46
Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities Andr es Cano * , Seraf õn Moral Department of Computer Science and Arti®cial Intelligence, E.T.S. Ingenier õa Inform atica, University of Granada, Avda. de Andaluc õa 38., 18071 Granada, Spain Received 1 May 2000; accepted 1 April 2001 Abstract This paper presents an approximate algorithm to obtain a posteriori intervals of probability, when available information is also given with intervals. The algorithm uses probability trees as a means of representing and computing with the convex sets of probabilities associated to the intervals. Ó 2002 Elsevier Science Inc. All rights reserved. Keywords: Dependence graphs; Interval probabilities; Propagation algorithms; Prob- ability trees 1. Introduction Bayesian networks are graphical structures which are used to represent joint probability distributions eciently. The network structure encodes the inde- pendence relations among the variables. A variety of dierent tasks can be performed on Bayesian networks. One of the most common is the computation of posterior marginals given that the value of some of the variables is known. This task is called probability propagation. In this way, Bayesian networks are a powerful tool for building probabilistic Expert systems. One of the main problems faced when building Bayesian networks is the in- troduction of a large number of initial exact probabilities. It can be very dicult for experts to give such a number of precise probabilities. Very often, an expert is International Journal of Approximate Reasoning 29 2002) 1±46 www.elsevier.com/locate/ijar * Corresponding author. E-mail addresses: [email protected] A. Cano), [email protected] S. Moral). 0888-613X/02/$ - see front matter Ó 2002 Elsevier Science Inc. All rights reserved. PII: S 0 8 8 8 - 6 1 3 X 0 1 ) 0 0 0 4 6 - 9

Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

����� ������� ����� �� ������� ����������� ��������� ����������

������� ��� �� ������� ����

���������� ������� ������ ��� ��������� ������������� ���� � ����������� ��������������������� �������� ����� �� ���������� !�� "!#$" �������� ����

�������� � � !!!" ������� � ����� !!�

��������

#��� ���� �������� � ����$���� �������� �� ���� ���������� �������� ��

������� � ���� ����� ���������� �� ��� ����� ���� ��������% #�� �������� ����

������� ����� � ���� �� ������������ �� ��������� ���� ��� �����$ ���� ��

���������� �������� �� ��� ��������% � !! &������� ������� '��% ��� ������ ��������%

%��&���' (��������� �����" '������ ����������" )�������� ���������" )��*

���� �����

� ���� ������

+ ���� ������,� �� ������� ���������� ����� �� ���� �� ��������� -����������� ������������ �.������ % #�� ������, ��������� ������� ��� ����*�������� �������� ���� ��� ������% � ����� �� ��/����� ��,� �� ���������� �� + ���� ������,�% 0�� �� ��� ���� ������ �� ��� ������������ ��������� ������� ����� ��� ��� ���� �� ���� �� ��� ������ �� ,����%#��� ��, �� ����� ��(�(����� ���������% '� ���� � � + ���� ������,� �� �������� ���� ��� ������� ���������� &$���� � �����%

0�� �� ��� ��� ������� ���� ���� ������� + ���� ������,� �� ��� ��*���������� �� ���� ����� �� ������ �$�� ����������% '� �� � ��� ��.������� �$����� �� ���� ���� ����� �� ������� ����������% 1�� ������ � �$���� ��

'���������� 2����� �� �����$���� �������� 3 4 !! 5 �678

���%��������%���9�����9�-�

�������������� �����%

�)���� ���������' ��:�����%���%�� 4�% ���5� ���:�����%���%�� 4�% ����5%

!;;;*8�<=9! 9> * ��� ����� ����� � !! &������� ������� '��% ��� ������ ��������%

)''? � ! ; ; ; * 8 � < = 4 ! � 5 ! ! ! 7 8 * 3

Page 2: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

���� ��������� ������ � ������� �� ������� ����� ��� ������� ���*���� % &��� �� �� ��� ������� �������� �� ���� ����������� �� � ��� ��� ���� ������ ��� ������ ���@�������� �� ������ �� �����������%#��������� �� � ��� � ���� ��������� �� ������� ���� ,��� �� ������������������� �� ���� ���% A�� � �$����� ��� �� ��� ���� ����� � � �� ��������������� ���������� �� ���� �� � ������� �� ����������%

'� ������� ��� ��� �� ��������� ������� ������ �� ������ �� �� ����*�����% B� �� ��������� ��� ��������� ��������� CD8E?� B��� �� ��� ������ ���������� �� ������ ���������� CD �D<�DDE%� B��� ����� ���������� �� ��� �����@� ������% A�� �$����� ���� ��

�,� ��� ��� ���� � ��� ���� �! ���� ����� @�� �� ��� �� @�� �� ������� ��, 4�� �� �� ��� ,��� ��� �$�� ����� �� ��� ���5 C ��<��7 E%

� '� ����� + ���� ���������� �� ����� ��������� ��� ����� �������*���� C<� E%

� #� ����� ��� ���F��� ������ ������ ������� �� ���������� C<D�D�E%#���� �� ������ ��������� ������ ��� ��������� ������� CD �D8�DGE?

��������� ������� ��������� C D� 8E� ��������� ������� C <�8�E� ��HH ������� C ;�7G�D;E� ����� ��������� C7 �78E� ���I��� �������� C�8�<!E� �����*�� ���������� C8�D3�8!E� �������� ����� ���������� CD �DGE� �����$ ���� ������������ CG��D�D �DGE� ���� �� ������� ����� CD �DGE% 0�� �� �� ������������ �� ����, ��� �����$ ���� �� ���������� �� ��� ���� ������ ������������ ���� �� ������������ ��������� ����������% B� ����, ��� �*���� ����� �� �����@� ������������� �� ������� ����� CD �D7E� ��� ���������� ������ �� ��������� ��� ������ �� ��� ��������� ������ ��� ������������ ����� �� �,� ����$������� ��� ���� ���� �� ����������� � ��������� ���������� CD!E% �����$ ���� �� ���� ������ ���� ��� ��������������,���� ���������� ��� ��������? ����� �� �� � �����$ ��� ������������ � ���� �� ���������� ��������� �� ����� �����$ ��� ����� �� ����� � ������ ������������� ����� ��������% J������� ������� ���*������� �� ��� ���� ����� � �� ����� ��������� ���������� �� ������� ���������% '� ���� ����� ���������� �� ���� ����� ��� ������ ������� ���*��������� �� ����� ���� ������� ����������� �� ����������� �� ��������� ����������� ����� �������� �����$ ����%

���� ������ ��� ���������� ��� ��������� �� ���������� �������� ��������� ���������� C�� 7�7;�73E% J������ �� ��� ���������� ��������� ����� ���� ������� ��� ��� �������� �������� �� �� � ��� ��� � ����� �*����� ����� ���� ����������% '� ������� �� �� � ��� ��� ������������� �� ����� ��� �$�� ����% #�� ������ �� ��� �$�� ����� ���� ���������� ���� ��� �������� �����$ ���� �� ����������% #��� �� ��� �*����� �������� ��� �� �% C�DE% '� ���� ����� ��� ����� ��� ����� �� �����$ ��� �� ���������� ���������� ��� ��� ���@������� �� ����� ���*��� �� ��� ���������� ����% #�� ���� ��� ������ �� ��������� ������������������� � ������ �� ��������� ���� �����$ ���� �� �������

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 3: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

������������% #�� ���� ����� �� ������� ���� ���������� ����� ���������������% J������� ���,��� ���� �����$ ���� � � ��� ���.�����? �� ����� � ������ �� ��� ������ ��� �� �����$ ��� ���� �� �$����� ������� ���������� ����������� ��� ��������� �� ��� �����$ ��� �� �� ��� �����0����

��� ���� ����� % �� ��� ������$�� �� ��� ��� ��� ������ �������������������% #��� �� ��� ����� �����$ ���� ��������� �� �I������� �� ������������ �� �� ��� ���� ���������� ��� �� � ������ �������� ��$�� ���������� ������� �� ��� �� ��� �����$ ����%

������� �������� �� ��� ������ �� ��������� ��� �����$ ���� ���������� ��� ��������� �� ����� � ����$���� �������� ����� ����������������H���� ������I��� ���� � �������� ������� C3��!E� ������� ���������C��E� �� ������� ������I��� C�;��3E%

)������ ����� C�<�7�E �� � ���� �� ��������� ������� ���������% '�C�<E� ��� ������ ��� ���� ������� ����� �� ������� ���������� �.*������ �� + ���� ������,� ����� -��� ���� ���� ��������� 4����� ������5 �� �������% #���� ��������� �� � ���� ������� �� ���� ����������� ��� ���� ������� �� ����$�����% (�������� �� ��� ����� ���� 4������� 5� ��� ������� ���� ��� ������ �� ������ �����%

'� ���� ����� �� ������� ��� ��� �� ������� ����� �� ��������� ��� �����$���� �������� �� ��� ��������% )������ ����� �� ���� ���� ���� ����*����� �������� �� ������� � ���������� �����$ ��� ��� ����� ����� ����������% A��� ���� ���������� �����$ ���� �� �� ���� ������� ����������� ��� ��� �� ���� �����%

#��� ���� �� ������� ���� ��$ ��������% '� ������� �� ������� ��� �������� ��� ��������� �� ���������� �� + ���� ������,� �� ��� �� �� ������� ����� ��� ����� ���������� �������� C !�<7�8 E% ������� < ���������� ��� �� ������� ����� �� ��������� ��������� ������� �� ��� ��� ����������� �����$� �����@� �������������" �� ��� ���� ��� �� ���� �� ��*���� ���� ������� �����% '� ������� 7 �� ������� ��� ������� ��� �����$���� �� ���������� �� ����� ������������ ���� ������� ��������% ������� D����� ��� �� ��� ������� ����� �� � ����$���� ������ �� ������������� �����$ ����� ������I�� �� �������� ���*�$����� ������ �� ��� �����*����� �����$ ���� �� ������ �� ����� ��� ����� �� ��� �������� ����$����������% ������� 8 �������� ��� �$��������� �� ��� ������ ��� �� ����� ������� ��� ����$���� ��������% A���� � ������� G �������� ��� ������������� ������ ����� �� �������%

� ����������� ����������� �� �������� ��������

� 6������� ���&�7 �� �������� � ���� ���� ����� ��� ���� ���������� ����������� �� ��� ������� �� ��� ���� ����� ��� ������������ �������������� ������ 4��� A��% �5� �������� �� ��� �*�������� ��������� C<8E%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <

Page 4: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

K�� � � ���� � � � ���� � ��� ��� �� ������ �� ��� ������,% K�� �� �������� ��� ����� �� �,�� ����� �� @���� ��� ��% A�� � ��� �� �� � �����*����� ��� ����� �� �������� �� �������% '� � �� ��� �� �������� �� ���� ����� ��

��� ��� ��� ��� � � � ��% � ��� � � � � �� ���� ������ ��� ��� �� ������� �� �� ��������� �� ��� ������," ����� � � � % #�� ������� �������

���� �� ���� �

������� �� % L���� � �� �� � � � � � ���� ������ ��� ������� �� �� �*����� ���� - �������� ��� ���������� ����� �� ��� �� ,% A�������� ����� �� �����M� C7<�77E ������ ���������� � ������ ���� ��� �� �� C!��E ����� ����� �������� ��@��� �� �� % '� ��� ���������� ���� �������� ��,���� � ���������% ������� 8 �� ��� ��� �� �� ��� ������ �������� 4�����*����� ������������ �� ����������5� �� ���� ������� ��� ��� �� ������� �������� ��� ����� 9 �� ��@���% L���� ��� ��������� �� �� � � ��@��� �� ��

�� �� � ���� ��� ��������� �� �� �� � ���� � ������� �� � ��@��� ����� ���� �� ��������� �������������?

�� � � � � ��� ���� � �� �� �������� �� �� ��� ������� ������ ���� � �������� ��� ���������� ����� ����� �� �%

'� 9 �� ������� ��@��� �� �� �� � � � � ���� ��� �������H���� �� 9 ��,� ��� �� �������� �������?

��� � � ������

����� � �

'� � ��� �� ��� ������ �� �� �� ��� ����� ���� �� ��� ����������������� ����������� �������� ��� ��@��� �� ��� ��� �� ���� ������ ���� � �!� ����� �! �� ��� ������� ������%

L���� ��� ������������� ������� ��� ���� �� ������� �������*���� �� ��� ��� ���� ����������� �� ��� ������� ���� ����� �� ���I�� -����������� ����� ?

