Families of Heron Digital Filters for Images Filtering

V.G. Labunets, F.S. Myasnikov, E.Ostheimer

Yekaterinburg , AIST-2015

Ural Federal University, pr. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002, Russian Federation

Capricat LLC 1340 S. Ocean Blvd., Suite 209 Pompano Beach 33062 Florida USA

1

1. Основная цель

2. Постановка проблемы

3. Предлагаемый подход

4. Экспериментальны

е результаты

2

3

Основная цель

Основная идея данной работы заключается в получении искаженного или зашумленного изображения в первоначальном неповрежденном виде.

4

S1 S2

S3

S4

S5

Модель обрабатываемого изображения

Рассмотрим изображение следующей формы

( ) ( ) ( )f x s x η x

где - оригинальное К-канальное изображение, - шум, воздействующий на - искаженное шумом изображение

( )η x( )f x

( )s x( )s x

5

Восстановление полезного сигнала

Главная задача системы обработки сигналов состоит в том, чтобы из зашумленного изображения с максимальной точностью выделить полезное изображение и с максимальной степенью подавить помеху, т.е. дать максимально правдоподобную оценку полезному сигналу

( ) ( )ˆ( ) FILTER πs r s r r

Основная цель

6

S1 S2

S3

S4

S5

( ,

( 1, 1) ( 1, ) ( 1, 1)

( , 1) ( , 1)

( 1, 1) ( 1, ) ( 1,

)ˆ( ,

1

)

)

s i

f i j f i j f i j

f i j f i j

f i j f i j f i j

f i jj

Filter

Filter

Основная цель

7

8

Упрощающее предположение 1. Для простоты будем считать, что наблюдаемый сигнал является аддитивной смесью полезного сигнала и шума

2( ) ( ) ( ), f r s r r rπ Z

Постановка проблемы

9

1 1 2 2 1 2 1 2( | , ), 0, ( , ) ( , ) ( ) ( )p x i j m i j i j E i i j j

Постановка проблемы

10

𝜋 (𝑥)

Упрощающее предположение 2. Будем также предполагать, что полезный сигнал (изображение) представляет собой объединение областей, в которых сигнал принимает постоянные значения (изображение типа “лоскутного одеяла”)

, ) 1 2(

.( , ) , ,..., , ,...,m n Лоскут

N

Nm n s s s

s

Постановка проблемы

11

Упрощающее предположение 3. Будем предполагать, что совместная плотность распределения вероятностей наблюдаемых данных определяется совместной плотностью распределения шума, т.е.

1 2 1 2, ,..., , ,...,N Np x x x p x x x

Более того, будем предполагать, что шум в во всех пикселях действует независимо друг от друга, т.е.

1

1 2, ,...,N

ii

Nx x xp p x

Постановка проблемы

12

1 1 1 2 2 2

1 2

1

1

1

1 2

log log

log log

, ,...,

, , ...,

, ,...,

max max

экс экс эксN N N

экс экс эксN

opt

N

ii

Nэксi

i

Nэксi

i

N

Эксперимент

f f f

p x

L x

L x

L x

p x x x

x x x

L L x x x

L

L

1

Nэксi

i

Постановка проблемы

13

1 2

1 1

1

1 1

1 2

log log

log

, ,...,

, ,...,

max min

i

эксi

xN

x

экс экс экс NN

экс эксi opt i

экс эксi i

p

p

N NB

ii i

NB

i

N Np p

i i

N A

A

const x x

sign x x

p x e

e

p x x x

L L x x x

L L

L

1

10

N p

i

Постановка проблемы

𝐿𝐶𝑥 (𝑥|𝜎 ,𝑚 )=𝐴𝑒|𝑥−𝑚|𝑝

𝐵

14

1 2

1

1

1

1

1

1

1

, ,...,

0

2

0

1

log

log

min

экс эксi i

эксi opt

эксopt i opt

экс экс эксN

N p

i

N Nэк

N

ii

i

с

i

sign x x

p

x

p

x

N

x x x

x

L

L

Med

Постановка проблемы

𝐿𝐶𝑥 (𝑥|𝜎 ,𝑚 )=𝐴𝑒|𝑥−𝑚|𝑝

𝐵

15

22

2

1

1

2

1

2

1

1 1 1 1 1 1

0

3

0

0

1 1 1 1 1 1

log

log

log

экс эксi i

экс эксi i

эксi

эксopt i i

N p

i

N

iN

i

N N N N N Nэкс экс экс экс эксi i i i j

i i i i i j

sign x x

p

sign x x

x

x xN N N N N N

x x x x x

L

L

L

2

1

эксN

i

Постановка проблемы

𝐿𝐶𝑥 (𝑥|𝜎 ,𝑚 )=𝐴𝑒|𝑥−𝑚|𝑝

𝐵

16

Примеры среднего

1 2 1 2

1 2

1 2 1 21

... 1 2 ... 1 2

( , ,..., )

1( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., ) ( , ,...,N k

N

N

N N ii

w w w N w w w

x x x

x x x x x x xN

x x x x x x

Aggreg

M

1. Арифметическое среднее

ean

2. Взвешенное ср

Arithm

Aggreg Mean

еднее

1 2 ... 1 21 1

1

)

1 ( , ,..., )

k

N

N N

iw w w N i i iNi i

ii

x x x w x w xw

Arithm

17

Примеры среднего

1 2 1 21

1 2 1 21

1 ( , ,..., ) ( , ,..., )

1 ( , ,..., ) ( , ,...

, )

Npp

p N p N ii

N

N N ii

x x x x x x xN

x x x x x x xN

3. Степенные p - средние

3.1. Обычное средн

A

ее (p = 1)

3.2. Квад

ggreg Mean

Aggreg Me

ратичное сред

an

нее (

22 1 2 2 1 2

1

1 2 1 2 1 2

1 ( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )

N

N N ii

N N N

x x x x x x xN

x x x x x x x x x

p = 2)

3.3. - среднее (p = )

3.4. - - среднее (p = - )

Aggreg Mean

Aggreg Mean Max

Aggr 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )N N Nx x x x x x x x x eg Mean Min18

Примеры среднего

1 2 1 21

1 2 1 2

1

( , ,..., ) ( , ,..., )

1 ( , ,..., ) ( , ,..., )

1

(

N

NGeo N Geo N i

i

Har k Har N N

i i

x x x x x x x

x x x x x x

x

x

4. Геометрическое среднее

5. Гармоническое среднее

6. Min-, Max - средние

Aggreg Mean

Aggreg Mean

Aggreg 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

, ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., ) ( , ,..., )

(

N N

N N

Med N N

N N

rrank

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

Min

Aggreg Max

Aggreg Med

Aggr

7. Mедиан

eg Max

Aggr

а

8. r - Р

eg

анг

2 1 2, ,..., ) ( , ,..., )

N r Nx x x x xRank

19

20

Среднее и медиана по Герону

, / 3 / 3,

, , , .

a b a ab b aa ab bb

a b aa ab bb

MeanHeron

MedHeron Med

В данной работе вводится новый класс фильтров для обработки мультиспектральных изображений, названный обобщенными арифметическими и медианными фильтрами Герона.Классические определения среднего и медианы по Герону двух чисел a и b имеют вид:

21

Среднее и медиана по Герону

2 1

2 1 2

2( ,..., ) ,

( 1)

( , ,..., ) .

N i ji j

N i ji j

x x x xN N

x x x x x

MeanHeron

MedHeron Med

Пусть N - набор из положительных реальных чисел. Очевидный способ обобщения уравнения на набор чисел состоит в организации квадратных корней из различных попарных произведений Среднее и медиана по Герону N положительных чисел есть:

1 2( , ,..., )Nx x x

1 2( , ,..., )Nx x x

( 1) / 2N N

, i jx x i j

1 2( , ,..., )Nx x x

22

( , )( , )

( , )( , )

2 1 2 9 1 2 2 3 8 9( , )( , )

36

45

2 1 2 9 1 2 2 3( , )( , )

ˆ( , ) ( , ) , ,..., , , ,...,

ˆ( , ) ( , ) , ,..., , , ,

i ji j

i ji j

m n Mm n M

m n Mm n M

s i j x m n x x x x x x x x x

s i j x m n x x x x x x x

MeanHeron Arithm

MedHeron Med

8 9

36

45

..., x x

Фильтр Герона

23

Фильтр Герона

i jx x

1 1x x

3x1x1x

1x

2x

2x

2x

3x

3x

1 2x x 1 3x x

2 2x x 2 3x x

3 3x x

24

25

Полученные результатыПолученные результаты

Экспоненциальный шум26

Полученные результатыПолученные результаты

Шум типа «соль-перец»27

Полученные результатыПолученные результаты

СКО при нормальном шуме

Fmean Fmed Fheron0

5

10

15

20

25

28

Полученные результатыПолученные результаты

СКО при экспоненциальном шуме

Fmean Fmed Fheron0

5

10

15

20

25

29

Полученные результатыПолученные результаты

СКО при равномерном шуме

Fmean Fmed F(min+max/2) Fheron0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

30

Полученные результатыПолученные результаты

31

-, - Усредняющий фильтр-, - Фильтр Герона

32