Embed Size (px)
Citation preview
Uvod u modernu fiziku
- kvantna fizika- atomska i molekularna fizika- nuklearna fizika- fizika elementarnih čestica i kozmologija- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- fizika čvrstog stanja- astronomija i astrofizika- biofizika- nanotehnologija- ...
Dodatna literatura
1. I. Supek, M. Furić, Počela fizike, Školska knjiga Zagreb, 1994.2. I. Supek, Teorijska fizika, 2. dio, Školska knjiga Zagreb, 19??.3. E. H. Wichmann, Kvantna fizika, udžbenik fizike sveučilišta u Berkeleyu4. I. Supek, Povijest fizike, Školska knjiga Zagreb, 1990.5. I. Picek, Elementarne čestice, Školska knjiga Zagreb, 1997.
Početkom 20. stoljeća nekoliko je pojava zadavalo fizičarima ogromne muke. Spomenut ćemo neke od njih:
1. zračenje crnog tijela (elektromagnetsko zračenje koje emitira zagrijano tijelo)
2. fotoelektrični efekt (emisija elektrona iz osvijetljenog metala)3. linijski spektar atoma plina (oštre spektralne linije u emisijskom spektru
atoma plina pri električnom izboju)Pokušaj objašnjavanja ponašanja materije na atomskom nivou, koristeći
zakone klasične fizike, bio je postojano neuspješan.Između 1900.-1930. nastala je moderna verzija mehanike nazvana kvantna
mehanika ili valna mehanika koja je bila vrlo uspješna u objašnjenju ponašanja atoma, molekula i jezgri.
Najranije ideje kvantne teorije uveo je Planck, a za većinu nadogradnje matematičkog aparata, interpretacija i poboljšanja zaslužni su brojni fizičari: Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Pauli, Born, Dirac, ...
14. prosinca 1900. rođena je kvantna mehanika: Max Planck na susretu Njemačkog fizikalnog društva iznio je svoj rad “O teoriji zakona distribucije energije normalnog spektra”
Uvod
Kvantna fizika predstavlja poopćenje klasične fizike koje uključuje klasične zakone kao specijalne slučajeve:
RELATIVNOST KVANTNA FIZIKA
-proširuje područje primjene klasičnih zakona fizike na područje:
-velikih brzina -malih dimenzija
-univerzalna konstanta
- c (brzina svjetlosti) - h (Planckova konstanta)
Savršeno crno tijelo
Savršeno crno tijelo. α = 1, za sve valne duljine i sve temperature.
eISφ
=
Savršeno crno tijelo. Ne postoji u prirodi. Prikazuje se kao izotermna šupljina s malim otvorom:
Šupljina potpuno apsorbira upadno zračenje koje uđe u šupljinu: Zraka upadnog zračenja se brojnim refleksijama potpuno apsorbira. Reflektirane zrake su sve tanje i tanje, do potpune apsorpcije.
Prisjećanje: Toplinska ravnoteža. Svako tijelo i apsorbira i emitira toplinu. Definiramo intenzitet emitiranog zračenja:
Ako je riječ o kontinuiranom spektru:0 0
dII I d ddλ λ λ
λ
∞ ∞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
Savršeno crno tijelo 2
Ako je riječ o kontinuiranom spektru:
Emisiona moć crnog tijela ili spektralna gustoća zračenja:
Rλ = f(λ, T) Vrlo česta oznaka (Obično se crta za tijelo poznate T).
0 0
dII I d ddλ λ λ
λ
∞ ∞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
( ),ct
dIf Td
λλ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) 3, Wf Tm
λ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Faktor emisije = Def = Omjer emitiranog zračenja i ukupnog zračenja:
eφεφ
=
Kirchhoffov zakon
Kirchhoff – Proučavao odnose faktora apsorpcije i emisije za crno tijelo. Zaključak: U ravnoteži je emitirani tok jednak apsorbiranom.
Za sivo tijelo (ε< 1):
ct cta eφ φ=
ε α=
Ako je spektar sastavljen od više valnih duljina:
e up a upφ εφ φ αφ= = =
( ) ( ), ,T Tε λ α λ=
( )( )
,1
,TT
ε λα λ
= Kirchhoffov zakon
Omjer faktora emisije i faktora apsorpcije jednak je jedinici za bilo koje tijelo.
Kirchhoffov zakon 2
Teorija valova. Veza valne duljine i frekvencije: c λν=
"minus" Frekvencija pada kada raste valna duljina.
2
c cd d dλ νν ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )2, ,cf T f Tν λν
= −
Rλ = f(λ, T) Umjesto pomoću valne duljine. Pomoću frekvencije
( ) ( ), ,f T d f T dν ν λ λ=
Spektar zračenja crnog tijela
Izotermnu šupljinu ugrijemo na neku T. Kontinuiran spektar Ogibna rešetka. Mjerimo intenzitet dijelova spektra širine dλ za raličite λ:
Zaključak: Spektar bitno ovisi o temperaturi. Viša T Ukupna izračena energija veća (površina ispod krivulje).
Zaključak: Svaki spektar ima maksimum na određenoj λm. Viša T Maksimum se pomiče prema manjim λ.
Stefan, Boltzmann i Wien Uočili gornja svojstva. Zakoni.
Stefan - Boltzmannov zakonJožef Stefan – Iz eksperimentalnih spektara zračenja uočio zakonitost: Ukupni intenzitet zračenja (energija koju zrači 1m2
površine tijela u sekundi) razmjeran je s četvrtom potencijom apsolutne temperature crnog tijela.L. Boltzmann (neovisno o Stefanu) teorijskim razmatranjima (zakonima termodinamike) došao do istog rezultata:
( ) 4
0
,I f T d Tλ λ σ∞
= =∫8
2 45,67 10 Stefan-Boltzmannova konstantaWm K
σ −= ⋅
4 Stefan-Boltzmannov zakonI Tσ=
Ukupna snaga P zračenja crnoga tijela površine S: 4P S Tσ=
Za realna tijela (siva), koristimo faktor emisije. 4I Tεσ=
Stefan - Boltzmannov zakon 2
Primjer: Koliku snagu emitira 1 cm2 površine crnoga tijela pri temperaturi 1000 K, odnosno 2000 K?
1
22 4 2
82 4
10002000
1 10
5,67 10
T KT K
S cm mW
m Kσ
−
−
==
= =
= ⋅
4P S Tσ=
2 puta veća temperatura. 16 puta veća snaga!