A

T

E

L

S

B

DX

A��% �% � �������� � ���� ����%

7 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 5: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��� ����

������ ���� � � � � �<�

�� (�������� �� ��� ,�������� ��� ��� �$�� ���� �� � �� �� �����%#�� ��� �� ���������� ���� � ������� �� �� ����� ��� �������� ���% � ����� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ �������% &��� ���������� �� � ��� ������������� ���� �� ������� ����� �� (��� �������� ��@��� �� �� ������ ��� � � �� �� � �� � � ��� �� ����� ��� � ! �� �� � �%

#�� �� �� ������� ��������� �� �� ������� ��� ���������� ���*���� �������� �������� ��� ���� �� � ��� ����� � � ��� � � � � �� � �%

'� �� ��� � �������� ��� �� ���� ���� ���������� ������� ����@�� ���

������� ������

��

������ ���������

����� ���� �

� �7�

'� ���� �� ��� ��� ��������� �I���� ?

���� � �� ������

��

������ ���������

����� ���� �

� �D�

#�� ������ �� ����� ����� � �� ��� � ��� ���� � ������� � ��%)�������� ��������� ������� ��� ���������� ������� ���������

������� ��� ��� ����� �� �,��� ���� ����������% #�� ��������������� �������� �� ��� �� ��� ���� ������ ��������� �� ���� ���*������� ���������� ����� ���� �����������% #��� �������� �� �������*����� �������� ����� �� ����� C7<�77E� N��� �� )���� C8 E ��(������ C !E% #�� �������� �� � �������?

��������� � ��������� �������� �5%����� � �������� �� � � ��� � ������� � �������� � � � ����� �� ������� ��

�% ������ ��� � �� ��� ���� ���� ��� � � � ��� �����?��� � � ��� � � � � ��� � � �% � ���� � � ��� � � � � � ������ �� � ���� � ���% ��� � �� ����� ��� ��

� � � �� �������

��8�

% ���� �� � ��� � � %

� ����������� �����

� ������� ����������� �� ���������� ��� ����������� � ��������� ������ �� ��� ������% #��� ������������� �� �$�������� �� �������� �� �������� 4����� �� ������ �� ��� �����������5%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 D

Page 6: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�� ������ � ��� �������� ����5% � �� �������� ���� � CD�;��<� G�< �<G�7��7D�8 E��� ��� �� ������ �� �� �������� ����� ����� ����� ��� ������� �������������� ����� �� � �� �� ��� ��� ���� ���������� ��� ����� � � �%&�� ������� ���� ���� ��� � �� �������� ��� � ������� ����� � �������� �� ���������� ��% B� ��@�� ��� ��� �� ���� ��� ����� �� ����� ����%

� ������� ���� �� � ���� �� ��������� ������� ������������ �� �������� � ������� ��� ��� ��� �� ������ �� % A�� �$����� ��� ������� ���� �� A��% ���������� ��� ���������� ����������� �� ���� @����%

� ������� ���� � �� ������ �� ���������� ��� ������� � � �� � � ����� ��� � � �� ��� ���� ���� �� ��� ����� ������ �� ��� ��� ���� ��� �������� ������� � ��� ���� ���� �� ��������� ��� ��� ����� ���� ��������� �� ��� ����� ������������� �� ��������� �% #�� ������� ����������� ���� � ���� � ������� �����%

)������ ����� �� ��������� ������ ���� ����� �� ����������� ��������� ������������% #���� ����������� �� � ���� �� �,� ������������������� �� ������������% ����������� �� ������������ ������� �������� ������������ ��� ,���� � � ������������� ������������%

�� ������ � �� ������������� ������������ CDE5% K�� �� � ��� �� ������% �� ����� �� �� �� � ��������� �� ��� ���� �� ��� ����� �� �� � ��� �� ��� ���@������� � �� ������ �� �� % #�� �����$�� �� ��� ������� �� ������� ����� ��� �� ��� ������� ��/����� ����� �� ��� �����$��% 0����������� �� � �������%

K�� �� � �� � �� �� �� � ���� ���-���� ���� �� ������% �� �� �� �� ������������ ����� �� �� � ����� �� � � � ����� � ����� ��� ������ � ��� ��

� ��� ������ ��� � �� � ���� ������ � ��

P(X1 |X2 X3)1 1 1 .3

2 1 1 .7

X1 X2 X3

1 1 2 .5

2 1 2 .5

1 2 1 .4

2 2 1 .6

1 2 2 .4

2 2 2 .6

X2

X

XX3

1

1

.3 .7

.5 .4 .6

A��% % � ���������� ������� ����������� �� � �������� ������� ����%

8 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 7: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�������� � ��� ������ � �� � !% B��� �� �� ���� � �� �� � ��� ��� �� ���� �� ����������� �� � ����� �� � � %

�� � �$����� �� A��% �� �� ��� ��� �������<�� � � �� �� �� ��� ������� �������<�� � ��% )������ ����� �$����� ����� ������������� �,��� �����H� �� ��� ������������� ���� ������%

'� � �� ������� ���� ������������ ������� � �� ��� ��� �� �������� � ��� ��� �� ������ ��� ��� ����� ����� �� � ���� � ������� 1����%#��� ��� ���� �� 1���� � �� %

�� ������ � ���������� ����5% L���� ������� ���� �� ������������ ��*����� � �� ��� ��� �� ������ �� � ��� �� ������ �� � �� � �� ���@��*����� � � �� � �

������ � ������� ��� ����������� �� � �� ��� ����� �� � �� ��������� �� �� � �%�% ��� ���� ������ ����������� �� � ���� ���� �����*�������� �� ������ ��� � � � ������� �� �������� �� �� ������������� ���� � �%

A�� �$����� �� � �� ��� ���� �� A��% � ���� �������� �� ��� ������� ��������� �� A��% <%

&�� ���� �� ��� ����� �� �� �������� ��� ������ �� ��������H�� ���@������� �� ����� �� � � � ����� � � � % #�� ������ �� �� �� ��������� �� ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ����� �� ��������� ���������� �� ��� ������ �� ��� �� ������ �� ����� �� ����� ���� ����%

�"� ����������� ��(�(����� �����

��� �� ���� C;E ������� ���������� �� ���� ������� �������� ������� ���% #��� ���������� �� ���� �� ��������� ��������������������� �� ���������� ����� ������ �� �� �� � ���� �� ��������� �

X2

X3

.3

.4

.5A��% <% � ���������� ������� ���� �������� ���� � ��� ���� �� A��% %

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 G

Page 8: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�������� �� �������� �����$ ��� �� ����������% ��� �� ���� C;E ���������� � �� ����$������ ��������� ���� ������� ��H�%

L���� �������� � ���� ��� �� ������ �� � ��� ��� �� �� ��� � ������������� ��� ��� �% '� ��� ��H� �� ��� ���� �� ������ ��� ����� �$����� �� ������ �� ��� ��� ��� ����$������ �� � ���� �� ���� � ���� ��H� �������� ��� �$����% #�� ����$������ ������ ������ ��� ��� ������H*���� ������ �%�%

����

��� ��������%

K�� �� �� �� � ��� ����������� ������� ������������ �� � �� ������������� � ���� ��� ������� ���� ��� ���� � �� �������� � �� ������� O����,6K�����M� �����*������ C<<E �� �� �� ��?

������ � ����� ��� � ������

����� ��� ���������� � �G�

����������� � C;E% ��� � �� � � ������� ��� � �� � �������� �� � ��� � � � � �� ����� � � �� ���� ����� ���� ������� � ����� ��� ��� �

���� ���������� �� ����

� ������ ��� �� ����� �� ���!��� ��� ���� !��� ��� �� � �������� ����� � ��� ��� �� �� �� �� � � � ��� ��

��������� �� ���� ������������ ����� � ��������� ��� ��� ��� ����$*������ �� �������� � ���� ��� ��������� �� ������� ������� ����� ��� ��� ����� �� ��� ����� �� � ��� ��� ���@�������� �� ��� ���*��� ������ �� ��� ���% #�� ������ �� ���� �� ������� ��� �������������� � ������ ��������� �� �� ���������� ������� ����� �� ��.���� �������%

#�� ��� �� ���� ���������� C;E �� ���� ������� ���� �� ��� ����� ������� ��� �������� �����@����� ����� ���� �$�����% 0�� �� ������������ �� P�����M� '(< �������� C<;E� ��� ����� ����� � ���� ���� ����� �$�����%

#�� ������� �� ������������ ���� �������� �� ��������� ����� ���� � ������������� ��� ��� ���� �� � �$����� �� ��� ����� �� � ����� �� ������ ����% #��� ��������� �� ��� �� ���� � ��� ��� ������� �� ��� ��*������ �� ������H��% '� ��� ���� �� �� �� ��@��� ��� ����� �� � � ������������ ������ ���� �� �$������ ��� ��� ��@��� �� � ���� �������� �� �� ������� ����� � ����� �� ��� ������������� ���� ���� � ����% �� ��� ������� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� ���������� ����� �� ������H� ��� ������� �� �� �%�%

� B� � ��� ��� ����� �� �� � ��� ��� ��� ���������� ��� �� ��� ������ ��� ��� �����

����� �� ��/��� � ����� �� ��� ������ ����� �� ��� �����%

; �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 9: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

������ � ������� � ���������� � � ����� ������ �;������ �� � � � �� ��� �� �� �� �� � � � � �%

#�� ��������� ����������� C;E ����� � �� � �� ��������� ��� ����*���%

����������� � "�� ���� ��� � ���� �������� ������ � 4;5 � ��� �� !���������� ��� �� �� � ��� ���� �

'����� � ������ � ���� � ���� ���� � ��� ����� � ������� � �� �3�!����

���� �����

�����

������� � � � ������

�������� � � ����������� � ��

�������� � � ���������

�����

#�� ������ �� ���������� '����� � ������ ����� ��� ������� ���� ����� �� �������� � ����� �� ���� �$������ ��� ���� �� � ���� �������% #�� ����������� ��� ���� ��� �� ���� ������ ������ ������ �����@�������� ���� ���� ������� � �� ������ ���� ���� ������ % #������� �� ��� �$������ �� ���� � � �� ���� ���� ����� ���� ��/������� �������� ������� �����% #��� �� ��� ���������� ����� �� �� ������������ ������������ ��� ��/����� �����" ��� ������ ����� �� � ����������� -��� ���� ������������� �� ����� �����%

B��� ����� ��� ��������� �� ��������� � ����� ���� �� �� ������ ����� �$*���H��� �������� '��% #�� ��������� ����� @���� ����� ��� ���� ������ � � ��� ����� �� � �� �������� �%�% ���� � ����� ��� �� �� � � � �� ���� ����� � � �� � % #�� ��� ��������� �� �� ������� ����� ����� �� ��� ���������� ���������� ����� ��� �����%

��� �� ���� C;E ������� ��/����� ���������� ��� ������������ � ����� ����� ����% 0�� �� ��� ���������� �������� �� ����� ����� ����� � �$��������������� �� ������ �� �$���� ����� �� ����� �� ������%

������� ������ �� �� ��������� ��� ������ ���� �� ���� �� ��������% '� ��� ���� ����� � ����� �������� �� ��������� ���� ���� ��� �� ��� ���������� ����� �� �������� �� �� ��� �������� ��� ���� ��������� ��� ������� ��� ����� �� ��� ��� ����� ���� �������% B� ��� ��� � � �� ���������� �������?�% ������ ����� ����� �$���� �� �$������% #�� ��������� �� ���� ���� �

���������� ��� ��� ��� � ���� ������H��� ��� ������'����� � ������� �%�% ��� ��� ������H��� ��� ��������� �� ��� ������� ���������� �%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 3

Page 10: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

% ������ ����� ���������� ���� ��� � ���� ���� ���

'����� � ��������� ��!������ � �� ��������� ��� ��� ��������� �� ��� �������% #�� ������� �����@���� ���� ����� �� �� ���� ���� ����� ��� ��������� 4�!5%

�/� :�������� &��9 ��(�(����� �����

)�������� ��������� ��I���� ����� ��������� ���� ���������? �������� ��� ������ � �� ������������ �% '� ���� ������� �� ������� ��� ����������������� ��� �� ���� C� E ��� ���������� ����� ���������% O�H��� ��O����� C< E �� �������� �� �% C�<E ��� ������� ���������� �� ��� ��� ������ ��������� �� ������ �� ��� �,� ��� ��������� �� ��� �� ��� ����� � ��� �� ���� ������� �� �������� �� ��� ��������� �� ��� ����� ����% J������ ���������� �� ��� ����� ���� � ��$��% #��� �� ���� ��������� �� �� ��� ��� � ����$���� ����������%

#�� �������� � �������� �� ������� �� �� �� ��� ���� �������� ��(�@������ <% B� ���� ��������� ���������� �� � ������ � �� ������������� �?

