Probabilities and Conditional Probabilitiesbencha/886204_58/ch... · 2014-02-06 · เหตุการณ์ (Events) •ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก

Probabilities and Conditional Probabilities Computer Science, Informatics, Burapha University

การทดลองสม(Random Experiment)

• การทดลองสม คอ การทดลองใดๆทมผลลพธทเปนไปไดมากกวาหนงอยาง ท าใหไมสามารถบอกผลลพธทแนนอนไดลวงหนา แตทราบผลลพธทเปนไปไดทงหมด เชน การสมหยบไพหนงใบจากไพส ารบหนง ถอวาเปนการทดลองสม เพราะเรายงไมทราบวาจะไดไพใด

การวงแขงถอวาเปนการทดลองสม เพราะแตละคนมโอกาสชนะแตเราไมทราบวาเปนใคร

2

แซมเปลสเปซ (Sample Space) แซมเปลสเปซ คอ เซตของผลลพธทอาจเกดขนไดทงหมดจากการทดลองสม และเปนสงทเราสนใจ เขยนแทนดวยสญลกษณ S ซงในการทดลองสมเดยวกน สามารถเขยน แซมเปลสเปซไดมากกวาหนงแบบ ทงนขนอยกบผลลพธทเราสนใจ เชน • แซมเปลสเปซในการโยนเหรยญหนงเหรยญ 1 ครง คอ {หว,กอย} • การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง

ถาผลลพธทเราสนใจ คอ แตมทได จงเขยนแซมเปลสเปซ ให S1 แทนแซมเปลสเปซ จะได S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } แตถาผลลพธทเราสนใจ คอ แตมของลกเตาทได เปนจ านวนค ให S2 แทนแซมเปลสเปซ จะได S2 = { 2 , 4 , 6 } จากตวอยางขางตน จะเหนวา แซมเปลสเปซทเขยนไดไมเหมอนกน

3

แซมเปลสเปซ (Sample Space) • กลองใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 1 ลก ถาสมหยบลกบอล 1 ลก จงหา

1. แซมเปลสเปซของสลกบอลทหยบได 2. แซมเปลสเปซของลกบอลทหยบได วธท า 1. เนองจากโจทยสนใจสของลกบอลทหยบได และสของลกบอลม 2 ส คอ สแดงและสขาว ดงนนแซมเปลสเปซของสของลกบอลทหยบไดคอ S = {สแดง,สขาว}

2. เนองจากโจทยสนใจลกบอลทหยบได และลกบอลมทงหมด 3 ลก สมมตใหเปน แดง1 แดง2 ขาว1 ดงนนแซมเปลสเปซของลกบอลทหยบไดคอ S = {แดง1,แดง2, ขาว1}

• จากผลลพธทงหมดทเปนไปได ถาเราสนใจผลลพธเพยงบางตว เราจะเรยก เซตของผลลพธบางตวทเราสนใจนวา เหตการณ

4

เหตการณ (Events)

• ในการทดลองเรามกจะสนใจเกยวกบการเกดขนของเหตการณมากกวาสนใจในสมาชกทงหมดของแซมเปลสเปซ เชน เมอทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง เราสนใจในเหตการณ A เมอเหตการณ A คอการทอดลกเตาแลวไดแตมเปนจ านวนค เหตการณนจะเกดขนเมอผลลพธเปนสมาชกของเซต A = {2, 4, 6} ซงเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

• เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ นยมใชสญลกษณ E แทนเหตการณ

จะไดวา S และ กเปนเหตการณดวย

5


• ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจคอ แตมทได จะได S = { 1,2,3,4,5,6 }

ถาให E1 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = { 3,6 }

E2 เปนเหตการณทไดแตมมากกวา 2 จะได E2 = { 3,4,5,6 }

ในกรณทวไปเราจะใชสญลกษณ n(S) แทนจ านวนสมาชกในแซมเปลสเปซ S

n(E) แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E

จะไดวา n(S) = 6 , n(E1) = 2 และ n(E2) = 4

6


• การโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ หนาของเหรยญทขน จงหา ก. เหตการณทไดหวสองเหรยญ ข. เหตการณทเหรยญขนหนาเดยวกน