4 4 8 41 1 10 5,67 10 1000 5,67P S T Wσ − −= = ⋅ ⋅ ⋅ =
4 4 8 42 2 10 5,67 10 2000 90,7P S T Wσ − −= = ⋅ ⋅ ⋅ =
Wienov zakon pomicanja
W. Wien (1864. – 1928.) – Iz spektara zračenja. Uočio zakonitost:32,898 10mT b Kmλ −= = ⋅
Valna duljina koja odgovara maksimumu izračene energije λmobrnuto je razmjerna apsolutnoj temperaturi.
Temperatura određuje gdje će biti maksimum spektra: npr. T = 1000 K Maksimum u infracrvenom području.T = 6000 K Maksimum u području vidljive svjetlosti.
Wienov zakon pomicanja 2
Primjer:Odredite temperaturu površine Sunca i snagu koju zrači 1 m2
njegove površine pod pretpostavkom da Sunce zrači kao crno tijelo. Maksimum Sunčeva zračenja je za λm = 480 nm.
3
82 4
2,898 10480
5,67 10
m
b Kmnm
Wm K
λ
σ
−
−
= ⋅=
= ⋅
4I Tσ=
32,898 10mT b Kmλ −= = ⋅32,898 10
m
T Kλ
−⋅=
3
9
2,898 10480 10
K−
−
⋅=
⋅
6040T K=
8 4 72 25,67 10 6040 7,5 10W WI
m m−= ⋅ ⋅ = ⋅
SVAKE SEKUNDE, SVAKI KVADRATNI METAR SUNČEVE POVRŠINE IZRAČI 7,5 . 107 W ENERGIJE!!!
Ultraljubičasta katastrofa
Kraj 19. st. Izmjeren spektar zračenja crnog tijela. Pokušava se (metode statističke fizike, valna teorija svjetlosti) objasniti oblik krivulje spektra za pojedine temperature.
( ) 4
2, cf T kTπλλ
=
Atomi – Shvaćeni kao harmonički oscilatori koji kada se pobude. Emitiraju kontinuirani spektar.
Jeans i Rayleigh (engleski fizičari) – "Zračenje unutar izotermne šupljine se sastoji od stojnih valova." Našli ukupan broj valova unutar frekventnog područja + Našli srednju energiju jednog vala (kT). Dobili zakonitost za spektralnu gustoću zračenja:
Usporedba s eksperimentom?
Ultraljubičasta katastrofa 2
Poređenje s eksperimentom?
Formula je dobra za velike valne duljine (male frekvencije).
( ) 4
2, cf T kTπλλ
=
Potpuno neslaganje za male valne duljine, tj. u ultraljubičastom području.Rayleigh–Jeansova funkcija nema maksimum. (Eksperimentalna ima.)
Rayleigh–Jeansova funkcija U ultraljubičastom području bi zračenje crnog tijela imalo beskonačno veliki intenzitet. Tzv. ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA.
Početak kvantne fizike
Mnogi fizičari su godinama pokušavali naći pogrešku u izvodu!
Nisu je našli!
Rayleigh–Jeansova funkcija se ne slaže s eksperimentalnim spektrima!
Da li to znači da fizikalna teorija nije točna? Ali mnoge druge pojave se jako dobro opisuju s tom istom teorijom!
Rješenje: Klasična fizika svojim zakonima ne može objasniti sve pojave u prirodi, pogotovo u mikrosvijetu atoma i molekula. Za objašnjenje zakona zračenja crnog tijela trebaju neke nove ideje.
Max Planck, 14. prosinca 1900. Uveo pojam kvantiziranosti energije. = Rođendan kvantne fizike.
Planckov zakon zračenja
Klasična fizika (prije Plancka). Atome i molekule u čvrstom tijelu aproksimira harmoničkim oscilatorima koji titraju. Atomi mogu kontinuirano mijenjati svoju energiju. Metode statističke fizike daju srednju energiju koju ima atom (molekula) na temperaturi T: Esr =kT.
Energija zračenja će biti proporcionalna srednjoj energiji molekule. Krivi rezultat, tj. ne slaže s s eksperimentom.
M. Planck 1900. Smiona hipoteza o kvantiziranosti energije atoma.
Drugim riječima: Atom ne može primiti ili emitirati bilo kako malu količinu energije, nego samo određenu količinu (KVANT) energije ili višekratnike toga kvanta.M. Planck Atom zrači EM zračenje u obliku kvanata energije čija je energija proporcionalna frekvenciji zračenja: E = hν.
h = 6,626 .10-34 Js Planckova konstanta
Planckov zakon zračenja 2
Klasična fizika Energija je neprekinuta varijabla i klasični harmonički oscilator može imati bilo koju vrijednost energije, od nule do maksimalne.
Kvantni harmonički oscilator (atomi, molekule)
Mogu imati samo određene diskretne vrijednosti energije; 0, hν, 2hν, 3hν, ...
Max Planck (1858.-1947.)
Planckov zakon zračenja 3
hvnkT
nP Ae−
=
Kolika je srednja vrijednost energije Planckova oscilatora?
Za razliku od klasičnih oscilatora, svako stanje kvantnog oscilatora ima svoju vjerojatnost. Neka stanja su vjerojatnija od drugih:
n = 1 1 0
hvkTN N e
−=
n = 2 2
2 0
hvkTN N e
−=
n = n 0
hvnkT
nN N e−
=
Srednja energija = Ukupna energija/ukupan broj oscilatora
ukupno
ukupno
EE
N=
0
n
ukupno i ii
E E N=
= ∑0
n
ukupno ii
N N=
= ∑
n = 0 0
0 0
hvkTN Ae A N
−= ⇒ =
Planckov zakon zračenja 4
0
hvnkT
nN N e−
=
Uvodimo skraćenicu:hvkTx e
−=
0
n
ukupno i ii
E E N=
= ∑
2
0 1 ...hv hv hvnkT kT kT
ukupnoN N e e e− − −⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
ukupno
ukupno
EE
N=
0
n
ukupno ii
N N=
= ∑
( )20 1 ... n
ukupnoN N x x x= + + + +
0 0 1 1 2 20
...n
ukupno i i n ni
E E N E N E N E N E N=
= = + + + +∑2
0 0 2 ...hv hv hvnkT kT kT
ukupnoE N h e h e nh eν ν ν− − −⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )20 0 2 ... n
ukupnoE N h x x nxν= + + + +ukupno
ukupno
EE
N=
( )( )
20
20
0 2 ...
1 ...
n
n
N h x x nxE
N x x x
ν + + + +=
+ + + +2
2
1 2 3 ...1 ...
x xE h xx x
ν + + +=
+ + +
Planckov zakon zračenja 5
Uočimo: U nazivniku je geometrijski red.
( )2
2
1 ...
1 ...
d x xdxE h x
x xν
+ + +=
+ + +
( ) 1ln ' dzzz dx
=
( )2ln 1 ...dE h x x xdx
ν= + + +
2
2
1 2 3 ...1 ...
x xE h xx x
ν + + +=
+ + +
Uočimo: DERIVACIJA NAZIVNIKA JE BROJNIK!!!
