Uvod u teoriju računarstva zemris.fer.hr/ predmeti / utr

Copyright © 2007 S.Srbljić, D.Škvorc, I. Žužak, D. Skrobo, M. Popović: Uvod u teoriju računarstva1 od 34

Uvod u teoriju računarstva

http://www.zemris.fer.hr/predmeti/utr/

Zadaci za vježbuPriprema za međuispit

Fakultet elektrotehnike i računarstva

Sveučilište u Zagrebu


• Konstruirati potisni automat koji prihvaća nizove koje generira zadana gramatika

Zadatak br. 25

CvB

CxA

C

BwC

Bv

B

SxABy

AzwA

A

Pripremni korak: Pretvorba gramatike u Greibachin oblik

Prvo se izbace produkcije.

SxABy

AzwA

A BwC

Bv

B CvB

CxA

C

SxABy

AzwA

A BwC

Bw

Bv

B CvB

CxA

SxABy CxA

SxAy

AzwA

A BwC

Bw

Bv

CvB

Cv

SxABy CvB

SxBy Cv

SxAy CxA

Sxy Cx

AzwA

Azw

BwC

Bw

Bv

Ab

BwCNE

BwCDA

CDA

BwC

Bw


Zadatak br. 25Zamjena završnih znakova koji nisu na prvom mjestu s desne strane produkcija

SxABy

SxBy

SxAy

Sxy

AzwA

Azw

BwC

Bw

Bv

CvB

Cv

CxA

Cx

y

y

y

y

SxABD

SxBD

SxAD

SxD

AzwA

Azw

BwC

Bw

Bv

CvB

Cv

CxA

Cx

w

SxABD Dy

SxBD Ew

SxAD

SxD

AzEA

AzE

BwC

Bw

Bv

CvB

Cv

CxA

Cx

w

Dy


Zadatak br. 25Izgradnja potisnog automata

SxABD

SxBD

SxAD

SxD

AzEA

AzE

BwC

Bw

Bv

CvB

Cv

CxA

Cx

Dy

Ew

G=(V,T,P,S) M=({q},,,,q,S,) pri tome vrijedi =T, =V te za Ab (q,b,A)=(q,)

(q,x,S)=

(q,z,A)={(q,EA),(q,E)}

(q,w,B)={(q,C),(q,)}

(q,v,B)=(q,)

(q,v,C)={(q,B),(q,)}

(q,x,C)={(q,A),(q,)}

(q,y,D)=(q,) (q,w,E)=(q,)

{(q,ABD),(q,BD),(q,AD),(q,D)}


• Konstruirati konteksno neovisnu gramatiku koja generira nizove koje prihvaća zadani potisni automat M.

Zadatak br. 26

M=( {q0,q1}, {a,b,c}, {A,K}, , q0, K, )

(q0,b,K)=(q0,AK) (q0,a,A)=(q1,A)

(q1,,K)=(q1,) (q0,b,A)=(q0,AA)

(q1,c,A)=(q1,)

Da bi se gramatika mogla konstruirati, potisni automat mora prihvaćati praznim stogom

G=(V,T,P,S) pri tome je T=, a V={S}{[qiAqj] | qi,qjQ, A}

Uvodimo početne produkcije iz početnog nezavršnog znaka S

[ q0 K qi ], qiQ

S[ q0 K q0 ]

S[ q0 K q1 ]S [qi, A, qj]

Mqi qj


Zadatak br. 26

[q0Kq0]b[q0Aq0][q0Kq0]


Za prijelaz (q0,b,K)=(q0,AK) uvodimo:



Za prijelaz (q0,a,A)=(q1,A) uvodimo:

[q0Aq0]a[q1Aq0]

[q0Aq1]a[q1Aq1]

Daljnji nezavršni znakovi i produkcije gramatike grade se na temelju prijelaza potisnog automata i sljedećeg pravila:

Za prijelaz (qj,a,X)=(qk,ABC...Z) uvode se sljedeći nezavršni znakovi i produkcije:

[qjXqe]a[qkAqf][qfBqg][qgCqh]...[qiZqe] qe,qf,qg,qh,qiQ

Ako je |Q|=n i |ABC...Z|=m onda iz jednog prijelaza nastaje nm produkcijaposebni slučaj ako je m=0: (qj,a,X)=(qk,) [qjXqk]a, aT{}


Zadatak br. 26

[q0Aq0]b[q0Aq0][q0Aq0]


Za prijelaz (q0,b,A)=(q0,AA) uvodimo:



Za prijelaz (q1,c,A)=(q1,) uvodimo:

[q1Aq1]c

Za prijelaz (q1,,K)=(q1,) uvodimo:

[q1Kq1]

S[q0Kq0]

S[q0Kq1]





Dobivena gramatika:

[q0Aq0]a[q1Aq0]

[q0Aq1]a[q1Aq1]





[q1Aq1]c

[q1Kq1]


