I(x) = e -T. 835./(x)=xe-a1xl (a>O).

Naći kosinus-Fourierove transformacije za sledeće funkcije:

836. I(x) = e-fl z (P> O, x:> O). 12 P 837. I(x)=- -fJ-- (P>O, x:> O). n 2+X2

x Z

838. I(x) =e-T . 1

839. I(x) = vx . Naći sinus-Fourierove transformacije za sledeće funkcije:

840. I(x)=e-flz (P>O, x>O). {!; x 841. I(x) = - -p--

n 2+X2

X2

842. I(x) =xe-T .

(P>O, x>O).

843. Pokazati da je za funkciju ~ njena sinus-Fourierova transformacija sama

ta funkcija.

Rešiti sledeće integralne jednačine:

'" 844. J tp (y) cos xy dy =_1_.

1+ x 2

o

845. J tp (y) sin xy dy = e-Z

o (x>O).

846. oo {n . . -SIIIX, J tp (y) sm xy dy = 2

o O,

847.

r n oo I 2" cos x, I tp (y) sin xy dy = i -: '

l o,

O<.x<n

x:>n.

O<.x<n

Glava IV

VIŠESTRUKI I KRIVOLINIJSKI IN1EGRALI

§ 1. Dvojni integral

1° Pod dvojnim integralom neprekidne funkcije z (x, y) nad nekom zatvorenom pravilnom oblašću D, podrazumeva se broj

J J z(x,y)dx,dy- lim LLz(x"y,)L!x,L!Yj D max I.t1Xil~O . j

max LlYi ~

gde je L!X,~X'+I-X" L!Yj~x1+I-Xj a zbir se odnosi na sve vrednosti i i j za koje je (x" y,) E D. Ako je oblast D određena nejednakostima

a<.x<.b, Y, (x) <.y<.y, (x)

gde su Y, (x) i y, (x) neprekidne funkcije na segmentu [a, bl, onda odgovarajući dvojni integral može biti izračunat po formuli

b yz(x)

J J z(x,y)dxdy="j dx J z(X,y)dy D a Y, (x)

2° Ako se neprekidnim i diferencijabilnim funkcijama

x=x(u, v). y=y(u, v)

realizuje jednoznačno preslikavanje ograničene i zatvorene oblasti D li ravni x O y na oblast D' ravni u O v ; ako je

onda važi formula

D (x. y) 1=---=1=0

D (n, v)

J J z(x, y) dx, dy = J J z [x (u, v), y (u, v)llll du dv

D D

6 Zbirka zadataka iz više matematike JI

www.etf.ba

82

848.

IV. VIŠES1RUKI I KRIVOLINIJSKI INIEGRALJ

U specijalnom slučaju kada se prelazi na polarne koordinate rp i r po formulama x=rcosq> i y=rsinq> biće:

J J z(x, y) dx dy= f f z(r cos 'P, r sin rp) r dr drp.

D D

3° Ako su m i M donja i gornja međa funkcije z (x, y) u oblasti D, onda je

m<z(x,y)<M jednakost

J J z(x, y) z, (x, y) dx dy=z(~, 'tJ) ff Z,(X, y) dx dy D D

gde je z, (x, y) neka neprekidna funkcija koja zadržava stalan znak u oblasti D, a (g, 'tJ) E: D naziva se formula o srednjoj vrednosti dvojnog integrala. Ako se stavi ,U = z (~, 'tJ) i z, (x, y) = l dobija se

1 p=z (g, 'tJ)=p J J z (x, y) dxdy

D

što se naziva srednja vrednost funkcije z (x, y) u oblasti D čija je površina P.

4° Ako je oblast integracije D neograničena a funkcija z (x, y) neprekidna na D, onda je po definiciji

J J z(x,y)dxdy= lim f J z (x,y)dxdy n-Ho

D Dn

gde je Dn proizvoljan niz ograničenih zatvorenih pravilnih oblastI koji pokriva

oblast D, tj. U Dn = D. Ako granica na desnoj strani postoji i ne zavisi od izbora n=l

niza Dn, onda se odgovarajući integral naziva konvergentan; u protivnom integral se naziva divergentan.

5° Ako je funkcija z (x, y) svuda neprekidna u ograničenoj i zatvorenoj oblasti D, sem u tački P (a, b), onda se stavlja

J J z (x, y) dx dy= lim J J z (x, y) dxdy D s-+O D-Us

gde je Ue oblast poluprečnika e koja sadrži tačku P, i ako postoji granica integral se naziva konvergentan; u protivnom integral se naziva divergentan.

Pretpostavljajući da u oblasti tačke P (a, b) važi jednakost: z (x, y) = rp (x, y) gde rO

gde je m<1 rp I (x, y) I<M(m, M>O) r=]I (x-a)2+(y-b)Z dobija se da: l) za a<2 integral (2) konvergira; 2) za a;;>2 divergira. Analogno se definiše nepravi integral (2) ako funkcija z (x, y) ima liniju prekida.

Polazeći od definicije izračunati sledeće integrale:

J J xydxdy. O~x~l O:S;;y':::;;l

849. ff x2y2 dxdy. a:S;;;x~b c~y:!5;,d

850. f J e"'+Y dxdy. a:<.:;;; x<. b c~y~d

851. Fonnirati donji S i gornji S integralni zbir funkcije z (x, Y)=X2+y2 na oblasti 1<x<2; 1<y<3, de1eći tu oblast na pravougaonike pravama.

i x=l+-,

n 2j

y=l+n

(i,j=O, 1, ... n).

§ 1. DVOJNI INTEGRAL

Naći graničnu vrednost tih zbirova kada n-+- oo

852. Proveriti sledeće relacije:

1° 8 (5-\l2)n< ffcx +y+100)dxdy<8(5+}IZ)n; D

D

gde je oblast D ograničena krugom X2 + y2 = 4

853. 0< J J xy (x+y)dxdy<64

854.

855.

D D(O<x<2,

2 -4< J J (x+xy-x2 _y2) dxdy<?;

D

D(O<x< 1; 0<y<2)

fJ dxdy

1,96< 100+cos2x+cos2y <2. lx 1+1 y 1,,;;10

83

U sledećim zadacima za navedenu oblast ispisati granice integr~cije dvoj

nog integrala J f z (x,y) dx dy za oba moguća poretka integracIJe. D

856. Oblast D je trougao sa temenima O (O, O); A (l, O); B(l, 1).

857. Oblast D je paralelogram sa temenima A(I, 2); B(2, 4); C(2, 7); DCI, 5).

858. Oblast D je krug l° X 2+y2< l; 20

X2+y2<X.

851:). Oblast D je kružni prsten 4 < X2 + y2 < 9.

860. Oblast D je ograničena linijama y=x, y= j/ 4x-X2 .

861. Oblast D je definisana nejednakošću I x I + \ Yi < 1. U sledećim zadacima promeniti poredak integracije:

l 10 362. J f z (x,y)dxdy = J dy f z(x, y) dx.

D o y

l l

IJ z (x, y)dxdy= J dx f z(x, y)dxdy. D o V2x-x2

863_

864.

VI-x2

J dx J z (x, y)dy. -I o

865.

1

J dx o

V2-x' J z (x, y) dy. x

6*

www.etf.ba

84

866.

868.

IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINDSKI INTEGRALI

V:Ia-x2

J dx J z (x, y)dy. o x

2" sinx

J dx J z (X, y) dx. o

1 2 j/2V 4-x2

867. J dx J z (x,y) dy. -2 1

-nV4- x2

J 213 2 1- V 4x-x2-3

869. J dx J z (x, y)dx+ J dx J z (x, y)dy. o o 1 O

U dvojnom integralu J J z (x, y) dx dy preći na polarne koordinate rp i r D

i napisati granicu integracije za oba moguća slučaja.

870. Oblast D je: lO krug X2 + y2 <: aZ 20 kružni prsten a2 <:; X2 + y2 <: b2.

871. Oblast D je krug x2_y2<:ax (a>O).

872. Oblast D je ograničena krivom r = 1-rp2 (r>O).

873. Oblast D je pravougaonik sa temenima O (O, 6); A (l, O); B (l, l); e (O, 1).

874. Oblast D je ograničena pravama x=2, y=x i y=xV3.

875. Oblast D je ograničena krivom (X2+y2)2=a2(x2-y2) (x>O).

876.

Pretpostavljajući da su rp i r polarne koordinate, izmeniti poredak integracije u sledećim primerima:

" 2" COS rp ,,12 aV sia2q>

J drp J z(rp. r) dr. 877. J drp J z (rp, r)dr (a>O), " o o o

-'2

a q>

878. J drp J z(rp,r)dr (0<a<2n). O O


879. J J xy2 dx dy, ako je oblast integracije ograničena parabolom yZ = 2 x i D

>880.

l pravom x=-.

2

J r ~dxdy, ako je oblast D ograničena parabolama y=X2

J Y D

881. J J ~ dxdy, ako je oblast D ograničena linijama x=O; x=2+siny;

D

y=o; y=2n.

§ J. DVOJNI INTEGRAL 85

882. J J 2ydxdy, ako je oblast D ograničena linijama y=Vx; y=O; x+y=2. D

1 1

883. J J ~ e-f dxdy. a a

884. J J ey2 dxdy. O x

oV'Y

885. J J (X2+y2)dxdy, ako je D paralelogram sa stranama y=x; y=x+a; D

y=a;y=3a (a>O)

886. J J y2dxdy ako je oblast D ograničena osom Ox i prvim svodom cikloide D

x=a(t-sint), y=a(1-cost).

887:' JJ~dXdy, ako je O<:x< 1, O<:y< 1. 1 + yZ

D

888. fJ dxdy ,ako je O<x<: 1, O<y< 1. . (x+y+ 1)2 D

889. J J xsin(x+y)dxdy, ako je O <x..;.n, o<y<;.

D

890. JJxzyeZYdxdy, ako je O<x<l, 0<:y<2. D

891. J J x2y cos (xy2) dxdy, ako je O<x< ; , O<y<2.

D

892. J J cos (x + y) dx dy, ako je oblast D ograničena pravama x = O. Y = n, Y = x.

893.

894.

D

J J X2dx dy. Ixl+lyl<1

J J xydxdy, gde je

D

oblast D ograničena linijama xy = 1, x + Y = ~. 2

895. J J (x + y) dx dy gde je oblast D ograničena linijama y2 = 2 x, x + y = 4, D

x+y=12.

896. Izračunati J (a) = J J (x+y)--«dxdy po oblasti D definisanoj nejednačinama D

X>O, y>O, O<a<x+y< l a zatim ustanoviti za koje će vrednosti para-metra a postojati lim I(a) i naći tu graničnu vrednost.

a-+O

www.etf.ba

86 rv. VIŠESTRUKI I KRIVOLINIJSKI INTEGRAL!

897. Izračunati I (a) = JJ]I dx d~ gde je D trougao ograničen pravama x = l, x+Vy

D

y=o, x=y+a, O<a<l. Naći lim l (a) . ....... 0

898. Izračunati J J X2 y]l l-x3-y3 dx dy ako je oblast D definisana nejednaD

činama

x>o, y>O, X3+y3<; L

899. Pokazati da je J J x 2dxdy= JJ y2 dxdy= ~ J J (X2 +y2) dxdy= ::n D D D

ako je oblast integracije definisana nejednačinom x2+y2<a2 za x>o i y>O. Prelazeći na polarne koordinate izračunati sledeće integrale:

900. J J xydxdy, gde je oblast D ograničena Oz osom i lukovima krugova D

X2+y2= 1, X2+y2_2x=0.

901. I J (x2 +y2)dxdy. x2+y2::::;2ay

902. J J e-x2_

y2 dx dy, ako je oblast integracije krug X2 + y2 <: a2•

D

903. J I ]I X2+y2dx dy. x2+y2~a2

904. J J]I a2-x2-y2 dxdy, gde je oblast integracije ograničena: 10 krugom D

Xl + y2 = a2 ipravama y = x i y = x]l3; 20 krugom X2 + y2-ax = O.

905. dxdy, ako je D oblastizmeđukrugovax2 + y2= 1 ix2 + y2= e2, JJ ln (x2 + y2)

X2+y2 D

907. J'Jr __ dx_d,,--Y_. , gde je D oblast ograničena pravama (1 + X2 + )'2)3/2

D

x=o, X= 1, y=O, y= 1.

908. J J sin]l X2 + y2 dx dy, gde je D oblast ograničena krugovima D

§ 1. DVOJNI INTEGRAL 87

909. X2

gde je oblast D definisana nejednačinom -+ al

910. J J ~ 4-(: r -( ~ r dx dy, ako je oblast D ograničena linijama

D

X2 y2 x2 y2 - + - = l, --+ --= l i pripada prvom kvadrantu. a2 b2 (2 a)2 (2 b)2

911. J I ~ vx + VY dx dy, ako je oblast D ograničena koordinatnim osama D

krivom Vx+ vY= L

912. ! !l:\rctg ~ dxdy, gde je D deo prstena 1<x2+y2<9, y> ~ , y>xf/3. D

Naći srednju vrednost sledećih funkcija:

913. z(x, y) =]1 a2-x2-y2, li oblasti određenoj nejednačinom X2 + y2 <: a2.

914. z(x, y)= l2-2x-3y, u oblasti ograničenoj pravama x=O, y=O,

12-2x-3y=0.

915. z(x, y)=2x+y, u oblasti ograničenoj pravama x=O, y=O, x+y=3.

916. z(x, y)=sin2 xsin2y u kvadratu: O<x<:n, O<:y<:n.

Izračunati sledeće dvojne integrale:

917. I I [x-y [dx dy. O~x<l O<y<l

918. J J : xy [ dx dy ako je o blast D definisana nejeclnačinom X2 + y2 <; aZ. D

919. J J ([x[+[yi)dxdy. Ixl+IY 1<1

920. JJ ]I[y-xZ[dxdy. Ixl<1

O::t;;;y:-;:;:2

921. J J I ~~ -x2- Y2

1 dx dy. .x2+y2~1

922. Jf[cos(x+y)[dxdy ako je oblast D definisana nejednakostima: D

www.etf.ba

88 IV. VIšESTRUKI I KRIYOLINlJSKJ INTEGRAl:,

Izračunati vrednost integrala:

923. J J (y-x) dxdy, ako je oblast ograničena pravama D

l 7 l y=x+l, y=x-3,y=--x+-, y=--x+S

3 9 3

stavljajući

l u=y-x, v=y+ ·-x.

3

Uvodeći mesto x i y nove promen1jive u i v odrediti granice integracije u ~ledećim dvojnim integralima:

b f3x

925. J dx J z (x, y)dy (O<a<b; O<a</3) stavljajući u=x, v=L. x

2 2-x

926. J dx J z (x, y) dy stavljajući u = x + y. v = x-y. l-x

927. J J z (x, Yl dx dy. ako je oblast D ograničena linijama vx + VJ = Va. x = O, D

y=O(a>O) stavljajući x=ucoS4v. y=usin4v.

928. J J z (x, y) dx dy gde je oblast D ograničena pravama x = O, y = O, x + y = a D

l. . '" u (a-v) uv

stav JaJuc! X= Y= _. a a

929. Kako treba izvršiti zamenu promenljivih pa da se krivolinijski če'vorougaonik, ograničen lInijama xy= l. xy=2. x-y+ 1=0, x-y-I =0 (x>O, y>O) preslika na pravougaonik čije su stranice paralelne koordinatnim osama.

930. U integral u J J z (x, y)dx dy oblast in egracije je četvrtina kruga X2 + y2.;;; a1 ,

931.

D

X>O, y>O. 1°. Zamenom promenljivih preslikati tu oblast u pravougaonik; 2° u ravnokrako pravougli lr\.ugi.l(l.

lz"ačunati sledeće integrale:

J J y3 V l-x2-y4 dx dy. x2+y4:S:;; i

x:;;:: o y"?-O

932. II (x' + y2) dx dy.

933. II x' y' rl 1-(x3 + y3) dx dy ako je nbl,cS D određena nejednakos;ima D

§ 1. DVOJNI INTEGRAL 89

934. Dokazati da je J J xm xn dx dy = O ako su m n prirodni brojevi i bar

jedan od njih neparan.

935. Naći lim _1_ JJ z (x, y) dx dy gde je z (x, y) neprekidna funkcija. .,...,.o ne2

x2+y2~e2

936. Ako je funkcija cp (x) za x < e :aeprekidna i pozitivna pokazati da je

JJ acp(x)+bcp(y) dxdy= (a+b)c2 n cp(x)+cp(y) 2

x2+yZ~c2

937. Naći F' (t) ako je:

F(t)= J J e!f;.dxdy. O~x::::;';;;;t O~y~t

938. Ako je funkcija z (x, y) neprekidna, dokazati da

x x+)'-o

u (x, y) =+ J d; J ze;, 'fj)d'fj.

o ';-x+y


()zu 02U ---=z(x, y). ox2 iJy2

Ispitati konvergenciju sledećih nepravih integrala:

939. JJ dxdy (p>o, q>O). 940. --- x y. JJ sinxsiny d d

IxlP+lylll I xl+ I)' 1;:.1 x+..v~l

(x+y)P

941. Pokazati da integral JJ X2-y2 dx dy divergira iako dvostruki integrali (X2 + y2)2

942.

x;;;;=:l.y~l

'" oo

J J x2-y2 dy ---dx

(X2+ yZ)2 I l

Izračunati sledeće neprave integrale:

J J 943.

konvergiraju.

www.etf.ba

90 IV. VIŠES1RUKI I KRIVOLINUSKI INTEGRAL!

'" '" '" 944.

J J dxdy 945. J J dxdy

cl +X2+ y2)'lz (a2 +X2 + y2)2 -8 O O

946. J

J e-Ixl-Iyl dxdy. 947. J J e-(x+y) dx dy.

O~x~y

'" '" 948. J dx J e-Yz dy. 949. J J sinJi dx xe-Y 7dy.

o x o 2x

950. Jf arctg(x+y) dxdy ako je oblast D definisana nejednakostimax>O, • (X2+ y2)2

D

y>O, x+y:> l.

951. JJ dxdy (a E R) gde je oblast D definisana nejednakošću (1-x2_y2)a

D X2+y2< 1.

Pokazati koji od sledećih integrala uzeti po krugu X Z + y2 <: aZ konvergiraju:

952. J Jln V X2+y2 dxdy. D JJ

e-X2 - YZ

953. --dxdy. X2+y2

D

954. JJ

sin (X2 + y2) dx dy. V x2 + y2)3

955. JfcOS (X2+ y2) dxdy. , X2+y2

D D

-oo-oo

959. Može li se izabrati broj m tako da nepravi integral JJ

dxdy

«X2+ y2)m uzet po celoj ravni xOy, konvergira?

§ 2. Izračunavanje površine

Površina oblasti D u ravni xOy, može se naći po formuli

p~ J J dxdy. D

§ 2. IZRAČUNAVANJE POVRSINE

Naći površine ograničene sledećim linijama:

X2 )12 960. -+-'--= 1

aZ b2

962. xy=a2, 5

x+y=-a 2

(a>O) 963. y=X2, X=y2.

964. Y= jIX, y=2 jIX, y=4.

965. xy=a2, xy=2a2, y=x, y=2x (x>O, y>O).

966. y2=x+2, x=2 967. y=2X-x2, y=x2•

975. (X2 + y2)2 = 8 a2 xy (x-a)2 + (y-a)2 <: aZ.

Uvodeći generali sane polarne koordinate r i 'p po formulama

x ~ ar cosa 'P, y - br sina 'P (I':> O).

gde su a, b i a podesno izabrane konstante i

D (x,y) . l -- ~ a arb cosa - 1 'P Slna - 'P, D (r,p)

91

naći površinu ograničenu sledećim krivim linijama, pretpostavljajući da su parametri pozitivni:

X2 y2 X Y 976. ;:-;+-=-+- 977. x=O, y=O.

a2 b2 h k

978. x Y ~- ~--a+ b=l, x=O, y=O.

Koristeći se podesnom zamen om promenljivih izračunati površinu ogra-ničenu linijama:

(~+Lr=~-L, 979. a b a a

y>O. 980. (X yr xy. -+- =-, a b c3

površinu petlje.

www.etf.ba

92 rv. VISESTRUKI I KR1VOLINIJSKI INTEGRALI

(XZ + y2 ) = xy . 981. a2 bZ c2

983. Vx+kY=Va, x+y=a a>O.

XZ yz xz+ y2 982. --+-=-_.

4 9 25

x y. a=7J' 4 -=-=~ (a>O b>O). a b '

986. x+y=a, x+y=b, y=ax. y={3x a<b, a<{3.

987. xy = a', xy = bZ, yJ = nx, y2 = mx.

989. Naći površinu ograničenu elipsama x2 y2 -- + -- = c2 (u = u" u2 ) i hiper-

ch> u sh2 u

bolama

990. Naći površinu preseka površi X2+y2+z2_xy-xz-yz=a2 ravni

§ 3. Izračunavanje zapremine primenom dvojnog integrala

Zapremina cilindra. ~oii odc.zgo ograničava neprekidna površ definisana jednačinom z z (". y), odozdo ravan Z,o • a sa s.rane prava cilindrična površ, koja u ravni xOy iseca neku oblast D. dala je formulom

v ~ If z (x,y) dx d,v o

Naći zapreminu cia 0graničenog sledećim površima:

991. z = I . x ~ y, x + y ~ l, x = O Y = O .

992. Koord,natn;m ravnima i ravnima

(= 2, Y = 3. x + Y + z = 4.

993. x = O. Y = O, z = O. .. 4. Y = 4 i para bolom z '" x' -t- y' + l .

994. Ravlll ~ +1' l I koordmatnim ravnima. a b ('

§ 3. IZRAČUNAVANJE ZAPREMINE PRIMENOM DVOJNOG INTEGRALA

995. Ravnima y=O, z=O, 3x+y=6, 3x+2y= 12 i x+y+z=6.

996. Rotacionim paraboloidom z = X2 + y2, koordinatnim ravnima

x+y=I.

93

ravni

997. Rotacionim paraboloidom Z=X2 +y2

y=6-x.

ravnima z=O, y=l, y=2x,

998. Ravnima z=O, y+z=2 i cilindrom y=X2.

999. Cilindrima y=Vx, y=2Vx i ravnimaz=O, x+z=6.

1 1000. Koordinatnim ravnima, ravni 2x-3y-I2=0 i cilindrom Z=_y2.

2

n n 1001. z=cosxcosy, z=O, Ix+yl<-, Ix-yl<-

2 2

1002. Površima X 2 +y2=2x, xy=z; z:>O.

Prelazeći na polarne koordinate naći zapreminu tela, ograničenog sledećim površima:

1003. Paraboloidom Z= 3-x2-y2 ravni Z= O.

1004. Sferom X 2 +y2+Z2=Rz i cilindrom x2+yz=Rx; X2+y2<Rx.

1005. Paraboloidom z = X2 + y2 i cilindrima X2 + y2 = X, X2 + )'2 = 2 x z=O.

z=O (a>O).