Za logaritamsku funkciju vrijedi:
Prisjećanje: Suma geometrijskog reda:
( )2 1lim 1 ..1n n
S x xx→∞
= + + + =−
1ln1
dE h xdx x
ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Planckov zakon zračenja 6
1 1 1ln ' '11 11
x xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠−
Računamo derivaciju od ln:
1h xE
xν
=−
1ln1
dE h xdx x
ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) 1(1 ) 1 'x x −⎡ ⎤= − ⋅ −⎣ ⎦ ( ) ( )2(1 ) 1 'x x x−= − − ⋅ − −
1 1ln '1 1x x
⎛ ⎞ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠1
11 1
xE h hx
x
ν ν= =− −
hvkTx e
−=
Vraćamo x:1
hvkT
hEe
ν=
−
Srednja energija kvantnog oscilatora
Slučaj klasične fizike, h 0 :
1 ...hvkT hve
kT≈ + + 1 ... 1
hE kThvkT
ν= =
+ + −Slaganje!!!
Planckov zakon zračenja 7
Spektralna gustoća zračenja crnog tijela?
U klasičnoj fizici je kT bila srednja energija oscilatora. Umjesto nje, treba uvrstiti srednju energiju oscilatora za Planckov oscil.
( ) 4
2,1
hvkT
c hf Te
π νλλ
=−
Koristimo relaciju: ν = c/λ
1hvkT
hEe
ν=
−( ) 4
2, cf T kTπλλ
=Sjetimo se Rayleigh–Jeansova funkcije:
( )2
5
2,1
hvkT
h cf Te
πλλ
=−
Planckova formula za spektralnu gustoću zračenja crnog tijela.
Eksperiment? JAKO DOBRO SLAGANJE S PLANCKOVOM FORMULOM!
Opravdanje za kvantiziranost energije? Nema je. To je svojstvo prirode, fundamentalna činjenica u prirodi!
Planckov zakon zračenja 8
Veza formula za spektralnu gustoća zračenja crnog tijela (klasična fizika i Planckova formula?
Bila dobra samo za visoke temperature! hν <<kT
( ) 4
2, cf T kTπλλ
= ( )2
5
2,1
hvkT
h cf Te
πλλ
=−
Zaključak: Na visokim temperaturama, Planckova formula prelazi u Rayleigh–Jeansova funkciju. Nije bilo pogreške u klasičnoj fizici, ako promatramo visoke temperature!
1 ...hvkT hve
kT≈ + + ( )
2 2
5 5 4
2 2 2,1 ... 1
h c hc cf T kT kThv hvkT
π π πλλ λ λ
≈ = =+ + −
Planckov zakon i Stefan-Boltzmannov zakon
Iz Planckove formule izračunajmo ukupan intenzitet zračenja za sve valne duljine:
( )2
5
2,1
hvkT
h cf Te
πλλ
=−
Koristimo zamjenu:
( )0
,I f T dλ λ∞
= ∫
2
50
2
1hvkT
hc dIe
π λλ
∞
=−
∫ hxkTν
=
h cxkT λ
=4 4 3
3 20
21x
k T xI dxh c eπ ∞
=−∫ Tablični integral:
3 4
0 1 15x
x dxe
π∞
=−∫ 4 4 4 4
43 2 3 2
2 215
k T kI Th c h cπ π π
= =
8 2 4 45,67 10I Wm K T− − −= ⋅ 4Tσ= Stefan-Boltzmannov zakon
Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja
Wienov zakon povezuje valnu duljinu u spektru na kojoj imamo maksimum zračenja.
( ),0
df Tdλλ
=Krećemo od Planckova zakona, tražimo extrem:
32,898 10mT b Kmλ −= = ⋅
( ) 2
5
, 2
1hvkT
df T d h cd d
e
λ πλ λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Zamjena:
( ) 2
5
, 2
1hckT
df T d h cd d
eλ
λ πλ λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟
−⎝ ⎠
( )4 5
2
2
10
5 1,
1
hc hckT kT
hckT
hce ekTdf T
de
λ λ
λ
λ λλλ
λλ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
5 1 0hc hckT kThce e
kTλ λ
λ⎛ ⎞
− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
51
hckT
hckT
hc ekT
e
λ
λλ=
−
hcxkTλ
= 51
x
x
xee
=−
Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja
32,898 10mT b Kmλ −= = ⋅
Wienov zakon pomicanja
4,9652m
hcxkTλ λ
= =
51
x
x
xee
=−
Transedentna jednadžba čiji je korijen xλ = 4,9652:
34 8
23
6,6256 10 3 104,9652 4,9652 1,3805 10m
hcT Kmk
λ−
−
⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅
32,898 10mT Kmλ −= ⋅
( )5
15 1
x
x
x
x
xee
ex
e
=−
−=
x 5(ex-1)/ex
1 3,16062 4,32333 4,75114 4,90845 4,9663
4,9 4,96284,96 4,9649
4,965 4,96514,9651 4,9651
rješavanje jednadžbe:
Neke primjene zakona zračenja crnog tijela
Prozirna tijela (kvarc, kalcit, saharoza, prozirna stakla, prozirne plastične mase, …). Prozirni su za vidljivu Sunčevu svjetlost.
Efekt staklenika:
Npr., prozorsko staklo debljine 2 mm. Za valne duljine 400 –2500 nm. Apsorpcija skoro jednaka nuli, tj. staklo potpuno propušta te valne duljine.
Npr., prozorsko staklo debljine 2 mm. Za valne duljine veće od 5000 nm. Apsorpcija skoro jednaka jedinici, tj. staklo je neprozirno za te valne duljine.
Efekt staklenika: Sunce emitira vidljivu svjetlost. Ona prolazi kroz staklo, grije biljke i tlo. Biljke i tlo isijavaju termičko zračenje (uglavnom infracrveno). Za te valne duljine staklo je neprozirno. Infracrveno zračenje se zadržava u stakleniku i povisuje temperaturu u njemu.
Neke primjene zakona zračenja crnog tijela 2
Crna tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: čađa, ugljena prašina, …
Tijela crne boje:
Crna tijela Gotovo potpuno apsorbira vidljivu Sunčevu svjetlost.
Crna tijela Infracrveno zračenje?
Za infracrveno zračenje čađa ima koeficijent apsorpcije manji od 1 Čađa je u infracrvenom području propusna.
Neke primjene zakona zračenja crnog tijela 3
Bijela tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: bijeli papir, snijeg,…
Tijela bijele boje:
Bijela tijela Difuzno reflektiraju vidljivu Sunčevu svjetlost.
