Documentv8

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 30

1

Pali~je na sliki je obremenjeno s koncentrirano silo - udarno obte`bo, ki je predstavljena s simetri~nim trikotnim sunkom.

3.0 m 3.0 m

4.0 m

1 2

3 4 5

M1

P(t) Vse palice so iz enakega materiala in imajo enak prerez, zato velja EA=121.5 kN. Palice so osno deformabilne. Masa M1=1500 kg. Simetri~ni trikotni impulzni sunek

t1

Po Po=1.8 kN

P(t)

t12 t1

2 t

Dolo~i vertikalni odziv koncentrirane mase M1 za primer, ko traja impulz: a) t1=0.6 s b) t1=1.8 s. RE[ITEV 1.0 Izbrira prostostnih stopenj Najprej moramo izbrati prostostne stopnje: konstrukcija ima dejansko dve prostostni stopnji


2

3.0 m 3.0 m

4.0 m

1 2

3 45

u1

M1 u2

2.0 Podajnostna matrika Izra~un podajnostne matrike: konstrukcijo obremenimo z virtualnima silama x1=1 in x2=1 v smereh izbranih prostostnih stopenj in izra~unamo notranje stati~ne koli~ine (osne sile) za vsak obte`ni primer posebej. Osne sile za silo x1=1 `e poznamo:

Za silo x2=1 dobimo naslednje notranje stati~ne koli~ine:

^lene podajnostne matrike izra~unamo kot:

3.0 m 3.0 m

4.0 m

1 2

3 45

M1 x2=1

Palica L N x2

1 3 0.375 2 3 0.375 3 5 -0.625 4 5 -0.625 5 4 1

3.0 m 3.0 m

4.0 m

1 2

3 45

[N2]

Palica L N x2

1 3 1 2 3 0.0 3 5 0.0 4 5 0.0 5 4 0.0


3

( ) ( )d

N x N x L

EAijk i k j k

kk=

=

1

5

Posamezni ~leni so:

dEA EA

dEA EA

dEA EA

11

12

22

2 0 421875 2 1953125 4 8 75

0 375 1 3 1125

1 1 3 2 1953125 4 3

= + +

=

=

=

= + +

=

. . .

. .

.

Podajnostna matrika je tako:

d =

7.201646090534979 0.92592592592592590.9259259259259259 2.469135802469135

10-5

3.0 Masna matrika: Izra~un kineti~ne energije:

E TM u M u

Tu

M uM u

ddt

Tu

M u

Tu

M uM u

ddt

Tu

M u

k = =

+

=

=

=

=

=

=

1 12

1 22

1

1 11 1

11 1

2

1 21 2

21 2

2 22

2

22

& &

&

&&

&&&

&

&&

&&&

[ ]MM

M=

=

1

1

00

1500 00 1500

4.0 Dinami~na matrika je:


4

[ ] [ ]DM =

=

d M0.1080246913580247 0.013888888888888890.01388888888888889 0.03703703703703704

5. Lastne frekvence

12

1 1

22

2 2

= = =

= = =

9.03788656056529 3.006307795380454 rads

0.4784687460904976 Hz

29.05592206982869 5.390354540271789 rads

0.8579015701020964 Hz

6. Matrika lastnih vektorjev

[ ]$ =

0.02537218148357076 0.0047873869105614950.004787386910561495 0.02537218148357076

7.0 Izpeljava nevezanih ena~be gibanja Vezane ena~be gibanja se glasijo:

[ ] { } [ ] { } ( ){ }( )

M u K u P tF t

+ = =

&&0

Nevezane ena~be dobimo kot:

[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] ( ){ }[ ] { } [ ] { } [ ] ( ){ } ( )( )

$ $ && $ $ $

&& $

T T T

T

M y K y P t

I y y P t

+ =

+ = =

20.02537218148357076 F t0.004787386910561495 F t

a) Impulz traja t1=0.6 s. Celotni odziv razdelimo na tri faze: I. fazo nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s , II. fazo zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s , III. fazo brez obte`be 0 60. s t I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s Obte`ba se zapi{e kot:

( )F tt

t= = 18000 3

6000.


