UVの寄与から現れる  ΛQCDの正べき　

東北大学　  高浦　大雅  

共同研究者：三嶋剛、隅野行成

Phys.  Le/.  B  759    (2016)  550-­‐554     Full  paper  in  preparaDon

Outline

1.  IntroducDon 摂動QCDに不可避な誤差の問題→UVとIRの分離  

2.  UVだけから決まる量の計算法     3.  Discussion  and  other  quanDDes

4.  まとめと展望

摂動QCD

摂動QCDでは高次項をいくら計算しても  予言に不可避な誤差が含まれる

摂動級数は発散する漸近級数

発散的振る舞い  

n

O(↵n+1s )� term

 予言向上のためにどうしたら良いか？

O(⇤QCD/Q)n

Observableのスケール

g

＋

PhotonのVacuum  polarizaDon  (QCD補正 )

＋…

：muon  g-­‐2,  R-­‐raDo  (e+  e-­‐-­‐>hadrons),…

�    massless  quark

q�

摂動論での不可避な誤差 低エネルギーのgluonに起因

⇧(Q2)

Adler  funcDon  

�pert.D(Q2) = O ⇤4QCD

Q4

!

k

1999  M.  Beneke

Q2 = �q2 > 0

D(Q2) ⇠ d⇧(Q2

)

d logQ2

OPE-­‐誤差克服の枠組み-­‐

エネルギーを分割 FactorizaDon  scale                              　                  （Wilson流）

UV 摂動論で計算 摂動論の誤差は出ない k > µf

Low  energy  effecDve  theoryで計算

OPE（演算子積展開）でこの概念が  実現可能

+　… gk

µf � ⇤QCD

J

µ(x) = q̄�

µq(x)

J

µ(x) Jµ(0)⇥ ⇥

UV IR

D(Q2) = C1(Q2, µf ) + CGG(Q

2, µf )h0|Gaµ⌫Ga

µ⌫ |0iQ4

+ . . .

Gluon  condensate

UV

x

で展開 1/Q

IR

O ⇤4QCD

Q4

!

k < µf

これからやること

予言がcut-­‐offによって変わってしまう

Cut-­‐offに依らない部分を解析的に構成(一般論)  

→  GeneralizaDon

For  QCD  potenDal    2004  Y.  Sumino Leading  order  のreliable  part!

OPEのLeading  order  C1(Q2,μf)  

Impact

OPEに潜む  べき的な構造 IR

D(Q2) = C1(Q2, µf ) + CGG(Q

2, µf )h0|Gaµ⌫Ga

µ⌫ |0iQ4

+ . . .

UV

が出現!  UVから ⇤2QCD/Q

2

Outline

1.  IntroducDon 摂動QCDに不可避な誤差の問題→UVとIRの分離  

2.  UVだけから決まる量の計算法     3.  Discussion  and  other  quanDDes

4.  まとめと展望

✔!

UVの寄与のDiagram計算  （Large-­‐β0近似）

Fermion  loop

+  …

O(↵s) O(↵2s)

= �f0 ! �0

EffecDve  vertex  

Pole  around  ΛQCD

k

k :  UV

Cut-­‐offに依らない部分を抜き出す

+  

D�0(Q2;µ2

f) =

ZZZ 1

µ2f

d⌧

2⇡⌧wD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

↵�0(⌧ )

(⌧ = k2E)

1995  M.  Neubert

↵�0(⌧)

e5/3⇤2QCD µ2

f

How  to  extract    cut-­‐off  independent  part

1.    新しい解析関数Wを考える

Im1

x� ⌧ � i0= ⇡�(x� ⌧)

D�0(Q2;µ2

f) =

ZZZ 1

µ2f

d⌧

2⇡⌧wD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ 1

µ2f

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

2 ImWD(⌧ ) = wD(⌧ ) (⌧ 2 R and ⌧ > 0)

∵ WD(⌧ ) =

ZZZ 1

0

dx

2⇡

wD(x)

x � ⌧ � i0

1995  M.  Neubert

How  to  extract    cut-­‐off  independent  part

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ 1

µ2f

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

How  to  extract    cut-­‐off  independent  part

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ 1

µ2f

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

2.  複素平面で積分経路を変形

μf-­‐independent  !