Bijela tijela Infracrveno zračenje?
Za infracrveno zračenje snijeg ima koeficijent apsorpcije 1! "Snijeg je u infracrvenom području crn kao čađa."
Zašto se snijeg brže topi u gradovima nego u prirodi?
"Čisti" snijeg Slabo se zagrijava (skoro sve reflektira)."Prljav" snijeg (npr. čađa) Čađa apsorbira Sunčevo zračenje (zagrijava se). Čađa emitira toplinsko zračenje (infracrveno).
Snijeg upija infracrvene zrake. Zagrijavanje. Topljenje.
Fotoelektrični efekt i čestična teorija svjetlosti
Krajem 19. st. otkrivena je zanimljiva pojava (Hertz): eksperimenti su pokazali da kada svjetlost upada na metalnu površinu uzrokuje emisiju elektrona s te površine. Ova pojava nazvana je fotoelektrični efekt, a emitirani elektroni fotoelektroni.
svjetlost
fotoelektroni
napon
Shematski prikaz strujnog kruga za proučavanje fotoelektričnog efekta. Kada svjetlost upada na ploču E (emiter), iz ploče izlaze fotoelektroni prema ploči C (kolektor) i stvaraju struju u krugu koja se mjeri ampermetrom A. U mraku ne teče struja. Da bi struja potekla, svjetlost mora biti određene valne duljine (frekvencije).
napon
strujaveliki intenzitet svjetla
mali intenzitet svjetla
Ovisnost fotoelektrične struje o naponu između E i C za različite intenzitete upadnog svjetla. Porastom napona, raste i struja dok ne postigne maksimum (saturacija). Porastom intenziteta svjetla, povećava se i struja. Ako je napon negativan, struja se smanjuje jer sada fotoelektrone odbija negativno nabijena ploča C. Kada je napon jednak –ΔVs (potencijal zaustavljanja) niti jedan fotoelektrona ne može više doći do ploče C i struja=0. Taj napon zaustavljanja ne ovisi o intenzitetu upadnog zračenja. Maksimalna kinetička energija fotoelektrona povezana je s potencijalom zaustavljanja:
Problemi oko objašnjenja fotoelektričnog efekta klasičnom fizikom ili valnom prirodom svjetlosti:• nema emisije elektrona ukoliko je frekvencija upadne svjetlosti manja od granične frekvencije (frekvencije praga) fc; Ovo je nekonzistentno s valnom teorijom koja predviđa da bi se fotoelektrični efekt trebao odvijati na bilo kojoj frekvenciji, ukoliko svjetlost ima dovoljno jak intenzitet• maksimalna kinetička energija fotoelektrona ne ovisi o intenzitetu svjetlosti; prema valnoj teoriji, svjetlost većeg intenziteta predaje više energije metalu po jedinici vremena i izbačeni fotoelektroni trebali bi imati veću kinetičku energiju• maksimalna kinetička energija fotoelektrona raste s porastom frekvencije svjetlosti; valna teorija ne predviđa nikakvu ovisnost između frekvencije svjetlosti i energije fotoelektrona• elektroni se emitiraju s površine gotovo trenutno (manje od 10-9 s), čak i pri niskom intenzitetu svjetlosti; klasično, očekuje se da fotoelektroni neko vrijeme apsorbiraju energiju iz upadnog zračenja prije nego što napuste metal
Objašnjenje fotoelektričnog efekta dao je Einstein (1905.) za što je 1921. dobio Nobelovu nagradu. Einstein je proširio Planckov koncept kvantizacije energije elektromagnetskih valova. Pretpostavio je da se svjetlost sastoji od malih paketa energije (fotona) čiji je iznos jednak E=hf, gdje je h Planckova konstanta, a f frekvencija svjetla, koja je jednaka frekvenciji Planckovog oscilatora. U Einsteinovom modelu foton je lokaliziran tako da svu svoju energiju može dati jednom elektronu u metalu. Maksimalna energija oslobođenih fotoelektrona je Ek,max=hf-φ, gdje je fizlazni rad metala i karakteristika je metala. Sada se mogu objasniti rezultati eksperimenata koji su nerazumljivi sa stajališta klasične fizike:• fotoelektroni nastaju apsorpcijom jednog fotona, tako da energija fotona mora biti veća od izlaznog rada, inače nema izbačenih fotoelektrona; to objašnjava kritičnu frekvenciju• Ek,max ovisi o frekvenciji svjeta i izlaznom radu; intenzitet svjetla nije bitan• Ek,max linearno raste s porastom frekvencije• elektroni se emitiraju gotovo trenutno, bez obzira na intenzitet, jer je energija svjetlosti koncentrirana u pakete (a ne raspršena u valovima);
Između Ek,max i f postoji linearna veza (slika). Sjecište s horizontalnom osi definira frekvenciju praga fc (kritičnu frekvenciju) ispod koje nema fotoelektričnog efekta. Možemo izračunati i graničnu valnu duljinu:
Za svjetlost valne duljine veće od kritične, nema fotoelektričnog efekta.
Rendgenske zrake (X-zrake)
1895. na Sveučulištu u Wurzburgu, Wilhelm Conrad Röntgen (1845.-1923.) proučavao je električne izboje u plinovima pod niskim tlakom kada je primijetio svjetlucanje fluorescentnog ekrana, čak i na udaljenosti od nekoliko metara od izbojne cijevi i uz prekrivanje ekrana kartonom. Zaključio je da je uzrok ove pojave zračenje nepoznatog podrijetla koje je nazvao x-zrake. Kasnija istraživanja pokazala su da se x-zrake kreću brzinom bliskom c i da ne skreću ni u električnom ni u magnetskom polju (dakle, ne sastoje se od snopa nabijenih čestica).
1912. Max von Laue (1879.-1960.) predložio je da ako su x-zrake elektromagnetski valovi kratkih valnih duljina, trebalo bi biti moguće napraviti njihovu difrakciju na rešetki kristala. To je uskoro i potvrđeno i time je difrakcija rendgenskih zraka postala nova nezamjenjiva tehnika za određivanje strukture materijala.Tipična valna duljina x-zraka je oko 0,1 nm, što odgovara redu veličine atomskih međurazmaka. X-zrake s lakoćom prolaze kroz većinu materijala.
Shema Rendgenskog uređaja.
Spektar zračenja Rendgenskog uređaja na meti od Mo.
X-zrake nastaju naglim usporavanjem brzih (visokoenergetskih) elektrona; na primjer kada snop elektrona ubrzan naponom nekoliko kV pogodi metalnu metu.