5

Za~etna (robna) pogoja vodita do:

( ) ( )( ) ( )

t u yu y

i i

i i

= = =

= =

0 0 0 0 00 0 0 0

:& &

, i = 1 2,

( ) ( )( ) ( )

y ty t

1

2 0 0=

= +

16.843865105683 t 5.60284011056269461951 sin 3.00630836741675544 t98858751578853171 t 183399419064294187 sin 5.3903524931121165 t. .

oziroma v glavnih koordinatah

( ) ( )( )

( ) ( )( )

u t

u t

1

2

0 0=

=

+

. .4320983532792007 t 1421562761086263 sin 3.00630836741675544 t0.0008780039782329842 sin 5.3903524931121165

0.05555547746723061 t 0.02682296340727676 sin 3.00630836741675544 t0.00465324334448072 sin 5.3903524931121165

Na koncu intervala t1 dobimo naslednje vrednosti:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

0 3 0 3 0 3 00 3 0 0 3

0 3 0 3 0 3 00 3 0 3

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . . .& . . & .

. : . . .& . & .

0.01723057326879969 65772076709182621672967526733165 6.3985396454200120.0002722318828517762 1133734562867895

0.004388516512188687 1.034352069805172

II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s , Obte`ba se zapi{e kot:

( )F tt

=

1800 2 0 3.

Za~etna (robna) pogoja sta enaka vrednostim na koncu prvega intervala

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

0 3 0 3 0 3 00 3 0 0 3

0 3 0 3 0 3 00 3 0 3

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . . .& . . & .

. : . . .& . & .

0.01723057326879969 65772076709182621672967526733165 6.3985396454200120.0002722318828517762 1133734562867895

0.004388516512188687 1.034352069805172

vodita do re{itev:


6

( ) ( )( )

( ) ( )( )

y t

y t

1

2 0 00 0

= +

+ +

= + +

+

16.84388723474173791 t 8.790887368786151657 cos 3.00630836741675544 t1.346097657043412 3.00630836741675544 t 10.10633234084504274452

988588892445251997 t 36640542820519667 cos 5.3903524931121165 t20038045263955685246 5.3903524931121165 t 593153335467151

sin. .

. sin .


( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )( )

u t

u t

1

2

0=

+

+ +

=

+

+

+ +

.

sinsin

sinsin

4320989213322871 t 0.2230439897224721 cos 3.00630836741675544 t0.001754124550948238 cos 5.3903524931121165 t0.03415343404911483 3.00630836741675544 t0.0009592987560990021 5.3903524931121165 t 2.592593527993723

0.0555555484788133 t 0.0420853791215472 cos 3.00630836741675544 t0.009296505020987709 cos 5.3903524931121165 t0.006444290303667123 3.00630836741675544 t0.005084089210130891 5.3903524931121165 t 0.03333332908728798

III. Faza brez obte`be 0 60. s t Obte`ba je ( )F t = 0 in diferencialna ena~ba je sedaj homogena Za~etna (robna) pogoja

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

0 6 0 6 0 0 60 6 0 0 6

0 3 0 6 0 6 00 6 0 6

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . . .& . . & .

. : . . .& . & .

1210249034931212 3.339424173166785354837639152389 7.9358136555304330.006804698866383938 3833674755993563

0.04919860906390304 0.09576291704051511

vodita do re{itev:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

y t

y t

1

2

0

=

=

+

2.639715673030777765 3.00630836741675544 t3.33942280937422988762510557 cos 3.00630836741675544 t

0.01776679930667618 5.3903524931121165 t3833669448831571463 5.3903524931121165 t

sin

sin. cos



7

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

u t

u t

1

2

=

+

=

+

+

+

0.08472844156981869 cos 3.00630836741675544 t0.001835325893875576 cos 5.3903524931121165 t0.06697534512116303 3.00630836741675544 t0.00008505654244335463 5.3903524931121165 t

0.01598710904642868 cos 3.00630836741675544 t0.009726855700377534 cos 5.3903524931121165 t0.01263734026067157 3.00630836741675544 t0.0004507824563911674 5.3903524931121165 t

sinsin

sinsin

1 2 3 4 5 6

-0.1

-0.05

0.05

0.1u1

t

Odziv v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.

Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 0.761672095857632 s in zna{a 0.1045367939656104 m.