L���� ��� ����� �� �� � �������� �� ��������� �� �� � � ����������� ���� ��������� �������� �������� ���� �������� �� � � �� � � 4�����*����5%

��������� � ��#$%�&'����� (5%�% ����� ���� � ����� ���� ��% % ������ � ���� � �� �������� ���� �����%<% ������ � �������� �� � ������� ����� �%7% ����� � ������ �������� �� ���� ��%D% ����� �� �� � ������

�� ��� �� � � ��������������� �� ��� � ��!� �� ��� ����� ���%�� " � ���� � ���

�# ������ � ���� � �� �������� ���� ����� � ��!� �� � ���� � ��%��# ��� �� � �� �� ��� ������ � ��� � � �� � �

������� � �

������� %

���# �� �� � �� ��� ������$ ��� � � �� � ��% %�!� � ��� ����� � ��%��# &���������

�# ������ � �������� � � ������������ � �����������

� �%'# ����� � ���������

� ��������� ������ � �� ���� ��%

8% ����� ��%

B� ���� ������ ��� ��������� �� ����� ��� � ��� % B��� ����� ����������� ��� ������� ���� �� ��� � %

L���� ���� � �������� �� �������� � ��@��� ���� ��� �� ������ �� ���� ��������� �������� �������� ���� �������� ���� ���������� ���� � � � %#�� �� �� � � �� ������� ����� �� ���� �%

�! �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 11: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��������� � �$)�*�&)��+'�����(5%�% ��� � �� ��� ����� � ��� � � � � �% % �� � �� � ������

�� ������ � � �� ���� ����� � � ����%<% &��������$ ��� �� � �%

�� �� �� � ��� ��� �� � !�� "#���������%�� &���������

�# ������ � � �� ���� ����� �%��# " � ���� � ��

�# %�!� �� � $!�%�!��&������������5 ��� �(� ���� � ��%7% ����� ��%

#��� �������� ���� ��������� �((Q�J'K(4����5� ����� ������� ������� ��� ������� �� ��� ������� ��� �� �������� �� ��% �� ���� � ��� ���� ���% #�� ��������� �� � �������?

��������� ! �),,-�.��,��� ��(5%�% ����� ���� � ����� ���� �'% % ������ � ���� � �� �������� ���� �� �����%<% ��� ��� � � � � �� �� ��� ������ � ��� � �� � ��������� � � � ���������� ����

� � ����%7% �� ��� � � � � �� ��� ������$ ��!� � � �� � � � � � �� ��� ����� � ��%D% &���������

�� ������ � �������� �� � ������������� � � � �������������%�� ����� � ����������� � � � ����������������� �� ���� �'%�� ����� �' �� � ������

�# ��� �� � � ����� � � � ��������� � �� � �'%��# %�!� � ��� ����� � ��%���# " � ���� � � �

�# ������ � � �( �������� ���� �� �����$ � ��!� �� � ���� � ��%'# ��� ��� � � � � �� �� ��� ������ � ��� � �� � �

��� ��� � � � � ��

��� ��� %

�# �� ��� � � � � �� ��� ������$ ��!� � � �� � � � � � �� ��� ����� � �(%)# &��������� ������ � �������� �' � �������� ��

� � � � � �������� ��� �%

� � � ������ ��� � � � � ��

��� ��� ���(��'� �� �'%

8% ����� ��%

'� ��� �������� ���� �� ��� ���� ��� ������ �� ��� ��������� �� �'

��� ������� �� ����� �� �������H����% &�� ���� ������ ������� �� ������������� ��� ������� ��� ���� � �������� ������� ��� ������ �� � �������� ����� �� � ��� ���� ���% ��������� � ��� ���� ����� � � � ���������� �� �' ������� / ������� ��� ���� � ����� ������� ��� ������ �� ��� ������ ��� ���� ���� ���� ����� ��%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 ��

Page 12: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� ��������� �������� ��� �� �$��� �%�% ��� �� ��� ����� ��� ��H� ����� ��������� ����% J������� ��� �$�� ����������� ��������� �������� ��������� �� �� ������ ������$�� % #��� � �� �����H��� ����������� ������� �� ,��� ���� �� �������� ����������� ��� �� �������� �� ��/��������� �� ��� ������ ����� �� ���� ��������� ��� ����$���� �����������%(�/����� ���������� �� ������ �������� �� ��� �������� ����� �� ������ � ���� �� ��� ������� ��������� �� �������� �� �������� �� ���� �� �$���� �������� ���� ����� �� �� �'% #�� ��� �������� �� ������ ������� ���������� ������ � ��� ��� �� ��� ����� �� �,��� ��� ���� ������������������� @���% #��� �� ������� �� � ���� ���� ��� ���� �� �$����� ��������� ������H��� ��� ������� �� ��� ��������� ��������%

#� ��������� ��� ����� �� � ����� �� ��� ���� �� ��� ������ ����� �� ��������� �� ��� ����� �� �� �������� ���� ����� � ����������% +�� ���� �� ��� ����*��������� �� �� ��� �$��������� �� ��� ��� ������� ��� ����� ����� ��� �� ��� ������� �����% B� ��� ������ ��� �� ����� ����� ��� ����������� ����� ���� ����� �� ���� ��� ���� ���������� ������ �� ��� ����� ����%

'� ��� ��� �� ������������ ���� ���� ������� ���� �� ��� ���*����� ������ �� ���������� ��� ��� ������� ����� �� ��� �� � ��� ����� ������� ���� �� � % #��� ���������� �� �������� �� � �$�� � ������ �� �� ��� �$�� �������� 4��� ������� ���5% B� �� ��� ��� ������ �$�� �������� ���� �� ���� ��� ����� ��� ������ �� �������� ��� ����� ���������H��� ����� �� ����% #�� �$�� �������� �� -��� ��� �� �����������% ��� ��� ��� �� �� �� �� �� �,� � ��������� �� ��� �������������� �� ��� ��������� � C;E?�% � ������ �� K�� �� �� � � ��� ��������� �� � �������% #�� ������*

���� ���� �� ����� �� �� ���� �� � �� ������� �?

'�� ���� � ������ � � � � '�� ��

� �������������

� '�� ��

� �������������

� ����

% $������������ �� K�� � � ��� �������� �� � �������H�� ���� � � ���% #������������ ���� �� ����� �� �� ���� �� � �� ������� �?

'�� � ��

� �����������

� '�� ��

� �������������

� �� �

��������� �� ����� �� ��� ��� ���������� �� ���� ����$���� ���������� ��������� �� ����� ��H�?� 0��� ��� ��������� �� ��� ��������� ��� �� ��� �������� ������

4����� ���������� ��� �������� �� �� �� �'5 �� ����$����� ��*� ��� ��� ��� ������������� �������� �� ��� ����� �� �� ��� ����� �����*�������� �� ��� ����% A�� �$����� �� ��� ��� �� ���������� ��������� �� ��� ��������� �� ���� D �� ��������� 7� �� ���� ��� ����, ���

� �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 13: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��� �$���� ��H� �� ��� ��� ������% B��� ��� �$���� ��H� �� ����������� �� ������� ������ ��������% &�� ��� �� ����� �������� ���������� �������� ��� ���� � �������� ������� ��� ������ � ��� �� ��� ������ ����%#� �� ����� �� ����$���� ��� ��� �� ����� ����� ��� ����� ����� ���� ��� ��� ������� �� ���� ����� �� ��� ������������� ��� �� ��� ����������% #�� ��� �� �������H���� �� ������ �� ��� ��� � � �� ��� ��������� ������� �������%

� L������ ��� ������ ���� �� ���� �� ��������� �� ��� ��� � � ���������������� ��� ����%

! ����� ������� ����� ���"�# ��� �$ ����������� ������������

K�� �� ����� ��� �� ��� ��������� � �� � �*���������� ���������� � � � � ���� ��@��� �� �� �� ���� ��� ��� �� �,�� ��� ����� �� @������� ��% '� ��� �������� �������� �� �� ��� ��� ���������� ��� ��� �������� � �� ���������� ������� ����������� �� ���� ������ ��� ������ �� �������% � ����� �� ���������� ������� ��� ������ �� � ���� ��� � ������������$ ���� .� �� �������?

� � �� � ��!

���� @���� ��� �� �$����� ������% &��� ������ �� ����� ��� ������ ������� ��� �� ���

% A�� �$����� A��% 7 ����� �������� � ���� ��� ��� �� � ���� �� �������� ����������� �����$ ��� ��� ����� 0 ���� ����� ������������ 4 �� � <5% #��� �����$ ��� �� ���� �$����� ������ 4��� � � �<� �75%

'� . �� �����$ ��� �� ������� �� �� � ���� �$����� �������&$��#� � ���� � � � � ���� �� � � � ���� ��� ������������ � �� . �� 1 �� ��������$ ��� �����

# �� � �J����� � � � � � ���� �� ��<������ �J ����� ��� ��� �����$ ����%

'� . �� �����$ ��� �� ������� �� �� � �� # � �� �����$ ��� �� �� � ����&$��#� � ���� � � � � ���� &$��# �� � ����� � � � � �� �% #��� ��� � ������ � �� . ��# � ���� � �����$ ��� �� ������� �� ��� � # # � �����

# # � � �J��� � ���� � � � � �� � �� � � � � � �� � ���� � � � � �� � �� �� ��7�'� . �� �����$ ��� �� ������� �� �� � �� # � �� �����$ ��� �� �� � ����

# � # � 4��������� �5 �� ��� �����$ ��� �� ������� � ��@��� �� ��� ����� ������ ��� � # �� ��� � # �%

'� . �� � ������ ����� �� ���������� ��� �� � ) �� ��� �� �� � �����$��� �� ������� ������������ �� � � � � ���� ��� ������� �� . ��� 0� #� � ��# �� %

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 �<

Page 14: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� � ����� ��� ��� ���� � ��� 2� ����� 0� ���� � ������� �����$ ����#) �� � �� �������� � � � � � � �!� ��� ����� ����

����� � �� � � � � �

�� ���� @���� ��� �� �$����� ������� &$��#) �� � � ���� � � � � � �%L���� #� �� #) �� ���� # � #� #) �� �� ��� �� ��� ��� ���� � ���

�� � ) �%L���� # � �J���� � � � � ��� ��� 0% '� �� ,��� 0 ��� �� � )� ���� ��� ������

�� � ����� ���� �� # �! � �J�����!� � � � # � ��!� � !�%A�� �����$ ���� �� ���� ��� ��� ��*����� �� �� � ����� ��� ������������ �

������ �� ������������% ��� (� ����� �� ���� CGE �� ����� �� �% C�GE��� ������� ���� �� ��@������� �� ������������ �� �����$ ����% '� #� �) �& �� ���� �����$ ��� �� ���������� ��� �� � ) � &�� �� � ��� 0 �� 2 �� ���*�������� ������ ����������� ����� + �� �� ��� ��� #� �) �& � #� �& #) �& ��#� �) �& � #) �& #� �& %

4�"� ;�������� ����- ���� ��(�(�������

#�� ��������� �� �����$ ���� �� ���������� �� ��������� ������� ����� ��������� �� ����������% #�� ���������� �� ��� ���% J���� �� ��� ������� ��� ��� ��/������� �� ���� ������ �� � ����� �� C�DE% 1�������

A��% 7% �� �$���� �� �����$ ��� ����� ��� �$����� ������ 4��� � � � � �75%

�7 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 15: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�� �����$ ���� �� ������� ����������� ���� @���� ����� �� �$����� ������%� ���������� ������� �� �����$ ��� �� ���������� ������� ������������%�� ��������� �� ���� ��� ����� ���� � ����������� �� ��� ��� � ��� ��� ���������� ���%

#�� ��������� �� ��� �����$ ���� �� ������� �� ��� �����$ ���� �� ��� ��������� �������� ������ �� ��� @��� �����$ ��� ���� ������ �� ��������� �����$ ��� 4�������� ��� ���������� ��������� ��� �� ��� ������ ����� ��� �����$ ����5%

#�� �������H���� �� �����$ ��� �� ��@��� �������H��� ��� �� ���������� �� ��� �����$ ���%

B��� ����� ���������� �� �� ��� ��� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ���������� ���% #�� ������� �� ��� ���� �� ������� �� ��� �����$ ��� 4����������� ��� �$����� ������5 �� ��� ��������� �� ����*����� �� �������H���� �� ��� ��� � �� ��� ���������� ��� ���������� �� ��� �$����� ������ �� ��� ������� ����%

#�� ������ �� ��� ��������� ��� ������ ��� ���� � �����$ ��� ��������� ���� �� �� C!��E% A�� ��� �,� �� ��������� � ��� �� ����� ��� ��������� �� ��� �����? �� �

� % #�� ������ �� ��� ��������� �� �����$ ��� ��

� �� ��� ���� �� A��% D �� ��� ���� � ����� ��%#�� ������ �� ���� �����$ ���� ��� �� ������ �� ��� ��������� � ? �� � ��

���� ������� ������������ ������ ��������� @$�� ������� ��� ��������$ ���� ���� �������� �� ���� ������� � �� ���� ���� ������(�� ( � � ��� �����

(� � ���� � ���( � �� � � ��� ��D�

�� � �� ��� ����� �������� �� ���� �� ����������%

A��% D% )������� �����$ ���� �� %

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 �D

Page 16: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� ���-������ �� ��� ����� �(�� ( � �� ��� ���� (� � ( � � �� �I������� ���������� � ��� �� ����� ���� �� ������H�� ������� �����������?� ��

���� � (���(� � ( �� � � �� %��� ��� @�� �������� ��� *� �������� �� �

� �� � �������� �� ��� ���������� ?