Slika desno predstavlja spektar zračenja Rendgentskih zraka. Spektar se sastoji od dvije komponente: jedna je kontinuirano zračenje koje ovisi o naponu ubrzanja elektrona (takozvano zakočno zračenje od njem. bremsstrahlung koje nastaje raspršenjem elektrona na atomima mete) i od niza intenzivnih linija koje ovise o svojstvima mete (napon ubrzavanja mora biti veći od određene vrijednosti (napona praga) da bi se pojavile ove linije.
λmin
Zakočno zračenje (bremsstrahlung).
Nastanak zakočnog zračenja: prolaskom elektrona pokraj pozitivno nabijene jezgre atoma u materijalu mete, dolazi do otklona elektrona (raspršenja) od prvobitne putanje, tj. dolazi do ubrzanja elektrona. Prema klasičnoj fizici, svaki ubrzani naboj zrači elektromagnetske valove; prema kvantnoj teoriji to zračenje mora biti u obliku fotona koji nose energiju; dakle, elektron gubi dio svoje energije pri raspršenju i pri tome zrači foton; elektron može izgubiti svu svoju energiju (zaustaviti se) pri jednom raspršenju i tada je sva njegova energija (eΔV) pretvorena u energiju fotona (hfmax):
Odavde možemo izračunati najkraću valnu duljinu emitiranog fotona:
Budući da se ne zaustave svi elektroni nakon jednog raspršenja, već nakon niza uzastopnih raspršenja, zračenje ima karakteristike kontinuiranog spektra valnih duljina.
Difrakcija Rendgenskih zraka na kristalu
Shema difrakcije rendgenskih zraka na kristalu.
-difrakcija je obrađena na kolegiju Osnove fizike 3-vrlo važna tehnika za određivanje strukture materijala
Braggov zakon
Kubična kristalna struktura NaCl: plave sfere su ioni Cl-, a crvene Na+. a=0,563 nm.
Comptonov efekt
Arthur H. Compton (1892-1962), američki fizičar-pokus iz 1923.; usmjerio x-zrake valne duljine λ0 prema grafitu; pronašao je da raspršene x-zrake imaju veću valnu duljinu (manju energiju) nego upadne; smanjenje energije ovisilo je o kutu raspršenja; ova pojava nazvana je Comptonovim efektom; još jedna potvrda fotonske (čestične) prirode svjetlosti-objašnjenje: Compton je pretpostavio da se foton ponaša kao čestica i da se sudara s ostalim česticama poput biljarskih kugli – dakle, foton ima mjerljivu energiju i impuls koji moraju biti očuvani pri sudarima; ako se upadni foton sudari s elektronom koji miruje, fotom mu preda dio svoje energije i impulsa; posljedica toga je smanjenje energije i frekvencije raspršenog fotona, dok se valna duljina poveća; taj pomak u valnoj duljini iznosi:
-θ je kut između upadnog i raspršenog fotona-veličina h/mec naziva se Comptonova valna duljina i iznosi 0,00243 nm; zbog toga je Comptonov efekt teško uočiti kod vidljive svjetlosti; efekt ovisi samo o kutu otklona fotona, ali ne i o valnoj duljini; efekt je uočen za različite mete
Pitanja:1. foton x-zraka raspršen je na elektronu. Frekvencija raspršenog fotona u odnosu na
upadni je a) većab) manjac) ista
2. Foton energije E0 rasprši se na elektronu. Raspršeni foton energije E giba se suprotno od smjera upadnog fotona (raspršenje unazad). Rezultantna kinetička energija elektrona jednaka je a) E0b) Ec) E0-Ed) E-E0
3. Comptonov efekt opisuje promjenu valne duljine fotona dok se raspršuju pod različitim kutovima. Ako neki materijal obasjamo vidljivom svjetlošću i promatramo reflektiranu svjetlost pod različitim kutovima, hoćemo li uočiti promjenu u boji materijala zbog Comptonovog efekta?
0,00243 nm 180°
~0,005 nm
premala promjena za detekciju okom
De Broglievi valovi materijePrisjećanje: Newton (kasnije i Einstein) Korpuskularna teorija svjetlosti.Difrakcija i interferencija Svjetlost je valne prirode. Dualizam, val – korpuskula? Samo za svjetlost?
De Broglie Iskreno vjerovao u jedinstvo prirode (vjerovali skoro svi veliki znanstvenici prije njega). Zašto bi svjetlost bila nešto posebno, različito od svega drugoga u prirodi?Louis de Broglie (1924.) Pošao od stajališta da se atomi i svjetlost daju opisati istim zakonima!
Kako atomima pripisati valne osobine?
De Broglie Kako Bohrova stacionarna stanja protumačiti zornim slikama? Ima li u prirodi nešto slično stacionarnim stanjima u svijetu atoma?
Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja.
De Broglievi valovi materije 2Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja.
Kad žica titra. Čujemo osnovni ton, onaj koji potječe od titranja žice kao cjeline.Postoje i druge vibracije koje se nazivaju višim harmonicima. Žica ima čvorove, tj. točke u kojima ostaje nepomična tijekom titranja.
Koliko god složena bila vibracija, ona uvijek zadovoljava uvjet da se duljina žice može podijeliti samo na cijeli broj polovica valnih duljina, tj između oba kraja žice se mora nalaziti cijeli broj valnih brijegova i dolova.
Valna duljina titranja žice je diskontinuirana!!!
De Broglie. "Napravimo od naših žica prstenove i zamislimo da su to orbite elektrona u atomu!"
De Broglie. U mislima zamijenimo gibanje elektrona po tim orbitama valom “koji odgovara elektronu”!
De Broglievi valovi materije 3De Broglie. Zamislimo da će gibanje elektrona biti stabilno onda i samo onda ako u orbitu stane cijeli broj n “elektronskih valova” λ. De Broglie. Kada se na kružnici ne bi nalazio cijeli broj valnih duljina, tada bi u jednoj njezinoj točki morao titraj vala imati dva različita stanja faze, a to je nemoguće.Matematički (U opseg kruga treba staviti n valnih duljina):
Uporedimo li ovu formulu s prvim Bohrovim postulatom:
"valna duljina elektrona"
2 r nπ λ=
2 mvr nhπ =h
mvλ =
Valna duljina elektrona obrnuto je proporcinalna količini gibanja elektrona, a konstanta proporcionalnosti je Planckova konstanta h.
De Broglie Gibanje elektrona (i drugih čestica), je valna pojava koja se podvrgava istim zakonima kao i valovi svjetlosti. Principijelna je razlika prema svjetlosti u tome što se de Broglievi valovi mogu kretati različitim brzinama.
De Broglievi valovi materije 4
10,0725v
λ =
Clinton J. Davisson i Lester H. Germer (1927.) Eksperimentalna potvrda de Broglieve hipoteze da materija ima i valna svojstva.