1 2 3 4 5 6

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02u2

t

Odziv v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.

Iz slik in ena~b odzivov vidimo, da na odziv v prvi prostostni stopnji najbolj


8

vpliva prva lastna frekvenca (koeficienta, ki pripadata periodi~nima komponentama druge stopnje, sta mnogo manj{a). To pa ne velja za odziv v drugi prostosni stopnji, kjer sta dva koeficienta enakega reda ( )0.01598710904642868,0.01263734026067157 , kar povzro~i mnogo manj enoli~no sliko odziva v drugi prostostni stopnji:

5 10 15 20

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03u2

t


Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 7.037964425744104 s in zna{a 0.02966433147150937 m. 9.0 Dolo~itev notranjih sil v konstrukciji Uporabimo zvezo:

( ){ } [ ] { } [ ]F t k u kuu

= =

1

2.

Ker imamo odziv podan za tri ~asovne odseke, moramo sile tudi podati za pripadajo~e ~asovne odseke: I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 3. . t s

( ) ( )( )

( ) ( )( )

F t

F t

1

2

=

=

+

5999.994414267579 t 1927.188446013245 sin 3.00630836741675544 t38.26682275280575 sin 5.3903524931121165

0.001067927503754617 t 363.6343507397423 sin 3.00630836741675544 t202.8064139837713 sin 5.3903524931121165 ]

II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 3 0 6. . t s ,


9

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

F t

F t

1

2

=

+

+

=

+

+

+

6000. t 3023.769415691392 cos 3.00630836741675544 t76.45155937968792 cos 5.3903524931121165 t463.0122938844721 3.00630836741675544 t41.80996484834433 5.3903524931121165 t 3600.00

0.00115404402185959 t 570.5443235383904 cos 3.00630836741675544 t405.1777881173851 cos 5.3903524931121165 t87.36414709184158 3.00630836741675544 t221.5843498284303 5.3903524931121165 t 0.0006924264132521784

sinsin

sinsin

III. Faza brez obte`be 0 60. s t

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

F t

F t

1

2

=

+

=

+

+

+

1148.649065042259 cos 3.00630836741675544 t79.99062921778119 cos 5.3903524931121165 t907.9733573396726 3.00630836741675544 t3.707094403144783 5.3903524931121165 t

216.7345169895144 cos 3.00630836741675544 t423.9341418219581 cos 5.3903524931121165 t171.3222715548215 3.00630836741675544 t19.64684988502157 5.3903524931121165 t

sinsin

sinsin

1 2 3 4 5 6

-1500

-1000

-500

500

1000

1500 ( )F t1

t

Spreminjanje sile v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.

Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 0.7935493348585294 s in zna{a 1426.623612210019 N.


10

1 2 3 4 5 6

-600

-400

-200

200

400

600 ( )F t2

t

Spreminjanje sile v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=6 sek.

Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 1.120860367014158 s in zna{a 579.3395048258684N. Vidimo, da maksimalna sila ( )F t1 ne nastopi v trenutku, ko nastopi tudi maksimalni pomik u1, enako pa velja tudi za drugo prostostno stopnjo. Na osnovi ~asa, ko nastopi maksimalni pomik v posamezni prostostni stopnji, ne moremo ve~ sklepati o ~asu, ko nastopi maksimalna sila v tej prostostni stopnji (v obravnavanem primeru je dokaj dobro ujemanje naklju~no). Prav tako maksimalna sila v posamezni prostostni stopnji ne predstavlja direktno najneugodnej{ega obte`nega slu~aja. Zato je potrebno izvesti izra~un notranjih stati~nih koli~in za sile, ki nastopijo v prostostnih stopnjah v razli~nih, primerno izbranih ~asih. b) Impulz traja t1=1.8 s. Celotni odziv ponovno razdelimo na tri faze: I. fazo nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s , II. fazo zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s , III. fazo brez obte`be 180. s t I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s Obte`ba se zapi{e kot:

( )F tt

t= = 18000 9

2000.