� � ����(���(� � ( � � �(�� ( � � ����* � ����(���(� � ( � � �(�� ( � � ����

��8�

��� �� �� � � ��� ������� ����� ��� ��@��� �� �������� �� ��� �����*����� ����������% #��� ������������ ���� ��� �,� ��,������� �������������� ������� �� �� �� ��� ���� ���� �� ���������% '� ���� ����� �� �� ��������� ��������� �������� �������� �������� �� ���� ������������%

4�/� ����- ���� ��� ���������

�� �� ��������� �� ������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ������ ����������� �� ���������� ����� ����� ��� ������ ���������� ������������ ����� � ������� �� ������� ������ �� � �$�� ���� �� ������� %#�� ������ �� ��� �������� �� ������� �� ���� ������ ����� ��������$ ���� �� ���������� C�7� �E% #�� ����� �� ��� �� ��� ������� ���*������� ����� �� ��� ,��� ��� ����� ��� ������� �� ��� �����$ ���� �� �������� ����� ��� ���� ����� ��������� �� ��� ���������� �� ��� ���*����� ������% J������� �� �� ���� ��� �����$ ���� �������� �� ��������� ����������� 4������� �� ����������5� �� ���� �� ����������� ���������� �����$ ���� �� @��� ���� ��� �������� ���������� ��������%

'������� �� �������� ��� �� ������ ������������% '� �� ��� ����� 0�,��� ����� �� @���� ��� 3� ���� �����$ ��� �� ����������� .� �� ������ ��� �� ����� ������������� �% &�� ������� �� � � � �� � ���I���� ?

� �� ��

� �� �� �� ��G�

A�� �����$ ���� .� �� �� ��� ��� ������������� ����� @���� ��� �������� ��������� ��� �$����� ������ �� ��� ��� ����� @���� ��� �� ��������������@���� ��% '� ��� ����� �� �� �������� ��� ��� ������������� �� � ������?�%�% ��� ������ �� ��� �$����� ������ �� ��� ��� �� ������������ �� ������% '����� ����� �� ���� ��� ��� ������������� ����� @���� ��� �� ������ ������� �� ���� ��������� ��� ��� ��������� 4�������H���� �� ���������5 ������ �� �� ���� �����$ ����%

'� ������� �� ���� ��� �$����� ������ �� ��� �����$ ��� �������� �� ����� ������� �������� �� �� ��� ��� ��������� ��������% '� ���� �������� ���� ������ ��� � � � �� � � � � ��% �� � �� ���� �� ��� �$����� ��������������� �� ��� �� � �� ��� ������� ����� ������� 4���� ���� ����� ��� �� ��� �� �� ��� �� ��� ��������� ��� �����������

�� �� �� � �5% '��� ��

�8 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 17: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��� �� ���� �$������ ������ �� � �� ��� ����� �� ������� ��� �� ��� �� ��� �������? ���� �� ��% �$��� � ������� ��� ����$ ���� ��� ���������� �� ��� ��� �� �$������ �����%

#�� �������H���� ����� ��?

��������� % '������H�����% ��+*� � % �� � �<% �� ����� � �� ��7% " � � � � � �

�� �� � �� ��

#��� �� ��� L�������� ���� � ����� �������� �� ������ ��� �$��������������� �� �� �%

��������� & CL�����4�� ���� 5E�% " � � � � � %�(��� �

�� � ��� ������ ���� �� � � �� �� � �� ������� �� ���� �� � �� �� � �������� ��+*��� �� � �

% " � � � %�(��� � � � � � �� �� �� � �� �� � !����� �� �� �� � �� ������� �� ���� �� � �� �� � �������� ��+*��� �� � �*���

�� �� ���� �� � �� ��+���� ���� �� �� �� � �� ����� ������ �� � ��

#��� �������� ���� � �������� ����� ���� ����� ��� ���� �� ������������ �� ����� ���� ���������� ��@������ �� ��� ����� ���� ��������� ��� ��������� �� ��% #�� ��� ����� �� ��� �$����� ���*�������%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 �G

Page 18: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

'#����� � �'����� � ��� � ������ � � �� ��� ��� ���� � ����� !��� ���������5% ������� �� ��� ����� 0 �,��� ����� �� ��� ��� � � � �� � <� 7��� ��� �������� ����� ��� ��������� ������������?

���� �� �� ��� ��������� 8 �� ���� ���� ��� ��������� ������� �$�����������?

������� �� � ���� � � � ���� �� ��� �� ����� ������ �,��� ����� �� ���@���� ��� �� � �� � � � � � �� �� 2 ����� ����� �,��� ����� �� @������� �% #���� �� �� ��� ���������� ����������� � �) ���� ����� ���� ���*���� ��������� �� ���� ��� ��������� 8 ��� ��� � � �� �� ���� ������� �����$ ��� #) ��� % #�� �� �� � � �� &$� � �� ��� ��� �� �$����� ������ �� ��������$ ��� �������� �� ��� ����������� � �) �� � �� ����� �� ������ ������������� 8� ���� ��� ���� �����$ ��� �� � ������ ���� ��� ���������������� �������?

&$��#) ��� � �� ����

&$� � � ��;�

'#����� � �'����� � ��� � ������ � ��� � ����� ��� ��� ���� � ����� !�����������5% K�� �� ������� ��� ����� ������ 0 �� 2 �,��� ����� �� ������� �� �� � �� � ���� � �� ����������� % ������� �� ��� ��� �������������������� ��) �� � ����� ���� ��� ��������� ��� �� ������� ��������?

'� �� ��� ��������� 8 ��� � � �� �� ���� ��� �����$ ��� #) ��� � % #��������$ ��� �� ��� ��������� �$����� ������?

� < 7

�� !� D !� D !�7! !��!� !� D !� ! !�7D !��!�< !� D !� ! !�7D !��D�7 !� D !� ! !�7! !��D�D !� ! !�<! !�7! !��!�8 !� ! !� D !�7D !��!�G !� ! !� ! !�7D !��D�; !� ! !� D !�7! !��D

� < 7

� !� !��D !�7 !��� !� D !�< !�7D !��D

�� � �� � � !% !%G !%7 !%7� !%< !%; !%8 !%8

�; �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 19: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

&I��� � ��� � � �� ���� ��� �����$ ��� #) ��� ���� ��� ����������$����� ������?

B��� ����� ��� ����� ����������� �� �� ���� ��� ���� ����������#) �� ����� ������ 4�;5% B� ���� ��� ��������� �$����� ������?

% (���� ����������� ����� �� ��� ����������� �$ ���"�# ����

'� ���� ������� �� ���� �$���� ��� ������� ����� �� � ���� �� �,���������� �� �����$ ��� ���� �.�����% '� ����� �� �� ��� �� �� ������������ ������ ���������� �����$ ��� #) ��� ���� ������� ����% B� �� ������� ��� ��� ��������� �������� �������� �� ������� ��� ��� ���*������� ���%

#� ��� ������� ����� �� ��� ��������� �� �����$ ����� �� �� ����������� ������ ���� � �I������� ���% A�� ��� ����� ��� �� �������� ���� ������� ��� ���� ���� ����������� �� ��� ������% #��� ������� �� �����$ ����� ���������� ������� ������������� �� � ���� � � � � � �% B� ���� �� �������� ��� ���� � ���� ��� � � � � �% #��� ���� �� ��� ����� �� ����� �� �� ������������� ����% 0� ���� ���� �� �������� ��� �� ��� ������� �������*����� �� �������� ��� �� �� � � ��� ������� ��� ���� ���� �� �����$ ��� ����� �$����� ������� ��� ��� ���������� �� ��� �� ��� ������� ���� �� ��% #��������� �� �� ����� ��� ������ �� ��� ���I��� ���������� ������� �����������% '� � ���� �� ��� ������� ������ �� �� ���� ��� ���������� ���*���� �� �� ����� � ���� �� �� ���������� �� ��� ��������� � ? ����� �� � ����� ��� ���������� ������� �� �� ����� � ���� �� ��% B� �� ����� ��� ������������ �� ��� ������ ���� ��� ����� ���� ���� ������������% #�� ���

�� � �� !� !�;� !�< !�G

� �� ��� � �� � � � � ��� � � � ��� !� !�; !�7 !�8� !� !�; !�8 !�7�< !�< !�G !�7 !�8�7 !�< !�G !�8 !�7

�� � ,� !�7 !�8, !�8 !�7

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 �3

Page 20: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

����� ��� �� ������� �� ��� ��� ��, �� ,�������� ��� ��� �������������������� �� ��� �$������ ���� ��� ���� �� � �������� ���� �$�������� ����� ������� ���������� ������� ������������% R������ �� ,���� ��� ��������% B� ������� ��� ��� ����� �� " ���� � �� % ��������� �� " �,�� �������� ������ ���� �� ������� ��� �� � ��� � � � � ��% #�� ��� �� �� ,��� �����/����� ����� �� " � �������� �� ��� ������%

������� �� ��� �� @�� ������ ������������� ��� ��� ���� ���������������$ ��� #) ��� � �� �� ,��� ����� �� ��� �$����� ������ �� ��� ��� �� ��������$ ���� #) ���� � %

'� &$���� ��� ���� ���������� #) �� �� ����������� ���� ������ ����� ���� �����$ ���% &�� ����� �� ������ ���� ���� ��� ������% ��� ������ �8 ��� ������ �� ��������� #) �� % � @��� ����$������ �� ��� ���*���� ����� ���� � �� ��� ��� ��������� ����� " � ��� ���� �� ��� ���*���� ����% #��� ����� " ���� ��� � �� ���� � ��� ������ ����� ���������������� �� #) �� �� 4���� ������ �� &$���� 5% &�� ����� �� ���� �������� � ��� ������� ���� ��� ���������� ��� ��� �� ��� ������ �� #) �� % '�A��% 8� �� �� ��� ��� ������� ���� ��� ���������� ��� �$����� ������ ��#) �� % '� ���� ������� ���� � �$����� ����� �� ����� @$��� " �� ��� �� ���������� �����%

� ���� ������ ������������� �� � ������ �� �� ��� �������������� � � ��� ��� � � �� % #�� �� �� � � �� �������� �������������� ��� ��� ���@������� � � �� �� ��� ��� �� ������ �� % � � ���� ��� ��� ���� � ��� ����� �� �$����� ������ ����� #) ���� � ��% #�� ����������� ��� ������������� �� ������ �,��� � ������� ������������� ��������� ��������� ������ ���� ������% '� �� ������ ���?