1007. Ravnima z=ax, z=O i cilindrom x2+y2=2ax.

1009. Elipsoidom X2 y2 Z2 -+-+-=l. a2 b2 CZ

ravni

1010. Ravni z= O, paraboličkim cilindrom y2=2px, ravni x= a i površi z = xy2.

1011. Prizmom čija je osnovica trougao sa temenima O (O, O, O), A (1, O, O),

B (O, ~ , O) a ivice paralelne z-osi i površi z = X2 + y + l za z> O.

1012. Cilindrom x'+y2-2x=0 i površi Z=X2y, z>O.

1013. Eliptičkim cilindrom 4y2+Z2=4, koordinatnim ravnima x+y+z=5.

ravni

www.etf.ba

IV. VIŠESTRUKI r K.RIVOLINIJSKJ INTEGRALl

1014. Zajedničkog dela cilindra X2+z2=R2, X2+y2=R2.

1015. Paraboloidom z = X2 + y2 i ravni z = x + y.

1016. Z=X2+y2, X2+y2=X, X2+y2=2x, z=O.

1018. z2=a2(x2+y2), x 2+y2-bx=b VX2+y2, a, b>O, Z>O

1019. y2=X, y2=4x, z=O, x+z=4, y>O.

1020. c~ar + (; r = 1, Z2= x.

1021. Data je kriva x=acos2u, y=asinucosu, z=asinu gde je 0>0.

10 Pokazati da se ova kriva dobija kao presek sfere i cilindra čija je generatrisa paralelna z-osi i odrediti jednačinu tih površi.

2 0 Odrediti zapreminu ograničenu tom sferom, cilindrom i ravni z=o; Z>O

Naći zapreminu tela ograničenu površima:

5 V2' x 1022. z=O, x+y='2' z=21ny'

1023. x 2+y2+z2=3az, x2+y2=2az (z>O).

1024. X2+)i2=2x2, X2+y2=2y, z=x+2y, z=O.

1025. Z=3+X2+2y2, y=2xz-l, y=O, z=O.

1026. x 2+y2=2az, (x2+y2)Z+2a2xy=0, z=O.

X2+y2 1027. Konusom---=(z-jl2)2

2

X2+y2 Z2 elipsoidom ---+ - = 1

6 2

1028. Z=(:2+Y;)\ x: +~2=X' z=O.

1029. X2+y2+Z2=2; X2+y2+Z2=6; X2+Z2=~X (manjeg dela).

1030. x 2+y2=ex; x4+y4=a2(x2+y2); z=O.

1031. z2=2xy; (X2+y2)2=2azxy; z=O; x>O; y>O.

1032. x2+y2+z2=a2; X2+y2>JaxJ.

1033. z(x+y)=ax+by; z=O; 1<x2+y2<4; x>O; y>O; a>O; b>O.

1034. Dokazati da je zapremina tela ograničenog površima: ;;= O;

S 3. lZRAĆUNA VANJE ZAPREMINE PRIMENOM DVOJNOG INTEGRALA

gde je cp (x) proizvoljna pozitivna integralna funkcija a>O

jednaka ~:rt CZ (a + b). 2

95

Pri rešavanju sledećih zadataka korisno je uvesti generalisane polarne koordinate po formulama.

x = ar cosa 9',: y = br sina 9'2 =>J = ab cr cosa- 1 9' sina- 1 cp.

Naći zapreminu ograničenu sledećim površima:

X2 y2 1035. -+-=2z,

p q

x 2 )i2 -+-=1, a2 b2

z=o.

x 2 )i2 1036. cz = xy, -+-= 1, z=O, x>o, y>O.

a2 b2

2 2

1037. XZ + y2 +~= l, (~)T + (L)T = 1, Z= 0, (a, b, c<O).

a2 b2 e a b

1038. (XZ Y2)2 ZZ -+- +-=1. a2 bz, e2 (

X2 y2)" Z2 1039. -+- +-= l; Z>O, k>O.

a2 b2, c2

1040. x2 y2 Z2 -+-=-; a2 bZ e2

x2 y2 X -+-=-; >0. a2 b2 h

x2 y2 Z X4 y4 Xl y2 1041. -+-=-, -+-=-+-, z=O. (

XZ YZ)2 Z4 1042. -+- +-= 1.

a2 bZ, c' aZ bz e a4 b4 a2 b2

xn yn zn 1043. -+-+-=1, x=O, y=O, z=O, (n>O).

an bn en

( X2 y2 )" z2n _ Z (X2 Y2)n-Z 1044 •. -+- +--- -+-\a2 bz e2n h a2 b2

(n>1; a, b, c,h>O).

1045. z=xVx+yjIY, x+),=O; x>O; y>O; :z>O.

1046. (~+L)2 +.::.= 1, (~+Z-)2 =~ ),>0; z>O. a b CZ a b a

www.etf.ba

96 IV. VIŠESTRUKI I KRIVO LINIJSKI lNTEGRAL1

. l"d X2 y2 Z2 l' b l 'd 1049. DatI su elpSOI -+-+-= l para o OI al bl Cl

y2 Z2 X-A a2_p" -+-=--.--bz CZ p-A. a2

gde je -a<A<p<a. Pokazati da paraboloid deli zapremi nu elipsoida na dva dela. Odrediti A tako da one budu jednake.

Naći zapreminu ograničenu površima:

xy

1050. z=ye-;]2; xy=a2 ; xy=2a2; y=m; y=n; z=O.

1051. Z2=xy, xy=a2, xy=4a2, x=2y, x=3y, z=O.

1052. z=xy, xY= 1, xy=4, y2=X, y2=3x, z=O.

1053. Z=X2y, y2=az-2ax, y2=m2+mx, y=O, z=O.

§ 4. Izračunavanje površine površi

Ako je površ zadata jednačinom z = z (x, y) onda je veličina površine data formulom

p= J J Vl +p2+q2dxdy D

gde je p=z:, q=z:, a D projekcija odgovarajućeg dela površi na ravan z=O.

Ako je površ zadata parametarskim jednačinama x =X (u, v), y = y (u, v), gde (u, v) E D, a D je neka zatvorena oblast i sem toga su funkcije x, y, z neprekidne i diferencijabilne u oblasti D onda je površina . )ovrši data formulom

pri čemu je

p= J J VEG-F2 dil dl',

D

G=(OX)2 + (Oy)2+(OZ)2, ov ov ov, .. :

ox ox oy oy OZ OZ F=- -+- -+- -. ou ov ou ov Oil ov

1054. Izračunati povrslUU dela cilindra Z2 = 4 x koji pripada prvom oktantu, a koji isecaju cilindar y2 = 4 x i ravan x = 1.

lOSS. Izračunati površinu dela paraboloida 2 z = X2 + y2 koji iseca cilindar X2 +),2 = l.

10S6. Izračunati površinu dela sfere X2 + y2 + Z2 =a2 koji iseca cilindar

§ 4. IZRAČUNAVANJE POVRŠINE POVRŠI 97

1057. Naći površinu onog dela sfere X2 + y2 + Z2 = R2 koji se projektuje na ravan z=O van kruga x2+y2-Rx=0, (x;;.O), (Y>O).

1058. Naći površinu dela paraboloida Z2 = 2 xy (z>O) koji je ograničen rav~ nima x=O, x=a, y=O, y=b.

1059. Izračunati površinu dela konusa Z2=X2+ y2, isečenog cilindrom x 2+ y2 =2x.

1060. Naći površinu dela sfere X Z + y2 + Z2 = a2 isečenog cilindrom

(X2 + y2)Z=a2 (X2_y2).

1061. Date su površi

(PI) X2 y2 x -+-=-, a2 b2 h

(pz) X2 y2 Z2

(z> O) -+-=-a2 b2 CZ

(P3) z=O.

10 Izračunati zapreminu tela ograničenog ovim povrSIma.

2° Za specijalan slučaj a = b izračunati veličinu dela površi (P!) ograničenog površima (P2 ) i (P3).

][062. Izračunati veličinu onog dela površi Z2 = X2 + 2 y2 koji iseca cilindar (x2+y2)2=2e2xy za x;;. O, z>O.

l063. Naći. površinu obrtne površi koja nastaje obrtanjem krive z = f(x) u ravUl z=O oko Oz ose.

1064. Izračunati površinu obrtnog paraboloida y2+Z2=2px između vrha i

ravni x=L. 2

][(J oS. Naći kvadraturu zatvorene površi koju obrazuju kružni cilindri

x2+y2=a2, x2+zZ=a2•

]l066. Naći površinu onog dela površi z = xy koji is eca cilindar X2 + y2 =R2.

r X Z yZ Ji.007. Izračunati površinu onog dela površi -+..:.....=2z koji iseca eliptični

x2 y2 cilindar -+-= l.

a2 b2

a b

1068. Izračunati površinu dela površi (X2 + y2 +Z2)2 = a2 (X2_y2) koji se projektuje u unutrašnjost krive (X2 + y2)2 =02 (X2_y2).

],069. Primenom dvojnog integrala izračunati zaprerninu obrtnog elipsoida x2 y2 Z2 -+-+-=1. a2 a2 bz

7 Zbirka zadataka iz: više matematike n

www.etf.ba

98 IV. VISESTRUKI I KRIVOLINUSKI INTEGRALI

1070. Izračunati površinu sfernog trougla.

1071. l° Pokazati da za komplanaciju površi X= q; (u) cos e, y = cp (u) sin e, z=z(u) (a<.u<.fJ, 0<.e<.2n) gde su rp (u) '/[J (u) diferencijalne funkcije važi obrazac

p

p = 2 n J I q; Cu) I JI q;'Z Cu) + '/[J'2 (u) du.

2° Izračunati veličinu površi:

x=e-Ucose, y=e-usine, z= JVl-e-2t dt. o

1072. Izračunati površinu tela ograničenog sferom X2 + y2 + Z2 = 3 a2 paraboloidom X Z + y2 = 2 az, (z;;;. O).

1073. Naći površinu tela koje ograničavaju površi

x 2 + y2= 2 az,

(x2+ y2)2 + 2axy= O,

z=O. X2 + y2 ( ,,,,,2

1074. Izračunati površine Pl i P2 površi koje iseca konus ---= z-v 2J 2

x2+ y2 Z2 na elipsoidu ---+-= 1.

6 2

1075. Izračunati površinu manjeg tela ograničenog površima

X2+y2+Z2=2,

x2+ y2+ Z2= 6,

1076. Naći površinu dela površi Z= x+ y koji isecaju površi X 2 +y2

X2 + y2 = 4 i pripada prvom oktantu.

1077. Naći površinu dela konusa y2+ Z2= X2 koji se nalazi unutar cilindra x 2+y2=a2•

1078. Naći površinu dela površi Z= arc tg L koji se projektuje na deo ravni x

z=o ograničen Arhimedovom spiralom r=qJ i osom Ox.

1079. Izračunati površinu dela površi X2 + y2 = Z2 koji iseca cilindar

§ 5. PRIMENA DVOJNOG IN1EGRALA U MEHANICI

1080. Odrediti površinu ograničenu površima

(xcosa+ysina)z+z2=a2, x>o, y>O, z>O.

Naći površinu koju ograničavaju površi:

1081. (X+y)2+Z= l, x>O, y>O, z>O.

1082. (X2+y2)Z=X+y za 1<x2+y2<4, x>O, y>O.

X2 y2 1083. -+-= 2 z unutar cilindra

a b '

1084. Naći veličinu površi

(X2 + y2 + Z2)2 = a2 (Xl + .1'2).

99

1085. Naći povrsmu prostornog ugla pod kojim se iz koordinatnog početka vidi pravougaanik O<y<b, O<z<c, x=a>O. Drugim rečima, naći deo površine sfere X2 + y2 + Z2 = l na koju se iz koordinatnog početka projektuju tačke datog pravougaonika.

1086. Naći površinu i zapreminu tela ograničenog površima

X2+ Y2 =+Z2,. x+y+z=2a (a>O).

§ 5. Primena dvojnog integrala II meh.anici

10 T e ž i š t e. Ako Su Xo j yo koordinate težišta ravne pi0če S, koja leži u ravni xOy, a Q=(J (x, y) gustina ploče onda je

xo =~ J J (Jxdxdy, )'0= ~ JI (2Ydxdy

s s

gde je m= JJ (J dx dy masa ploče. Imegral; I I (]xdxdy iJf Q ydxdl' nazivaju se S s S

statični momenti inercije li odnosu na ose Ox jOy.

20 M o m e n i i i n er c i j e. Moment inercije ravne ploče S II odnosu na proizvoljnu

osu, koja leži u istoj ravni, naziva se integral 1 = J J (J d' dx dy gde .ic d rastojanje S

7'

promenIjive tačke (x, y) od ose a e gustina ploče. Specijalno momenti inercije II odnosu na ose Ox i Ov dati su respektivno formulama

1.= J J l;!y2 dxdy

S

j Itl =.f J I;!x2 dxdy

s

Za f! = 1 dobijaju se geometrijski momenti inercije ravne ploče.

www.etf.ba

100 IV. VISESTRUKI I KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

Polarni moment inercije ploče S u odnosu na neku tačku naziva se integral

J J ed'dxdy, gde je drastojanje tačke (x,y)ES od date tačke. Specijalno polarni s

moment II odnosu na koordinatni: početak je I = J J e (x' + y') dx dy. s

3° Ako je u pitanju cilindrično te~o čije su izvodnice paralelne osi Oz, a čija je osnOVlca neka oblast D. u raV!ll xOy, l sem toga ga odozgo ogran;čava površ z = z (x, y), onda se koordmate njegovog težišta mogu odrediti po formulama

J J zx dx dy J J yzdxdy J J Z' dx dy D D D

J J zdxdy

yo=-----

J J zdxdy

Zo=-----

2 J J zdxdy D D D

1087. Nać! masu kružnog prst~na ako je u svakoj njegovoj tački površinska gustma obrnuto proporcIOnalna kvadratu rastojanja te tačke od centra prstena.

1088. Naći .mas,:r .ploč~ koja ima oblik elipse ako je površinska gustina II

svako] t~Ckl place proporcionalna rastojanju d od manje ose elipse a za d = l IznOSI A.

1089. O~redit! ~ežište ~avnokrako pravo ugl og trougla, ako je II svakoj njegoV?] tackl povrsmska gustina proporcionalna njenom rastojanju od hIpotenuze.

1090. Naći moment inercije trougla iz prethodnog zadatka u odnosu na njegovu hipotenuzu.

1091. Ploča}~ ograničena 1?arabolom y2= 2 px i njenom sečicom koja prolazi kroz. ZIZU parabole I normalna je na osu parabole. Naći masu ploče, ako J.e ~ svakoj njenoj tački površinska gustina obrnuto pfoporcionaln~ rastoJal1Ju tačke od direktrise parabole.

U sledećim zadacima odrediti statičke momente homogenih ravni figura (gustina e = 1):

1092. Pravougaonika sa stranicama a i b u odnosu na stranicu a.

1093. Poluknlga u odnosu na prečnik.

1094. Kruga u odnosu na tangentu.

1095. Pravilnog šestougaonika II odnosu na stranicu.

1096. Dokazati da statički moment trougla čija je osnova a, u odnosu na tu osnovu, zavisi samo od visine trougla.

1097. Naći m~su kvadr~tne ploče, u čijoj je svakoj tački površinska gustina proporcIOnalna zbIru njenih rastojanja od dijagonala.

§ 5. PRIMENA DVOJNOG INTEGRALA. U MEHANICI 101

1098. Izračunati količinu elektriciteta q raspoređenog na povrSIDI kruga x2+ y2 = ax, ako je površinska gustina elektriciteta f.l= VR2-x2-y2.

Naći momente inercije sledećih homogenih figura:

1099. Kruga poluprečnika a u odnosu na tangentu.

1100. Elipse u odnosu na centar.

1101. Pravougaonika sa stranicama a i b u odnosu na presek dijagonala.

1102. Ravnokrakog trougla čija je osnovica a i visina h u odnosu na temena.

1103. Kruga poluprečnika a u odnosu na tačke koje leže na njegovoj periferiji.

Naći težište sledećih homogenih figura:

1104. Polukruga poluprečnika a.

X2 y2 :nos. -+-= l, y;;.O. a2 bz

1106. x= a (t-sin t); y=a(l-cost); 0<t<2:n;; y=O.

H07. y2=X2-X4, (x>O). 1108. X4 +y4=X2 y; (desne petlje).

1109. Vx+VY=Va; x=O;y=O.

HI0. (~+L)4 = XY; (desne petlje). a b ab

1111. Figure ograničene krivama y=2x3 j y2=2x.

:n;

UU. Figure ograničene krivom Y= sinx ipravama y= O, x=-' 4

1113. Figure ograničene krivama X2+y2= 13; XY= 6, x>o.

1114. Kružnog isečka kome odgovara centralni ugao u.

1115. Kružnog odsečka kome odgovara centralni ugao u.

1116. Naći težište homogene zarubljene prizme, ograničene koordinatnim ravnima x=l; y=l; x+y+z=4.

1117. Naći težište homogene polulopte x2 +y2+z2.;;;a2;

1118. Naći težište tetraedra koji je ograničen ravnima

x+2y+z=1; x=O; y=O; z=O.

z;;.O.

1119. Naći težište dela kruga ograničenog sferom X2 + y2 + Z2 = Rz ravnima

x=a, y=b.

www.etf.ba

102 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINUSKI INTEGRAL!

1120. Odrediti silu pritiska vode na unutrašnju bočnu stranu X:> O cilindričnog suda X2 + y2 = a2, z = O ako je nivo vode z = h.

1121. Sfera poluprečnika a potapa se u tečnost konstantne gustine e, na dubinu h (računato od centra sfere) gde je ll:> a. Naći silu pritiska tečnosti na donji i gornji deo površi sfere.

1122. Pravi kružni cilindar, čiji je po1uprečnik osnove a i VISIna Iz, potapa se ceo u tečnost gustine e, tako da se njegov centar nalazi na dubini h ispod površine vode, a osa cilindra zaklapa sa vertikalom ugao a. Odrediti silu pritiska tečnosti na donju i gornju osnovicu cilindra.

1123. Odrediti silu kojom homogeni cilindar x 2 + y2';; a2, O.;; z -< Iz privlači materijalnu tačku P (O, O, b) ako je masa cilindra M a masa tačke m.

1124. Dokazati da je moment inercije kružnog prstena u odnosu na centar dva puta veći od momenta inercije u odnosu na proizvoljnu osu, koja prolazi kroz centar prstena i leži u njegovoj ravni.

1125. Dokazati da je zbir momenata inercije ravne figure u odnosu na proizvoljni par uzajamno normalnih osa, koje leže u istoj ravni sa tom figurom i prolaze kroz nepokretnu tačku 0, konstantna veličina.

1126. Dokazati da moment inercije ravni figure u odnosu na bilo koju osu iznosi Md 2 + Ic gde je M masa raspoređena na figuri, d rastojanje od ose do težišta figure, a Ic moment inercije u odnosu na osu koja je paralelna datoj osi i prolazi kroz težište figure (Steinerova teorema).

1127. Dokazati da je zapremina tela, koje se dobija rotacijom figure F oko neke ose koja ne seče F, a leži u istoj ravni, jednaka površini S te figure pomnožene cJimom kruga koji opisuje težište figure F. (Papus-Gouldinova teorema).

§ 6. Trojni i n-tostmki integrali

1° Izračunavanje t;:'ojnog integrala. Ako je funkcija f (x,y, z) neprekidna u oblasti V određenoj nejednakostima

X, ,;;x.;;x,; Y, (X) <y';;Y2 (x); z, (x,y).;;z';;z, (x,y)

gde su y, (x), y2 (x), z, (x,y), Z2 (x,y) neprekidne funkcije, onda trojni integral funkcije I(x, y, z) uzet po oblasti V, može biti izračunat po formuli

Xl Y2 (x) %2 (x,y)

J J J I(x,y,z)dxdydz~ J dx J dy J [(x,y,z)dz. v ~l Yl (x) Z{ (x,y)

2° Ako se pravilno zatvorena oblast V prostora Oxyz uzajamno jednoznačno preslikava na oblast V' prostora O' uvw pomoću neprekidnih diferencijaInih funkcija

x-X(U.V,W), y=y(u,~.w). z=z(u,~,w)

§ 6. TROJNI! N-TOSTRUKI INTEGRAL!

pri čemu je

onda važi formula

J J J [(x, ", z) dxdydz ~ J J J f[x (u,~, w), y(u,~, w), z (u.~, w)]i J i du dv dw,

v v'

Specijalni slučajevi su: l) cilindrični sistem koordinata cp, r, Iz gde je

x ~ r cos cp y ~ r sin cp, z ~ Iz

D (x,y,z) a -,----,,-= r

D (cp, t, Iz)

i 2) sferni sistem koordinata cp, 6, r gde je

a x - r cos cp sin 6, y ~ r sin <p sin 6, z = r cos li

D (x, y, =1 ~ r' sin e. D (<p, e, r)

3° Srednja vrednost /-l funkcije I (x, y, z) u ob!asti V data je formulom

/-l~~ J J J I(x,y,z)dxdydz.

v

103

4° Pojam nepravog trojnog integral a prekidne funkcije potpuno je analogan tom istom pojmu u slučaju dvojnog imegrala.

5° Ako je funkcija I(x" x" . . • X n ) neprekidna u nekoj ograničenoj oblasti !J, defini· sanom nejednakostima

x~< X 1< x~' ~

I. If "" .) 1/ gde su Xl 1 Xl brojevi a x 2 (x 1)'.(2 (Xt),···,Xn(.xt~X2'···' Xn-t, Xn (X t ,XZ7

••• , X n - ,) neprekidne funkcije, onda odgovarajući višestruki integral može biti izračunat po fOlmuli

JJ'~'J f(x"Xl' ..• xn)dx,dx2· .• dxn~

.xf' X 2'(X1) x:l(Xlt.··Xn-l)

=J dx , J dx, ... J I(x, .. . , xn) dx".

x; x~(xx} x~ (Xl' .•. Xn-I)

Zamena promenljivih kod višestrukog integrala može se izvesti po analogiji zamene promenljivih kod dvojnog i trojnog integrala.

www.etf.ba

104 IV. VISESTRUKI l KRIVOUNUSKI INTEGRAL!

Izračunati sledeće trojne integrale

I 2 3

1128. J dx f dy J dz. o o o

I 2

1129. J dx J dy J (4+z) dz konstruisati oblast integrac.je. -1 x 2

a x y a x xy

1130. J dx J dy J xyzdz. 1131. J dx J dy J x3y2Z dz. O o o o

1132. J J J (l-x) yz dx dy dz ako je oblast V ograničena ravnima V

z=o, y=O, z=l-x-y.

1133. J J J (x + y + z) dx dy dz ako je oblast V ograničena ravnima v

1134.