Pokus: Ogib elektrona. Proizveli katodne zrake – snopove elektrona- velike brzine čije su valne duljine bile u području rendgenskog zračenja. Njima bombardirali kristale nikla.Ako je de Broglieva hipoteza ispravna, moramo i kod refleksije elektrona na kristalu opaziti iste ogibne slike kao i kod refleksije rendgenskog zračenja.
Interferentna slika elektrona.
Davisson i Germer Mjerenjem ustanovili da između brzine elektrona katodnog zračenja i pridružene im valne duljine koja izaziva ogib postoji odnos:
Egzaktno se slaže s de Broglievom relacijom!
Luis de Broglie (1892 – 1987)- francuski fizičar- dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1929. za otkriće
valne prirode materije, odnosno dualnosti val-čestica- budući da fotoni (svjetlost) pokazuju valna i čestična
svojstva (disertacija iz 1924.) za pretpostaviti je da svi oblici materije imaju oba svojstva (val i čestica)
Za fotone: Za sve materijalne čestice:
λ, f = valna svojstva
E, mv = čestična svojstva
De Broglievi valovi materije 5
34
3
2
6,626 1010
10 /
h Jsm kgv m s
−
−
−
= ⋅
=
=
Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu kuglice mase 1g koja se giba brzinom od 1 cm/s?
Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu čovjeka mase 70 kg koja trči brzinom od 7 m/s?
hmv
λ =34
3 2
6,626 1010 10
λ−
− −
⋅=
⋅296,63 10 m−= ⋅
346,626 1070
7 /
h Jsm kgv m s
−= ⋅=
=
hmv
λ =346,626 10
70 7λ
−⋅=
⋅361,35 10 m−= ⋅
Na 1 m puta stane 1036 valnih duljina!!!
Pitanja:1. Nerelativistički elektron i proton gibaju se i imaju istu de Broglievu valnu duljinu. Što im je još isto a) brzina
b) Ekc) količina gibanja (impuls)d) frekvencija
2. Vidjeli smo da elektronu možemo pridružiti dvije valne duljine: Comptonovu i de Broglievu. Koja je prava fizikalna valna duljina elektrona?
a) Comptonovab) de Broglievac) objed) nijedna
3. Kolika je valna duljina elektrona brzine 107 m/s i bejzbol loptice (0.145 kg, 45 m/s)?
4. Kolika je valna duljina relativističkog elektrona 0.999c?
Čak i pri relativističkim brzinama, valna duljina elektrona je znatno manja od makroskopskih objekata.
Elektronski mikroskop-uređaj koji počiva na valnoj prirodi elektrona-sličan je optičkom mikroskopu, ali za rad koristi elektrone ubrzane do velikih energija –što ima za posljedicu smanjenje njihove valne duljine, a time se povećava razlučivanje mikroskopa
izvor e-
katodaanodaelektromag.leće
vakuum
snopelektrona
uzorak
komoraza uzorak
foto-komora
ekran
okular
Katoda i anoda služe za ubrzavanje e-, a potom se oni fokusiraju pomoću elektromagnetskih leća. Snop e- potom dolazi na uzorak
Primjer:Odredi energiju i valnu duljinu elektrona ubrzanog naponom od 100 kV.
Valna priroda čestica uočena je za elektrone, ali i za neutrone, te atome vodika i helija, pa čak i za neke molekule. Difrakcija elektrona i neutrona koristi se pri utvrđivanju strukture materijala.
Elektronski mikroskop:Elektroni se ubrzavaju naponom od 100 kV. Valna duljina tako ubrzanog elektrona je reda veličine piknometra (pm). To je 100 000 puta manje od valne duljine vidljive svjetlosti. Rezolucija elektronskog mikroskopa je oko 50 pm, a povećanje može biti čak do 10 milijuna puta.
Optički (svjetlosni) mikroskopOptički mikroskop za povećanje koristi sustav leća i vidljivu svjetlost (valne duljine 400-780 nm). Stoga je rezolucija takvog mikroskopa određena polovicom najkraće valne duljine vidljivog spektra, dakle oko 200 nm. Optičkim mikroskopom može se postići uvećanje predmeta do najviše oko 1000 puta.
Alveole u plućima. Crvena krvna zrnca
Krvni ugrušak.Slomljena vlas kose.
Mrav. Glava crva (Protophormia sp.). Grinja.
Brašnena grinja. Mačja buha.
Premda se el. mikroskopom mogu razlučiti čak i pojedinačni atomi, koristan je i za gledanje većih objekata jer omogućava promatranje njihovih detalja.
Princip (načelo) neodređenostiMjerenje u fizici. Više puta mjerimo. Javlja se pogreška. Rezultat mjerenja: f = f ±Δf Precizan uređaj? Moguća vrlo mala pogreška!U svijetu atoma. Nešto potpuno novo!
x p hΔ ⋅ Δ ≥
Postoji granica točnosti do koje se može poznavati stanje nekog fizikalnog sistema!Povećana točnost mjerenja jedne fizikalne veličine vodi nepoznavanju neke druge fizikalne veličine za taj sistem!To svojstvo izražavaju tzv. relacije neodređenosti.
Za količinu gibanja p i za položaj x čestice vrijedi:
Što točnije poznajemo položaj čestice, sve manje znamo o njezinoj brzini, i obrnuto.
U svijetu atoma mjerenje utječe na stanje sistema!
Primjer:Kroz pukotinu propuštamo snop elektrona i promatramo gdje elektroni udaraju na zastor.
2 sin 2 2x xh hp p
b bλϑ
λΔ = ⋅ = =
Točnost s kojom poznajemo položaj čestice koja je prošla kroz pukotinu jest: Δx = b
Snop elektrona je val. Ogib na zastoru.
Elektron je najvjerojatnije pao unutar glavnog maksimuma. Valna optika sin θ = λ/b.
Količina gibanja u smjeru okomito na upadni snop: px = p sinθ
Ukupna neodređenost količine gibanja u smjeru okomito na upadni snop: Δpx= 2px (otklon el. može biti gore ili dolje)De Broglie p = h/λ
2xx p h hΔ Δ = ≥
Zaključak: Uža pukotina. Točniji položaj. Ali zbog uže pukotine imamo jači ogib. Šira centralna pruga, tj. veća neodređenost količine gibanja.Eksperimenti: Relacije neodređenosti: x
y
z
x p hy p h
z p hE t h
Δ ⋅ Δ ≥Δ ⋅ Δ ≥
Δ ⋅ Δ ≥Δ ⋅ Δ ≥
Relacije neodređenosti su posljedica de Broglieve valne teorije (čestica valni paket).
