Upload
lulzim-brucaj
View
454
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ushtrime nga lenda e statistike
Citation preview
1. Cka është statistika?
Statistika definohet si shkencë e cila përmes madhësive (vlerave) numerike bën hulumtimin e karakteristikave të dukurive masive. Statistika është shkencë e cila përcjellë zhvillimin e dukurive në natyrë, ekonomi dhe shoqëri.
2. Cka është objekt i hulumtimit të statistikës?
Objekt i hulumtimit të statistikës është studimi i anës sasiore dhe cilësore të dukurive massive si dhe karakteristikave të variacionit të tyre në një kohë dhe vend të caktuar.
3. Cilet janë metodat e statistikës?
1) Induksioni (nga individualja tek e përgjithshmja)2) Deduksioni ( nga e përgjithshmja tek individualja)3) Analiza (shpërndahen dukuritë)4) Sinteza (bashkon dukuritë)5) Metodae analogjisë (lidhshmërisë)6) Metoda representative7) Metoda grafike
4. Cilët janë parimet e shoqeatës statistikore?
1) Aftësimi i ekspertëve të statistikës2) Këmbimi i zbulimeve shkencore dhe përvojës3) Miratimi i metodologjisë unike 4) Objekti dhe përmbajtja e veprimtarisë statistikore5) Harmonizimi i afateve në hulumtimin statistikorë 6) Çështja e publikimeve statistikore si dhe format e këmbimit ndërkombëtarë.
5. Cka kuptoni me dukurinë masive?
Dukuria masive ( popullimi) paraqet çdo bashkësi të ndryshme njerëzish, objektesh, sendesh, rastesh etj.Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore.
6. Cka kuptoni me njesinë statistikore?
Njesia statistikore (individi) paraqet njesitë përbërëse të popoullimit. Psh. Njesia statistikore (individi):
1) Suksesi i studentëve në fakultet,2) Punëtorët e një lëmie të ekonomisë kombëtare,3) Harxhimet mujore të telefonit në ndërmarje,4) Harxhimet ditore të energjisë etj.
7.Në sa njesi matëse të vecanta e hulumton statistika njesinë statistikore?
Statistika hulumton njesinë statistikore në këto njesi matëse të veçanta:1) Njesia e vëllimit të dukurisë (regjistrimit, numrimit, raportimit të një dukurie)2) Njesia e raportimit (evidentimit)3) Njesia për matjen e variacionit (variance, devijimi standard dhe disperzioni)
1
8. Cka është tipari dhe sa lloje të tipareve dallojmë?
Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njesitë quhet TIPAR. Kemi dy lloje të tiparëve:
1) Tipare sasiore 2) Tipare cilësoreTiparet indajmë:
Sipas tipit (mosha, pasha, numri I studentëve) Sipas formës (mënyrës së krijimit) Sipas përmbajtjes (brendisë)
9.Cka paraqet variacioni?
Variacioni paraqet lëviyjet që shprehin ndryshimin e sasisë ose të cilësisë së tiparit dhe dukurive masive në tërësi.
10. Në sa forma paraqitet variacioni?
Variacioni paraqitet në dy forma:1) Variacioni si ndryshim dhe 2) Variacioni si koeficient
11. Nga se varen rezulltatet e fituara nga analiza statsitikore?
Rezultatet e fituara nga analiza statistikore varen: Nga aplikimi i metodave kërkimore dhe Nga cilësia e të dhënave të grupuara të dukurisë
12. Cilët janë fazat e punës kërkimore?
Vrojtimi statistikor Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave Përpunimi dhe analiza statistikore Publikimi i rezultateve
13.Cka kuptoni me fazën e vrojtimit statistikor?
Vrojtimi statistikor bën regjistrimin dhe grumbullimin e të dhënave për dukurit masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme.
• Këtu bëhet verifikimi i tër dokumentacionit• Bëhet pregaditja rreth organizimit më të mirë• Bëhet kontrollimi dhe verifikimii qëllimit dhe detyrës së dhënë• Bëhet grumbullimi i materialit i cili do të jetë lëndë e përpunimit në fazat e tjera të
hulumtimit.
2
14.Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë sa lloje të vrojtimit dallojme?
Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë: Vrojtimi i drejtëpërdrejt Vrojtimi përms dokumenteve Vrojtimi sipas deklarimit.
15.Sipas menyrës së vrojtimit, grumbullimi i të dhënave kryhet përmes këtyre formave:
Mënyra ekspeditive (ekspertët statistikor) Përmes thyerjes zyrtare Mënyra postelegrafike Përmes korespodentëve Mënyra e vetëregjistrimit përmes pyetësorëve.
16.Varesisht nga qëllimi i kërkimit, natyra e dukurisë dhe rethanat në tëcilat gjendet dukuria dallojm këto lloje të vrojtimit.
Vrojtimi sipas kohës – (të vazhdueshme dhe jo të vazhdueshme) Vrojtimi sipas vëllimit – (vrojtim i përgjithshëm dhe i pjesshëm)
17.Cilët janë format kryesore të vrojtimit të pjesshem?
Format kryesore të vrojtimit të pjesëshëm janë: Mostra (merret vetëm një pjesë e rastësishme) Anketa (ankohet vetëm një pjesë e rastësishme) Monografia (hulumtohet detalisht një njësi)
18. Cilët janë llojet e gabimeve statistikore?
Gabimet e reprezentimit (përfaqësimit)- e rastësishme dhe të qëllimta Gabimet e regjistrimit
19.Grupimi i të dhenave sipas kriterit të pergjithshem bazohet ne tri mënyra edhe ate:
Grupimi sipas qëllimit (grupimi tipologjik-sipas tipareve ), (grupimi i variacionit-ndryshimet brenda një tipari), (grupimi analitik-lidhje e ndërsjellë shkakë pasojë)
Grupimi sipas llojit të tiparit (grupimet cilësore, sipas tiparëve sasiore, sipas tiparëve kohore dhe hapsinore).
Grupimi sipas vëllimit të tiparit (grupimi i thjeshtë-vetëm një tipar, i kombinuar- dy a më shumë tipare dhe rigrupimi- një numër i madh grupesh shëndrohet në më të vogla).
20.Radhitja e të dhënave statistikore mundë të kryhet?