X= 1, y=O, y= 1, z=O, Z= 1. e-l (!-x-l x+y+e

dy J O o

In (z-x-y) -------dz. (x-e) (x + y-e)

1135. J J J (X2 + y2 + Z2) dx dy dz ako je oblast V ograničeua površi (Vl

3 (x2+y2)+z2=3a2•

1136. J J J y dx dy dz ako je oblast V ograničena površima

y= VX2+Z2 , y=h, h>O.

x=o,

x=o,

1137. J J J y cos Cz + x) dx dy dz gde je oblast V ograničena cilindrom y = vx v

1138.

1139.

i ravnima y= 0, z=O, :rt

x+z=-· 2

JJJ ( X2 + y2 + Z2) dx dy dz gde je oblast V ograničena elipsoidom a2 b2 c2

V x 2 y2 Z2 -+-+-=l. a2 b2 c2

J J J[CX +y+Z)2- ~ a2] dx dy dz gde je oblast V definisana nejednav

kostima x2+y2-2az<O, x 2 +y2+z2-3a2 <0, a>O.

§ 6. TROJNI I N-TOSTRUK! INTEGRALI 105

1140. JJJ dx dy dz

J = -(-z +-a)-2--X-2---y-2 gde je oblast V ograničena površima

v

z = _1_ (X2 + y2), z = b, a>O, 2a

b>O.

N '"]' J aCI Im -. b->-oob

1141. J fJ dx dv dz gde je oblast V ograničena površima x+ y+z= 1, • (1+x+y+z)3 V

x=O, y=O, z=O.

1142. J JJ V X2 + y2 dx dy dz gde je oblast V ograničena površima

x2 + y2= Z2, Z= 1.

1143. JJJ z ln (Xl + y2 + Z2 + 1) dx dy dz ako je oblast V unutrašnjost sfere X2+y2+Z2+ l

v X2 + y2 + Z2 = l.

1144. J J J (Xl + y2 + Z2) dx dy dz ako je oblast V ograničena površima

1145.

v

JJJ xzdxdydz , X2+y2_R2

v

z=h, x>o, y>O.

U sledećim zadacima odrediti granice integracije II Dekartovim, cilindričnim i sferičnim koordinatama.

U46. x>O, y>O, z>O; x+y<:a, z<:h.

H47. x> O, y:>O, z>O; x+y+z<a.

H48. X2 + y2 + Z2 <: a2; X2 + y2 <: Z2 tg2 a.

H49-. X2+y2<Z2; x 2+z2 <:a2; z>o.

U sledećim zadacima na različite načine napisati granice integracije:

I l-x x+y 1 VJ-x' 1

USU. J dx J dy J lex, y, z) dz. 1151. J dx J dy J lex, y, z)dz. o o -1 -VI-x' VX2+y2

1 .x'+y2

USl. J dx J dy J I(x, Y, z) riz. o O o

www.etf.ba

106 IV. VISESTRUKI r KRIVOLINUSKI INTEGRAL!

Prelaskom na sferne koordinate izračunati sledeće trojne integrale:

1153. 10 sferom

1154. J J J jlx2 +y2+z2 dxdydz gde je oblast V ograničena sferom X2+y2+Z2=Z. v

Vl-x' Y2_X2_y2

1155. J dx J dy J Z2 dz. o o Yx2+y2

1156. Prelazeći na cilindrične koordinate izračunati integral

J J J (X2+y2)dxdydz, v

ako je oblast V ograničena površima X2 + y2 = 2 z, Z= 2.

1157. Uvodeći generalisane sferne koordinate izračunati integral

IJJ~ X2 y2 Z2

1------- dx dy dz, a2 b2 C2 v

X2 y2 Z2 gde je V unutrašnjost elipsoida -+-+-= 1.

a2 b2 C2

1158. Odrediti srednju vrednost funkcije 1;r-,,2 :-2

j(x, y, z)=e \f;;i+j;;+'C2

X2 y2 Z2 U unutrašnjosti elipsoida -+-+-= 1.

a2 b2 CZ

1159. Naći srednju vrednost funkcije j(x. y, z)=X2+y2+Z2 u oblasti

x 2+ Y~+Z2 <x+ y + z.

1160. Izračunati integral

J J J eXYZ X2 Y dx dy dz D

x> O, y:> 1, z> 1, xyz.;; 1, uvodeći nove promenljive

u+v x=u, y=--,

u

u+v+w z=----.

u+v

Prelazeći na cilindrične ili na sferne koordinate izračunati sledeće integrale:

§ 6. TROJNI I N-TOSTRUKI INTEGRAL! 107

l YI-x2 2 I/lx-x2 a

1161. J dx J dy J dz. 1162. J dx J dy J zy'X2+ yzdz. o -YI-x' o O O

l YI-x' YI_x 2_y2

1163. J dx J dy J jlx?-+ yL. Z2 dz. o o

1164. J J J (X2 + y2) dx dy dz gde je oblast V definisana nejednakostima v

1165. Neka je j(u) diferencij3.bilna funkcija za svako u>O neka je

1166.

III j -+-+.- dxdydz=O. (X' )'2 Z2) aZ bZ c2

za svako [>0. Dokazati da je j(u) = O za svako u>O. Da li se uslovi funkcije j(u) mogu oslabiti pa da tvrđenje ostane i dalje tačno?

Izračunati sledeće neprave integrale:

JII dx dy dz ---:-;===::== Vo +x+ y+z)7

o o o

1167. JJJ xydxdydz ~-

(l +X2+y2+Z2)3 o o o

1168. J J J e-x'-y2- z 2 dx dy dz.

Ispitati konvergenciju sledećih nepravih integrala

U69. J J J eX+y+zdxdydz, 1° za X>O, y>O, z>O; 2° za x,;;;;O, y,;;;;O, z,;;;;O. v

1170. po sferi poluprečnika 1 sa centrom u koordinatnom IJ r dx dy d.z_ ,.

, (xyzt

1.171.

v početku.

Ispitati da li konvergiraju sledeći integrali ako je oblast integracije definisana nejednačinom X2 + y2 + Z2,;;;; R2.

www.etf.ba

108 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLlNlJSKI INTEGRAL!

JJJ ln V X2 + y2 + Z2 1172. dx dy dz.

~ x2+ y2+ Z2 1173. J fJ XYZ) dx dydz.

, (X2+y2+Z23 V v

1174. Izračunati integrai J J J ln (X2 + y2 + Z2) dx dy dz gde je V sfera poluv

prečnika R sa centrom u koordinatnom početku.

1175. Ispitati konvergenciju integrala

JJJ cp (x, y, z) dxdydz. (X2 + y2 + Z2)P

x2+y2+z2~I

gde je O<m<lcp(x, y, z)l <M.

Izračunati integrale:

1 1 1

1176. J('JJ dxdydz xP yq ZT

o o o

1177. J J J e-(x2+Y'+Z2)dx dydz.


1178. J J . .. J dX I dxz ··· dxn , ako je x",>O

(k=1,2 ... n)

1180. J J ... J dX I dx2 .. • dxn · IX11+IX21+' .. +IXnl<a

I

1181. J J ... J (xi + x~ + ... X~) dX I dx2· .. dXn. o o o

l l l

1182. J J .. , J (Xl X2 + XI X) + ... + X n- l Xn) dXI dx2 • •• dXn-O O O

1183. Dokazati jednakost

gde je

Un (a)=JJ ... J dx1 dx2 " ·dxn , vn=un(l)

x}+xi+",xn<a

§ 7. IZRAČUNAVANJE ZAPREMINE PRlMENOM TROJNOG~JNTEGRALA 109


1184. JX JXl Jxn

_, JX (x_t)n-l

dx dx2···· f(xn)dxn= f(t)· (n-l)! dt· o o o o

Xn X

1185. J . 1 J Xn dxn f(t) dt = 2.4 ... 2 n f(t) (x2_t2)n dt.

o o

§ 7. Izračunavanje zapremine primenom trojnog integrala

Zapremina oblasti V izračunava se po formuli

V~ J J J dxdydz v

Naći zapreminu tela ograničenu površima:

1186. Z=X2+y2, Z=2X2+2y2, Y=x, Y=X2.

1187. x=O, X= l, y=O, y= l-x, Z=X+ y, z=xy.

1188.

1189. a>O).

1190. Cilindrima Z=4_y2, z=y2+2 i ravnima x=-l, x=2.

1191. z=O, xz+ y2= 4 az, X2+ y2=2 ex.

1192. Cilindrima z=In(x+2) i z=ln(6-x) ravnima x = O, x + y = O x-y=2.

1193. Paraboloidom (x-l)2+y2=z i ravni 2x+z=2.

Prelazeći na cilindrične koordinate izračunati zapremine ograničene površima:

1194. Paraboloidom z=6-x2_y2 konusom .z2=X2+ y2

1195. Sferom X2 + )'2 + Z2 = 4 i paraboloidom X2 + y2 = 3 z.

1196. (X2 + y2)'/2 = z, Z = 8, z> O.

(z>O).

Koristeći generalisane cilindrične koordinate izračunati zapreminu ogra-ničenu površima:

X2 y2 Z2 1197. -+-+-=1.

a2 b2 CI (

X2 Y2)2 Z2 1198. -+- +-= 1.

a2 b2 CI

www.etf.ba

110 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINlJSKI INTEGRI'.LJ

Izračunati zapremine tela ograničene sledećim površima:

paraboloidom X2+ )'2=R(R-2z);

1200. Paraboloidom Z=X2+)'2 konusom Z2 = xy.

1201. 0.;;x.;;1, 0<),.;;1, X2+y2>1, 0<z';;(X2+y2)3.

1202. Sferom X2+y2+Z2=4Rz-3R2 ikonusom z2=4(X2+y2).

(Deo sfere u unutrašnjosti konusa).

X2 y2 Z2 1203. -+-+-= 1,

a2 b2 e2

xl )'2 Z -+-=_. a2 b2 e

(z;:, O).

Prelazeći na sferne koordinate izračunati zapremine ograničene površima:

1204. X2 +),2 + Z2= 2 az; X2+ )'2';;Z2.

1205. (x2 +)'2 + Z2)2 = a2 (x2 + )'2_Z2); Z = O.

1206. Zatvorenom površi (Xl + y2 + Z2)3 = 3 xyz.

1207. (X2 + y2 + Z2)2 = a3 x.

X2+y2

1213. (X2 + )'2 + Z2)2 = a3 z e - xZ+yZ+ZZ •

1215. Naći geometrijsko mesto S ortogonalnih projekcija centra elipsoida

X2 )'2 ZZ -+-+-= 1 na njegove tangentne ravni. a! b2 c2

Za slučaj a=b=c v2 izračunati zapreminu tela koje ograničava površS.

Koristeći genera1isane sferne koordinate naći zapremine površima:

ograničene

(X2 y2 Z2)2 x

1216. -+-+- =-a2 b2 c2 h

h>O.

( X2 )'2 Z2)2

1218. -+-+- =xyz. aZ b2 e2 (

X2 y2 Z2)2 x2 )'2 1219. -+-+- =-+-.

a2 b2 c2 a2 b2

7. IZRAČUNAVANJE ZAPREMINE PRlMENOM TROJNOG INTEGRALA III

:1.220. _+_+_+a2 = 4 -+- , (

X2 y2 Z2 )2 (X2 Y2)'. a2 b2 c2 a2 b2

z2

c2

(X2 V2 Z2)2 Z - ~+~+:=.

1221. -+-"-+- =-e a2 b2 cz' a2 b2 ' c2 h

U sledećim zadacima zgodno je koristiti generalisane polarne koordinate uvedene formulama

1222.

1223.

li224.

1225.

1226.

x= ar COS" <p sinli O, y = br sin" O, ),>0, z>O.

(:+~+;Y=~+~; x>O, y>O, z>o.

(;+~+;r=~-~; x>O, ),>0, =>0.

(: + ~ r + z; = : - ~ ; x>O, y>O, z>O.

xm yn zp -+-+-=l. am bn cP

x )' = -+-+-

(xy Z)3 . a b e );,127. -+-+- =ln-----

a b c I ~+z. x>O; ),>0; z>O.

1228.

Podesnom površima:

zamenom

a b

x>O; ),>0;

promenljivih izračunati zapremine ograničene

li229. x+y+z=a, x+y+z=2a, x+y=z, x+y=2z, )'=X, y=3x.

]230. (a, x + bl y + C, Z)2 + (a2 x + b2 Y + C2 Z)2 + (a3 x + b3 y + e3 z) = l.

www.etf.ba

112 IV .. VlSESTRUKI I KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

Izračunati zapremine tela ograničenih površima;

1231. x2+ y2+z2,4az, x2 + y2+az=4 a2.

(a =1= b; x>O.

1233. Naći zapreminu i površinu tela ograničenog površima

(a>O).

§ 8. Primena trojnog integrala II mehanici

l ° M a s a t e I a. Ako telo zauzima oblast V i ako je 12 = Q (x,y, zl njegova gustina II tačIn (x, y, z), onda se masa tela izračunava po obrascu

m= J J J (! dx dydz. V

2° T e ž i š t e t e I a. Koordinate težišta (xo, Yo, zo) tela izračunavaju se po formulama

Xo= ~ J J J (!xdxdydz

v

yo=~ J J J QYdx dydz v

Zo=~ JJ J ezdxdydz. v

Ako je telo homogeno onda se uzima da je (! = 1.

3° M o ID e n t i i n e r e i j e. Jviomenti inercije tela u odnosu na koordinatne ravni nazivaju se respektivno integ ral i

I zy = J J J ez'dxdydz, lyz= f J J f2 x 'dxdydz, Izz = J J J ey2 dxdydz. v v v

Moment inercije tela II odnosu na neku osu l naziva se integral

I, = J J J ed' dx dy dz v

gde je d rastojanje promenjjive tačke (x, y, z) od ose l. U specijalnom slučaju za koordinatne ose Ox, Oy, i OZ' respektivno će biti:

Ix=Ixy+Jxz.; ly=lyx+Jyz ; /z=Izx+lzyo

Moment inercije tela u odnosu na koordinatni početak naziva se integral

Očigledno je

10= J J J e (X2+ y2 + z') dx dy dz. v

Io=Ixv+lyz+lzz

4° P o t e n c i j a l g r a v j t a e i o il o g P o l ja. Newtonov potencijal tela U tački p (x, )" z) naziva se integral

u(x,y,z)= J J J e(t'l,C) d~~'ldC v

§ 8. PRIMENA TROJNOG INTBGRALA U MEHANICI

gde je V zapremina tela, (! =(! (~.1}. Cl nhgova gustin a, a

r =V (x-~J2+(y_1})2+(Z-CY.

113

Projekcije X. Y, Z sile kojom telo privbči m:lterijalnu tačku mase m na koordinatne ose Ox, Oy, Oz iznose respektivno:

Oil JfJ ~-x X=km-=km (!--dxdydz, ox . r" I'

OU JfJ '1-y Y=km-=m (!--dxdydz, oy • r'

I'

oU JJJ e-z Z=km-=m (!--dxdydz. OZ r'

I'

gde je k gravitaciona konstanta.

1234. Naći masu tela koje ograničava cilindrična površ x2 = 2 y i ravni x + z = l, 2 y + z = 2, ako je u svakoj nj;:govoj tački prostorna gustina brojno jednaka ordinati te tačke.

1235. Naći masu koja je u svakoj nj~noj tački gustina brojno jednaka zbiru rastojanja te tačke od triju ivica te kocke, koj;: prolaze kroz jedno dato teme kocke.

1236. Naći masu tela ograničenog ravnima x=O, x=l, y=O, y=l, z=O ako je njegova gustina e = x + y = z.

Naći masu sledećih tela: 1237. Cilindra poluprečnika R i visine h, ako se gustina raspodele mase menja

proporcionalno sa visinom a iznosi l na donjem bazisu.

1238. Sfere X2 + y2 + Z2 = 2 x, ako je gustina mase j::dnaka rastojanju od koordinatnog početka.

1239. Konusa visine Iz i poluprečnika osnove R, ako je gustina proporcionalna rastojanju od vrha.

Jl.240. Prstena ograničenog krugovim3. p:>luprečnika R i r (R>r) ako je gustina rasporeda mase proporcionalna rastojanju od centra.

1241. Pravougaonika sa stranicama a i b, ako je gustina rasporeda mase proporcionalna kvadratu rastojanja od jednog nj~govog temena.

].242. Zajedničkog dela sfera x 2 + y2 + Z2 ,R2 i X2 + y2 + Z2 <; 2 Rx, ako je gustina u svakoj tački proporcionalna njenom rastojanju od ravni xOy.

1243. Beskonačne oblasti X2+y2+Z2;;. l, ako se gustina tela menja po zakonu

l? = I?o e-k Vx'+Y'+z', gde je l?o>O k>O.

Naći težište sledećih tela:


www.etf.ba

114 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINIJSKJ INTEGRALj

1244. Homogenog tela koje je ograničeno paraboloidom z = 3 _X2- y2

ravni z=O (z;;. O).

1245. Ograničenog paraboloidom z = X2 + y2 ravnima x + y = a, x = O, Y = 0, z=O (e= l).

1246. Segmenta sfere, eko je u svakoj njego..voj tački gustina proporcionalna rastojanju te tačke od osnove segmenta.

1247. Ograničenog parabojoidom e (Xl + y2) = 2 a2 z ikonusom

(e = l).

X2 y2 Z2 .. 1248. Dela elipsoida -+-+-= l kOJI pripada prvom oktantu;

aZ bZ C2 (e= 1).

1249. Polovine sfere O < z < V R2-x2_y2 ctJa je prostorna gustina u svakoj tački brojno jednaka njenom rastojanju od centra sfere.

Naći težište sledećih homogenih tela: 1250. X2 + )'2 -I- Z2 = aZ, X2 + )'2 = ax. 1251. (X2 + )'2 + Z2)2 = a3 x.

X2 y2 z:! 1252. --1---1--= 1.

aZ b2 CZ .

XZ )'2 Z2 -+-=-; a2 b2 c2

1254. Naći težište tda ograničenog površima x 2 -I- y2 = R2 = X2 -I- y2 = aZ (a< R),

L -I- 2 z = 1, z = 0, i moment inercije u odnosu na -njegovu osovinu. R H

1255. Nehomogeno telo ograničeno je ravnima x=2, y=O, y= 1, z=o j cilindrom Z2 = 6 x. Prostorna gustina materije u svakoj njegovoj tački proporcionalna je njenom rastojanju od ravni xOy. Naći moment inercije toga tela u odnosu na osu az.

1256. Naći polarni moment inercije (u odnosu na koordinatni početak) homogenog tela. ograničenog konusom Z2 = X2- y2 i sferom X2 -I- )'2 -I- Z2 = R2.

1257. Naći masu cilindra X2 -I- yZ < aZ, O < z < h i njegov moment inercije u odnosu na prečnik O<lnove, ako je gustina u svakoj tački cilindra proporcionalna kvadratu njenog rastojanja od ose cilindra.

Naći moment inercije u odnosu na osu az tela ogra1učenih površima: 258. h2 (X2 + )'2) = a2 Z2; 0< z<h.

1259 x+ y+z=aj!2, x2+ y2=a2, z=O.

222

1260. (x )3 + (L)3 + (...:.. r = 1. \ a. b e I

§ 9. KRIVOLlNIJSKI INTEGRAL 115

1261. Naći moment inercije torusa x = (a + r cos 8) cos <p, y = (a + r cos e) sin <p, z = r sin e u odnosu na njegovu osu rotacije.

X2 y2 Z2 1262. Naći moment inercije eliptičnog konusa - + - = - z = h u odnosu

a2 bz h2 na osu Ox.

1263. Izraziti u obliku integrala silu kojom homogena kocka ivice a privlači jedinicu mase, koja se nalazi na rastojanju b od centra jedne strane kocke.

1264. Naći silu kojom jedinicu mase, koja se nalazi II centru osnove cilindra poluprečnika R i visine h, privlači taj cilindar.

1265. Naći silu kojom jedinicu mase privlači cela ravan, ako se ta masa nalazi na rastojanju h od te ravni.

1266. Dokazati da je Newtonova sila uzajamnog dejstv,,, izmedu dve homogene sfere ista, kao kad bi mase sfera bile skoncentrisane u njihovim centrima.

1267. Naći Newtonov potencijal u tački P (x, )', z) homogene sfere ~2-1-1]2+ -I- C2 < RZ gustine eo'

1268. Naći Newtonov potencijal u tački P (x, y, z) sfernog sloja Ri < ~2 -I- 1]2-1-

-I-C2<R~, ako je gustina e=j(R), gde je j data funkcija a

R= V~2 -1-'1]2-1- C2,

1269. Naći Newtonov potencijal u tački P (O, 0, z) cilindra ~2 -I- 1)2 <; a2 , 0< e < h konstantne gustine eo.

§ 9. Krivo1inijski integral

l° Ako je f(x, y, z) definisana i neprekidna funkcija u svim tačkama deo po deo glatke krive x = x (t), Y = y (t), z = z (t) (1) (to < t<T), a ds diferencijal luka, onda se krivolinijski integral prve vrste izračunava po formuli

T

J f (x, y, z) ds = J [x (t), Y (t), z (t)] V X'2 (t) + )/2 (t) + Z'2 (t) dt.

Co

Ovaj integral ima osobinu da ne zavisi od orijentacije krive.

2° Ako su funkcije P =P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) neprekidne u svakoj tački M(t) krive (1), koja se pomera u smeru rašćenja parametra t, onda se krivolinijski integral druge vrste izračunava po formuli

J p (x y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz =

T

= J {P [x (t), yet), z (t)] + Q [x (t), yet), z (t)J+ R [x (t), Y (t), z (t)]} dt.

Co

www.etf.ba

116 IV. VIŠESTRUKI I KRlVOllNrJSKI INTEGRAU

Pri promeni smera integracije duž krive e ovaj integral menja znak.

3" Ako je P(x. y, z) dx + Q(X, y, z)dY+R (x, y, z) dz~du

gde je u ~ u (x, y, z) jednoznačna funkcija II oblasti V, ona će nezavisno od krive e koja pripada oblasti V, biti

gde su (XI' YI ,ZI) i (X" y" z,) respektivno početna i krajnja tačka putanje integracije u specijalnom slučaju, kada je oblast V jednostruko povezana a funkcije P, Q i R imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda, onda je radi toga potrebno i dovoljno, da u oblasti budu ispunjeni sledeći uslovi

oP oQ oQ oR oR oP

Oy ~ ox' ~~dY' ox oz

U tom slučaju funkcija u m"že biti nađena po formuli

x y

u (x, y, z)~ J P(x, y, z)dx+ J Q(x.,y, z)dy+ J R(xo,Yo, z)dz Xo yo '0

gde je (xo, yo, zo) neka fiksirana tačka oblasti V.

4" Ako se prosto zatvorena, deo po deo glatka kriva c, koja ograničava konačnu jednostruko povezanu oblast D, obilazi tako da oblast D ostaje s leve strane, a funkcije P, Q i R neprekidne zajedno sa svojim parcijalnim izvodima prvog reda u oblasti D i na njenom rubu, onda važi Greenova formula

j P (x, y) dH Q (x, y) dy~ J J (~:.-~;) dxdy.

