1. Cka është statistika?

Statistika definohet si shkencë e cila përmes madhësive (vlerave) numerike bën hulumtimin e karakteristikave të dukurive masive. Statistika është shkencë e cila përcjellë zhvillimin e dukurive në natyrë, ekonomi dhe shoqëri.

2. Cka është objekt i hulumtimit të statistikës?

Objekt i hulumtimit të statistikës është studimi i anës sasiore dhe cilësore të dukurive massive si dhe karakteristikave të variacionit të tyre në një kohë dhe vend të caktuar.

3. Cilet janë metodat e statistikës?

1) Induksioni (nga individualja tek e përgjithshmja)2) Deduksioni ( nga e përgjithshmja tek individualja)3) Analiza (shpërndahen dukuritë)4) Sinteza (bashkon dukuritë)5) Metodae analogjisë (lidhshmërisë)6) Metoda representative7) Metoda grafike

4. Cilët janë parimet e shoqeatës statistikore?

1) Aftësimi i ekspertëve të statistikës2) Këmbimi i zbulimeve shkencore dhe përvojës3) Miratimi i metodologjisë unike 4) Objekti dhe përmbajtja e veprimtarisë statistikore5) Harmonizimi i afateve në hulumtimin statistikorë 6) Çështja e publikimeve statistikore si dhe format e këmbimit ndërkombëtarë.

5. Cka kuptoni me dukurinë masive?

Dukuria masive ( popullimi) paraqet çdo bashkësi të ndryshme njerëzish, objektesh, sendesh, rastesh etj.Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore.

6. Cka kuptoni me njesinë statistikore?

Njesia statistikore (individi) paraqet njesitë përbërëse të popoullimit. Psh. Njesia statistikore (individi):

1) Suksesi i studentëve në fakultet,2) Punëtorët e një lëmie të ekonomisë kombëtare,3) Harxhimet mujore të telefonit në ndërmarje,4) Harxhimet ditore të energjisë etj.

7.Në sa njesi matëse të vecanta e hulumton statistika njesinë statistikore?

Statistika hulumton njesinë statistikore në këto njesi matëse të veçanta:1) Njesia e vëllimit të dukurisë (regjistrimit, numrimit, raportimit të një dukurie)2) Njesia e raportimit (evidentimit)3) Njesia për matjen e variacionit (variance, devijimi standard dhe disperzioni)

1

8.Cka është tipari dhe sa lloje të tipareve dallojmë?

Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njesitë quhet TIPAR. Kemi dy lloje të tiparëve:

1) Tipare sasiore 2) Tipare cilësoreTiparet indajmë:

Sipas tipit (mosha, pasha, numri I studentëve) Sipas formës (mënyrës së krijimit) Sipas përmbajtjes (brendisë)

9.Cka paraqet variacioni?

Variacioni paraqet lëviyjet që shprehin ndryshimin e sasisë ose të cilësisë së tiparit dhe dukurive masive në tërësi.

10.Në sa forma paraqitet variacioni?

Variacioni paraqitet në dy forma:1) Variacioni si ndryshim dhe 2) Variacioni si koeficient

11.Nga se varen rezulltatet e fituara nga analiza statsitikore?

Rezultatet e fituara nga analiza statistikore varen: Nga aplikimi i metodave kërkimore dhe Nga cilësia e të dhënave të grupuara të dukurisë

12.Cilët janë fazat e punës kërkimore?

Vrojtimi statistikor Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave Përpunimi dhe analiza statistikore Publikimi i rezultateve

13.Cka kuptoni me fazën e vrojtimit statistikor?

Vrojtimi statistikor bën regjistrimin dhe grumbullimin e të dhënave për dukurit masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme.

Këtu bëhet verifikimi i tër dokumentacionit Bëhet pregaditja rreth organizimit më të mirë Bëhet kontrollimi dhe verifikimii qëllimit dhe detyrës së dhënë Bëhet grumbullimi i materialit i cili do të jetë lëndë e përpunimit në fazat e tjera të

hulumtimit.

2

14.Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë sa lloje të vrojtimit dallojme?

Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë: Vrojtimi i drejtëpërdrejt Vrojtimi përms dokumenteve Vrojtimi sipas deklarimit.

15.Sipas menyrës së vrojtimit, grumbullimi i të dhënave kryhet përmes këtyre formave:

Mënyra ekspeditive (ekspertët statistikor) Përmes thyerjes zyrtare Mënyra postelegrafike Përmes korespodentëve Mënyra e vetëregjistrimit përmes pyetësorëve.

16.Varesisht nga qëllimi i kërkimit, natyra e dukurisë dhe rethanat në tëcilat gjendet dukuria dallojm këto lloje të vrojtimit.

Vrojtimi sipas kohës – (të vazhdueshme dhe jo të vazhdueshme) Vrojtimi sipas vëllimit – (vrojtim i përgjithshëm dhe i pjesshëm)

17.Cilët janë format kryesore të vrojtimit të pjesshem?

Format kryesore të vrojtimit të pjesëshëm janë: Mostra (merret vetëm një pjesë e rastësishme) Anketa (ankohet vetëm një pjesë e rastësishme) Monografia (hulumtohet detalisht një njësi)

18.Cilët janë llojet e gabimeve statistikore?

Gabimet e reprezentimit (përfaqësimit)- e rastësishme dhe të qëllimta Gabimet e regjistrimit

19.Grupimi i të dhenave sipas kriterit të pergjithshem bazohet ne tri mënyra edhe ate:

Grupimi sipas qëllimit (grupimi tipologjik-sipas tipareve ), (grupimi i variacionit-ndryshimet brenda një tipari), (grupimi analitik-lidhje e ndërsjellë shkakë pasojë)

Grupimi sipas llojit të tiparit (grupimet cilësore, sipas tiparëve sasiore, sipas tiparëve kohore dhe hapsinore).

Grupimi sipas vëllimit të tiparit (grupimi i thjeshtë-vetëm një tipar, i kombinuar- dy a më shumë tipare dhe rigrupimi- një numër i madh grupesh shëndrohet në më të vogla).

20.Radhitja e të dhënave statistikore mundë të kryhet?

Radhitja me dorë Radhitja me mjete teknike dhe Radhitja e kombinuar

3

21.Varësisht nga tipari që tregojnë variacionet seritë munde ti ndajme:

Seri të thjeshta (të dhëna për një tipar) Seri të përbëra (të dhëna për më shumë tipare) Seri hapsinore (teritoriale) Seri kohore ose kronologjike Seri të shpërndarjes

23.Cka janë pasqyrat statistikore?