Radhitja me dorë
3
Radhitja me mjete teknike dhe Radhitja e kombinuar
21.Varësisht nga tipari që tregojnë variacionet seritë munde ti ndajme:
Seri të thjeshta (të dhëna për një tipar) Seri të përbëra (të dhëna për më shumë tipare) Seri hapsinore (teritoriale) Seri kohore ose kronologjike Seri të shpërndarjes
23.Cka janë pasqyrat statistikore?
Pasqyrat statistikore janë formë ku paraqiten seritë dhe rezultatet nga materiali i përmbledhur dhe i grupuar statistikor.
24.Sipas përmbajtjes të pasqyrës statistikore dallojmë?
Pasqyra të thjeshtastatistikore (për një tipar) Pasqyra të përbëra (dy a më shumë tipare) Pasqyra të kombinuara statistikore
25.Ne bazë të përmbajtjes, natyrës, ecurisë së dukurisë dhe menyrës së ndërtimit, grafet statistikore mundë të ndahen ?
Grafet statistikore mundë të ndahen në 3 grupe:1) Diagrame (grafe me figura gjeometrike)2) Kartograme dhe 3) Ideograme (grafe me figura natyrale).
26. Cka kuptoni me fazën e analizes statistikore? Analiza statistikore paraqet fazën e tretë dhe të fundit të dukurisë masive, kjo fazë pëson pas hulumtimeve të bëra rreth vrojtimit, përmbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike të të dhënave të sistemuara.
27. Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si?
Analiza statike (gjendja se si është dukuria) Analiza dinamike (zhvillimi i dukurisë)
Analiza reprezentative (mostra, anketa) Analiza regressive (raportet në mes dukurive të ndryshme)
28. Gjate analizes se distribuimite te serive me se shumti perdoren keto elemente: Madhësitë mesatareTreguesit e variabilitetitInvariantet bazëInvariantet e momenteve statistikore
29.Cka paraqesin momentet statistikore? Momentet statistikore janë tregues relative të asimetrisë dhe kurtozisit, të cilat paraqesin devijimin e nivelizuar mesatar të të dhënave në seri nga mesatarja e tyre.
4
30.Cka paraqet probabilitetit?Teoria e probabilitetit meret me aplikimin e metodave te ndryshme ne analizen e raporteve te dukurive stohastike.
31.Cilet jane llojet e probabilitetit?►Llojet e Probabilitetit:- Prova e rastit- Ngjarja- Probabilitetiingjarjes- Probabiliteti me kusht- Probabiliteti pa kusht- Ndryshoret e rastit dhe llojet e tyre
32. Cka paraqet prova? Prova paraqet, parasheh ose përcakton dukuri potenciale (hudhja e monedhës).
33. Per cka perdoret analiza e regresionit? Analiza e regresionit me se shpeshti perdoret per hulumtimin evariabilitetit te dy fenomeneve, nga te cilat njera paraqitet si variabel epavarur kurse tjetra e varur.
34. Cka quajme teresi e pergjithshme dhe cka quajm moster? Dukurin te cilen deshirojme ta studijojme dhe analizojme quhet teresie pergjithshme, ndersa pjesa e nejsive qe zgjidhet per vrojtim konkret quhet moster.
35. Cilet jane metodat kryesore te zgjedhjes se njesive ? Metodat kryesore te zgjedhjes se njesive jane:Metoda e rastit (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme)Mostra e kualifikuar (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme me pare e regulluar apo kualifikuar)Panel mostra (zgjedhet ne menyre te rastesishme).
USHTRIMEKOEFIÇIENTI I VARIACIONIT - Variacioni paraqet lëvizjet apo ecuritë që
shprehin ndryshimin e sasisë ose cilësisë së atributit të individit (njësitë statistikore) dhe
dukurisë masive(popullimi) në tërësi.
Përmes variacionit si lëvizje, si ecuri dhe si ndryshim zbulohen ligjshmëritë në natyrë, në
ekonomi dhe në shoqëri.(gjatë vrojtimit të fenomeneve të ndryshme , ecuritë e variacionit
mund të analizohen në hapësirë, dhe në një periudhë të caktuar)
STATISTIKA si shkencë merret me studimin e ligjshmërive të variacionit të
atributit në kuadër të njësisë statistikore masive në tërësi
Kemi dy lloje:
Variacioni si ndryshim-paraqet ndryshimin(diferencën) në mes madhësis raportuese dhe
paraprake të një atributi apo tipari.
5
Përmes formulës aritmetike ndryshimi i dy niveleve të atributit të vrojtuar tregon
variacionin për periudha (nivele) të caktuara kohore.
Nëse nivelet (të dhënat) e atributit (tiparit) i shënojmë me N
Variacioni i ndryshimit Ë1 = N2-N1,N2,N3,.....Ni(i =1,...n) dhe variacionin me
:Ë1rË2rË3r....Ëi(i=1...n) atëherë variacioni si ndryshim përmes formulës do të shprehet si vijon
Vd1=N2-N1
Vd2=N2-N1
Vd3=N2-N1
Vdi=Ni+1-Ni
Vdn_1=Nn-Nn_1
Rezultat e fituara nga raportet e paraqitura në formulë, përmes niveleve të
periudhave të ndryshme kohore, tregojnë shtimin, stagnimin apo rënien e dukurisë së vrojtuar.
Shembull : Procesi i regjistrimit të studentëve në vitn e parë pranë Fakultetit të
Administratës publike - USHT gjatë periudhës kohore 2006/2010 është si më poshtë.
1.Në vitin shkollor 2006/2007 u regjistruan 500 studentë (N1)
2. --------------------- 2007/2008 u regjistruan 460 studentë (N2)
3. -------------------- 2008/2009 u regjistruan 460 studentë (N3)
4. -------------------- 2009/2010 u regjistruan 480 studentë (N4)
Nga llogaritja e maleve të serisë së dhënë në vijim fitohet
variacioni si ndryshim Vd1Vd1=N2-Nl= 460-500 = -40 (zbritje)Vd2=N3-N2= 460-460 = 0 (stagnim)Vd3=N4-N3= 480-460 = 20 (rritje)Rezultatet e fituara tregojnë ecuri të ndryshme të variacionit nëpër periudha të ndryshme të krahasimit të niveleve: 1. N2 < N12. Ë = 03. N4 > N3 ku Vd3 > 0
VARIACIONI SI KOEFICIENT - është shprehje relative dhe paraqet raportin në
mes dy niveleve të vrojtuara të atributit, njësisë statistikore ose dukurisë masive.
Rezultatet e fituara nga raporti i dy të dhënave, përkatësisht i nivelit raportues dhe atij
paraprak paraqet koeficientin e ndryshimit të vlerave relative, i cili shpreh
karakteristikat cilësore të dukurisë së vrojtuar.