D

Ova formula važi takođe i za konačnu oblast D. koja je ogran:čena sa nekoliko prostih kontura, ako se pod njenom konturom e podrazumeva unja svih graničnih kontura, pri čemu se obilazak po konturama izvodi tako da oblast D uvek ostaje S leve strane.

Izračunati sledeće krivolinijske integrale:

1270. J xds, ako je e deo prave y = x, između tačaka (O, O) i (l, 1).

1271. J y2 ds, gde je e gornja polovina kruga X2 + y2 = a2 između tačaka (a, O)

i (-a, O).

1272. J yds, po luku parabole y2=2x od tačke (O, O) do tačke (4, VS).

1273. JV2yds, gde je e prvi svod cik10ide x=a(t-sint), y=a(l-cost).

§ 9. KRIVOUNrJSKI INTEGRAL 117

1274. J ye-X ds, gde je e luk krivC? x=ln(l+t2), y=2arctgt-t+3 između

tačaka t=O i t= 1.

1275. J ~ , gde je e odsečak prave y=~-2 između tačaka (O, -2) ~+P 2

(4, O).

1276. f xy ds, gde j< e kontura pravougaonika koji određuju prave x=O,

y=O, x=4 i y=2.

1277. J (x + y) ds, ako je e kontura trougla O (O, O), A (l, O), B (O, 1).

1278. J JI X2 + yzds, ako je e krug X2 + y2 = ax.

1279. r ~--, ako je e luk hiperboličke spirale rcp= 1 od cp= v3 do .J (X2 + y2)312 e

cp=2 V2.

1280. J y2 ds, gde je e luk cikloide

x=a(t-sint), y=a(1-cost), (0<:t<:2:n;).

1281. J (X2 + y2)ds, gde je e kriva

x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost),

1282. J x ds, ako je e deo logaritamske spirale r=aek'P (k>O) koji se nalazi

unutar kruga r = a.

J V8[3 t2

1283. xyzds, gde je e luk krive x=t, y=-3-' z= 2 od tačke (=0 do

tačke t = l.

1284. J (X2 + y2 + Z2) ds, gde je e deo zavojnice

x=acost, y=asint, z=bt, (0<:t<:2n).

www.etf.ba

118 IV. VIŠESTRUKI l KRlVOLINUSKl INTEGRALI

1286. Date su površi x 2+z2=a2, y2+z2=a2; pokazati:

{ x2+z2=a2,

1 ° da se kriva e: y2+z2=a2

nalazi u dve uzajamno normalne ravni;

2° izračunati krivo1inijske integrale

J (x+y+z)ds i J (x+y+z)ds c,

ako su Cl iez delovi krive e koji leže u tim normalnim ravnima.

Naći dužinu luka prostornih krivih:

1287. x=3t, y=3t2, z=2t2 od tačke 0(0,0, O) do tačke A(3, 3, 2), (t>0).

1288. x=e-tcost, y=e-tsint, z=e-t (O<t<oo).

Izračunati sledeće krivolinijske integrale:

1289. I (X2+y2)dx+(X2_y2)dy, gde je e deo krive y=l-Il-xl između

tačaka x=O i x=2.

1290 r xdy-ydx k' k l k" b . . , a o Je eontura troug a OJI o razuJe prava x + y = 1 e x+y

sa koordinatnim osama.

1292. J xdy+ fy dx, kada x varira od x=O do x=4 duž krive y=2\f.;:--x. l+x

1293. f (X2+y2)dx+(X2_y2)dy, ako je e kriva Ix-ll+ly-lI=i.

1295. J (X2 + y2) dx, gde je kriva integracije gornji deo kruga (x-l)2 + y2 = 1

od tačke (O, O) do tačke (2, O).

1296. J xy dx + (x + y) dy gde je e zatvorena kontura koju obrazuju linije

),=0, X= l i y=x2.

§ 9. KRlVOLINIJSKI INTEGRAL 119

1297. J y2dx-x2dy, između tačaka A(O, l) i B(l, O):

10 po pravoj AB; 20 po luku kruga čiji je centar li koordinatnom početku a poluprečnik l.

1298. J xy dx, ako je e luk parabole X=y2 od tačke (i, -1) do tačke (1, D·

2 . , a o Je e ontura va rata cIJa su temena l 99 P dx + dy k' k k d _ ..

Ixl+IYI

A(l, O); B(O, 1); CC-l, O); D(O, -1)

1300. J 6x2ydx+IOxydy, gde je e lule krive y=x3 od tačke (1,1) do e tačke (2, 8).

1301. J ydx-xdy, ako je e luk cikloide x=2(t-sint), y=2(1-cost) od e tačke (O, O) do tačke (4 n, O).

1302. xdy-ydx, gde je e petJa Descartesovog sta x=--, y=--. J l · li 3at 3at2

1+ t3 1+ t 3

1303. ako je e luk astroide x = a cos3 t, y = a sin3 t od tačke J X2dy_y2dx

x'/'+y'/, ' e

A (a, O) do tačke B (O, a).

1304. J x 3 dx+ 3 Z y2 dY_X2 Y dz, gde je e deo prave od tačke (3, 2, 1) do e

tačke (O, 0, O).

1305. J zdx+xdy+ydz, ako je e zavojnica y=asint, x=acost, z=at.

1306. J (y-z) dx+ (z-x)dy+ (x-y) dz, ako je c trougao koji isecaju koordi-

natne ravni -=:'+L+-=-= 1. a b e

1307. J z2dx+x2dy+ y 2dz, gde je'c kontura sfernog trougla koji isecaju koor

dinatne ravni na sferi X2+y2+Z2=R2, (x>O), y>O).

1308. lONa sferi X2+y2+Z2+4x-6y+2z-22=O naći tačku M kojajenaibliža pravoj Zadatoj jednačinama

x-2y+2z-17=O i 7x+4y+2z-5=0.

www.etf.ba

120 IV. VISESTRUKI I KRlVOLlNIJSKI IN1EGRALl

2° Ako sa 'p obeležimo ortogonalnu projekciju tačke M na datoj pravoj,

izračunati vrednost integrala J (y + z) dx + (x2 + 2 z) dy + (2 x + y + z) dx,

uzetog duž odsečka MP.


1309. f y2 dx + Z2 dy + X2 dz, ako je e Vivijanijeva kriva

1310.

1311.

f X2 + y2 + Z2 = a2

l x 2 + y2=ax (z>O, a>O).

y dx + z dy + x dz, ako je e kriva . f {X2+Y2=r2

x 2=rz

f (y2 + Z2) dx + (Z2 + X2) dy + (x2 + y2) dz gde je e kriva

{ X2 + y2 + Z2 = 2 Rx

x 2 + y2=2ax (O<a<R).

1312. f (y-z) dx+ (z-x) dy+ (x-y)dz, ako je kriva e definisanajednačinama

-=:. +-=- = l a h

(a>O, h>O).

1313. f ~ 4 y2 + 2 X2) dx + (z + x) dy + y dz, ako je kriva e određena jednačinama

Z=4-x2_y2,

Z=y2.

Naći funkciju kada je poznat njen totalni diferencijal:

1314. (ell +x)dx+(xeY -2y)dy.

1315. x+ay dx+ y-ax dy. x2+ y2 x2+ y2

1316. (2 x cos y_y2 sin x) dx+ (2y cos x-x2 siny) dy.

1317. 2x(1-eY

) dx+(~+ l)dY. (1 +X2)2 l +x2

1318. (2 xy ex2y + y 2eXy2 + 1) dx+ (X2 ex2y +2xyexy2 -2y)dy.

1319. an+m+1u an+m+1u ----dx + dy. aXn+loym oxn am+ l

§ 9. KRlVOLINIJSKI INTEGRAL

1320. ln- dx ln- dy, gde je R=V X2+y2. an+m+1 ( 1) an+m+1 ( 1) --

a x n +2 a ym-n R axn- 1 aym+2 \ R

1321. Odrediti konstante a i b tako,. da izraz

(y2+ 2xy+ax2) dX_(X2+2xy+b y2) dy

(x2+ y2)2

bude totalni diferencijal i naći odgovarajuću funkciju.

Naći funkciju kada je poznat njen totalni diferencijal:

1322. (x2-2 yz)dx+ (y2-2xz)dy+ (z2-2xy) dz.

1323. (l-~+L) dx + (-=:.+-=:.) dy-xy dz. y z Z y2 Z2

1324. (2xyz+lny)dx+ (x2y + :)dY +(X2Y-2Z)dZ.

1325. dx-3dy 3y-x+z3d ---::..+ z.

z Z2

1326. ,7", + [ ,f <:+ l) + =-,,] dy + [ ,7<:,+ l) +y "" +<-,] d,.

1327. 1° U ravni Oxy date su tačke ACI, 1), B(2, 2), C(l, 2).

Izračunati krivolinijski integral

(1) f (ax-y)(a+ J) dx+(x+ay)(a-l)dy

xy

prvo po duži AB pa zatim po izlomljenoj liniji ACB. 2° Za koju su vrednost konstante a ova dva integrala jednaka?

121

3° Odrediti a tako da vrednost integrala (1) u prvom kvadrantu zavisi samo od početne i krajnje tačke integracije.

Vodeći računa da je podintegralni izraz totalni diferencijal izračunati integrale:

1328. J 2xydx+x2dy od tačke (O, O) do tačke (1, l) ako je putanja e:

li.329. J xdy+ydx, ako je e luk krive X5 +y9+X2y2_6y+3x=0 između

tačaka (O, O) i (1, l).

www.etf.ba

122 rv. VIŠESTRUKI I KRIVOLINDSKI INTEGRAL!

(1,1) (~.,,)

1330. J (X-y) (dx-dy). 1331. J cosydx-xsinydy. (I. -I) (o, ~) (a. b)

1332. J eXcosydx-sinydy). (o. O)

(a. b)

1333. J lP ex + y)(dx + dy), ako je lP (u) neprekidna funkcija. (o. O)

(YJ.Y,)

1334. J J(x) dx+ lP (y) dy, gde su J i lP neprekidne funkcije.

1335.

(Xl' X2)

M,

J xdx+ydy ako tačke A11 i M2 leže respektivno na krugovima V x 2 + y2 '

MJ

(a<b).

Dokazati da su vrednosti sledećih krivolinijskih integrala, uzetih po zatvorenoj konturi, jednake nuli, nezavisno od oblika funkcije u podintegralnom izrazu:

1336. J J(xy)(ydx+xdy).

1339.

1341.

1342.

1338. J J(X2+y2) (xdx+ydy). e

Izračunati sledeće krivo linijske integrale:

(2.1,3)

J xdx-y2 dy+zdz. 1. -1.2)

(S.3,!)

J zxdy+xydz-yzdx,

(X-YZ)2 (7,2,3)

(3.2,1)

1340. J yzdx+zxdy+xydz. (1,2,3)

ako su tačke (xl' Yt> ZI) i (X2' )'2' Z2) respektivno na sferama X2 + y2 + +z2=a2, x2+ y2+Z2=b2 , (b> a).

§ 9. KRrvOLINDSKI INTEGRAL 123

1343. Dokazati da je

§ J(X2 +y2+Z2) (xdx+ydy+zdz)=O,

ako je e zatvorena kriva a J(u) neprekidna funkcija.

Koristeći Greenovu formulu transformisati krivolinijske integraie po 'zatvorenoj putanji, uzete u pozitivnom smeru, u dvojne:

1344. J (l_X2) Y dx + x (1 + y2) dy.

1345. J (eXY+2xcos y) dx+ (eXY -x2 sin y) dy.

1346. -' -. dx + 3 Y arc tg -- dy. J V2 x+y

l +x2 l-xy

1347.

1348.

1349.

Koristeći Greenovu formulu izračunati integrale:

f 2 (X2+y2)dx+(x+y)2dy, ako je e kontura trougla čija su temena

A(1, l); B(2, 2); C(I, 3).

f xy2 dy-x2 Y dx ako je e kontura kruga X2 + y2 = a2.

X2 y2 f (x+y)dx-(x-y)dy, ako je celipsa -+-=l. a2 b2

1 ~ P 1350. J (xy+x+ y)dx+(xy+x-y) dy ako je e: l° elipsa -+-= 1;2° krug a2 b2

x 2+y2=ax.

1351. , ako je e krug X2 + )'2-2 x-2 y + l = O. P xdy-ydx

1352.

1353.

x2+ y2

P xdy-ydx --'----'---, ako je e zatvorena kontura.

X2+y2

J (e'" sin y-my) dx+ (eX cos y-m) dy ako je e gornji deo kruga X2 + y2 =

= ax od tačke (a, O) do tačke (O, O).

1354. J[J(y)eX-ay]dx+[f'(y)eX-a]dy, gde su J(y) i f'Cy) neprekidne

funkcije i e proizvoljna putanja koja spaja tačke A (Xl yJ i B (X2, y2)' a ograničava zajedno sa odsečkom AB figuru date površine P.

www.etf.ba

124 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINlJSKI INTEGRAL]

1355. Dokazati da je integral

J (yx3+ eV) dx+ (Xy3 +xev-2y) dy,

jednak nuli, ako je c zatvorena linija simetrična u odnosu na koordinatni početak ili u odnosu na obe koordinatne ose.

1356. Pokazati da integral

J (2 xy-y)dx+x2dy,

gde je c zatvorena kontura, izražava površinu oblasti koju ograničava ta kontura.

1357. Pokazati da je krivolinijski integral

J [xcos (;, ;) + y sin e;, ;) J ds,

~de je n spoljna ?ormala z.atvorene konture e, uzet u pozitivnom smeru, Jednak dvostrukoj vrednostI površine koju ograničava kont1:lra c.

1358. Pokazati, ako je e zatvorena kriva a 1 proizvoljni pravac da je krivo

linijski integral f cos (7, -;) ds= 0, gde je n spoljna normala konture c.

1359. Izračunati Gaussov integral

II (x, y) = f cos (;, -;) ds

gde je r=VC.$-x)2+~'I)_y)2 intenzitet vektora 7 koji spaja tačku A(x,y) sa promenlJJvom tackom M ($, 'YJ) proste zatvorene glatke krive e,

e;, -;) ugao izmedu vektora -; i spoljne normale ;; krive c li njenoj tački M.

1360. Dokazati da je u harmon(jska funkcija, tj. funkcija koja zadovoljava jednačinu

i)2 U 02 II Llu=--+--=O,

o X2 o y2

onda samo onda, ako je

j ou -ds=O on '

gde je c proizvoljna zatvorena kriva a o u izvod po spoJjnoj normali on

te krive.

§ 10. PRIMENA KRIVOLINDSKOG INTEGRALA


gde glatka kontura c ograničava oblast D.

1362. Dokazati drugu Greenovu formulu u ravni

LI I ou : dxdy= § on

e U

OU u_ds,

on

125

pri čemu je c glatka kontura koja ograničava konačnu oblast D a

o. d - IZVO U pravcu spoljne normale krive c. au

1363. Koristeći drugu Greenovu formulu dokazati, ako je u = II (x, y) harmonijska funkcija u zatvorenoj konačnoj oblasti, da je onda

u(x,y)=- u--Inr- ds J f ( ln r o U) 2n on on

gde je c granica oblasti D, ispoljna normala konture e, (x, y) neka tačka iz unutrašnjosti oblasti D, a r= V($-X)2 + ('I)_y)2 između tačke (x, y) i promenljive tačke ($, 'fJ) konture c.

1364. Dokazati teoremu o srednjoj vrednosti harmonijske funkcije u (M) =

=u(x, y)

u (M) =_1_ J. u($, 'YJ)ds 2n J

gde je e krug sa centrom li tački M.

1365. Dokazati, ako je funkcija u (x, y) harmonijska II ograničenoj i zatvorenoj oblasti i nema konstantnu vrednost u tOJ oblasti, da onda funkcija u ne može imati najveću i najmanju vrednost u toj oblasti (princip maksimuma).

§ 10. Primena kr.ivolinijskog integrala

l° Iz Greenove formule sledi da je površina ravne oblasti D koja je ograničena krivom e data formulom

P=~ rf, X dy-ydx 21' .

www.etf.ba

12 IV. VIŠESTRUKI I KRJVOLlNIJSKI INTEGRALl

2° Površina omotača cilindrične površi, čije su izvodnice paralelne :z-osi a generatrisa mu je kriva C II ravni xOy, data je formulom

p= J :z ds. e

3° Ako je e-e (x, y, z) gustina u promenijivoj tački (x, y, z) krive c, onda jc masa krive data formulom

m- J e (x, y, z) ds.

Koordinate težiSta te krive izražavaju sc formulama

xo=~ J x Q (x,y, z) ds, Yo-~ J Ye (x,y,z) ds, zo- ~ J zQ(x,y,z)ds.

e e e

Momenti inercije Ix, Iy i lo, respektivno u odnosu na ose Ox, Oy i koordinatni početak izražavaju se formulama

Ix= J y'e(x,y,z)ds, I y = J x'e(x,y, z)ds, 10= j (x'+y')e(x,y, z) ds. e

4° Krivolinijski integral

J X (x, y, z) dx+ Y (x, y, z) dy+Z(x, y, z) ds.

izražava rad sile pri pomeranju jedinice mase duž krive e u polju sile F(X, Y, Z).

5° Prema Bio-Savarovom zakonu element struje dejstvuje na magnetnu masu nz silom mlsinads

čija je veličina , gde je I jačina struje, ds element dužine provod-r2

nika, r rastojanje od elementa struje do magnetne mase, a ugao između prave koja spaja magnetnu masu i ele;T1ent struje i pravca proticanja struje. Ta sila ima pravac normale na ravan koja sadrži element struje i tačku u kojoj se nalazi magnetna masa; smer sile se određuje po pravilu desne zavojnice.

Izračunati površinu ograničenu krivim linijama:

1366. x=acost, y=bsint.

1367. x=a(t-sint), y=a(l-cost), (O<t<

1368. x=acos3 t, y=asin3 t, (0<t<2n).

1369. Ograničenu jednim lukom epicikloide

X = a [(1 + m) cos mt-m cos (1 + m) t],

y = a [(1 + m) sin mt-m sin (1 + m) t],

lukom odgovarajućeg kruga.

1371. x3 + y3 = 3 axy

1372. x=2acost-acos_2t, y=2asint-asin2t

(Descartesov list).

(0<1<2n).

§ 10. PRIMENA KRlVOLINIJSKOG INTEGRALA

1373. (x+y)2=ax, y=O,

1377. X 3-!-y3=::-+y2, y=O,

1379. -(x + y)u+fi+l = aX" yfJ

(a> O). 1374. (x+ y)3 = xy.

x=O.

(a>O, a>O, f3>0).

( x)U (Y)O_ 1381}. - + - -1 a b.

(a>O, b>O, a>O).

Naći površinu sledećih površi:

1381. Omotača cilindrz. X2 + y2 = l između ravni z = 4)' i z = 2 y.

127

1382. Kružnog cilindra x2 + )'2 = R2 između ravni z = O i površi z = R + X2 •

138'l EI·· v ·1· d Xl ]'2 •. ~. lptIcnog Cl ITI ra -+-= l IZmeđu ravni z=O z=y.

5 9

1384. Paraboličnog cilindra y2 = 2 px između ravni z = 0, z = y i x = ~ p. 9

R

1385. Onog dela omotača cilindra Xl + yl-ax = O koji se nalazi unutar sfere X2+ )'2+Z2 =a2.

1386. Kružnog cilindra x 2 + y2=R2 između ravni z=O i površi 2Rz=xy.

1387. Dela cilindrične povrsi X2/3 + y2/3 = a2/3

koju isecaju površi x4/3 + )'4/3 = z; Z = O.

1388. Date su povrsl (PJ z=V x 2+yz+Yl-x2 +V"1-y2, (Pz) xZ+y2=1 (P3) z= O.

1° Naći površinu deh površi (P2) koji isecaju površi (Pl) i (P3),

2° Naći J.("'!"'y X2+yZ+V4-X2+V4-y2)dy- xy dx duž krive J y2 V 4-'-x2

e

1389. Naći masu krive y = x 2 između tačaka x = O i x = 2 ako je u svakoj tački gustina jednaka kvadratu apscise te tačke.

Naći masu sledećih krivih:

1390. L I k · 2xJIX u ea 'five y= --- od

cl ' tačke (O, O) do tačke (4, 13

6\, ako je linijska

, J gustina krive proporcionalna dužini njenog luka.

www.etf.ba

128 IV. VIŠES1RUKI I KRIVOLINlJSKI INTEGRALI

1391. Deh krive y = ln x, između tačaka x = V3 i x = 2 v2 ako je gustina u svakoj tački jednaka kvadratu njene apscise.

a(~ _~) 1392. Deh lančanice y=2 ea +e a , između tačaka x=O i x=a, ako je

gustina krive u svakoj tački proporcionalna njenoj ordinati.

1393. x=acost, y=bsint, ako je linearna gustina u svakoj tački e=lyl.

a a 1394. Luka krive x=at, y=-t2, z=-t3 (O <: t <: 1) čija se gustina me-

2 3

12 V l1Ja po zakonu II = \j C:-'

1395. N.lći težište luka krug3. X2 + y2 = a2, (y;;;. O), moment inercije u odnosu na osu Ox; (e = l).

Naći težište homogenih krivih: 1396. Luka cikJoide x=a(t-sint), y=a(1-cost), (0<:t<:2n).

1397. Luka krug:i poluprečnika a, kome odgovara centralni ug3.0 2 rp.

1398. r=a(l+cosrp). .x

1399. y a ch -, između A (O, a) i B (b, h). a

1400. Sfern)g trougla x2+y2+z2=a2, X>O, y>O, z>O.

1401. x=acost, y=asint, z=ht za O<t<m.

1402. x=e-tcost, y=e-tsint, z=e-t za O<t<oo

1403. N.ići moment inercije u odnosu na koordinatne ose luka zavojnice

h z=--t

2n x=acost, y=asint, (0<:t<:2n).

1404. Odrediti rad koji izvrši sila teže F pri pomeranju mase m iz tačke (a" bp c,) u ta.čku (a2 , b2 , c2).

->-

1405. Sila F(P, Q). gde je P=x-y, Q=x obrazuje polje. Izračunati rad potreban da jedinica m3.se obiđe konturu kvadrata x = ± a i y = ± a.

1406. Date su tačke A (-a, a) i B (a, a). Odrediti silu kojom deluje masa .AI ravnomerno raspoređena na duži AB, na masu Jn koja je skoncentrisana u ta.čki O (O, O).

]407. Odrediti silu kojom mas3. .AI ravnomerno raspoređena na gornjem luku kruga X2 + y2 = a2, privlači masu m skoncentrisanu u koordinatnom početku.

1408 N ,· d'l k V • aC1 ra S1 e F = ,gde je r = X2 + y2 + Z2, koja dejstvuje na jedinicu r2

mase, ako se ta masa pomera iz tačke (xp y" z,) u tačku (X2' y2' Z2)'

10. PRIMENA KRIVOL1NUSKOG INIEGRALA 129

1409. Projekcije sile na koordinatne ose su X = 2 xy i Y = x 2• Pokazati da rad sile pri pomeranju materijalne tačke mase m zavisi samo od njenog početnog i krajnjeg položaja, a ne zavisi od oblika putanje. Izračunati rad ako se vrši pomeranje iz tačke (1, O) u tačku (O, 3).