วธท า จะได S = { HH,HT,TH,TT }

ก. เหตการณทไดหวสองเหรยญ คอ E1 = { HH }

ข. เหตการณทเหรยญขนหนาเดยวกน คอ E2 = { HH , TT }

7

เหตการณ (Events) • การทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ แตมทได จงหา

ก. เหตการณทผลรวมของแตมเปน 4 ข. เหตการณทลกเตาขนแตมเหมอนกน

วธท า จะได S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) } เหตการณทผลรวมของแตมเปน 4 คอ E1 = { (1,3),(2,2),(3,1) } เหตการณทลกเตาขนแตมเหมอนกน E2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

8


• การทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ ผลรวมของแตมทได เปน 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 และ 12 จงหา ก. เหตการณทผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว ข. เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกมากกวา 12 ค. เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนเฉพาะ

วธท า จะได S = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } เหตการณทผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว คอ

E1 = { 3,6,9,12 } เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกมากกวา 12 คอ E2 = เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนเฉพาะ คอ E3 = { 2,3,5,7,11}

9


ขอสงเกต

1. เพราะวา S ดงนน เปนเหตการณ 2. เพราะวา S S ดงนน S เปนเหตการณ 3. เนองจาก S เปนเซตจ ากด ถา E เปนเหตการณแลว 3.1 E เปนเซตจ ากด

3.2 0 ≤ n(E) ≤ n(S) 3.3 n(E) = 0 กตอเมอ E = 3.4 n(E) = n(S) กตอเมอ E = S

10

การด าเนนการระหวางเหตการณ(Operation of

Events)

เนองจากเหตการณเปนเซตแสดงวาเหตการณสามารถกระท ากนไดดวยตวกระด าเนนการของเซต คอ • ยเนยน(Union) • อนเตอรเซกชน(Intersection) • ผลตาง(Difference) และ • สวนเตมเตม(Complement) แลวท าใหเกดเหตการณใหมขนดงน

11

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลว ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 เขยนแทนดวย E1 E2 เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอสมาชกของเหตการณ E2 หรอทงสองเหตการณ ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว E1 = { 3,6 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E2 = { 1,3,5 } ดงนน E1 E2 = { 1,3,5,6 }

ยเนยนของเหตการณ (Union of Events)

12

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลวอนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 เขยนแทนดวย E1 E2 เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยในเหตการณ E1 และเหตการณ E2 ตวอยาง ในการโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง S = { HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT } ถา E1 เปนเหตการณทโยนไดหว 2 ครง E1 = { HHT,HTH,THH } ถา E2 เปนเหตการณทไดหวในการโยนครงแรก E2 = { HHH,HHT,HTH,HTT } ดงนน E1 E2 = { HHT,HTH }

อนเตอรเซกชนของเหตการณ (Intersection Events)

13

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลวผลตางของ E1

และ E2 เขยนแทนดวย E1 - E2 เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 แตไมเปนสมาชกของเหตการณ E2 ตวอยาง ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E1 = { 1,3,5 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว E2 = { 3,6 } ดงนน E1 - E2 = { 1,5 }

ผลตางของเหตการณ (Difference of Events)

14

ถา E เปนเหตการณซงอยในแซมเปลสเปซ S แลว สวนเตมเตมของเหตการณ E เขยนแทนดวย E เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในแซมเปลสเปซ S แตไมอยในเหตการณ E ตวอยาง ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง S = { HH,HT, TH,TT } ถา E เปนเหตการณทขนหวทงสองอน E = { HH } ดงนน E = { HT, TH,TT }

สวนเตมเตมของเหตการณ (Complement of an Events)

15

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ ทม E1 E2 = แลวจะเรยกเหตการณ E1 และ E2 วาเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยาง ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E1 = { 1,3,5 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E2 = { 2,4,6 } ดงนน E1 E2 =

เหตการณทไมเกดรวมกน (Mutually Exclusive Events)

16

ตวอยาง ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง ผลลพธทสนใจ คอ หนาของลกเตาทงสอง ก าหนดให E1 แทนเหตการณทผลบวกของแตมเปน 6 E2 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E3 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก จงหา 1. E1 E2 2. E1 E2 3. E1 E2 4. (E2 E3) 5. E1 E2 E3

