UNISEMINAR

Mathematik I

Zürich, September 2012

Mathematik I

Herzlich Willkommen bei Uniseminar!

Wir freuen uns, dass Du Dich für ein Karteikartenset von Uniseminar entschie-den hast.

Diese Karten decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prü-fungsrelevanten Sto� ab und helfen Dir Themen, Begri�e und Zusammenhängein Mathematik I prüfungsorientiert zu festigen.

Lerne gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar umoptimal auf die Prüfungen vorbereitet zu sein!

Wir wünschen Dir eine e�ziente Prüfungsvorbereitung und viel Erfolg bei Dei-ner Prüfung.

Dein Uniseminar-Team

Mathematik I

1. Einleitung I - XIII

2. Grundlagen 1 - 8

3. Folgen und Reihen 9 - 21

4. Funktionen 22 - 84

5. Ableitungen 85 - 127

6. Funktionen in mehreren Variablen 128 - 168

7. Notizen

Mathematik I

Wer ist Uniseminar?

3/176

Über Uniseminar

• Uniseminar bietet seit nunmehr 5 Jahren Seminare und Lernunterlagenzur effizienten Prüfungsvorbereitung an diversen europäischen Univer-sitäten an. Unser Ziel ist es Deine Prüfungsvorbereitung einfacher, ef-fizienter und verständlicher zu gestalten.

• Unser Team besteht aus zahlreichen Doktoranden der besten Universi-täten Europas, die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Er-fahrung mit sich bringen.

• Wir alle haben grosse Freude am Unterrichten und wollen Dir auf ange-nehme Weise die Unterrichtsinhalte näher bringen, sodass Lernen aufeinmal Spass macht!

uniseminar.ch

Mathematik I

Wie kannst Du eine gute Note bei Deiner Prüfung erzielen?

4/176

Prüfungsvorbereitung

Gehe wie folgt vor:

1. Ordner & Karteikarten: Besorge Dir die einfach strukturierten undumfangreichen Unterlagen von Uniseminar. Arbeite parallel mit demOrdner und den perfekt darauf abgestimmten Karteikarten.

2. Lernen: Lese alle Theoriekapitel des Uniseminar Ordners aufmerksamdurch, wage Dich anschliessend an die Karteikarten und löse danachalle Aufgaben und Prüfungen.

3. Seminar: Besuche am Ende des Semester das 8-stündige Seminar vonUniseminar und runde Dein prüfungsspezifisches Wissen ideal ab. DieseSeminare werden von didaktisch kompetenten Doktoranden mit lang-jähriger Unterrichtserfahrung geleitet, die Dir gezielt bei Deinen Pro-blembereichen helfen.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 2

Grundlagen

14/176

Mathematik I

GrundlagenS. 2

• Rechenregeln: 15 - 16

• Gleichungen: 17 - 18

• Ungleichungen: 19 - 21

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 2.3: Ungleichungen

Welche Fälle muss man bei der Ungleichung|x− 1|4x− 8

> 1 unterscheiden ?

- Beispiel -

21/176

Ungleichungen

Beispiel UngleichungenS. 6

Die Ungleichung |x−1|4x−8

> 1 führt auf folgende 4 Fälle:

1. x ≥ 1 und 4x− 8 > 0

2. x ≥ 1 und 4x− 8 < 0

3. x < 1 und 4x− 8 > 0

4. x < 1 und 4x− 8 < 0

Ausserdem muss x 6= 2 gelten, da sonst durch 0 dividiert wird!

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 4.5: Monotonie

Wann ist eine Funktion f(x) (streng) monotonsteigend / fallend?

- Definition -

54/176

Monotonie

Definition MonotonieS. 27

• (Streng) monoton wachsend in D, falls f(x1) ≤ f(x2) (respektivef(x1) < f(x2)) für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2.Dies ist gleichbedeutend mit f(x2) − f(x1) ≥ 0 (respektive f(x2) −f(x1) > 0).

• (Streng) monoton fallend in D, falls f(x1) ≥ f(x2) (respektivef(x1) > f(x2)) für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2.Dies ist gleichbedeutend mit f(x2) − f(x1) ≤ 0 (respektive f(x2) −f(x1) < 0).

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 4.5: Monotonie

Wie weise ich Monotonie nach?

- Rechengesetz -

55/176

Monotonie

Nachweis MonotonieS. 27

Falls für alle x im Definitionsbereich gilt:

• f ′(x) ≥ 0 bzw. (f ′(x) > 0): (streng) monoton steigend.

• f ′(x) ≤ 0 bzw. (f ′(x) < 0): (streng) monoton fallend.

Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht monoton ist, genügt es einGegenbeispiel zu finden, also zwei x-Werte für welche die Funktionstrikt wächst und zwei x-Werte für die die Funktion strikt fällt.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 4.8: Wichtige Funktionen

Wie sind die trigonometrischen Funktionen sin undcos definiert (Bild)?

- Definition -

75/176

Wichtige Funktionen

Definition Sinus/CosinusS. 31

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 5.2: Ableitungsregeln

Kettenregel für Ableitungen: (f(g(x)))′ = ?

- Rechengesetz -

99/176

Ableitungsregeln

Rechengesetz AbleitungenS. 51

(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x)

Dies bedeutet: "Äussere Ableitung mal innere Ableitung"

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.6: Konvexität und Konkavität

Sind die Funktionen f1(x, y) = ex+y, f2(x, y) = ex−y undf3(x, y) = −ex+y konvex oder konkav?