• Simbolet e atributit, të njësisë ose dukurisë statistikore të vrojtuara janë :
N1,N2,N3,...Ni(i=1..n), ndërsa variacioni si koeficient :
Vk1,Vk2,Vk3,...Vki(i=1.n) ku kemi këto shprehje :
- Vkl =N2/N1 , Vk2 =N3/N2, Vk3 =N4/N3............. Vk1 =Ni+1/Ni
-Edhe te koeficientët e fituar të variacionit nga ecuritë e dukurisë së vrojtuar mund të
paraqesin variacionin në rritje, stagnim ose rënie.Mirëpo, koeficienti nuk mund të jetë më i
vogël se zero, por sillet prej zero deri në plus pa kufij (0,+&)
6
Shembull.Seria e e prodhimit të këpucëve në një ndërmarrje, e shprehur në palë:
• Viti 2006 prodhuar 8000 (Nl) Viti 2008 prodhuar 10000 (N3)
• Viti 2007 prodhuar 10000 (N2) Viti 2009 prodhuar 9 000 (N4)
Nga seria e dhënë e dukurisë së vrojtuar, në vijim llogaritetvariacioni si koeficient:
Vk1 =N2/N1 =10 000/8000 = 1.25 (rritje)
Vk2 =N3/N2 = 10000/10000=1,00 (stagnim)
Vk3 =N4/N3 = 9000/1000 =0,9 (zbritje)
Nga të dhënat(nivelet) e krahasuara, duke i vën në raport N2 me N1 fitohet variacioni si
koeficient më i lartë se një (Vkl >1), çka do të thotë se dukuria e vrojtuar, përkatësisht
prodhimi i i këpucëve vitin 2007, në raport me vitin 2006, ishte më i lartë për 0,25 të vlerës
së koeficientit, ose shprehur në përqindje, ishte 25% më i lartë/D.m.th në këtë rast dukuria
tregon tendencë rritje edhe përmes shprehjes së variacionit të koeficientit,sepse Vk1 >1.Në
rastin tjetër Vk2 >1,0, cka do të thotë se dukuria stagnon, ndërsa Vk3 <1, ku dukuria
rezulton fakti se dukuria në krahasim me periudhën paraprake është në rënie e sipër.
7
FAZAT E STUDIMIT STATISTIKOR - SERITË STATITISTIKOREFrekuenca absolute, relative dhe komulative
Seritё statistikore formohen prej dy madhёsive: varianteve dhe modaliteteve tё njё tipari.Seritё formohen varёsiht nga qёllimi i hulumtimit dhe natyra e njёsisё sё vrojtuar nё bazё tё rednitjes sё tё dhёnave nё mёnyrё vertikale dhe horizontale.
Të dhënat (modalitetet) e tiparit (x) Frekuencat /denduritë (f)X1 f 1X2 f 2X3 f 3X4 f 4Xn f n∑ ∑F
Kolona e parë , te seria e variacionit , paraqet të dhënat , përkatësisht variantet e tiparit, ndërsa shtylla e dytë paraqet dendurinë, shpërndarjen , frekuencën.Frekuenca paraqesin numrin përsëritës të modalitetit të tiparit në serinë e dhënë statistikore.
Fazat e studimit statistikor
Shembull. Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore.Karakteristikë elementare e popullatës është masa , numri i këpucëve të blera. Frekuenca absolute gjendet duke numëruar se sa blerës ka me numër të caktuar këpucësh.Të dhënat e blerësve (numrat e këpucëve të shitura):
Koment : 1 blerës ka blerë këpucë me nr.36
Faza1
36 37 38 39 4038 39 38 40 4140 41 42 40 4240 40 41 40 4241 42 43 41 4241 43 44 41 4341 41 41 44 4244 41 42 41 41
Nr. I X
Blerësit fa
36 137 138 339 240 741 1342 743 344 3∑ 40
8
FREKUENCA RELATIVE fr1 = fa1/∑fa
Shembull: Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore këpucësh.karakteristikë elemenare t[ popullacionit ështa masa 0 numri i këpucëve të blera. Të gjendet frekuenca relative dhe procentuale (përqindja).
Fr1 = 1/40 = 0,025 ku % llogaritet0,025*100 = 2,5 %Nr. I
XBlerësit
fafr %
36 1 0,025 2,5 %37 1 0,025 2,5 %38 3 0,075 7,5%39 2 0,05 5%40 7 0,175 17,5%41 13 0,325 32,5%42 7 0,175 17,5%43 3 0,075 7,5%44 3 0,075 7,5%
∑ 40 100%
9
1
2
3
7
13
7 3 2 1
36 37 38 39 4041 42 43 44 Nr.
i k puc veё ё
poligon
Mënyra grafike f(a) Blerёsit
FREKUENCA KOMULATIVEShembull : Popullacioni e përbën 200 nxënës të një shkolle të mesme gjatë vitit shkollor 2008/2009.Karakteristikë është pesha e nxënësve të dhënë në interval prej 3 kg.Të gjendet frekuenca përmbledhëse, frekuenca relative nga ajo komulative , mesi i intervalit si dhe të paraqiten grafikisht të dhënat.
Që ta gjejmë frekuencën komulative duhet që nr. e parë të fab ta përshkruajmë. psh 0 -, pastaj e mbledhim numrin e parë të fk dmth 0 me numrin e dytëtë fr.absolute psh.2 atëherë 0+2=2 , 2+7=9.............kur arrijm në fund duhet që nr. i fundit të jetë në përputhje me shumën e frekuencës absolute dmth 200=200.
Mesi i intervalit llogaritet si mesatare e thjeshtё nё mes tё dy niveleve tё njё intervali (psh. 40+43/2=41.5).Mënyra grafike :
Pesha XNr. i nxënësve
fafk fr Mesi i intervalit
Gjer 40 0 0 0:200=0 0
40-43 2 2 2:200=0,01 41.5
43-46 7 9 9:200=0,045 44.5
46-49 40 49 49:200=0,245 47.5
49-52 87 136 136:200=0,680 50.5
52-55 58 194 194:200=0,970 53.51
55-58 5 199 199:200=0,995 56.50
58-61 1 200 200:200=1 59.5
∑ 200
10
1
2
3
7
13
7 3 2 1
40 43 46 49 52 55 58 61Pesha
1
2
5
7
40
5
8
8
7
7 3 2 1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Mёnyra e poligonit(nё mesin e brinjёve tё drejtkёndёshit)
Mёnyra e histogramit(drejtkёndёshi)
Nr. i nxёnёsve
Paraqitja grafike e f rekuencave komulative
Dijagramet sipërfaqësore (histogramet) -paraqitet madhësia,struktura apo vëllimistudiuara statistikore.Në boshtin e abshisës vendosen periudhat kohore ndërsa në boshtin e ordinatës vendoset vëllimi apo madhësia e dukurisë.