17

วธท า E1 แทนเหตการณทผลบวกของแตมเปน 6 E1 = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} E2 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} E3 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E3 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5,3), (5, 5) }

18

จะไดวา 1. E1 E2 = {(2, 4), (4, 2)} 2. E1 E2 = {(1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} 3. E1 E2 = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} 4. (E2 E3) = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} 5. E1 E2 E3= (E1 E2 E3) = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2),

(3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}

19

ความนาจะเปนของเหตการณ คอ อตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน ถา E เปนเหตการณทสนใจ และ S เปนแซมเปลสเปซ n(E) แทนจ านวนสมาชกของเหตการณ n(S) แทนจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ และให P(E) เปนความนาจะเปนของเหตการณ E จะไดวา

n(S)

n(E)P(E)

ความนาจะเปนของเหตการณ

20

สมบตทส าคญของความนาจะเปน

1. 0 P(E) 1 2. P(S) = 1 3. P() = 0

21

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนของการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ทมแตมมากกวา 3 วธท า ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จะได S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ดงนน n(S) = 6 เหตการณทตองการคอ ใหขนแตมมากกวา 3 จะได E = { 4, 5, 6 } ดงนน n(E) = 3 ความนาจะเปนของการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ทมแตมมากกวา 3 คอ

n(S)

n(E)P(E)

2

1

6

3

22

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนทไดหวสองหวจากการโยนเหรยญสองอนหนงครง วธท า จากโจทย จะได S = { HH , HT , TH , TT } ดงนน n(S) = 4 E = { HH } ดงนน n(E) = 1 จะได การหาความนาจะเปนของเหตการณใด ๆ จะตองหา 2 สวน คอ n(S) และ n(E) ซงไมจ าเปนตองเขยน S และ E แบบแจกแจงสมาชกกอนแตอาจใชความรในเรองเกยวกบวธเรยงสบเปลยน และวธจดหมมาชวยในการหา n(S) และ n(E) ได เมอ n(S) หมายถงจ านวนวธทเปนไปไดทงหมด และ n(E) หมายถงจ านวนวธของเหตการณทตองการหาความนาจะเปน

n(S)

n(E)P(E)

4

1

23

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการโยนลกเตาสองลกหนงครง แลวไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 2 หรอ 6 วธท า จากกฎการนบ จะได n(S) = 6 x 6 =36 E = { (1,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) } ดงนน n(E) = 6 จะได

n(S)

n(E)P(E)

6

1

36

6

24

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากหยบไดสลากหมายเลข 5 หรอ 6 หรอ 7 หรอ 8 จากการสมหยบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงเขยนหมายเลข 1 ถง10 ก ากบไว วธท า จากโจทย จะได S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } ดงนน n(S) = 10 E = { 5,6,7,8 } ดงนน n(E) = 4 จะได n(S)

n(E)P(E)

5

2

10

4

25

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดสลากทมรางวลจากการจบสลาก 1 ใบ ทประกอบดวยสลากทมรางวล 3 ใบ และไมมรางวล 7 ใบ วธท า จากโจทย จะได n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ n(E) เปนจ านวนวธทหยบไดสลากทมรางวล 1 รางวล จากสลากซงมรางวล 3 ใบ ดงนน n(S) = 10C1 = 10 n(E) = 3C1 = 3 จะได

n(S)

n(E)P(E)

10

3

26

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดค าตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนค าตอบทงหมดทไดจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาหรอไม n(E) เปนค าตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว จากกฎการนบ จะได n(S) = 2 x 2 x 2 = 8 E = { ( ม,ม,ม ) } ดงนน n(E) = 1 จะได

n(S)

n(E)P(E)

8

1

27

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดลกบอลสขาว 2 ลก สด า 1 ลก จากการสมหยบลกบอล 3 ลก จากกลองซงบรรจลกบอลสขาว 3 ลก และสด า 3 ลก วธท า ให n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบลกบอล 3 ลก จากลกบอล 6 ลก n(E) เปนจ านวนวธทหยบไดลกบอลสขาว 2 ลก จากลกบอลสขาว 3 ลก และหยบไดสด า 1 ลก จากลกบอลสด า 3 ลก ดงนน n(S) = 6C3 = 20 n(E) = 3C2

