1

VÔ CUNG BE-HAM LIÊN TUC

Lecture 3

Nguyen Van Thuy

Nôi dung

Review

Vô cung be

Ưng dung tim giơi han

Ham liên tuc

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-2

Review-Giơi han bên trai

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

L f(x)

a x

x

y

O

lim ( )x a

f x L

a x

lim ( ) lim ( )x a x ax a

f x f x L

3-3

Review-Giơi han bên phai

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

x a

lim ( ) lim ( )x a x ax a

f x f x L

L f(x)

x a

x

y

O

lim ( )x a

f x L

3-4

Review

Đinh ly (kep). Nêu khi

x gân a va

thi

Đinh ly

Nguyen Van Thuy-University of Science

( ) ( ) ( )f x g x h x

lim ( ) lim ( )x a x a

f x h x L

lim ( )x a

g x L

Giai tich 1

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x L f x L f x

3-5

Review

7 dang vô đinh

Cac giơi han cơ ban

Nguyen Van Thuy-University of Science

0 0.00

, , , ,1 ,0

0,

0

1/

0

01

sin 1lim 1 , lim 1 ( )

lim(1 ) (

0

)1

u

u u

u

u

ue

u u

u e

Giai tich 1 3-6

2

Vô cung be

Đinh nghia. Nêu thi (x)

đươc goi la vô cung be khi 𝑥 → 𝑎

Ky hiêu: 𝛼 𝑥 : VCB(𝑥 → 𝑎)

Vi du

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥,

𝑥2 la cac vô cung be khi 𝑥 → 0

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( ) 0x a

x

2

0 0lim(1 cos ) 0, lim 0x x

x x

3-7

So sanh cac vô cung be

Đinh nghia. Gia sư 𝛼 𝑥 , 𝛽(𝑥) la cac VCB khi

𝑥 → 𝑎 va gia sư

𝐿 = 0: 𝛼(𝑥) đươc goi la VCB câp cao hơn 𝛽(𝑥), ky

hiêu 𝛼 𝑥 = 𝑂(𝛽 𝑥 )

𝐿 = ±∞: 𝛼(𝑥) đươc goi la VCB câp thâp hơn 𝛽(𝑥)

𝐿 ≠ 0 va hưu han: 𝛼(𝑥) va 𝛽(𝑥) đươc goi la hai

VCB cung câp

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

( )lim

( )x a

xL

x

3-8

Vô cung be tương đương

Nêu

thi 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) đươc goi la hai VCB tương

đương, ky hiêu α(𝑥)𝛽(𝑥)

Vi du. 𝑠𝑖𝑛𝑥 va 𝑥 la cac VCB khi 𝑥 → 0 va

nên

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

( )lim 1

( )x a

x

x

0

sinlim 1x

x

x sinx x

3-9

Cac VCB tương đương cơ ban

Khi u0 thi

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

2

s i n

1 c o s2

t a n

1u

u u

uu

u u

e u

l n (1 )

a r c s i n

a r c t a n

11 1n

u u

u u

u u

u un

3-10

Tinh chât cua VCB tương đương

𝛼(𝑥)~𝛼(𝑥) (tinh phan xa)

𝛼(𝑥)~𝛽(𝑥), 𝛽(𝑥)~𝛾(𝑥) ⇒ 𝛼(𝑥)~𝛾(𝑥) (tinh

băc câu)

Nêu 𝛼 𝑥 = 𝑂 𝛽 𝑥 ⇒ 𝛼(𝑥) + 𝛽(𝑥)𝛽(𝑥)

𝛼 𝑥 ~𝛼1 𝑥

𝛽 𝑥 ~𝛽1 𝑥⇒𝛼(𝑥)𝛽(𝑥)~𝛼1(𝑥)𝛽1(𝑥)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-11

Tinh chât cua VCB tương đương

𝛼 𝑥 ~𝛼1 𝑥

𝛽 𝑥 ~𝛽1 𝑥⇒ lim𝑥→𝑎

𝛼(𝑥)

𝛽(𝑥)= lim𝑥→𝑎

𝛼1(𝑥)

𝛽1(𝑥)

Quy tăc ngăt bo VCB câp cao

Khi tinh giơi han ty sô 2 VCB ma tư va mâu

la tông cac VCB khac câp thi ta chi giư lai

cac VCB câp thâp nhât ơ tư va mâu

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-12

3

Ưng dung tinh giơi han

Vi du. Tinh

𝐿 = lim𝑥→0

ln (cos 𝑥)