11
1
2
3
7
13
7 3 2 1
29
49
136
194
1
99
200
7 3 2 1
40 43 46 49 5255 58 61 Pesha
Lakorja Komulative
Nr.f(x)
Mesi i intervalit
41,5 44,5 47,5 50,5 53,5 56,5 59,.5
1
2
5
7
40
5
8
8
7
7 3 2 1
r=21,5
Distribucioni komulativ i frekuencave(ogiva) shfrytёzohet pёr tё pёrcaktuar se sa ose çfarё pjese e tё dhёnave sjell nёn apo mbi vlerёn e caktuar.Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija qё paraqet lidhjen e pikave tё formuara nё mes tё frekuencave dhe klasёve.
Prezentimi grafik i distribucionit tё frekuencave
Janё 3 forma pёr paraqitjen grafike tё distribucionit tё frekuencave: HISTOGRAMI POLIGONI I FREKUENCAVE DISTRIBUCIONI KOMULATIV I FREKUENCAVE
Histogrami – paraqet grafikun nё tё cilёn klasёt shёnohen nё abshisё(boshtin horizontal) , kurse frekuencat e klasave shёnohen nё boshtin ordinatё (boshtin vertikal) tё sistemit koordinativ.
PASQYRAT STATISTIKORE
Diagramet sipërfaqësore(histogramet)-- Diagramet sipërfaqësore të katrorit- Diagramet sipërfaqësore të rrethit- Diagramet strukturale të sipërfaqes së rrethit
Shembull: Gjat periudhës 3 vjecare në një bashkësi komunale të Maqedonisë kan bërë kontrollime sistematike sipas viteve dhe familjeve si në vijim:
- në vitin 2006 janë kontrolluar 450 familje- në vitin 2007 janë kontrolluar 1150 familje- në vitin 2006 janë kontrolluar 1450 familje
Numri i familjeve për çdo vit paraqet sipërfaqen e katrorit , ndërsa ndërtimi i katrorit varet prej bazës (brinjës) llogaritëse të tij e cila është e barabartë me rrënjën katrore të sipërfaqes.
Formula e sipërfaqes së katrorit është S=a2 , atëherë brinja është e barabartë me √S përkatësisht a=√a2 .Nga formula dhe të dhënat e dukurisë së krahasuar nëpër periudha kohore, rezultojnë llogaritjet në vijim:
Viti 2006 S=450 a=√S = √450 = 21,2 cm (shkalla e zvoglimit 21,2 : 10 = 2,12 cm)Viti 2007 S=1150 a=√S = √1150 = 33,9 cm (shkalla e zvoglimit 33,9 : 10 = 3,39 cm)Viti 2008 S=1450 a=√S = √1450 = 38,1 cm (shkalla e zvoglimit 38,1 : 10 = 3,81 cmMe rastin e ndërtimit të grafikëve duhet përdorur edhe shkallën e zvogëlimit të të dhënave të krahasuara.
Në rastin konkret, brinjët e katrorëve do të ndërtohen me shkallën 1:10 cm, atëherë në bazë të elementeve të llogaritura,paraqitja grafike përmes katrorëve dhe krahasimi i shtimit të vëllimit sipas periudhave kohore jepet si në vijim:
Viti 2006 Viti 2007 Viti 2008
12
1
2
5
7
40
5
8
8
7
7 3 2 1
S = 450 S = 1150 S = 1450
r=21,5
a = 21,2 (2,12)
a = 33,9 (3,39)a = 38,1 (3,81)
Sic shihet nga katrorët paraqitja grafike përmes këtyre diagrameve, mundëson zbulimin e dukurisë përmes krahasimit të shtimit të vëllimit të saj nëpër periudha kohore.
Diagramet sipërfaqësore të rrethit
Përdoren për paraqitjen grafikë të dy a më tepër dukurive masive.Rrethi mund të ndërtohet nëse rrespektohen rregullat e gjeometrisë(π=3,14).E rëndësishme e këtij diagrami është që cdo paraqitje grafike me anë të rrethit duhet të llogaritet rrezja e rrethit (r).Në bazë të formulës gjeometrike të rrethit, sipërfaqja e rrethit zgjidhet përmes formulës: S=r2
ndërsa rrezja e rrethit
Viti 2006 S=450 S=r2x π ; 450=r2 x π ; r = √ ------ ;r =11,5
Viti 2007 S=1150 S=r2x π ; 1150=r2 x π ; r = √ ----- ; r =19,1
Viti 2008 S=1450 S=r2x π ; 1450=r2 x π ; r = √ ------ ; r =21,5
2006 2007 2008
Në bazë të llogaritjeve rezultojnë vlerat e rrezeve për 3 rrathë:11,5 : 10 = 1,1519,1 : 10 = 1,9121,5 : 10 = 2,15
Pos si tërësi krahasuese grafet e formës së rrethit mund të paraqesin edhe strukturën e dy a më shumë dukurive statistikore .Pra paraqitjet e elementeve përbërëse të dukurisë masive në sipërfaqen e tërësishme të rrethit quhen DIAGRAME STRUKTURALE TË SIPËRFAQES SË RRETHIT
Si bazë për llogaritjen e strukturës së elementeve të një dukurie masive statistikore shërben vëllimi i saj i barazuar me 100% e sipërfaqes së rrethit.Shembull: Struktura e mjeteve kryesore të disa ndërmarjeve ekonomike në Republikën e Maqedonisë, sipas periudhave kohore të viteve: 2006, 2007, 2008 dhe 2009.