Werner Heisenberg (1901.-1976.), njemački fizičar-1927. utemeljio princip neodređenosti:
Ako je mjerenje položaja čestice napravljeno s preciznošću Δx, a istovremenomjerenje količine gibanja (linearnog impulsa) napravljeno s preciznošću Δpx, tada umnožak dviju neodređenosti ne može nikada biti manji od h
Drugim riječima, fizikalno je nemoguće istovremeno mjeriti i točan položaj i točnu količinu gibanja čestice. Ako je Δx jako malo, tada je Δpx jako veliko, i obratno.
xx p hΔ Δ ≥
Slično vrijedi i za energiju određenog kvantnog stanja i vremena boravka čestice na tom energijskom nivou:
Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (Einstein: “Bog se ne kocka.”) jer se protivilo determinističkim principima dotadašnje fizike. Time je započela je era probabilističkog pristupa (uvođenje vjerojatnosti) kvantnoj fizici i postavila se bitna granica preciznosti eksperimenta.
Relacije neodređenosti i apsolutna nula
Apsolutna nula = “temperatura na kojoj prestaje gibanje svih čestica”
Princip neodređenosti: ako gibanje prestaje, tada je poznata količina gibanja čestica (p=mv=0). Stoga je umnožak Δx·Δpx=0, a to ne može biti prema relacijama neodređenosti. Stoga, čestice ne miruju niti na “apsolutnoj nuli”.
Primjeri:1. Neka je brzina elektrona 5·103 m/s izmjerena s točnošću (neodređenošću) od 0,003%. Nađi minimalnu neodređenost u položaju elektrona.
kol. gibanja:
neodređenost p:
neodređenost x:
2. Elektron se u atomu može nalaziti u pobuđenom stanju u vremenu od 10-8 s. Koliki je minimum neodređenosti u energiji?
Schrödingerova kvantna mehanika
Schrödinger Polazi od de Broglieve ideje. Valovi titranja žice su prikazani valnom jednadžbom.
Rješenja gornje jednadžbe?
2
2 2
1 0uuc t
∂Δ − =
∂
Schrödinger Slična jednadžba vrijedi i za "valove" u svijeta atoma. Pretpostavka da se oni šire brzinom svjetlosti (EM valovi):
Schrödinger Pretpostavlja rješenje u obliku: ( , , )i te x y zω ψ−Φ =
Gdje su operatori:
2 2 2
2 2 2
gradijent
Laplasijan
i j kx x z
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂Δ = ∇ ⋅∇
∂ ∂ ∂Δ = + +
∂ ∂ ∂
Schrödingerova kvantna mehanika 2
22
1( , , ) ( , , ) 0i t i te x y z e x y zc
ω ωψ ω ψ− −Δ + =
Stacionarni slučaj Schrödingerove jednadžbe. Kada je:
2
2 2
1 0uuc t
∂Δ − =
∂( , , )i te x y zω ψ−Φ =
22
1( , , ) ( , , ) 0i te x y z x y zc
ω ψ ω ψ− ⎡ ⎤Δ + =⎢ ⎥⎣ ⎦
0i te ω− ≠2
2( , , ) ( , , ) 0x y z x y zcωψ ψΔ + =
Svako rješenje gornje jednadžbe zovemo materijalni val, a funkciju zovemo valna funkcija.
Zahtjevi za valnu funkciju: jednoznačna, neprkidna, derivabilna, …
Schrödingerova kvantna mehanika 3
( , , )i te x y zω ψ−Φ =
?cω
=
p2 = ? Iz energije: Ukupna energija čestice = Ek + Ep
2
2( , , ) ( , , ) 0x y z x y zcωψ ψΔ + =
2c cω πν
=2πλ
= 2hc
mv
ω π= 2 p
c hω π
=
2
p phc
ω
π
= = = reducirana Planckova konstanta2hπ
=
2 2
2 2
pcω
=
2
( , , )2k p
mvE E E U x y z= + = +2
( , , )2pE U x y zm
= +
( )2 2 ( , , )p m E U x y z= −
( )2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0mx y z E U x y z x y zψ ψΔ + − =
Najjednostavniji oblik Schrödingerove jednadžbe
Schrödingerova kvantna mehanika 4
Složeno? Teško za pamtiti?
( )2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0mx y z E U x y z x y zψ ψΔ + − =
Nema problema. Postoji i "ljepši" oblik.
Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born, … Razvili tzv. KVANTNU MEHANIKU. (kolegij na 3. godini)
Ideja: Pronaći vezu između fiz. veličina u klasičnoj fizici i fizikalnih veličina u kvantnoj mehanici! (Nešto slično kod jednolikog gibanja po kružnici: put kut; brzina kutna brzina, ..)
Koristimo nekoliko osnovnih načela kvantne mehanike:
1. Svakoj mjerivoj fizikalnoj veličini, koja ovisi o položaju i količini gibanja čestice, pripada neki operator.
Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju."
Schrödingerova kvantna mehanika 5
( )2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0mx y z E U x y z x y zψ ψΔ + − =
Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju."
Može sadržavati prvu ili drugu derivaciju, može značiti samo obično množenje, ….
Primjeri operatora za jednodimenzionalno gibanje:
Fiz. veličina Operatorpoložaj x xkol. gibanja p
kinetička enegijaukupna energija
2
2pm
2
( , , )2p U x y zm
+
ix
∂−
∂2 2
22m x∂
−∂
2 2
2 ( , , )2
U x y zm x
∂− +
∂
Schrödingerova kvantna mehanika 6
( )2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0mx y z E U x y z x y zψ ψΔ + − =
Primjeri operatora za trodimenzionalno gibanje:
Fiz. veličina Operatorpoložajkol. gibanja
moment kol. gibanjakinetička enegijaukupna energija
2
2pm
2
( , , )2p U x y zm
+
L i r= ×∇
22
2m− ∇
22 ( , , )
2U x y z
m− ∇ +
r r
L r p= ×
p i− ∇
Schrödingerova kvantna mehanika 7
( )**1 2 2 1A dV A dVψ ψ ψ ψ=∫∫∫ ∫∫∫
( )2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) 0mx y z E U x y z x y zψ ψΔ + − =
2. načelo kvantne mehanike:
Operatori fizikalnih veličina (A) su tzv. hermitski operatori: Za svako rješenje Sch. jednadžbe mora vrijediti:
Za hermitske operatore vrijedi: Vlastite vrijednosti hermitskih operatora realni su brojevi.3. načelo kvantne mehanike:
Stanje nekog fizikalnog sistema može biti opisano valnom funkcijom
n nn
C ψΦ = ∑ svojstvene funkcije
svojstvene vrijednosti
Schrödingerova kvantna mehanika 8
Za nas. Koristimo samo prvo načelo:
Koristimo supstitucije:
Polazimo od izraza za ukupnu energiju: E = K + U
x
y
z
p ix
p iy
p iz
∂→ −
∂∂
→ −∂∂
→ −∂
22 2
2
22 2
2
22 2
2
x
y
z
px
py
pz
∂→ −
∂∂
→ −∂
∂→ −
∂
2
( , , )2pE U x y zm
= +2
( , , )2p U x y z Em
+ =
2 2 2 2
2 2 2 ( , , )2
U x y z Ex y z m
ψ ψ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ −
+ + + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦2
( , , )2
U x y z Em
ψ ψ⎡ ⎤− Δ + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
( , , )2
H U x y zm
= − Δ +
HAMILTONIJAN
Schrödingerova kvantna mehanika 9
Drugi oblik Schrödingerove jednadžbeH Eψ ψ=
2
( , , )2
U x y z Em
ψ ψ⎡ ⎤− Δ + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
( , , )2
H U x y zm
= − Δ +
Traženje funkcija koje zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu. Traženje vlastitih funkcija operatora H (ψ1, ψ2, …, ψn)
Svaka od vlastitih funkcija operatora H ima vlastite vrijednosti (diskretne) tako da vrijedi:
n n nA aψ ψ=
Schrödingerova kvantna mehanika 10Primjer: Naći svojstvene vrijednosti operatora A = -d/dx za funkcije ψ1 = eikx i ψ1 = eαx.