���) � � � �� � � � � � �� � � � � �� � ��3�� ������ ������� ���� �� ���� � ���� ������� ��� ������ �� �� ��

��� ����� ������ �� ��� ����� �� ���� ��� ������������� ��������� �����% ���� ���� �� ���� ���������� ������� ���� ���������� ���@������� � �� �� %R�$�� ��� ��� ��� ����� �� ��� ��� ��������� ����� � � �������� �� ���

T

X

Y Y

.4 .6.2 .8

X

Y Y

X

Y Y

.7 .6

X

Y Y

.2 .8 .6 .4 .3 .4 .3 .7 .6 .4

A��% 8% )������ ���� ��� ���������� #) �� �� &$���� %

! �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 21: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

���@������� � ��� ���� ��� ���� ����������% A���� � ��� � � ���� ��� ��� �������� � ��� ����� �� �$����� ������ ����� #) ���� � ��% &�� ��� ������� �������� ���� � ��� ���� ��� ���������� ��� �� ��� �$����� ������ ��#) ���� � % A��% G ����� ��� ������� ���� ���� �� ��� ��� �����$ ��� �� &$*���� % #��� ��� ������� ���� ��� ����� ����� ��� ������ �� ������������ ��� ���������� � ��� ���� �� A��% 8%

'� ���� ��� ����� ����� �� ��� ���� �����$ ��� #) ��� �� � ����� @$����� ��������� ����� � � �� ��� �� ��� �����%

<�"� ����� ��(�(����� ����� � ��������� ��)�-����� �����

'� ������� 7%� �� �� ��� ��� ������ �� ��������� �������� ���� �����$���� �� ���������� ��� ����� �� �� �����$ ��� �� ������� ���� �� ���!� ��% #��� �����$ ��� �� ������� ��% '� �� ��� ������� ����� �� ���*������ ���� �����$ ��� �� ��� ��������� ��������� ���� �� ���� ��� ������������ ������� ���� ��% ��� A��% ; ��� � �$���� �� ��� ���*���� ���� �� ������������ ��� ������ �� ��������� �������� ��� �����0 ���� ����� ������� ����� � �� � <�% 1����� �� �� ���� � �� �� ��� ����������� ������ �� %

&$����� ������ �� �� �� � ������ ���� ��� @$��� ��� ��� �� ������������ ������ 4��������5 ���� �� ����% '� ���� � � �� �� ������� ������ ��� ��� ����� ���� ��� ����% A����������� ���� �� ����� ������ ����� ���*�$����� ������ ����� ��� �� � ������ ���� ����� ����������� ����� ������% A�� �$����� #�� � ����� ��� ������ ������ ���� ���������� ���� �� A��% ;% #��� ��� ����� ��� ����� �!� � !�7� !� D� ����� ���� ����� �� ������ ���� �� ����� �!�<� !�7� !� D� ����� � ��� ������� �������� ���% ������� ������ ���� ����� ��� ���� �� � �$����� � �������������������� ��� ��� ��� ����� �$�����% A�� �$����� ��� ������� ������ A��% ; ����� ��� ���� � �<�� � �% #�� � �� ��F��� ���� ������������� ��

A��% G% � ������ ������� ���� ��� #) �� �� &$���� %

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 �

Page 22: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

������ �!� � !�7� !� D� �� �!�<� !�7� !� D� ���� ���� �����% #�� � ���������� ������ �!� � !�7� !��D� �� �!�<� !�7� !��D� ��� �� ��� �$����� ������ �*���� ��� �� � ������ ���� ����� ��������� �� �!� � !�7� !��� ���!� � !�7� !� D� ��� �!� � !�7� !��D�� �� ���� �!�<� !�7� !��� �� �!�<� !�7� !� D� ����!�<� !�7� !��D�%

B� ��� �������� � �������� ����� ������ ��� ��� �������� �������4������� ������� �� ���*�$����� ������ ��� �� ����� ��������� �� ���*���5% #��� �������� �� � ���������� �� ����� ��/����� ���������% K�� ��������� �� ��� ������� ���� �� ������������ ��� ���������� �����$ ������ ����� �� �� ��������� ��������%

'� ��� @��� ��������� ������� ��� �� �� � ��� ���� ���� �� �� 4���� ��� ������ ��� ������ ���� � ���������5% A����������� ������� ��� ����� �� �������� ��������� ������ ���� �������� ����� �� ��� ����%

#�� ������� ���� �� A��% ; ����@�� ����� ����������% '� ���� ��������� ���� ���� ������� ������� ���� ��

� ����� ���������� ��� ��� ���������������$ ���� ���� ��� ��������� ��������?

A��% ;% ��������� ������� ���� ��� ����� =%

#�� �

)����� ���� ��� ������� ���� �� A��% ;

�� � �< � <

� � � !% !%7 !%�

� � !% !%7 !%�D

� � !% !%7 !% D

� !% !%7 !% D

� � !%< !%7 !%�

� !%< !%7 !%�D

� !%< !%7 !% D

!%< !%7 !% D

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 23: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��������� ) �4���56�����"�������5%����� � ������� ���� �� ���� ����� ����� �� � ��� ���� ���� ������ �� ������ ��������� ������ ���� �������� �� ��� ����%*������ � ������� ������� ���� ��

� ������������ ��� ��� ���������� ��*��������%�% ,�� �� �� ��� � � � � � �� ���� ��

�% % " � ���� � � ��

� +�� ��� � �$ ������ � ���� �� � ������ ���

� �� ��� � �$ ��� �-����?� ,�� � �� ��������� �������� � � �� ��� ���� � ��� � � � � ��

�� ����� �� � ��� ����� �� � �%� ,�� �� ���� ������ � � � � � ����� ����� ������ ���� ���

� �$%� &��������$ ��� � � ������ ���� ��� ����� �� ��� ���� � ��� � � � � ��

� � ����� �� � ��� ����� �� � �%<% ����� ��

'� �� ��� ��������� G �� ��� ���� �� A��% ; ���� �� ���� ��� ������� ������ A��% 3% A��� ��� ���� �� A��% 3 �� ���� ��� ������ �� #�� ������ ������� �� #�� �%

'� ������ ��������� ������� �� �� ��� � ��� ���� ���� �� ��� �� �� ������ ������ ��������� ������ ���� �������� �� ��� ���� ����% '� A��% �!�� �� ��� ������� ���� ����� ��� ���� ��������%

��������� + �4���76�����"������� �"�5%����� � ������� ���� �� ���� ����� ����� �� � ��� ���� ���� �� ��� �" �� ������ ��������� ������ ���� �������� �� ��� ����%*������ � ��� ��(��� �� ������� ������� ����� ��

� ������������ ��� ��� ���������� �����$ ��� ��� ��%�% %�!� ��(��� � ����� ���% % �� �" �� � �����?� ��!� � ��������� �������� " �� � �"%� " � ���� ����� (� � "?� +�� �����(��

� ���� ����� ������ �� A��� �������#����4�����(����" � � 5 � �����(���

<% &��������$ ���� ���� ������ �� A�����������#���4��5 � ��� ��(���7% ����� ��(���

A�� �$����� �� �� ��� ��������� ; �� ��� ���� �� A��% �! �� ���� ���� �������� �� A��% ��% A��� ����� ��� ������ �� ���� ��� ������ �� #�� <%

'� ��� ����� ��������� ����� �� �� ���� � � ���� �� ��% A�� �$*����� ��� ���� �� A��% � ���������� ������ ��������% #�� �������� ���

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <

Page 24: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

������ ���� ������ �������� ���� ����� ������� �� �� ������� � ��� ��������% #�� ������ �� ���� �������� �� ��� �� �I�������� ������� ������� �����% #�� ������� �� ������� �� ���� ����� ��� ����������% A����� �� ������� �� �������� ����� ���� ��� ����� �% #��� ���� ��� �� ��� ����� ����� ��� � � � � �� ������������� �� ������� �����������% '� ���� ���� �� �� ���� ���� ��� ��� ���� ����� ���� � �� ��� ��� �� ������ �����% ������� ������� �� �� ����� ���� �� ��� �� ��������� ; ���� ��� ������ �� ����� �� ����� ���� ������� ��� �� �I�������� ������� �����%

A��% �!% � ������� ���� ����� ��� ���������� �� ��� ������ ��������%

A��% 3% ������� ���� �������� �� ���� �� A��% ;%

#��

)����� �� ��� ���������� �����$ ��� ������ ���� ���� �� A��% 3

�� � � <

� � !% !%7 !%�

� !% !%7 !% D

� !%< !%7 !%�

!%< !%7 !% D

7 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 25: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� ��������� �������� ������ ��� ������ ��������?

��������� , �4���86�����"�������5%����� � ������� ���� �� ���� ��� �� ��������� ������ �� �������%*������ � ��� ��(��� �� ������� ������� ����� ��

� ������������ ��� ��� ���������� �����$ ��� ��� ��%�% %�!� ��(��� � ����� ��� % �� ��� � � � �� �� ������ ���� � ���� ����� � ���� � ��(��� � ����

���� � � ������ ���� �<% &��������$ �� ��� � � � �� �� ������ ���� � ��������� �������� "� " � ���� ( � ��

� ���� ����� ������ �� A���<�������#����4�����(�� 5 � ��(���

7% &��������$ �� ��� � � � �� �� � ������ �������� ��

� ������ ��� ��� � � �� ��������� ��������� �" �� � ������ � ���� � �#

� ���� ����� ������ �� A��� �������#�������� �"� � ��(���D% ����� ��(���

'� �� ��� ��������� 3 �� ��� ���� �� A��% � �� ���� ���� ��� ������ ��#�� 7%

#������������ �� ���� ������� �� � ������ �� ����������� ����� �����������% '� ����� ����� �� ��� ��� �� ��������� ��� ����������� ������� ����% B��� �� ��� ������� ���� � �� ����� ��� �� ��� ��*����� �� ��� ��������� ������� ���� �� �� �������� � ���� ��� ������ �� ����� ��� ������ �� ������� ��������� ���� ���� ��� ��������

A��% ��% 0����� ����� ���� ��� ��� ��������� ; �� ���� �� A��% �!%

#�� <

)����� �� ��� ���������� �����$ ��� ������ ���� ����� �� A��% ��

�� �< � < �� � <

� � !% !%7 !%� � !% D !%7 !% D

� !% !%7 !%�D !%< !%7 !% D

� !%< !%7 !%�

!%< !%7 !%�D

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 D

Page 26: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

����� ���� ��� ��� �� ��� �$ ����� �� ��� ��� ������% B� ��� ��� ���� ����� �� ������� ��� ���� ������������ �� ����������� ����� �� ����*����� ��������� ������� ��� ����� �� ���*�$����� ������ �� ��� �����*����� �����$ ���%

<�/� ������� ��� (������ �9� ���� ����-����� ���������

'� ������� < �� �� ��� �� ���, ���� ����$���� ������� ����� �� ������������� ���� ������� ���������� ����$���� ����������% #��� ������� �� ����� ���� ��.���� ������� �� � ����$���� � ��� ���� ��� ��� ���$�� �����% '� ��� �������� �� ���,�� � ��� �� ��� ������� ����� ��������� �����$ ���� �� ����������% �����$����� ������� ����� ����� � ���� �� ������� �����$ ���� �� ����������% �����$������� �� ���� ���� �� ���� ��� ���� ���� ��� ������� ����������� �%�% �������������������� ����� �� ��� ���������� ����% �����$������� �� ��� � ���

#�� 7

)����� �� ��� ���������� �����$ ��� �� A��% �

� <

!% !%7 !%�

!% !%7 !%�D

!%< !%7 !%�

!%< !%7 !%�D

!% D !%7 !% D

!%< !%7 !% D

!% D !% D !% D

!% D !%< !% D

A��% � % � ������ ���������� ������� ���� ������ � ������ �� ��������� ��������%

8 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 27: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�� ��������� ���� ��������? �������H���� �� ���������% '� ��� ���������$������� ���� � ��� ����� ��� ��� ��������� � �� ��� ������������� 4)���������� 5% ��������� )���������� � ���� � ���� �� ������� ������� ��� ����$����� ����� ������% '� ���� �������� �� ���� ��� ��� �� ���� ���� �� ��� ��������� ������ ���� �� ��� ����$���� ������� ����� ����� ��������� �� �����$ ���� �� ����������%

#� ���� ��� ��������� ������� �� ���� ��� ��� ����� � ��� ��� ���� ��������� �����% '� ��������� �� ��� ��� ��� ���� � � �� �� ��� �� �������� ����� ��$ � � � ��� ��� ����% #���� ����� ������ �� ��� ��� ��*����� �� ����� ��� ���� ���� �� ��������% B��� ���� �� ��� ���� �� ������ ����$����� ���� ����� ��$ �� � ���� � �I��% +�� ���� �� �� ����$*����� ���� � ���� � ������ ���� �� ��$% K�� �� �$���� ��� �� ������� ����

�� ��$ ���� �� ���� ���� ���� ������� ����������� ���� �� ������ �������� �� ���� �� �� �������H���� �� ����%� � ��� ��� � � ����% '� ���� ���� � ����$������ �� ��� ���� ������

����� �� ��� ���� ������� �� ���������� ��� ��� ���� � �� ��� ������������� �� )���������� �% K�� � � ������� �� ��� �� ������ �� %������� �� �� ������� ���� � ��� � �� �� �� ����� �� ����$���� ��� �� ����� �� � ���� ��� ��� ���� �% #��� ��� �� ����� �� ������� ������ � �� ������������ ��� ����������� �� ������� � �� ���@��������� � � � �%�% ��� ����� �� � ����� �� �������� ���� ���@��������� � � % #���� �������� �� )���������� �� � ���� � �������� � ��� ������� ������ � �% ���� �� ��$ ���� � �������� �?

���� � ��� �

������ � ��

��$ � �$ �

������ � ��� !�

� � ������ � � ����% ������� �� �� ����� �� ������ ��� ����� �� ��� % '� ������� < �� ������� ��� ������� ��� �,��� � ����$����� ���*������ �� ����� �����?� L������ ������ ��������� ���� �� ����� �� �������� �� ��� ������� ��H�%

'� ���� ���� � ��� ��� ���� �� ���� �� ��$ ���� � �������� � �� ��������������� �� ��� ����%

� ���� �$������ ��� ��������� ���� � ����� ��H�% ������� ��� �� ������� ��� ������ �� ��� ������� �� �� �� �� � ��� �� ��� ������ ������� �� ��� �� ���� ����% #��������� � ��� ��� ���� �� ��� � �*���$���� ��� ����� �� �������� � �$������ � ��� ��� �� �������<% ���� �� ��$ �� �������� �?