1410. Komponente sile su X=X+y2 i Y=2xy-8.Pokazati da rad pri pomeranju materijalne tačke u polju te sile ne zavisi od putanje.

1411. U svakoj tački ravni dejstvuje sila, čije su projekcije na koordinatne ose X = xy, Y = x + y. Izračunati rad sile pri pomeranju tačke mase m iz tačke (O, O) u tačku (1, 1): 10 po pravoj y = x; 2° po paraboli y = X2; 3° po izlomljenoj dvogranoj)iniji, čiji su delovi pataleini koordinatnim osalna (dva slučaja).

1412. Naći silu kojom struja l u beskonačnom pravolinijskom provodniku dejstvuje na tačkastu magnetnu masu m, koja se nalazi na rastojanju d od provodnika.

1413. Po konturi, čiji je oblik kvadrat stranice a teče struja l. Kakvom silom dejstvuje taj protok na tačkastu magnetnu masu m, koja se nalazi u centru kvadrata?

1414. Pokazati da struja l, koja teče po luku krive, čija je jednačina u pola:-nim koordinatama r=r(rp), dejstvuje na tačkastu magnetnu masu, kOJa

lP.

se nalazi u polu, silom F = ml J dr

rp .

lP.

1415. Kolika je sila kojom struja l, koja teče po zatvorenoj eliptičkoj putanji, dejstvuje na tačkastu magnetnu masu m, koja se nalazi u žiži elipse?

1416. Kolikom silom struja l, koja teče po beskonačnoj paraboličkoj konturi, dejstvuje na tačkastu magnetnu masu m, smeštenu u žiži parabole?

Rastojanje od teme na do fokusa je ..E. 2

1417. Kolikom silom struja l, koja teče po kružnoj konturi poluprečnika R, dejstvuje na tačkastu magnetnu masu m, smeštenu u tački P, koja leži na norm3.li, postavljenoj kroz centar kruga, na rastojanju h, od centra kruga? Za koju vrednost od R će ta sila biti najveća ako je h fiksirano?

1418. Izračunati logaritamski potencijal prostog sloja

'Y](x, y)= # ,uln-;-dS

gde je ,u=const- gustina, r=V(~-x)2+('Y]_y)2 a kontura e krug UZ + V2 =R2.


www.etf.ba

130 IV. VIŠES1RUKI l KRIVOLINlJSKI lNIEGRALl

1419. Izračunati u polarnim koordinatama r j rp logaritamske potencijale prostog sloja

2"

II = J cosneln+de o

2"

12 = J ~!:~~lJ~n·+de O·" "

ako je r rastojanje između tačke (e, p) i promenljive tačke (l, (J) a n E N

§ 11. Površinski integral

r p o v r š i n s k i i n t e g r a I d r u g e v r s t e. Ako je S deo po deo glatka dvostrana površ definisana jednačinama

(l) x=x(U,v) y=y(u,v), z=z(u,v) [(u,v)ED]

a I(x, y, z) funkcija definisana i neprekidna na površi S, onda je

(2)

gde je

J J I(x, y, z) dS = J J f[x (u, v), y (u, v), z (u, v)] VEG-P du dv, s D

E- - + - +-_ (0 U)2 (0 U)' 2 (0 U)' OX oy oz'

G- - + - +-_(OX)' (OY)' (OZ)' Ov ov ,ov'

OX iJx oy oy oz oz F=--+--+-

OUOV OUOV ouov'

U specijalnom slučaju, ako jednačina površi S ima oblile

z=z(x, y) [(x,y)ED]

gde je z (x, y) jednoznačna neprekidno diferencijabi1na funkcija. onda je

J J I(x,y, z)dS= J J f[x, y, z (x, y)J Vl +p'+q2 dxdy, (s) D

OZ oz gde je p=- a q=-.

ox oy

Ovaj integral ne zavisi od izbora strane površi S. Ako se funkcija I(x,)" z) tretira kao gustina površi S "ll tački (x, y, z), onda mtegral (2) predstavlja masu te površi.

20 Koordinate težišta materijalne homogene površi S date su obrascima

SXo=J J xdS, SYo= J J ydS, SZo= J J z dS, S= J J dS. s s s s

30 P o v r š i n s k i i n t e g r a I d r II g e v r s t e. Ako je S glatka dvostrana površ, na kojoj je izabrana jedna od dveju strana, određena smerom normale

§ 1 L POVRŠINSKI INJEDRAL 131

-; (cos a, cos {J, cos rl a p =P (x, y, z), Q = Q ex, )" z) j R = R (x, )', z) tri funkcije, definisane i neprekidne na površi S, onda je

J J Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= J J (Pcosa+Qcos{J+Rcosy)dS.

(S) S

Pri prelazu na drugu stranu površi ovaj inte :;:al dobija suprotan znak.

4° Stocesova formula. Ako su P=P(x,y, z), Q=Q(x,)" z) i R=R(x,)" z} neprekIdno diferencijabilne funkcije a e prosta zatvorena deo po deo glatka kriva, koja ograničava konačnu deo po deo glatku dvostranu površ S, onda važi SIOcesOva formula:

cos a cos {J cosy

f Pdx+ Qdy+Rdz= J J o cl o

dS clx oy clz

s p Q R

gde su cos <1, cos (J, cos Y kosinusi pravca normale površi S, orijentisane na onu stranu, u odnosu na koju se obilazak konture e vrši suprotno kretanju kazaljke na časovniku.

5° For m u 1 a O s t r o g r a d s k o g. Ako je S deo po deo glatka površ, koja ograničava oblast V, a P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z) i R=R(x,y,z) neprekidne funkcije zajedno sa svojim parcijalnim izvodima prvog reda u oblasti V + S, onda važi formula Ostrogradskog

JJ (Pcosa+QcostJ+Rcosy)dS= J ,rJ' (OP +~+ OR) dxdydz , ox cly oz

S V

gde su cosa, costJ i cosy kosinusi pravca spoljne normale površi S.

Izračunati sledeće površinske integrale:

1420. J J (6x+4y+3z)dS ako je S deo ra.vni x-r-2y+3z=6, koja pripada s prvom oktantu.

1421. JJ dS ako je S deo ravni x + y -1- z = l koji pripada prvom Cl+x+z)Z

s oktantu.

1422. J J ex> -1- y2) dS, ako je S sfera X2 + y2 + ZZ = a2,

s

:1.423. JJ _d_S XZ+ y2+ Z2

s x=O, y=O, z=O, Z=I11.

9"

www.etf.ba

132 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINlISKI INTEGRAL!

1424. JJ(y+z+Va2 -x2)dS ako je S deo cilindra x2+y2=a2, između ravni s

z=O, z=h.

1425. J J d~ , x+L+z

ako je S deo cilindra x=2_y2 ograničen ravnima 2

e 2

X= O, z=O, Z= 1.

1426. J J x (y2 + Z2) dS ako je površ S data jednačinom X= V9-y2_Z2 .. S

1427. JI (yz + z2)dS ako je površ S data jednačinom Z= Va2-x2_y2.

1428. JJ~ ako je S sfera x2+y2+z2=1, z>O. (1 + Z)2

S

1429. JJ ~ po površi X2 + y2 + Z2 = a2 , z;;,· O. l/l +Z '

s

1430. J JVR2-x2-y2dS, gde je S polovina sfere Z=VR2-x2_y2.

1431. Jlx2 y2dS, gde je S polovina sfere z=VR2_X2_y2. s .

1432. J J~~ ako je S deo cilindra X2+y2=R2, ograničen ravnima z=O

s z = h, a d rastojanje od koordinatnog početka do tačke na površi.

1433. ff dS d' S d V' • v d' g e Je eo p ovrSI z = xy lsecen

s rastojanje tačke površi do Oz o~e.

1434. J J d:, ako je S elipsoid a d rastojanje centra elipsoida od tangentne

s ravni elipsoida.

1435. J J :~ gde su S i d kao u prethodnom zadatku.

s

§ ll. POVRŠINSKI INTEGRAL 133

1436. J J ~:,,: ako je S sfera X2+y2+Z2=R2, a d rastojanje od fiksne tačke s

p (O, 0, c) (c>R) do tačke na sferi.

. .. JJ l!odS fi V' 2 + 2 2 2 t' 1437. Izračunati potencIjal U= d S ernepovrSI x y +z =a gus me ec

s

na tačku Mo (xo' Yo' zo) ako je d= V (X-xo)2+(y-yo)2+(z-zo)2.

1438. J J V R2-x2 _y2-z2 dS, ako je S površ kruga X2+y2+Z2=R2, s

ax+by+cz=d.

1439. I J (xy + yz+zx) dS, ako je S deo površi Z= V x2+ y2, isečen cilindrom s

X2+ y2=2ax.

1440. Dokazati Poissonovu formulu 1

I I f(ax+by+ cz) dS=2n J f(uVa2 +b2+ c2)'du s -1

ako je S sfera X2+ y2+Z2= 1.

1441. Pokazati da je integral

l

J= JJ cos~~-;) dS= J J oo; dS,

s s

uzet po povrsl S jednak prostornom uglu pod kojim se površ S vidi iz koordinatnog početka. Sa r je obeležen radijus vektor elementa površi

k · ou . d l dS a sa n normalna površ, do Je - IZVO U pravcu norma e. on Naći masu sledećih površi:

l 1442. Površ paraboloida z=_(X2+y2) (O<z<l) čija se gustina menja po 2

zakonu e=z.

1443. Sfere, ako je površinska gustina u svakoj tački jednaka rastojanju te tačke od nekog fiksiranog prečnika sfere.

1444. Sfere, ako je površinska gustina li svakoj tački jednaka kvadratu rastojanja te tačke od nekog fiksiranog prečnika sfere.

www.etf.ba

134 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINIJSKI IN1EGRAIJ

Odrediti težište površi:

1445. Površi segmenta sfere x2+y2+z2=a2 za h<z<a.

1447. Dela površi x2 + y2 + Z2 = a2, koji je ograničen površima X2 + y2 = ax, z = O.

Naći moment inercije površi:

1448. Površi konusa h2(x2+y2)=a2z2 za O>z<h u odnosu na z osu.

1449. Površi sfere X2 + y2 + ZZ = aZ, u odnosu na prečnik.

1450. Površi paraboloida x 2+y2=2az (O<z<a) u odnosu na z osu.

Izraćunati sledeće površinske integrale:

1451. J J zdxdy+xdxdz+ydydz, ako je S gOfllji deo ravni x-y+z= l s

isečen koordinatnim ravnima.

1452. I J xyzdxdy, po spoljnoj strani sfere x2+y2+z2=1; x>O, y>O. s

1454. J J 2 dx C:y + y dx dZ-X2 Z dy dz, ako je S spoljna strana onog dela e1ips

soida 4 x~ + y2 + 4 Z2 = l koji pripada prvom oktantu.

1455. 1p y dx dz, ako je S unutrašnja strana tetraedra koji određuju ravni . s

x+ y+z= l; x=O, y=O, z=O.

1456. J J X2 dy dz + y2 dx dz + Z2 dx dy, ako je S spoljna strana sfere X2 + y2 + Z = a2, s

koja pripada prvom oktantu.

1457. J J xdydz+ydxdz+zdxdy, po spoljnoj strani sfere x2+y2+z2=a2. s

1453. J J yzdydz+xzdzdx+xydxdy gde je S spoljna strana tetraedra koji s

je određen ravnima x=O, y=O, z=O, x+y+z=a.

1459. J J (y-z) dydz+ (z-x) dxdz+(x-y) dxdy, ako je S spoljna strana s

površi X Z + y2 = ZZ (O<z<h).

§ 11. POVRŠINSKI IN1EGRAL 135

1460. JJ (dYxdZ + dX:Z + dX:Y ) , gde je S spoljna strana elipsoida

s X2 y2 Z2 -+-+-=1. a2 b2 e2

].461. J J yz dx dy + xz dy dz + xy dx dz, ako je S spoljna strana povrŠi određene s

površima x2+yz=R2, x=O, y=O, z=O, z=h.

11462. Transformisati integral J (y2 + Z2) dx + (X2 + Z2) dy + (X2 + y2) dz, ako je e e

neka zatvorena kontura, na površinski integral površi čiji je rub ta kontura~

Izračunati sledeće krivolin1jske integrale na dva načina: direktno i pomoću Stocesove formule:

Jl.463. f 8YV(1_X2_z2)3dx+xy3dy+sinzdz, ako se krivi deo dobija prese

kom elipsoida 4x2 +y2+4z2=4 i ravni z=O, x=O, y=O, u prvom oktantu.

1\464. J X2 dx + xy dy + xyz dz, ako je e kontura trougla čija su temena

11465.

]A66.

Jl467.

A (a, 0, O), B (O, b, O), e (O, 0, e).

J y dx + X2 dy + z dz, ako je kriva e određena presekom površi

X2 y2 X Y -+-=-+-, a2 b2 a b

X2 y2 Z _+_=_, c>O. a2 b2 e

Koristeći Stocesovu formulu izračunati sledeće krivolinijske integrale:

f ydx+z dy+x dz, ako je e krug X2 + y2 + ZZ = aZ,

x+ y+z=O.

f (y-z) dx+ (z-x) dy+ (x-y) dz ako je e luk elipse x2+y2=a2,

~+-=-= 1 a h

(a>O h>O),

orijentisan u smeru suprotnom od smera kazaljke na časovniku, posmatrano sa pozitivnog smera ose Ox.

1468. f eX dx + z (X2 + y2)3/2 dy + yz3 dz gde je e linija određena presekom površi

z= Vx2+ y2, x=O, x=2, y=O, y= 1.

www.etf.ba

136 rv. VIŠES=UKI I KRrvOLINUSKI lNTEGRALI

1470. Neka je c zatvorena kontura koja pripada ravni

x cos a+ y cos p +z cos y-p= O

i ograničava površinu S(eos a, cos P, cosI' su kosinusi pravca normale).

Naći dx dy dz

f cosa cosf3 easy

x y z

ako se kretanje vrši u pozitivnom smeru konture c.

1471. Transformisati površinski integral

J J X2 dydz+ y2 dxdz+z2 dxdy s

ako je S zatvorena površ, u trojni uzet po oblasti koju ograničava ta površ.

1472. Izračunati površinski integral

rffi y2z dx dy+ xz dy dZ+X2 Y dx dz s

gde je S spoljna strana površi koju obrazuju površi z = X2 + y2, X2 + y2 = l, x = O, Y = O, z = O, u prvom oktantu, na dva načina: direktno iprimenom formule Ostro gradsko g.


1473. J J cos (;, 7) dS= o, ako je S prosta zatvorena površ, T proizvoljni s

pravac a -;; spoljna normala površi S.

1474. JJ(xcosa+ycosP+zeosy)dS=3V, gde su cosa, eosfJ, cosykosinusi s

spoljne normale površi S koja ograničava zapreminu V.

Koristeći formulu Ostrogradskog izračunati integrale:

1475. JJ(x3cosa+y3cosp+z3cosy)dS, ako je S sfera X2 +y2+Z2=R2, a s cos a, cos P, cos I' kosinusi pravca njene spoljne normale.

§ 11. POVRŠINSKI INTEGRAL

1476. J J [(zn_ yn) cos a + (xn _zn) cos p + (yn_Xn) cos r] dS, po sferi s

X2+y2+Z2=R2, z>O,

ako su a, p i y kao i u prethodnom zadatku.

137

1477. r J xdydz+ydzdx+zdxdy, ako je površ S definisana jednačinama s

x=(a+beos6)eostp, y=(a+beos6) sin tp, z=b sin 6,

0<6, tp < 2:n;, a;;;.b;;;.O.

1478. JJ X2 dy dz + y2 dz dx + Z2 dx dy ako je S spoljna strana površi definisane (S)

x2 jednačinama x2+y2+z2=1, Z2= __ -.

X2 +y2

1479. Pokazati da površinski integral

J J 4xyzdxdY-2x2 ydydz-3 xz2 dxdz (s)

ne zavisi od površine (S) već samo od njene granične konture (c) i transformisati ga na integral po toj konturi, a zatim izračunati njegovu vrednost kada je granična kontura zadata jednačinama:

X2+y2=R2, x+z=O.

]480. Dat je integral

1= J J (1 +x2)tp(x)dydz+2xytp(x)dzdx-3zdxdy (S)

po površini (S) čiji je rub zatvorena kriva c. 1° Odrediti funkciju tp (x) tako da integral I zavisi samo od krive e i da bude tp (O) = O. 2° U tom slučaju izračunati integral I ako je kriva data jednačinama x=eost, y=sint, z=l. 3° U istom slučaju pretvoriti integral I u krivoIinijski integral oblika

J p (x, y, z) dx+ Q (x, y, z) dy.

Izračunati površinske integrale:

1431. J J (X2 cos a + y2 cos P + Z2 cos y) dS, gde je S, deo površi s

X2 +y2=Z2 (O <.z<.h)

a cos a, cos p i cos I' kosinusi pravca njene spoljne normale.

1482. J J c~: cp dS aleo je S deo ravni x + y + z = l koji pripada prvom

s oktan tu, r intenzitet vektora položaja tačke M date ravni a cp ugao između vektora položaja i normalnog vektora te ravni.

www.etf.ba

138 IV. VIŠESTRUKI I KRIVOLINUSKI INTEGRALI

. 02U 02U 02U 1483. Ako Je Ll u==--+--+-- a S - glatka površina, koja ograničava

ox2 oy2 OZ2

konačno telo V, dokazati da važe sledeće formule

l° JJ :: dS= JI J Lludxdydz; (S) v

+ J J J u Ll u dx dy dz, gde je u - funkcija, neprekidna sa svim svojim v

. kl· bl· o u . izvodima do drugog reda za Jučno u o astI V + S, a - - Izvod on po spoljnoj normali na površinu S.

1484. Funkcija u = u (x, y, z) koja ima neprekidne parcijalne izvode· do drugog reda zaključno u nekoj oblasti, naziva se harmonijska u toj oblasti ako je

02 u 02 U 02 U Ll u:=-+-+-=O.

ox2 oy2 OZ2

Dokazati, ako je u harmonijska funkcija u konačnoj zatvorenoj oblasti V, ograničenoj glatkom površinom S, da važe formule

1° J J !: dS=O; (S)

2° J J J[(!:r +(~:r +(tndXdYdZ= J f U!:dS, v s

gde je n-spoljna normala površi S, koristeći se formulom 2° da se funkcija koja je harmonijska u nekoj oblasti V jednoznačno definiše svojim vrednostima na njenoj granici S.

1485. Izračunati Gaussov integral

lex, y, z) = J J cos (~' -;) dS,

s

gde je S - prosta zatvorena glatka površ, koja ograničava zapreminu V,

-; - spoljna normala na površinu Su tački(~, 'YJ, C), -; - radijus vektor, koji spaja tačku (x, y, z) sa tačkom (~,'YJC,)ir= VC;-X)2+(I]_y)2+(C-Z)Z.

§ 11. POVRŠINSKI INTEGRAL

1486. Izračunati

J J (x-y+z) dydz+(y-z+x)dz dx+(z-x+ y)dx dy, (S)

gde je (S) spoljna strana površi

139

Ix-y+zl +Iy-z+ ,I + Iz-x+ YI= l, Ix-y+zl+ly-z+x\+ Iz-x+ y\= 1.

1487. Dokazati identitet (Green ovu formulu)

J J JCvLJ u-u Ll v)dxdydz= J J(V~:-U~:)dS, v S

gde su u i II neprekidne funkcije i imaju neprekidne izvode do drugog reda u oblasti D. Simboli Ll u i Ll v znače Laplaceove operatore u prostoru.

1488. Neka je u (x, y, z) - harmonijska funkcija u nekoj oblasti v i neka se u oblasti V nalazi sfera S sa centrom u tački M (Xl' YI' ZI) poluprečnika R. Dokazati da je

u (xp yl' ZI)= 4:R2f J U dS. s

www.etf.ba

Glava V

VEKTORSKA ANALIZA I 1EORIJA POLJA

§ l. Vektorska analiza

1° Vektorska funkcija realne promenljive. Funkcijat-+:=a,l+a2J+

+ a, k, koja preslikava skup realnih brojeva DeR u skup trodimenzionalnih vektora

VJ u oznakama -;=;;(t)=a, (t)f+az(t)J+a,(t)k. naziva se vektorska funkcija realne promenljive.

2° H o d o g raf. Skup krajnjih tačaka vektora -; kojima je početak data tačka 0, zove

se hodograf vektorske funkcije -;; = -;; V). Tačka O je pol hodografa.

Hodograf vektorske funkcije 7=7(t)=x(t)f+y(t)J+z(t)kje kriva u prostoru a

jednačina 7=-:: (t) je njena vektorska jednačina. Hodograf vektorske funkcije

-; = 7(u, v) = x (u, v) 1+ y (u, v) 7+ Z (u, v) k, sa dve realne promenJjive, je površ u

prostoru, ajednačina -; = -; (u, v) je njena vektorska jednačina.

3° Granična vrednost. Kaže se da vektorska funkcija ;:;'"=;:;'"(t) ima za graničnu

vrednost vektor b, kad t ...... a, ako za proizvoljan broj 8>0 postoji broj 0=0(8) takav da je

kad god je ispunjena nejednakost 1 t-a 1<0, Tada se piše

l im a (t) =b t_a

4° N e p r e k i d n o s t. Funkcija -;=;:;'"(/), koja je definisana u tački to, je neprekidna u toj tački ako je

lim -;; (t) = -;; (t o)· t-+Io

§ l. VEKTO~ ANALIZA 141

-+

50 Priraštaj i izvod. Razlika -:(t+LJt)--;(t) se naziva priraštaj funkcije aCt)

u tački t koji odgovara priraštaju nezavisno promenljive Llt. Označava se sa Ll-; (t).

Izvod funkcije -;; (t) u tački t, naziva se vektor

;. (t) = lim .1t-+O

ako ovaj limes postoji.

Ll-;; (t) ,

Llt

Ako je -; ={a, (t), az (t), a, (t)} tada je

->- L1-; Geometrijsko značenje vektora Lla (t), Ll t

d-;. . 16 _ pnkazano Je na s. . dt

6° D i fer e n ci j a l. Ako

se priraštaj Ll-; (t) može napisati u obliku

X~ (t) =15 (t)Llt+-;(t),

7(t) gde je lim -- = O,

.11->0 Ll t

tada se vektor D (t) Ll t naziva diferencijal funk-

cije -; (t) u tački t i

označava se sa ;k (t)

dli dt

~a

OL--'aF;:(t,-;-+-;1>"'tJ----------""\'~

Sl. 6

i;; =d-; (t) =D (t) Ll t. Izvodi i diferencijali višeg reda slično se definišu kao kod funkcija realne promenljive.