3C1 = 9 จะได

n(S)

n(E)P(E)

20

9

28

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนงในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก วธท า ให n(S) เปนจ านวนเหตการณทเกดขนทงหมดในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก n(E) เปนจ านวนเหตการณทลกเตาไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนง จากกฎการนบ จะได n(S) = 6 x 6 =36 E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(3,2), (4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ดงนน n(E) = 16 จะได

n(S)

n(E)P(E)

9

4

36

16

29

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดหวและแตมทมากกวา 4 จากการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลกหนงครง พรอมกน วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนจ านวนเหตการณทเกดขนทงหมดในการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลกหนงครงพรอมกน n(E) เปนจ านวนเหตการณทโยนเหรยญหนงเหรยญแลวไดหวและทอดลกเตาไดแตมทมากกวา 4 จากกฎการนบ จะได n(S) = 2 x 6 = 12 E = { (H,5),(H,6) } ดงนน n(E) = 2 จะได

n(S)

n(E)P(E)

6

1

12

2

30

ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดสทชอบคอ สฟาหรอชมพจากการสอบถามนางสาวมาน ถงสของผาเชดหนาทชอบสองสจากสทงหมด 5 ส คอ ฟา ขาว ชมพ เขยว และเหลอง วธท า ให n(S) เปนจ านวนค าตอบทเปนไปไดทงหมดของมานเกยวกบสของผาเชดหนา 2 สจากสทงหมด 5 ส n(E) เปนจ านวนค าตอบทสอบถามนางสาวมานแลวไดสทชอบคอ สฟาหรอชมพ ดงนน n(S) = 5C2 = 10 E = {(ฟา,ขาว) , (ฟา,ชมพ) , (ฟา,เขยว) , (ฟา,เหลอง) , (ชมพ,ขาว) , (ชมพ,เขยว) , (ชมพ,เหลอง)} ดงนน n(E) = 7 จะได n(S)

n(E)P(E)

10

7

31

กฎขอท 1 ถา E1 และ E2 เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของ แซมเปลสเปซ S แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) กฎขอท 2 ถา E1 และ E2 เปนเหตการณทไมเกดรวมกนแลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) หาไดจากกฎขอท 1 เนองจาก E1 และ E2 เปนเหตการณทไมเกดรวมกน ดงนน E1 E2 = ซงจะท าให P(E1 E2) = P() = 0 เพราะฉะนน P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)

32

กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

กฎขอท 3 ถา E เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของ แซมเปลสเปซ S แลว P(E) = 1 - P(E) กฎขอท 4 ถา E1 และ E2 และ E3 เปนเหตการณใน แซมเปลสเปซ S แลว P(E1 E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1 E2) – P(E2 E3) – P(E1 E3) + P(E1 E2 E3)

33

ตวอยาง หยบไพ 1 ใบจากหนงส ารบจงหาความนาจะเปนทได ไพรป A หรอ โพแดง วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบไพ 1 ใบ จาก ไพ 52 ใบ n(E1) เปนจ านวนวธทหยบไดไพรป A จากไพ 52 ใบ n(E2) เปนจ านวนวธทหยบไดไพโพแดง จากไพ 52 ใบ จะได n(S) = 52

34

n(E1) = 4 ดงนน P(E1) = n(E2) = 13 ดงนน P(E2) = n(E1 E2) = 1 ดงนน P(E1 E2) = ดงนน P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = + - =

52

1

52

1

52

4

52

13

52

16

524

52

13

35

ตวอยาง จากการส ารวจใบลงทะเบยนของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนง จ านวน 100 คน พบวา มนกเรยน 60 คน เลอกเรยนคณตศาสตร 25 คน เลอกเรยนภาษาองกฤษ 15 คน เลอกเรยนภาษาเยอรมน 15 คน เลอกเรยนทงคณตศาสตร และภาษาองกฤษ 7 คน เลอกเรยนทงคณตศาสตร และภาษาเยอรมน 8 คน เลอกเรยนทงภาษาองกฤษ และภาษาเยอรมน 3 คน เลอกเรยนทง 3 วชา ถาสมใบลงทะเบยนขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะไดใบลงทะเบยนของนกเรยนทเลอกเรยนคณตศาสตรหรอภาษาองกฤษ หรอภาษาเยอรมน