Pasqyrat statistikore janë formë ku paraqiten seritë dhe rezultatet nga materiali i përmbledhur dhe i grupuar statistikor.

24.Sipas përmbajtjes të pasqyrës statistikore dallojmë?

Pasqyra të thjeshtastatistikore (për një tipar) Pasqyra të përbëra (dy a më shumë tipare) Pasqyra të kombinuara statistikore

25.Ne bazë të përmbajtjes, natyrës, ecurisë së dukurisë dhe menyrës së ndërtimit, grafet statistikore mundë të ndahen ?

Grafet statistikore mundë të ndahen në 3 grupe:1) Diagrame (grafe me figura gjeometrike)2) Kartograme dhe 3) Ideograme (grafe me figura natyrale).

26.Cka kuptoni me fazën e analizes statistikore?Analiza statistikore paraqet fazën e tretë dhe të fundit të dukurisë masive, kjo fazë pëson pas hulumtimeve të bëra rreth vrojtimit, përmbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike të të dhënave të sistemuara.

27.Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si?

Analiza statike (gjendja se si është dukuria) Analiza dinamike (zhvillimi i dukurisë)

Analiza reprezentative (mostra, anketa) Analiza regressive (raportet në mes dukurive të ndryshme)

28.Gjate analizes se distribuimite te serive me se shumti perdoren keto elemente: Madhësitë mesatare Treguesit e variabilitetit Invariantet bazëInvariantet e momenteve statistikore

29.Cka paraqesin momentet statistikore? Momentet statistikore janë tregues relative të asimetrisë dhe kurtozisit, të cilat paraqesin devijimin e nivelizuar mesatar të të dhënave në seri nga mesatarja e tyre.

4

30.Cka paraqet probabilitetit?Teoria e probabilitetit meret me aplikimin e metodave te ndryshme ne analizen e raporteve te dukurive stohastike.

31.Cilet jane llojet e probabilitetit?►Llojet e Probabilitetit:- Prova e rastit- Ngjarja- Probabilitetiingjarjes- Probabiliteti me kusht- Probabiliteti pa kusht- Ndryshoret e rastit dhe llojet e tyre

32.Cka paraqet prova?Prova paraqet, parasheh ose përcakton dukuri potenciale (hudhja e monedhës).

33.Per cka perdoret analiza e regresionit?Analiza e regresionit me se shpeshti perdoret per hulumtimin evariabilitetit te dy fenomeneve, nga te cilat njera paraqitet si variabel epavarur kurse tjetra e varur.

34.Cka quajme teresi e pergjithshme dhe cka quajm moster?Dukurin te cilen deshirojme ta studijojme dhe analizojme quhet teresie pergjithshme, ndersa pjesa e nejsive qe zgjidhet per vrojtim konkret quhet moster.

35.Cilet jane metodat kryesore te zgjedhjes se njesive ?Metodat kryesore te zgjedhjes se njesive jane:Metoda e rastit (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme)Mostra e kualifikuar (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme me pare e regulluar apo kualifikuar)Panel mostra (zgjedhet ne menyre te rastesishme).

USHTRIMEKOEFIÇIENTI I VARIACIONIT - Variacioni paraqet lëvizjet apo ecuritë që

shprehin ndryshimin e sasisë ose cilësisë së atributit të individit (njësitë statistikore) dhe

dukurisë masive(popullimi) në tërësi.

Përmes variacionit si lëvizje, si ecuri dhe si ndryshim zbulohen ligjshmëritë në natyrë,

në ekonomi dhe në shoqëri.(gjatë vrojtimit të fenomeneve të ndryshme , ecuritë e

variacionit mund të analizohen në hapësirë, dhe në një periudhë të caktuar)

STATISTIKA si shkencë merret me studimin e ligjshmërive të variacionit të

atributit në kuadër të njësisë statistikore masive në tërësi

Kemi dy lloje:

Variacioni si ndryshim-paraqet ndryshimin(diferencën) në mes madhësis raportuese dhe

paraprake të një atributi apo tipari.

Përmes formulës aritmetike ndryshimi i dy niveleve të atributit të vrojtuar tregon

variacionin për periudha (nivele) të caktuara kohore.

Nëse nivelet (të dhënat) e atributit (tiparit) i shënojmë me N

5

Variacioni i ndryshimit Ë1 = N2-N1,N2,N3,.....Ni(i =1,...n) dhe variacionin

me :Ë1rË2rË3r....Ëi(i=1...n) atëherë variacioni si ndryshim përmes formulës do të shprehet

si vijon

Vd1=N2-N1

Vd2=N2-N1

Vd3=N2-N1

Vdi=Ni+1-Ni

Vdn_1=Nn-Nn_1

Rezultat e fituara nga raportet e paraqitura në formulë, përmes niveleve të

periudhave të ndryshme kohore, tregojnë shtimin, stagnimin apo rënien e dukurisë së

vrojtuar.

Shembull : Procesi i regjistrimit të studentëve në vitn e parë pranë Fakultetit të

Administratës publike - USHT gjatë periudhës kohore 2006/2010 është si më poshtë.

1.Në vitin shkollor 2006/2007 u regjistruan 500 studentë (N1)

2. --------------------- 2007/2008 u regjistruan 460 studentë (N2)

3. -------------------- 2008/2009 u regjistruan 460 studentë (N3)

4. -------------------- 2009/2010 u regjistruan 480 studentë (N4)

Nga llogaritja e maleve të serisë së dhënë në vijim fitohet

variacioni si ndryshim Vd1Vd1=N2-Nl= 460-500 = -40 (zbritje)Vd2=N3-N2= 460-460 = 0 (stagnim)Vd3=N4-N3= 480-460 = 20 (rritje)Rezultatet e fituara tregojnë ecuri të ndryshme të variacionit nëpër periudha të ndryshme të krahasimit të niveleve: 1. N2 < N12. Ë = 03. N4 > N3 ku Vd3 > 0

VARIACIONI SI KOEFICIENT - është shprehje relative dhe paraqet raportin në

mes dy niveleve të vrojtuara të atributit, njësisë statistikore ose dukurisë masive.