70 P arc i j a I n i i z vod i i d i fer e n c i j a l i ve k t o r s k e f u n k c i j e v i š e

promenljivih. Neka je -;--;(1" t2 , ••• , tn) vektorska funkcija od n realnih promenljivih t" t 2 , ••• , tn·

Razlika --;;(t" t2, ••• , t'-l' ti+Llt;, t,+" ... , t,,)-a(t,> t2,··· ,t,,)=Lli,a

zove se parcijalni priraštaj po promenljiv oj t,.

o; . Parcijalni izvod prvog reda po promenJjivoj ti se defimše sa

~'

www.etf.ba

142 V. VEKTORSKA ANALIZA I TEORIJA POLJA

a totalni diferencijal i; sa

0'-; 0'-;; Slično kao i u realnoj analizi, i ovde se definišu viši parcijalni izvodi Ot<" otlot j '

viši diferencijali d;:;;' d;; itd.

8° N e o d r e đ e n i i n t e g r a l. Primitivna funkcija iii neodređeni integral neprekidne

funkcije -; (t) naziva se funkcija b (t) za kOju je

Tada se piše

J-; (t) dt=b (t)+-;

gde je -; proizvoljni konstantni vektor.

9° O d re đ e n i i n t e g r a l. Neka je -;; (t) ograničena funkcija na segmentu [t 11 neka tačke .' ,

dele ovaj segment na n segmenata [t,_" t;]. Za 1:',E[t,_" td,vektor

se naziva integralna suma.

Ako za bilo kakvu podelu segmenta [t., TJ postoji

onda se ovaj limes naziva određeni integral funkcije -; (t) u granicama od to do T T

i obeležava se sa J -; (t) dt, tj. tada je

to

n

2: -;(1:',)(1,-t,_,). i=1

Ako je -;; (t) primitivna funkcija funkcije -; (t) tada je

T

J-+ -.. -+ a (t) dt =b (T)-b (to) (Newton-Leibnizov obrazac).

to

§ l. VEKTORSKA ANALIZA 143

10° V e k t o r s k i k r i vol i n i j s lc i i n t e g r a I. Neka je orijentisani luk L ~AB krive

--;~--;(t) podeljen tačkama Ti (i~O,l,· .. ,n) čiji su vektori položaja;;, tako da To~A odgovara parametru to a tačka Tn ~ B parametru tn gde je to< t 1< ... <tn (sl. 7).

Neka je rp (-;:) skalarna ili vektorska funkcija definisana na luk:! L i neka je Xi -----tačka luka T'-1 T, a g, njen vektor po-ložaja. Izraz

r: -I>- ~-4-1= 2: rp «(J,) * (rt- f , -,),

i.a:l

se naziva integralna suma, gde., označava množenje slcalara sa vektorom-ako

je rp ((J skalama funkcija, skalami ili

vektorski proizvod - ako je rp v> =-;p(:) vektorska funkcija.

Krivolinijski integral po luku L, u oznaci

J <p'v> .. ;;;, se definiše sa L

SJ. 7.

Jrpv> .. d--;~ lim i rp <e,) * ((,-7.-1), L max 1 r,-r'_1I->-O i~l

ako ovaj limes postoji po svakom nizu pudela luka L. -+

T,

x, T,

X,

A::.To

Zavisno od toga da li je rp (r) skalama ili vektorska funkcija i da Ji .. označava množenje skalara i vektora ili skalami odnosno vektorski proizvod vektora, imamo tri vrste krivolinijskog integrala:

J-+ ->- -+ 2) rp (r)·dr i J-+ ->- -+

3J rper) x dr. L L

Prvi i treći integral su vektorski krivolinijski integrali.

II ° V e k t o r s k i p o v r š i n s k i i' n t e g r a l. Neka je S orijentisani deo površi -; ~ ~ --; (u, vj i neka je rp (r) neprekidna skalama ili vektorska funkcija definisana na

površi S, Pretpostavimo da je S jednom mrežom krivih podeljena na delove Si'

Neka je ;i = (Ii -; vektor površine dela Si' gde je -; jedinični vektor normale tog dela površi a aj površina površi Si' Tada se može formirati integralna suma

" -+ -+ L, rp (e,) * ai -+

gde je Gi vektor položaja neke tačke 8a dela Si, a * može imati ista značenja kao u 10°.

Površinski integral funkcije rp 7;) po površi S, II oznaci se de-

finiše sa

d;~lim 2: s max O"t-+O

Ako je površ S zatvorena ovaj integral se označava sa 1.p rp (() * d--:;' Zavisno od

s toga da li je rp (r) skalama ili vektorska funkcija i da li.. označava množenje

www.etf.ba


~kalara i vektora ili skalami proizvod, odnosno vektorski proizvod dva vektora, Imamo tri vrste površinskog integrala:

1) J J - ..... 2) :' y, z), gde je -; vektor položaja' tacke M (x, y, z), zajedno za svoJom oblasti defmisanosti, zove se skalama polje.

Oll-+ Ou ..... 011-> 130 G r a d ij e n t. Vektor - i +- j +-k se zove gradijent skalarnog polJ'a ox oy oz

u (x, y, z) u tački M (x, y, z) i označava se sa grad u

ou ..... ou ..... Oll-;gradu=- i+-j+-k. ox oy OZ

140 I z vod p o d a t o m p r a v c u. Neka je l pravac odreden jediničnim vektorom

1= {cos a, cos {3, cos y}. Izvod funkcije u (x, y, zl po datom pravcu l u datoj tački M( . du , -+ x, y, zl, u oznacI di' Je skalarni proizvod grad u .1, tj.

du o u o u o u -dl =, cosa+- cos{3+- COSI'.

u x oy o z

150 V e ~ ,t o r s k? p o I) e. Vektorska funkcija ;;\-;:) =;(x, y, zl, zajedno sa svojom oblaseu defmisanosti, zove se veletorsko polje.

Veletorslea linija veletarskog polja je kriva kod koje je u svakoj svojoj tački ;

tangenta paralelna sa vektorom ;(;5, Vektorske linije su određene jednačinom

7x&=o. 160 P r o s t o r n i i z vod. Neka je S spoljašnja strana zatvorene površi koja može

da se "ste~e" i koja ograničava odgovarajuću zapreminu V. Neka je, dalje, rp (;) skalama ilI vektorska funkcija integrabiIna na S.

Prostorni izvod funkcije <p '(:) u tački A zove se limes

1j)rp(;:) ",i;;

lim _s--,--v-v-+o

ako ova} postoji. Pod V--.O se podrazumeva da maksimalna duž, koja je sadržana u V, tezI nuli.

~ zav~snosti od }oga da Ii je rp~) s.kala:na iJi vektorska funkcija rp (r) I kakvo Je z.nacen)e mnozen)a ., Imamo sledeca tn prostorna Izvoda, zajedno sa usvojenim naZIVima I oznakama:

J) lim ----- = grad o V (gradijent funkcije <p)

S l. VEKTORSKA ANAUZA 145

2) ~j;t)·d;

lim div; v ..... o V

-+ (divergencija vektora rp)

3) (rotor vektora q;). ->

lim =1'ot rp v ..... o V

..... 1489. Odrediti hodograf vektorske funkcije a (t) koja ima: 10 Konstantan

pravac i smer. 2° Konstantan modul.

1490. Šia je hodograf vektorske funkcije: 1° -; = cos t ;;; + sin th. 20

-; = chi a + + sht b gde su -;; i b dati ortogonalni vektori.

1491. Pokazati da je hotograf vektorslee funkcije -; (t) = t2 7i + tb + -; ravna kriva

i naći vektorsku jednačinu te ravni, aleo su vel.1:ori -;, b i -; konstantni

i -;;xbo;LO,

144i2. Vektor položaja pokretne tačke u proizvoljnom vremenskom trenutku t

dat je sa -; (t) = 7"-4[2-;+ 3t2 k, ade su 7 7 i kortovi koordinatnih osa prostornog koordinatnog siste~ Oxyd. Odrediti: 10 PutaJ.ljU tačke. 2° Brzinu. 3° Ubrzanje.

:!L493. Data je jednačina kretanja -;:(t) = 2 cos t i+ 2 sin t 7+ 3 t k. Odrediti. tra: jektoriju kretanja, brzinu i ubrzanje kretanja, kao i intenzitete brzme 1

ubrzanja u trenucima t = O i t =!!..... 2

--'l- ~ at2-lr

}l.'!94. Jed.l1ačina kretanja projektila bez trenja vazduha je r= tvo-~ k, gde je 2 Vo početna brzina. Naći brzinu i ubrzanje u proizvoljnom trenutku t.

}A95. Vektor položaja pokretne tačke kao funkcija vremena, dat je jednačinom -;Ct)=cosww+sinwtb, gde su -; i b vektorske konstante a w skalaDl:a konstanta. Odrediti vektor brzine i ubzanja ove tačke i pokazati da Je

putanja tačke e1ipsa sa poluosama 2 \;\ i 2 (b\. lt1l96. Materijalna tačka mase m kreće se pod dejstvom privlačne sile -J, -; i sile

trenja -a;: gde su J. i a (a2 >4J.) konstante a ;;"brzina materijalne tačke, čiji je vektor položaja; Odrediti vektor položaja u funkciji vremena t.

1497. Naći intenzitet brzine tačke na krugu, poluprečnika a, koji se .kotrlja po pravoj sa stalnom uglovnom brzinom w tako da mu centar Ima stalnu

brzinu 'Po'

10 Zbirka zadataka iz; više matematike II

www.etf.ba

146 v. VEKTORSKA ANALIZA I TEORIJA POLJA

Dokazati sledeća pravila diferenciranja:

d ...,. d7z 1498. - (A a) =}, --, gde je A konstantni skalar.

dt dt

d-+ drp-+ d~ 1499. - (qJ a)=- a+qJ -, gde je O/=qJ(t) skalama funkcija.

dt dt dt

d - -+ d7z...,. - ib 1500. - (a.b)=- ·b+a.-.

dt dt dt

d - d7zdqJ 1502. - a[qJ(t)l=--.

dt - drpdt

Proveriti jednakosti:

d -...,. d;{ - -+ db 1501. - (axb)=-xb+ax-.

dt dt dt

...,. d7z ...,. 1503. a· dt = 0, gde je I a I = const.

d - ...,. - d7z - -+ ...,. (db -) ...,. (- d-;) 1504. -(a.(bxc))=-.(bxc)+a. -xc +a· bx- . dt dt dt dt

1505 . .!:.- (-:. (d; x d27z))=~.(d; x d37z).

dt dt dt 2 dt dt3

1506. Dokazati da je 7z. d7z = a da (a = 17z I) za svaku vektorsku funkciju 7z.

- d7z ...,. 1507. Ak') je a x - = O, dokazati da vektor a ima konstantan pravac.

dt

d2; ...,. ". -+ d7 -1508. Dokazati da iz jednakosti --= r fer) sledi Jednakost r x -= c.

dp dt

-+ d -+ -+ 1509. Ab vektor a ima konstantan pravac i ako je - (a+b)=O, dokazati

dt

1510. Neka je -; = -; (rp) jedinični vektor u ravni xOy čiji je početak u tački O i koji zaklapa ugao qJ sa pozitivnim delom x-ose. Dokazati da je

d-; -+( n) dqJ =e qJ+2 .

-+ ~(t) ...,. 1511. Ako je a Ct) x --= O, dokazati da je ort vektora a (t) konstantan

dt vektor.

§ l. VEKTORSKA ANALIZA 147

1512. Ako su vektori 7z (tl) i ;; (t2) normalni na vektor h (tl « 2), pokazati da

postoji bar jedJia vrednost t' (t l <I'<t2) takva da je vektor 7z(t') nor

malan na vektoIu h. En. Odrediti ekviskalarne površi (nivo površi) skalarne funkcije u (!) = -;;.-;

~ konstantni vektor a -; vektor položaja tačke skalarnog polja u (! »). 1514. Naći gradijent skalarnog polja u(;)=x3+y3+Z3_3xyz u tačld ;:=

=(2,1,1). U kojim tačkama je gradu(!)=O a u kojim je

grad u (-;). k = O?

'5 D k . d . du l' u(!+e;)-u(;) 15". o azatJ a Je - = lm --'--"-'-----"....:. d-; [!->o e

Ako je -; vektor položaja pokretne tačke M(x, y, z) a 7z i b konstantni vektori, pokazati da je:

--- ..... _-+ J ..... -+ (axr)xa

1516. grad \j (a x r)2 = .

~c; X -;)2

1521}' Dokazati da je:

l ° grad (Cl u + Cz v) = Cl grad u + CZ grad v;

2° grad (uv) = u grad v + v grad u;

30 ~rad (~) = v grad u-u grad v . v v2

4° grad rp (u) = rp' (u) grad u.

1521. Naći izvod funkcije uc;.)=3x2-3y2+Z2-2xyz II tački fo=(l, 1,0)

po pravcu e = (O, O, -1).

1522 1, T .. d u vk' - ( ). - II ,,<ac) -::::;: u tac 1 ro= 1,1,1 ako Je u=xyz a e=(cosa, cos!', cosy). de

Izmčunati I grad u 1 II toj tački.

152~ ...,. Xz yz ZZ ,j. Naći izvod skalarnog polja u(r)=-+-+- u tački 1'0 po pravcu 1'0'

a2 bZ c2

10'

www.etf.ba

148 V. VEKTORSKA ANALIZA r TEORIJA POLJA

du -, Kada će biti -=:- = grad u (raF

d "0 1524. Naći izvod funkcije u (r) = a· r (a-konstantan vektor) u pravcu datog

vektora e.

1525. Ako je u"t)=~x-;:).(bx-;:), dokazati da je du -+-+ ---0--+ ---+-+ ---+-;.-

---=:;: = (a x r) . Cb x e) + (b x r) . (a x e)

de

gde su a l b konstatni vektori a -; dati jedinični veber.

1526. Pokazati da funkcije Ul C;)=I-;I uzc;)=1712 imaju iste ekviskalarne površi ali različite gradijente.

--->

1527. Tačka se kreće konstantnom brzinom Vo' Odrediti velctorsku jednačinu putanje ove tačke.

---;..-). r 1528. Odrediti vektorske linije vektorskog polja a Cr) = -::- .

i rl3 1529. Dato je vektorske pelje -; = -; x -; (--; - konstantni vektor). Pokazati da

su vektorske linije ovoga polja krugovi koji leže u ravnima upravnim

na vektoru --; a čiji su centri ua pravoj r=17:. Pokazati da je:

1530. J7t.db=7z.b- J-b.d7z. J-+ --> -+ ---> J-+ -+ 1531. a x d b = a x b + b x da.

J-+ d2-~ --+ d7t -+

1532. a x dt2

dt=a x di+ e Cc = const).

1533. Pokazati daje vektor površine koju ograničava zatvorena ravna kriva e dat sa

Dokazati da je:

1534. 1 ue;) d-;: = J J d -; x grad u, gde e ograničava površ S. s

1535. f -;: x d-;' = 2 J J d -;, gde e ograničava deo površi S. s s

1536. ~~ du -+ ';H' -·da=O

d~ , cJ2 U 02 u 02 II

gde je --+ - + -- = O a u jedinični vektor spo-o X2 o y2 o Z2

s ljašnje normale.

§ 2. ELEMENTI TEORIJE POLJA 149

1537. ~ ~. i7r = 4 Je, gde je S spoljašnja strana sfere poluprečnika a sa cen';H' r' s

trom II koordinatnom početku.

.-FI; ~ --> --> --> • obuhvaćena sa površi S. 1538. :r.r (a· r) d a = Va, gde je V zapremma s

::539. 1Ji rot~· d -;; = O. s

§ 2. Elementi teorije pOlja

1° O P e r a t o r n a b Ja. Nabla je simbolički vektor

--> il -+il --+iJ J7=i _+j_+k-· ox oy OZ

Ako se ovaj simbolićki vektor primeni na skalarnu funkciju onda je po definiciji

!7u = grad u

Skalarni proizvod simboličkog vektora i nekog vektora '1 naziva se divergencija

vektora A i pIše ---> -+ oA, aA, oA3

17 A=div A=--+--;-"-+-,-ox uJ' uZ

Vektorski proizvod simboličkog vektora i i piše

-+ ---> i j

17 xA=rotA= o o ox oy Al Az

vektora A naziva se rotor vektora A

k (J

OZ A,

Operator Ll naziva se Laplaceovaperator ili laplasijan i definiše sc jednakošćU.

Ll u = div (grad u) ili u simboličkom obliku Ll = (7 17 = 172

•

Jednačina Ll tl = O naziva se Laplaceova jednačina a funkcija u, koja je zadovoljav:l. harmonijska funkcija. Sem ovih operatora uvodi se i sledeći operator

-+ o <7 a A J7=A,-+Az;;-+A,;;-ox uy uZ

koji primenjen na neki vektor -; daje

--> -+ 0-; il-; 0-; (A 17) X =A,-+A2 ;;-+A,;.-· ox uy uZ

www.etf.ba

150 v. VEKTORSkA ANALIZA I TEORl1A POlJA

2° Fluks i cirkulacija vektorskog polja. Ako vektor AC;:) inducira vektorsko polje u nekoj oblasti V, onda se fluks vektorskog polja kroz određenu stranu date površi S iz oblasti V, koja se karakteriše jediničnim vektorom normale

-; (cos a, cos (J, cos y) naziva integral.

J r1;dS= J J (Axcosa+Aycos{J+Azco';),)dS. s s

Formula Ostrogradskog izražena vektorski ima oblik

J r1-;dS= J J J divA dx dydz, s v

gde je S površ koja ograničava oblast V, a -;; jedinični vektor spoljne normale površi S.

Cirkulacija vektora A V) duž neke zatvorene krive c (rad polja) naziva se broj

:f Ad; = :fAx dx+Aydy+Azdz. e

Vektorski oblik Stocesove formule je

1- .... JJ- -j Adr= n rotA dS, s

.... gde je c zatvorena kriva, koja ograničava površ S, pri čemu pravac normale n površi S mora biti izabran tako, da se za posmatrača, koji stoji na površi S, a glava mu je u pravcu normale, obilazak konture c vrši suprotno kretanju kazalj ke na časovniku (u pravouglom sistemu koordiHata).

3° V r s t e v e k t o r s k i h p o l j a. Vektorsko polje A za koje je ispunjen uslov ....

rotA=O

naziva se potencijalno. U tom slUčaju postoji funkcija u, koja se naziva potencijal

polja A, takva da je

grad u-A.

Ako je potencijal i jednoznačna funkcija, onda je

J- ..... A dr = u (B)-u (A) AB

te je u specijalnom slučaju cirkulacija vektora jednaka nuli.

Vektorsko polje A naziva se salenoidalno ako je

div 1=0. u svim tačkama polja. Njegov vektorski potencijal određuje se iz jednakosti

...... ..... A=rot u,

gde je -; neko novo vektorsko polje.

§ 2. ELEMENTI TEORDE POlJA

Vektorsko polje A za koje su ispunjeni uslovi

rot A = O i div A = O naziva se Laplaceovo.

Vektorsko polje A za koje je ispunjen uslov - -A rotA=( naziva se lamelarno.

Napisati u razvijenoj formi sledeće izraze

1540. 10 17 (j. lP); 2° 17 U;); 3° 17 x U"7:z).

1541. Pokazati da je

1 ° rot 7"=0, gde je 7" konstantan vektor;

- -+ -2° rot (Cl al + c2 a2) = Cl rot al + Cz rot a2 ;

3° rot (u ;)=urot~+ grad u x;'

Ako je -; vektor položaja tačke a r njegov intenzitet ...,.

],542. 1° 170\ 2° 17(0; 3° 17(~} 4° 17(:3)'

-li543 . 1° 17 (Jo); 2° 17 (;J; 30 17 (r2). 1544. l° Vx~

1545. l ° Ll r; 20 Ll ( +.-), gde je Ll Laplaceov operator.

Dokazati sledeće jednakosti:

1546. grad ~-;;") =;; x rot -;+ -; x rot~+~ 17)-;;" + (v 17) u.

1547. l7~x0=div(;x0=-;rotu-urotv.

::'548. 17 x (7; x -;) = e; 17) ;-~ 17) -;--;;" div -;; +~~ div v.

1549. Izračunati ~ x 17) x b. Dokazati sledeće jednakosti:

1550. ;;17 (C gradf)-bl7 (; grad!) = (;17 b-b 17 ""d} grad!

naći:

2° I7x e).

1551. -; [grad (ZJ; + rot CS x ~)] = div;' gde je 7" konstantan vektor.

151

www.etf.ba


-+ -+

1552. Grad (~) + rot (a xr) = 0, gde je -; konstantan vektor, -; vektor položaja r3 r3

tačke a r njegov intenzitet.

1553. Izračunati C; II) (b""l;.

1554. Pokazati da je ea x II) -;=0 ako je -; vektor položaja tačke.

1555. Izračunati (-; x II) x -; ako je -; vektor poiožaja tačke.

1556. Dokazati da je rotf(r);=O, ako je 1"=171. 1557. Ako je e konstantan i

A = grad (-;;-;;) + rot C;; x;;)

izračunati projckcijl1 vektora A na vektor c.

. , o -;- ihp"'" 1 01[': 1558. Ako je '1f!='1f!(x. z, t), A= z--k, B= -- -j, kakav do-

oz ox e ot

pun ski uslov mora zadovoljiti -+ 1 oA

funkcija '1f! da bi bjlo rot B = - -- ,

c o t ....,. l oB ->

rotA= -- --, divA=O, divB=O. e o t

1559. Ako su f i <p skalarne dvaput diferencijabilne funkcije izvesti obrazac za 112f<p=L1f<p.

Dokazati sledeće identitete (smisao oznaka je očigledan):

1560. V 2 (AB) = AII2 B + B [72 ..4.-++ 211~tJ7D(lih

1561. V2(A xB)= (Ax 112B)-(B x 112..4)+2 17:4[7"; (A x B).

1562. 172 (ABC) = (A >; B) 112C+(B xC) 112 A+ (C x..4) 112B+2 J7:4Vi.tcABC) +

+ 211B J7c <ABC) + 2 Ile 17:4 (ABC).

v s v

20 J J J-;;rot;dV= J J Jbrot;dV-1j) iS(;xb), v v s

gde Sl] cp, -;; i b proizvoljne neprekidne funkcije a S Je zatvorena površ koja ograničava oblast V.

§ 2. ELEMENTI TEORDE POLJA 153

1564. 1f> [<p II ( -;-) --;- l7 1 E V, <hp

a izvod funkcije 'If II on pravcu normale površi.

1566. Koju osobinu mora imati vektor -;- da bi za proizvoljnu zatvorenu površ S važila relacija

1]) t: iS) -; = 1fJ dS (;;-;;), s s

gde je --; konstantan vektor?