1 1 1A aψ ψ= 1ikx ikxd e ike ik
dxψ− = − = − 1a ik= −
2 2 2A aψ ψ= 1x xd e e
dxα αα αψ− = − = − 2a α= −
Atom vodika u kvantnoj mehanici
Za vodik je poznat izraz potencijalne energije:
Teško za riješiti u kartezijevom sustavu. Koristi se sferni sustav:
2
0
1( , , )4
ZeU x y zrπε
= −
2 2
0
12 4
Ze Em r
ψ ψπε
⎡ ⎤− Δ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
sin cossin sincos
x ry rz r
ϑ ϕϑ ϕϑ
===
Laplasijan se tada može prikazati kao:
22
2 2 2 2 2
1 1 1sinsin sin
rr r r r r
ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Atom vodika u kvantnoj mehanici 22 2
0
12 4
Ze Em r
ψ ψπε
⎡ ⎤− Δ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
Sferni koordinatni sustav omogućava da se rješenje Sch. jednadžbe prikaže kao umnožak radijalne i kutne komponente:
( ), , ,, , ( ) ( , )mn l m n l lr R r Yψ ϑ ϕ ϑ ϕ=
radijalna funkcija
kuglina (sferna) funkcija
Par kuglinih funkcija:
00
14
Yπ
=
01
3 cos4
Y ϑπ
=
11
3 sin8
...
iY e ϕϑπ
± ±= ⋅∓
Prva radijalna funkcija:
0
3/ 2
100
( ) 2Zr
naZR r ea
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Atom vodika u kvantnoj mehanici 32 2
0
12 4
Ze Em r
ψ ψπε
⎡ ⎤− Δ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
Traženjem svojstvenih vrijednosti energije, dobije se spektar:
42
1 12 2 20
gdje je: 13,68
Z en
m eZE E E eVn hε
= = − = −
Isti rezultat kao u Bohrovom modelu atoma!
U ovisnosti o glavnom kvantnom broju n. Imamo orbitalne kvantne brojeve l = 0, 1, 2, …, n-1.
To znači da su energijska stanja degenerirana, tj. ako je n jednak. Energije svih stanja su identične, iako imaju različite valne funkcije (različiti l).
Atom vodika u kvantnoj mehanici 442
1 12 2 20
gdje je: 13,68
Z en
m eZE E E eVn hε
= = − = −
Glavni i orbitalni kvantni brojevi u vodikovu spektru:
Uvođenje spina. Dodatak u valnoj funkciji:
( ), , , ,, , ( ) ( , )mn l m s n l l sr R r Yψ ϑ ϕ ϑ ϕ χ= ⋅ ⋅
n, l, m, s – kvantni brojevi, isto značenje kao u Bohrovom modelu.
Fizikalno značenje valne funkcije
Ima li valna funkcija fizikalno značenje?
Ima kvadrat valne funkcije! To je vjerojatnost nalaženja čestice u nekom prostoru.
2( ) ( )P x xψ=
Vjerojatnost da nađemo česticu unutar intervala a, b jednaka je:
( ) 2( )b
a
P a x b x dxψ< < = ∫
Budući da čestica mora biti negdje. P mora biti normirana, tj.
2( ) 1x dxψ+∞
−∞
=∫
Fizikalno značenje valne funkcije 2
Primjer valne funkcije i njene gustoće vjerojatnosti:
= pojava u kvantnoj mehanici: ako čestica naiđe na potencijalnu barijeru koju ne može prijeći, ukoliko je barijera dovoljno uska, čestica može „napraviti tunel” i proći kroz barijeru (iako ne može preko nje); tuneliranje je posljedica valno-čestične prirode materije
Kvantnomehaničko tuneliranje
klasična fizika:penjanje uz brdo
kvantna fizika:„tuneliranje”
- primjena: nuklearna fuzija, tunelirajuća dioda, tuneliranje supravodljivih elektrona kroz potencijalnu barijeru, STM (skenirajući tunelirajući mikroskop)…
Eč
EB
Eč < EB
Pretražni (skenirajući) tunelirajući mikroskop
- engl. STM, Scanning Tunneling Microscope- konstruiran 1981. G. Binning & H. Rohrer (ETH, Zurich); Nobelova nagrada 1986.- rezolucija: lateralna 0,1 nm, dubinska 0,01 nm- služi za površinsko snimanje uzorka (određivanje položaja atoma) i manipulaciju
atomima- za rad je potreban jako visoki vakuum, ali postoje inačice koje rade u tekućini,
plinovima i u velikom rasponu temperatura (mK – 500 K)
Površina zlata (100).
Ugljikova nanocijevčica.
Princip rada:- piezoelektrična cijev, koja završava vrlo oštrim vrhom (jednim atomom), prelazi preko površine uzorka na jako maloj udaljenosti; između uzorka i vrha (probe) postoji određeni napon koji omogućava tuneliranje elektrona s površine uzorka na vrh; na mjestu gdje se nalaze atomi, struje tuneliranja se poveća, a između atoma slabi; tako se pretraživanjem (skeniranjem) površine mogu odrediti mjesta s ovećanom strujom, odnosno položaji pojedinih atoma; rezultati se obrađuju pomoću računala i na zaslonu se dobije slika površine
IBM logo načinjen od Xe atoma na površini Ni (1989.)
Kvantni koral: 48 at. Fe na Cu.