���� � ��� �������� ���� ������������� � �$ ��$���� ��$ ��$�����

� ��

����� ������� �� ��$��� ��������� ��� ��� �� ���� �� ��$ ����� �� ���� ������������� %

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 G

Page 28: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

��� &$���� < ��� ��� ����� ����$������� �� ���%� $������������ � �� ����% ���� �� ��� ��� ��� ��� ������������% '� ���

����� ��� �������� �� ��������� ������� �� ���������� �������� ���������� �������%

'#����� � �*������ ���� ��� ��$ �� � ������ � � ����5% ������� ��� ��������� ����� ��������� ���� �������� ��� ����� �� �� � � �� ������ ����$���� ��H�% �� ���� ������� ��� ������ ���� �� ����� �� ��� ���� �� A��% �<%����� �,��� ��� ����$������� �� ���� ��� ������ ���� �� ��� �����*������� �� A��% �<%

����� ��� ��� ��������� �������� �� ���� ���� � �� A��% �7% A������� ���� �� �� ���� ��� ,���� �� �������� ��� ��� ��� �� ��� ����������?� #���� ������ ���� ��� ��� �� ������ �$������ ���� ��� � ����� �� ���

������ �� ����� ������ 4�85% #���� �������� ���� �� ������ � ����$�*���� ��������% #�� ��� �� ������ �� �$������ ���� ��� ���� ����� ��� ���*������ ������� �� ������� D%�%

� #���� ������ ����� ��� ���� �� ��$ �����%K�� �� ��� �$���� ��� �� ��� ��� �� ������ ���� ��� ���� �� ��$ �����

�� ��� ����� �� � ������ ������� ����% '� ����� �� �� ��� �� �� ��� ������ ��������� �������� �� ������� D%� ��� � ������ �� ��� �� ��������� G��� �� �$ �� �������� �?

��� � ��� ���� ������ ���

�$ � �$ ��$ ������ ���

� �

A��% �<% K��� ���� ���������� � ��@������ ������ ���� ��������� ���� �������� ��� ����� �� �����

���� ���������� ��� ��� ���� ���� �,��� ��� ����$�������%

; �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 29: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� �������� ������ ���� ���� �� ��$ ����� ���� � ����� ��� ����������� ���� ��� � ������ �� �� ������ �� ���� ��� ������ ��� �� ����$�*����� �� �$�� �������� ���� � �������� �� ����� ��������%

& '#���������� �������

'� ����� �� ���� ��� ������ �� ��� ��������� �������� ����� �*���$����� ������� ����� �� ��� ��� ��� ���������� �� ��� ���� �����$��������� ����� ���� ������������ �����? +������3 C7E� +��� C<3�7!E��� ����� 4 ������� ���� ������, ���������� ����,��� R��-���� �� ��� �������� ����� ������, ��� (% J��,���� �� �% ��������� ��C 3E5 �� ���� C E% #���� ����� �� � ����� �� ��� ��������� ��� ������������� ���� �%�% � ��� ���� �� ��� ���������� ������� ������*�����% )�������� �� ����� ������,� �� ��� ��� ��.���� ���� ��������������� �� ����%

B� ��� ���������� ��� ������� � ���� ������ ������ ������� �������% #��� �,�� ��� ������ �� �$�� ��������� ��� ��.���� �� ����������� �� ������ �� �,��� ���������� ����� �� ���������� �����*�����? 3�!!G�33� �!�D �� +������3 � 7�D 3;7;� �!; �� +���� D� 7 ;;;� �!D

�� �� ����� �� ��G�<73D� �!3< �� ����% #� �������� ��� ������� ����� � ������� �� ��� ��� ��������� ���������? ��� ��� � �� ������ ������������ � ���� ��� ������� �!��$��� �� �� -�� ���� - � � ���� �������������� 4�� ��� ���� - � !��5% #��� � �� ���������� ���� ��� ��������� � �� � � ��% #��� � �� ��������� ��� ������� ������� ��� � � �� !% ����*����� ���� � � !�! �� � � ��! �� ���� ���� �!�!� !�!� �� ���!� ��!�� ����������� %B� ��� ���� ������ ���������� �������� 4��������� �5 ������ �� ������ �� �����$ ��� �� ����������% '� ��� �$���������� ��������� ��

T21T

T2

X

T3.3

.1 .15

.25

.4

.2 .25[.1-.25] [.2-.3]

[.2-.35]

[.05-.15][.1-.25]

[.2-.3]

[.4-.4]

A��% �7% �� ������ ���� ������ � ������ �� ��������� �������� ����� ����$����� ����*

�����%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 3

Page 30: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

�������H���� �� ������ ��� ����� ��/����� �$���� ��H�� ��� ��� ������������� �����% (�������� �� ��� � �� ��� ��������� ����� ������������ �� ����������� ��� ,���� �� �$���������?� �� �9���",5% ��������� �� �������H���� �� ������ ��� ���*

��������� ��� ������ ���� �� ����� ��������� ��H�%� �� �9���",8% ��������� �� �������H���� �� ������ ��� �� � �$��

� � �� �� ���� ������ �� ����� ��������� ��H�%&$��������� ��� ��� ��� �� � '���� )������ '' 47!! �JH5 ��������

���� <;7 �+ �� ��� �� ��� K���$ ���J� �������� � ���� ���� ,����� %!%<8% ���������� ��� ��� ����������� �� � ������%

)�������� �������� ����� �� � ������ ������� ���� � �� A��% �7%A��� ��� ������ ���� �� ��� �������� ��� ���� �� ������ ����� ����������������� �� ������� D%�?� #���� ������ ���� ��� � �����% A��� ����� ������ �� �� ���� �

����$���� ������� � � � ��� ��� ��� �� ��� ����� �� �������� ����������� 4�85%

� #���� ������ ���� ��� ���� �� ��$ �����% A��� ����� ������ �� ��� �*��� � ������� � ���� �$� ��� ��� ��� �� ��� ����� �� ��������� �������� ��� ����� �� �������� ����$����� ��������% #���� �������� �� ��*������ ��� ����� ������ 4�85%&$��������� ��� ��� ������ ��� ��� ��/����� ������ �� �������� ��

���� ���� �� ���� �� ��� ���������� �� ��� ����� ������ 4��� #�� D5% #����������� ���@�������� �� ����?� % ������:7� % ��? 1���� �� �������� �� SS#(? #��MM% R� ����������%� % � ? 1���� �� �������� �� SS�#? ���� MM% R� ����������%� % �<? 1���� �� �������� �� SS#(? #��MM% 0�������� � SS#�? #��MM%

� % �� � % ��? 1���� �� �������� �� SS����� � 4A�5MM% R� ����������%� % � ? 1���� �� �������� �� SS����� � 4A�5MM% 0��������� � ������

SS����� �� � ��MM� SS����� �� ��MM �� SS����� ���� ����MM%� ��� 6����� ����? 1���� �� �������� �� SS&����� �����MM% R� ����������%� ��� ? 1���� �� �������� �� SS&����� �����MM% 0��������� � ������

SS���������MM �� SSK�����MM%� )���� )���? 1���� �� �������� �� SS+)MM% R� ����������%� )��7? 1���� �� �������� �� SS+)MM% 0��������� � ������ SSK1A�'*

K��&MM� SS)�K�&�+0K��MM �� SS��#�0 MM%B� ��� ��� �������� �������� � � � �� � ���� �$� ��� ��� @��� ��� ��

��� �� ��� ������ �� ��� ������, 4����� �� ��������5% '� ��� ������� ���������� ��� �������� ���� �� ������� 4(� �� ����5 ���� ��� ���*�����%

<! �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 31: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

5�"� .������ ��� ���������

'� �� ��� ����� ��� �� + ���� ������,�� �� �� ��� ������� �� ���� ��� ��� ����������� �� ������ ���������� � ��� @�� ������� �� ��� ��*��������� �� ���� ����@������ �� ������% 0�� �$��������� ���� ��� ���� ����� ����% B� ��� ���� �� ����� ��� @�� ���������� �� �� ��� ��������!�� � !� �� ������� �!�3!� !�3D�� ������� �!� � !�D<�� �� �� ��� ��������!��G� !�<7�% ����������� ��� ������ ��������� ���������� ��� ��� ������ ����������� ��� ��� @�� ���������� ���������� �� ������ �� ����� ��������%

#�� D

#�� ���� ������,� ���� �� �$���������

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <�

Page 32: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#���� �� �� ������� �� ��� �������� �� ����� ������ �� ��� ��������� �� �� ��������� ��� ��� �� ��� ����� �� ��� �� ��� �$������% #��������� ������������ @�� ���������� ������� ���������� �� ������� �� �� ��� ��� @����������� �� �,� ���� ������ ��� ����������� �� ��� ����� �� ������� %

�������� ��� ���������� �� ��� ����$���� ��������� �� ���� ����� ����� ������� ��� ��/����� ���������?� #���� �� ��������� �� ����� ��� ����$���� ������� �� ��� �������� ���� �$� �� �I�� �� ��� ������% '� ���� ���� �� �� � ���� ��� ������ ��� @�� ���������� ���������� �������% #��� ������ �� ������ �������4A���% �D �� �G5 ���� ���������� ����� �� ����% J������� ��� ������ ����� ������ �� �� �������� ��� ����� �� ��/����� ���� ������� �������*����� ��� ������ ��� ��� �������� ��� � �$�� �������� �� ��� ������4���� D� 7 ;;;� �!D �� �� ����� �� ��G�<73D � �!3< �� ����5% #��� �� ����� ��� ��� ��� �� ��� ���� ����������� �� �� ��� ����� �� ������� %#�� ������ ����� ��� ��� ���� ������� �� ����� �� ��� ������������ � �$�� ����� ���� ���� ���� ������$ ������,�%

� '� ����� ��������� ��� ����$���� ������� �� �������� ���� ����� ��� ��*��� ������� � ���� �$� �� ��� ������������% '� ���� ���� �� ����� � ������� ��� ����$���� ������� ���� ���������� ��� ��� ������� �� ��� ���������� ���������� �� ��� ������ ���� ��� ������� ������ ������*����% #���� �$��������� ��� �$���� ���� �������� ��� ����������� ��������� ���������� C7;E? �� �� ��� ��� ��� ��� �������� ���� ��� �!� ��% #���� �������� �� ��� �������� ����� ����� �� ����� ������� ��� ���� �� ��� �� ������% '� ��� � ����� ���� ������ �� ���������� ��� ��������� ������ �� ,������ ��� ��� ������� �� �$������� ��� ���������% #��� �� ��� ���� ����$������ ����� �� � �����*������ ���� ����*��H�� ����� 4��� ��H� �� ������ ���������� ���������5%��� �� �� ����� ���� �!� �� �������� ���� ���� ��� �������� ����$���������������� �� ���� ����� �� �� ��� ����� �� ��� ���� ���� ��� ���� ��,������������%�������� ��� ��� ��� ���������� ����� �� ��� ������ �� ��� �*

���$������ ��������� 4)���B���#(�� ����� ����� ����$���� ����� ����� ����� ��H� ����� �,��� ������������ �� )���B���#(<� ����� ���������� � �$�� � �� ����$����� ��������5� �� ��� ����� ��� ��� ������������� ����� ������� �� ������ �� �� ����� ���� ����� �� ��� ��� �$������������� �� �� ���� ���������� ������,� ��� )���B���#(� �� ���������� ��� ���� �����%

) -����������

'� ���� ���, �� ��� ����� � �������� ��� �������� ���� ������� ������������ �� ��� ��� �� ��� ������� �� ����������% '������� �� ����������

< �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 33: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

���� �����$ ���� �� ����������� �� ��� ��� ��������� ������� ������ �����*�����% �����$ ���� �� ���������� �� ����������� ����� ������� ����� ������� ���� �� ��������� ������% B� ��� ��������� ���� ������I��� ��� �,���������� ���� ���� �.����� �$�������� � ������� ������������� ������������� ������%B���� ��� ������� ������I�� �� �������� ���*�$����������� ���� ��� ������ �� ��������� ��������% #��� ������I�� �� ��� ������� �� ����������� ����� �� ���������% A���� �� ��� �$��������� ���,��� ��� ������ ��� ��������� �������� ����� ����$����� ��������� ����������� �����% #��� ����� ��.���� ������� �� � ������ �� � ����$����� % #� ���� ��� ����� ��������� �� �$��������� �� ��� ���� ��� ��������������� �� ������� D% % #�� �$��������� ���� ��� ���� ������ �� ��������������� �� �� ������� ��� ����� �� ��� ���������� �������� ���� ��� ��H� ����� ����% A����������� �������� � ���� �$� �� ������ �� �� �� ��� �������$�� �������� ��� ����� ��H� �� ������� �����% '� �� ��� ��� ������ �$��@�� �������� �� �� ��� ���� ����� �� �� �� ���� ������ ����� ��� ��� ����%