1567. Aleo je -;; konstantan vektor a S zatvorena površ koja obuhvata zapre-",F{' -+ -+ ~ -to

minu V, pokazati d" je '::Ji (r x a) x dS = 2 Va. s

156&. Ako je r vektor položaja tačke u prostoru, -; konstantni jedinični vektor

a e zatvorena prostorna kriva, pokazati da je: ,,-:-f --; x fi-; jednak dvo-c

strukoj vrednosti površine ograničene projekcijom krive e na ravan

nr=p, gde je PER,

r.S69. Transformisati Ja-ivolinijski integral f d"7 x -; u površinski, ako je kriva e

ograničena linija površi, Ispitati slučajeve

10 a = r i 2 0 -; =--; x -;;, gde je -;;- konstantan vektor a r vektor položaja

tačke polja.

1570. Izraziti preko ortova vektorsko polje A = --; x grad u, aleo .ie

z u = arc tg -====

Vx2+ y2

--+ --....r -'lo- -+

c=i+ j +k.

Izračunati fluks sledećih vektorskih polja:

1571. A=(x-2zfl+(3z-4x)J+(5x+y)1, kroz spoljnu stranu piramide čija su temena (1, O, O); (O, l, O); (O, O, l); (O, 0, O).

11572. A = xy i + yz j + xz k, kroz spoljni deo sfere X2 + )'2 + ZZ = 1 koji pripada prvom olctantu.

www.etf.ba


1573. A=x7+2YJ-zk, kroz spoljnu stranu sfere X2+y2+Z2=4.

1574. A=yz1-x1-Yk, kroz spoljnu stranu dela konusa X2 +y2=Z2 ograničenog n"vnima z=o i Z= 1.

1575. A=X21+x1+xzk, kroz deo spoljne strane rotacionog paraboloida Y= X2+Z2, koji pripada prvom oktantu i ograničen je ravni Y= l (O <y< 1).

-+ ......... -+ x 2 y 2 z2 1576. A=x2 i+y2j+z2 k, krozpovrš -+-=-, O<z.;;;;b u pravcu spoljne

a2 a2 b2

normale.

1577. Izračunati fluks sile -; = - f ~ ~ kojom jedinično elektro statičko opteR2

rećenje u polju O dejstvuje na opterećenje e u tački M sfere čiji je

centar u O apoluprečnik R (;0 = ort OM) kroz tu sfernu površ.

1578. Izračunati fluks vektora

gde je ei konstanta a ri rastojanje tačke Mi (izvora) od promenlj've tačke M, kroz zatvorenu površ S, koja sadrži tačke Mdi = I, 2, ... , n).

1579. Dokazati da fluks vektora A kroz površ S, zadatu jednačinom -;:= .... = r (u, v) [(u, v) E DJ iznosi

1580. Količina toplote, koja proteče u polju temperature u za jedinicu vremena kroz element površi dS, iznosi

dQ= -k7z gradudS,

gde je k koeficijent unutrašnje provodljivosti toplote a -;; jedinični vektor normale površi S. Odrediti količinu toplote, koju akumulira telo V u jedinici vremena. Koristeći brzinu porasta temperature, izvesti jednačinu koju zadovoljava temperatura tela (jednačina termoprovodljivosti).

Izračunati linijske integrale:

1581. J Ad-; gde je A =Xf + YJ+(x+ )7-1) k

dok je c deo prave između tačaka (1, 1, 1) (2, 3, 4).

§ 2. ELEMENTI TEORIJE POLJA 155

1582. Adr, J .... ....

d . -+A x i+ Y1+zk ge~ = ,

V x(x-l)+y(y-l)+z(z-l) duž prave između

e tačaka (1, 1, l), (4, 4, 4).

Naći rad koji izvrši sila:

1583. A = (2 a-y)i + (y-a)J, duž prvog luka cikloide

x=a(t -sint), y=a(l-cost).

1584. A=x2l+ Y1+coszk, duž zavojnice x=acos t, y=asint, z=2 t od tačke /=0 do tačke t=.2.. n .

2

1585. A = f(r)-; gde je f neprekidna funkcija duž luka AB.

1586. Prvo direktno a zatim pomoću Stocesove formule izračunati cirkulaciju

vektorskog polja A = y21-x2J +z2k duž konture c koja se dobija presekom paraboloida X 2 +Z2 = l-y sa koordinatnim ravnima.

Izračun2.ti cirkulaciju sledećih vektorskih polja:

1587. A=xzf-yz2J+xyk, duž zatvorene linije z2=x2-y2+2a2, x2+y2=a2. -+ -)- -+ -+

1588. A=yi-xj+zk, duž zatvorene linije X2+y2+Z2=4, X2+y2=Z2 (z>O).

1589. A=-yt+xJ+ck (cER: ID duž kruga x 2 +y2=l, z=O; 20 duž kruga

(x-2)2+y2=1, z=O.

1590. A = f7 ( arc tg ~) duž konture c: l ° ako kontura c ne obilazi Oz osu;

2° ako je obilazi.

1591. Ravni stacionarni tok tečnosti karakteri še se vektorom brzine

;=u(x, y)i'+ v (x, y)}.

Odrediti: l ° količinu tečnosti koja protekne kroz zatvorenu konturu e koja ograničava oblast D (gubitak tečnosti); 2° cirkulaciju vektora brzin~ duž konture e? Kakve uslove moraju zadovoljiti funkcije u 1', ako je tečnost nestišljiva a tok bezvrtložan?

I5n. Pokazati da je vektorsko polje -; = fer) -; potencijalno potencijal.

15930 Dato je vektorsko polje

A =(y+z) ž+(x+z)1+(x+ y)k.

>1aći njegov

Pokazati da je to polje potencijalno i naći njegov potencijal.

www.etf.ba

·156 V. VEKTORSKA ANALIZA r TEORlJA POLJA

1594. Ako polje brzina -; ima potencijal 'p pokazati da polje vektora ubr

zanja -;, ima potencijal i naći taj potencijal.

1595. Odrediti konstante a, b i e tako da polje vektora

A= (x+2 y+az)f + (bx-3 y-z)}+ (4x+ ey+2 z)k

bude potencijalno i naći njegov potencijal.

1596. Aleo je --;: konstantan vehor, -; vekior položaja tačke u prostoru, rnjegov intenzitet, ispitati koja su od sledećih vektorskih polja

--+ --+ --+ l° (e r)r;

_----t'" 1 -'1>--;"-;'

3° r c+-(c r) r; r

- potencijalna i naći njihov potencijal.

159'7. Pokazati da je polje vektora

". --+

..... _ J r za r< a, V-I II

I -a3 V / - \ za r>a, \. \ rl

---+---+ 1 --;..--r _

4° r e-~(e r) r r

gde je a E R, neprekidno potencijalno u celom prostoru. Naći nepre-

kidan potencijal F(r) toga polja i izračunati I V cZ--;'. o

159g. Pokazati da je vektorsko polje ]=f(r)7 salenoidalno ako je f(r)=

k . k = -, gde Je k neka onstanta.

r 3

1599. Odrediti funkciju fex) tako da polje vektora

--+ --+ xy --+ 3 z -, A=f(x) i+ 2--f(x)j--- k

1 +x2 1 +x2

3 bude solenoidalno uz dopunski uslov f (1) = -, zatim naći vektorski

2 potencijal.

--- -+-+ 1600. Ispitati kakvo je polje A = r (e x r) naći njegov potencijal.

1601. Pokazati da polje vektora -; = c;--;) x (r-b) 0. i b su konstantni vek

tori) ima vektorski potencijal ;, = -; x l+ (;-b) x 7-+ (; x b) l

.§ 2. ELEMENTI TEORlJE POLJA 157

1602. Pokazati da je polje A{1 +yz, x(z-x) -(1 + xy)} lamelarno i salenoidalno i naći njegov vektorski potencijal.

1603. Pokazati da je vektorslco polje A = ~ Laplaceovo i da je njegov potenr3

cijal harmonijska funkcija, tj. da zadovoljava jednačinu

02U 02U a2 u -+-+-=0. OX2 j) y2 OZ

1604. Odrediti najopštiju harmonijsku funkciju u (x, y) obiika

u (x, y)=ax3 +bx2 y+cxy2+dy3

a zatim naći funkciju oblika V(x, y) za koju je ~= _ ou i dl' =_o_u. . ox oy oy ox

Najzad pokazati da se tako dobijenim funkcijama u i 1', kompleksna funkcija tl (x, y) + iv (x, y) može predstaviti kao funkcija kompleksne promenljive z.

1605. Naći bar jedno salenoidalno polje -;; = -;; ex, y, z) iz uslova I7z d-; = 20, gde je L kontura četvorougla ABCD: A (2, -l, 8), B (12, -1, 8,

C(12, 1,8), D (2, 1,8).

1606. Pokazati, ako je polje vektora A Laplaceovo da onda njegove Koordinate P, Q, i R moraju biti harmonijske funkcije.

www.etf.ba

Glava VI

DIFERENCIJALNA GEO:METRIJA

§ 1. Kriva n prostoru

1° Dužina luka prostorne krive. Neka je

-)0-)0 .-,...-.. ~

r =r (t) = x (t) i+ Y {t)j+z (t) k

jedna?.ina krive e u vektorskom obliku, gde su x (t), y (t), z (t) diferencijabi1ne funkCIJe. Tada je diferencijal dužine luka krive u nekoj tački (x, y, z)

ds = V (dx)2 + (dy)2 + (dzY

a dužina luka između tačke (xo, Yo, zo), kojoj odgovara parametar t=to, (x, y, z) kojoj odgovara parametar t=t, je

t

S = J !iW+(W+(žY dt. to

2° Prirodni triedar. 1) Označimo sa -+ ............ T, B i N, redom, sledeće vektore:

-io--+ ---+~-..

dr dr d 2 r [dr d 2r) dr dt' dt x dt' i \dt x dt> x dt' gde je r vektor položaja tačke M krive c. Nazivaju se: -+ ...... T-vektor tangente, B - vektor binormale i -+ N-vektor glavne normale krive e u tački M (sl. 8).

->- -+ -+ Njihovi ortovi T, {J i l', mogu se dobiti po formulama:

-+ dr T = ds'

e

x Sl. 8

-+- ~ ~ {J=TXV.

tačke

y

§ l. KRIVA U PROSTORU 159

2) Tri ravni, koje prolaze kroz tačku M krive e: oskulatoma - određena vektorima

-; i -;, normalna-koja je normalna na vektor -;: i rekti/ikaciona-koja je normalna na prve dve, obrazuju tzv. prirodni triedar krive e u tački M.

3° K r i v i n a, t o r z i j a i Fr e n e t o v i o b r a sci. Označimo sa K krivinu, sa R poluprečnik krivine, sa T torziju i sa e poluprečnik t~rzije krive u tački M. Tada je:

~

1) K=~=L!1. R

ITI' --Ako j e kriva 7.adata jednačinom r = r (s) gde je s dužina luka tada je

-~=ld2r \. R ds 2

...... __ d 3 r B·-

1 dt' 2) T=-=--.

e I BI2

--+ -Ako je r = r (s) tada je

--+ d{J .

gde se znak minus uzima ako su - l v istog pravca a znak plus u suprotnom ds

slučaju.

- -dT V dv T (J 3) d;=Ji' Ts=-"R+r;'

d{J v (Frenetovi obrasci). ds (!

->-

1607. Dokazati da je kriva r= {a cos t, a sin t, b sin 2 t) presek kružnog cilin-dra i hiperboličnog parabolaida.

Naći dužinu luka krive:

1608. -; = {t, (2, 2;3} od t = O do t = 2.

...... 1609. r = {et cos t, et sin t, et} ođt=Odot=t.

~

1610. r={sin2t, sin t cost, Incost} od t=O do t= t.

www.etf.ba

160 YI. DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

1611. X2 = 3 y, 2 xy = 9 z od tačke (O, O, O) do tačke (3, 3, 2).

1612. Odrediti dužinu luka krive r (t) = ta + (1- t) b u funkciji od t gde su a

1613.

..... i b konstantni vektori.

Pokazati da se kriva x2+z2=a2 , y2+z2=a2 nalazi u dve međusobno nOl'malne ravni.

1614. Data je krivll;=f t+a:', t_a2

, 2aI11~lJ' , t t a

1 e Pokazati da je ona određena presekom površi ),:2- y2 = 4 a2

".!.y z = 2 a2 Iu _J~_' _.

2a

2° Pokazati da je dužina luka date krive od tačke na x-osi do proizvoljne tačke proporcionalna sa y-koordinatom te tačke.

1615. Kružna zavojnica r={acost, asin!, bt} ima jednačine:

s . s DS x=acos , , v~sm , Z= gde je s dužina luka od

Va2 + b2·· Va2 + b2 Va2 + b2

tačke (O, O, O) do proizvoljne tačke. Dokazati.

-+

1616. Neka je T = {Tx, Ty, Tz} gde je T vektor tangente krive. Pokazati da je:

10 X-x Y-y Z-z . d v·

--=-_._=-- - Je nacma tangente krive u tački (x, y, z); T:r; Ty Tz

2° T:r;(X-x) + Ty (1'-y) + Tz (Z-z) = 0- jednačina normalne ravni krive u tački (x, y, z).

1617. Ako je B={B"" By, Bz} vektor binormale, tada je:

o X-x Y-y Z-z. v.

1 -- = --= ._- Jednacma binormale i Bx By Bz

2° Bx(X-x) +By(Y-y)+Bz(Z-z)= O jednačina oskulatorna ravan. Dokazati.

1618. Ako je N = {Nx, N y, Nz} vektor glavne normale, tada je:

° X-x Y-y Z-z. d v· 1 al . 1 --= --= ._- Je nacma g avne norm e J N x N y Nz

2° Nx(X-x) +Ny(Y-y)+Nz (Z-z)=O jednačina rektifikacione ravni.

§ l. KRIVA U PROSTORU 161

1619. Napisati jednačine tangente, glavne normale binormale za zavojni cu ->

r= {a cos t, a sin t, bt} u proizvoljnoj tački.

1620. Pokazati da tangenta krive r = l, -, --I -+ { t2 2 t3)

3 27 j zaklapa stalan ugao sa

..... vektorom a = p, O, l}. Koliki je taj ugao?

1621. Data je kriva r={acost, asint, bt} (a>O, b>O). Dokazati da je rasto

janje izmedu tačke r (t) na ovoj krivoj i preseka tangente u toj tački sa ravni xOy jednako k I t I gde je lc neka konstanta.

1622. Napisati jednačine ravni koje obrazuju prirodni triedar krive X 2 +y2+Z2=6, x 2_y2+Z2=4 u tački (1,1,2).

1623. Pokazati da vektori osnovnog triedra krive r = {et cos t, et sin t, et} zaklapaju konstantne uglove sa z-osom.

1624. Napisati jednačinu oskulatornc ravni krive

l07={et ,e-t , tY2} li tački t=O.

2° X2+y2+Z2=9, x2_y2=3 li tački (2, 1,2).

1625. Napisati jednačinu rektifikacione ravni krive -; = {V~' /i' ln sin t} u tački t = !!.. .

2

1626 P . d' . d . ...... { sin2t . okazatJ a Je ugao Jzme u tangente knve r = cos2 t, -2-'

tega dodirne tačke stalan.

sin l} i po-

1627. ..... {t4 t3 t2} Naći one tačke krive r = 4' "3' "2 u kojima su tangente paralelne

ravni x+3y+2z-3=0.

1628. Odrediti funkciju cp(t) tako da glavna normala krive r={t, sin t, <pet)} bude paralelna sa yOz ravni.

-+

1629. Data je kriva r= {a cos t, a sin t. af (t)}. Odrediti J(t) tako da oskulatorna ravan krive sa z-osom gradi stalan ugao.

1630. Dokazati teoremu: Ako se kriva i njena tangenta projektuju na neku ravan tada je tangenta projekcije jednaka projekciji tangente krive.

..... 1631. Data je kriva r= {x, CP! (x), CP2 (x)}. Ako postoje <Pl' (Xo) i <Pz' (xo) poka

zati da kriva ne može imati za x= Xo tangentu normalnu na x-osu.

1 J Zbirka zadataka iz više matematike II

www.etf.ba

162 VJ. DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

-+ 1632. Data je kriva r = {3 t, 3 t2, 2 t 3}. 10 Pokazati da se normalna, rekti

fikaciona i oskulatorna ravan u tački maksimalne krivine poklapaju sa koordinatnim ravnima. 20 Pokazati da jedna od bisektrisa između tangente i binormale ima stalan pravac.

1633. Svaka oskulatorna ravan kružne zzvojnice seče kružni cilindar na kom se nalazi po elipsi konstantnih poluosa. Dob.zati.

1634. Dokazati da sve normalne ravni krive ;+= {a sin2 t, a sin t cos t, a cos t} prolaze kroz jednu stalnu tačku. Koja je to tačka?

1635. Ako oskulatorne ravni krive uvek prolaze kroz jednu stalnu tačku, dokazati da je kriva ravna.

1636. Ako je krivina krive u svakoj tački jednaka nuli, dokazati da je ta kriva prava.

1637. Ako je torzija krive u svakoj tački jednaka nuli, dokazati da je ta kriva ravna kriva.


x' y' z'

XN y" ZU =0

XN' y'" z'O

-+ potreban i dovoljan uslov da kriva r={x(t), yet), zet)} bude ravna kriva.

1639. Pokazati. da je kriva r = {al t2 + bJ t + CI' a? t2 + b2 [+ C2' a3 t2 + b3 t + e3} ravna knva.

-+ 1640. Naći jednačinu ravni u kojoj sc nalazi kriva r = {l + 3 t + 2 tZ, 2-2 t + 5 t2,

l-tz}.

-+ 1641. ]0 Ako neka ravan seče krivu r={alt, az [2, a3t3} u tačkama tt, t2 i t"

onda je njena jednačina

a2 a3 (t] t2 + tz t3 + t3 tl) x-al a3 (tl + t2 + t3) y + a] a2z-01 a2 a3 tl t2 t3 = O.

2° Koristeći 10 napisati jednačinu oskulatorne ravni date krive.

-+ 1642. Naći krivinu krive r= {cos t, sin t, eh t} u tački t= O.

1643. Naći krivinu "k. -+[ a2 a2 t} torzIJu nve r= t+t' t-t' 2aln~ uproizvoljnoj

tački.

-1644. Pokazati da su krivina i torzija krive r= {3 t, 3 [2, 2 t3} proporcionalne.

§ J. KRIVA U PROSTORU 163

1645. Pokazati da su poluprečnik krivine i poluprečnik torzije u svakoj tački -'>

krive r = {3 t-t3, 3 t2, 3 t + t3} jednaki.

1646. Ako je e ugao između glavnih normala u dve tačke krive čiji je luk e V--između njih LI s, pokazati da je '.im - = K2 + T2.

<1,-0 Lis -....---..

1647. Neka su Mo i M dve tačke krive e. Ako je luk ove krive Mo M = LI s infinitezimala, dokazati da su rastojanja tačke M od normalne, rektifikacione i oskulatorne ravni u tački Mo, u odnosu na LI s, infinitezimale redom: prvog, drugog odnosno trećeg reda.

1648. Kriva je zadata jednačinom r (s) = asm + [m x e (s)] gde je m konstantan

jedinični vektor, a konstantni skalar i e (s) proizvoljna vektorska funkcija od s. Dokazati: lO Tangenta ove krive gradi konstantan ugao sa

m. 2 0 Glavna normala ove krive je upravna na ;. 30 Krivina itorzija ove krive, u proizvoljnoj tački, su proporcionalne.

1649. Data je kriva -; = f a (t-sin t), a (l-cos t), 4 a sin ~}. L 2

10 Izračunati poluprečnik krivine krive. 2° Od svake tačke krive naneti u smeru jediničnog vektora na glavnoj normali, duž veličine

a) J + sin' ~ . Naći jednačinu krive koju opisuje krajnja tačka te

duži.

1650. Za krivu r = {x (t), y (t), z (t)} zna se da je dužina njenog luka s = cp (t). Dokazati da je torzija te krive data obrascem

x' y' z' 1

T~--- X/I y" z" K' rp"

gde je K krivina a naznačeni izvodi su po parametru t.

1651. Kriva koja leži na nekom cilindru i koja seče sve njegove generatrise pod jednakim uglovima zove se cilindarska zavojnica.

Ako taj ugao označimo sa Đ i ako je u proizvoljnoj tački tc krive x = fl (r), y = fz Ct), dokazati da je:

10 eJl!+' J' d 2° K" K-j cosec e (+'J,,-+uJ" I d z=ctg JIL~ 22 t. nvma - --- JI 2 JI 2) g e cp'3

ll"

www.etf.ba

164 VI. DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

4° Pokazati da je K/T = const.

T-- _ ctg e (1;' h" -1;" Jz')3 Torzija

K2 cp'6 (1;'2 + h'Z)",

1652. Potreban i dovoljan uslov da glavna normala krive bude paralelna jednoj stalnoj ravni jeste da ta kriva bude cilindarsk!;l zavojnica.

1653. Ako su e i cp uglovi koji sa nekom stalnom pravom grade tangente

odnosno binormale krive, dokazati da je K = sin e de. T sincpdcp

1654. Odredili krivinu i torziju krive

-; = {J JCt) sin t dt, J J(t) cos t dt, J J(t) '/jJ (t) dt}.

1655. Naći torzije dveju krivih koje se mogu tako uzajamno jednoznačno presli1cali da korespondentne tačke imaju istu binormalu.

-+ -+

1656. Kriva je zadata jednačinom r = r Cs) gde je s dužina luka krive. Ako su R i [! poluprečnici krivine, odnosno torzije, naći krivinu evolvente date krive.

1657. Naći torziju evolvente date krive kod koje je K-krivina a T -torzija u proizvoljnoj tački.

1658. Pokazati da su krivina torzija konstantne kod kružne zavojnice.

1659. Centar krivine neke sferne krive u nekoj tački je normalna projekcija cemra sfere na oskulatornu ravan u toj tački.

1660. Sferna kriva konstantne krivine je krug. Dokazati.

1661. Kružna zavojnica je presečena jednom ravni i ti svim presecmm tačkama postavljene oskulatorne ravni. 1° Pokazati da se sve oskulatorne ravni seku u jednoj tački M. 2° Ako se presečna ravan okreće oko jedne prave kroz koju prolazi, šta je trajektorija tačke M?

1662. Sferna indikatrisa tangente krive, čiji je tangentni vektor T= TCt) ima

jednačinu -; (t) = : . Kod svake cilindarske zavojnice sferna indika-

ITI trisa tangenata je krug. Dokazati.

1663. Data je sferna indikatrisa tangenata prostorne krive. 1 ° Naći jednačinu krive. 2° Ispitati specijalan slučaj kada je indikatrisa krug. 3° Koristeći dobijeni rezultat, napisati opštu jednačinu svih zavojnica kojima je zadana krivina ili torzija. Specijalno, naći zavojnicu kod koje je R=l!acost. 4° Napisati jednačinu krive konstantne krivine.

§2. POVRŠI 165

1664. Sferna indikatrisa binormala krive, čiji je vektor binormale B, ima

. d v· ...,. B Je nacIllu r = --.

-+

IBI Data je sferna indikatrisa binormala krive. 10 Naći jed:načinu krive. 2° Koja kriva ima sfernu indikatrisu krug? 3° Napisati jednačinu krivih koje imaju datu konstantnu torziju l/e.

1665. Data je kriva y=xn, z=/(x) gde je n konstanta. Odrediti funkciju J tako da oskulatorna ravan krive u proizvoljnoj tački M krive prolazi kroz projekciju te tačke na y-osu.

1666. Tangenta geometrijskog mesta centara krivina neke krive c normalna je na odgovarajućoj tangenti krive c. Ona se poklapa sa glavnom normalom krive c ili je na njoj normalna samo u tačkama u kojima je T= O ili

dk = O. Dokazati. ds

§ 2. Površi

1° Parametarske jednačine površi v r š i. Jednačina

koordinatne krive po-

(IT) r~r(u, vl-rf, (u, v), f2(u, v), fJ(u, v)}

je jednačina glatke površi ako je Jacobieva matrica

rOf, of, OJ,J

lou iJu ou

of, of, of,

ov ov Ov

ranga dva. u i v su krivo linijske koordinate površi n. -+

Kriva r= {f, (e, v), f, (e, v), f,(e, v)} je koordinatna kriva U= e=cons!. Slično se definiše koordinatna kriva v~e.

-+

2° T a n g e n t n a r a van i n o r m a J a p o v r š i. Ako je r, vektor položaja ...,. o r or

tačke M, na površi n i -' i ---2 izvodi u toj tački, tada je: ou Ov

jednačina tangentne ravni, u datoj tački, data sa

jednačina normale površi II datoj tački data sa ...,.

...,....,. (or, or,) (r-r,)=A -x- .

Ou ov

www.etf.ba


3° Obvojnica I?ovrši: Neka je S: ;~~(u, v, a) familija površi gde je a para:n~tar. Po:;s E kOlll; svaku. od POVrsl S dodiruje duž neke krive zove se obvo!nl.ca . povrSI ~. D".dlrne krive zovu se karakteristike. Sve karakteristike dodiruJu Jednu knvu kOJa se zove povratna linija obvojnice površi E.

Eliminacijom parametra a iz jednačina -;= 7(u, v, a)

dobija se jednačina obvojnice E.

-+ -+ ~ko U fam!~iji S i~aj,:,. dva parametra (r = r (u, v, a, b» tada se jednačina obvojnIce E dobIja eltmmaCI)Om parametara a i b jz jednačina

-+ ..... r=r (u, v, a, b)

-+ -+ -+

(or or)or OIlX~ ob =0.

-+ 1667. Data je površ r ={u COS v, usin v, VaZ-u2 } gde su u i v nezavisni para

rr;etri površi a c: konstanta. lO Napisati jednačinu date površi u obliku l' (x, .y, z) = ° .J na oSi!0vu toga zaključiti koja je to površ. 2° Šta su koordlDat.1e knve u = e J V= e? 3° Kakvo je geometrijsko značenje para:netara li i v?

-+

1668. Dala j<:. površ != {cos u cos v, cos u sin v, sin u}. 1 ° Napisati jednačinu te po,:rsl u ob~ik:u F (x, y, . .z) = O i zaključiti koja je to kriva. 2° Šta su koordmat~e knve te površi? 3° Kakvo je geometrijsko značenje parametara II l ..,?

1669. p.ov:-š S je dat:: jednačinom ;= {u COS v, u sin v, f(w)} gde su tl i]J nezaVISlll. }?ll:ram~tIl. a f data funkcija. l ° Pomoću koordinatnih krivih zaklJucJtJ kOJa Je to površ. 2° Napisati jednačinu te površi u obliku :.":" F (x, y): .~o Koristeći rezultat 2°, napisati jednačinu kružnog konusa cIJe pravolmJJske generatrise grade ugao a sa njegovom asom.

. o azatJ a Je povrs r = -----, ----, ---- sfera. 1670 P k . d' v -+ { 2 rt 2 V u2 + V2- l} U2+V2+ l U2+V2+ l U2+V2+ l

1671. Napisati jednačinu torusa koji nastaje rotacijom kruga poluprečnika r oko prave koja leži u ravni toga kruga na rastojanju R CR>r) od njegovog centra.

1672.

§ 2. POVRŠI 167

-+ Datajepovrš r={e'Wf(u) cos (u+v), e'Wf(u) sin (u+ v), e''''<p(u)}. pop (e) kazati da koordinatne krive u = e leže na konusu X2 + y2 = -- Z2. <p2 (e)

1673. Geometrijsko mesto pravih koje seku z-osu pod pravim uglom i prolaze -+

kroz krivu r = {cos v, sin v, f(v)} je površ (pravi' konoid), koja ima -+

jednačinu r = {u cos v, u sin v, f(v)}. Dokazati.

1674. Napisati jednačinu tangentne ravni i normale površi r = {u cos v, u sin v,au} u proizvoljnoj tački (uo, vo),

1675. Površ xyZ= a2 u proizvoljnoj tački (xo, Yo, zo) ima tangentnu ravan:

..:::..+z..+~= 3 i normalu: x-xo=Y-Yo = z-zo. Dokazati. Xo YO Zo Yozo xozo xoYo

1676. Ako je površ data u obliku f(x, y, z) = 0, dokazati da njena tangentna ravan u tački (x, y, z) ima jednačinu:.::;!d{l

(X-x) of + (Y-y) of + (Z-z) of =0. ox oy OZ

1677. Dokazati da kod obrtne površi normala prolazi kroz osu te površi.

1678. Tangentne ravni pravog konoida -; = {u cos v, u sin v, a sin v} li nek?j tački generatrise V= O seče konoid po generatrisi i po elipsi. Dokazat!..'_

1679. Tangentne ravni u tačkama generatrise pravog konoida r = {u cos V, rt sin v, a j1tg v} seku ravan Z= O po paralelnim pravama. Dokazati.

168G. Ako se na normalama sa jedne strane površi nanosi ista duž a, krajnje tačke te duži obrazuju površ za koju se kaže da je paraielna ili ekvidislantna sa datom površi. Pokazati da su tangentne ravni na dvema paralelnim površima u korespondentnim tačkama paralelne.

1631. Ako je familija površi zadata jednačinom f(x, y, z, a) = O, pokazati ~a se jednačina obvojnica te familije dobija eliminacijom parametara a IZ

jednačina f(x, y, z, a) = 0, of = O. oa 1682. Naći jednačinu obvojnica sfera (x_a)2+(y-Vr2-a2)2+z2=R2 gde je

a parametar a r i R su konstante.

1683. Napisati jednačinu obvojnica ravni (m + a) x + (n + a) y + cl + a) z = a2

gde je a parametar.

1684. Dat je skup ravni 3 u2 x-2uy + Z_!l3 = ° gde je u parametar. 1° Odrediti povratnu krivu obvojnice.

www.etf.ba

168 VI. DIFERENCUALNA GEOMETRIJA

1685. Naći obvojnicli ravni ax+by+z+ab= 0, koje zavise od dva parametra a i b.

1686.

1687.

1688.

1689.

Dat je paralelepiped li prvom oktantu čije ivice leže na koordinatnim osama sistema Oxyz. Ravan odseca od paralelepipeda tetraedar, čije je jedno teme suprotno temenu u koordinatnom početku paralelepipeda, konstantne zapremine. Naći obvojnicu tih ravni.

Data je dvoparametarska familija pravih ,:: {tz + p, pz + ~, z} gde su t

i p t;teza:visni pa~ametri. ~ o Kakav ~sloy treba da zadovoljavaju parametn t l P da bl prave bIle generatnse Jedne razvojne površi? 2° Naći jednačinu povratne krive te razvojne površi. 30 Odrediti geometrijsko mesto tih povratnih linija. 40 Odrediti krive li kojima xOy ravan 'seče razvojne površi.

Na površi -;= {u cos V, u sin V,~2} data je kriva V= ku (k>O). 10 Ispitati

oblik te krive. 20 Naći dužinu luka te krive od koordinatnog početka do proizvoljne tačke.

Data je površ r = {2 pu cos v, 2 qu sin v, 2 u2 CP cos2 v + q sin2 v)}. 10 Poka-X2 }J2

zati da je to paraboloid 2 z = - + -=-. 2° Odrediti na toj površi skup p q

tača ka II kojima tangentne ravni sa z-osom grade stalan ugao.

§ 3. Krive linije na površi

1° Prva osnovna kvadratna forma površi. Kvadrat lučnog elementa proizvoljne krive C na površi TI je

(1) (0-:)2 (0-: 0-:) (0 -:)2 dS2~ - du2+2 _._ dudv+ _ dv2, .0 u o u o v o v

-+ -+

ili, ako se uvedu oznake E~(~:r, F~~:'::' G~(~:r (Z) dS2~Edu2+2 Fdudv+Gdv2.

Desna strana u (2) zove se prva osnovna forma površi II.

e mlCnI ve tor normale površi je 110 = - X - /(EG-F2). J d · .•. k -+ (O r or) ou ov

-+

2° D r u g a k v a d r a t n a for ID a p o v r s· I' Ako . L 02

r -+ N o'r'-+ . Je ~-'lZo, ~o .. ,·n, ou2 •

02r M = o u o v . "0 tada j e

§ 3. KRIVE LINDE NA POVRŠI 169

(3)

Desna strana jednačine (3) zove se druga osnovna kvadratna forma površi II.

3° Kriva linija na površi. Neka je: R,-po!uprečnik krivine krive C" na datoj površi, e-ugao između glavne normale krive C, i normale na površi. Tada je

cos e Ldu2 +2Mdudv+Ndv2

R, Edu 2 + Z Fdudv + Gdv2

4° M e u s n i e r o vet e o r e m e. Ravan koja prolazi kroz jednu pravu tangentne ravni i normalu, u jednoj tački površi, obrazuje sa ovom površi normallli presek - krivu c, a ravan koja prolazi kroz istu pravu ali ne kroz normalu površi, obrazuje sa površi kosi presek-krivu e'. Ako je R poluprečnik krivine krive e u dotičnoj tački tada je

R, ~ ±Rcose

gde su R, i lJ definisani za krivu c, u 3°.

5° O b ! i k p o v r š i u o k o l i n i j e d n e t a č k e. Posmatramo znak izraza LN _M2 u tački M (u, v).

1) LN-M2>O, tačka M .ie eliptička tačka prve vrste. 2) LN -M' ~ 0, tačka M je parabolička tačka. 3) LN-M2<O, tačka M je hiperbolička tačka.

Za slučaj: M~O, L-N, tačka M je sferna ili pupčasta tačka. dv

Pravci koji odgovaraju kOl'enima jednačine LN-M2= O po du zovu se asimptot-

ski pravci.

6° Glavni pravci i glavni po!uprečnici krivina na površi. Glavui pravci na površi su tangente krivih na kojima 1? dostiže ekstremnu vrednost. Poluprečnici krivina koji odgovaraju glavnim pravcima zovu se glavni poluprečnici krivina. Dobijaju se rešavanjem po R jednačine

(4) 1 1,

(EG-F2) --(EN-2 FM+ GL) -+LN-M-~O. R2 R

.1(1 1).1 " d d' IzraZI - - + - I -- nazivaJu se re om sre Uja 2 R, R2 R,R2

krivina Gaussova kri-

( 1 . 1 ." d v, (4) 1 ) vina. - l - su resenja Je nacme po - .

R, Rz R

Površi kod kojih .ie srednja krivina u svakoj tački jednaka nuli zovu se minimalne površi. Površi kod kojih je Gaussova krivina jednaka nuli u svakoj tački zovu se razvojne površi.

7° K a r a k t e r i s t i č n e k r i ve ! i n i j e n a p o v r š i. 1) Kriva na povrSl, koja je normalna na nivoskoj liniji površi z~const, zove se linija najvećeg nagiba.

-+ -+ 2) Neka je dl' vektor tangente krive na površi i no jedinični vektor normale

površi u istoj tački. Kriva na površi za koju je

d;oxd:=O

u svakoj tački, zove se linija kriville površi.

www.etf.ba

170 VI. DIFERENCIJALNA GEOMETRUA

3) Kriva na površi, za koju je, u svakoj tački

zove se asimptotska linija površi.

4) Krive na površi kod kojih se glavna normala u svakoj njihovoj tački poklapasa normalo m na površi u toj tački, zovu se geodezijske linije površi. Dobijaju se kao integrali jednačine

(0-; 0-;\ ...,. --->-) -x-j.(drxd2 r =0. ou ov

1690. Odrediti površ čija je prva metrička forma

dSZ = (2 X2 + y2) dx2 + 2 xydxdy + (X2 + 2 y2) dy2

X2+y2

na kojoj se nalazi krug x 2 + y2 = 1, z = 1.

1691. Data je površ -; = {u, v, k arc tg :} i kriva 7= {a cos u, a sin u, g (u)}

k, a>O .. Odrediti g (u) tako da kriva leži na datoj površi, a zatim pokazatI da se tangentna ravan površi i oskulatorna ravan krive u zajedničkim tačkama poklapaju.

1692. Data je površ 7= {v cos u, v sin u, v Vl}.

10 Naći v kao funkciju od u za one krive na površi kod kojih tangente

zaklapaju sa Z-OS!1m ugao od ~. 4

2 0 Naći onu od ~ih krivih koja prolazi kroz tačkn (1,0, ]12).

1693. Ispitati oblik površi 7={u, JI, U2 +V2} u okolini tačke (O, O).

1694. Naći glavne pravce i glavne poluprečnike krivina površi --; = {x, y, xy} u pro:izvoljnoj tački (x, y, z).

1695. Odrediti pupčaste tačke na površi -;={u, JI, ± I e I ~ 1- ( ~ y _( ~ )2}.

1696. Pokazati da su tačke krive -; = {t, ± V2at, O} pupčaste t;:tčke površi

az2 + (2 x+ a) (y2-2 ax) =0.

1697. Odrediti sferne tačke površi xyz=a3.

§ 3. KRIVE LINIJE NA POVRŠI 171

1698. Pokazati da površ (: r + ( : r + ( : r = 1 dodiruje sfera

X2 + y2 + Z2 = r2 u sfernim tačkama ako je

r2 n j<n-2) = a2 n j<n-2) + b2 n j(n-2) + e2 n ;en-2).

1699. Naći srednju Gaussovu krivinu površi -; = {u, V, uv} uproizvoljnoj tački.

1700. Naćj srednju Gaussovu l . . v' --->- { U-V} cnvmu povrsI r= u, V, --u+v

u tački (1,1).

Odrediti srednju i Gaussovu krivinu površi:

1701. 7={a(u+v), b (u-v), uv}. -+ { l l 1702. r= U, v, -(lncosau-lncosv)r' a ,

1703. Naći one rotacione površi kod kojih je srednja krivina jednaka nuli.

1704. Odrediti koeficijente E, F i G prve osnovne kvadratne forme površi

r (u, v) = u; + sin ub +;;;, gde su -;;, b i --; dati vektori. Kada će se koordinatne krive ove površi seći ortogonalno?

1705. Za pOVIŠ --;: (u, v) = (u + 1'2) -; + (l' + u2) b + Ul'; (-;, b i e konstantni vektori.) Odrediti prvu osnovnu kvadratnu formu i površinski elemenat

1706. Za rotacionu površ --; (u, v) = 'IfJ (u) -; (v) + uk gde je ;"(v) jedinični vektor

a k konstantni vektor, izračunati koeficijent prve druge lcvadnltne

forme, glavne pravce i glavne krivine.

1707. Odrediti sve moguće minimalne površi za rotacione površi

reu, v) = '!J! (u)-;(v) + uk.

:i.703. Date su dve paralelne površi S i S* kod kojih je rastojanje korespolldentnih tačaka a. 10 Odrediti Gaussovu krivinu K; površi S* u funkciji Gaussove krivine Kg i srednje krivine Ks površi S. 2° Odrediti srednju krivinu IC; površi S* u funkciji Kg i Ks površi S. 3

0

Pokazati da je S* razvojna površ ako i samo ako je S razvojna površ.

1709. Pokazati da je zbir krivina dva ortogonalna preseka površi jednak zbiru krivina glavnih preseka.

1710. Za rotacionu površ, čija je osa rotacije z-osa, dato je rastojanje tačaka sa površi do ose rotacije sa e = e (s) gde je s prirodni parametar na meridijanu u xOz ravni. Odrediti Gaussovu krivinu te površi.

www.etf.ba

172 VI. DlFERENCUALNA GEOMETRIJA

1711. Odrediti Gaussovu krivinu površi za koju je zadata metrička diferencijalna forma sa: 10 dsz = du2 + Gdv2; 2° ds2 = X (u, v) (du2 + dV2); 3° ds 2 = 2 Fdudv.

1712. Na površi -;={acosucosv, asinucosv, asinv} date su krive C1 :U=V, n

Cz: u + v = -. 1 ° Naći presečne tačke datih krivih. 2° Odrediti ugao 2

pod kojim se seku date krive.

1713. Na površi -; = {u, v, lIV} date su krive Cl: u2 + 1'2 = 1 i Cz: v = au. 1 ° Naći presečne tačke datih krivih. 2° Odrediti ugao pod kojim se seku te krive. 3° Koliko je a da se krive seku ortogonalno?

1714. PokaZati da se krive: sinu+a(v+I)=O, __ a_+v=b (a,b=const.) 3 sin3 u

na površi 7= {sin u cos v, sin u sin v, cos u + ln tg ~} seku ortogonalno.

Odrediti ortogonalne trajektorije koordinatnih krivih površi:

1715. -;={ucosv, usinv, u+v}.

1716. 7={vcosu-asinu, vsinu+acosu, au} (a>O).

1717. Na površi r={cos6cos<p, cos6sin<p, sin<p} odrediti ortogonalne trajektorije krivih <p + e = const.

1718. Kriva na obrtnoj površi koja sve meridijane te površi seče pod konstantnim uglom zove se loksodroma. Pokazati da je jednačina loksodrome

1719.

obrtne površi -;={ucosv, usinv, <p(u)} data sa

J, v~---, du II O d· . l' l + <p 2 -;; + v ctg v + C = g e Je C proIZVO Jna konstanta a e ugao

pod kojim loksodroma seče meridijane.

Pokazati da je jednačina loksodrome na površi -; = {u cos v, u sin P,

Vr 2-(R-u)2} data sa (R+rcoslVR~ (V-Vo)ctg 6]) u=R2-r2

(vo = const.)

Odrediti krive koje polove uglove između koordinatnih krivih na datim površima:

1720. -;={acosusinv, asinusinv, acosv}.

1721. --;={ucosv, usinv, u+v}.

§ 3. KRIVE UNITE NA POVRŠI .

Odrediti liniju najvećeg nagiba datih površi:

1722. -; = {u, v, auv}. 1723. -;={ucosv, usinv, av}.

Odrediti linije krivine datih površi: .....

1725. r=ucosv, usin v, ay}.

1726. -;={-u3 +3uzv+3u, -3UV2 +v3-3v, 3u2 -3v2}.

Odrediti asimptotske linije na datim površima:

1728. -;={u, uv, lev)}.

1729. 7={ucosv,usinv, Jllu}. .....

1730. r={(l+u)chv, (l-u)shv, u}.

--+ 1731. r={(3u+3v), 3u2 +3vz, 2u3 +2v3}.

1732. z=x arc tg (L) +~ ln (x2 + y2) . . x 2

1733. Naći projekcije na ravan xOy asimptotskih linija površi

7= {u, V, u11!vn}.

173

1734. Data je kriva 7= {a ch t cos t, a ch t sin t, at}. Pokazati da ova kriva pri

pada površi X2 + y2 = a2 ch2 ~ i da je asimptotska linija ove površi. a

1735. Odrediti torziju asimptotskih linija površi -; = {u cos v . 1 } u sm v, --;; .

1736. Data je površ(S): 7= {Vu cos v, vu sin v, -;}.

10 Napisati jednačinu ove površi u obliku z = lex, y) i nacrtati je. 20 Naći, na ovoj površi, tačke koje su najbliže koordinatnom početku.

3° Pokazati da je mreža koordinatnih linija na (S) ortogonalna.

4° Odrediti asimptotske linije površi (S).

--+ (v v } 1737. Data je površ r=tu +-;;' u---;;, u<p(v) (91(1)= 1).

10 Odrediti funkciju cp (v) tako da koordinatne linije u = const. budu istovremeno i asimptotske linije površi.

2° Pokazati da je torzija tih asimptotskih linija konstantna.

1738. Data je površ (S): 7={ ~ (v++)cosu, ~ (v++)Sinu, ~ (v-+)}.

www.etf.ba


1° Napisati jednačinu (S) u obliku F(x, y, z)=O i nacrtati površ.

2° Kakva veza treba da postoji između konstanti a i b da bi mreža koordinatnih linija površi (S) bila ortogonalna?

3° Odrediti asimptotske linije ove površi.

1739. Pokazati da su koordinatne krive površi

7= {(li +v) (3 + 2 u2+ 2 1'2-8 uv), (v-u) (3 + 2 u2+ 2 1'2+ 8 uv), 12 uv}

njene asimptotske linije.

1740. Ako su S i S* dve paralelne površi, pokazati da su asimptotske linije površi S korespondentne asimptotskim linijama površi S* tada j samo tada ako je S razvojna površ. Odrediti geodezijske krive na površi:

1741. 7={ucosv, usin1', av}. 1742. 7={ucosv, usinv, u}.

1743. Pokazati da su veliki krugovi sfere njene geodezijske linije.

1744. Pokazati da tu geodezijske linije na cilindru zavojnice.

Glava VII

TENZORSKI RAČUN

§ 1. Sistemi i oznake

1° S i s t e m i. Uređen skup {a" az, "', an} označavaćemo sa

a, (i~ 1, 2, "', N)

zvaćemJ ga sistem prvog reda tipa (I, O). Takođe je

ai(i~ 1,2, "', N)

sistem prvog reda tipa (O, 1). Elementi skupa su elementi sistema ili komponente sistema. Slično, skup elemenata pravougaone matrice

a,! ili ai ili aii (i~1, 2, "', M; j~l, 2. "', N)

zvaćemo sistem drugog reda. Skup elemenata prostorn," matrice

ali" ili a~ ili aJ" ili allk(i~1,2, .. ·,M; .i=1,2, .. ·,N; k=1,2, "', P)

zvaćemo sistem trećeg reda. Itd... Sistem k-og reda, tipa (k, O), obično se piše u obliku

ail il" 'ik

a može raspored njegovih indeksa da bude i gore, kao

(p+q=k; Sistem tipa (p, q)

pa in1an1o više tipova sisten1a k-og reda.

Dva sistema su jednaka ako su istog reda i tipa i ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

2° K o n ven e i j a o s a b i r a n j u. Dva puta ponovljeni indeks u sistemu označuje sabiranje po torne indeksu. Primeri:

aii = 2: ah; a(ai = 2: (ai )2; Gib t = L aibi ; ai bJci =b1I aid. i i

3° Simetrični i antisimetrični sistemi. Sistem ailk ... .ie simetričan po jednom paru indeksa ako se ne menja kada se indeksi toga para permutuju. Sistem

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

www.etf.ba

Documents

UŠĆUMLIĆ MATEMATIKA 2