36

วธท า ให E1 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยน คณตศาสตร E2 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยนภาษาองกฤษ E3 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยนภาษาเยอรมน จากโจทย จะได n(S) = 100 , n(E1) = 60 , n(E2) = 25 , n(E3) = 15 , n(E1 E2) = 15 , n(E1 E3) = 7 , n(E2 E3) = 8 , n( E1 E2 E3) = 3 P( E1 E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1 E2) – P(E2 E3) – P(E1 E3) + P( E1 E2 E3)

= + + - - - +

=

100

60

100

25

100

15

100

15

100

7

100

8

100

3

100

73

37

ตวอยาง มหลอดไฟทงหมด 15 หลอด ในจ านวนนเปนหลอดเสย 5 หลอด ถาสมหยบหลอดไฟออกมา 3 หลอด จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน 1) ไดหลอดดอยางนอย 1 หลอด 2) ไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด วธท า ให S แทนแซมเปลสเปซ ดงนน n(S) = 15C3 = 455

38

1) ให E1 แทนเหตการณทไดหลอดดอยางนอย 1 หลอด ดงนน E1แทนเหตการณทไดหลอดเสยทง 3 หลอด n (E1) = 5C3 = 10 ดงนน P(E1) = 1 - P(E1) = 1 - = =

455

10

455

445

91

89

39

2) ให E2 แทนเหตการณทไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด ดงนน E2 แทนเหตการณทไดหลอดดทง 3 หลอด n (E2) = 10C3 = 120 ดงนน P(E2) = 1 - P(E2) = 1 - = =

455

120

455

335

91

67

40

กฎของเซต ทจะน ามาประยกตใชกบความนาจะเปนไดมดงน ถา A และ B เปนเซตใดๆ แลว 1. 2. 3. ดงนน น ามาใชในเรองความนาจะเปนจะได 1. 2. 3.

BABA

BABA )(

BABA )(

)()()()( BAPAPBAPBAP

)(1)()( BAPBAPBAP

)(1)()( BAPBAPBAP

41

ตวอยาง ถา A และ B เปนเหตการณทม P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 , P(A B) = 0.4 จงหาคาของ 1.1. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.6 + 0.7 - 0.4 = 0.9 1.2. P(B) = 1 – P(B) = 1 - 0.7 = 0.3

42

1.3. P(AB) = P(B A) = P(B - A) = P(B) – P(A B) = 0.7 – 0.4 = 0.3 1.4. P(A B) = P[(A B) ] = 1 – P(A B ) = 1 – 0.9 = 0.1

43

• ในการหาความนาจะเปนของเหตการณ ถาเราก าหนดเงอนไขบางอยางเพมเตม ความนาจะเปนของเหตการณอาจแตกตางกนไปได เชน การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาก าหนดเงอนไขวา “สนใจเหตการณทลกเตาหงายแตม 3 เมอลกเตาหงายแตมค” เปนการก าหนดเงอนไขเพมเตมจากเดม

• การค านวณหาความนาจะเปนของเหตการณ ตองค านวณเทยบกบแซมเปลสเปซใหม คอ เมอลกเตาหงายแตมค ซงแซมเปลสเปซใหม ในทนใหเปน

S = { 1 , 3 , 5 } เรยกแซมเปลสเปซใหมวา แซมเปลสเปซลดรป (reduced sample space)

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional

probabillity)

44

นนคอ ถาให E แทนเหตการณทลกเตาหงายแตม 3 เมอลกเตาหงายแตมค จะได n(E) = 1 n(S) = 3

• ให A และ B เปนเหตการณสองเหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ B ทเกดขนเมอเหตการณ A เกดขนแลว จะเรยกความนาจะเปนลกษณะนวา ความนาจะเปนแบบมเงอนไข


probabillity)