Za~etna (robna) pogoja vodita do:


11

( ) ( )( ) ( )

t u yu y

i i

i i

= = =

= =

0 0 0 0 00 0 0 0

:& &

, i = 1 2,

( ) ( )( ) ( )

y ty t

1

2

=

= +

5.6146290782472459692 t 1.867615823812429654 sin 3.00630836741675544 t0.329529286650904 t 0.0611331609708237241 sin 5.3903524931121165 t


( ) ( )( )

( ) ( )( )

u t

u t

1

2

=

=

+

0.1440329721297819 t 0.04738548762335748 sin 3.00630836741675544 t0.0002926680946329703 sin 5.3903524931121165

0.01851852489180047 t 0.008940999548877149 sin 3.00630836741675544 t0.001551081654816084 sin 5.3903524931121165

Na koncu intervala t1 dobimo naslednje vrednosti:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

0 9 0 9 0 90 9 0 9

0 9 0 9 0 90 9 0 9

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . .& . & .

. : . .& . & .

0.1099114690569684 4.2645838364691630.2729480382273948 10.70420061764210.01135528670562137 0.3571204997863679

0.04404210220392211 0.2838954831560769

II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s , Obte`ba se zapi{e kot:

( )F tt

=

1800 2 0 9.

Za~etna (robna) pogoja sta enaka vrednostim na koncu prvega intervala

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

0 9 0 9 0 90 9 0 9

0 9 0 9 0 90 9 0 9

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . .& . & .

. : . .& . & .

0.1099114690569684 4.2645838364691630.2729480382273948 10.70420061764210.01135528670562137 0.3571204997863679

0.04404210220392211 0.2838954831560769

vodita do re{itev:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

y t

y t

1

2

0

=

+

= +

+

5.6146290782472459692 t 1.5771611034600464751 cos 3.00630836741675544 t5.2535450582130685454 3.00630836741675544 t 10.10633234084504274452

0.32952963081508402 t 0.1210881459585125025 cos 5.3903524931121165 t 0.044200704422079079748 5.3903524931121165 t 593153335467151

sin

sin .


12


( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

u t

u t

1

2

=

+

+

=

+ +

0.144032973777429 t 0.04001601774581702 cos 3.00630836741675544 t0.0005796958049859424 cos 5.3903524931121165 t0.1332938986490983 3.00630836741675544 t0.000211605873787859 5.3903524931121165 t 2.592593527993722

0.01851851615960443 t 0.007550480422551352 cos 3.00630836741675544 t0.003072270414768484 cos 5.3903524931121165 t0.02515075284573426 3.00630836741675544 t0.001121468294298659 5.3903524931121165 t 0.03333332908728798

sinsin

sinsin

III. Faza brez obte`be 180. s t Obte`ba je ( )F t = 0 in diferencialna ena~ba je sedaj homogena Za~etna (robna) pogoja

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t u yu y

t u yu y

= = =

= =

= = =

= =

18 18 1818 18

18 18 1818 18

1 1

1 1

2 2

2 2

. : . .& . & .

. : . .& . & .

0.2956135898575147 3.0068426277098380.05389046906392701 19.406368190318940.03975229615095551 0.10431984863570180.006816596439994561 0.0786240209102918

vodita do re{itev:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

y t

y t

1

2

=

=

6.4552234762284950165 3.00630836741675544 t3.00684546287342015805 cos 3.00630836741675544 t

0.0145878369377274164 5.3903524931121165 t0.10431975140576680089 5.3903524931121165 t

sin

sincos



13

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

u t

u t

1

2

=

+

+

=

0.07629022877707575 cos 3.00630836741675544 t0.0004994190123929972 cos 5.3903524931121165 t0.1637831015558759 3.00630836741675544 t0.00006983761960908172 5.3903524931121165 t

0.01439493261104143 cos 3.00630836741675544 t 0.002646819664988101 cos 5.3903524931121165 t0.03090365237484556 3.00630836741675544 t0.0003701252462367571 5.3903524931121165 t

sinsin

sinsin

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-0.15-0.1-0.05

0.050.1

0.150.2 u1

t

Odziv v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek.

Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 1.350834022331489 s in zna{a 0.1950943904724066 m.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-0.03-0.02-0.01

0.010.020.03

u2

t


Maksimalni pomik nastopi ob ~asu t= 7.674724002916926 s in zna{a


14

0.03651517564947892 m. Iz slik in ena~b odzivov vidimo, da na odziva v obeh prostostnih stopnjah najbolj vpliva prva lastna frekvenca (koeficienta, ki pripadata periodi~nima komponentama druge stopnje, sta mnogo manj{a). 9.0 Dolo~itev notranjih sil v konstrukciji Uporabimo zvezo:

( ){ } [ ] { } [ ]F t k u kuu

= =

1

2.