Rezultatet e fituara nga raporti i dy të dhënave, përkatësisht i nivelit raportues dhe atij

paraprak paraqet koeficientin e ndryshimit të vlerave relative, i cili shpreh

karakteristikat cilësore të dukurisë së vrojtuar.

• Simbolet e atributit, të njësisë ose dukurisë statistikore të vrojtuara janë :

N1,N2,N3,...Ni(i=1..n), ndërsa variacioni si koeficient :

Vk1,Vk2,Vk3,...Vki(i=1.n) ku kemi këto shprehje :

- Vkl =N2/N1 , Vk2 =N3/N2, Vk3 =N4/N3............. Vk1 =Ni+1/Ni

-Edhe te koeficientët e fituar të variacionit nga ecuritë e dukurisë së vrojtuar mund të

paraqesin variacionin në rritje, stagnim ose rënie.Mirëpo, koeficienti nuk mund të jetë më i

vogël se zero, por sillet prej zero deri në plus pa kufij (0,+&)

6

Shembull.Seria e e prodhimit të këpucëve në një ndërmarrje, e shprehur në palë:

• Viti 2006 prodhuar 8000 (Nl) Viti 2008 prodhuar 10000 (N3)

• Viti 2007 prodhuar 10000 (N2) Viti 2009 prodhuar 9 000 (N4)

Nga seria e dhënë e dukurisë së vrojtuar, në vijim llogaritetvariacioni si koeficient:

Vk1 =N2/N1 =10 000/8000 = 1.25 (rritje)

Vk2 =N3/N2 = 10000/10000=1,00 (stagnim)

Vk3 =N4/N3 = 9000/1000 =0,9 (zbritje)

Nga të dhënat(nivelet) e krahasuara, duke i vën në raport N2 me N1 fitohet variacioni si

koeficient më i lartë se një (Vkl >1), çka do të thotë se dukuria e vrojtuar, përkatësisht

prodhimi i i këpucëve vitin 2007, në raport me vitin 2006, ishte më i lartë për 0,25 të

vlerës së koeficientit, ose shprehur në përqindje, ishte 25% më i lartë/D.m.th në këtë rast

dukuria tregon tendencë rritje edhe përmes shprehjes së variacionit të koeficientit,sepse Vk1

>1.Në rastin tjetër Vk2 >1,0, cka do të thotë se dukuria stagnon, ndërsa Vk3 <1, ku

dukuria rezulton fakti se dukuria në krahasim me periudhën paraprake është në rënie e sipër.

7

FAZAT E STUDIMIT STATISTIKOR - SERITË STATITISTIKOREFrekuenca absolute, relative dhe komulative

Seritё statistikore formohen prej dy madhёsive: varianteve dhe modaliteteve tё njё tipari.Seritё formohen varёsiht nga qёllimi i hulumtimit dhe natyra e njёsisё sё vrojtuar nё bazё tё rednitjes sё tё dhёnave nё mёnyrё vertikale dhe horizontale.

Të dhënat (modalitetet) e tiparit (x) Frekuencat /denduritë (f)X1 f 1X2 f 2X3 f 3X4 f 4Xn f n∑ ∑F

Kolona e parë , te seria e variacionit , paraqet të dhënat , përkatësisht variantet e tiparit, ndërsa shtylla e dytë paraqet dendurinë, shpërndarjen , frekuencën.Frekuenca paraqesin numrin përsëritës të modalitetit të tiparit në serinë e dhënë statistikore.

Fazat e studimit statistikor

Shembull. Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore.Karakteristikë elementare e popullatës është masa , numri i këpucëve të blera. Frekuenca absolute gjendet duke numëruar se sa blerës ka me numër të caktuar këpucësh.Të dhënat e blerësve (numrat e këpucëve të shitura):

Koment : 1 blerës ka blerë këpucë me nr.36

Faza1

36 37 38 39 4038 39 38 40 4140 41 42 40 4240 40 41 40 4241 42 43 41 4241 43 44 41 4341 41 41 44 4244 41 42 41 41

Nr. I X

Blerësit fa

36 137 138 339 240 741 1342 743 344 3∑ 40

8

FREKUENCA RELATIVE fr1 = fa1/∑fa

Shembull: Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore këpucësh.karakteristikë elemenare t[ popullacionit ështa masa 0 numri i këpucëve të blera. Të gjendet frekuenca relative dhe procentuale (përqindja).

Fr1 = 1/40 = 0,025 ku % llogaritet0,025*100 = 2,5 %Nr. I

XBlerësit

fafr %

36 1 0,025 2,5 %37 1 0,025 2,5 %38 3 0,075 7,5%39 2 0,05 5%40 7 0,175 17,5%41 13 0,325 32,5%42 7 0,175 17,5%43 3 0,075 7,5%44 3 0,075 7,5%

∑ 40 100%

9

1

2

3

7

13

7 3 2 1

36 37 38 39 40 4142 43 44 Nr. i kёpucёve

poligon

Mënyra grafike f(a) Blerёsit

FREKUENCA KOMULATIVEShembull : Popullacioni e përbën 200 nxënës të një shkolle të mesme gjatë vitit shkollor 2008/2009.Karakteristikë është pesha e nxënësve të dhënë në interval prej 3 kg.Të gjendet frekuenca përmbledhëse, frekuenca relative nga ajo komulative , mesi i intervalit si dhe të paraqiten grafikisht të dhënat.

Që ta gjejmë frekuencën komulative duhet që nr. e parë të fab ta përshkruajmë. psh 0 -, pastaj e mbledhim numrin e parë të fk dmth 0 me numrin e dytëtë fr.absolute psh.2 atëherë 0+2=2 , 2+7=9.............kur arrijm në fund duhet që nr. i fundit të jetë në përputhje me shumën e frekuencës absolute dmth 200=200.