จาก P (E) = )(

)(

Sn

En

จะได P(E) = 31

45

•


probabillity)

)(

)(

BP

BAP

46

• ในการทอดลกเตา 2 ลก จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาจะนอยกวา 5 เมอทราบวาลกเตาหงายแตมไมเทากน

วธท า ให A เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมไมเทากน จะได

A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3) , (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 4),

(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),

(6, 4), (6, 5)}


probabillity)

47

จาก

ให B เปนเหตการณทผลรวมของแตมบนหนาลกเตานอยกวา 5

จะได B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}


probabillity)

48

)(

)()(

Sn

AnAP

36

30)( AP

6

5

การหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมบนหนาลกเตานอยกวา 5 เมอก าหนดวาลกเตาหงายแตมไมเทากน คอ การหา P (B / A) พจารณาได 2 วธ


probabillity)

P (B) = )(

)(

Sn

Bn

=366

หรอ 61

49

• วธท 1 พจารณาเทยบกบแซมเปลสเปซใหม คอ เหตการณ A เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมไมเทากนซงม 30 วธ เปนแซมเปลสเปซใหม

จากนนพจารณาเหตการณ B จากเหตการณ A จะได

B = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)}


probabillity)

ดงนน P (B / A) = )(

)(

An

Bn

= 304

= 152

50

•


probabillity)

51


probabillity)

52

ตวอยาง หยบไพ 2 ครง ๆ ละ 1 ใบ จากไพทงส ารบทม 52 ใบ โดยไมใสคนไพใบแรกกลบเขาไปในส ารบกอนหยบไพครงทสอง จงหาความนาจะเปนทจะไดไพโพด าทง 2 ครง วธท า ให A แทนการหยบไพครงแรกไดโพด า จะได P (A) = 13/52

B แทนการหยบไพครงทสองไดโพด าหลงจากหยบครงแรกแลว จะได P (B/A) = 12/51

•


probabillity)

53

• ทฤษฎกฎการคณ (Law of Multiplication)

ถา A และ B เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ S จะไดวา P(A B) = P(A) P(B / A) เมอ P(A) 0

หมายความวาความนาจะเปนของการเกดขนรวมกนของเหตการณ A และ B จะเปนผลคณของความนาจะเปนของการเกดเหตการณ A และความนาจะเปนแบบมเงอนไขของการเกดเหตการณ B เมอก าหนดวาเหตการณ A ไดเกดขนแลว ในท านองเดยวกน ถา A1, A2 , . . . , An เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ S จะไดวา P(A1A2A3 … An-1 An)

= P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2A3…An-1) เมอ P(A1A2A3…An-1) 0


probabillity)

54

• ในกลองใบหนงมหลอดไฟอย 30 หลอด และมหลอดเสยปนอยดวย 5 หลอด ถาสมหยบมา 3 หลอด โดยหยบทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทจะหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรกและครงทสอง และหยบไดหลอดดในครงทสาม

วธท า ให A1 เปนเหตการณทหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรก

A2 เปนเหตการณทหยบไดหลอดเสยในการหยบครงทสอง A3 เปนเหตการณทหยบไดหลอดดในการหยบครงทสาม

ตองการหาความนาจะเปนของเหตการณ A1 A2 A3

P (A1 A2 A3)= P (A1) P (A2 / A1 ) P (A3 / A1 A2)


probabillity)

55


probabillity)

56

P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1 A2)

= (5/30 )(4/29 )(25/28 )

= 25/1218

นนคอ ความนาจะเปนของทจะหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรกและครงทสองและหยบไดหลอดดในการหยบครงทสาม เทากบ 25/1218

• ส าหรบเหตการณใด ๆ สองเหตการณ ถาการเกดของเหตการณหนงไมมผลท าใหโอกาสของ การเกดของอกเหตการณหนงเปลยนไป จะกลาววาเหตการณทงสองเปนเหตการณทเปนอสระตอกน เชน การทอดลกเตาสองลก