- Beispiel -

156/176

Konvexität und Konkavität

Beispiel konvex/konkavS. 81

f1 : Hesse ∇2f1 =

„ex+y ex+y

ex+y ex+y

«. ex+y ≥ 0,

ex+yex+y − ex+yex+y = 0. Also konvex.

f2 : Hesse ∇2f2 =

„ex−y −ex−y−ex−y ex−y

«. ex+y ≥ 0,

ex+yex+y − ex+yex+y = 0. Also konvex.

f3: konkav, da −f3 = f1 konvex.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.7: Implizite Funktionen

Wie bestimmt man eine implizite Funktion aus einerGleichung mit zwei Variablen x, y ∈ R?

- Rechengesetz -

157/176

Implizite Funktionen

Rechengesetz implizite DifferentiationS. 84

Sei eine Gleichung mit zwei Variablen x, y ∈ R gegeben.1. Bestimme g(x, y) durch Umformen der Gleichung, sodass

g(x, y) = 0.2. Stelle sicher, dass y = h(x) eingesetzt in g(x, y) 0 ergibt, in

einer Umgebung um (x, y).3. Versichere, dass sich die Gleichung g(x, y) = 0 lokal um den

Punkt (x, y) eindeutig nach y auflösen lässt.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.7: Implizite Funktionen

Wie berechnet man die Steigung m der implizitenFunktion f(x, y) = z0 im Punkt (x0, y0) ?

- Rechengesetz -

159/176

Implizite Funktionen

Rechengesetz implizite DifferentiationS. 84

m = −fx

fy|(x0,y0)

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie bestimme ich relative Extrema einer zweifachstetig differenzierbaren Funktion in 2 Variablen?

- Rechengesetz -

163/176

Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Bestimmung relativer ExtremaS. 86

1. Berechne (x0, y0) mit fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0.2. Berechne ∇2f :

(a) Falls det(∇2f(x0, y0)) > 0 ⇒ rel. Extremum.i. Falls fxx(x0, y0) > 0: relatives Minimum.ii. Falls fxx(x0, y0) < 0: relatives Maximum.

(b) Falls det(∇2f(x0, y0)) < 0: Sattelpunkt.(c) Falls det(∇2f(x0, y0)) = 0: keine Aussage möglich.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie bestimme ich Extrema bei konvexen undkonkaven Funktionen in 2 Variablen?

- Rechengesetz -

167/176

Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Extrema konvexe Funktionen in 2 VariablenS. 86

Sei f : R2 → R eine konvexe stetig differenzierbare Funktion undg = −f eine konkave stetig differenzierbare Funktion. Dann:

1. f besitzt in (x0, y0) ein globales Minimum⇔ ∇f(x0, y0) = 0,

2. g besitzt in (x0, y0) ein globales Maximum⇔ ∇f(x0, y0) = 0.

Konvexe Funktionen → stationäre Punkte genügen zurEntscheidung Mininum / Maximum.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie sieht die Problemstellung bei Extrema mitNebenbedingungen aus? Nenne ein Beispiel.

- Definition -

168/176

Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Extrema mit NebenbedingungS. 86

min /max f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0

Z.B.: f(x, y) = xy2 mit Nebenbedingung g(x, y) = x+ y = 0.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Wie wendet man die Reduktionsmethode an?

- Rechengesetz -

169/176

Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

ReduktionsmethodeS. 88

Problem: (P ) min f(x, y) u. d. NB g(x, y) = 0.1. Löse g(x, y) = 0 nach y auf: y = h(x).2. Setze y = h(x) in f(x, y) ein und erhalte φ(x) = f(x, h(x)).3. Bestimme min /maxφ(x). Liefert x0.

(x0, h(x0)) ist lokale Minimal-/Maximalstelle von (P).

Schritt 1. ist nicht immer möglich (Lagrange, Karte 171).

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Bestimme das Maximum von(P ) max xy u. d. NB x + 2y = 4.

- Beispiel -

170/176

Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Beispiel ReduktionsmethodeS. 88

1. NB auflösen: y = y = h(x) = 2− 12x.

2. Einsetzen: φ(x) = f(x, h(x)) = 2x− 12x2

3. max(2x− 12x2) ist x0 = 2 (φ′(x0) = 0, φ′′(x0) = −1 < 0).

(x0, h(x0)) = (2, 1) ist das gesuchte Maximum.

uniseminar.ch

Mathematik I

Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Wie verwenden wir die Methode von Lagrange?

- Rechengesetz -

171/176

Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

LagrangeS. 88

Problem: (P ) min f(x, y) u. d. NB g(x, y) = 0.

1. Forme ggf. NB h(x, y) = c um, so dass g(x, y) = h(x, y)− c = 0.

2. Lagrangefunktion: L(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y)3. Stationäre Punkte von L:

(a) Lx(x, y, λ) = fx(x, y)− λgx(x, y) = 0

(b) Ly(x, y, λ) = fy(x, y)− λgy(x, y) = 0

(c) Lλ(x, y, λ) = −gx(x, y) = 0

Dies gibt mögliche Kandidaten für Extremalstellen. Ob Maximum, Minimumoder Sattelpunkt kann mit Lagrange nicht entschieden werden.

uniseminar.ch

Mathematik I

Notizkarten

uniseminar.ch