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ

Ca

�ZZZ

Cb

�d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

How  to  extract    cut-­‐off  independent  part

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ 1

µ2f

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

2.  複素平面で積分経路を変形

μf-­‐independent  !

D�0(Q2;µ2

f) = Im

ZZZ

Ca

�ZZZ

Cb

�d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ )

How  about  this?

Expand  W(τ)  around  τ=0:

(i)  The  case  of  

{Integrand(τ)}*=Integrand(τ*)

μf-­‐independent!

(⇤2QCD ⌧ µ2

f ⌧ Q2)

の積分 µ2f

   ΛQCDが出現!

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ ) =

X

n

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧cn

✓⌧

Q2

◆n

↵�0(⌧ )

cn 2 R

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧cn

✓⌧

Q2

◆n

↵�0(⌧ ) =1

2⇡i

III

C⇤QCD

= �4⇡cn

�0

e5/3⇤2

QCD

Q2

!n

(ii)    The  case  of  

(⇤2QCD ⌧ µ2

f ⌧ Q2)

の積分 µ2f

{Integrand(τ)}*=ーIntegrand(τ*)

= O((µ2f/Q

2)n)

μf依存性が残る

Expand  W(τ)  around  τ=0:

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧ ) =

X

n

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧cn

✓⌧

Q2

◆n

↵�0(⌧ )

Im

ZZZ

Cb

d⌧

⇡⌧ibn

✓⌧

Q2

◆n

↵�0(⌧ ) =1

2⇡i

"ZZZ

Cb

+

ZZZ

C⇤b

#d⌧

⌧ibn

✓⌧

Q2

◆n

↵�0(⌧ )

cn = an + ibn 2 C

μf-­‐independent!  

D�0(Q2;µ2

f ) =Im

Z

Ca

d⌧

⇡⌧WD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧)

+NcCF

�0+

8(4� 3⇣3)e5/3NcCF

3�0

⇤2QCD

Q2+O(µ4

f/Q4)

WD

✓⌧

Q2

◆=

NcCF

"1

4⇡+

8� 6⇣33⇡

⌧

Q2+

10� 12⇣3 � 3 log (⌧/Q2) + 3i⇡

6⇡

✓⌧

Q2

◆2

+ . . .

#

結果

CR

Wの展開(係数の実・虚)は

故に

Ball,  Beneke,  Braun  Nucl.Phys.  B452  (1995)  563-­‐625    

µ2f

Case  (i) Case  (ii)

Adler  fn.の構造

= D0(Q2) +

8(4� 3⇣3)e5/3NcCF

3�0

⇤2QCD

Q2+O(µ4

f/Q4)

D�0(Q2;µ2

f ) =

Z 1

µ2f

d⌧

2⇡⌧wD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧)

μfに依らない  

Adler  fn.の構造

= D0(Q2) +

8(4� 3⇣3)e5/3NcCF

3�0

⇤2QCD

Q2+O(µ4

f/Q4)

D�0(Q2;µ2

f ) =

Z 1

µ2f

d⌧

2⇡⌧wD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧)

Gluon  condensateと関わる項  IRの情報と関係

μf依存性がキャンセル

D(Q2) = C1(Q2, µf ) + CGG(Q

2, µf )h0|Gaµ⌫Ga

µ⌫ |0iQ4

+ . . .

UV UV IR

Adler  fn.の構造

= D0(Q2) +

8(4� 3⇣3)e5/3NcCF

3�0

⇤2QCD

Q2+O(µ4

f/Q4)

D�0(Q2;µ2

f ) =

Z 1

µ2f

d⌧

2⇡⌧wD

✓⌧

Q2

◆↵�0(⌧)

UVのみで決まる

Gluon  condensateより  支配的なべき

DUV(Q2)

Outline

1.  IntroducDon 摂動QCDに不可避な誤差の問題→UVとIRの分離  

2.  UVだけから決まる量の計算法     3.  Discussion  and  other  quanDDes

4.  まとめと展望

✔!