ให A แทนเหตการณทลกเตาลกทหนงขนแตมตาง ๆ B แทนเหตการณทลกเตาลกทสองขนแตมตาง ๆ จะพบวา การทลกเตาแตละลกจะขนแตมตาง ๆ กนนนไมไดขนอยแกกน เชน การทลกเตาลกแรกขนแตม 5 จะไมมผลตอการทลกเตาลกทสองจะขนแตมใด ๆ เหตการณดงกลาวนถอวา เหตการณ A และ B เปนอสระตอกน ใหความหมายของเหตการณทเปนอสระตอกน ไดดงน

ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน

57

บทนยาม ถา A และ B เปนเหตการณทเปนอสระตอกน (independent events) จะไดวา P (A B) = P (A) P (B) ในท านองเดยวกน ถา A1, A2 , . . . , An เปนเหตการณทเปนอสระตอกน จะไดวา P(A1A2 … An) = P(A1) P(A2) . . . P(An)


58


59

•


60

• เนองจากตวบทนยามอยในรป pq ซงสมมลกบ qp ดงนนจงสามารถใชพจารณาวา

เมอ P(A) P(B) ≠ P(AB) จงไดวา A และ B ไมเปนอสระตอกน


61

•


62


63

พจารณา แต A B = {(3, 3)}

จะได

เนองจาก P (A B) P (A)P (B)

ดงนน เหตการณ A และ B ไมเปนอสระตอกน

023.01296

30)

36

6)(

36

5()()( BPAP

027.036

1)( BAP

• บทนยาม เหตการณ E1 , E2 และ E3 เปนเหตการณทเปนอสระตอกน (mutually independent events) กตอเมอมสมบต 2 ขอตอไปน

▫ เหตการณ E1 , E2 และ E3 เปนอสระตอกนเปนค ๆ (pairwise independence) นนคอ

P (E1 E2) = P (E1 ) P (E2)

P (E1 E3) = P (E1 ) P (E3)

P (E2 E3) = P (E2) P (E3)

▫ P (E1 E2 E3) = P (E1) P (E2) P (E3)


64


65

•


66

•


67


68


69


70

เนองจาก E1 E2 E3 = {HHH}

จะได P( E1 E2 E3) และ

P (E1)P (E2)P (E3)

นนคอ P( E1 E2 E3) = P (E1) P (E2)P (E3)

แสดงวา E1 , E2 และ E3 เปนอสระตอกน

8

1

8

1

2

1

2

1

2

1

• โยนเหรยญ 1 อน 3 ครง โดยก าหนดให A เปนเหตการณทไดหวในการโยน 2 ครงแรก B เปนเหตการณทไดกอยในการโยนครงสดทาย และ C เปนเหตการณทไดกอย 2 ครง จากทงหมด 3 ครง ก. จงแสดงวา A และ B เปนอสระตอกนหรอไม ข. จงแสดงวา B และ C เปนอสระตอกนหรอไม

ค. จงแสดงวา A และ C เปนอสระตอกนหรอไม

ง. จงแสดงวา A, B และ C เปนอสระตอกนหรอไม


71

วธท า โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง จะได

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

A = {HHH, HHT}

B = {HHT, HTT, THT, TTT}

C = {HTT, THT, TTH}

AB = {HHT}

BC = {HTT, THT}

AC =

A BC =


72

•


73

•


74

•


75

B2 B1 S

B3 . . . Bn

นยาม เหตการณ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกน (partition) ของแซมเปลสเปซ S ถา 1. B1B2 B3 . . . Bn = S 2. Bi Bj = ส าหรบทกคาของ i j 3. P (Bi ) > 0 ; ส าหรบทกคาของ i = 1 , 2 , 3 , . . . , n

ทฤษฎบทของเบย

76

สมมตให B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนเหตการณทไมเกดรวมกน (mutually exclusive events) และ B1 B2 B3 . . . Bn = S (S แทนแซมเปลสเปซ) ถา A เปนเหตการณในแซมเปลสเปซทเกดรวมกบเหตการณ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เหตการณใดเหตการณหนงหรอหลายเหตการณ ดงภาพ