Ker imamo odziv podan za tri ~asovne odseke, moramo sile tudi podati za pripadajo~e ~asovne odseke: I) Faza nara{~anja obte`be 0 0 0 9. . t s

( ) ( )( )

( ) ( )( )

F t

F t

1

2

=

=

+

2000.000699243329 t 642.3969926354634 sin 3.00630836741675544 t12.75561202497125 sin 5.3903524931121165

4.098329327462124 10 t 121.2116094912258 sin 3.00630836741675544 t67.60216152941564 sin 5.3903524931121165

-6

II. Faza zmanj{evanja obte`be 0 9 18. . t s ,

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

F t

F t

1

2

=

+

+

=

+

2000.000771054187 t 542.490343488393 cos 3.00630836741675544 t25.26539420081725 cos 5.3903524931121165 t1807.042702809057 3.00630836741675544 t9.222605667447059 5.3903524931121165 t 3600.001387897537

0.0003846813406198634 t 102.3605783051823 cos 3.00630836741675544 t133.9014746234301 cos 5.3903524931121165 t340.9644766988418 3.00630836741675544 t48.87794304438834 5.3903524931121165 t 0.0006924264130248047

sinsin

sinsin

III. Faza brez obte`be 0 60. s t


15

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

F t

F t

1

2

=

+

+

=

1034.253650050177 cos 3.00630836741675544 t21.7666198564226 cos 5.3903524931121165 t2220.379638599327 3.00630836741675544 t3.043794649355728 5.3903524931121165 t

195.1496519783618 cos 3.00630836741675544 t115.3586788781765 cos 5.3903524931121165 t418.9555567064981 3.00630836741675544 t16.13149546609706 5.3903524931121165 t

sinsin

sinsin

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-2000

-1000

1000

2000

( )F t1

t

Spreminjanje sile v prvi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek. Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 1.34182299764323 s in zna{a 2670.87918646

N.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-600

-400

-200

200

400

( )F t2

t

Spreminjanje sile v drugi prostostni stopnji za ~as 10t1=18 sek.


16

Maksimalna sila nastopi ob ~asu t= 7.652390949058 s in zna{a 571.09893381104 N. Vidimo, da maksimalna sila ( )F t1 ponovno ne nastopi v trenutku, ko nastopi tudi maksimalni pomik u1, enako pa velja tudi za drugo prostostno stopnjo. Na osnovi ~asa, ko nastopi maksimalni pomik v posamezni prostostni stopnji, ne moremo ve~ sklepati o ~asu, ko nastopi maksimalna sila v tej prostostni stopnji (v obravnavanem primeru je dokaj dobro ujemanje naklju~no). Prav tako maksimalna sila v posamezni prostostni stopnji ne predstavlja direktno najneugodnej{ega obte`nega slu~aja. Zato je potrebno izvesti izra~un notranjih stati~nih koli~in za sile, ki nastopijo v prostostnih stopnjah v razli~nih, primerno izbranih ~asih. Izra~un lastne frekvence konstrukcije s pomo~jo metode kon~nih elementov Vdona datoteka (dinav010.dat) 4 1 0.0 0.0 2 3 0. 3 6 0 4 3 4. 5 1 1 2 1 1 121.5e3 0 0. 2 2 3 1 1 121.5e3 0 0. 3 1 4 1 1 121.5e3 0 0. 4 4 3 1 1 121.5e3 0 0. 5 2 4 1 1 121.5e3 0 0. SE 4 1 1 2 2 3 0 4 0 1 2 1500 3 1 1 1 2 3 2 DODATEK: Ali se lastni frekvenci spremenita, ~e je tudi desna podpora na konstrukciji


17

nepomi~na? Utemelji svoj odgovor? Podajnostna matrika:

d =

0.00006507201646090533 0.00001234567901234567

00

Lastni frekvenci

1

2

==

0.5094216165418758 Hz1.169545201850514 Hz

Documents

Documentv8