13
r=√(π=3,14)Sπ
4503,14
11503,14
14503,14
r= 11,5 r= 19,1 r=21,5
2006
216o108 o
36o
2007
180o
90 o
90o
2008
180o
108 o
72o
2009
252o
72 o
36o
Elementet Mjetet kryesore në mijë euro € Struktura në %2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009
Mjetet kryesore Gjithsejt
100.000
200.000
300.000
400.000
100 100 100 100
Objektet ndërtimi 60.000 100.000
150.000
280.000
60 % 50 % 50 % 70 %
Pajisje 30.000 50.000 90.000 80.000 30 % 25 % 30 % 20 %Të tjera 10.000 50.000 60.000 40.000 10 % 25% 20 % 10 %
Të gjindet shuma e përgjithshme e mjeteve kryesore dhe të paraqitet struktura e tyre në % për çdo vit. Të gjenden shkallët e sipërfaqes së rrethit duke shumëzuar numrin relativ të përqindjes, të secilit element të mjeteve kryesore me 3,6 %.
Nëse aplikohet metodologjia e llogaritjes, atëherë nga shembulli i analizauar do të fitohen këto rezultate:
Llogaritja e rrethit në aspektin logjik:216-180=36 o
108-90=18 o
90-36=54 o
54-18=36 o
ANALIZA STATISTIKORE
Kjo faze peson pas hulumtumeve te bera reth vrojtimit, permbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike te te dhenave te sistemuara.Mbështetet në zbatimin e metodava shkencore.Analiza rëndësi të veçantë ka, sidomos në krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore të dy e më tepër dukurive, në kohë dhe hapsirë.
• Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si:- Analiza statike (gjendja se si eshte dukuria)- Analiza dinamike (zhvillimin e dukurise)- Analiza reprezentative (mostra, anketa)- Analiza regresive (raportet ne mes dukurive te ndryshme)
Rëndësia e madhësive absolute dhe relative o Madhesit absolutejane tregues qe shprehin sasine e nje dukurie te caktuar te cilet
paraqesin baze per cdo hulumtim statistikor.Madhesit absolute jane te dhena te fituara nga fazat paraprake te vrojtimit.
14
Për vitin 2006360o : 100 = 3,660 x 3,6 = 216 o
30 x 3,6 = 108 o
10 x 3,6 = 36o
---------------------100 x 3,6 = 360 o
Për vitin 2007360o : 100 = 3,650 x 3,6 = 180 o
25 x 3,6 = 90 o
25 x 3,6 = 90o
---------------------100 x 3,6 = 360 o
Për vitin 2008360o : 100 = 3,650 x 3,6 = 180 o
30 x 3,6 = 108 o
20 x 3,6 = 72o
---------------------100 x 3,6 = 360 o
Për vitin 2009360o : 100 = 3,670 x 3,6 = 252 o
20 x 3,6 = 72 o
10 x 3,6 = 36o
---------------------100 x 3,6 = 360 o
o Ato jane konkrete, ne forme te numrave dhe tregojne madhesine e tiparit te dukurise se
studiuaro Madhesit absolute paraqiten si:o Madhesi individuale (madhesia e dukurise ne kohe te caktuar) o Madhesi te pergjithshmeo Madhesit relative shprehin raportin ne mes te madhesise se nje treguesi ndaj
madhesise se treguesit tjeter
MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE
Mesataret algjebrike(llagaritura): janë ato të cilat llogariten me ndihmën e formulave tëcaktuara matematikore, dhe të cilat gjatë llogaritjes përfshijnë të gjitha të dhënat të një seriestatistikore.Quhen mesatare algjebrike sepse përllogaritjet e tyre bazohen në formulat algjebrike.Mesataret e pozicionit përcaktohen varësisht nga pozita e tyre që kanë në serinë statistikore,respektivisht caktohen në mënyrë emperike prej vlerave konkrete të serisë statistikore.Mesataria aritmetike (hulumtimi i dukurive statistikore): perdorim me cilesor ka te serite homogjene(te ngjajshme) te njesive statistikore.
Mesatarja aritmetike e thjeshtë përfitohet në bazë të pjesëtimit të shumës së mbledhur të varianteve(të dhënave) individuale me numrin e tyre në tërësi.(numëruesi/emëruesi)
ose shkurtimisht
Kjo formulë e shprehur me numra të një serie duket kështu:
P.Sh.Nëse kemi dhjetë(10) konteste ekonomike të paraqitura në një gjykatë, të shprehura në mijëra euro : X : 15,26,42,48,54,57,62,63,70,83.
Pra vlera emesatare e kontesteve ekonomike të paraqitura ësht 52 mijë euro.Mesatarja e fituarplotëson kushtet më parë të plotësuara, sepse ësht caktuar në mënyrë objektive dhe gjendetnë mes të vlerës minimale (15) dhe vlerës maksimale(83) të serisë statistikore. 5
15
Mesatarja aritmetike e ponderuar - paraqet raportin e shumës së fituar si rezultat, nga shumëzimi i të dhënave me frekuencat e tyre, pjesëtuar me shumën e madhësive të frekuencave të varianteve të serisë.
P.Sh. Të dhënat e anketës së zbatuar mbi numrin mesatar të anëtarëve të familjeve në Kumanovë. (Sipas dendurive absolute)
Të dhënat numerike në tabelë prezantojnë 100 familje të anketuara në Kumanovë, përkrah numri i anëtarëve të familjes.
Nr. i anëtarëve të familjes(x)
Numri i familjeve (f) Gjithsej (x+f)
9 2 188 3 247 8 566 24 1445 31 1554 18 723 9 272 4 81 1 1
Gjithsej 100 505
16
MESATARJA HARMONIKEDefinohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurive të caktuara.Mesatarja harmonike e thjeshtë – paraqet raportin në mes të varianteve dhe shumës së vlerave të tyre.E devijueshme – kur të dhënat nuk janë të grupuara përdoret mestarja e thjeshtë harmonike(4) sipas formulës:
ShembullKoha e harxhuar e 4 punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi është;
Nëse përdoret mesatarja e thjeshtë harmonike do të fitohet një mesatare e gabuar, sepse 79:4=19,75 minuta.Nga kjo mesatare do të rezultonin më tepër se 4 produkte:
0,68103 + 1,09722 + 1,10955 + 1,3908 = 4,2786
Mesatarja harmonike e ponderuar– në rastet kur të gjitha variantet e ndryshme të cilët nuk janë të një rëndësie të njejtë, atëherë sikurse llojet e tjera të mesatares përdoret mesatarja e ponderuar e cila llogaritet nvpërmjet formulës:
Të supozojmë: Nr. i banorëve dhe numri i banorëve në 1 km2 në katër vende është:
Puntoret Koha e harxhuar per njesi
I 29,0II 18,0III 17,8IV 14,2
Gjithsej 79.0
Territori Numri i banorëve në 1 km2 (X)
Numri i banorëve (f)
A 94 5.250,000B 91 1.953,000C 114 1.245,000D 38 530,000
Gjithsej 8,978,000
17
=21,64
MESATARJA GJEOMETRIKE
Përdoret për llogaritjen e ritmit të mesatares të zhvillimit të dukurisë së analizuar.Metoda e mesatares gjeometrike përdoret kur seritë e të dhënave posedojnë vecori të progresionit gjeometrik ose kur kemi tregues relativ.
përkatësisht formula e përgjithshme:
1.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
2.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
X f X*f x-x (x-x)2 F(x-x)2
40 4 160 40-32.3 = 7.7
7.72 = 59.29 4*59.29 = 237.16
36 24 864 36-32.3 = 3.7
3.72 = 13.69 24*13.69 = 328.54
Mosha
Nr i punëtor
ëve18-22 15 1522-26 18 3326-30 22 5530-34 14 6934-38 12 8138-42 20 101Gjithsejt
101
18
P
15+18=3333+22=5555+14=6969+12=8181+20=101
fi-w1)Σ
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
2001 2002 2003 2004
32 23 736 32-32.3 = -0.3
-0.32 = 0.09 23*0.09 = 2.07
18 8 144 18-32.3 = -14.3
-14.32 = -204.49
8*204.49 = 1635.92
126
59 1904
3. paraqiten ne menyre grafike keto te dhena ne tabele .
Viti Produkti shoqërorë
E ardhura kombët
are
Amortizimi
2001 650 450 802002 720 520 1202003 450 350 602004 750 850 140
19
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
2001 2002 2003 2004
8060
120140
520
720
Produkti shoqërorë
E ardhura kombëtare
Amortizimi
Fig.1 Paraqitja grafike e të dhënave
I N D E K S A T
shembulli:Investimet në fondet themelore të sektorit privat të zejtarisë në RM në periudhën 2003-2007 ka lëvizur në këtë drejtim
Viti Investimet Ib -In. Bazë
Iv- In.vargor
2003 218067 100 /
20
2004 334678 153.47 153.472005 452024 207.28 135.062006 494378 226.70 109.362007 547248 250.95 110.69Llogaritni Indeksat bazik nëse baza është viti 2003 dhe pastaj llogaritni indeksat zinxhir(vargor).
Shembull.Të dhënat mbi donacionet të SHBA-ve në Kosovë gjat periudhës 1999 – 2005 janë dhënë në tabelën që vijon, të llogariten indeksat bazik ku për vit bazë merret
a) Viti 1999b) Viti 2003c) Viti 2005
Si dhe të gjendet indeksi zinxhir.
Viti Shuma Ib -1999 Ib -2003 Ib -2005 Iv1999
120.125 100 306.36 546.02 /
2000
75.010 62.44 191.30 340.95 62.44
2001
95.000 79.08 242.28 431.81 126.64
2002
21.000 17.48 53.55 95.45 22.10
2003
39.210 32.64 100 178.22 186.71
2004
25.000 20.81 63.75 113.63 63.75
2005
22.000 18.31 56.10 100 88
21
Indeksi bazikIndeksi vargor(zinxhir)
a) Viti 1999 b) Viti 2003 c) Viti 2005
Indeksi zinxhir (vargor)
Shembull.Të llogaritet indeksi individual dhe grupor të vëllimit fizik ku si bazë të merret viti 2005
Viti Produkti A
Produkti B
Produkti C
Produkti D
2005
420 220 360 540
2006
340 440 380 480
2007
540 380 420 620
2008
620 520 280 38
ÇmimetProdukt Produkt Produkt Produkt
22
Produkti A
Produkti B
Produkti C
Produkti D
i A i B i C i D220 180 160 240180 140 180 220320 220 240 180240 240 140 140
Viti Produkti A
Produkti B
Produkti C
Produkti D
2005
100 100 100 100
2006
80,95
200 105,5
88,88
2007
128,5
172,7
116,6
114,8
2008
147,6
236,3
77,77
70,37
ÇMIMET
A + B + C + D =
92400 + 33000 + 37800 + 129600 = 31260074800 + 66000 +60800 +
115200 = 316800118000 + 57000 + 67200 + 148800 = 391800136400 + 78000 + 48000 + 91200 = 345600
Shembull. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogaritenindekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.
Produktet
Produktet e realizuara Çmimet në kg2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008
q0 q1 q2 q3 p0 p1 p2 p3
Produkti A
Produkti B
Produkti C
Produkti D
92400 33000 57600 129600
312600
74800 66000 60800 115200
316800
118000
57000 67200 148800
391800
136400
78000 48000 91200 345600
23
Produkti A
2005420 220 = 924002006 340 220 = 748002007 540 220 =118000
Produkti B
2005 220 = 330002006 440 150 = 660002007 380 150
Produkti C
2005 360 160 = 576002006 380 160 = 608002007 420 160
Produkti D
2005 540 240 = 1296002006 480 240 = 1152002007 620 240 =
VITI 2006
VITI 2007
VITI 2008
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
A 20 18 19 22 20 16 24 22
B 14 16 13 19 35 18 22 16
C 18 13 18 14 38 19 18 24
D 16 12 22 16 42 22 14 28
Produktet
2005 q0 p0
2006 q1 p1
2007 q2 p2
2008 q3 p3
A 400 288 456 489
B 490 288 286 304
C 684 247 324 336
D 672 264 308 448
2246
1087
1374
1572
TRENDI LINEAR
Shembull.1
Viti y1 x1 x x1 2 yc2001 12 0 0 0 8.82002 10 1 10 1 13.4
24
q0 p0
A q0 p0 = 20 B q0 p0 = 14 C q0 p0 = 18 D q0 p0 = 16
q2 p2
A q2 p2 = 19 B q2 p2 = 13 C q2 p2 = 18 D q2 p2 = 16
q1 p1
A q1 p1 = 18 B q1 p1 = 16 C q1 p1 = 13 D q1 p1 = 12
q3 p3
A q3 p3 = 22 B q3 p3 = 19 C q3 p3 = 14 D q3 p3 = 16
Produkti A Produkti B Produkti C Produkti D
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
25
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005
2003 18 2 36 4 18.82004 20 3 60 9 22.62005 30 4 120 16 27.2
90 10 226 30
n - numri i viteve
25
y = na + b xx y = a x + b x2
90 = 5a + 10b226 = 10a + 30b / : -2
-23 = 0 - 5b
b =
b = 4.6
90 = 5a + 10b90 = 5a 10 4.6
90 = 5a + 4.6
a = (-1)
a =
a =
a = 8.8
yc/2001 = a + bx
yc/2002 = 8.8 4.6 0 = 8.8
yc/2003 = 8.8 4.6 1 = 13.4
yc/2004 = 8.8 4.6 2 = 18.8
yc/2005 = 8.8 4.6 3 = 22.6
yc/2006 = 8.8 4.6 4 = 27.2
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
dukuria
trendi
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear
25
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005
1991 1992 1993 1994 1995 1996
Shembull.2
Viti y1 x1 x x1 2 yc2001 8 0 0 0 8.4
2002 12 1 12 1 11.4
2003 16 2 32 4 14.4
2004 14 3 48 9 17.4
2005 22 4 88 16 20.4
72 10 174 90
y = na + b xx y = a x + b x2
72 = 5a + 10b174 = 10a + 30b / : - 2
-15 = 0 - 5b5b = 15
b = b =5
ANALIZA DINAMIKE
26
72 = 5a + 10b
72 = 5a 10 3
72 = 5a + 30
-a =
(-1)
a =
a =
a = 8.4
yc/2001 = a + bx
yc/2002 = 8.4 3 0 = 8.4
yc/2003 = 8.4 3 1 = 11.4
yc/2004 = 8.4 3 2 = 14.4
yc/2005 = 8.4 3 3 = 17.4
yc/2006 = 8.4 3 4 = 20.4
25
20
15
10
5
Fig.3 Paraqitja grafike e trendit linear
2001 2002 2003 2004 2005
dukuria
trendi
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
m1 =
1991 1992 1993 1994 1995 1996
Vitiseria e të dhënave
3 të dhëna
5 të dhëna
1991 55 - -
1992 58 56.3 -
1993 56 58.3 58.6
1994 61 60 59.6
1995 63 61 -
1996 60 - -
Muajt
Seritë sipas viteve Gjiths
ej
Mesatarja
mujore(xi)
Indekset stinore
2000 2001 2002
1 2 3 4 5 6 7
I 108 102 120 330 110.0 88.0II 102 100 115 317 105.7 84.6III 113 109 135 357 119.0 95.2IV 124 119 160 403 134.3 107.5V 155 135 175 465 155.0 124.0VI 164 138 171 473 157.7 126.2VII 154 140 162 456 152.0 121.6VIII 141 132 134 407 135.7 108.6IX 118 140 112 344 114.7 91.8X 112 107 110 329 109.7 87.8XI 90 100 106 296 98.7 79.0XII 95 105 122 322 107.2 85.8
14761401
1622
4499:36 =
124.98
1499.7:12 =
124.98-
27
m1 =
m1 =
m1 =
Fig.4 Paraqitja grafike
1991 1992 1993 1994 1995 1996
65
60
55
50
te dhenat
me 3 te dhena
me 5 te dhena
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
TRENDI I PARABOLLËS
Shembull.1
Viti
Të dhën
aty1
Shenjat e
periudhësx1
x1 2 x X3 X2
y X4 yc
2001 9 -2 4 -18 -8 36 16 8.6
2002 14 -1 1 -14 -1 14 1 15.9
2003 22 0 0 0 0 0 0 18.8
2004 15 1 1 15 1 15 1 17.3
2005 12 2 4 24 8 48 16 11.4
72 0 10 7 0 113 34 -
28
y = na + b x+c x2
x y = a x +b x2+c x3
x2 y = a x2 + b x3+c x4
72 = 5a + 0b+10c7 = 0a +10b+0c113 = 10a + 0b+34c /:-2
72 = 5a + 0b +10c-56.5 = - 5a - 0b -17c
15.5 = -7c
c =
c = - 2.2
72 = 5a + 0b+10c
72 = 5a + 0b +10 (-2.2)
-a =
-a = -18.8 / (-1)
a = 18.8
7 = 0a +10b+0c
7 = 0 18.8 +10b+0 (-2.2)
7 = 0 +10b+0
- b = / (-1)
b = 0.7
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
Në bazë të të dhënave të gjindet mesatarja aritmetike, moda e serisë, të bëhet llogaritja e sakt e asimetrisë(momenti i tretë), devijimi standard dhe të bëhet paraqitja grafike, grupi prej 40 studentëve ka arritur këtë sukses.
Notat(x)
Numri i student
ëve(y)
fi xi x-x(x-x)2
(x-x)3
fi (x-x)2
fi (x-x)2
5 5 (fm1) 25 - 5.52 - 27.6 -64.85
29
yc= a + bx-cx2
yc/2001 = 18.8+0.7 (-2) (-2.2) 4
yc/2001 = 18.8 - 1.4 - (-8.8)
yc/2001 = 18.8 - 8.8 - 1.4
yc/2001 = 8.6
yc/2003 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0
yc/2003 = 18.8
yc/2002 = 18.8+0.7 (-1) (-2.2) 1
yc/2002 = 18.8 – 0.7 – 2.2
yc/2002 = 15.9
yc/2004 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0
yc/2004 = 18.8 – 0.7 – 2.2
yc/2004 = 17.3
yc/2005 = 18.8+0.7 2 (-2.2) 4
yc/2005 = 18.8 – 1.4– 8.8
yc/2005 = 11.4
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
Te dhenat
Trendi i parabolles
5 6 7 8 9 10 Nota
15
10
5
2.35 12.976 12 72 -
1.351.82 -2.45 21.84 -29.4
7 6 (fm2) 42 -0.35
0.12 -0.042
0.72 -0.252
8 4 32 0.65 0.42 0.273 1.68 28.39
9 7 63 1.65 2.72 4.488 19.04 31.41
10 6 60 2.65 7.02 18.603
42.12 111.6
40 294 0.9 17.62
7.092
113 76.89
30
x y = fi xi
5 5 = 256 12 = 727 6 = 428 4 = 329 7 = 6310 6 = 60
Mesatarja aritmetike
MODA
Mo = 6+0
Mo = Mo 3.23
(x – x)2
(-2.35) (-2.35) = 5.52 (-1.35) (-1.35) = 1.82 (-0.35) (-0.35) = 0.12 0.65 0.65 = 0.42 1.65 1.65 = 2.72 2.65 2.65 = 7.02
fi (x – x)3
5 (-12.97) = -64.8512 (-2.45) = -29.46 (-0.042) = -0.252 4 0.273 = 28.39 7 4.488 = 31.41 6 18.603 = 111.6
(x – x)3
5.52 (-2.35) = -12.971.82 (-1.35) = -2.450.12 (-0.35) = -0.0420.42 0.65 = 0.273 2.72 1.65 = 4.488 7.02 2.65 = 18.603
x - x5 - 7.35 = -2.35 6 - 7.35 = -1.35 7 - 7.35 = -0.35 8 - 7.35 = 0.65 9 - 7.35 = 1.65 10 - 7.35 = 2.65
fi (x – x)2
5 5.52 = 27.612 1.82 = 21.846 0.12 = 0.72 4 0.42 = 1.08 7 2.72 = 19.04 6 7.02 = 42.12
VARIANCA
2 =
2= 2.825
DEVIJIMI STANDARD
=
= 1.68
5 6 7 8 9 10 Nota
15
10
5
PYETJE DHE DETYRA1.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2
32 12 384 32- 32.25 = -0.25
0.0625 0.75
25 11 275 25 - 32.25 = -7.25
52.5625 578.188
31
a3 =
a3
a3= 0.40
m3 =
=1.92
m3
= 1.92
Fig.2 Paraqitja grafike
5 6 7 8 9 10 Nota
15
10
5
Nr i studenteve
38 9 342 38 - 32.25 = 5.75
33.0625 297.563
36 8 288 36 - 32.25 = 3.75
14.0625 112.5
40 1289 2 99.75 989
2. Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2
25 12 300 -4.4 19.36 232.3232 11 352 2.6 6.76 74.3629 9 261 -0.4 0.16 1.4433 8 264 3.6 12.96 103.68
40 1177 1.4 39.24 411.8
3. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.
Produktet
Produktet e realizuara Çmimet në kg
2008 2009 2008 2009q0 q1 p0 p1
A 50 60 80 90
B 60 55 50 60
C 60 55 50 60
32
MESATARJA ARITMETIKE
VARIANCA DEVIJIMI STANDARD
DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT
MESATARJA AJITMETIKE
VARIANCA DEVIJIMI STANDARD
DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT
Produktet
2008 p1
q0
2009 q0
q1
2008 q1
p0
2008 p0
q0
2009P1
q1
A 4500 3000 4800 4000 5400
B 3600 3300 2750 3000 3300
C 3600 3300 2750 3000 33001170
09600 1030
010000
12000
4.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
Paga (xi)Nr i
punëtorëve (fi)
Kumulativi
Mesi i intervali
t (ẋ)ẋ fi
Deri 3000 4 4 3000 120003000 – 5000
fm1 5 9 Ë1 4000 20000
5000 – 7000
X1 x2
fm2 7 16 ë2
6000 42000
7000 – 9000
fm3 3 19 8000 24000
9000 - 11000
6 25 10000 60000
Gjithsejt 25 158000
33
Indeksi i Laspajerit
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
Mesi i intervalit
ẋ= = 4000
ẋ= = 6000
ẋ= = 8000
ẋ= = 10000
5.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?
Viti
Të dhënat (investimet) yi
Shenjat e
periud
hës xi
x xi 2
yc
2004 35 0 0 0 34.8
2005 40 1 40 1 37.8
34
MODAMESORJA
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
2006 38 2 76 4 40.8
2007 42 3 126 9 43.8
2008 49 4 196 16 46.8204 10 438 30
n - numri i viteve
6.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?
Viti
Të dhën
atyi
Shenjat e
periudhësxi
x x 2 X3 X4 X2
y yc
2004 8 -2 -16 4 -8 16 32 7.4
2005 12 -1 -12 1 -1 1 12 15.2
35
y = na + b xx y = a x + b x2
204 = 5a + 10b438 = 10a + 30b / : -2
-15 = 0 - 5b
-b = / (-1)
b = 3
204 = 5a + 10b
204 = 5a 10 3
204 = 5a + 30
a =
a =
a = 34.8
yc = a + bx
yc = 8.8 3 0 = 34.8
yc = 8.8 3 1 = 37.8
yc = 8.8 3 2 = 40.8
yc = 8.8 3 3 = 43.8
yc = 8.8 3 4 = 46.8
2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
dukuria
trendi
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
2006 22 0 0 0 0 0 0 18.6
2007 11 1 11 1 1 1 11 19.6
2008 7 2 14 4 8 16 28 18.260 0 -3 10 0 34 83 78.6
36
y = na + b x+c x2
x y = a x +b x2+c x3
x2 y = a x2 + b x3+cx4
60 = 5a + 0+10c-3 = 0 +10b+083= 10a + 0b +34c /:-2
60 = 5a + 0 +10c-41.5 = - 5a - 0 -17c
18.5 = -7c
c =
c = -2.6
60 = 5a + 0+10c
60 = 5a + 10 (-2.6)
60 = 5a - 26
-a =
-a = -17.2 / (-1)
a = 17.2
-3 = 0 +10b+0
-3 = 10b
b =
b = - 0.3
yc= a + bx-cx2
yc/2004 = 17.2+ (-2) (-0.3) (-2.6) 4
yc/2004 = 17.2+0.6-10.4
yc/2004 = 7.4
yc/2006 = 17.2+(-1) (-0.3) (-2.6) 1
yc/2006 = 17.2+0.3 2.6
yc/2006 = 14.9
yc/2005 = 17.2+0 (-0.3) (-2.6) 0
yc/2005 = 17.2
yc/2007 = 17.2+1 (-0.3) (-2.6) 1
yc/2007 = 17.2– 0.3 – 2.6
yc/2007 = 14.3
yc/2008 = 17.2+ 2 (-0.3) (-2.6) 4
yc/2008 = 17.2–0.6– 10.4
yc/2008 = 6.2
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles
2001 2002 2003 2004 2005
25
20
15
10
5
Te dhenat
Trendi i parabolles
Metoda e trendit- Trendiështë tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së vështruar. Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar
Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë
Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë
linear,parabollikdhe eksponencial.
37
Trendi lineari përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë.Yc= a + bxTrendi i parabollëszgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:
Yc = a+bx+cx2
TRENDI I PARABOLLËS
TRENDI I PARABOLLES- Y=a+bx+cx 2 .
Mirepo per ti tjeshtuar llogaritjet kemi edhe metoden me thjseshtime ku periudha 0 gjindet ne mes te seris kohore. Dhe athere kemi te bejem me gjetjen e parametrave ne menyre direkte.
Meqe ne fillim kur te caktohet se cillin
38