Mesi i intervalit llogaritet si mesatare e thjeshtё nё mes tё dy niveleve tё njё intervali (psh. 40+43/2=41.5).Mënyra grafike :

Pesha XNr. i nxënësve

fafk fr Mesi i intervalit

Gjer 40 0 0 0:200=0 0

40-43 2 2 2:200=0,01 41.5

43-46 7 9 9:200=0,045 44.5

46-49 40 49 49:200=0,245 47.5

49-52 87 136 136:200=0,680 50.5

52-55 58 194 194:200=0,970 53.51

55-58 5 199 199:200=0,995 56.50

58-61 1 200 200:200=1 59.5

∑ 200

10

40 43 46 49 52 55 58 61 Pesha

1

2

5

7

40

58

8

7

7 3 2 1

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Mёnyra e poligonit(nё mesin e brinjёve tё drejtkёndёshit)

Mёnyra e histogramit(drejtkёndёshi)

Nr. i nxёnёsve

Paraqitja grafike e frekuencave komulative

Dijagramet sipërfaqësore (histogramet) -paraqitet madhësia,struktura apo vëllimistudiuara statistikore.Në boshtin e abshisës vendosen periudhat kohore ndërsa në boshtin e ordinatës vendoset vëllimi apo madhësia e dukurisë. Distribucioni komulativ i frekuencave(ogiva) shfrytёzohet pёr tё pёrcaktuar se sa ose çfarё pjese e tё dhёnave sjell nёn apo mbi vlerёn e caktuar.Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija qё paraqet lidhjen e pikave tё formuara nё mes tё frekuencave dhe klasёve.

Prezentimi grafik i distribucionit tё frekuencave

Janё 3 forma pёr paraqitjen grafike tё distribucionit tё frekuencave: HISTOGRAMI POLIGONI I FREKUENCAVE DISTRIBUCIONI KOMULATIV I FREKUENCAVE

Histogrami – paraqet grafikun nё tё cilёn klasёt shёnohen nё abshisё(boshtin horizontal) , kurse frekuencat e klasave shёnohen nё boshtin ordinatё (boshtin vertikal) tё sistemit koordinativ.

11

29

49

136

194

19

9

2

00

7 3 2 1

40 43 46 49 52 5558 61 Pesha

Lakorja Komulative

Nr.f(x)

Mesi i intervalit

41,5 44,5 47,5 50,5 53,5 56,5 59,.5

PASQYRAT STATISTIKORE

Diagramet sipërfaqësore(histogramet)-- Diagramet sipërfaqësore të katrorit- Diagramet sipërfaqësore të rrethit- Diagramet strukturale të sipërfaqes së rrethit

Shembull: Gjat periudhës 3 vjecare në një bashkësi komunale të Maqedonisë kan bërë kontrollime sistematike sipas viteve dhe familjeve si në vijim:

- në vitin 2006 janë kontrolluar 450 familje- në vitin 2007 janë kontrolluar 1150 familje- në vitin 2006 janë kontrolluar 1450 familje

Numri i familjeve për çdo vit paraqet sipërfaqen e katrorit , ndërsa ndërtimi i katrorit varet prej bazës (brinjës) llogaritëse të tij e cila është e barabartë me rrënjën katrore të sipërfaqes.

Formula e sipërfaqes së katrorit është S=a2 , atëherë brinja është e barabartë me √S përkatësisht a=√a2 .Nga formula dhe të dhënat e dukurisë së krahasuar nëpër periudha kohore, rezultojnë llogaritjet në vijim:

Viti 2006 S=450 a=√S = √450 = 21,2 cm (shkalla e zvoglimit 21,2 : 10 = 2,12 cm)Viti 2007 S=1150 a=√S = √1150 = 33,9 cm (shkalla e zvoglimit 33,9 : 10 = 3,39 cm)Viti 2008 S=1450 a=√S = √1450 = 38,1 cm (shkalla e zvoglimit 38,1 : 10 = 3,81 cmMe rastin e ndërtimit të grafikëve duhet përdorur edhe shkallën e zvogëlimit të të dhënave të krahasuara.

Në rastin konkret, brinjët e katrorëve do të ndërtohen me shkallën 1:10 cm, atëherë në bazë të elementeve të llogaritura,paraqitja grafike përmes katrorëve dhe krahasimi i shtimit të vëllimit sipas periudhave kohore jepet si në vijim:

Viti 2006 Viti 2007 Viti 2008

a = 21,2 (2,12)

a = 33,9 (3,39)a = 38,1 (3,81)

Sic shihet nga katrorët paraqitja grafike përmes këtyre diagrameve, mundëson zbulimin e dukurisë përmes krahasimit të shtimit të vëllimit të saj nëpër periudha kohore.

12

S = 450

S = 1150 S = 1450

Diagramet sipërfaqësore të rrethit

Përdoren për paraqitjen grafikë të dy a më tepër dukurive masive.Rrethi mund të ndërtohet nëse rrespektohen rregullat e gjeometrisë(π=3,14).E rëndësishme e këtij diagrami është që cdo paraqitje grafike me anë të rrethit duhet të llogaritet rrezja e rrethit (r).Në bazë të formulës gjeometrike të rrethit, sipërfaqja e rrethit zgjidhet përmes formulës: S=r2

ndërsa rrezja e rrethit

Viti 2006 S=450 S=r2x π ; 450=r2 x π ; r = √ ------ ; r =11,5

Viti 2007 S=1150 S=r2x π ; 1150=r2 x π ; r = √ ----- ; r =19,1

Viti 2008 S=1450 S=r2x π ; 1450=r2 x π ; r = √ ------ ; r =21,5

2006 2007 2008

Në bazë të llogaritjeve rezultojnë vlerat e rrezeve për 3 rrathë:11,5 : 10 = 1,1519,1 : 10 = 1,9121,5 : 10 = 2,15

Pos si tërësi krahasuese grafet e formës së rrethit mund të paraqesin edhe strukturën e dy a më shumë dukurive statistikore .Pra paraqitjet e elementeve përbërëse të dukurisë masive në sipërfaqen e tërësishme të rrethit quhen DIAGRAME STRUKTURALE TË SIPËRFAQES SË RRETHIT

Si bazë për llogaritjen e strukturës së elementeve të një dukurie masive statistikore shërben vëllimi i saj i barazuar me 100% e sipërfaqes së rrethit.Shembull: Struktura e mjeteve kryesore të disa ndërmarjeve ekonomike në Republikën e Maqedonisë, sipas periudhave kohore të viteve: 2006, 2007, 2008 dhe 2009.

ElementetMjetet kryesore në mijë euro € Struktura në %

2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009Mjetet kryesore Gjithsejt 100.000 200.000 300.000 400.000 100 100 100 100Objektet ndërtimi 60.000 100.000 150.000 280.000 60 % 50 % 50 % 70 %Pajisje 30.000 50.000 90.000 80.000 30 % 25 % 30 % 20 %Të tjera 10.000 50.000 60.000 40.000 10 % 25% 20 % 10 %

Të gjindet shuma e përgjithshme e mjeteve kryesore dhe të paraqitet struktura e tyre në % për çdo vit. Të gjenden shkallët e sipërfaqes së rrethit duke shumëzuar numrin relativ të përqindjes, të secilit element të mjeteve kryesore me 3,6 %.