#�� �$�������� �� ���� ���� ������ � ����������� � @��� ���� �� ������������� �� @�� ���������� ��������% #�� ��������� ����� � ���������� ��� ��������� ����������?� ���� ��� ��������� �� ��� ����� �������� �����$ ���������� �� �����*

������ ����� �� ��� �������� �� ��� ��� � ��� ��� ���� ��������� ���@�� �����$ ���%

� ���� ��� ���� ������H���� ���������� ���� � �������� ������� ���$���H� �� ������H� ���������� ���������� ��� ��� ��/����� ����� ����� ��������� ������ ��������� ��� ������ �� C�!E%

� ������� ������� �� ���������� �� ��� ����$������ �� ����� �� ��� ����� ��������� ������% R��� ��� ����$������ ��������� �� ��� ������������� ��� �� ��� ������ �� �� ��� ��� �����? ���������� ���*���% J������� ��������� ������ ��� ��/����� ������ �� ����$*������� ����� ������ ��/����� �������%

�������� �������

#��� ���, �� ��� ��������� ��� �'�T# ����� ���-��� #'�3G*��<D*�!7*!�% B� �� ������� ��� �������� ���� �/� O-U���/ �� ���� ����������� �� ��� ������� ���� �� (������� ������� � ����� � ����� ���*������ % #��� ���� �� ��� ���@��� ���� ��� �������� �� ��� ��������%

����� �# �

#��� 86�7 �� A���% �D6 � ���� ��� �$��������� ������� �� ��� ����$*����� ���������%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <<

Page 34: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#��

8

'������������������)���B���#(�45��)���B���#(<45�������@�������+���

�����6������0/������,

�!!!!

!!!!

<!!!!

7!!!!

D!!!!

8D!!!

G!!!!

�!!!!!

!!!!!

45

�!%�<�D;G

!%�<!;DD

!%�<!G7!

!%�<!G7!

!%�<!G7!

!%�<!G<<

!%� 7G�<

!%� 77;G

!%� 77;8

�!% � 8<7

!% �<38<

!% �<38<

!% �<3G<

!% �<3G<

!% �<3G<

!% 73 7

!% D< G

!% D< G

���

!%��77DG

!%��77DG

!%��77DG

!%��77DG

!%��77DG

!%��77DG

!%� 77;8

!%� 77;8

!%� 77;8

�$

!% 7<< <

!% 7<< <

!% 7<< <

!% 7<< <

!% 7<< <

!% 7<< <

!% D< G

!% D< G

!% D< G

( �8%D

�<%D

3%7

<7

<7%D

<D

<G

8�

8

45

D!!!

�!!!!

!!!!

<!!!!

7!!!!

D!!!!

�!!!!!

�!%� ;<G7

!%� 7;GD

!%� 7G 7

!%� 78G�

!%� 78 !

!%� 7D!3

!%� 77;G

�!% < G73

!% 7 77

!% 7<<8

!% 7;!3

!% D <

!% D<�

!% D< G

���

!%��!;G;

!%���8D7

!%��7D8;

!%��78D<

!%� 77;8

!%� 77;8

!%� 77;8

�$

!% 7G G

!% 78;D�

!% 7 3!G

!% 7 83;

!% D< G

!% D< G

!% D%< G

( �83%G

�D<%G

�3 %G

G<%DD

<88%G

D8D%8

;G;%3

<7 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 35: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#��

G

'������������������)���B���#(�45��)���B���#(<45�������@�������+��

�����6������0/������,

�!!!!

!!!!

<!!!!

7!!!!

D!!!!

8!!!!

45

�!%�!D !

!%�! 3�;

!%�! D7;

!%�!�D�;

!%!333GG

!%!33;;D

�!% !<7�3

!% !<G;G

!% !7G;<

!% ! <;�

!% !<�!3

!% !!G<3

���

!%!7 D<7

!%!7 33G

!%!7 33G

!%!7 33G

!%!7<!3;

!%!7<7<

�$

!%D ;! !

!%D G7D<

!%D G7D<

!%D G7D<

!%D G7D<

!%DGG7D<

( ��;D

7!D

;�;

�73G

G3<

�!D 3

45

D!!!

�!!!!

!!!!

<!!!!

7!!!!

D!!!!

8!!!!

�!!!!!

�!%�!!�;G

!% 3D7;<

!%�!G8<!

!%7� G;8

!%<!�;!D

!% ;8 !G

!% <!8!<

!%77G8<3

�!%D��� D

!%D!!!!!

!%D�883

!%D 7

!%D�783D

!%D�7;7�

!%D�7�!<

!%D!!!!D

���

!%! 7;;8

!%! !GD!

!%!�!G3

!%!73<�7

!%! 3 3;

!%!<7G;D

!%!< GD

�$

!%3GD��<

!%3G3 73

!%3;3 !G

!%3D!8;D

!%3G!G!�

!%38D �7

!%38G 7G

( � ;%8

<3!%G

�33!%8

<�;!%�

G�<;%;

G;<3%G

877G

DDG�

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <D

Page 36: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#��

;

'������������������)���B���#(�45��)���B���#(<45�������@�������+��<

�����6������0/������,

�!!!

D!!

D!!!

GD!!

�!!!!

� D!!

�D!!!

�GD!!

!!!!

7!!!!

45

�!% G 3G<

!% G!;<

!% D�8D<

!% D�8D<

!% D�<D;

!% ;;<

!% ;;<

!% ;;<

!% ;;<

!% ;8G

�!%7;3<87

!%7;3 G<

!%7;3D7D

!%7;3;!G

!%73D<7�

!%D <7�

!%D 37D3

!%D<�D!3

!%D<�D<�

!%D<�D<�

���

!%�3!3G!

!%�3<;�;

!%�37 !G

!%�37 !G

!%�37 !G

!% !3� 7

!% ;8G

!% ;8G

!% ;8G

!% ;8G

�$

!%D73!8G

!%D777!G

!%D7 D!G

!%D7 D!G

!%D7 D!G

!%D7 D!G

!%D7 D!G

!%D<�D<�

!%D<�D<�

!%D<�D<�

( ��

%D

<%�

7D

8%�

G%7

;%<

3%

� %7

45

�!!!

D!!

D!!!

GD!!

�!!!!

� D!!

�GD!!

D!!

< D!!

<D!!!

�!%7GG7�!

!% D38 !

!% <!

!% ;;<

!% ;;<

!% ;;<

!% ;;<

!% ;;<

!% ;G�

!% ;8G

�!%DD<8<�

!%DD<8<�

!%DD<!7

!%D<��;<

!%D<�7�;

!%D<�7�;

!%D<�D<�

!%D<�D<�

!%D<�D<�

!%D<�D<�

���

!%� �DG!

!%��83;

!%��;D77

!%�< G33

!%�<<!<!

!%�<<!<!

!%�<3 D�

!%�7;G D

!%�D<7D7

!% ;8G

�$

!%;G;7 3

!%;;< !

!%;;�7DD

!%;G!D8!

!%;8G!88

!%;� 8;3

!%;�!D8D

!%;!;D87

!%;!<D7D

!%D<�D<�

( ��

D%D

!

3

<!

<!

<!

<�

8<

8D

<8 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 37: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

A��% �D% '������� ���� )���B���#(� �� )���B���#(< ��������� ���� ���@������� +��� �� ���

6������0/ ������, 4#�� 85%

#�� 3

'������� �� ���� ����� )���B���#(� ���� ���@������� +�� �� ��� 6(� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!!

� !%D !%D !%D !%D !%D

� !%D !%D !%D !%D !%D

��� !%!!!7! !%!!!7! !%!!!<<< !%!!!<<< !%!!!<<<

�$ !%333D3G !%333D3G !%333888 !%333888 !%333888

(� 77 <%7 G!3 %7 ;8 G �! 37

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <G

Page 38: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10000 20000 30000 40000 50000 60000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

A��% �8% '������� ���� )���B���#(� �� )���B���#(< ��������� ���� ���@������� +�� �� ���

6������0/ ������, 4#�� G5%

#�� �!

'������� �� ���� ����� )���B���#(� �������� ���� ���@������� +� �� ��� 6(� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!!

� !%D !%7 3;7; !%7 3;7; !%7GDD!; !%7G3!D8

� !%DD!<3; !%DD !7; !%DD !7; !%DD !DD !%D7<GGG

��� !%! !%! !%! !%! !%!

�$ �%! �%! �%! �%! �%!

(� � �; 7<8 73D8 38D! �7�G3

<; �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 39: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

#�� ��

'������� �� ���� ����� )���B���#(� 45 �� )���B���#(< 45 ��������� ���� ���@�������

��� �� ��� ��� ����� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!!

45

� !%3!�<<G !%3!�< 3 !%3!�< G !%3!�< G !%3!�< G

� !%3DG�;G !%3DG�3G !%3DG�3G !%3DG�3G !%3DG�3G

��� !%3!�< !%3!�< < !%3!�< < !%3!�< < !%3!�< <

�$ !%3D;3 ; !%3D;3 ; !%3D;3 ; !%3D;3 ; !%3D;3 ;

(� G87 �<!� �737 �G33 !7;

45

� !%7383�! !%7383�! !%7383�! !%7383�! !%7383�!

� !%3DGGD; !%3DGGD; !%3DGG8D !%3DGG8D !%3DGG8D

��� !%!7� G< !%!7� G< !%!7� G< !%!7� G< !%!7� G<

�$ !%3D;G G !%3D;G 8 !%3D;G 8 !%3D;G 8 !%3D;G 8

(� D<! G!! ��GG �!;; �<<

#�� �

'������� �� ���� ����� )���B���#(� 45 �� )���B���#(< 45 ��������� ���� ���@�������

�� �� ��� ��� ����� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!!

45

� !%�GGG!; !%�GGG!G !%�G8<�; !%�G8<�; !%�G8<�;

� !%<7<G8! !%<7<G8 !%<7<G8 !%<7<G8 !%<7<G8

��� !%�G7DG� !%�G7DG� !%�G7DG� !%�G7DG� !%�G7DG�

�$ !%<7;8D< !%<7;8D< !%<7;8D< !%<7;8D< !%<7;8D<

(� �!77 �783 �;3 <7� G;D

45

� !%�GGG77 !%�G88!� !%�G8D;8 !%�GD8<D !%�G8G�;

� !%<7D38! !%<7D38! !%<78��< !%<7;8D! !%<7;8D8

��� !%�G7! 7 !%�G<! 3� !%�G<! 3 !%�G<! 3 !%�G7! 7

�$ !%<7388� !%<73D�8 !%<7388� !%<D� D3 !%<D� D3

(� 88G G;G ;GD �!37 �;!G

#�� �<

'������� �� ���� ����� )���B���#(� �������� ���� ���@������� �� �� ��� ����� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!! �!! !!!

� !%<<�;3! !%<< 3<; !%<<<<<< !%<<!D !%<<!D !%<<!D

� !%<<8 < !%<<<<<< !%<<<<<< !%<<D88G !%<<D88G !%<<D88G

��� !%! !%! !%! !%! !%! !%!

�$ �%! �%! �%! �%! �%! �%!

(� < 8! 8!!3 �<D;7 7<7 <!77! �!< ;�

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 <3

Page 40: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

Inte

rval

s of

pro

babi

lity

Maximum tree size

lu

lminumax

A��% �G% '������� ���� )���B���#(� �� )���B���#(< ��������� ���� ���@������� +��< �� ���

6������0/ ������, 4#�� ;5%

#�� �7

'������� �� ���� ����� )���B���#(� �������� ���� ���@������� � �� ��� ����� ������,

! !!! <! !!! 7! !!! D! !!! 8! !!! �!! !!!

� !%< 38� !%< ;7�< !%< ;<8< !%< ;<;� !%< ;<;� !%< ;8GD

� !%<<<3D8 !%<<<;GG !%<<<;GG !%<<<;G8 !%<<<;G8 !%<<<;<7

��� !%! !%! !%! !%! !%! !%!

�$ �%! �%! �%! �%! �%! �%!