B2 B1 S

A

B3 . . . Bn

รปแสดง A เปนเหตการณทเกดรวมกบ B1 , B2 , B3, . . . , Bn ซงไมเกดรวมกน

77

จากรป ถา A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของ S และ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกนของ S แลว B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกนของ A ดวย นนคอ A = (B1A )(B2A )(B3 A )…(Bn A ) และเนองจาก (BiA ) (BjA ) = ส าหรบทกคาของ i j จะไดวา P (A) = P (B1A ) + P (B2A ) + P (B3 A ) + … + P (Bn A ) = P (B1 ) P (A / B1 ) + P (B2 ) P (A / B2 ) + … + P (Bn ) P (A / Bn) = P (Bi ) P (A / Bi)

n

i 1

ทฤษฎบท ทฤษฎบทความนาจะเปนทงหมด (theorem of total probability) ถา A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของแซมเปลสเปซ S และ B1 , B2 , B3 , . . . , Bnเปนผลแบงกนของ S แลว P (A) = P (Bi ) P (A / Bi)

78

n

i 1

ตวอยาง โรงงานผลตยางรถยนตแหงหนง มเครองจกร 3 เครอง ซงสามารถผลตยางรถยนตได 60% 30% และ 10% ของจ านวนยางรถยนตทผลตจากโรงงานแหงน ยางรถยนตทผลตจากเครองจกรทง 3 เครองมขอบกพรอง 2% 3% และ 4% ตามล าดบ ถาเลอกยางรถยนตมาหนงเสนโดยการสมเพอตรวจสภาพ จงหาความนาจะเปนทยางรถยนตเสนนจะมขอบกพรอง วธท า ให A แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทบกพรอง B1แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 1 B2 แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 2 B3 แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 3

79

จะได P (A) = P (B1 ) P (A / B1 ) + P (B2 ) P (A / B2 ) + P (B3 ) P (A / B3) = (0.60) (0.02) + (0.30) (0.03) + (0.10) (0.04) = 0.012 + 0.009 + 0.004 = 0.025 นนคอ ความนาจะเปนทยางรถยนตเสนนจะมความบกพรอง เทากบ 0.025

80

ทฤษฎบท ทฤษฎบทของเบย (Bayes’ theorem) เหตการณ B1 , B2, B3, . . . , Bn เปนผลแบงกนของ แซมเปลสเปซ S และ A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของ S โดย P (A) > 0 แลว P (Bk /A) = = ส าหรบทกคาของ k = 1 , 2 , 3 , . . . , n

)(

)/()(

AP

BAPBP kk

n

i

ii

kk

BAPBP

BAPBP

1

)/()(

)/()(

81

ตวอยาง โรงงานแหงหนงมเครองจกรผลตหลอดไฟฟา 3 เครอง เครองท 1 ผลตหลอดไฟฟาได 60% เครองท 2 ผลตหลอดไฟฟาได 25% เครองท 3 ผลตหลอดไฟฟาได 15% ของผลผลตทงหมด และผลผลตของเครองจกรทงสามมหลอดช ารด 2% 3% และ 5% ตามล าดบ ถาสมหลอดไฟฟาทผลตจากโรงงานนมาหนงหลอด ปรากฏวาเปนหลอดช ารด ความนาจะเปนทหลอดช ารดนผลตมาจากเครองจกรท 2 เปนเทาใด วธท า ให A แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาช ารด B1 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 1 B2 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 2 B3 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 3

82

ตองการหาความนาจะเปนของการสมไดหลอดไฟฟาทช ารดทผลตมาจากเครองจกรท 2 ตามทฤษฎบทของเบย จะได P (B2 / A) = ในทน P (B1 ) = 0.60 , P (B2 ) = 0.25 , P (B3 ) = 0.15 P (A/ B1 ) = 0.02 , P (A / B2 ) = 0.03 P (A / B3 ) = 0.05 ดงนน P (B2 / A) = = 0.278 นนคอ ความนาจะเปนทหลอดไฟฟาทสมมานนเปนหลอดทช ารดทผลตจากเครองจกรเครองท 2 เทากบ 0.278

)/()()/()()/()(

)/()(

332211

22

BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBP

)05.0)(15.0()03.0)(25.0()02.0)(60.0()03.0)(25.0(

83

Documents

Probabilities and Conditional Probabilitiesbencha/886204_58/ch... · 2014-02-06 · เหตุการณ์ (Events) •ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก