Uvod

Univerzitet u Tuzli Mainski fakultet Nauka o vrstoi II kolska 2014/2015

1

NAUKA O VRSTOI II UVOD -

Dr. Salko osi

Tuzla, mart 2015


2

UVOD

Osnovne pretpostavke NO

Osnovni pojmovi i definicije: naponi, deformacije, konst. relacije, uslovi ravnotee

Savijanje: osnovne pretpostavke, osnovne jednaine

Elastine linije radijus zakrivljenosti, diferencijalna jednaina elastine linije


3

Nauka o vrstoi (NO) = otpornost materijala = mehanika vrstog tijela v teorija elastinosti

Osnovne pretpostavke:

neprekidan, homogen, izotropan, linearno-elastian materijal izloen malim deformacijama

Zadatak NO: Optereenje oblik i dimenzije materijal

1. Poznat oblik, materijal i optereenje, odrediti dimenzije dimenzionisanje

2. Poznat oblik, dimenzije i optereenje odrediti odgovarajui materijal

3. Poznat oblik, dimenzije i materijal odrediti maksimalno dozvoljeno optereenje

Optimizacija: za zadata dva od tri prethodna parametra odredi optimalnu vrijednost nedostajueg


4

Optereenje: Zapreminska (sopstvena teina, centrifugalne ili inercione sile dF=dVa)

Povrinska (pritisak fluida, kontaktni pritisak, kontinualno optereenje)

Linijska (npr. kontakt cilindrinih tijela, zupanici)

Takasta (koncentrisana sila, dodir konveksnih tijela)

Toplotna...

Unutranje sile = naponi

totalni,

normalni,

tangencijalni,

komponentni,

glavni,

hidrostatski, devijatorski

inenjerski (nominalni, male deformacije)

stvarni (Cauchy-velike deformacije)

11 12 13

21 22 33

31 32 33

;

, , , ,Vektor napona ,

x xy xz

xy y yz

xz yz z

ij

T

x y z xy yz xz

0limA

FP

A

0 0 0lim ; lim ; lim .

yx zx xy xz

A A A

FF F

A A A

n P


5

Glavni naponi: komponentni naponi zavise od izabranog poloaja koordinatnih osa Da li postoji takav poloaj KS u kome su tangencijalne komponente = 0 ?

I1,I2 i I3 nazivamo glavnim invarijantama napona. To su veliine koje ne zavise od izbora koordinatnog sistema tj.

ne mijenjaju se sa promjenom osa koordinatnog sistema. Zbog toga se, pored ostalog, mogu se koristiti i za kontrolu

tanosti transformacija koordinata.

1 1 1 2 2

2 2 1

3 2

2 3

1 2 33 3

1 2

1 0 0 ( ) 0 ( )

0 1 0 0 ( ) 0 det ( ) 0

0 0 1 ( ) 0 ( )

x xy xz x p xy xz x p xy xz

xy y yz P xy y p yz xy y p yz

xz yz z xz yz z p xz yz z

P

p

P I

n n n n n

n n n n n

n n nn n

I

3 homogeni sistem algebarskih jednaina det ) =00P sistemI

11 12 13

22 23 33 3111 12

1 11 22 33 2 3 21 22 23

32 33 13 1121 22

31 32 33

; ;I I I

( ) (Cauchy-jev uslov)

(uslov da u ravni sa normalom n postoji samo normani napon

skalar (normalni napo

, )

n) P

P

P

P n n n


6

Primjer 1: Za dati tenzor (matricu) napona odredi glavne napone:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

3 1 1 0 0

1 0 2 transformacija na glavne ose

: ( ) ; skalarna

0 0

1 2 0 0

konstanta

0; (

0

P

P P

ij j P i

ij P

P

j j ij P i

Osnovni uslov P n n n

M a

n

P

n

3 2

1

3 1 0 1 0

det 1

) 0; ker

homogen sistem od 3 linearne jednai

0 0 2 0 0

1 0 2 0 0

kubna jednacina, K

ne de

ardanove formule, Map

3 6 8 0

4

t(

le

) 0

;

P

P P P P

P

j j ij

ij P ij

P P

n Krone ova matrica

( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)

2 3

1 2 3

1; 2 ( )

2 1 1 1 1 1 1 1( , , ); ( , , ); (0, , )

Glavni pravci (meusobno okomiti):

3 1 1 4 0 0

1 0 2 0

6 6 6 3 3 3 2 2

1 0

1 2 0 0 0 2e e

P

e n n n

transfo

MPa

rma

n n

ja

n

ci


7

Glavni naponi u 2D problemima

Primjer 2: Ako je 2D element optereen prema slici, odredi glavne napone i glavne ravni,sx = 160 P, sy= 60

P, xy = 40 MPa.

Primjer MAPLE

2 2

2 2

2 2

2 2

1,2 max

(uslov ravncos sin 2 sin cos

sin cos sin cos

20 2 ;

o

2 2 2

21 1 2 40

2 2

e

6

t

1

e )x y xy

x y xy

x y x y xy x y

xy GL xy

x y

xy

GL

x y

dtg

d

arctg arctg

0

2 2

2 2

1 2

19 200 60

160 60 160 60 160 60 160 6040 174P; 40 46P

2 2 2 2


8

Hidrostatika i devijatorska komponenta tenzora napona - definicije

Tenzor napona (3x3) moe se razloiti na dva tenzora koji imaju specifine efekte. Prvi je tzv. hidrostatiki tenzor

napona koji ima samo normalne komponente jednake veliine i prema tome dovodi samo do promjene zapremine

elementarne zapremine. Isti je dobio naziv po analogiji sa hidrostatikim pritiskom koji je konstantan u svim

pravcima u fluidu. Drugi je tzv. devijator napona koji dovodi samo do promjene oblika ili distorzije elementarne

zapremine.

' hidrostatiki (tenzor napona= + tenzor devijatorte )

pri emu je

nzor

0 0

0 0

0 0

:3

ij

xx xy xz

xy yy yz

x

xx m xy xz

xy yy m yz

xz yz zzz yz zz

xx yy zz

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

1

2

3

1 2 3 1

1 2 3

2 1 3

3 1

0 0

0 0

0

(srednja vrijednost)3

0 0

0 0

0 0

pri emu je:3 3

20 0

3

2Devijator

0 0

0

napona ' 0 03

20 0

0

0

0 0

p

p

p

p p p

m

p p p

p m

p m

p m

m

p

m

m

p p p

p

I

I

2

3

p


9

OPIS DEFORMACIJE

Smatraemo da su pomaci taaka u odnosu na globalne dimenzije mali tako da optereen i deformisan mainski

element (konstrukcija) pod optereenjem neznatno, zanemarljivo malo mijenja svoj oblik i dimenzije. Ovo je

osnovna pretpostavka tzv. teorije malih deformacija. U suprotnom sluaju, veliki pomaci i deformacije zahtijevaju

definisanje i primjenu posebnih (nelinearnih) mjera deformacije i napona.

Pomak take P(x,y,z) iz inicijalne u deformisanu konfiguraciju opisuju se pomou tri funkcije pomaka:

u(x,y,z), v(x,y,z) i w(x,y,z). Znai da bi se odredio oblik i poloaj tijela u deformisanoj konfiguraciji potrebno je

poznavanje tri skalarne funkcije u,v,w koje definiu deformaciju.

Za opis i definicije komponenti deformacije, zbog jednostavnosti, koristi se 2D model

, ,

prije deformacije

A' , ,

posli je deformacije

A x x y zy z

; ; , , .

funkcije pomaka (defor

, ,

macije)

,

, ,

,

, ,, , , ,

x x y y zu x y z

u x

z w x y z

y z

v x y z

v x w x y zy z


10

etverougao ABCD e se nakon deformacije preslikati u etverougao A'B'C'D'. Pomaci taaka dati su funkcijama

pomaka u(x,y) i v(x,y). Komponente deformacije definiu se sa:

Tri komponente nazivamo linearnim dilatacijama i iste karakteriu promjenu dimenzija elementarne zapremine

u taki (x,y,z) optereenog tijela dok komponente (ugaona klizanja) karakteriu lokalnu promjenu oblika.

Generalizacijom za 3D sluaj dobijamo tenzor deformacije ije su komponente date sa:

U raunskoj proceduri, ako su poznate funkcije pomaka, do komponenata tenzora deformacije moemo doi

primjenom diferencijalnog operatora na iste:

' '

' ' ' ';

' ' , , = , , .

, ,. ; .

, ,=

x

B A

x y z

xy

xz

yz

A B AB A B dx

AB dx

A B x x x dx u x dx y x u x y dx u x dx y u x y

u x dx y u x y u v wA A A

dx x y z

v x dx y u x y dy v uA A

dx dy x y

w uA A

x z

w vA A

y z

;2

; ;

2

;2 2

;2 2

; ;

xy yx

xy yx

xz zxxz zx

yz

x xy xz

yx

zy

yz z

y yz

zx z

x

y z

y

y

z

u v

y x

u v w

x y z

w u

x z

w v

y z

u

xz

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

w

v

u

u

zx

yz

xy

z

y

x


11

Veza napon deformacija, konstitutivne relacije

Nakon to smo definisali komponentne napone i deformacije (6), potrebno je definisati i njihovu meusobnu

zavisnost. U optem sluaju, tenzor napona je nelinearna funkcija tenzora deformacije, brzine deformisanja i raznih

unutranjih (internih) varijabli koje definiu trenutno stanje deformabilnog tijela. Ovu funkciju nazivamo

konstitutivnom relacijom za dati materijal.

U najprostijem sluaju napon je linearna funkcija deformacije tj. E . Ovaj izraz za jednodimenzionalni sluaj

poznat je kao Hook-ov zakon. U optem (3D) sluaju potrebno je uspostaviti vezu izmeu 6 komponenti napona i

6 komponenti deformacije u obliku:

Konstrukcioni metalni materijali su pod pretpostavkom malih deformacija priblino linearno elastini, homogeni i

izotropni tako da se skup od 6x6=36 koeficijenata prikazanih u prethodnoj jednaini svodi na svega dva koeficijenta

koji su dovoljni za opis relacije napon-deformacija. U tom sluaju konstitutivna relacija se moe opisati sa

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 20 0 0 0 0: 2(1 )(1 2 )

1 20 0 0 0 0

2

1 20 0 0 0 0

2

X

Y

Z

X

X

Y

Z

XY

XZ

Y

XZ

YZ XZ

EC ili

33 33 33( , , , , , );xxx f a b c t


12

Jednaine statike ravnotee

Nakon dejstva spoljnih sila od poetne (nulte) do konane vrijednosti, deformacija konstrukcije prestaje u onoj poziciji

(konfiguraciji) u kojoj se uspostavi ravnotea izmeu spoljnih i unutranjih sila-napona. Iz uslova statike ravnotee za elementarnu

zapreminu, dolazi se do slijedeeg sistema jednaina (PDJ:

Au i As su dijelovi domene na kojima su zadata pomjeranja ili

vanjske sile respektivno. Momentne jednaine ravnotee se

mogu izostaviti. Na izvjesnom dijelu domene (granice)

konstrukcije npr. oslone take pomjeranja su unaprijed poznata

dok je na drugom dijelu poznato optereenje. Ovo su u

matematikom smislu granini (rubni) uslovi koje funkcije

pomjeranja (u,v,w) koje su rjeenje prethodnog sistema

parcijalnih diferencijalnih jednaina moraju da zadovolje. U

sluaju da postoji kretanje, jednainama se dodaje i inercijalni

lan koji predstavlja inercijalne sile na elementarnu zapreminu

dV, kontinualno raspodijeljene po domeni.

Prethodni sistem PDJ je vrlo teak za rjeavanje, osim u najprostijim sluajevima (tapovi, ploe). Imamo ukupno 15 nepoznatih i 15 jednaina. Za sloenije probleme

do rjeenja se dolazi numerikim metodama (FEM).

Y Z

0

0; 0; 0;

0

0

0

ili u vektorskoj formi

(b ,b ,b ) zapreminska sila,

(granini uslovi na ) na

0

xyx xz

X

yx y yz

Y

zyzx z

Z

X

u ext

d

Fx Fy Fz

bx y z

bx y z

bx y z

b

A

iv b

F A

u u n

inercijalna sila na elementarnu zapreminu

xyx xz

X

div b u

ili bx y z

x

x


13

SAVIJANJE: pravo, koso, isto i savijanje silama


14

Osnovne pretpostavke: Pretpostavka 1 - Optereenje djeluje u jednoj ravni koja je i glavna ravan inercije presjeka (prolazi kroz uzdunu osu i teite, A=const.)


15

Pretpostavka 2: Bernoulli, komplanarnost presjeka

analiza deformacija


16

ravnotea unutranjih sila:

distribucija naprezanja, ekonominost presjeka

ne

0 ( , ) 0; 0; 0

0 ( , ) 0; 0 ( , ) 0

0

utralna osa prolazi kroz teite presjek

( )

, )

a

;

( ;

x X

A A A

y xy Z xz

A A

xz xy

A

x X

A

E E EFx N y w dA z N zdA const zdA

Fy T y w dA Fz T y w dA

Mx y z dA

Ey z z d zMy Ms A

;

1;

y

0 ( , ) ; 0;

0 ,z - glavne centralne ose inerc; ije

X

Y

A

x X

A A

Y

A

Y

Ez z dA

E EMz y z y dA z zydA

Econst Iyz zydA

E

EIMs

Ms

Ez

I

Msz

I


17

Savijanje silama:

0;

0 0;

0; 0

;x

x xz x

x y x

y y x z x

y z xz

M y z dA M z dA

F dA F dA

M y

F dA T


18

Distribucija tangencijalnog naprezanja po poprenom presjeku nosaa:

2 2

3

max

6 ( )

3

2

2xy

T hz

h

T

A

b


19

Glavni naponi kod grednog nosaa optereenog kontinualnim optereenjem:

Trajektorije glavnih napona

Documents

Uvod