(� <<GG 877G ��D;; �3;77 3833 G;! 7

7! �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 41: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

A��%�;%'�����������)���B���#(���������

�������@�������+����

���6(�

������,

4#��

35%

A��%�3%'�����������)���B���#(���������

�������@�������+� ��

���6(�

������,

4#��

�!5%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 7�

Page 42: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

A��% !%'�����������)���B���#(���)���B���#(<����������������@����������

�������� �����������,

4#��

��5%

7 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 43: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

A��% �%'�����������)���B���#(���)���B���#(<����������������@���������

�������� �����������,

4#��

� 5%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 7<

Page 44: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

*�$�������

C�E �% ������� (% (����� J% )���� ��������� ��������� ���� ��������� ����������

����������� ��? +% (M�������� )�% ������ )%)% +�������� 4&��%5� )���������� �� ��� �������

���������� �� ��������� �� ����@��� '������������ ����� O������ K�� ������ ��� �33��

��% 86<7%

C E '% +�������� L% ���������� �% ����H� L% ������� #�� ��� ���������� � ����? ��� ����

���� ��� ���������� ��������� ������I��� ��� ����� ������,�� ��? ������ &������

���������� �� �' �� ��������� ��������� +������ �3;3%

C<E 2%0% +������ �� �������� �� ����� + ���� �� ��� 4���� ����������5� #��� < 4�3375 D6� 7%

C7E +% +������� K��, �������� �� + ���� ������,�� )�%(% ������� (�������� �� ��������

�������� ��������� �� +������ ������� ���� �33 %

CDE �% +��������� R% A������� �% L����H����� (% O������ �����$�*�����@� ������������ ��

+ ���� ������,�� ��? )���������� �� ��� � �� ����� ���������� �� ��������� �� ����@���

'����������� 4��'*385� )������� 0������ �338� ��% ��D6� <%

C8E K%�% �� ������ 2%A% J����� �% ����� )������ ��������? ���� ��� �������� ���������

'��% 2% ��������� � A�HH����� O��������*��� � ��% 4�3375 �8G6�38%

CGE K%�% �� ������ �% ����� '����������� �������� ��� �����$ ���� �� ����������� ��? )�%

+������ �% J�,� 4&��%5� )���������� �� ��� ���� ���������� �� ��������� �� ����@���

'������������ ����� O������ K�� ������ ��� �33D� ��% �!;6��D%

C;E K%�% �� ������ �% ����� �������� ����� ������������ �� ������� ��� � ������ '��% 2%

'�����% � ��% � 4�33G5 8 368D<%

C3E �% ���� 2%&% ���� �% ����� ��������� ��������� ��� �����$ ���� �� �����������

#������� ������ #�*3<* *$$� (&���'� ���������� �� L���� �33<%

C�!E �% ���� 2%&% ���� �% ����� �����$ ���� �� ���������� ��������� ��������

�������� ��? )���������� �� ��� A���� '���������� ���������� ')��M37� )���� �337� ��% 76;%

C��E �% ���� �% ����� � ������� �������� �� ����$���� �����$ ���� �� ����������� ��?

)���������� �� '��������� )��������� �� �������� �� ��������� �� O��������*���

� ����� ���������� 4')��M385� ���% � �338� ��% ;D36;87%

C� E �% ���� �% ����� )��������� �$�� ���$��� ������� ������ �� �������� ��

����� ������� ��? ���� �� � 1'' ���������� �� � ���������� &������ �� � '����������

����@���� ����� �33G� ��% 8<D6877%

C�<E �% ���� �% ����� �% ��������� )�������� ��������� �� -��� ������ '��% 2% '�����% � ��% �D 4��5

4 !!!5 �! G6�!D3%

C�7E 2%&% ���� �% ����� 2%A% 1����� *K����H� ��������� �� ����� �� ����� ����������� ��?

+% (M�������� )�% ������ )%)% +�������� 4&��%5� )���������� �� ��� ������� ���������� ��

��������� �� ����@��� '������������ ����� O������ K�� ������ ��� �33�� ��% 8�68;%

C�DE 2%&% ���� �% ����� 2%A% 1����� *K����H� )�������� �� �����$ ���� �� ���������� ��

�������� � ���� ������,�� ��? +% +������*�������� �� �% 4&��%5� ��������� �� '����������

� ������ &�������� ��������� �33<� ��% �D6 8%

C�8E �% ���������� 2%*T% 2/� � ���� ��������H����� �� ����� ���������� �� �����

�������� �������� ������� ��� ��� �� ������ ���������� ���% ���% ���% �G 4�3;35 8<6 ;<%

C�GE '% ������ �% ����� )% B��� � &$����� �� ������������ ��� ��������� ����������� ��?

)���������� �� ��� A���� '���������� � ������� �� '�������� )��������� �� �����

����������� 4'�')#�M335� �333%

C�;E A% ��H��� ����� �� ��� �� + ���� ������,� ���� @����� �������� �����$ ���� ��

������������� #������� ������ ���*�'*#�38*7�� ������� ������ ��������� � �338%

C�3E A% ��H��� ��������� �� ��� �� + ���� ������,� ���� ���� �����$ ���� �� �������������

��? )���������� �� ��� �<�� ���������� �� ��������� �� ����@��� '������������ �����

O������ �� ����� �33G%

77 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345

Page 45: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

C !E �% (������� +��,��� ����������? ���� ��� �������, ��� ���������� ���������� ��? &%

J�����H� A%1% 2������ 4&��%5� )���������� �� ��� � �� ���������� �� ��������� �� ����@���

'������������ �338� ��% ��6 �3%

C �E �%)% (�������� ����� �� ����� ���������� ������� ���������� ������� ���% ���%

���% <; 4�38G5 < D6<<3%

C E K% (��������� 2%�% J������ + ���� ��������� ����� �������� �� �������� ���% ���% �7

4�3;85 78�678;%

C <E (% (����� J% )���� )�������� #���� � )����� )����� R�� T��,� �3;;%

C 7E O%B% A������ 2%�% +������ '������ ��F����� ������� ��? �% J������� �%(% ������� K%R%

O��� 2%A% K����� 4&��%5� ��������� �� ����@��� '������������ ���% D� R����*J������

��������� �33!� ��% �736�8�%

C DE #%K% A���� #������� �� )������ � ������� )����� R�� T��,� �3G<%

C 8E #%K% A���� �� ������� ��� ��������� ������� � ��? �%&% +����� 2% J����,, 4&��%5� +���

)������ �� )������ �� K����������� (% ������� (��������� ��� �3GG� ��% �!D6��3%

C GE R% A������� �% L����H����� K������ + ���� ������,� ���� ���� ���������� ��?

)���������� �� ��� � �� ����� ���������� �� ��������� �� ����@��� '����������� 4��'*

385� )������� 0������ �338� ��% D 6 8 %

C ;E �% L������ J%#% R�� ��� &%�% B�,��� A��������� �� ��������� ������ ����

����������� �� A�HH '��������� O����� ������� )��������� (��������� ��� �33D%

C 3E (% J��,����� 2% +������ O% ��������� #������������� ����� ��������� � #�������

������ ���*��*37*!G� ��������� �������� ������� #�������� (�������� ��������� �����*

������ �337%

C<!E )%2% J���� ����� ���������� B��� � R�� T��,� �3;�%

C<�E L%2% O���� #%�% A������ A�HH ����� ��������� � �� '���������� )�������*J��� &��������

���/�� R2� �3;;%

C< E (% O�H���� (% O������ R��������� � ���� ��������H���� �� � ��� ������,�� ��? (% L������

)%)% ����� 4&��%5� )���������� �� ��� �<�� ���������� �� ��������� �� ����@���

'������������ ����� O������ K�� ������ ��� �33G� ��% <! 6<�<%

C<<E �% O����,� �%�% K������ 0� ���������� �� ��.����� � ���% ���% ���% 4�3D�5 G86;8%

C<7E N% K�� +% (M�������� &.����� ��������� �� + �� ������,� � ���������� ������H����

������� '��% 2% �����$% �����% �� 4�3375 DD6;�%

C<DE �% ����� 2% ��� ������ ���������� �� ��������� ����������� ��? +% +������*�������

4&�%5� ���������� �� A����� �� '�������� '���������� )� ���*1����� J��������� �33G�

��% �8 6�8;%

C<8E 2% )���� )��������� �������� ���� '���������� � ������ ����� O������ �� �����

�3;;%

C<GE (% )����� )��������� ����� ��������? �$�������� ���� ��������� �� ���������� ����������

��? )���������� �� ��� �D�� '2��' ���������� 4'2��'M3G5� R�� � 2��� �33G� ��% � ;76

� 3�%

C<;E 2%�% P������ '�������� �� �������� ������ ������ K������ � 4�3;85 ;�6�!D%

C<3E K%O% ��������� + ���� ������, ��� ���� � ���� �� ������� ����@����� �� ������

#������� ������ (�� ������� ������ ��% <;� (�������� �� ��������� �� ��������

�������� ����� ��������� � (����,� �33D%

C7!E K%O% ��������� +���? � �$���� � ���� ��� �� + ���� ������,� �� ���� �����

������������ �� ������ #������� ������ ������� ������ �8� ������� ������ A������

(����,� )+ <� ;;<! #-���� (����,� �33D%

C7�E �% ��������� �% ���� �% ����� '�������� ������� �� + ���� ������,� ����� �������

������ ������% ���% (� ���% <7 4 !!!5 <;G67�<%

C7 E L% ������ � ��������� #���� �� &�������� )�������� ��������� )����� )��������� R2�

�3G8%

�� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345 7D

Page 46: Using probability trees to compute marginals with imprecise probabilities

C7<E )%)% ����� � L% ������ �$���� ��� ������� �� �����*�������� ���������� ��? �%(%

�������� �� �% 4&��%5� ��������� �� ����@��� '������������ ���% 7� R����*J������

��������� �33!� ��% �836�3;%

C77E )%)% ����� � � �������*��� ������ ��� �$���� � ������ '��% 2% �����$% �����% < 4�3;35

<;<67��%

C7DE �%&% ������ 2�%� &% ������ &$�������� ���*��� ������������ ��� ����$������ ������

����������� '��% 2% �����$% �����% �7 4�3385 D6D7%

C78E )�% ������ +����� ���������� ��? )�% ������ &%J% ������ (% (����� J% )��� 4&��%5� R��*

������ K����� ��� �������� ��������� ������� )����� K������ �3;;%

C7GE �% ������� #���� �� ��HH �������� �� ��� ����������� )�%(% ������� #�, � '�������� ��

#�������� � #�, �� �3G7%

C7;E +% #������ '������ ������� ���������� '��% 2% �����$% �����% G 4�33 5 3D6� !%

C73E J% #������ �% L����H��� B% O��V����� #����� ��������� �� ���������� ����� ����������

��? )���������� �� ��� &����� ���������� �� ��������� �� ����@��� '������������ �33 �

��% <�D6< %

CD!E 2%A% 1����� *K����H� �������������� ���������� �� � '���������� ��� '�����������

������� �����$�� �� )���������� )�%(% ������� ���������� �� L���� �33G%

CD�E )% B��� � #�� ���������� �� ��������� �� ������� #������� ������� ��������� �� B����,�

�3; %

CD E )% B��� � ��������� �������� ���� '�������� )���������� ����� W J��� K������

�33�%

CD<E )% B��� � '��������� ���� ���������� ��? ������� ��� � �� ����� 4����

����������5� 2% �� % ���% ���%� ������ + D; 4�3385 <6DG%

CD7E )% B��� � ������� �� ��������� �� �$���� � ������ �����% '�����% ;< 4�3385 �6D;%

CDDE )% B��� � � ������ ��������� ����� ��� ����� �������� ��� ���*����� ��������

����% 2% ���% 7 4�33G5 78<67;<%

CD8E )% B��� � L����� ������������ �� ��������� ���������� ����?99������%���%�%�9����9������������9������������9������������%����� �33G93;%

CDGE )% B��� � #����� ���@�� ����� �� ��������� ������� � '��% 2% �����$% �����% 7 4 6<5

4 !!!5 � D6�7;%

CD;E N% B��� L%2% O���� A�HH ������ #���� � )����� )����� R�� T��,� �33 %

CD3E O% B������������� #�� ����� �� �������*������� � ���� ��� ������� ��� ��������� �

'��% 2% �����$% �����% 7 4 6<5 4 !!!5 �736�G!%

C8!E )%�% B������� '����������� ����������� ��? �% )�H����,�� O% �H����,�� �% B�-���,�

4&��%5� A���� ������� �� ��� ���������� �� &������� ��������� (% ������� (���������

��� �3G8� ��% 36 73%

C8�E K%�% N���� A�HH ���� � ��� ��� ����� �� ��������� � A�HH ���� �� � ����� � 4�3G;5

<6 ;%

C8 E R%K% N���� (% )����� &$�������� ���� ������������ �� + ���� ������, ���������� '��% 2%

'�����% ���% D 4�3385 <!�6< ;%

78 �� ���� � *��� + ��������� ,� ����-� .����� /0 1/##/2 "345