Zadatak br. 26Dobivena gramatika može imati mrtvih i nedohvatljivih nezavršnih znakova. Nakon izbacivanja mrtvih i nedohvatljivih nezavršnih znakova, gramatika sadrži produkcije:

S[q0Kq1]



[q0Aq1]a[q1Aq1]

[q1Aq1]c

[q1Kq1]Dobivena gramatika je čitljivija ako se izvrši preimenovanje nezavršnih znakova:

[q0Kq1]A [q0Aq1]B [q1Aq1]C [q1Kq1]D

S A

A bBD

B bBC

B aC

C c

D


• Konstruirati Turingov stroj u osnovnom obliku koji oduzima dva binarna broja zapisana na traci. Najznačajnija znamenka je lijevo, a brojevi su odvojeni znakom –. Drugi broj se oduzima od prvog pri čemu prvi broj sigurno nije manji od drugog. Glava se nalazi na početku ulaznog niza, a s obje strane ulaznog niza nalaze se praznine.

Zadatak br. 27

TS M = (Q, , , , q0, B, F)

0 -1 10 01

Početno stanje:

B B1 01 0


IDEJA• dovoljan je jedan trag (to je osnovni oblik TS)

• q0 i q1 - prelazak na krajnje desni znak, brisanje

• q2 i q3 - učitana krajnje desna 0, odnosno 1; kretanje lijevo;

• q4 i q5 - preskočili znak minus s učitanom 0, odnosno 1

• oduzimanje od odgovarajućeg bita prvog broja• zapisuje se J i N

• q6 - ako treba posuditi od prethodnog bita, komplementiraju se bitovi sve do prve pojave 1

• vraćanje natrag pomoću q0

• q7, q8 i q9 - za zavšetak

Zadatak br. 27

0 -1 10 01B B1 01 0


Zadatak br. 27

0 -1 10 01B B1 01 0

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q0, N, R q0, J, R q1, B, L

• q0 i q1 - prelazak na krajnje desni znak, brisanje

q2, B, L q3, B, L

B


Zadatak br. 27

0 -1 10 01B B1 01 0

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L

q0, N, R q0, J, R q1, B, L

q2, 0, L q2, 1, L q4, -, L q3, 0, L q3, 1, L q5, -, L

• q2 i q3 - učitana krajnje desna 0, odnosno 1

• kretanje lijevo do minusa

B


Zadatak br. 27

0 -1 10 01B B1 B1 0

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L

q0, N, R q0, J, R q1, B, L

q2, 0, L q2, 1, L q4, -, L q3, 0, L q3, 1, L q5, -, L q0, N, R q0, J, R q4, N, L q4, J, L q6, J, L q0, N, R q5, N, L q5, J, L


• pozicioniranje na odgovarajući bit umanjenika• oduzimanje, zapisuje se rezultat J i N

• q6 – javlja se posudba


Zadatak br. 27

N -1 10 01B B1 B1 0

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L

q0, N, R q0, J, R q1, B, L



• pozicioniranje na odgovarajući bit umanjenika• oduzimanje, zapisuje se rezultat J i N

• q6 – javlja se posudba

BNJJ BB


Zadatak br. 27

N -J N0 J1B BB BB B

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L

q6, 1, L q0, 0, R

q0, N, R q0, J, R q1, B, L


• q6 - treba posuditi od prethodnog bita

• komplementiraju se bitovi sve do prve pojave 1

• vraćanje natrag pomoću q0 i q1

10

q7, B, L


Zadatak br. 27

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L q7, B, L

q6, 1, L q0, 0, R

q0, N, R q0, J, R q1, B, L


q7, 0, L q7, 1, L q7, 0, L q7, 1, L q8, B, R

• q7 - obrisali umanjitelj

• brisemo “–” • pretvaramo rezultat u 0 i 1

N -J N1 J0B BB BB B01 01 B


Zadatak br. 27

q0, 0, R 1 - N J B0

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8

q0, 1, R q0, -, R q2, B, L q3, B, L q7, B, L

q6, 1, L q0, 0, R

q0, N, R q0, J, R q1, B, L


q7, 0, L q7, 1, L q7, 0, L q7, 1, L q8, B, R q8, B, R q9, 1, L q9, 0, L

• q8 - došli do lijeve praznine

• brišemo vodeće nule

• q9 - zavšetak u prihvatljivom stanju

N BJ N1 J0B BB BB BB 01 01


• Konstruirati Turingov stroj koji redom generira sve potencije broja 2. Vrijednost jednog broja na traci zapisana je odgovarajućim brojem jedinica. Brojevi su međusobno odvojeni graničnikom $. Na ulaznoj traci Turingovog stroja na početku je zapisan niz $1. S obje strane ulaznog niza nalaze se praznine.

Zadatak br. 28

TS M = (Q, , , , q0, B, F)

$ B BB BB B1

Na početku:

$ 1

Na kraju:

$ 1 1 $ 1 1 1 1 $ ...


Zadatak br. 28

$ 1 $ 1 1 $ 1 1 1 1 $ ...