1 + 𝑥23

− 1

Vi du. Tinh

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

3 2

3 20

arcsin 2arcsin 3arcsinlim

2

) 0 ) 1 ) 2 ) 3

x

x x xL

x x x

a L b L c L d L

3-13

Vi du

a)

b)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science

2

20

(1 cos )lim

sin tan

1 1) 0 ) 1 ) )

2 4

x

xL

x x x

aL bL cL dL

2 3

20

1 cos ln(1 tan 2 ) 2arcsinlim

1 cos sin

) 0 ) 1 ) 2 ) 3

x

x x xL

x x

a L b L c L d L

3-14

Ham liên tuc

Đinh nghia. Ham 𝑓 đươc goi la liên tuc tai 𝑎

nêu

𝑓 gian đoan tai 𝑎 nêu 𝑓 không liên tuc tai 𝑎

𝑓 liên tuc trên khoang (𝑎, 𝑏) nêu 𝑓 liên tuc

tai moi điêm thuôc khoang đo

Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) ( )

x a

x a x a

f x f a

f x f x f a

Giai tich 1 3-15

Ham liên tuc

Chu y. Ham 𝑓 liên tuc tai 𝑎 phai thoa 3 điêu

kiên

𝑓(𝑎) xac đinh (nghia la 𝑎𝐷𝑓)

tôn tai

Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( )x a

f x

lim ( ) ( )x a

f x f a

Giai tich 1 3-16

Ham liên tuc

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-17

Ham liên tuc

Vi du. Đô thi cua ham 𝑓 như hinh ve sau.

Tai nhưng điêm nao ham sô không liên tuc?

Tai sao?

Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 3-18

4

Ham liên tuc

Đinh ly. Tât ca nhưng ham sô sau (ham sơ

câp) liên tuc trên miên xac đinh

Ham đa thưc

Ham phân thưc hưu ty

Ham căn thưc

Ham mu

Ham logarithm

Ham lương giac

Ham lương giac ngươc

Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 3-19

Ham liên tuc

Vi du

gian đoan tai 𝑡 = 1 va liên tuc tai tât ca

cac điêm con lai

𝑔(𝜃) = 𝑡𝑎𝑛𝜃 gian đoan tai , 𝑛 va

liên tuc tai tât ca cac điêm con lai

liên tuc trên , vi

Nguyen Van Thuy-University of Science

( )1

tf t

t

1( )

2n

sin, 0

( )

1, 0

xx

f x x

x

0

sinlim 1 (0)x

xf

x

Giai tich 1 3-20

Ham liên tuc

Vi du. Tim 𝑎 đê ham sô sau liên tuc tai 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 =

𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + ln (1 + 2𝑥)

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑣ớ𝑖 −

1

2< 𝑥 < 0

𝑥2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑎) 𝑎 = 0 𝑏) 𝑎 = 2 𝑐) 𝑎 = 1 𝑑) 𝑎 = 3

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-21

Ham liên tuc

Vi du. Tim 𝑎 đê ham sô sau liên tuc tai x=1

𝑓 𝑥 =

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛1

(𝑥 − 1)3 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 1

3𝑥2 − 3𝑥 + 𝑎

𝑥2 + 1 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑎) 𝑎 =𝜋

2 𝑏) 𝑎 = −

𝜋

2 𝑐) 𝑎 = −𝜋 𝑑) 𝑎 = 𝜋

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-22

Ham liên tuc

Vi du. Tim a đê ham sô sau liên tuc tai x=2

𝑓 𝑥 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

1

𝑥 − 2 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≠ 2

3𝑥2 − 6𝑥 + 𝑎

𝑥2 𝑣ớ𝑖 𝑥 = 2

𝑎) 𝑎 =𝜋

2 𝑏) 𝑎 = 2𝜋 𝑐) 𝑎 = −2𝜋

𝑑) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑎 𝑛à𝑜

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-23

Ham liên tuc

Vi du. Vơi gia tri nao cua 𝑐 thi ham sô sau liên tuc

trên ?

Vi du. Tim 𝑎, 𝑏 đê ham sô sau liên tuc trên

Nguyen Van Thuy-University of Science

2

3

2 , 2( )

, 2

cx x xf x

x cx x

2

2

4, 2

2

( ) 3,2 3

2 , 3

xx

x

f x ax bx x

x a b x

Giai tich 1 3-24

5

Ham liên tuc

Vi du. Chưng minh phương trinh co nghiêm

trên khoang tương ưng

a) 𝑥4 + 𝑥 − 3 = 0, 1, 2

b) 𝑥3 = 1 − 𝑥, (0, 1)

c) cos 𝑥 = 𝑥, (0, 1)

d) sin 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥, (1, 2)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 3-25