✔!

Wの一意性

Adler  fn.のΛQCD2/Q2

2 ImWD(⌧) = wD(⌧) (⌧ 2 R and ⌧ > 0)

このようなWは一意ではない　(Real  partは自由)

はWのreal  partから出てきた

一意的に決まるものではない？

Wは一意的！

ΛQCD2/Q2の自然な係数は一意に決まる

Adler  fn.  (CorrelaDon  fn.)をQ2-­‐複素平面で  解析関数として表示できるようなW  に限る

条件

Other  quanDDes

R-­‐raDo R�0(q2) ⇠ �(e+e� ! hadrons)

�(e+e� ! µ+µ�)

R�0(q2, µf ) = RUV(q

2) +O(µ6f/q

6)

RUV(q2) = R0(q

2)� 3NcCF e10/3

�0

⇤4QCD

q4

Force  between  QQ

F (r2) = � d

drV�0(r) = �CF

↵F (1/r2)

r2

↵F �0(1/r2;µf ) = ↵F UV(1/r

2) +O(µ3fr

3)

↵F UV(1/r2) = ↵F0(1/r

2) +2⇡e5/3

�0⇤2QCDr

2

Outline

1.  IntroducDon 摂動QCDに不可避な誤差の問題→UVとIRの分離  

2.  UVだけから決まる量の計算法     3.  Discussion  and  other  quanDDes

4.  まとめと展望

✔!

✔! ✔!

まとめ

•  摂動QCDでは低エネルギーのグルーオンに起因する誤差がつきまとう  

•  UVの寄与だけを考え、cut-­‐offに依らない部分を抜き出す一般的方法  

•  UV由来のΛQCD2/Q2がC1に存在

Leading  orderのreliable  part  

高エネルギーでの振る舞いはOPEから  素朴に予想されるべき的振る舞いと異なる

D(Q2) = C1(Q2, µf ) + CGG(Q

2, µf )h0|Gaµ⌫Ga

µ⌫ |0iQ4

+ . . .

展望

•  SystemaDc  improvement  of  calculaDon  of        UV  contribuDons

•  Gluon  condensate  の高精度決定

摂動論の誤差を持たない 数値的に高精度で決定できるか

→    Beyond  large-­‐β0  approx.

•  αs  の高精度決定

QCD  potenDal Latce  v.s.  UV  contribuDon

D(Q2) = C1(Q2, µf ) + CGG(Q

2, µf )h0|Gaµ⌫Ga

µ⌫ |0iQ4

+ . . .

課題

Ongoing  and  future  works

Back  up

WDの構成法

H(⌧) =

Z 1

⌧dx

log (1 + x) log (1� x)

x

RelaDon  between    diagramaDc  calculaDon  and  OPE  

W (H,H)AD ∼ ∼ ⟨1⟩

W (H,H)BD ∼ ∼ ⟨1⟩

W (S,H)AD ∼ ∼ ⟨G2⟩

Q4

W (S,H)BD ∼ ∼ ⟨G2⟩

Q4

W (S,S)AD ∼ ∼ ⟨ψ̄D/ψ⟩

Q4

W (S,S)BD ∼ ∼ ⟨ψ̄D/ψ⟩

Q4

W (S,S)CD ∼ ∼ ⟨ψ̄∂µ∂νψGµν⟩

Q6

(1)

1

W (H,H)AD ∼ ∼ ⟨1⟩

W (H,H)BD ∼ ∼ ⟨1⟩

W (S,H)AD ∼ ∼ ⟨G2⟩

Q4

W (S,H)BD ∼ ∼ ⟨G2⟩

Q4

W (S,S)AD ∼ ∼ ⟨ψ̄D/ψ⟩

Q4

W (S,S)BD ∼ ∼ ⟨ψ̄D/ψ⟩

Q4

W (S,S)CD ∼ ∼ ⟨ψ̄∂µ∂νψGµν⟩

Q6

(1)

1

DUV  v.s.  Higher  order  pert.  series