Nëse aplikohet metodologjia e llogaritjes, atëherë nga shembulli i analizauar do të fitohen këto rezultate:

13

r=√(π=3,14)Sπ

4503,14

11503,14 14503,14

r= 11,5 r= 19,1 r=21,5

Për vitin 2006360o : 100 = 3,660 x 3,6 = 216 o

30 x 3,6 = 108 o

10 x 3,6 = 36o

---------------------100 x 3,6 = 360 o

Për vitin 2007360o : 100 = 3,650 x 3,6 = 180 o

25 x 3,6 = 90 o

25 x 3,6 = 90o

---------------------100 x 3,6 = 360 o

Për vitin 2008360o : 100 = 3,650 x 3,6 = 180 o

30 x 3,6 = 108 o

20 x 3,6 = 72o

---------------------100 x 3,6 = 360 o

Për vitin 2009360o : 100 = 3,670 x 3,6 = 252 o

20 x 3,6 = 72 o

10 x 3,6 = 36o

---------------------100 x 3,6 = 360 o

2006

216o108 o

36o

2007

180o

90 o

90o

2008

180o

108 o

72o

2009

252o

72 o

36o

Llogaritja e rrethit në aspektin logjik:216-180=36 o

108-90=18 o

90-36=54 o

54-18=36 o

ANALIZA STATISTIKORE

Kjo faze peson pas hulumtumeve te bera reth vrojtimit, permbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike te te dhenave te sistemuara.Mbështetet në zbatimin e metodava shkencore.Analiza rëndësi të veçantë ka, sidomos në krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore të dy e më tepër dukurive, në kohë dhe hapsirë.

• Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si:- Analiza statike (gjendja se si eshte dukuria)- Analiza dinamike (zhvillimin e dukurise)- Analiza reprezentative (mostra, anketa)- Analiza regresive (raportet ne mes dukurive te ndryshme)

Rëndësia e madhësive absolute dhe relative o Madhesit absolutejane tregues qe shprehin sasine e nje dukurie te caktuar te cilet

paraqesin baze per cdo hulumtim statistikor.Madhesit absolute jane te dhena te fituara nga fazat paraprake te vrojtimit.

o Ato jane konkrete, ne forme te numrave dhe tregojne madhesine e tiparit te dukurise se

studiuaro Madhesit absolute paraqiten si:o Madhesi individuale (madhesia e dukurise ne kohe te caktuar) o Madhesi te pergjithshmeo Madhesit relative shprehin raportin ne mes te madhesise se nje treguesi ndaj

madhesise se treguesit tjeter

14

MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE

Mesataret algjebrike(llagaritura): janë ato të cilat llogariten me ndihmën e formulave tëcaktuara matematikore, dhe të cilat gjatë llogaritjes përfshijnë të gjitha të dhënat të një seriestatistikore.Quhen mesatare algjebrike sepse përllogaritjet e tyre bazohen në formulat algjebrike.Mesataret e pozicionit përcaktohen varësisht nga pozita e tyre që kanë në serinë statistikore,respektivisht caktohen në mënyrë emperike prej vlerave konkrete të serisë statistikore.Mesataria aritmetike (hulumtimi i dukurive statistikore): perdorim me cilesor ka te serite homogjene(te ngjajshme) te njesive statistikore.

Mesatarja aritmetike e thjeshtë përfitohet në bazë të pjesëtimit të shumës së mbledhur të varianteve(të dhënave) individuale me numrin e tyre në tërësi.(numëruesi/emëruesi)

ose shkurtimisht

Kjo formulë e shprehur me numra të një serie duket kështu:

P.Sh.Nëse kemi dhjetë(10) konteste ekonomike të paraqitura në një gjykatë, të shprehura në mijëra euro : X : 15,26,42,48,54,57,62,63,70,83.

Pra vlera emesatare e kontesteve ekonomike të paraqitura ësht 52 mijë euro.Mesatarja e fituarplotëson kushtet më parë të plotësuara, sepse ësht caktuar në mënyrë objektive dhe gjendetnë mes të vlerës minimale (15) dhe vlerës maksimale(83) të serisë statistikore. 5

Mesatarja aritmetike e ponderuar - paraqet raportin e shumës së fituar si rezultat, nga shumëzimi i të dhënave me frekuencat e tyre, pjesëtuar me shumën e madhësive të frekuencave të varianteve të serisë.

P.Sh. Të dhënat e anketës së zbatuar mbi numrin mesatar të anëtarëve të familjeve në Kumanovë. (Sipas dendurive absolute)

Të dhënat numerike në tabelë prezantojnë 100 familje të anketuara në Kumanovë, përkrah numri i anëtarëve të familjes.

15

MESATARJA HARMONIKEDefinohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurive të caktuara.Mesatarja harmonike e thjeshtë – paraqet raportin në mes të varianteve dhe shumës së vlerave të tyre.E devijueshme – kur të dhënat nuk janë të grupuara përdoret mestarja e thjeshtë harmonike(4) sipas formulës:ShembullKoha e harxhuar e 4 punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi është;

Nëse përdoret mesatarja e thjeshtë harmonike do të fitohet një mesatare e gabuar, sepse 79:4=19,75 minuta.Nga kjo mesatare do të rezultonin më tepër se 4 produkte:

0,68103 + 1,09722 + 1,10955 + 1,3908 = 4,2786

Nr. i anëtarëve të familjes(x)

Numri i familjeve (f) Gjithsej (x+f)

9 2 188 3 247 8 566 24 1445 31 1554 18 723 9 272 4 81 1 1

Gjithsej 100 505

Puntoret Koha e harxhuar per njesi

I 29,0II 18,0III 17,8IV 14,2

Gjithsej 79.0

16

=21,64

Mesatarja harmonike e ponderuar– në rastet kur të gjitha variantet e ndryshme të cilët nuk janë të një rëndësie të njejtë, atëherë sikurse llojet e tjera të mesatares përdoret mesatarja e ponderuar e cila llogaritet nvpërmjet formulës:

Të supozojmë: Nr. i banorëve dhe numri i banorëve në 1 km2 në katër vende është:

MESATARJA GJEOMETRIKE

Përdoret për llogaritjen e ritmit të mesatares të zhvillimit të dukurisë së analizuar.Metoda e mesatares gjeometrike përdoret kur seritë e të dhënave posedojnë vecori të progresionit gjeometrik ose kur kemi tregues relativ.

përkatësisht formula e përgjithshme:

1.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?

Territori Numri i banorëve në 1 km2

(X)Numri i banorëve

(f)A 94 5.250,000B 91 1.953,000C 114 1.245,000D 38 530,000

Gjithsej 8,978,000

17

P

2.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

X f X*f x-x (x-x)2 F(x-x)2

40 4 160 40-32.3 = 7.7 7.72 = 59.29 4*59.29 = 237.1636 24 864 36-32.3 = 3.7 3.72 = 13.69 24*13.69 = 328.5432 23 736 32-32.3 = -0.3 -0.32 = 0.09 23*0.09 = 2.0718 8 144 18-32.3 = -14.3 -14.32 = -204.49 8*204.49 =

1635.92126 59 1904

3. paraqiten ne menyre grafike keto te dhena ne tabele .

Mosha Nr i punëtorëve

18-22 15 1522-26 18 3326-30 22 5530-34 14 6934-38 12 8138-42 20 101

Gjithsejt 101

18

15+18=3333+22=5555+14=6969+12=8181+20=101

Σfi-w1)

Viti Produkti shoqërorë

E ardhura kombëtare

Amortizimi

2001 650 450 802002 720 520 1202003 450 350 602004 750 850 140

Fig.1 Paraqitja grafike e të dhënave

I N D E K S A T19

850

800

750

700

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

2001 2002 2003 2004

8060

120140

520

720

Produkti shoqërorë

E ardhura kombëtare

Amortizimi

shembulli:Investimet në fondet themelore të sektorit privat të zejtarisë në RM në periudhën 2003-2007 ka lëvizur në këtë drejtim

Viti Investimet Ib -In. Bazë

Iv- In.vargor

2003 218067 100 /2004 334678 153.47 153.472005 452024 207.28 135.062006 494378 226.70 109.362007 547248 250.95 110.69Llogaritni Indeksat bazik nëse baza është viti 2003 dhe pastaj llogaritni indeksat zinxhir(vargor).

Shembull.Të dhënat mbi donacionet të SHBA-ve në Kosovë gjat periudhës 1999 – 2005 janë dhënë në tabelën që vijon, të llogariten indeksat bazik ku për vit bazë merret

20

Indeksi bazikIndeksi vargor(zinxhir)

a) Viti 1999b) Viti 2003c) Viti 2005

Si dhe të gjendet indeksi zinxhir.

Viti Shuma Ib -1999 Ib -2003 Ib -2005 Iv1999 120.125 100 306.36 546.02 /2000 75.010 62.44 191.30 340.95 62.442001 95.000 79.08 242.28 431.81 126.642002 21.000 17.48 53.55 95.45 22.102003 39.210 32.64 100 178.22 186.712004 25.000 20.81 63.75 113.63 63.752005 22.000 18.31 56.10 100 88

21

a) Viti 1999 b) Viti 2003 c) Viti 2005

Indeksi zinxhir (vargor)

Shembull.Të llogaritet indeksi individual dhe grupor të vëllimit fizik ku si bazë të merret viti 2005

Viti Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

2005 420 220 360 5402006 340 440 380 4802007 540 380 420 6202008 620 520 280 38

ÇmimetProdukti

AProdukti

BProdukti

CProdukti

D220 180 160 240180 140 180 220320 220 240 180240 240 140 140

Viti Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

2005 100 100 100 1002006 80,95 200 105,5 88,882007 128,5 172,7 116,6 114,82008 147,6 236,3 77,77 70,37

ÇMIMET

A + B + C + D = 92400 + 33000 + 37800 + 129600 = 31260074800 + 66000 +60800 + 115200 = 316800118000 + 57000 + 67200 + 148800 = 391800136400 + 78000 + 48000 + 91200 = 345600

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

92400 33000 57600 129600 31260074800 66000 60800 115200 316800

118000 57000 67200 148800 391800136400 78000 48000 91200 345600

22

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

Produkti A

2005420 220 = 924002006 340 220 = 748002007 540 220 =1180002008 620 220 = 136400

Produkti B

2005 220 = 330002006 440 150 = 660002007 380 150 =570002008 520 150 = 78000

Produkti C

2005 360 160 = 576002006 380 160 = 608002007 420 160 =672002008 280 160 = 48000

Produkti D

2005 540 240 = 1296002006 480 240 = 1152002007 620 240 = 1488002008 380 240 = 91200

VITI 2006

VITI 2007

VITI 2008

Shembull. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogaritenindekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.

ProduktetProduktet e realizuara Çmimet në kg

2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008q0 q1 q2 q3 p0 p1 p2 p3

A 20 18 19 22 20 16 24 22

B 14 16 13 19 35 18 22 16

C 18 13 18 14 38 19 18 24

D 16 12 22 16 42 22 14 28

Produktet 2005 q0 p0

2006 q1 p1

2007 q2 p2

2008 q3 p3

A 400 288 456 489

B 490 288 286 304

C 684 247 324 336

D 672 264 308 448

2246 1087 1374 1572

23

q0 p0

A q0 p0 = 20 B q0 p0 = 14 C q0 p0 = 18 D q0 p0 = 16

q2 p2

A q2 p2 = 19 B q2 p2 = 13 C q2 p2 = 18 D q2 p2 = 16

q1 p1

A q1 p1 = 18 B q1 p1 = 16 C q1 p1 = 13 D q1 p1 = 12

q3 p3

A q3 p3 = 22 B q3 p3 = 19 C q3 p3 = 14 D q3 p3 = 16

Produkti A Produkti B Produkti C Produkti D

TRENDI LINEAR

Shembull.1

Viti y1 x1 x x1 2 yc2001 12 0 0 0 8.82002 10 1 10 1 13.4

2003 18 2 36 4 18.82004 20 3 60 9 22.62005 30 4 120 16 27.2

90 10 226 30

n - numri i viteve

24

y = na + b xx y = a x + b x2

90 = 5a + 10b226 = 10a + 30b / : -2

-23 = 0 - 5b

b =

b = 4.6

90 = 5a + 10b90 = 5a 10 4.6

90 = 5a + 4.6

a = (-1)

a =

a =

a = 8.8

yc/2001 = a + bx

yc/2002 = 8.8 4.6 0 = 8.8

yc/2003 = 8.8 4.6 1 = 13.4

yc/2004 = 8.8 4.6 2 = 18.8

yc/2005 = 8.8 4.6 3 = 22.6

yc/2006 = 8.8 4.6 4 = 27.2

2001 2002 2003 2004 2005

35

30

25

20

15

10

5

dukuria

trendi

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear

Shembull.2

Viti y1 x1 x x1 2 yc2001 8 0 0 0 8.4

2002 12 1 12 1 11.4

2003 16 2 32 4 14.4

2004 14 3 48 9 17.4

2005 22 4 88 16 20.4

72 10 174 90

y = na + b xx y = a x + b x2

72 = 5a + 10b174 = 10a + 30b / : - 2

-15 = 0 - 5b5b = 15

b = b =5

ANALIZA DINAMIKE25

72 = 5a + 10b

72 = 5a 10 3

72 = 5a + 30

-a =

(-1)

a =

a =

a = 8.4

yc/2001 = a + bx

yc/2002 = 8.4 3 0 = 8.4

yc/2003 = 8.4 3 1 = 11.4

yc/2004 = 8.4 3 2 = 14.4

yc/2005 = 8.4 3 3 = 17.4

yc/2006 = 8.4 3 4 = 20.4

25

20

15

10

5

Fig.3 Paraqitja grafike e trendit linear

2001 2002 2003 2004 2005

dukuria

trendi

Viti seria e të dhënave

3 të dhëna 5 të dhëna

1991 55 - -

1992 58 56.3 -

1993 56 58.3 58.6

1994 61 60 59.6

1995 63 61 -

1996 60 - -

26

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

Fig.4 Paraqitja grafike

1991 1992 1993 1994 1995 1996

65

60

55

50

te dhenat

me 3 te dhena

me 5 te dhena

TRENDI I PARABOLLËS

Shembull.1

VitiTë

dhënaty1

Shenjat e periudhës

x1

x1 2 x X3 X2 y

X4 yc

2001 9 -2 4 -18 -8 36 16 8.6

2002 14 -1 1 -14 -1 14 1 15.9

2003 22 0 0 0 0 0 0 18.8

2004 15 1 1 15 1 15 1 17.3

2005 12 2 4 24 8 48 16 11.4

72 0 10 7 0 113 34 -

Muajt Seritë sipas viteve

GjithsejMesatarja mujore(xi)

Indekset stinore2000 2001 2002

1 2 3 4 5 6 7

I 108 102 120 330 110.0 88.0II 102 100 115 317 105.7 84.6III 113 109 135 357 119.0 95.2IV 124 119 160 403 134.3 107.5V 155 135 175 465 155.0 124.0VI 164 138 171 473 157.7 126.2VII 154 140 162 456 152.0 121.6VIII 141 132 134 407 135.7 108.6IX 118 140 112 344 114.7 91.8X 112 107 110 329 109.7 87.8XI 90 100 106 296 98.7 79.0XII 95 105 122 322 107.2 85.8

1476 1401 1622 4499:36 = 124.98

1499.7:12 = 124.98 -

27

y = na + b x+c x2

x y = a x +b x2+c x3

x2 y = a x2 + b x3+c x4

72 = 5a + 0b+10c7 = 0a +10b+0c113 = 10a + 0b+34c /:-2

72 = 5a + 0b +10c-56.5 = - 5a - 0b -17c

15.5 = -7c

c =

c = - 2.2

72 = 5a + 0b+10c72 = 5a + 0b +10 (-2.2)

-a =

-a = -18.8 / (-1)

a = 18.8

7 = 0a +10b+0c

7 = 0 18.8 +10b+0 (-2.2)

7 = 0 +10b+0

- b = / (-1)

b = 0.7

28

yc= a + bx-cx2

yc/2001 = 18.8+0.7 (-2) (-2.2) 4

yc/2001 = 18.8 - 1.4 - (-8.8)

yc/2001 = 18.8 - 8.8 - 1.4

yc/2001 = 8.6

yc/2003 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0

yc/2003 = 18.8

yc/2002 = 18.8+0.7 (-1) (-2.2) 1

yc/2002 = 18.8 – 0.7 – 2.2

yc/2002 = 15.9

yc/2004 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0

yc/2004 = 18.8 – 0.7 – 2.2

yc/2004 = 17.3

yc/2005 = 18.8+0.7 2 (-2.2) 4

yc/2005 = 18.8 – 1.4– 8.8

yc/2005 = 11.4

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles

2001 2002 2003 2004 2005

25

20

15

10

5

Te dhenat

Trendi i parabolles

Në bazë të të dhënave të gjindet mesatarja aritmetike, moda e serisë, të bëhet llogaritja e sakt e asimetrisë(momenti i tretë), devijimi standard dhe të bëhet paraqitja grafike, grupi prej 40 studentëve ka arritur këtë sukses.

Notat(x)

Numri i studentëv

e(y)

fi xi

x-x (x-x)2 (x-x)3 fi (x-x)2

fi (x-x)2

5 5 (fm1) 25 -2.35 5.52 -12.97 27.6 -64.85

6 12 72 -1.35 1.82 -2.45 21.84 -29.4

7 6 (fm2) 42 -0.35 0.12 -0.042 0.72 -0.252

8 4 32 0.65 0.42 0.273 1.68 28.39

9 7 63 1.65 2.72 4.488 19.04 31.41

10 6 60 2.65 7.02 18.603 42.12 111.6

40 294 0.9 17.62 7.092 113 76.89

29

x y = fi xi

5 5 = 256 12 = 727 6 = 428 4 = 329 7 = 6310 6 = 60

Mesatarja aritmetike

MODA

Mo = 6+0

Mo = Mo 3.23

(x – x)2

(-2.35) (-2.35) = 5.52 (-1.35) (-1.35) = 1.82 (-0.35) (-0.35) = 0.12 0.65 0.65 = 0.42 1.65 1.65 = 2.72 2.65 2.65 = 7.02

fi (x – x)3

5 (-12.97) = -64.8512 (-2.45) = -29.46 (-0.042) = -0.252 4 0.273 = 28.39 7 4.488 = 31.41 6 18.603 = 111.6

(x – x)3

5.52 (-2.35) = -12.971.82 (-1.35) = -2.450.12 (-0.35) = -0.0420.42 0.65 = 0.273 2.72 1.65 = 4.488 7.02 2.65 = 18.603

x - x5 - 7.35 = -2.35 6 - 7.35 = -1.35 7 - 7.35 = -0.35 8 - 7.35 = 0.65 9 - 7.35 = 1.65 10 - 7.35 = 2.65

fi (x – x)2

5 5.52 = 27.612 1.82 = 21.846 0.12 = 0.72 4 0.42 = 1.08 7 2.72 = 19.04

VARIANCA

2 =

2= 2.825

DEVIJIMI STANDARD

=

= 1.68

PYETJE DHE DETYRA

30

a3 =

a3

a3= 0.40

m3 =

=1.92

m3

= 1.92

Fig.2 Paraqitja grafike

5 6 7 8 9 10 Nota

15

10

5

Nr i studenteve

1.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2

32 12 384 32- 32.25 = -0.25

0.0625 0.75

25 11 275 25 - 32.25 = -7.25

52.5625 578.188

38 9 342 38 - 32.25 = 5.75

33.0625 297.563

36 8 288 36 - 32.25 = 3.75

14.0625 112.5

40 1289 2 99.75 989

2. Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2

25 12 300 -4.4 19.36 232.3232 11 352 2.6 6.76 74.3629 9 261 -0.4 0.16 1.4433 8 264 3.6 12.96 103.68

40 1177 1.4 39.24 411.8

3. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.

Produktet e realizuara Çmimet në kg

31

MESATARJA ARITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT

MESATARJA AJITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT

Produktet2008 2009 2008 2009

q0 q1 p0 p1

A 50 60 80 90

B 60 55 50 60

C 60 55 50 60

Produktet2008

p1 q0

2009 q0 q1

2008 q1 p0

2008 p0 q0

2009P1 q1

A 4500 3000 4800 4000 5400

B 3600 3300 2750 3000 3300

C 3600 3300 2750 3000 3300

11700 9600 10300 10000 12000

32

Indeksi i Laspajerit

4.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?

Mesi i intervalit

ẋ= = 4000

ẋ= = 6000

ẋ= = 8000

ẋ= = 10000

Paga (xi)Nr i

punëtorëve (fi)

KumulativiMesi i

intervalit (ẋ)

ẋ fi

Deri 3000 4 4 3000 120003000 – 5000 fm1 5 9 Ë1 4000 200005000 – 7000

X1 x2 fm2 7 16 ë2 6000 42000

7000 – 9000 fm3 3 19 8000 240009000 - 11000 6 25 10000 60000Gjithsejt 25 158000

33

MODAMESORJA

5.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?

VitiTë dhënat (investime

t) yi

Shenjat e

periudhë

s xi

x xi 2

yc

2004 35 0 0 0 34.8

2005 40 1 40 1 37.8

2006 38 2 76 4 40.8

2007 42 3 126 9 43.8

2008 49 4 196 16 46.8204 10 438 30

n - numri i viteve

34

y = na + b xx y = a x + b x2

204 = 5a + 10b438 = 10a + 30b / : -2

-15 = 0 - 5b

-b = / (-1)

b = 3

204 = 5a + 10b

204 = 5a 10 3

204 = 5a + 30

a =

a =

a = 34.8

yc = a + bx

yc = 8.8 3 0 = 34.8

yc = 8.8 3 1 = 37.8

yc = 8.8 3 2 = 40.8

yc = 8.8 3 3 = 43.8

yc = 8.8 3 4 = 46.8

2001 2002 2003 2004 2005

35

30

25

20

15

10

5

dukuria

trendi

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear

6.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?

VitiTë

dhënatyi

Shenjat e periudhës

xi

x x 2 X3 X4 X2 y

yc

2004 8 -2 -16 4 -8 16 32 7.4

2005 12 -1 -12 1 -1 1 12 15.2

2006 22 0 0 0 0 0 0 18.6

2007 11 1 11 1 1 1 11 19.6

2008 7 2 14 4 8 16 28 18.260 0 -3 10 0 34 83 78.6

35

y = na + b x+c x2

x y = a x +b x2+c x3

x2 y = a x2 + b x3+c

x4

60 = 5a + 0+10c-3 = 0 +10b+083= 10a + 0b +34c /:-2

60 = 5a + 0 +10c-41.5 = - 5a - 0 -17c

18.5 = -7c

c =

c = -2.6

60 = 5a + 0+10c60 = 5a + 10 (-2.6)

60 = 5a - 26

-a =

-a = -17.2 / (-1)

a = 17.2

-3 = 0 +10b+0

-3 = 10b

b =

b = - 0.3

yc= a + bx-cx2

yc/2004 = 17.2+ (-2) (-0.3) (-2.6)

4

yc/2004 = 17.2+0.6-10.4

yc/2004 = 7.4

yc/2006 = 17.2+(-1) (-0.3) (-2.6)

1

yc/2006 = 17.2+0.3 2.6

yc/2006 = 14.9

yc/2005 = 17.2+0 (-0.3) (-2.6) 0

yc/2005 = 17.2

yc/2007 = 17.2+1 (-0.3) (-2.6) 1

yc/2007 = 17.2– 0.3 – 2.6

yc/2007 = 14.3

yc/2008 = 17.2+ 2 (-0.3) (-2.6) 4

yc/2008 = 17.2–0.6– 10.4

yc/2008 = 6.2

36

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles

2001 2002 2003 2004 2005

25

20

15

10

5

Te dhenat

Trendi i parabolles

Metoda e trendit- Trendiështë tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së

vështruar. Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar

Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë

Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë

linear,parabollikdhe eksponencial. Trendi lineari përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë.Yc= a + bxTrendi i parabollëszgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:

Yc = a+bx+cx2

TRENDI I PARABOLLËS

TRENDI I PARABOLLES- Y=a+bx+cx 2 .

Mirepo per ti tjeshtuar llogaritjet kemi edhe metoden me thjseshtime ku periudha 0 gjindet ne mes te seris kohore. Dhe athere kemi te bejem me gjetjen e parametrave ne menyre direkte.

37

 Meqe ne fillim kur te caktohet se cillin

38