TS M = (Q, , , , q0, B, F)

Turingov stroj s jednom trakom s dva traga:

$ B BB BB B1

B BB BB BB B

IDEJA: Za svaku jedinicu iz prethodno stvorenog niza generirati po dvije nove jedinice.

Glavni – ulazno-izlazni trag

Pomoćni – označni trag


B*B*B*

B$

B*B*B*B* B

Zadatak br. 28IDEJA: Za svaku jedinicu iz prethodno stvorenog niza generirati po dvije nove jedinice na kraju trake.

BB BB

$ B BB BB B1 BB B$ 1 1 BB B$ 1 1 1 1 ---


B*B*B*

Zadatak br. 28

Konstrukcija TS:

B

$ 1 B B B B B B B B B B B B B B B B B B

B B B B B B B B B B B B B B B B

q4

q3

q2

q1

q0 q1, [1, *], R

q1, [1, B], R

q2, [1, B], R

q4, [1, B], L

q4, [1, B], L

q2, [$, B], R

q0, [$, B], R

q2, [$, B], R

q4, [$, B], L q0, [1, *], R

[1, B] [B, B] [$, B] [1, *]

- - -

-

- -

-

--

q0 q0 q1

$

q2

q3, [1, B], R

1

q3

1

q4q4q4

q0 q0

*

q1 q1

$

q2

1

q3

1

q4q4q4q4

q0

*

q1 q2 q2 q2

1

q3

1

q4q4q4q4q4

q0 q0 q1 q1 q2 q3

q1 q1

$ 1 1

q4q4q4q4q4 q4

q0 q1 q1 q1 q2 q3 q2 q2

1 1

. . .


Zadatak br. 28

Turingov stroj:

q4

q3

q2

q1

q0 q1, [1, *], R

q1, [1, B], R

q2, [1, B], R

q4, [1, B], L

q4, [1, B], L

q2, [$, B], R

q0, [$, B], R

q2, [$, B], R

q4, [$, B], L q0, [1, *], R

[1, B] [B, B] [$, B] [1, *]

- - -

-

- -

---

q3, [1, B], R


Konstruirati Turingov stroj koji prihvaća nizove iz jezika L. Nakon što Turingov stroj završi s radom, stanje na traci mora biti isto kao početno. S obje strane ulaznog niza nalaze se praznine.

Zadatak br. 29

L={w(a+b+c)* | na=nb=nc}


b c A B C Pa

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

P a a b c c b a c b P Prihvatljivi niz


qa, A, R

b c A B C Pa

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

P a a b c c b a c b Pq0qaqab BA

qb, B, R qc, C, R

qV, C, L

Prihvatljivi niz

qa, a, R qab, B, R qac, C, R

qab, a, R qab, b, R


q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

P A a B c c b a c b Pqab CqV

b c A B C Pa

qa, A, R qb, B, R qc, C, R

qa, a, R qab, B, R qac, C, R

qV, C, L

qV, C, L qV, B, L qV, A, L qV, a, L qV, b, L qV, c, L q0, P, R

Prihvatljivi niz

qab, a, R qab, b, R

q0


P A a B C c b a c b Pq0 A Cqaqac

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R

qa, A, R qa, B, R qa, C, R

qb, A, R qb, B, R qb, C, R

qc, A, R qc, B, R qc, C, R

qac, A, R qac, B, R qac, C, R

qbc, A, R qbc, B, R qbc, C, R

qab, A, R qab, B, R qab, C, R

qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

Prihvatljivi niz


P A A B C C b a c b Pqac BqV

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

Prihvatljivi niz


P A A B C C B A C B Pq0

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

Prihvatljivi niz


P A A C C B A C B Pq0

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

qPC, c, L qPC, b, L qPC, a, L

Ba a c c b a c bbqPC

qP, P, R

qP

- - -

Prihvatljivi niz


Prihvatljivi nizP A A B C C B A C B PP

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

Neprihvatljivi niz

qPC, c, L qPC, b, L qPC, a, L qP, P, R - - -


P A A B C C B A C P Pqac

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

Neprihvatljivi niz


qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L


P A A B C C B A C P Pqac

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

Neprihvatljivi niz


qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, c, L qOC, b, L qOC, a, L qOC, c, L qOC, b, L qOC, a, L

qOC a a b c c b a c


P a a b c c b a c P Pqac

q0

qa

qb

qc

qbc

qac

qab

qV

qOC

qPC

b c A B C Pa


qa, a, R

qb, b, R

qc, c, R

qab, B, R qac, C, R

qab, A, R qbc, C, R

qbc, B, R qac, A, R

qV, C, L

qV, B, L

qV, A, L


q0, A, R q0, B, R q0, C, R







qac, a, R qac, c, R

qbc, b, R qbc, c, R

qab, b, R qab, a, R

qPC, P, L

Neprihvatljivi niz


qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, P, L

qOC, c, L qOC, b, L qOC, a, L qOC, c, L qOC, b, L qOC, a, L

qOC

-

Documents

Uvod u teoriju računarstva zemris.fer.hr/ predmeti / utr